LMT

Limit

Sadan ve Soldan Limit

zel Fonksiyonlarda Limit

Limit Teoremleri

Belirsizlik Durumlar

rnekler

NTE II

56

MATEMATK 5

BU BLM NASIL ALIMALIYIZ?

* n bilgi olarak lise II snf Matematik konusundaki trigonometri bilgisine ihtiyacnz olacak.

* Birinci blm ok iyi kavrayp bu blme geiniz.

* Tanmlar ok dikkatli okuyun.

* rnek ve zmlerini ok iyi inceleyin yazarak aln.

* Blm sonundaki deerlendirme sorularn zmeniz yararnza olacaktr.

Bu blm altnzda (bitirdiinizde),

* Bir fonksiyonun limitinin ne olduunu renip kavrayacaksnz.

* Fonksiyonun limiti varsa sadan ve soldan limitlerinin eit olduunu renecek ve kavrayacaksnz.

* zel fonksiyonlar gerek fonksiyon olarak yazp, limitlerine bakmayreneceksiniz.

* Limit teoremlerini kavrayp, zerinde ilem yapmay reneceksiniz.

* Trigonometrik fonksiyonlarn limitini kavrayp, problem zme yeteneinizi gelitireceksiniz.

* Limit hesaplarndaki belirsizlik durumlarn inceleyerek, her belirsizlik durumu iin ayr bir yoldan limit hesabn yapmay reneceksiniz.

BU BLM NELER AMALIYOR?

NTE II

LMT

Limit kavram ve tanm, kavram olarak eski olmasna karn, tanmlanmas vekullanlmas ok eski deildir. rnein limit nl teknii ile tanmlanmas vekullanlmas l Alman Matematikisi Eduard Heine (1821-1881) tarafndanolmutur. Limit fizik ve mhendislikte yaygn olarak kullanllr.

Limit kavramnn rencilere verilmesi, tantlmas, retilmesi ve renilmesi yle okadar da kolay deildir. Bunun iin, limitin tantlmasna nce sezgisel olarakyaklaalm. Daha sonra tam tanmn verelim.

f(x) fonksiyonu verilsin. x noktas bir a noktasna yeteri kadar yaklasn. x noktasnna noktasna reel eksen zerinde sadan ve soldan olmak zere, iki ynl yaklamvardr.

.a

Burada, x deerinin a deerine eit olmas gerekmez. Bir ok durumda, a noktas, f(x)fonksiyonunun tanm blgesinde olmayabilir. Yani, x noktas a noktasna (xa) sadanve soldan yaklarken f(x) fonksiyonu bir L saysna yaklayorsa f(x) fonksiyonununbu a noktasnda limiti vardr denir ve ksaca limit;

(x noktas a ya giderken f(x) fonksiyonunun limiti L dir, diye okunur.)

Eer x noktas , a ya yaklarken f(x) fonksiyonu bir L saysna yaklamyorsa,

f(x) fonksiyonunun limiti yoktur, diyeceiz.

Yukardaki aklamalar gsteriyor ki, f(x) fonksiyonunun x=a noktasna sadan ve soldan

yaklamlar iin , f(x) fonksiyonunun deerine eit olmas gerekir. Yani;

Aksi takdirde bu noktada limit yoktur diyeceiz.

57

MATEMATK 5

\

x - 1n

x + 1n

limxa f(x) = L ile gsterilir.

limxa- f(x) = L1 ve limxa+ f(x) = L2

L1=L2= L ise limxa f(x) = L dir.

rnek: y = x2 fonksiyonu iin , x noktas 2 deerine yaklarken, y deeri hangi deereyaklar? Bu durumda Reel eksen zerindeki bu 2 saysna sadan ve soldan deerlervererek yaklaalm.

x y = x2 x y = x2

1,5 2,25 2,9 8,41

1,7 2.89 2,5 6,25

1,9 3,61 2,1 4,41

1,99 3,9601 2,01 4.0401. . . .. . . .. . . .

