calcul_scientifique_2012_2013.pdf

Universit Mohammed Premier

Fault des Sienes

Dpartement de Physique

Oujda

Calul sientique.

Direnes nies, Volumes nis et lments nis.

Master "Energies renouvelables"

Anne 2012-2013

Mohammed Boulerhha

Table des matires

Table des matires 2

1 Introdution 4

1.1 Pourquoi la modlisatin numrique ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Qu'est e que la modlisatin numrique ? . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Mthodes de disrtisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 Disrtisation du domaine (Maillage) . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.2 Mthodes de direnes nies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.3 Mthodes de volumes nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.4 Mthodes des lments nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Classiation des Equations aux Drives Partielles (EDP) . . . . . . . 8

1.5 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Mthode des direnes nies 11

2.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Direnes nies 1-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1 La drive premire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.2 La drive seonde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Direnes nies 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Disrtisation des onditions aux limites de type Neumann . . . . . . . 14

2.5 Direnes nies sur un maillage urviligne . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Mthode des lments nis 17

3.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2 Approximation par lments nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.0.1 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.0.2 Approximation par lments nis . . . . . . . . . . . . 18

2

3.3 Gomtrie des lments : maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4 Elments de rfrene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4.1 Dnition et proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4.2 Approximation sur un lment de rfrene . . . . . . . . . . . . 23

3.5 Transformation des drives et des intgrales . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.6 Formulation intgrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.6.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.6.2 Mthode des rsidus pondrs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.6.3 Forme intgrale faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.6.4 Disrtisation de la forme intgrale faible . . . . . . . . . . . . . 30

3.6.5 Tehniques d'assemblage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.6.6 Introdution des onditons aux limites . . . . . . . . . . . . . . 33

3

Chapitre 1

Introdution

1.1 Pourquoi la modlisatin numrique ?

Le but de la modlisation numrique est de fournir une solution approhe du

omportement rel d'un phnomne physique omplexe.

Exemple de projets utilisant la modlisation numrique :

Espae - Aronautique - Nulaire - Amnagement de ours d'eau - gestion des nappes

souteraines - mtorologie - ...

Les projets sont de plus en plus grands et de plus en plus oteux.

Les projets sont soumis des ontraintes de sutit de plus en plus drastiques.

Mais raliser des prototypes ehelles relle ou rduit ote trs her en temps et en

argent ;

Alors on fait appel la modlisation numriques pour minimiser es ots.

Attention : La modlisation numrique aide la oneption des projets, mais en auun

as elle ne doit tre onsidre omme absolument sre et remplaer dnitivement

l'expriene.

1.2 Qu'est e que la modlisatin numrique ?

Le rle du modlisateur est de simplier susamment le problme tout en onservant

l'essentiel de la physique l'origine du phnomne tudi.

Mais : Simplier le modle = Solution approhe.

Chaque hypothse simpliatrie doit tre justie, d'o une remise en ause possible

des modles numriques !

4

Exemple de simpliation de modles :

Pb 1D, 2D, 3D.

Pb stationnaire ou non stationnaire.

Assimiler l'air un gaz parfait.

La modlisation numrique omporte 4 tapes direntes :

Etape 1, modle physique :

Aprs observation minutieuse le modlisateur drit qualitativement (ave des phrases)

le phnomne physique.

Etape 2, modle mathmatique (modle ontinu) :

A partir de la desription prdente, rire un modle mathmatique, trs souvent,

sous la forme d'quations aux drives partielles (EDP) .

Questions : Le Pb est-il bien pos ? Existene et uniit de la solution ? Les lois de la

physique sont-elles respetes (une onentration doit tre positive ! le seond prinipe

de la thermodynamique ! et ...)

Pb : A part quelques as simples gomtries partiulires, on ne sait pas trouver une

solution analytique, que fait-on alors ?

Etape 3, modle disret (modle algbrique) :

Disrtisation de l'espae : le domaine de alul est disrtis en un nombre ni de

points (X1, X2, ..., XN).

Disrtisation du temps : la solution va tre alule en un nombre ni d'instants

(t1, t2, ..., tP ).

Pour ela direntes mthodes sont utilises : EF, DF, VF, ...

5

Rsultats de la disrtisation :

Un systme algbrique, linaire ou non linaire.

Mise en uvre des mthodes de l'analyse numrique lassique.

Etape 4, modle informatique :

Programmation : exige une ertaine expertise dans le domaine de l'informatique (sys-

tme d'exploitation, langages de programmation, ...). Les odes sont trs gourmants

en temps CPU, il faut avoir le soui de l'onomie, en partiulier faire attention aux

boules.

Analyse des rsultats : tre trs vigilant, et proder une analyse ritique des rsultats

qui peuvent tre inompatibles ave les lois de la physique.

1.3 Mthodes de disrtisation

Dans toute la suite, nous appelons le domaine de alul et sa frontire.

1.3.1 Disrtisation du domaine (Maillage)

La solution qui tait reherhe en tout point du domaine sera reherhe en un

nombre ni de points (nuds).

Le domaine est partitionn en lments e relativement simples. Chaque lments

est dni analytiquement de manire unique en fontion de ses nuds. Les nuds

peuvent tre situs l'intrieur de l'lment ou sur sa frontire.

Deux rgles doivent tre observes lors du onstrution du maillage :

Interdition de reouvrement : deux lments ne peuvent avoir en ommun que

des points situs sur leur frontire ommune quand elle existe.

Interdition de faire des trous entre lments : la runion des e doit onstituer

un domaine aussi prohe que possible du domaine .

Une erreur de disrtisation gomtrique a lieu lorsque la frontire de est plus om-

plexe que elle des lments. On peut y remdier en hoisissant des lments plus petits

ou des lments frontire plus omplexe.

Quelques lments lassiques :

1D : Elment linaire 2 nuds - Elment quadratique 3 nuds - Elment

ubique 4 nuds.

2D : T3 - T6 - T9 - Q4 - Q8

3D : Ttradre 4 nuds - Hexadre 8 nuds.

