camada limite de temperatura com gradiente de · tese submetida ao corpo docente da coordenaÇÃo...
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CAMADA LIMITE DE TEMPERATURA COM GRADIENTE DE
PRESSÃO ADVERSO
Márcio Valério Oliveira
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS
DE PÕS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO
DE JANEIRO COMO PARTE DOS RESQUISITOS NECESSÃRIOS PARA A OB
TENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CitNCIAS (M.Sc.)
Aprovada por:
/
,/
Prof~ ·Maftin Schmal (Presidente)
Plof. Leopoldo E.G. Bastos
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
JUNHO DE 1976
i
Para
Lucia
Eduardo e Isabel
nesta ordem.
i i
AGRADECIMENTOS
O presente trabalho deve ao permanente apoio~ e cola-
boração do Prof. MARTIN SCHMAL a sua produção. Mais que um agr~
decimento especial ê aqui prestado um sincero reconhecimento a sua
engenhosidade, talento e intuição que nos permitiram desenvolver
este simples e singular trabalho.
São feitos agradecimentos ao Programa de Engenharia Me
cânica da COPPE através de seus coordenadores, professores e col~
gas pelo interesse e estímulo. A CRUZEIRO, pelo apoio que nos Pºl
sibilitaram a realização do curso e deste trabalho.
Agradecemos, por fim, aos familiares a compreensao e p~
ciência que tiveram para conosco durante todo este tempo e ã BIA
pelo excelente trabalho de datilografia.
i i i
RESUMO
A equaçao da energia da camada limite de Prandtl e re -
solvida pelo método integral com a utilização de um perfil deve
locidades biparamétrico, polinomial e de grau variãvel sugerido
por Geropp e um perfil de temperatura baseado no perfil proposto
por Van Driest e corrigido para as considerações de existência de
gradientes de pressão.
A camada limite compressível laminar em presença de gr~
diente de pressão adverso é analisada utilizando as equações inte
grais da quantidade de movimento e da energia térmica.
Um método para o cãlculo da camada limite em função do
numero de Mach, temperatura uniforme da parede e determinada dis
tribuição de sucção é aqui desenvolvido.
Os resultados obtidos neste trabalho estão de acordo com
as soluções exatas existentes ou soluções aproximadas precisas que
utilizam uma diferente formulação da solução dos· próblemas ·de
transferência de calor e mostram que a solução da equação da ener
gia com a utilização de um parâmetro de correção para os efeitos
de gradiente de pressão e temperatura constituem um meio eficien
te e de grande simplicidade matemãtica para a resolução destes p~
blemas.
iv
ABSTRACT
The Prandtl 's boundary layer energy equation has been
solved by integral methods using a polinomial biparametric velo
city profile with variable exponent as suggested by Geropp and a
temperature profile presented by Van Driest which is modified to
consider the presence of the pressure gradient.
The compressible laminar boundary layer in an adverse
pressure gradient is analyzed on the basis of the momentum and
thermal integral equations.
A method of calculating the boundary layer as function
of the Mach number, uniform wall temperature and finite suction
distribution is developed.
The results obtained agree with the availables exact
soluctions and the accurate approximate methods using different
approach to solve the heat transfer problem and show that the
solution of the thermal energy equation with the parametric cor
rection of the pressure and temperature gradient are a mathemati
cally simple and fast way to solve that problem.
V
INDICE
Pâg.
CAPITULO I - Introdução ................................... l
I.l Definição do Problema .................... l
I.2 Caracterização do Flufdo ................ 5
I.3 Geometria da Interface .................. 7
I.4 Modelo Fi"sico ........................... 9
I. 5 O Campo de Temperaturas ................. 11
I.6 Revisão Bibliogrâfica ................... 12
CAPITULO II - Formulação Anali"tica ........................ 17
II.l As Equações de Navier-Stokes ............ 17
II.2 As Equações de Prandtl .................. 18
II.3 Condições de Contorno ...........•....... 20
II.4 Condição de Compatibilidade na Parede ... 20
II.5 Condição de Sucção ...................... 27
II.6 Equações Integrais ...................... 28
CAPITULO III - Perfil de Velocidades ......... .•......•...... 42
III.l Determinação do Perfil .................. 42
III.2 Coeficientes do Perfil de Velocidades .... 45
III.3 Coeficiente de Arraste e Dissipação ..... 46
III.4 Parâmetros do Perfil de Velocidades ....• 48
CAPITULO IV - Perfil de Temperaturas ....................... 51
IV.l Determinação do Perfil .................. 51
IV.2 Coeficientes e Parâmetros do Perfil ..... 52
CAPITULO V - Velocidade e Temperatura do Escoamento Externo .54
vi
V. 1 Velocidade no Escoamento Externo ........ 54
V. 2 Temperatura no Escoamento Externo ....... 55
CAPfTULO VI - Determinação das Grandezas ................... 57
VI. 1 Coeficientes e parâmetros do Escoamento .. 57
VI.2 Transferência de calor e nümero de Nusselt. 67
CAPTTULO VII - Solução do Sistema de Equações ............... 70
VII.1 Sistema de Equações ..................... 70
VII.2 Método de Solução ....................... 74
CAPITULO VIII - Método Computacional ......................... 78
VIII. 1 Funções para Iteração .................. 78
VIII.2 Valores Iniciais ........................ 83
VIII.3 Condição Final .......................... 84
VIII.4 Processo de Iteração ................... 85
CAPfTULO IX - Conclusões ................................... 88
IX.1 Resultados e Discussão .....•............ 88
IX.2 Conclusões e Sugestões .................. 91
BIBLIOGRAFIA ................................................ 99
NOMENCLATURA ............................................... -102
APÊ'.NDICES
I - Perfil de Temperatura, de Velocidade e seus Cóefi'ci entes ................................. 109
II - Determinação dos Coeficientes de Arraste e Ois sipação ......................•............... 113
III - Solução das Equações Diferenciais ......•..... ]16
vii
IV - Determinação das Equações Integrais ........... 119
V - Simbologia para Codificação ................... 123
1
CAPTTULO I
INTRODUÇ~O
I.l - Definição do Problema.
Na resolução de problemas que envolvem transferência de
calor é fundamental a consideração da propriedade energia que é~
tilizada na Mecânica e na Termodinâmica para auxiliar a especifi
cação do estado de um sistema. Como sabemos, a transferência de e
nergia através dos contornos de um sistema termodinâmico ê feita
em forma de calor ou de trabalho.
A transferência de calor e a expressao usada para in-
dicar a transferência de energia devido a uma diferença de tempe
ratura. Define-se taxa de transferência de calor como a energia
térmica transferida na unidade de tempo e fluxo de calor com a ta
xa de transferência de calor por unidade de ãrea. O cálculo das
taxas de transferência de calor locais requer o conhecimento da
distribuição de temperatura local que provê justamente aquele PQ
tencial necessário ã transferência de calor.
A forma mais comum com que se apresentam os problemas de
transferência de calor ê aquela em que a transferência de energia
se faz através de uma superfície. A interface que forma a superff
cie pode vir a tomar as mais diversas formas sendo as mais comuns
as interfaces entre um sólido e um líquido ou um sólido e um gas.
No caso de interface sólido-sólido temos resistências de contato
2
que afetam a transferência de calor entre os 2 sólidos. r de gra~
de interesse a interface entre um líquido e um gás no caso de co~
portamente bifásico como as associadas com evaporação, ebulição e
cavitação.
Na, matoria~cdas· ·vezes a análise da transferência de
calor através de uma interface deve considerar os três métodos de
transferência de calor, a saber: radiação, condução e convecçao ,
pois em geral, a temperatura de uma superfície e os gradientes de
temperatura da interface são controlados pelos efeitos combinados
dos 3 modos de transferência de energia, a saber: radiação, cond~
çao e convecção térmica. No presente trabalho, os efeitos devidos
ã radiação térmica nao são considerados.
•. • E ·sendo o ar o fl~ido do meio circundante, os mo
dos condutivo e convectivo de transferência de calor serão consi
derados em série e são estes dois modos a forma convectiva de ca
lor. Isto porque no caso em questão, como em grande parte das si
tuações, a velocidade do fluido relativa ã superfície da interfa
ce e zero. Desta maneira, a condução molecular na interface deve
prover o mecanismo de transferência de energia para o fluido. A
pós a condução desta energia para longe da superfície sólida, o mo
vimento convectivo do fluido provê um segundo mecanismo para a
transferência de energia.
Como sabemos, o movimento do fluido sobre uma superfí -
cie depende da geometria desta superfície, das propriedades do
fluido e da velocidade do escoamento. t devido ã geometria parti
cular da superfície que gradientes de pressao são originários e
vão afetar diretamente a velocidade de escoamento do fluido.
3
No presente trabalho nos restringiremos ã transferência
de calor em uma superfície sob condições permanentes, isto é, em
·que o perfil de temperaturas não serã função do tempo. Serã consl
derada apenas a convecção forçada, sendo o movimento do fluído cau
sado por uma fonte externa.
Deve ser assinalado que a consideração de um sistema te~
modinamicamente em equilíbrio permite definir propriedades como
temperatura, pressão, entalpia. A consideração da transferência CE
calor requer um gradiente de temperatura para prover o necessãrio
potencial. O que permite aplicar os conceitos de equilíbrio termo
dinâmico a processos que envolvem taxas de não equilíbrio como
transferência de calor e o conceito de equilíbrio termodinâmico lQ
cal. Para tal, teremos que considerar a matéria como um continuum
em que temos um grande numero de diferentes sub-sistemas compon
do um sistema finito que pode ou não estar em equilíbrio termodi
nâmico. Todas as propriedades termodinâmicas são definidas em ca
da ponto (sub-sistema) dentro de um sistema finito em cada instan
te de tempo. Cada sub-sistema e tratado como um sistema em equil!
brio termodinâmico. Embora cada sub-sistema deva ser bastante p~
queno para ser aproximado por um sistema em equilíbrio, deve ser
bastante grande para ser descrito com precisão por conceitos ter
modinâmicos macroscõpicos.