Soldan yaklama Sadan yaklama

2.Soldan yaklama Sadan yaklama

Yukarda grld gibi x says, reel eksen zerinde gerek sadan ve gerekse soldan 2 saysna yaklarken y deeri de her iki hlde de 4 saysna yaklamaktadr.

yleyse olduu kolayca yazlr.

Benzer olarak deeri var mdr?

x f(x) = [|x|] x f(x) = [|x|]1,9 1

0,5 0 1,5 10,6 0 1,4 10,8 0 1,1 10,9 0 1,01 10.99 0 1,001 1

Soldan yaklama Sadan yaklama

Grld gibi, soldan yaklalrsa limit deeri 0, sadan yaklalrsa limit deeri

1 olmaktadr. O hlde,

58

MATEMATK 5

x2 = 4Limx2

Limx1

[|x|]

Limx1

[|x|] deeri yoktur denir.

AR, f : AR bir fonksiyon olsun. aR sabit bir say olmak zere, terimleri A-{a} kmesinde olan ve a ya yaknsayan her ( xn ) dizisi iin (f( xn )) grntdizileri bir LR saysna yaklayorsa. x, a ya yaklarken (xa iin) f fonksiyonunun limiti L dir denir ve limit;

rnek: f = RR, f(x)= x2 -1 fonksiyonu veriliyor. x, 1 e giderken fonksiyonun limitini bulunuz.

Yani,

zm: 1 e soldan yaknsayan dizisi iin,

Ayrca 1 e sadan yaknsayan dizisi iin,

O halde ;

olarak yazlr.

Pratik yntem ile , limitin var olduu kesin olarak biliniyorsa

59

MATEMATK 5

\Limxa f(x) = L biiminde gsterilir.

x2 - 1Limx1

nedir?

1 - 1n

f xn = (1+ 1n)2-1 = 1+ 2n +

1n2

-1

= 1n2

+ 2n = 1n2

+ 2. 1n 0

1 + 1n

limx1-

f(x) = limx1+

f(x) = 0 olduundan

limx1

f(x) = 0

limx1

f(x) = limx1

x 2 - 1 =12 - 1 = 0

f (xn) = (1- 1n )2 - 1 = 1 - 2n +

1n2

- 1 = 1n2

- 2n =1n2

-2 1n 0

2 - x2, x < 0 isernek: f: R R, f(x) =

3, x 0 ise

fonksiyonu veriliyor.

zm: 0 noktasna soldan yaklarsak, f(x) = 2 - x2

0 noktasna sadan yaklarsak f(x) = 3 alrz.

O hlde;

A R, f = AR bir fonksiyon olsun veA IR olsun.

60

MATEMATK 5

lim f (x)x0

deerini bulunuz.

lim f(x)x0-

= (2 -x2) = 2-limx0-

02 = 2

lim f(x)x0+

=lim 3x0+

=3

2 3 olduundan limit yoktur.

R+ iin x -a < (delta) olduunda f(x)- L < olacak biimde bir()R+ says varsa, xa iin f nin limiti L dir, denir ve f(x) = Llim

xaeklinde gsterilir.

\ R+ iin () R+ yleki x -a

Bu durumda |f (x) -L |

Paral fonksiyonlarda, paralanma noktalarnda (kritik noktalarda) sadan ve soldan limite mutlaka

baklmaldr.

rnek: f: RR f(x) =

zm:

rnek

62

MATEMATK 5

1. f (x) = f (x) = L ise f (x) = L dr.limxalimxa+

limxa-

2. f (x) f (x)limxa-

ise f (x) yoktur.limxalimxa+

3. h > 0 olmak zere, f (x) = f (a -h) ve f (x) =lim

xa+f (a+h) dir.lim

h0limh0

limxa-

4. f (x) varsa bu limit tekdir.limxa

x2 - 1, x < 0 ise2x+1, x 0 ise

f(x) nedir?limx0

f (x) = (x2 -1) =02-1 = -1limx0-

limx0-

f(x) = (2x+1) =2.0+1 =1limx0+

limx0+

- 1 1 O hldef (x) yoktur.lim

x0

ekildeki f (x) fonksiyonun x = 1noktasnda limiti var mdr? Varsanedir?

zm

rnek

ekildeki f(x) fonksiyonunun x = 1 noktasnda limiti var mdr? Varsa nedir?

zm

fonksiyonun limiti vardr. Limit deeri 1 dir.