6

1.3.2 Mthodes de direnes nies

La mthode des direnes nies onsiste remplaer un oprateur direntiel par

un quotient direntiel :

u

x

u(x+x) u(x)

x

u(x+x) u(xx)

2x

L'quation aux drives partielles ontinue est ainsi remplae par une quation aux

direnes :

u

x

ui+1 uix

ui+1 ui1

2x

o : ui u(x), ui+1 u(x+x) et ui1 u(xx).

1.3.3 Mthodes de volumes nis

C'est une mthode de disrtisation bien adapte aux EDP issues des lois de onser-

vation rsultant de l'riture de bilans physiques. Le domaine est maill en ellules

(lments), et les quations de onservation sont intgres sur des volumes de ontrle

et haque pas de temps. Les volumes de ontrle peuvent tre hoisis de deux faons,

la premire dite "vertex entered" et la deuxime dite "ell entered". Dans l'approhe

"vertex entered" les degrs de libert sont stoks aux noeuds du maillage. Les vo-

lumes de ontrle sont obtenus en joignant su

essivement les baryentres des triangles

voisins et les entres des faettes. Pour la mthode de type "ell entered", les volumes

de ontrle onident ave les triangles du maillage. Pour ette formulation, les degrs

de libert sont stoks aux entres des ellules du maillage. Cette approhe a pour

avantage de ne pas nessiter la onstrution d'un maillage adjoint.

1.3.4 Mthodes des lments nis

Aprs avoir maill le domaine, la mthodes des lments nis onsiste onstruire

sur haque lment une approximation simple (polynomiale par exemple). L'approxi-

mation globale est obtenue alors omme somme de es approximations lmentaires.

Le point fondamental de la mthode est l'tape de la formulation intgrale ou va-

riationnelle du systme d'quations aux drives partielles. Cette formulation peut soit

7

tre fournie par la minimisation d'une fontionnelle lorsque ei est possible, soit tre

obtenue diretement par la mthode des rsidus pondrs qui projette orthogonalement

le rsidu sur l'espae des fontions d'approximation.

1.4 Classiation des Equations aux Drives Par-

tielles (EDP)

Considrons une EDP rite sous la forme :

a2u

x2+ b

2u

xy+ c

2u

y2+ d

u

x+ e

u

y+ fu = g (1.1)

l'inonnue u(x, y) est une fontion des deux variables x et y. Lorsque les oeients

a, b, c, d, e, f, g sont onstants, l'EDP est dite linaire ; lorsque es oeients dpendent

de l'inonnue u, on dit que l'EDP est non linaire.

Dnition 1.1 : L'quation (1.1) est dite :

elliptique si et seulement si b2 4ac > 0,

parabolique si et seulement si b2 4ac = 0,

hyperbolique si et seulement si b2 4ac < 0.

Remarque 1.1 : Rappelons que dans le plan R

2, l'quation :

ax2 + bxy + cy2 + dx+ ey + f = 0

est appele onique ; 'est une :

ellipse si et seulement si b2 4ac > 0,

parabole si et seulement si b2 4ac = 0,

hyperbole si et seulement si b2 4ac < 0.

La lassiation des EDP en EDP elliptique, parabolique ou hypebolique est don alque

sur la dnition des oniques dans R

2.

Remarque 1.2 : Dans un hangement de base le type de l'EDP ne hange pas.

Remarque 1.3 : Lorsque les oeients a, b, c, d, e, f, g dpendent de x, y, l'EDP est

elliptique, parabolique ou hypebolique loalement au voisinage d'un point (x0, y0).

Exemple d'quations elliptiques :

8

Nous herhons la fontion u(x, y) dnie sur le domaine et vriant l'EDP suivante :

u(x, y) = 0 , (x, y) (1.2)

Cette quation est dite quation de Laplae. Elle est l'une des quations fondamentales

de la physique en gnral et de la manique en partiulier. L'quation de la haleur en

rgime stationnaire, l'quation du potentiel des vitesse en oulement de uides parfaits

inompressible en rgime permanent, entre autres, vrient l'quation de Laplae. Elle

onstitue l'exemple type d'une EDP elliptique.

Proprit : Dans une EDP elliptique "tout dpend de tout" i.e. la solution en un point

M1 du domaine dpend de la solution en tout point du domaine d si on hange la

solution en M1, la solution hangera partout.

Exemple d'quations paraboliques :

Nous herhons la fontion u(t, x) dnie sur le domaine R+ [a, b] et vriant l'EDP

suivante :

u

tu = 0 (1.3)

C'est l'quation de la haleur en rgime non permanent ; elle onstitue l'exemple type

d'une EDP parabolique.

Proprit : L'quation (1.3) reste inhange lorsqu'on hange x en x, par ontre elle

hange lorsqu'on hange t en t : le sens d'oulement du temps joue un rle important

dans l'volution du systme, le phnomne drit n'est pas reversible.

Exemple d'quations hyperbolique :

Nous herhons la fontion u(t, x) dnie sur le domaine R+ [a, b] et vriant l'EDP

suivante :

u

t+u

x= 0 (1.4)

C'est l'quation linaire de transpot ; elle onstitue l'exemple type d'une EDP hyper-

bolique.

Proprit : A l'inverse d'une EDP elliptique, l'EDP hyperbolique "tout ne dpend pas

de tout" i.e. la solution en un point M1 du domaine admet une zone de dpendane et

une zone d'inuene.

9

1.5 Conditions aux limites

Pour pouvoir rsoudre une EDP, il faut lui imposer des onditions aux limites sur

la frontire du domaine . Plusieurs hoix sont possibles :

Problme de Dirihlet

Les onditions aux limites sont dites de type Dirihlet lorsque u(x, y) est impose

sur toute la frontire . C'est dire que l'on herhe u tel que :{u(x, y) = 0 , (x, y)

u(x, y) = f , (x, y) (1.5)

Problme de Dirihlet-Neumann

Les onditions aux limites sont dites de type Dirihlet - Neumann lorsque u(x, y)

est impose sur une partie 1 de la frontire et ses drives sur l'autre partie 2

telle que 1 2 = . C'est dire que l'on herhe u tel que :

u(x, y) = 0 , (x, y)

u(x, y) = f , (x, y) 1u~n

= g , (x, y) 2

(1.6)

~n est la normale la frontire, u~n

= ~grad u ~n = uxnx +

uyny o nx et ny sont

les omposantes du veteurs ~n dans le repre (x, y).