Na maioria dos casos estes conceitos sao apropriados d~
vendo ser feita uma anãlise mais detalhada no caso em que temos a
presença de ondas de choque, casos em que o processo se caracter!
za por ter o seu tempo igual ao tempo de relaxação (tempo neces
sãrio para o sistema readquirir equilíbrio apõs súbita mudança em
4
uma de suas propriedades). No presente trabalho os modelos de con
tinuum da matéria e equilíbrio termodinâmico local são considera
dos. Ele consiste fundamentalmente na solução da equação da ener
gia com a aplicação dos métodos aproximados. Aqui, além das equa
ções integrais da quantidade de movimento e de energia mecânica ,
na sua forma mais geral para os fluídos compressíveis, sera utili
zada a equação integral de energia térmica e a consideração dos
perfís de velocidade e de temperaturas que melhor parecem tradu -
zir os efeitos dos gradientes de pressão e de temperatura.
A pesquisa de literatura existente, conforme serã visto
adiante (1.6) nos levaram a verificar que, embora extensa, a uti
lização dos métodos integrais na solução das equações do movimen
to e da energia, sua aplicação aos casos em que estão presentes
gradientes de pressão adversos sao muito poucos, como sao: poucos
os casos em que se considera a transferência de energia na prese~
ça destes gradientes acrescido das variações de propriedades do
fluído em estudo. Isto porque as dificuldades que surgem, mesmo se
tratando de métodos aproximados, são muito grandes e conduzem, p~
ra a sua solução, a simplificações que chegam a descaracterizar o
problema a ser resolvido.
A utilização dos métodos integrais, como feita neste tr~
balho, bem como de perfís de velocidade e de temperaturas conveni-
entes~·permite reduzir estas simplificações a um mínimo. Devemos
assinalar, por fim, que no caso de fluídos compressíveis, os efei
tos de aquecimento termodinâmico devido ao escoamento do fluído ,
devem ser observados. Para escoamentos transõnicos oú supersõnicos
o fenômeno do aparecimento de ondas de choque vão influenciar a ca
5
mada limite com efeitos também no escoamento livre. No presente
trabalho estes efeitos não foram considerados, limitando-se ao es
coamento de baixa velocidade. Nestes, para pequenos valores do nu
mero de Mach, o escoamento de gases em um corpo isolado apresen
ta transferência de calor desprezível. Isto se deve ao fato do t'!_
balho de cisalhamento viscoso ser pequeno. Jã para maiores nume -
ros de Mach, este efeito é importante e a anãlise do comportamen
to da camada limite deve considerar não apenas as equaçoes da qua.!!_
tidade de movimento e da energia mecânica D] mas também a equa
ção de energia térmica.
I.2 - Caracterização do Fluido.
t de fundamental importância para a correta caracteriza
çao do problema, a especificação do tipo de flui.do utilizado. Is
to porque o comportamento do escoamento ê diretamente influencia
do pelas caracteristicas e propriedades do fluido utilizado.
Entre estas características, sobressai aqui inforrna·sQ·
bre !O comportamento do fluido real quando se desloca em determina
da direção, a saber, a sua natureza reolÕgica, definida pela sua
viscosidade. O primeiro modelo a descrever o comportamento reolõ
gico de um fluido viscoso foi aquele proposto por Newton:
·as tensões normais e tangenciais experimentadas por um
elemento de fluido são diretamente proporcionais ãs taxas de de
formação dos mesmos.
São os chamados fluidos newtonianos e neles é possível
estabelecer a relação entre a tensão de cisalharnento segundo urna
6
determinada direção e o gradiente de velocidades perpendicular a
esta direção, a saber: ÕU
µõy
Aqui, 'yx e a tensão de cisalhamento segundo o eixo
dos~. µ a viscosidade dinâmica e u a velocidade do fluido na
direção x. A viscosidade e função da temperatura e numerosas sao
as relações propostas para descrever o seu comportamento com as
variações de temperatura.
Um outro modelo ê o chamado "Power-Law". Aplica-se nos
casos dos chamados fluidos não-newtonianos, nos quais não se veri
fica a proporcionalidade entre 'ix· e é) u - õy
Como exemplo temos a equaçao de Ostwald-de Waele,[3] bi
-paramêtrica, conforme abaixo:
ÕU n-i ÕU
'YX = -m • õy õy
No caso de n = 1 ela se reduz ao caso do fluido newto
niano com m = µ.
Valores de n inferiores â unidade caracterizam o com
portamento pseudoplãstico e valores superiores a l o comportamen
to dilatante. Experiências demonstraram que todos os gases se com
portam como fluidos newtonianos e tambêm lfquidos homogêneos nao
polimêricos. E que a viscosidade dos gases de baixa densidade au-
menta com o aumento da temperatura e a viscosidade dos
diminui com o aumento da temperatura.
lfquidos
7
I.3 - Geometria da Interface.
Considera-se o escoamento de umnfluido newtoniano exter
namente· a üm "ci 1 indro de ·seção· circul~~; O fluido é consi
derado compressivel e se encontra a uma determinada temperatura .
·E~te cilindro tem sua superficie externa a uma temperatura
constante.
O estudo do escoamento externo a um cilindro circular é
um problema clássico, abordado inicialmente por Blasius em 1908,
sendo posteriormente estudado por Hiemenz e Goertler. Uma aprese~
tação interessante destes estudos e da bibliografia citada é fei
ta no trabalho de FIGUEIREDO [1], que aborda o escoamento para fll!!_
do incompressivel, não newtoniano. Com o intuito de facilitar o
acompanhamento deste trabalho, um breve resumo é aqui apresenta
do.
Na consideração do escoamento externo a um cilindro cir
cular, deve ser observado que a influência do numero de Reynolds
é bastante grande. Baixos nümeros de Reynolds acarretam efeitos
viscosos até grandes distâncias da parede do cilindro. No caso de
altos valores do numero de Reynolds existe a formação de vórtices
na superficie do cilindro a uma determinada distância do ponto de
estagnação frontal.
Na faixa 10 2 < Re < 10 5 o escoamento é laminar até es
te ponto que permanece estacionãrio. Para Re >> 10 5 o escoamento
se torna completamente turbulento.
t de grande interesse a determinação do ponto em que se
inicia a formação dos vórtices, pois ele caracteriza o ponto de
8
separaçao do escoamento laminar da parede. Sua determinação expe
rimental e analítica foi feita por Hiemenz, em 1911, para o cilin
dro circular, a partir de uma distribuição de pressão obtida exp!
rimentalmente.
Em princípio, esta distribuição de pressoes nao e a do
escoamento potencial. O escoamento no caso de uma superfície cilín
drica apresenta características especiais como sejam, o seu reta!
damento na parede devido ao atrit~. seu impulsionamento pelas cam!
das mais externas devido ao efeito de viscosidade e seu retarda -
mento por gradientes de pressão adverso.
As considerações do atrito e da viscosidade sao feitas a
penas em uma estreita faixa prÕxima ã parede. Deve ser observado
que aí temos igualmente aplicadas as forças de inércia e de pre~
sao.
No caso de elevados valores do numero de Reynolds pode
mos aplicar a teoria da camada limite ao escoamento.
Quando aplicamos a teoria potencial ao escoamento exter
no a um cilindro circular obtemos como ponto de pressão mínima, o
ponto correspondente a eº= 90°, isto é, a partir deste ponto o
escoamento passa a ter um gradiente de pressão adverso. Este fato
não é confirmado pela experiência com fluidos reais em escoamento
permanente, quando são considerados diversos valores do nümero de
Reynolds e de raios do cilindro [7]. Observamos jã a partir de
eº= 70° medido a partir do ponto de estagnação central um valor
mínimo para a pressão. Segue-se um aumento de pressao e entre eº=
80° e eº= 120°, hã uma estabilização quando permanece constante
até eº= 1so0•
9
A variação da localização do ponto de pressao ~ . m1n1ma e
mais acentuada na faixa de número de Reynolds críticos, como se
ja, 10 5 < Re < 2,5 x 10 7 [7], pois aqui hã uma grande instabili
dade no escoamento, o que ê característico da transição do escoa
mento laminar para turbulento.
O trabalho experimental de HIEMENZ, GOERTLER, GEROPP ~],
[19], mostrou haver separação para eº= aoº, enquanto que a solu
ção de Blasuis utilizando a distribuição de pressão da teoria p~
tencial apresenta o valor es = 108.8° [12], medidas a partir do
ponto de estagnação frontal.
Outro ponto a ser considerado no exame da utilização de
uma distribuição de pressões da experiência, ê que a teoria pote~
cial não considera que hã separação no escoamento.
I.4 - Modelo Físico.
Considera-se o escoamento de um fluido compressível ex
ternamente a um cilindro circular, escoamento este perpendicular
ao eixo do cilindro.
O problema sera tratado a duas dimensões e as trocas de
calor entre o fluido e a parede do cilindro são objeto de inve~
tigação sendo pesquisada a influência da sucção no comportamento
do perfil de velocidades e do campo de temperaturas.
Para a abordagem do problema no método integrél e utili
zando um perfil bi-paramêtrico para o perfil de velocidades e ne
cessãrio considerar a parede do cilindro ã temperatura constante
Ua,
Ta,
e v-
10
T,l
FIG. ( t. 1 ) - ESQUEMA REPRESENTATIVO
DO MODELO FÍSICO
11
visto que a determinação dos parâmetros do perfil de velocidades
exigem que a condição de compatibilidade na parede seja utilizad~
conforme veremos no desenvolvimento da teoria.
O fluido considerado e um fluido newtoniano e a sucçao
aplicada na superfície do cilindro não afeta o escoamento externo.
Despreza-se a ação do campo gravitacional, pois temos:
F r = > g • R c
2.000
Segundo SCHMAL [13], para Fr<l, as forças de inercia
podem ser desprezadas e entre 1 e 2000 devemos considerar as
forças de inercia e as gravitacionais.
Neste trabalho as forças presentes sao as de inercia,de
pressao e viscosas e admitidas atuantes conforme a teoria da cama
da limite, a saber:
1. Efeitos viscosos limitados a uma estreita faixa adj~
cente ã interface.
2. A distribuição de pressões e a do escoamento externo.
3. As taxas de transporte normais ao escoamento sao mui
to mais intensas do que as taxas tangenciais.
I.5 - O Campo de Temperaturas.