Bir fonksiyonun x = x0 noktasnda limitinin olmas iin x = x0 noktasnda tanml olmas gerekmez.

ZEL FONKSYONLARDA LMT

Btn zel tanml fonksiyonlarn limiti aratrlrken, verilen zel tanml fonksiyon

paral fonksiyon olarak yazlmal, sonra sadan ve soldan limit deerlerine baklmal.

Eer verilen noktada sadan limit deeri soldan limit deerine eit ise 0 noktada limiti

vardr denir. Aksi hlde verilen noktada limiti yoktur deriz.

63

MATEMATK 5

f(x) =3limx1+

f(x) =2limx1-

3 2 olduundan f(x) yoktur.limx1

f(x) =1limx1+

f(x) =1limx1-

f (1) = Tanmsz

f(x) =1limx1

rnek:

zm: f(x) = Sgn(x -2) fonksiyonunu paral fonksiyon olarak yazarsak.

x - 2 = 0

x = 2

- 1 1 olduundan x = 2 noktasnda limit deeri

yoktur denir ve diye ifade edilir.

rnek:

zm:

olur. 4 3 olduundan limit yok.

rnek

64

MATEMATK 5

Sgn(x-2) = ?limx2

-1, x< 2 isef(x) = 0, x= 2 ise

1, x> 2 ise

f(x) =-1limx2-

f(x) =1limx2+

sgn (x -2) yokturlimx2

x + 2 = ?limx2+

f(x) = 4limx2+

f(x) = 3limx2-

x- 4 = ?limx4

f (x) = x+2 = x + 2x2+ x = 2x2- x = 1olduunu dnrsek

zm:

rnek:

zm:

rnek:

zm:

f (x) = x- 4 fonksiyonunu paral fonksiyon olarak yazalm. -x + 4 , x < 4 isex -4 = 0 , x = 4 ise x - 4 , x > 4 ise

f(x) = - x + 4 = - 4 + 4 = 0limx4-

f(x) = 4limx4

limx4-

f(x) = ( x - 4) = 4 - 4 = 0limx4+

limx4+

65

MATEMATK 5

xx = ?limx0

- 1 , x < 0xx =limx0 Tanmsz, x = 0

1 x > 0

f(x) = 1 = 1limx0+

limx0+

f(x) = ( -1) = -1limx0-

limx0-

1 -1 olduundan xxlimx0 yoktur.

cos xlimx

2

= ?

cos x, 0 x < 2

cos x = -cos x,

2 < x

cos x = (- cos x) = -cos 2

= 0limx(

2)+

limx(

2)+

cos x = (cos x) = cos 2

= 0limx(

2)-

limx(

2)-

O hlde (cos x) = 0limx(2)

rnek:

zm :

rnek:

zm :

LMT TEOREMLER

A R, f: AR ve g : AR iki fonksiyon olsun.

66

MATEMATK 5

f(x) =xx - Sgn 2x - 1 ise f (x) nedir?limx0-

f (x) = - 1 - Sgn [|2. - 0.001 - 1|] = -1 - Sgn ( -0,002 -1) = -1+1 = 0limx0-

f (x) = 1 - Sgn [|2. 0.001 - 1|] =1 -1 = 0limx0+

olduundan f (x) =0limx0

2 - x x2 - 4

+Sgn 3x + 4

x + 2 = ?lim

x2+

x 2+ iken 2-x = -2+x

Sgn (3x+4) = 1

x+2 = 4 dr.

f(x) = L1 , g(x) = L2 ve IR ise limxalimxa

1) fg (x) = f(x) g(x) = L1 L2limxa limxa limxa

2) f (x) = f(x) = . L1 limxa

limxa

3. f .g (x) = f(x) . g(x) = L1 .L2limxa limxa limxa

4) xA iin g(x) 0 ve L2 0 ise

fg(x) =

f(x) limxa

g(x) limxa

=L1L2

limxa

x-2(x-2) (x+2)