Problme de Neumann

Les onditions aux limites sont dites de type Neumann lorsqu'on impose les d-

rives de u sur toute la frontire . C'est dire que l'on herhe u tel que :{u(x, y) = 0 , (x, y) u~n

= g , (x, y) (1.7)

Problme de Cauhy

Les onditions aux limites sont dites de type Cauhy lorsque u(x, y) et ses drives

sont imposes sur une mme partie 1 de la frontire, sur le reste de la frontire

la fontion u est libre. C'est dire que l'on herhe u tel que :{u(x, y) = 0 , (x, y) u~n

= g , (x, y) 1(1.8)

10

Chapitre 2

Mthode des direnes nies

2.1 Introdution

La mthodes des direnes nies (MDF) est la plus anienne, la plus simple et

la plus applique jusqu' la n des annes 70. C'est gre aux onnaissanes aquises

dans le adre de la MDF que les autres mthodes ont pu tre dvelopes. Elle est base

sur le dveloppement en srie de Taylor d'une fontion ; ependant elle nessite un

maillage rgulier, d'o une ertaine diult s'adapter aux domaines gomtries

omplexes.

2.2 Direnes nies 1-D

Considrons une fontion u dnie sur un intervalle [a, b]. Cet intervalle est subdivis

en N sous intervalles [xi, xi+1]i=0,1,...,N1, gaux et de longueur h = xi+1xi. Nous allons

don avoir (xi = x0 + ih)i=0,1,...,N . Nous appelerons le point xi simplement point i et

nous notons ui la valeur approhe de u(xi) i.e. ui u(xi).

2.2.1 La drive premire

Direnes nies entres

Nous eetuons un dveloppement en sries de Taylor au voisinage du point i :

u(xi + h) = u(xi) + hu(xi) +

h2

2!u(xi) +

h3

3!u(3)(xi) +

u(xi h) = u(xi) hu(xi) +

h2

2!u(xi)

h3

3!u(3)(xi) +

11

La direne des deux relations i dessus donne :

u(xi) =u(xi + h) u(xi h)

2h+ o(h2) (2.1)

Direnes nies progressives

Nous eetuons enore un dveloppement en sries de Taylor au voisinage du point i :

u(xi + h) = u(xi) + hu(xi) +

h2

2!u(xi) +

d'o :

u(xi) =u(xi + h) u(xi)

h+ o(h) (2.2)

Direnes nies regressives

Nous eetuons enore un dveloppement en sries de Taylor au voisinage du point i :


h2

2!u(xi) +

d'o :

u(xi) =u(xi) u(xi h)

h+ o(h) (2.3)

En passant aux approximations :

ui = u(xi) , ui = u

(xi)

nous dnissons les shmas suivants pour la drive premire :

Direnes nies entres :

ui =ui+1 ui1

2h(2.4)

Direnes nies progressives (dentres droite) :

ui =ui+1 ui

h(2.5)

Direnes nies regressives (dentres gauhe) :

ui =ui ui1

h(2.6)

12

2.2.2 La drive seonde

Direnes nies entres


u(xi + h) = u(xi) + hu(xi) +

h2

2!u(xi) +

h3

3!u(3)(xi) +

h4

4!u(4)(xi) +


h2

2!u(xi)

h3

3!u(3)(xi) +

h4

4!u(4)(xi) +

La somme des deux relations i dessus donne :

u(xi) =u(xi + h) 2u(xi) + u(xi h)

h2+ o(h2) (2.7)

Direnes nies progressive


u(xi + 2h) = u(xi) + 2hu(xi) +

(2h)2

2!u(xi) +

(2h)3

3!u(3)(xi) +

u(xi + h) = u(xi) + hu(xi) +

h2

2!u(xi) +

h3

3!u(3)(xi) +

Nous obtenons :

u(xi) =u(xi + 2h) 2u(xi + h) + u(xi)

h2+ o(h) (2.8)

Direnes nies regressives


u(xi 2h) = u(xi) 2hu(xi) +

(2h)2

2!u(xi)

(2h)3

3!u(3)(xi) +


h2

2!u(xi)

h3

3!u(3)(xi) +

Nous obtenons :

u(xi) =u(xi 2h) 2u(xi h) + u(xi)

h2+ o(h) (2.9)

Dnition 2.1 : Un shma dont l'erreur de tronature est de la forme o(hn) est dit

d'ordre n ; plus l'ordre est lev, meilleure est la prision.

13

2.3 Direnes nies 2D

Le domaine est maill rgulirement. En un point (xi, yj) on a : xi = x0 + ix et

yj = y0 + jy. Les drives partielles de u(x, y) en un point (i, j) se alulent de la

mme manire que prdemment en onsidrant haune des variables sparemment :

(u,x)ij =ui+1,j ui1,j

2x+ o(x2) , (u,y)ij =

ui,j+1 ui,j12y

+ o(y2)

(u,x)ij =ui+1,j ui,j

x+ o(x) , (u,y)ij =

ui,j+1 ui,jy

+ o(y)

(u,x)ij =ui,j ui1,j

x+ o(x) , (u,y)ij =

ui,j ui,j1y

+ o(y)

(u,xx)ij =ui+1,j 2ui,j + ui1,j

x2+ o(x2) , (u,yy)ij =

ui,j+1 2ui,j + ui,j1y2

+ o(y2)

En partiulier pour un maillage tel que x = y = h, l'oprateur Laplaien s'rit :

u =ui+1,j + ui1,j + ui,j+1 + ui,j1 4ui,j

h2+ o(h2)

Quant la drive mixte u,xy, plusieurs formules sont possibles, la plus simple est la

forme entrale :

(u,xy)ij =ui+1,j+1 ui1,j+1 ui+1,j1 + ui1,j1

4xy+ o(x2,y2)

D'autres formes sont enore possibles :

(u,xy)ij =ui+1,j+1 ui+1,j ui1,j+1 + ui1,j

2xy+ o(x2,y)

(u,xy)ij =ui+1,j+1 ui+1,j ui,j+1 + ui,j

xy+ o(x,y)

2.4 Disrtisation des onditions aux limites de type

Neumann

Considrons la gure () o les point 2 et 3 sont situs une distane de h et 2h

respetivement du point 1, qui est situ sur la frontire du domaine. Nous voudrions

onstruire une approximation de

(ux

)1qui soit d'abord d'ordre 1, puis d'ordre 2.