O objeto do presente trabalho e a determinação do campo de
temperaturas - do escóamento ·.àtra'{és da equação da energia total,
função dos perfis de temperatura dentro da camada limite e do per-
l 2
fil de temperatura externa. Os efeitos de dissipação viscosa nao
serão considerados e as variações decorrentes da presença de for
tes gradientes de pressão adversas serão levadas em consideração
no perfil de temperaturas dentro da camada limite.
Os efeitos devido â dissipação viscosa e ao trabalho rea
lizado contra a compressão do flufdo compressivil condutor de ca
lor são despreziveis quando se verifica a relação abaixo [20]:
Pr x E c << l m . m
onde Pr e o numero de Prandtl médio do escoamento e definido por m
e Ecm e o numero de Eckert médio definido por
2 u
m
cpm x (T 0 -Tm)
I.6 - Revisão Bibliográfica.
Apesar do grande numero de trabalhos publicados na area
da mecânica dos fluidos com a utilização da teoria da camada limi
te, são relativamente poucos os trabalhos que abrangem o estudo
do comportamento dos fluidos quando em presença de gradientes de
pressão adversos ou gradientes de temperatura. Entre estes traba-
13
lhos podemos destacar o de SPALDING [11], que analisa e classifi
ca 15 métodos existentes para predição do coeficiente de transfe
rência de calor em escoamento laminar. Estes métodos são, então ,
aplicados ao cálculo da distribuição do numero de Nusselt em tor
no de um cilindro circular.
r interessante ressaltar que todos os métodos anal is a -
dos se mostram de duvidosa precisão próximo ao ponto de separaçao
que foi estimado_se situar entre x/L = 0.6 a 0.7, em que x e a
distância medida ao longo da parede do cilindro na direção does
coamento e L e o diâmetro do cilindro.
O trabalho de PERKINS e LEPPERT [16] analisa a transfe
rência de calor em uma camada limite laminar pelo método integral
com um perfil de velocidades de 4~ ordem e um perfil de temperat~
ra de 3~ ordem. Considera na equação da energia a espessura da e~
mada limite térmica menor que a espessura da camada limite de ve
locidade o que restringe a análise para numero de Prandtl maior ou
igual ã unidade. E admite que para gases, o erro será pequeno vi~
to que neste caso teremos o numero de Prandtl Pr igual a 0.72.
Dentre os trabalhos experimentais analisados podemos ci
taro de FAND [14], .onde sao apresentados resultados para o
caso de transferência de calor por convecçao forçada de um cilin
dro para a agua em escoamento perpendicular ã direção do seú eixo
na faixa do numero de Reynolds de 10.000 a 100.000. Os resultados
obtidos estão próximos dos propostos por Me ADAMS [14]. E o de
DOUGLAS e CHURCHILL [14], que ·analisaram a transferência de calor
de cilindros para o ar em escoamento perpendicular e propuseram u
ma correlação da forma:
14
o • s o (Nu)f = a(Re)f + b(Re)f
Nesta correlação, a e b sao consideradas proporcio
nais a (Pr)m, com m tendo valor entre 0,3 e 0,4.
Os efeitos da variação da viscosidade serão considera -
dos, no extenso trabalho de POOTS e RAGGETT [20] que, em virtude
das dificuldades computacionais apresentadas pela consideração da
variação das propriedades físicas, considera soluções similares
das equaçoes da quantidade de movimento e da energia térmica.
A consideração da transferência de calor de superfícies
a temperatura não uniforme jã havia sido feita por SPALDING [10]
quando da an.ãlise de estudo anterior de LIGHTHILL [10], que con
sidera o caso em que a camada limite térmica é muito m~is fina que
a camada limite de velocidade e pode ser considerada como estando
totalmente dentro de uma região de perfil de velocidade linear.
· f>ara o caso .de fluido compressível MERK [_17] anal isa e
desenvolve o chamado "wedge method" proposto por MEKSYN {17] .. Na
aplicação dà cãlcúlo da transferência de calor local a um perfil
eliptico considera o perfil de velocidade da extremidade da cama
da limite dado pela teoria potencial, que não considera o efeito
da onda que se forma atrãs do cilindro e tem importante efeito na
velocidade da extremidade da camada limite. Por isto, para o caso
do cilindro circular, utiliza a fÕrmula advinda da experiência,d~
da por
uô X X 3 X • s = u (-) - u • (-) - u • (-)
u"' l L 3 L s L
em que L e o diâmetro do cilindro. Utiliza para as constantes u ' l
1 5
U e U os valores dados por HIEMENZ [6], a saber: 2 3
U = 3.631 , 1
U = 2.171 , U = 1.514 3 S
para Re = 18.500, ou os valores dados por SCHMIOT e WENNER []7]
U = 3.631 1
para Re = 170.000.
U = 3.275 , U = 0.168 3 5
Os cãlculos feitos para os três perfis apresentam resul
tados precisos próximos ao ponto de estagnação, enquanto que prÕxj_
mo ao ponto de separaçao o método não é confiãvel.
Os resultados obtidos para o perfil dado pela teoria p~
tencial indicam que a separação ocorre para eº= 95.2º. A expan
sao em série, devido a BLASIUS conduz a eº= 100°. As medidas de
vido a SCHMIDT e WENNER dão eº= 72.4° e o valor dado pela experj_
ência é de aproximadamente aoº.
Entre os trabalhos que analisam os efeitos da sucçao
destacamos o de KOH e HARTNETT [ls], que incluem os casos de pare
de isotérmica e de temperatura variãvel para o escoamento laminar
de fluido incompressível. E o trabalho de MORDUCHOW e REYLE [}â],
que analisam a camada limite laminar compressível em gradiente de
pressão com sucção, utilizando as equações integrais da quantida
de de movimento e da energia térmica em conexão com um perfil de
temperatura do sétimo grau e dois perfis de velocidade, um do se
timo grau (para o ponto de separação) e outro do sexto grau. Coo:
sidera também, que as espessuras das camadas limite térmicas e
da quantidade de movimento são idênticas. Na solução das equações,
hã a necessidade de considerar o perfil de temperaturas da extre-
16
midade da camada limite e admitir um escoamento isotrÕpico para a
extremidade da camada limite. Os coeficientes de calor específico
e o n~mero de Prandtl sao considerados constante e o de 0 Viscostda
de i- consid~rado ser· proporcional ã temperatura absoluta pe-
la relação proposta por CHAPMAN e RUBESIN [18]
com Kp escolhido de modo a atender ã conhecida fÕrmula de Sutter
land. Faz uso da variãvel t de Dorodnitsyn definida por
para obter as equaçoes integrais da quantidade de movimento e da
energia tirmica. Seu mitodo consiste igualmente em transformares
tas equações integrais em duas equações diferenciais ordinãrias •
Considera, finalmente, sucção homogênea (v0
= constante) e oca
so em que
17
CAP!TULO II
FORMULAÇAO ANAL!TICA
II.l - As Equações de Navier-Stokes
Quando são considerados flu-idos reais em que os efeitos
viscosos se apresentam como relevantes, o conjunto de equações m!
temãticas que parece melhor traduzir o comportamento destes flui
dos são as Equações de Navier-Stokes.
Considera remos, ã maneira de STEWARTSON [2], estas equ!
çoes de forma axiomática, isto é, como um conjunto consistente de
equações diferenciais e relações constitutivas cuja importãncia -
na dinâmica dos fluidos - se justifica pela boa concordância en
tre suas consequências e a experiência.
As simplificações para escoamento permanente de um flui
do newtoniano e bidimensional nos conduzem ã forma abaixo, onde
são consideradas coordenadas cartesianas (x,y), com as correspon
dentes componentes da velocidade do fluido (u,v). O fluido possui
viscosidadeµ, pressão p, densidade p e temperatura absoluta T,
que são considerados função de x e y apenas pelas aproximações fei
tas de que o escoamento é bi-dimensional e permanente.
a -(pu) ax
a + -(pv) = O
ay (2.1.1)
Conservação de massa ou continuidade.
18
élu élu élp 1 élt. a2 u él 2 u pu- + pv- = - - + - µ- + pX + µ (- + -) -
élx ély él X 3 él X élx 2 ély 2
2 élµ + 2~.~ + ~ ( ~ + élv) t.
3 él X élx élx ély élY ax
él V él V él p 1 d t. a 2 v a2 v pu- + pv- = + -t.µ- + pY + µ(- + -)-
ax ay ay 3 ély
2 aµ t. -+
3 ély
au av com t. = - +
ax ay
av 2-
ély
ax 2 ay 2
aµ ~(~ + ~) • - +
ély ax ay ax
Equações da conservaçao da quantidade de movimento.
e X e Y sao forças externas por unidade de massa do fluido.
(2.1.2)
(2.1.3)
a pu-(C T) +
ax P
a pv-(C
ély p
élp T) = u- +
ax
ap a ar) V-+ -(K - +
ay ax cay
a (. a T -{c-)+ µi ay ay
onde
II.2 - .As Equações de Prandtl.
Equação da conservaçao da energia.
(2.1.4)
(2.1.5)
Importante simplificação que reduz, em grande parte, as
dificuldades impostas pelas equações diferenciais elipticas conhe-
l 9
cidas como Equações de Navier-Stokes, é aquela feita por Prandtl
no início deste século, quando no clássico trabalho apresentado em
1904 [4] estabelece as equações da camada limite que considera os
efeitos viscosos como relevantes em uma pequena região adjacente
ã superfície do corpo em torno do qual o fluido está se deslocan
do. As considerações dai resultantes transformam as equações dif~
renciais elípticas em equações diferenciais parabÕlicas, mais si~
ples que as anteriores porém ainda de dificuldade matemática enor
me necessitando diversos métodos e processos que as transformemde
equações diferenciais de derivados parciais em equaçoes diferenci
ais ordinárias, de manuseio mais simples.
Um destes métodos, e que aqui será empregado, consiste
precisamente em considerar as equações de Prandtl na forma Inte
gra 1 conforme proposto por Von KARMAN e POHLHAUSEN [12].
A definição de certas integrais permitirá transformar a
equaçao integral numa equaçao diferencial ordinária e a resolução
dos diferentes parâmetros que são importantes na consideração do
escoamento.