+Sgn 3x + 4

x + 2 =lim

x2+

= 14

+ 14

= 12

rnekler

TEOREM

rnek:

rnek:

rnek:

rnek:

67

MATEMATK 5

a) (2x +3) = 2x+ 3limx1

limx1

limx1

= 2.1 + 3 = 5b) 3x2 - 2x + 2 = 3x2 - 2x + 2lim

x1 lim

x1limx1

limx1

= 3 x2 - 2 x + 2limx1

limx1

limx1

= 3 (1)2 - 2. (1) + 2

= 3 - 2 + 2 = 3

c) x2+4

x - 2 =

x2+4limx1

x - 2limx1

= 1+41 -2

= 5- 1

= - 5limx1

d) 3x + sgn x2- 1 + [| x - 12

|] limx2

= (3x) + sgn (x2 - 1) + [| x - 12

|]limx2

limx2

limx2

= 6 + 1 + 1 = 8

1. f(x) =| f(x)| dir.limxa

limxa

2. cf(x) = cxalim f (x)

limxa

3. a) n bir ift doal say ve f(x) 0 ise f(x)

nlimxa

= f(x)limxa

n

b) n bir tek doal say ise f(x)

nlimxa

= f(x)limxa

n dir.

4. logb f(x)limxa =logb f(x)limxa dir

x-2 = x-2 = 0limx2

limx2

3x2=

limx2

3x2 limx2 = 34 = 81

xlimx4

= lim xx4

= 2

x2 -13

limx2

= x2 -1limx2

3 = 33

rnek:

AR ve f : AR bir fonksiyon olsun.1. (xn), (xn) iin (f(xn)) L1 ise x iin f fonksiyonunun limiti L1 denirve

2. (xn), (xn) iin (f(xn)) L2 ise x iin f fonksiyonunun limiti L2 denir ve

rnek:

rnek:

Teorem:

rnek:

68

MATEMATK 5

(lnx) = ln lim xxe

limxe

= lne = 1

(f (x) = L1limx

biiminde gsterilir.

f (x) = L2limx -

eklinde gsterilir.

1x = 0limx

2+x1-x

= - 1 + 31- x

limx

limx

= (- 1) + 3-1+x

limx

limx

= -1 +0 = -1a < 1 ise ax = 0 dr.lim

x

13

x = 1

3x = 0lim

x lim

x

\

x +2-x +1

= -1 + 3-x + 1

Geniletilmi reel saylarda ilem ve zellikleri:a olsun1) a. = 2 ) + =

3 ) = belirsiz

4 ) - = belirsiz5 ) - a = 6 ) 0 = belirsiz7 ) 00 = belirsiz

Polinom eklindeki ifadelerde x iin limit hesabkR, nN +

f(x) = axn + bxn-1 +cxn-2 + ....+ kf (x) = a + bx +

cx2

+ ...... + kxn

= n. alim xnx

limx

Pratik kuralp(x)Q(x)

, Q (x) 0limxEer, der p(x) > der Q(x) ise limitin deeri veya - dur.Eer, der p(x) = der Q (x) ise en byk dereceli terimlerin katsay-larnn blmEer der p (x) < der Q(x) ise limitin deeri 0 dr.

TRGONOMETRK FONKSYONLARIN LMT

Teorem: a,b,cR olmak zere,

3- 9 aras ifadelerin anlamlar trev konusunda l Hospital kural ile daha iyi anlalacaktr.

BELRSZLK DURUMLARI

Limit hesaplamalarnda ,

69

MATEMATK 5

1. sin x = sin alimxa

2. cos x = cos alimxa

3. xsin x

= 1limx0

4. sin xx = 1limx0

5. tanxx = 1limx0

6. tan bxsin cx

= bc limx0

7. sin bxsin cx

= bc limx0

8. tan bxtan cx

= bc limx0

9. sin bxtan cx

= bc limx0

00

, , 0., - , belirsizlik durumlarn grelim

f(x)g(x)

iinf(x)lim

xa

g (x)limxa

= 00

olmas durumunda pay ve payda da (x-a) arpanlimxa

var demektir.