Shma du premier ordre

Pour l'approximation d'ordre 1, il est faile de dnir la C. L. de Neumann par une

direne progressive : (u

x

)1

=u2 u1

h+ o(h) (2.10)

14

Ce shma est du premier ordre. Or, souvent nous utilisons des shmas d'ordre 2, voire

plus. Alors utiliser le shma (2.10) sur la frontire va rduire la prision l'intrieur

du domaine d'une part, et d'autre part il va gnrer des perturbations numriques qui

peuvent rendre le shma instable globalement ause du manque de ompatibilit sur

l'ordre du shma.

Shmas de seond ordre

1. Shma dentr de seond ordre : Nous approximons la fontion par un polynme

de seond ordre P2(x) = a+ bx+ cx2tel que :

P2(x1) = u1 = a

P2(x2) = u2 = a + bh+ ch2

P2(x3) = u3 = a + 2bh+ 4ch2

En rsolvant e systme d'quations, nous trouvons pour la valeur b :

b =3u1 + 4u2 u3

2h(2.11)

La drive du polynme P2(x) s'rit :

P 2(x) = b+ 2cx

qui en x = 0 vaut P 2(x1) = b. En ombinant ei ave (2.11), nous avons :

P 2(x1) =3u1 + 4u2 u3

2h(2.12)

An de dterminer l'ordre de la prision, nous eetuons un dveloppement en

sries de Taylor autour du point 1 :

u(x2) = u(x1 + h) = u(x1) + hu(x1) +

h2

2u(x1) +

h3

6u(3)(x1) +

La somme des trois premiers termes est gale P2(x2) ; on a alors :

u1 =3u1 + 4u2 u3

2h+ o(h2)

Ainsi nous avons obtenu une approximation d'ordre 2 pour la ondition de type

Neumann sur la frontire.

2. Cration d'un nud tif : On introduit un nud tif numrot n + 2,

15

2.5 Direnes nies sur un maillage urviligne

Le domaine physique, urviligne, dni dans le plan (x, y) est transform en un

domaine numrique (, ) retangulaire. La disrtisation est alors eetue dans le

plan (, ) en appliquant les formules vues prdemment.

hello

16

Chapitre 3

Mthode des lments nis

3.1 Introdution

La mthode des lments nis (MEF) est l'une des plus puissantes et des plus utili-

ses pour rsoudre les quations aux drives partielles (EDP) issues de la modlisation

mathmatique de la physique. Elle est applique en alul des strutures, arodyna-

mique, hydraulique, thermique, manique quantique, et. Elle peut tre applique en

1-D, 2-D ou 3-D ; en rgime stationnaire ou instationnaire ; que les quations soient

linaires ou non linaires.

Elle trouve son bereau en manique des strutures dans les annes 50 ; et e n'est

qu' partir des annes 70 qu'elle ommene tre appplique en manique des uides.

La premire onfrene sur la MEF en manique des uides et lieu en 1974 SWAN-

SEA en Grande Bretagne. On ommena par les oulements potentiels vers les annes

70, puis les oulements eulriens au dbut des annes 80 ; depuis les annes 90 plusieurs

odes rsolvant les quations de Navier-Stokes aux omplet sont ommerialiss.

Ide de base : Pour rsoudre une EDP dans un domaine V, on la transforme d'abord en

une forme intgrale W ; puis le domaine V est dompos en lments Ve o l'intgrale

W e est disrtise et exprime sous forme matriielle. Ces formes lmentaires sont

assembles pour donner un systme algbrique globale dans lequel sont inorpores les

onditions aux limites.

17

3.2 Approximation par lments nis

3.2.0.1 Interpolation

Nous herhons une fontion uh, approximation de la fontron exate uex de telle

sorte que l'erreur dnies par e(x) = uh(x) uex(x) soit aussi petite que possible.

Pour ela nous nous donnons n points d'interpolation (xi)i=1,2,...,n o nous supposons

onnues les valeurs de la fontion exate. Posons (ui = uex(xi))i=1,2,...,n, nous allons

alors herher uh(x) sous la forme d'un polynme tel que uh(xi) = ui, soit :

uh(x) = N1(x)u1 + ...+Nn(x)un =< N1(x)...Nn(x) >

u1

u2.

.

.

un

(3.1)

Les polynmes Ni(x) peuvent tre hoisis de diverses manires, ependant le hoix le

plus utilis est elui des polynmes de Lagrange dnis par :

Ni(x) = nj=1,j 6=i

(x xj)

(xi xj)(3.2)

3.2.0.2 Approximation par lments nis

L'approximation par lments nis onsiste :

subdiviser le domaine en sous domaines Ve, appels lments,

dnir sur haque lment une approximation uh, tel que uh(x) ne fait intervenir

que les variables nodales situes sur Ve et sur sa frontire,

les uh doivent tre ontinus sur Veet sa frontire ave les lments voisins.

L'approximation par lments nis se fera don en deux tapes :

1. Dnition de la gomtrie de haque lments.

2. Constrution des fontions d'interpolation Ni(x) sur haque lment.

Exemple 1 :Approximation par lments nis sur un domaine 1-D i.e. un intervalle

[a, b].