As equaçoes de Prandtl para a camada limite serao por
nos consideradas em forma simplificada, sendo desprezados os e
feitos de dissipação viscosa e as forças do corpo.
Estas equações são conforme abaixo:
a a -(pu) + -( pv) = o (2.2.1) ax ay
au au ap a ~ au) pu- + pv- = ã; + ay µ ay (2.2.2) ax ay
puax
20
p(x,y) = p(x)
a pv-fc
cly \ p l 2) T + 2u
II.3 - Condições de Contorno.
y = o u = u = o o V = V = Cte T = T o o
y = ô V = V (X) T=Tô(x)
II.4 - Condição de Compatibilidade na Parede.
(2.2.3)
p = p0
(2.3. l)
p=pô(x) (2.3.2)
A equaçao de quantidade de movimento aplicada a condição
de contorno y = O nos dã:
[ au au
y=J
dUô dT p U -º + V·- = pôUô- + º º a x o ay dx ay y=o
(2.4.1)
considerando u· oi! o e uo
= const., obtemos: ou' uô
Vo~, -[-(~)2_+ Pôj dUô l dT -Uô- = . -
ay y=o uô p0
dx Po ay y=o (2.4.2)
No caso de um fluido "power-law" com T = tem-se:
au v
ºay [
U 2
- -(-º ) + y=o Uô
,mc:r·::: 1,J (2.4.3)
21
No caso de flui.do newtoniano temos m = µ, n = l
.,.o.:.'.'._ -[-(~ )2 + Pº]u ó dUó = _1 íl~ . .:.'.'._ ay u6 p dx p
0 ay ay y=o o
(2.4.4)
Para o caso de fluido incompressfvel e isotérmico temos (power-~w) • am _ 0 P, ay -
au -t(~ )2+1] dUó n~--(1.:..'.'.. )n-1
a2u ) V- Uó- = (2.4.5)
ºay y=o Uó dx P ay ay2 y=o
No caso de fluido newtoniano incompressfvel e isotérmico
(2.4.6)
No caso de fluido newtoniano, compressfvel e isotérmico temos:
Se µ = f(T) teremos
au V -
ºay
.. dU 6 _ l ( au
1
. ) u - - - µ-ó .
dx p 0 ay y=o
u6
du<'i __ 1 [,~-~ + dx p
0 ay ay
a2
u l µ-ª 2 Y y=o
(2.4. 7)
(2.4.4)
Neste caso, do escoamento compressfvel, a viscosidade varia com a
temperatura, devendo ser considerado o termo
aµ au -':
ay ay
22
Considerando a relação entre a viscosidade e a Temperatura da for
ma
obtém-se:
l
ou
3µ =
3y
3µ = w
3y
3µ
ay
µº w- •
µ
µº •
µ •
= w •
w-1 3.l_
(;º )
To •
3u
( !_ )w-1
Tô u o •
a.L . T __ ô
ay
3u
3y
a2-To
3 u Uo
•µ
au . µ 3y
donde, com a consideração do perfil T (Apêndice I ) . To
ay
A expressao e então assim escrita:
au -[-(~) 2 + Po~
dU 0 1 [ 1 Tr° [(B+Kx) V - u- = - lw •-ºay y=o Uo Po
0 dx Po U o
u j 3u 2 a2u ,J + 2(C+Kx} - µ(-) + µ-·
u0 ay ay2
ou seja, aplicando-a ao ponto y = o' u = O, V 1 =-v , o y=o o
(2.4.8)
(2.4.9)
(2.4.10)
(2.4.11)
(2.4.12)
+
(2.4.13)
T = T o
au [
l T ô au 2
w•-•-(B+Kx) µ(-) Uê To o ay ,J -v
o ély y=o y=o
(2.4.14)
Esta expressao traduz a condição de compatibilidade na
parede para o caso de um fluído com propriedades físicas variãveis.
Aplicada ao caso em µ e constante, isto ê, não varia
com a temperatura, teremos
µ = µ ô
w = o (2.4.15)
e a equaçao de compatibilidade se reduz ao caso incompressível.
aul _ ~ -vºay y=o Po ay2 y=o
(2.4.16)
A condição de compatibilidade serã utilizada para o cãl
culo do coeficiente A3 do perfil de velocidades (APÊNDICE.!).
Serã conveniente analisar a condição de compatibilidade
para verificar o comportamento do perfil de velocidades na inter
face s~lido-fluido.
A partir da equaçao geral para o fluído newtoniano com-
( 2. 4 • 4 )
a consideração de fluido incompressível e isotérmico (T = Const.)
nos dã as condições
y=o, (2.4. 17)
24
donde a equaçao
aul -v - -º a Y y=o
~ uô dUô = ~ ( a2u) p dx p ay 2
o o y=o (2.4.18)
Uma vez que aul e sempre maior que zero ou igual a zero no ay y=o
perfil de separação, podemos prever o comportamento do perfil de
velocidades. No caso de escoamento com sucção (v0<0) e sabendo que
o perfil ê assintõtico em relação ao escoamento externo ~f <O ay Y=ô
observa-se que:
lQ - No escoamento acelerado > o temos maiores
aul ay y=o
e maior arraste
2Q - No escoamento retardado temos maiores a2 u
ay2 I y=o e a curvatura na parede diminui.
A consideração da equação da compatibilidade na forma g~
ral para fluido newtoniano compressível nos conduz a analisar a e
quaçao
v0:U, -[-(~º )\ P5j dUô
_1 [Iaµ • au
a2
u J U- = + µ-1 (2.4. 4) ô dx ay ay2 y y=o ô Pa P0 ay y=
Para y=O u = u = o o
V = -vo 1- o (sucção)
(2.4.19)
No caso em que a viscosidade molecular ê constante, isto e, para
os fluidos incompressíveis e sem transferência de calor, o termo
25
aµ
ay y=o
ê nulo, e a equaçao se simplifica para o caso jã analisado que e~
tabelece na parede (y=O) a derivada segunda do perfil de velocid~
de com relação ã distãncia y da parede proporcional ao gradi
na dire-ente de pressão ~ dx ou ao gradiente de velocidade dUó ax
ção do fluxo (caso em que v0
= O, sem sucção).
Quando o f1 uxo externo U0(x) e retardado, isto dU 0
< o' temos que ~ > O, donde a2u 1 >O (caso que dx dx ay2 y=o a2ul sem sucção), ou valores de -- > o menores (caso Vo ay2 y=o
mas positivos.
e' com
v0=0,
= -vo)
Temos assim que a derivada segunda ê positiva e ao apr~ anu ximar-se de y= ó ela deve ser negativa (ordem n de e par) ayn
assim deverã ser zero em algum ponto entre y = O e y =ó.Adis
tância y da parede em que se localiza o ponto de inflexão depende
da prévia histõria da camada limite.
~<o ax negativo
e
Quando o fluxo externo ê acelerado
ª2u/ < O (caso que v =O
ay2 y=o º . em todo intervalo O< y < ó.
e v =-v ) o o
temos que
e assim
Analisando o caso em que
equaçao (2.4.19) como
aµ 1 I o ay y=o
podemos escrever a
au - p V -
o o ay y=o
(2.4.20)
Para gases e fluidos µ i função dã temperatura T, sendo cres
cente nos gases para T crescente e decrescente nos líquidos pa-
26
ra T crescente.
Assim, para Elj > O ay y=o ll!.I > º élY y=o'
gases e seu comportamento ê igual
(parede fria), élu ô
ao de ax para escoamento
para
ace
lerado e, no caso de sucçao (v =-v ) , o perfil se torna mais con o o
cavo, com é) 2 u
élY 2 mais negativo.
No caso de escoamento retardado é) u ô -- < o
é) X temos que o
perfil de velocidade se torna menos côncavo. As figuras 2-1 e 2-2 representam estes perfis.
II. 5 - Condição de sucção
II.5.1 - O número de Reynolds.
No desenvolvimento das equaçoes integrais para a camada
limite chega-se a um agrupamento adimensional denominado numero
de Reynolds para a espessura de perda de quantidade de movimento,
defjnido para o caso de fluido não newtoniano [l] como:
m u2-n. ,sn
2 (2.5.1.1)
No caso de fluidos newtonianos (n = 1) este grupo adimensional ê
dado por
(2.5.1.2)
II.5.2 - Parâmetro de Sucção .
. t conveniente definir um parâmetro de sucçao na forma Q]
(2.5.2.1)
21
o 1 u Uê
FIG. (2-1) - ESCOAMENTO ACELERADO -
"l
o u
UÓ
FIG. (2 - 2) - ESCOAMENTO RETARDADO -
dUS > O dx
dUó < O dx
ou, pela definição de Re 0 , 2
28
P5Voó2 X =
]J o
onde 1/J5 e o numero de sucçao. 2
II.6 - Equações Integrais.
= 1/Jó ( 2.5.2.2) 2
Quando da consideração'dos fluidos reais, a aplicação
das Leis da Mecânica a um elemento infinitesimal de fluído noscon
duzem a um conjunto de equações conhecidas como Equações de Navier
-Stokes, que sao equações diferenciais de derivadas parciais. Es-
tas equações sao elípticas e nao se tem soluções analíticas
a nao ser em casos especiais como no chamado Couette Flow, etc.
A consideração de que os efeitos da viscosidade sao con
sideráveis apenas em uma estreita camada do fluido em movimento Pi
ra o cato de escoamento com nGmero de Rejnolds elevado conduzem a
formulação das Equações da Camada Limite (Prandtl) que sao equa
çoes diferenciais de derivadas parciais parabólicas. Nestas equa
çoes os efeitos sobre uma partícula não são determinadas pela "hiI
tõria" anterior e as considerações que deverão ser feitas para
compensar esta simplificação se traduzem num efeito de realimenta
çao e constituem a teoria da camada limite de 2~ ordem.
Se bem que mais simples que as equaçoes de Navier-Sto -
kes, as equaçoes de Prandtl apresentam também dificuldades consi
deráveis. Para sua solução diversos métodos foram propostos, sen
do que uma extensa faixa destas soluções é creditada ã chamada so
29
lução similar ou por similaridade. O seu objetivo é o de reduzir
a equação diferencial parcial que rege o fenômeno analisado a u
ma equação diferencial ordinária que tem solução mais simples.