A) 00

biimindeki belirsizlikler.

Pay x - a). f1 (x) payda da (x -a) . g1 (x ) eklinde arpanlarna ayrlrsa

hline gelir. Eer yine hlinde ise ayn yol ile pay ve payda arpanlarna ayrlr.

rnek:

rnek:

rnek:

durumunda pay ve payda en yksek dereceli x parantezine alnp ksaltmalar yaplr velimit hesabna geilir.

rnek:

70

MATEMATK 5

f (x)limxa

g (x)limxa

=(x -a) f1 (x)limxa (x- a) g1(x)limxa

=f1 (x)limxag1(x)limxa

00

x2 - 4x - 2

= 4 - 42 - 2

= 00

belirsiz.limx2

(x -2) (x + 2)x - 2

= x + 2 = 4limx2

limx2

x2 - x - 2x + 1

=-1 2 - -1 - 2

-1 +1 = 1 + 1 - 2

0 = 0

0 belirsiz.lim

x-1

(x +1) (x - 2)x + 1

= x - 2 = -1 - 2 = - 3limx-1

limx-1

y3 - x3

y2 - x2 =

y3 - y3

y2 -y2 = 0

0 lim

xy

(y -x) y2 + yx + x2

(y- x) (y + x) =

y2 + yx +x2y + x =

y2+y2+y2

2y lim

xy lim

xy

=3y2

2y = 3

2 y

B) biimindeki belirsizlikler.

f (x)g (x)

iin f (x)lim

x

g (x)limx

= limx

x2+xx2 - x

= x2+xx2 - x

= o hlde,limx

x2+xx2 - x

= x2 1 + 1x

x2 1 - 1x lim

x=

1 + 1xlimx1 - 1xlimx

=1 + 1xlimxlimx1 - 1xlimxlimx

= 1+01- 0

= 1limx

1x = 0 limx

rnek:

rnek:

C) - BMNDEK BELRSZLK

rnek:

zm

71

MATEMATK 5

3x4- 7x2+33x2 - 5x + 7

= o hlde,limx

x4 3 - 7x2

+ 3x4

x2 3 - 5x +7x2

=x2. 3 - 7

x2 + 3

x4 lim

x

3 - 5x +7x2

limx

limx

=3x2 - 7

x2 + 3

x4 lim

xlimx

limx

3- limx

5x +

7x2

limx

limx

= - 0 + 03 - 0 + 0

=3

=

x2+ 1x -1

=- limx-

x2 1 + 1x2

x . 1- 1x =

- 1+01-0

= - limx-

f (x) - g (x) iin f(x) - g (x)limx

= - durumunda f (x)limx

limx

ifadesi, elenii olan f (x) + g (x) ifadesi ile arplp blnrse 00

veya belirsiz-

lii ile karlalr. Bundan sonra, nceki yntemlerle limit bulunmaya allr.

x - x ifadesini bulunuz.limx

x - x = - o hlde,limx

limx

(x - x ) (x + x )(x + x)

= x2 - x

x + x = bulimx limx durumdan sonra nceki

yntemlerle

x2( 1 - 1x )

x (1 - x-12 )

= 1-0

1-0 = lim

x

-+ -+ -+

rnek:

zm:

rnek:

zm:

D) 0. BMNDEK BELRSZLKLER

rnek:

zm:

72

MATEMATK 5

2x2-1

- 1x - 1

ifadesini bulunuz.limx1

2x2-1

- 1x - 1

= - O hlde,limx1

limx1

2x2-1

- 1x - 1

( x +1) 2 - x - 1

x2-1 = - x + 1

x2-1 = 0

0 lim

x1 lim

x1 lim

x1

- (x - 1)(x - 1) (x + 1)

= -1x + 1

= - 12

limx1

limx1

x - 2x - 1 deerini bulunuz.limx

x - 2x - 1 = - o hlde elenii ile arpp blelim.limx

limx

x - 2x - 1 x + 2x - 1

x + 2x - 1 =lim

x

= x2 - 2x +1

x + 2x - 1 = bulunur.limx

x2 1- 2x +

1x2

x 1 + 2x -1x2

= x = lim

x lim

x

f (x) . g(x) iin f (x) . g (x) = 0. olmas durumunda bu belirsizliklimxa

limxa

limxa

f (x) . g (x) =g (x)

1f (x)

ya da f (x)

1g (x)

hlinde yazlrsa ya da

00

limxa

limxa

limxa

belirsizlikleri hline dntrrz.