1. Dnition de la gomtrie : [a, b] est subdivis en trois lments : V1 = [x1, x2],

V2 = [x2, x3] et V3 = [x2, x3]. Nous avons quatre nuds numrots 1, 2, 3, 4 de

oordonnes x1, x2, x3, x4.

18

2. Constrution des fontions d'interpolation Ni(x) sur haque lment : nous allons

hoisir une approximation linaire sur haque lment.

Elment 1 : u1h(x) = N1(x)u1 +N2(x)u2

Les fontions N1 et N2 sont linaires sur [x1, x2] et nulles en dehors de et inter-

valle.

La fontion N1 tant linaire telle que N1(x1) = 1 et N1(x2) = 0, nous obtenons

N1(x) =xx2x1x2

sur [x1, x2] et zro ailleurs.

De mme la fontion N2 est linaire telle que N2(x1) = 0 et N2(x2) = 1, nous

obtenons N2(x) =xx1x2x1




valle.

N1 est linaire tel que N1(x2) = 1 et N1(x3) = 0, nous obtenons N1(x) =xx3x2x3


De mme N2 est linaire tel que N2(x2) = 0 et N2(x3) = 1, nous obtenons

N2(x) =xx2x3x2




valle.

N1 est linaire tel que N1(x3) = 1 et N1(x4) = 0, nous obtenons N1(x) =xx4x3x4


De mme N2 est linaire tel que N2(x3) = 0 et N2(x4) = 1, nous obtenons

N2(x) =xx3x4x3


Remarque 3.1 : ueh est dirente sur haque lment.

Remarque 3.2 : Sur le domaine entier [a, b] on a : u(x) = u1h(x) + u2h(x) + u

3h(x).

Exemple 2 : Approximation par lments nis sur un domaine 2-D. Nous onsid-

rons pour et exemple un quadrilatre de sommets A1(x1, y1), A2(x2, y2), A3(x3, y3) et

A4(x4, y4).

1. Dnition de la gomtrie : le domaine est subdivis en deux lments, le triangle

T 1 de sommets 1, 2, 4 et le triangle T 2 de sommets 2, 3, 4. Nous avons quatre

nuds numrots 1, 2, 3, 4 de oordonnes (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) et (x4, y4).

19

2. Constrution des fontions d'interpolation Ni(x, y) sur haque lment : nous

allons hoisir une approximation linaire par rapport x et par rapport y sur

haque lment.

Elment T 1 de sommets 1, 2, 4 : u1h(x) = N1(x, y)u1+N2(x, y)u2+N3(x, y)u4

Les fontions Ni(x, y) vont tre linaires en x, y sur l'lment T1et nulles ailleurs.

N1(x, y) = a + bx + cy tel que N1(x1, y1) = 1, N1(x2, y2) = 0 et N1(x4, y4) = 0,

nous obtenons :

N1(x, y) =

{1

2A1[(y4 y2)(x2 x) (x4 x2)(y2 y)] sur T

1

0 ailleurs(3.3)

De mme N2(x, y) = a + bx + cy tel que N2(x1, y1) = 0, N2(x2, y2) = 1 et

N1(x4, y4) = 0, nous obtenons :

N2(x, y) =

{1

2A1[(y1 y4)(x4 x) (x1 x4)(y4 y)] sur T

1

0 ailleurs(3.4)



N3(x, y) =

{1

2A1[(y2 y1)(x1 x) (x2 x1)(y1 y)] sur T

1

0 ailleurs(3.5)

o A1 est l'aire de l'lment triangulaire T1:

A1 = (x4 x2)(y1 y2) (x1 x2)(y4 y2) (3.6)

Elment T 2 de sommets 2, 3, 4 : u2h(x) = N1(x, y)u2+N2(x, y)u3+N3(x, y)u4

Les fontions Ni(x, y) vont tre linaires en x, y sur l'lment T2et nulles ailleurs.

N1(x, y) = a + bx + cy tel que N1(x2, y2) = 1, N1(x3, y3) = 0 et N1(x4, y4) = 0,

nous obtenons :

N1(x, y) =

{1

2A2[(y4 y3)(x3 x) (x4 x3)(y3 y)] sur T

2

0 ailleurs(3.7)



N2(x, y) =

{1

2A2[(y2 y4)(x4 x) (x2 x4)(y4 y)] sur T

2

0 ailleurs(3.8)

20



N3(x, y) =

{1

2A2[(y3 y2)(x2 x) (x3 x2)(y2 y)] sur T

2

0 ailleurs(3.9)

o A2 est l'aire de l'lment triangulaire T2:

A2 = (x4 x3)(y2 y3) (x2 x3)(y4 y3) (3.10)

3.3 Gomtrie des lments : maillage

Il s'agit de partionner le domaine V en lments relativement plus simples Ve.

Chaque lments est dni de manire unique par les nuds situs sur sa frontire

et/ou en son intrieur. Deux rgles doivent tre respetes :

Absene de trous entre lments,

Absene de reouvrement.

Nous montrons i dessous quelques lments lassiques :

1. Elments 1-D :

2. Elments 2-D :

3.4 Elments de rfrene

3.4.1 Dnition et proprits

Un lment de rfrene Vr est un lment simple repr dans un espae de rf-

rene (, ) et qui peut tre transform en tout lment rel Ve repr dans l'espae

physique (x, y) par une une transformation e. Les transformations e sont direntes

d'un lment un autre mais l'lment de rfrene r est identique pour tous les

lments de mme type (triangles ou quadrilatres).

Les appliations e sont assujetties vrifer les proprits suivantes :

1. e est bijetive.

2. Les nuds 1, 2, 3 de l'lment de rfrene Vr se transforment en nuds i, j, k

de l'lment rel Ve.

3. Les frontires de l'lment de rfrene Vr se transforment en frontires de l'l-

ment rel Ve.

21

13m

2

1

2

3

1 2

3

i

j

k

l

Considrons le as d'un maillage triangulaire. De par la onstrution de l'lment

de rfrene Vr, un point (, ) Vr si et seulement si 0, 0 et 1 0.