Os estudos das chamadas soluções similares mostraram
que elas somente são possivel quando a velocidade ê uma potência
da distância ao ponto inicial do escoamento.
Neste caso os perfis de velocidade sao todos os simila
res e diferem apenas em escala um dos outros. Apenas escoamentos
continuamente acelerados ou continuamente retardados têm solução
similar, não podendo a mesma ocorrer um escoamento que apresen -
tem separação. Um outro tipo de solução para as equações difere~
ciais parciais da Camada Limite e a solução integral. Elas são SQ_
luções aproximadas que apresentam uma média das equações de quan
tidade de movimento e da energia para toda a espessura da camada
limite. Traduzem uma condição integral para o equilibrio de for
ças em uma seçao de controle de comprimento dx e altura ô.
o método integral foi proposto por Von KARMAN e POHLl-f\U
SEN D~, em 1921. O sistema de equaçoes sugerido é composto pe
la equação da quantidade de movimento e pela condição de compatl
bilidade, que e a aplicação das condições da interface (sÕlido
fl uído) ã equaçao da quantidade de movimento. As variãveis são um
parâmetro de forma para o perfil de velocidades e um parâmetro de
espessura para a camada limite.
Com a integração parcial da equaçao de quantidade de m~
vimento, WIEGHARDT [8], [19], em 1914, introduziu mais uma equa
çao, a equação da energia mecânica, o que permitiu a utilizaçãode
mais um parâmetro de forma para o perfil de velocidade.
30
Wleghardt mostrou igualmente que estas duas equaçoes in
tegrais, a da quantidade de movimento e da energia mecânica per -
tencem a um sistema de infinitas equações que são deduzidas das e
quações da continuidade e da quantidade de movimento. A escolha~
tas equações é feita baseada em justificativas físicas e GEROPP
[5], [19] demonstrou que as mesmas são de fato as mais importan -
tes.
A integração parcial da equaçao da energia nos
a obtenção da Equação Integral da Energia.
conduz
A determinação destas equações integrais sera feita de
acordo com um método indicado por Pohlhausen e aplicado por Wie -
ghardt que consiste em, partindo-se das equações diferenciais pa~
ciais da continuidade, da quantidade de movimento e da energia ob
ter as equações diferenciais ordinárias pela multiplicação dessas
equações por ''funções peso", e definir certos grupos de integrais,
obtendo um sistema de tantas equações quantas as condições em y=O
e y = ô satisfeitas pelos perfis de velocidade e de temperatura.
No caso de perfil hidrodinâmico, Wieghardt sugere utill
zar, como "função peso'', poténcias da velocidade. No caso do per
fil de temperatura, serão utilizadas como "função peso" poténcias
da entalpia.
Para o perfil hidrodinâmico, a utilização das poténcias
de velocidade como feito por GEROPP [5] e SCHMAL [13] nos conduz UV+l
a multiplicar a equaçao da continuidade por "v+T" e a equação da
quantidade de movimento por dp
Uv e, considerando dU
dx = - p u -
ô ô dx
que
(2.6.1)
31
deduzi da a partir da equaçao de Bernoui 11 i, e
1 dp 0 = _ _ 1 dU 0 dx U Ó d X
(2.6.2)
obtida da dinâmica dos gases, obtemos o sistema de quaçoes dife -
renciais ordinárias de 1~ ordem (APtNDICE IV).
com
d -(fv) dx
( g" 2 ) 1 dU 0 + fv v+2 - - - M - -- + e + h = O f
O U dx " "
" ó
as seguintes definições para os parâmetros:
~ · v+ 1
- 1] h = povo (~)
" póUó Uó
ó " ~(~ )dy e = (v+ 1) J ( ~)
" o uó a póUó
=Jº Pu ( 1 - ( ~ )\!+ 1 )dy f -·-
" póUó uó o r v-1 pu p0
u 1 ) dy g" = (v+l) -(-(-) -
o póUó P Uó
(2.6.3)
(2.6.4).
(2.6.5)
(2.6.6)
(2.6. 7)
A equaçao (2.6.3) ê a forma mais geral para o sistema de
condições integrais para a camada limite laminar, estando suj~ita.
as restrições impostas ãs relações (2.6. 1) e (2.6.2).
A consideração de v = O e v = 1 nos dão equaçoes com
significado ffsico conhecido. Obtêm-se assim as equações. a seguir:
V = 0
d -(ó ) dx 2
V = ]
e = 1
e o
h o
= Já a
ay o
h 1
32
(2.6.8)
,: ,: o (-2)dy = u2 = - c f/ 2 (2.6.9)
póU6 pô ô
cf = Coeficiente de arraste
ô 2 = Espessura de perda de momentum
ô = espessura de perda de 1 velocidade
1 d U ô --- -
,: •du)
-------- =-2 • CD 3
(2.6.10)
(2.6.11)
(2.6.12)
(2.6.13)
pôUô (2.6.14)
CD= coeficiente de dissipação
33
pu (2.6.15)
ô = espessura de perda 3 de energia
2 Jº pu
tpº -~ dy 91 = =2ô (2.6.16) pôUô 4
o
ô = espessura de perda 4 de massa específica
p V d l' ô M:]
1 dU 0 r~i ,] -(ô ) + ô 3-2-4 ---+ (-2C 0) + -º-º = o dx 3 3 ô uô dx pôUô uô
3 (2.6.17)
A consideração de escoamento laminar, permanente, com
gradiente de pressão arbitrãrio, sucção na parede, propriedadesfi
sicas variãveis de um fluido qualquer nos conduziram as equaçoes
dadas. No caso particular do escoamento de um fluido incompressí-
vel tem-se p = p0 = const. donde M = O ô e ô = O. A~sim, .as
4
equaçoes integrais da quantidade de movimento e da energia mecâ
nica sao conforme abaixo, para os dois tipos de fluido considera
dos:
incompressível:
dô + ô 2( 2 + ~ )-1 dU 0 _ cf ~( u
1) __ 2
+ -º - = o dx ó
2 U O dx 2 uô uô
(2.6.18)
compressível:
~+ô (2+~-M2)_1_ dUô _.:.f. dx 2 ô O U dx 2
2 Ô
(2._6.12)
34
incompressível:
(2.6.19) dx 3
compressível:
da 3 ( º 2) -- + o 3-2-.!!. - M dx 3 o 0 (2.6.20)
3
A determinação de uma terceira equaçao para o caso hi -
drodinâmico é dada pela condição de compatibilidade na parede.
No caso da consideração da temperatura, a utilização de
potências de entalpia como feito por SCHMAL [13] e aqui por nõs ~
senvolvido, nos conduz a multiplicar a equação da continuidade por
h~+i - hv+i e a da energia por (v+l)hv obtendo-se:
a í. ( v+ 1 v+ 1)] a Í. ( v+ 1 v+ 1)] -;;0'u h0 -h + ay Lpv h0 -h = - (v+ 1) • v a [ ar] h - UT + KC-ay ay
(2.6.21)
Integrando esta equaçao com relação a y entre os limites y = O e
y = o obtém-se:
[ rº J Jº d + 1 v+ 1 v+ 1 v+ 1 a ar - pu(h~ -h )dy=pvrh 0 -h J-(v+l) hv-(Tu+K-)dy dx J
0 ° 0 L' 0 o ay cay
( 2. 6 • 22 )
Para o·valor v = O obtém-se a equação fisicamente interpretãvel
d [Jº J J O a ar - pu(hô-h)dy =p V (hô-ho)- -(UT+Kc-)dy
dx O O ay ay o o
( 2. 6 • 23 )
35
Com a utilização da relação para a entalpia e energia interna
u2
Obtêm-se as relações
h = i + -2
i = C • T p
2 uô
h0 = 2 +CpTô
que aplicadas a equaçao nos fornecem
p V (u~ +C (T~-T ~~+ K. ar o o 2 p u o '} c ay
Utilizando a lei dos gases com a relação
T P.s =
Tô p
e com 2
uô 2 = (K-l)M 0
CpTô
c em que K = _Q_ e considerando as definições de ô
CV
1º pu u 2
ô3 =o pôUô (1--(-) ) dy
uô
6 u ( p ) õ ~ = j - 1 - - dy
o U6 Pt5
3
(2.6.24)
(2.6.25)
(2.6.26)
( 2 . 6. 27 )
(2.6.28)
y=o
(2.6. 29)
(2.6. 30)
e ô abaixo ~
(2.6.15)
(2.6.16)
36
Obtém-se a equaçao diferencial ordinária
ó 3 Esta equaçao pode ser expressa em função de
ó2 Apêndice!, por perfil de temperatura conforme
em que
T U = A + (B+Kx)- +
Tó Uó
u 2
(C-Kx) (-) uó
K-1 2 A=l+r• -M (l-8)
2 ó
K-1 2
B = r•-M •6 2 ó
K-1 2
e= -r • -M5 2
ó e possível escrever então a relação-!. como
ó
ó ~ = r • ô
2
K-1 2 (ô -M _3
2 ô ô 2
2
- e) + ô
Kx(1 2
A equaçao diferencial da energia e obtida então
aT K ca
Y y=o (2.6.31)
se considerarmos o
(2.6.32)
(2.6.33)
(2.6 .34)
(2.6.35)
(2.6.36)
(2.637)
37
C - p U T (-M • ô - ô r -M - 3 - a\ + Kx _i - 1 ) = dt K-1 2 [ K-1 2(ô . (ô ~)}
Pdx ô ô ô 2 ô 3 2 2 ô ô j ô 2 2
K-1 2J ôT -M +K-
2 Ô Côy y=o
Considerando as relações
- E
F = p V e [(Tô-T ) +Tô K-lM:J + K ar o o P o 2 cay
y=o
Obtemos a equaçao diferencial ordinãria da energia
d -(G dx
• E • ô ) = F 2
(2.6.38)
(2.6.39)
(2.6.40)
(2.6.41)
(2.6.42)
A partir desta equação é determinado o valor de E que, quando com
parado com o valor dado pela equação (2.6.40)
(2.6.40)
nos possibilitam obter o valor de Kx, correçao para o efeito do
gradiente de pressão no perfil de temperatura bem como para o e
feito da variação da temperatura na parede.