1x . x

2 -1 limitini bulunuz.limx

1x x

2 -1 1x x2 -1 = 0. o hlde,lim

xlimx

1x x

2 -1 =x2 1- 1

x2

x = 1 -1 = limx limx

zm: x - 11+ x

=-1 - 1

1 + (-1)+ =

-20+

= - x - 11 + x

x - 11 + x

limx(-1)-

limx (-1)+

limx(-1)+

x - 11 + x

=-1 - 1

1+ (-1)- =

-20-

= + limit yok.limx (-1)-

LMTE AT RNEKLER

zm:

73

MATEMATK 5

1) 1x deeri var mdr?limx0

1x = + ,

1x = - limx0- limx0+

1x =

1x

1x yoklimx0 limx0-

limx0+

2) 1 + x2x

= ?limx0+

zm: x > 0 2x = 2x; 1+ x

2x = 1+ 1

2 = 3

2limx0+

3) 1+ x2x

= ?limx0-

zm: x < 0 ise 2x = - 2x

1+ x2x

= 1+ x-2x

= 1- 12

= 12

limx0-

4) x - 11 + x

deeri var mdr?limx -1

5) x2

x deeri var mdr?limx 0

zm: x2 x =x x limx 0 limx0

x > 0 ise x = x x < 0 ise x = - x dr.

o hlde, xx = 1limx0+

xx = -1limx0-

xx

xx = olduundan limit yok.limx0-

limx0+

olduundan

74

MATEMATK 5

6) Sgn x + (2x-1) deeri var mdr?limx0

zm: Sgn x + 2x - 1 = Sgn [|0+|] + 2. 0 -1limx0+

=0 - 1 = -1 Sgn x + 2x - 1 = Sgn [|0-|] + 2 0 - 1lim

x0-

= Sgn (-1) + (-1)

= - 1 - 1 = - 2 - 1 - 2 o hlde limit yok.

7)x-2x-2

+Sgn x ifadesini hesaplaynz.limx2+

zm: (x - 2)x - 2

+ Sgn x = (1 + Sgn x)limx2+

limx2+

= 1 + Sgn (2+) = 1+ 1 = 2

8) 1+21x deeri var mdr?lim

x0

zm: 1 +21x = 1+ 2

10+ = 1 + 2 = 1+ = lim

x0+

1 +21x = 1+ 2- = 1 + 1

2 = 1 limit yoktur.lim

x0-

9) x2 - 6x + 9

x2 - 2x - 3 ifadesini hesaplaynz.lim

x 3

10) x - 12x - 2

ifadesini hesaplaynzlimx 1

zm: 1 - 12 - 2

= 00

= belirsiz.

x - 12 . ( x - 1)

= 12

= 12

= 2 2

limx 1

limx 1

zm: 32 - 6.3 +9

32 - 2.3 -3 = 0

0 belirsiz.

(x - 3) (x - 3)(x - 3) (x +1)

= x - 3x + 1

= 0 4

= 0limx 3

limx3

75

MATEMATK 5

11) 3+x - 2x2-1

ifadesini hesaplaynz.limx 1

zm: 3+x - 2x2 -1

= 00

belirsiz.limx 1

( 3+x - 2) ( 3+x + 2)

(x2 -1) ( 3+x +2) = 3 + x - 4

(x2 - 1) ( 3 + x + 2 lim

x 1limx 1

=(x -1)