Considrons alors la transformation linaire :

e : Vr Vr (3.11)

(, ) (x(, ), y(, )) (3.12)

telle que :

x(, ) =< 1 >

xi

xj

xk

et y(, ) =< 1 >

yi

yj

yk

Cette transformation vri-t-elle les proprits i dessus ?

1. e est bijetive si sa matrie jaobienne J n'est pas singulire i.e. le dterminant

de J ne soit pas nul. On a :

J =

[x

y

x

y

]=

[xj xi yj yi

xk xi yk yi

]

d'o det J = (xj xi)(yk yi) (xk xi)(yj yi) = 2A.

Autrement dit, pour que e soit bijetive, il faut et il sut que le triangle ne soit

pas un triangle dgnr.

2. Les nuds 1, 2, 3 de l'lment de rfrene Vr se transforment bien en nuds i,

j, k de l'lment rel Ve.

Le nud 1 se transforme en nud i : x( = 0, = 0) = xi, y( = 0, = 0) = yi

Le nud 2 se transforme en nud j : x( = 1, = 0) = xj , y( = 1, = 0) = yj

Le nud 3 se transforme en nud k : x( = 0, = 1) = xk, y( = 0, = 1) = yk

22

3. Chaque frontire de l'lment de rfrene Vr se transforme en frontire de l'l-

ment rel Ve ; par exemple un point (, ) du segment [2-3 dont l'quation est

1 = 0 se transforme en un point (x, y) du segment [j-k d'quation :

x =< 0 1 >

xi

xj

xk

= xj + (1 )xk

y =< 0 1 >

yi

yj

yk

= yj + (1 )xy

La transformation linaire (3.12) permet don de transformer l'lment de rfrene

triangulaire trois nuds en un lment triangulaire trois nuds dans le plan phy-

sique.

3.4.2 Approximation sur un lment de rfrene

En 1-D, on travaille diretement dans l'espae rel (physique), mais en 2-D, et

pour des raisons de simpliit, on travaillera dans l'espae de rfrene (, ) au lieu de

l'espae physique (x, y). Nous herherons alors uh(, ) la plae de uh(x, y), sahant

que (, ) et (x, y) sont lis par la transformation e et que uh(, ) et uh(x, y) prennent

les mmes valeurs en des points qui se orrespondent.

sur l'lment rel Ve nous avons dni l'approximation par :

uh(x, y) = N1(x, y)u1 + ...+Nne(x, y)une (3.13)

o ne est le nombre de nuds par lment.

Remplaons l'approximation sur l'lment rel Ve par l'approximation sur l'lment de

rfrene Vr :

uh(, ) = N1(, )u1 + ... + une(, )Nne (3.14)

o (x, y) est l'image de (, ) par la transformation e.

Dans l'expression (3.13) les fontions d'interpolation Ni(x, y) dpendent des oordon-

nes des nuds de l'lment, es fontions sont direntes sur haque lment. Dans

l'expression (3.14) les fontions d'interpolation Ni(, ) sont indpendantes de la go-

mtrie de l'lment rel, les mmes fontions Ni(, ) peuvent tre utilises pour tous

les lments ayant le mme lment de rfrene.

23

Exemple : Elment triangulaire

L'approximation sur l'lment rel s'rit :

uh(x, y) =< N1(x, y) N2(x, y) N3(x, y) >

ui

uj

uk

ave :

N1(x, y) =1

2A[(yk yj)(xj x) (xk xj)(yj y)]

N2(x, y) =1

2A[(yi yk)(xk x) (xi xk)(yk y)]

N3(x, y) =1

2A[(yj yi)(xi x) (xj xi)(yi y)]

Les fontions d'interpolation dpendent de (xi, yi, xj , yj, xk, yk).

Sur l'lment de rfrene l'approximation s'rit :

uh(, ) =< N1(, ) N2(, ) N3(, ) >

u1

u2

u3

ave :

N1(, ) = 1 ; N2(, ) = ; N3(, ) =

Evidemment, nous avons :

uh(, ) = uh(x, y)

ave :

x =< 1 >

xi

xj

xk

y =< 1 >

yi

yj

yk

Par exemple pour 0 =14, 0 =

14nous avons :

u(x0, y0) =

ui

uj

uk

= u(0, 0)

24

Proprits

1. Sur l'lment rel nous avons Ni(xj , yj) = ij ; sur l'lment de rfrene nous

avons Ni(j, j) = ij ; ij tant le symbole de Kroneker.

2. Si on herhe onstruire une fontion uh ontinue ainsi que ses drives jusqu'

l'ordre s, il faut que les Ni soient de mme.

3. Si on impose uh et ses drives jusqu' l'ordre s d'tre ontinues sur la

frontire entre deux lments, il faut que uh dpend d'une manire unique des

seules variables nodales assoies aux nuds de ette frontire.

3.5 Transformation des drives et des intgrales

Transformation d'une drive

La modlisation mathmatique en physique mne en gnral des quations aux dri-

ves partielles. Nous avons vu dans la setion prdente qu'au lieu de herher l'ap-

proximation uh(x, y) dans le plan physique (x, y), nous allons herher uh(, ) dans

le plan de rfrene (, ). Nous allons devoir transformer les drives partielles par

rapport x et y en drives partielles par rapport et .

Nous avons :

u(x, y) = u(x(, ), y(, )) =

{u

= ux

x

+ uy

y

u

= ux

x

+ uy

y

u(, ) = u((x, y), (x, y)) =

{ux

= u

x+ u

x

uy

= u

y+ u

y

Appelons matrie jaobienne :

J =

[x

y

x

y

]et j =

[

x

x

y

y

](3.15)

Notons que j est l'inverse de J .