de
Na equação da energia, definimos o parâmetro F em função
êl T K
ca Y y=o (2.6.43)
38
que pode ser desenvolvido para o perfil de temperaturas u T=T(-) Uo
conforme abaixo: T
aT K ~, aul
a-To T To
K - - • - K _o (2.6.44) Cay 0 au· ay y=o ºµ a..l:!.. uo y=o u=o o Uo U=O
a consideração do perfil de temperaturas (2.6.32) nos darã
2 T u u
= A + ( B+ Kx) - + (C-Kx)(-) To uo uo
al u To = ( B+ Kx) + 2(C-Kx)(-J
aJ!... uo Uo
= B + Kx
com o valor de B dado por
obtemos
donde finalmente
aT K K =-º-• cay µ e
y=o o p
u=o
K-1 2
B=r-M •e 2 o
= r • K-1 2
-Mº 2 • 8 + Kx
K-1 2
-M 2 o
(2.6.32)
(2.6.45)
(2.6.46)
(2.6.47)
(2.6.48)
• 8 + Kx) (2.6.49)
que com as definições do numero de Prandtl e do coeficiente de ar
39
raste, pode ser escrita
ar K
cay = _1_ • .:f. G. (rK-lM 2
O Pr 2 . 2 ô
y= o
• a + Kx) (2.6 .. 50)
A equaçao diferencial da energia pode então ser escrita como:
d -(G•E•ó )= dx 2
· K-1 2 (r-2-M 6 • e+ Kx)
(2.6.51)
t conveniente adimensionalizar o Último termo desta expressao, ob
tendo
[ K-1 2]
p v C ( T r -T ) + T r-M r = o o p u·
0 u 2 u
xG --·
K-1 2 -M .
2 ô [r(l-e)-1] (2.6.52)
onde x e o parâmetro de sucção, definido em (2.5.2) e Re 0 e o 2
número de Reynolds definido em (2.5.1).
A equação diferencial da energia pode ser transformada,
considerando a relação deduzida no APtNDICE II:
(l
= (2.6.53)
obtemos, então:
d -(G•E•ó )= dx 2
G { a ( K-1 2 -- -- r--M ó Re 0 Pr
0 2
2
) ( K-1 2 ~ • e +Kx + x -
2-M 0 (r[1-e]-~
2.6.54)
desenvolvendo o primeiro membro da equaçao para resolvê-la em fun
ção de E temos
dó d dó dG dE GE-2 +ó -(G•E)=E(G-
2 +ô -)+o •G•-dx 2 dx dx 2 dx 2 dx
(2.6.55)
40
A equaçao pode ser escrita então
dE (. dli 2 dG G {ª ~K-1 2 J [K-1 2 ~~ G·li2·-+ G-+li -)E=----· r-M .•e+Kx +x-M/r(l-8)-1 dx dx 2 dx Re
0 Pr
0· 2 li 2
2
ou, dividindo ambos os membros por
çao
obtemos
z. = J
G • li
• li 2
(2.6.56)
e considerando a defini 2
(2.6.57-)
1 dG) 1 tª [ K-1 2 J [K-1
2( )]~ - - ·E= - -- r-M •S+Kx +x -M r(l-e)-1
Gdx z.Pr0
2 li 2 li J
(2.6.58)
d li ~ é obtida da equaçao integral da quantidade de movimento (2.
6. 1 2 ) e ( 2 . 5. 2. 1 ) e ( 2 . 6 . 5 3) .
1 dô - __ 2 = li dx
2
(l X
Re • li Ô 2
2
(2.6.59)
G = pôUôTli•Cp nos permite obter apos diferenciar com relação a x
e utilizando a relação (2.6.2)
1 dG ( 1 dT li _1duli(i - M: )) - = -·- + G dx T ô d X U li d ,X
(2.6.60)
donde obtemos a equaçao na forma geral:
dE {a-x 1 dT li __ 1 dU ô (i + ~} • E + zj +~. =
dx d X U li dX li 2
l{a[K-12 l IK-12( )~} 2
j ;;:- . ~ 0-e+Kxj+x~0 \r(l-e)-1 ,J (2.6.61)
41
que com a definição (2.6.40) nos permite escrever
= {K-lM2~ _ [ K-1 2( ó ) ó - 1 )]} E = ZH r-
2-M 6 -: -e + Kx(-:
2 °o 2 2 2
(2.6.62)
GH = t·x,_1 dT 0 __ 1 dU 0 (l+ :j Z j TO d X . U O dx (2.6.63)
ltcx ~K-1 2 J lK-1 2
]} F = - -- r-M •e+ Kx +x ---M r(l-6)-1 H Z. Pr 2 ó 2 ó
J o
(2.6.64)
obtemos, assim, uma equaçao diferencial ordinãria da forma
dZH - + G • Z - FH = O dx H H
(2.6.65)
42
CAPfTULO III
PERFIL D E VELOCIDADES
III.l - Determinação do Perfil de Velocidade.
A resolução das equações da camada limite pelos métodos
aproximados empregam comumente, expressões polinomiais para o pe!
fil de velocidade. A expressão polinomial ê escolhida em função
das condições de contorno que ê possível atender e ê tanto mais e
xata, quanto maior o número de condições de contorno que satisfaz
bem como mais prõxima da solução exata, quando esta ê possível de
ser obtida, p. ex. no caso de escoamento do tipo m " X •
A utilização de parâmetros de forma no perfil de veloci
dade ajusta o perfil a diversas situações do escoamento nas re-
giões aceleradas e retardadas.
POHLAUSEN [12], [19] apresentou um perfil polinomial do
4Q grau com um parâmetro de forma y(x), a saber:
y n =
Ó (X)
a = 1 -l
e se define
y
6
(3.1.1)
(3.1.2)
(3.1.3)
43
y (X) = (3.1.4)
y=o
Comparada com a solução de Hartree e a série de Blasius (até x ) ve li -
rifica-se que a solução aproximada de Pohlhausen é boa para valo-
res próximos do ponto de estagnação, escoamento externo acelerado,
mas que nao é precisa na região próxima ã separação, escoamento re
tardado.
A solução de Pohlhausen prevê ponto de separaçao a y(x)
= - 12. Se> 12, ..!!.. > l que, normalmente não apresenta significaUô
do ffsico, WALZ 0~ acrescenta restrições ã validade deste per-
fil com situações em que y(x) > 12
sucçao ou fortemente acelerado.
e u < l com escoamentos com uô
Uma tentativa de contornar esta deficiência do perfil P.9_
linomial do 49 grau foi feita por MEL'NIKOF [9], em 1942, ao man
ter o perfil de Pohlhausen nas regiões aceleradas e utilizar aso
1 ução de HOWARTH [9] , u = C - C • x para regiões retardadas, O 1
acoplando as duas soluções no ponto de pressão mfnima.
SCHLICHTING e ULRICH Q2], em 1940, utilizaram um poli
nômio do 69 grau mas não obtiveram resultados melhores que o dado
pelo polinômio do 49 grau.
Em 1937, SUTTON [12] aplicou um perfil de velocidades
bi-paramétrico para o caso da placa plana ( ~uxô = o). Em seguida, WIEGHARDT [19] aplicou um perfil bi-paramé
trico do 119 grau dado por:
44
u 8 2 3 u = 1 - (1-n) • (1 + A1 n + A2n + A3n) ó
(3.1.5)
em que os coeficientes A , A e A sao funções dos parâmetros a(x) 1 2 3
e f(x) assim definidos:
u
a(x) = f(x) = (3.1.6)
( y )2
ª6 2 1 y=o
Nós jã havíamos definido y(x) = f(n) e e: ( X ) = f(n) donde sao
válidas as relações:
= y(x)(óó2}
2 ó r(x) Cl (X) = e: ( X ) • 2 (3.1.7)
ó
O perfil de Wieghardt apresenta resultados satisfatórios
para prever o ponto de separação mas não ê tão preciso quanto o
perfil de Pohlhausen nas regiões próximas do ponto de estagnação.
Inijmeros estudos D] levaram a concluir que o polinÕmio
deve ter grau variável de maneira a atender as diferentes regiões
do escoamento.
Um perfil uni-paramétrico deste tipo jã havia sido pro
posto por LOITSIANSKII [9], em 1942. Sua solução, contudo, não co!!.
sidera a equaçao da energia mecânica sendo por isto menos precisa
que a de Geropp.
Geropp propos o perfil bi-paramêtrico da forma:
(3.1.8)
45
e baseado nas soluções de Hartree, relacionou ,(x) e e(x) na
forma:
,{x) = 7 + 1,7513
,{x) = 8 - 0,0235
E{X) - 0,7026
e{x) + 0,0722
E(X) 2
e{x) 2
O<e<l (3.1.9)
e>l (3.1.10)
Com o grau do polinômio variável, Geropp superou as dificuldades
de Wieghardt bem como estendeu as soluções integrais para os ca -
sos de escoamento compressível, com ou sem troca de calor, apre
sentando excelentes resultados para soluções comparadas com aso
lução exata de Goertler e experiência.
III.2 - Coeficientes do Perfil de Velocidade.
Os coeficientes A1 , A2 e A3 são determinados a partir
do perfil de velocidades de Geropp, utilizando as definições: u a-
e(x) = ~ (3.1.11) y a-ô y=o
32~
y(x) uô
= a(~)2
y=o
( 3 • 1 • 4 ·}
Oeri vando o perfi 1 de vel od r;lades com relação a · n obtemos (Apê.!)_
dice I)
(3.1.12)
Derivando outra vez com relação a n obtemos (Apêndice I)
46
A = - T • E + (3.1.13) 1 2 2
Para determinação de A utilizaremos a condição de compatibilid! 3
de na parede que ê derivada em relação a Y e aplicada em Y = O.
o resultado ê adimensionalizado e igualado a derivada terceira do
perfil de velocidades em relação a n.
Obtemos (,caso de fluído newtoniano e isotêrmico)(Apêndj_
ce I)
A = ~(3T s 6
f -1/2 T2+ 2
+ x(-) )-E -y 2
+ (3.1.14) 6
e no. caso geral
B+KxJ T2 + T
2•w•E • -A-J-E 2
+ (3.1.15) 6
Uma vez que T = f(E) e vemos que os coeficientes
sao função dos parâmetros E, y ex (caso isotérmico) acrescidos
de w, A, B e Kx no caso geral.