(x - 1) (x + 1) ( 3+x +2) = 1

(x + 1) ( 3+x + 2) = 1

2 (2+2) = 1

8limx 1

limx 1

12) 2x2- 3x+1

5x4-2x + 1 ifadesini hesaplaynzlim

x

zm: 2x2- 3x+15x4-2x + 1

= belirsizlimx

x2 2 - 3x +

1x2

x4 5 - 2x3

+ 1x4

= 2-0+02 5-0+0

= 2 = 0limx

13) xcos x deeri var mdr?limx2

zm: xcos x =2

cos (2)+

=

2

0+ = +lim

x(2

)+

xcos x =2

cos (2)- =

2

0- = -lim

x(2

)-

xcos x yoktur.limx(2

)

15) cos xx deeri var mdr?limx0

zm: cos xx =cos (0+)

0+ = 1

0+ = lim

x0+

cos xx yoktur.limx0

cos xx =cos 0-

0- = 1

0- = - lim

x0-

ZET

Bu blmde, aadaki durumlar rencilere verilmeye allmtr:

1. Limitin tarihesi, limite sezgisel yaklam ve limitin tanm verilmitir.

2. Limitde sadan ve soldan yaklamann ne olduu anlatlarak rneklerlepekitirilmitir.

3. Limitin var olup olmadn anlamak iin - (Epsilon- Delta) teknii rencilere tantlmtr.

4. Sadan ve soldan limitin tanm verilerek ve gerekli uyarlarda bulunduktansonra rneklere geilmitir.

5. zel fonksiyonlarn limitinin nasl alnaca rencilere anlatlm, ilgilirneklerle limit konusu aklk kazanmtr.

6. Limit teoremleri verilip, pekitirmek iin rneklere bavurulmutur.

7. Limitte belirsizlik durumlar verilip, ilgili rneklerle baz belirsizlik durumlar iin limit alnmtr.

76

MATEMATK 5

DEERLENDRME TEST 2

A) 4 B) -3 C) -2 D) 1

A) -2 B) -1 C) 0 D) 1

A) -1 B) 0 C) 1 D) 2

4) ekildeki f (x) fonksiyonun grafii verilmitir.Buna gre x = 1 noktas iin ne sylenir?

a) x = 1 noktasnda limit yoktur.

b) x = 1 noktasnda limit vardr.

c) x = 1 noktasnda limit vardr ve 2 dir.

d)

A) 0 B) 1 C) 2 D) limiti yoktur.

77

MATEMATK 5

1) 5-3x2

deeri aadakilerden hangisidir?limx3+

2) f (x) = sgn (x2 - 3x - 4) + 1 ise f (x) deeri aadakilerden hangisidir?limx4-

3) f : R R f (x) = x2+ 1, x < 0 ise 2x + 1 , x 0 ise f (x) deeri aadakilerden hangisidir?lim

x0

f(x) = 3limx1-

5) sin x deeri aadakilerden hangisidir?limx

2

6) 3x2+5

x - 3 deeri aadakilerden hangisidir?lim

x

A) e B) 12

C) 0 D)

7) ( x -x) deeri aadakilerden hangisidir?limx

A) 0 B) - 1 C) 1 D) -

y

DEERLENDRME TESTNN ZMLER

Doru cevap B

2)

Doru cevap C

Doru cevap C

Doru cevap A

Doru cevap B

sin x 0 < x < 2

5) sin x = -sin x

2 < x <

=lim

x2

sin x = sin x = sin 2

= 1limx

2

78

MATEMATK 5

1) [|5 - 3+

2|] = - 3lim

x3+

x4+ x2 - 3x - 4 < 0 dr.Sgn x2 - 3x - 4 = - 1 f (x) = - 1 + 1 = 0limx4-

3) x2 + 1 = 1limx0-

2x + 1 = 1limx0+

4) f (x) = 2limx1-

2 3 limit yok. f (x) = 3lim

x1+

Doru cevap D

Doru cevap D

79

MATEMATK 5

6) I. Yol der 3x2 + 5 > der (x-3) olduundan 3x

2 + 5x -3

= limx

II. Yolx2 3+ 5

x2

x 1 - 3x

= 3+0

1-0 = lim

x

7) - biiminde,

( x - x) . ( x +x)

x +x = x - x

2 x +x

= biiminde belirsiz.limxlimx

x2 1x -1

x 1x

+1 =

0-10+1

= - limx

80

MATEMATK 5