Dans la pratique, on alule d'abors J , puis son inverse j, et ensuite on transforme

les drives partielles par rapport x et y en drives partielles par rapport et

par : {x

y

}=

[

x

x

y

y

]{

}= [j]

{

}(3.16)

25

Transformation d'une intgrale

L'intgrale dans le plan rel est transforme en intgrale dans le plan de rfrene par

hangement de variables :Vef(x, y) dx dy =

Vrf(x(, ), y(, )) detJ d d (3.17)

3.6 Formulation intgrale

3.6.1 Dnitions

Les systmes d'EDP que nous aurons rsoudre peuvent toujours se mettre sous

la forme gnrale suivante :{L(u) + fv = 0 sur le domaine V

C(u) = fs sur la frontire S = V(3.18)

o :

L et C sont des oprateurs direntiels,

u la fontion inonnue,

fv et fs des fontions onnues dites solliitations.

Dnition 3.1 : Un oprateur direntiel (L ou C) est dit linaire lorsqu'il est

indpendant de u et des drives de u, il est dit non linaire lorsqu'il dpend de u ou

de ses drives.

Exemples d'oprateurs :

L(.) = (.), ou L(.) = a(.)x

+ b(.)y

sont des oprateurs direntiels linaires, on

peut alors les mettre sous la forme [L]{u}.

C(.) = (.), C(.) = (.)n

ou C(.) = (.)n

+ (.) sont aussi des oprateurs linaires.

Dnition 3.2 : Nous appelons Eu espae des fontions admissibles, un ensemble

form par des fontions u vriant les onditions aux limites et de drivabilit dans le

systme (3.18).

Dnition 3.3 :

Un systme d'EDP est linaire si l'oprateur direntiel L est linaire.

Un systme d'EDP est homogne si le seond membre fv est nul.

26

Les onditions aux limites sont homognes si le terme fs est nul.

Un systme d'EDP linaire est auto-adjoint ou sysmtrique siV

 [L] < v > dV =

V

< v > [L] dV

pour tout u et v admissibles.

Un systme d'EDP linaire est dni positif siV

 [L] dV 0

pour tout u satisfaisant les onditions aux limites homognes.

3.6.2 Mthode des rsidus pondrs

Considrons le systme d'EDP linaire ou non linaire suivant :{L(u) + fv = 0 sur le domaine V

C(u) = fs sur la frontire S(3.19)

o L est un oprateur direntiel d'ordre m.

Dnition 3.4 On appelle rsidu la quantit R(u) = L(u) + fv.

Remarque :

1. Le mot rsidu est ii assoi la notion d'erreur lorsque u est une

solution approhe.

2. R(u) sera nul lorsque u est une solution exate de notre systme (3.19).

La mthode des rsidus pondrs onsiste herher u annulant la forme intgrale :

W (u) =

V

< > {R(u)} dV = 0 , E (3.20)

o la fontion est appele fontion de pondration, la forme W (u) est appele forme

intgrale forte ; E est un ensemble de fontions qui sera pris ultrieurement.

Si une fontion u vrie (3.19), alors elle est solution de (3.20) pour tout E.

Inversement si E est un ensemble ni, alors une solution de (3.20) n'est pas une

solution de (3.19), elle en est seulement une solution approhe.

Par onsquent, au lieu de herher une solution du systme d'EDP (3.19), nous allons

xer un espae ni E, puis nous herhons une solution de la forme intgrale (3.20),

qui sera don une solution approhe de (3.19).

27

3.6.3 Forme intgrale faible

Les onditions sur la drivabilit de la solution u sont identiques dans (3.19) et

(3.20). Au lieu de herher la solution de la forme intgrale forte (3.20), nous allons

d'abord eetuer une intgration par partie ; ela aura omme onsquene la diminu-

tion de la ontrainte de drivabilit sur u, puis nous herherons ensuite la solution de

ette nouvelle forme intgrale, dite forme intgrale faible, qui sera don une solution

approhe de (3.19).

Regardons maintenant omment se transforment les oprateurs direntiels usuels.

1. Lorsque les fontions sont une seule variable x, l'intgration par partie s'rit : ba

(x)u(x)dx =

ba

(x)u(x)dx+ [ u]ba

On en dduit : ba

(x)u(x)dx =

ba

(x)u(x)dx+ [ u]ba

2. Considrons maintenant des fontions deux variables (x, y) dnies sur le do-

maine V de frontire S dont la normale extrieure est ~n(nx, ny), nous avons les

relations suivantes :

V

u

xdxdy =

V

xu dxdy +

S

unx ds

V

u

ydxdy =

V

yu dxdy +

S

uny ds

V

2u

x2dxdy =

V

x

u

xdxdy +

S

u

xnx ds

V

2u

y2dxdy =

V

y

u

ydxdy +

S

u

yny ds

V

(2u

x2+2u

y2

)dxdy =

V

(

x

u

x+

y

u

y

)dxdy +

S

u

nds

V

(u u)dxdy =

S

(u

n u

n) ds

sahant que :

un

= ~gradu ~n = uxnx +

uyny

28

Exemple 1 :

Considrons l'EDP suivante :

2ux2

+ 2u

y2+ fv = 0 sur le domaine V

u = u1 sur la partie S1 de S (C.L. de Dirihlet)un

+ u = u2 sur la partie S2 de S (C.L. mixte)

(3.21)

Une solution u est admissible si elle est deux fois drivable et satisfait les onditions

aux limites. La forme intgrale forte s'rit :

W (u) =

V

(x, y)

(2u

x2+2u

y2+ fv

)dxdy = 0 (3.22)

Pour que u soit solution de (3.22) il faut qu'elle soit deux fois drivable et satisfasse les

onditions aux limites. La fontion de pondration n'est soumise auune ondition

de drivabilit.

La forme intgrale faible est obtenue en intgrant par partie :

W (u) =

V

(

x

u

x+

y

u

y fv

)dxdy +

S1

u

nds+

S2

u

nds = 0 (3.23)

Sous ette forme, u et doivent tre une fois drivable, ainsi une partie des ondi-

tions de drivabilit sur u a t transfere sur . Cela failitera la reherhe d'une

approximation de u.