Para o caso de escoamento sem sucçao (X= O) e de fluí
do newtoniano, os coeficientes foram calculados por Geropp e te
mos um perfil bi-paramêtrico função de E e y.
III.3 - Coeficiente de Arraste e Dissipação.
Os coeficientes Cf e CD podem ser definidos em fun
çao de a(x) e B, bem como do número de Reynolds com relação a
espessura de perda de momentum. São eles assim definidos:
47
cf ,:
= (3.3.l} 2 pôUô
2
au uô a...!!.
uô µ-1 µ ·-cf ay y=o
o ô .L = 2 Õ2 y=o (3.3.2) =
2 2 pôUô2 pôUô
a~ uô
cf a..L a
= ô2 y=o
= (3.3.3) -2
pôUô ô2 Reô 2
µ o
Da definição do coeficiente de dissipação (2.6.14) obtemos
(3.3.4)
que no caso do fluído viscoso nos permite escrever, apos adimen
sionalizar (Apêndice II} u 2
1
. e:: l· 2 ô
· I :º 2·C = 2 dn D Reô ô
2
(3.3.5)
ou
2 2 CD = • 13
Reô (3.3.6)
2
Em que
48
(3.3.7)
A consideração do perfil de velocidades (Cap. III) e de temperat~
ra (Cap. IV) e da relação (2.4.8) obtemos
µ µ = (3.3.8)
e, considerando o perfil de temperatura aplicado no ponto· y=O nos
darã
obtemos T w
!_=(_!__)w· _1 =(rê) µo Tê Aw A
Aplicado ã equaçao (3.3.7) obtemos
B=êê2(1[1+ ~o
B+Kx A
U 2JW { ·(~) • (1-n)2(,-1).
III.4 - Parâmetros do Perfil de Velocidade.
(3.3.9)
(3.3.10)
,(1-EK)-A + 1
(3.3.11)
O perfil de velocidade tem a seguinte representação ana
lítica:
u(x,y)
U Ó {X)
49
y = f(~. E(x), y(x), x)
ó{x)
em que os parâmetros têm as definições:
ó{x) = parâmetro de espessura da camada limite
E(X) = parâmetro de forma
y(x) = parâmetro de forma
(3.4. l)
x = parâmetro de sucçao, considerado constante mas p~ de ser variãvel.
Neste trabalho utilizou-se para parâmetro de espessura
da camada limite, a espessura de perda de momentum ó2
definida co
mo
º2 = Jº o
pu
Foram utilizados como parâmetros de forma f{x)
dos como ó 2
f(x) = y(x) • (-:)
ó H = _3
3 2 ó 2
(2.6.10)
e H defini-32
(3.4.2)
{3.4.3)
t conveniente reproduzir os diversos parâmetros e suas definições,
o que fazemos abaixo:
a {X) =
u
uô
a.1.... º2 y=o
(3.4.4)
y( X) =
2 U · a -uó
a(:J y=o
2
a(x) = e:(x) • ô ô
50
r(x) =
r(x) =
u a2-
uó (3. 1.6)
a(!_ Y ó2 y=o
ô2 2
Y(x)( 5 ) (3.1.7)
A utilização dos parâmetros ê feita no Apêndice I, para dedução dos coeficientes do perfil de velocidade.
51
CAPITULO IV
PERFIL DE TEMPERATURAS
IV. 1 - Determinação do Perfil de Temperatura.
Baseado nos estudos de Van Driest para a placa plana,e
numero de Prandtl variâvel é possível escrever um perfil de tem
peratura da forma
(4.1.1)
onde A, B e C sao os coeficientes de equaçao determinados para o
caso ~=O
tante.
e dT = O dx ' placa plana e temperatura de parede con~
Vârios autores [19] concluiram que fortes gradientes de
pressao têm pouca influência sobre a transferência de calor, PQ
rém fortes gradientes de temperatura podem influir de maneira con
siderâvel. A correção dos gradientes de pressão é feita na equa
ção de Van Direst modificando o coeficiente!, e a correçao para
o gradiente de temperatura é feita no coeficiente C. WALZ [19]
propôs introduzir um coeficiente Kx como parâmetro de correção
a ser determinado. Este parâmetro corrige também o termo~ I O.
Para que as condições de contorno do perfil sejam válidas, é ne
cessário corrigir o coeficiente C pelo termo [C-Kx]. O perfil
obtido é do tipo
52
T = A+ [B+Kx]f + [C-Kx]f
1 2 (4.l.2)
A determinação de Kx é feita através da utilização da Equação d!
Energia Térmica. Este perfil é geral e vãlido para escoamento la
minar, turbulento, compressfvel e incompressfvel com gradientes~
pressão e fortes gradientes de temperatura na parede.
IV.2 - Coeficientes e Parâmetros do Perfil.
A consideração do perfil de temperaturas
= A + ( B + Kx) • f 1
+ ( C - Kx) • f 2
(4.2.1)
nos levam a adimitir, visto que no ar (Pr =0.72) se tem um pequeno
afastamento do numero de Prandtl da unidade, que podemos conside-
rar [19] as relações abaixo
u f "' (4.2.2)
1 u cS
f "'(~f 2 u cS
(4.2.3)
com K-1
A l 2
= + r-M (1-e) 2 cS
(4.2.4)
K-1 B = e . r . --M2
2 cS (4.2.5)
K-1 e = - r --M2
2 cS (4.2.6)
53
(4.2.7)
O parâmetro Kx serã calculado através da Equação de E
nergia Térmica como veremos adiante neste trabalho.
Na definição do parâmetro de transferência de calor e
temos Te, "recovery temperature'' definido por
( 1 K-1 2
T = T + r--M) e 00 2 ó (4.2.8)
que, no ponto de estagnação vale
(1 K-1 2 )
Tst = T + --M 00 ' 2 ó
(4.2.9)
54
CAP TTULO V
VELOCIDADE E TEMPERATURA DO ESCOAMENTO EXTERNO
V. l - Velocidade do Escoamento Externo
O mais comum para a sua expressao e utilizar fórmulas a
partir da teoria potencial. Blasius, em 1908, apresentou uma solu
ção deste tipo que foi desenvolvida por Howarth em 1935. Nela a
velocidade do escoamento externo é representada por uma série de
potências de x, a partir do ponto de estagnação, SCHLlCHIING
[l 2] .
A solução de Blasius exige muitos termos, sobretudo na
região próxima do ponto de estagnação. HIEMENZ [6], [8], [12] ve
rificou-a experimentalmente e nos pontos próximos da estagnação a
presentou bons resultados, mas que não era satisfatória próximo a
separaçao.
Para o caso do cilindro, a teoria potencial permite de
terminar uma distribuição senusoidal. Como jã observado, ela nao
prediz o ponto de separação. Evidencia-se a necessidade de utili
zar uma representação originária da experiência.
Segundo HIEMENZ [6], [8], pode ser representado o cam
po de velocidades na.extremidade da camada limite como
Uô(x) = 7,15lx - 0,04497x 3 - 0,0003300x 5 (5.1.1)
55
com as seguintes condições:
onde
R = 4,87 cm
U"' = 19 , 2 cm / s
Re00
= 18 500
A adimensionalização conduz ã forma
* * *3 *s U = X - 0,006282963x - 0,00004647x
* uô u =
K • u "'
* X X =
L
L = 1 cm
(5.1.2)
(5.1.3)
(5.1.4)
(5.1.5)
(5.1.6)
(5.1 . .7)
(5. 1. 8)
Esta representação formal introduzida por GOERTLER [5] é
a utilizada por GEROPP [5] e SCHMAL [13]. Ela concorda com os re
sultados experimentais na faixa em que o escoamento é laminar.
Sua utilização no trabalho de FIGUEIREDO [1] foi feita
com sucesso, levando a previsão do ponto de separação a uma boa
concordância com os resultados experimentais.
Este perfil de velocidades da extremidade da camada li
mite sera por nõs considerado.
V.2 - Temperatura do Escoamento Externo.
No tratamento que é dado neste trabalho a equaçao da e-
56
nergia, faz-se necessãrio a utilização do perfil de temperaturas
do escoamento externo.
Até o presente, nenhum trabalho experimental traduziu o
comportamento da temperatura da extremidade da camada limite em
função da distância x ao ponto de estagnação.
Todos os trabalhos pesquisados se resumiram em expres -
sara variação da temperatura de um modo global pela transferên -
eia de calor do cilindro para o fluido circundante ou vice-versa,
apresentando os resultados em função do Numero de Nusselt, este
como um produto de Numero de Prandtl e Numero de Reynolds.
No presente trabalho foi considerado que o perfil de
temperaturas externas Tó(x) tinha comportamento semelhante aodo
perfil de velocidade externa, sendo calculado pela relação do nu
mero de Mach para os escoamentos da camada limite externa e o es
coamento livre, a saber
Uó(x) 2
2 U ó ( x) Mó = Mó =
IKRT ó (X) KRTó(x)
(5.2.1)
u 2 u2
M o, M
o,
= = o,
ÍKRT o,
KRT o, o,
(5.2.2)
donde 2 2
Tó(x) (Uó(x)) ( M"') = T
o, u"' Mó ( 5. 2 . 3)
Este perfil, nao definido para o ponto de estagnação, relaciona a
temperatura externa com a velocidade externa.
57
CAP!TULO VI
DETERMINAÇAO DAS GRANDEZAS
VI. l - Coeficientes e Parâmetros do escoamento.
Uma vez obtida as soluções das equações diferenciais [l]
(6.1.l)
e
(6.1.2)
diversos parâmetros podem ser calculados, tais como:
1. Coeficiente de arraste ( e f l
2. Coeficiente de dissipação (CD)
3. Tensão de cisalhamento na parede ( ,: ) o
Os parâmetros de forma tal)lbêm sao obtidos, a saber:
ó ZE H = _3 =
3 ó z. 2 J
(6.1.3)
u 32_
r = uó
a (: )2 (6.1.4)
2 y=o
58
e o parâmetro de sucçao (x) calculado em função do nível de sue
çao (V) como utilizado por FIGUEIREDO [l] e SCHMAL [13].