En examinant les intgrales de ontour, nous pouvons inorporer les onditions aux

limites d'une manire direte. En eet :

1. Sur S1 on a : u = u1 et nous hoisirons = 0, ..d. nous ne alulerons pas

l'intgrale de ontour sur S1.

2. Sur S2 nous avonsun

= u2u, e que nous utiliserons pour aluler l'intgrale

de ontour sur S2.

Il vient :

W (u) =

V

(

x

u

x+

y

u

y fv

)dxdy +

S2

(u2 u) ds = 0

Finalement le problme se pose de la manire suivante :

Trouver u tel que :

u et une fois drivable,

u = u1 et = 0 sur S1

W (u) = V

(

xux

+ y

uy fv

)dxdy +

S2(u2 u) ds = 0

29

L'utilisation de la forme faible est un avantage onsidrable spique la mthode

des lments nis. D'une part elle permet de rduire les onditions de drivabilit sur

la solution approhe, et d'autre part elle permet de tenir ompte des onditions aux

limites d'une manire direte.

Exemple 2 :

Dterminer la forme faible de l'quation direntielle suivante : d

dx

(adu(x)dx

)+ cu(x) q(x) = 0 sur le domaine [0, L]

u(0) = u0(adu(x)dx

)L= Q0

(3.24)

o a = a(x), c = c(x), q = q(x), u0 et Q0 des donnes.

3.6.4 Disrtisation de la forme intgrale faible

An d'utiliser l'approximation par lments nis, le domaine V est d'abord par-

titionn en lments Ve. Sur haque lment la fontion approhe uh reherhe est

approxime par un polynme (voir setion 1.).

Aprs intgration par partie nous obtenons une intgrale sur le volume et une

intgrale sur la frontire. Erivons l'intgrale sur le volume sous la forme :

W1(u) =

V

(F(u) + fv) dV

Nous allons d'abord utiliser l'tape du maillage pour passer de l'intgrale globale une

somme d'intgrales lmentaires :

W1(u) =e

Vee (F(ue) + fv) dV

e

Posons :

W e(u) =

Vee (F(ue) + fv) dV

e

Nous allons alors disrtiser la forme intgrale lmentaire W e(u) et ensuite nous as-

semblerons es formes disrtes durant une phase appele "phase d'assemblage".

Deux hoses doivent tre xe e niveau :

1. Choisir le type d'approximation sur l'lment ;

2. Choisir les fontions de pondration .

30

En e qui onerne l'approximation, nous avons onvenu de hoisir une approximation

polynmiale sur haque lment :

ue =< N1 N2 NNNE >

u1

u2.

.

.

uNNE

(3.25)

o :

u1, u2, , uNNE dsignent les variables nodales, ..d. les valeurs de uh aux

nuds ..d. les inonnues.

Rappelons que la fontion d'approximationNi est nulle l'extrieur de Ve, dnie

uniquement partir des variables nodales de l'lment Ve, prend la valeur 1 au

nud i est zro sur les autres nuds de l'lment.

NNE dsigne le Nombre de Nuds par Elment.

Quant au hoix des fontions de pondration plusieurs possibilits sont oertes, par

exemple :

1. Mthode de olloation par sous domaine : sur haque lment Ve la fontion e

est gale la fontion indiatrie de Ve i.e. :

e(x) =

{1 si x Ve

0 sinon(3.26)

2. Mthode de Galerkin : La mthode de Galerkin est la plus utilise dans la litt-

rature et dans les appliations de la mthode des lments nis, elle onsiste

hoisir des fontions de pondration gales aux fontions d'approximation, soit :

e = ue =< N1 N2 NNNE >

u1

u2.

.

.

uNNE

(3.27)

o ui est une variation arbitraire de ui. La forme intgrale Wedevient :

W e =

Veue (F(ue) + fv) dV

e

= < ui >

(Ve{Nj}F(< Ni >) dV

e

){uj}+

Ve{Ni}fv dV

e

= < ui > ([kij] {uj} {fi})

31

Nous arrivons nalement l'tape d'assemblage qui onsiste rire la forme dis-

rte globale en sommant les formes disrte lmentaire :

W1(u) =e

W e =e

(< ui > ([kij] {uj} {fi})) = 0 (3.28)

Cette somme peut tre organise sous la forme matriielle suivante :

W1(u) = ([K] {U} {F}) (3.29)

Dnition 3.5 : La quantit R = [K] {U} {F} est appele rsidu globale.

3.6.5 Tehniques d'assemblage

Nous allons onstruire les matries globales [K] et {F} partir des matries l-

mentaires [k] et {f}. Appelons {U} les variables nodales globales et {u} les variables

nodales lmentaires. On a :

W1 =e

W e =e

< ui > ([kij ] {uj} {fj})

D'abord par expansion nous rivons W e sous la forme :

W e =< Ui > ([Kij ] {Uj} {Fj}) (3.30)

puis en sommant sur tous les lments et en rajoutant l'intgrale de ontour, nous

obtenons la forme globale :

W =< Ui > ([Kij] {Uj} {Fj}) = 0 (3.31)

La forme W est nulle quelque soit Ui, nous aurons don rsoudre le systme d'qua-

tions :

[Kij ] {Uj} {Fi} = 0 (3.32)

lorsque la matrie [Kij ] est indpendante des variables nodales Ui nous aurons un

systme linaire ; l'inverse, lorsque la matrie [Kij ] dpend des variables nodales Ui

nous aurons un systme non linaire.

Exemple :

32

3.6.6 Introdution des onditons aux limites

Les onditions aux limites de type Neumann ont dj t introduites dans la for-

mulation intgrale faible en annulant la valeur de l'intgrale de ontour sur la frontire

assoie. Il nous reste introduire les onditions aux limites de type Dirihlet. Elles

s'rivent sous forme globale : Ui = Ci, o Ci est une valeur relle donne. An de tenir

ompte de ette ondition, nous modions le systme (3.32), en mettant zro la ligne

i et la olonne i de la matrie [K], en xant Kii = 1 et en xant Fi = Ci.

33

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