Com a solução de Equação diferencial
dZH ~ + GHZH - F = O
dx H (2.6.65)
obtém-se o fator de
dP., O e dT., O ãx r dx r '
correçao (Kx) para as considerações de
fator este que nos permite calcular o fluxo
de calor local (qx).
Um importante parâmetro do escoamento e que sera consi
derado no cálculo da transferência de calor é a tensão de cisalha
mento na parede T ' o definida como
T = µ~I o ay y=o
(6.1.5)
na consideração do fluído newtoniano. Como visto anteriormente, p~
demos definir este parâmetro na forma geral
( 6 • l .6 )
que adimensionalizado nos dará
u n
m(' d- u n u:) ô n
T = = m -- • a o ô n
ô a- 2
(6.1.7)
2 ô 2 y"'-o
T = o
Como definimos
obtemos finalmente
59
=
=
ºn 2
(6.1.8)
(2.5.1.l)
( 6. l . 9 )
E conveniente considerar que no caso de fluido newtoniano
m = µ (6.1.10)
que aplicado no ponto y = O nos fornecerã
m = µ o o
(6.1.11)
donde a definição da tensão de cisalhamento no caso de fluido new
toniano compressível
T a _.L_ =
2 Re 0 poUo (6.1.12)
2
Re 0 = PoUôºz
(2.5.1.2) 2 µo
desta maneira, T pode ser escrito como função do parâmetro do o
escoamento e do número de Reynolds definido como acima. Verifica-
60
se assim, que o coeficiente de viscosidade (µ) deve ser conside
rado o da parede ( µ ) • o
Da definição do coeficiente de arraste (Cf) obtemos
CL
(6.1.13}
para fluído newtoniano, ou, no caso geral (n # 1)
( 6.1.14)
(6.1.15) m
o
t conveniente representar o coeficiente de arraste na forma abai
xo para fluído newtoniano,
cf =
2
ou na forma geral
'o
A relação
T o Re 2
póUó
l • Ren+1 =
"'
1/2
"' =
l n+1
Re "'
CL
(6.l.16) Re
º2 1 / 2
Re. "'
( 6. 1 . l 7 )
pode ser obtida a partir da definição dos
61
numeros de Reynolds no escoamento externo e na camada limite, a
saber:
u2-nln p"' "' Re = ----
"'
que aplicado ao fluido newtoniano compressível nos darã:
Re = p U L a, a,
a,
Por conveniência, escreveremos
Re 0 = pcSUcScS 2 µ cS
2 µ cS µo
donde a relação
Re 0 p cS u cS cS µa, • ( µº) 2 --1. =
Re"' p"' u L µ cS a, µo
ou' na forma geral
Re 0 2-n n
p cS . ( ~) (~) . m"' m cS __ 2 =
Re pa, u L m cS m a, a, o
considerando a definição
zj = Re 0 • cS
2 2
(6.1.15)
(6.1.18)
( 6. 1 • 1 9. )
(6.1.20)
( 6 . 1 • 21 )
(6.1.22)
( 6.1.23)
(6.1.24)
62
obtém-se
Reô n+1 U z-n __ 2 = Pô • ( _uô )
Re00
p co co
n
( zLj) m co ( 6 • 1 • 25 )
No caso de f1 uido newtoniano compressivel, e possivel representar PÔ µco
as relações e em função da temperatura na camada limite Pco µôµô T
externa e a relação ~ em função do perfil de temperatura µo Tô
=
u f(A,B,C,-) uô
no ponto y=O, T=T , U=O. o
Estas relações são conforme abaixo:
µô 1 =
1 1 = --- =
µo µo
µô
T w
( T :)
(6,1;26)
( 6. 1. 2 7 )
( 6. 1 • 2 8.)
A nossa relação Re i / 2
vale pois, para fluidos newtonianos com-
.. . press1ve1s co
(6.1.29.)
Re co
Uma extensão desse resultado, de interesse apenas teõrico, e aqu~
63
leem que consideramos os fluidos nao newtonianos, donde
R. 1/n+1
e· O) ~
1 2-n n n-1
• (~) • ( Z j ) • m.,, • mó U L m6 m
"' D
( 6 . 1 . 30 )
que no caso real de fluidos nao newtonianos e incompressíveis iso
térmicos nos darã
(6.l.31)
o coeficiente de dissipação c0
pode ser obtido da seguinte ma
neira:
13 2•C = 2
D Reé (3.3.6)
2
ou
(6.1.32)
Podemos agora, calcular o parâmetro de sucçao (x) em função do
nível de sucção. Este nível, no caso de fluido incompressível e
representado por uma relação entre o numero de sucção no infinito
t"' e o numero de Reynolds no infinito Re"' a saber [1], (13],
'í/ = (6.l.33)
O parâmetro de sucçao e então definido por:
64
1 (6.1.34)
No caso de fluídos compressíveis devemos considerar a partir das
definições.dos parâmetros de sucção, números de sução e numero de
Reynolds, conforme abaixo:
(6.1.35)
Pcc •(-v )•L
o
pô = -(-v ) • ô
µ O 2 (6.1.36)
o
• u • ô Ô 2
(6.1.37)
Obtendo a relação
mero de Reynolds
das definições do numero de sucçao e do nu
(6.1.38)
temos que o parâmetro de sucção x sera dado por:
1/Jô X = Reô • __ 2 = 1/Jô
2 Reô 2
( 6. 1 • 3 9)
2
Observando que temos a relação abaixo para os numeros de sucçao
65
1/J,s P,s µ00 ô __ 2
= • 2 ( 6. 1. 40) ljJ 00 poo µ L
o
e z. J
foi definido como variável auxiliar, donde
z . ô
2 = __J_
Re 6 (6.1.41)
2
obtém-se para o numero de sucçao com relação a espessura ô 2
1 0 (: ô) ( :00) 0 ( z: ) ljJÔ = 1/J 00 .
2 Re6 00 o
(6.1.42)
2
e , finalmente, para o parâmetro de sucçao:
X =
ou
X =
A relação
de nivel
da perda
1/J 00 1 ( 2) . ( µ00 :ô) . (ZLj) • • l / 2 Re 6 Re Poo µô o 00 2
(6.1.43)
Re 1/2
00
1 l<=T-w
ljJ 00 1 [(~ )K- 1 . ( z})] 1/ 2 Re Re 6 T "°
Aw (6.1.44)
.. 2
Re 1/2
00
pode ser fixada arbitrariamente e e denominada Re 1/2
de "°sucção <;J •
t igualmente conveniente definir o parâmetro espessura
de quantidade de movimento da camada limite como função
da relação Re 6 a saber
Re l / 2 00
66
ô t··] { :: x~: )}-1 _2 =
2 pô (µ"' L Re.,, • ( P.,,) µ"' (6.1.45)
donde
ô 1/2 Re0 . ~~)(µ"'µº)(~1-1 2 Re 2
= L
a, 1/2 Re P.,, µó µo U.,,
a,
(6.1.46)
ou
~ 1 J Re 0 K-T-w - 1
ô 1/2 ~ :) - . 1 uô 2 Re
00
·2 • • = L Re
1/2 Aw u.,, a,
(6.1.47)
Os coeficientes de dissipação e arraste sao então definidos como
a
e
13 =
e a Tensão de cisalhamento na parede é dada por
ou T
-º-p u2
a, a,
1/2 Re
a,
a =
(6.1.48)
(6.1.49)
(6.1.50)
(6.1.51)
67
VI.2 - Transferência de Calor e Número de Nusselt.
O fluxo de calor local qx e obtida da forma a
baixo: aT
qx = - KélY y=o
. ~I ay y=o
A consideração do perfil de temperatura
nos darã
T u u 2
= A + (B+Kx)- + (C-Kx)(-) To Uó Uó
u (B+Kx) + 2(C-Kx)-
Uó
que aplicada a y = O se torna
Obtemos assim
u auº
= B + Kx
y=o
TO • (B+Kx)( ~, ) uº ay y=o
(6.2.1)
(6.2.2)
(6.2.3)
(6.2.4)
(6.2.5)
(6.2.6)
68
Posterior transformação desta equaçao nos darã
K -º- aul • e ·µ -
P ºay y=o
T ~(B+Kx) uó
que, com a aplicação da relação (6.1. 13) se transforma em
1 cf + K8x) q X = - • . C •T •p •U •B(l
Pr 2 p ó ó ó o
com a definição de
2 K-1 2 uó
B = r . -M . e = r . . e 2 ó 2Cp T 0
obtemos
1 cf r 3
(1 Kx) q = • póUó . e • +-
X Pr 2 2 B
(6.2.7)
(6.2.8)
(6.2.9)
(6.2.10)
Assim, em termos do fator de analogia de Reynolds, pode ser escrita
[19]
q = -X
r •
2 • e • (1 +
Kx)
B
A consideração do numero de Stanton (St) nos darã a forma
St =
donde a forma adimensional de transferência de calor
r Kx) 2 . st. e. (1 +
8
(6.2.11)
(6.2.12)
(6.2.13)
69
O numero de Nusselt e definido como
Nu= qx•L
Kc • llT (6.2.14)
e o numer~ de-Nusselt local seri funçio do comprimento x na su-~
perffcie do cilindro
( 6. 2. 1 5)
A obtenção de Cf _ em função de
xo para a transferência de calor:
1/ 2 Re® nos darão as formas abai
1 / 2 Re® =
r
2 • e •
f •
Com a consideração de qx em função de
para o numero de Nusselt:
1 ( K
8
x) • e • 1 + 2•S
1/2 e Re
®
(6.2.16)
obtemos
(6.2.17)
70
CAPfTULO VII
SOLUÇÃO DOS SISTEMAS DE EQUAÇÕES
VII.l - Sistema de Equações.
No trabalho referente ã camada limite de velocidade [l}
foram consideradas as seguintes características:
1. Escoamento permanente
2. Escoamento laminar
3. Fluido incompressível
4. Sem trocas de calor
O mêtodo de solução utilizado foi o desenvolvido por Gl
ROPP [5}, [13], [19], sendo aplicado tanto ao escoamento com pro-
priedades físicas variáveis como constantes, com troca de calor
ou não, escoamento laminar com gradiente de pressão arbitrário. No
presente trabalho estamos considerando o caso mais geral de flui
do compressível e trocas de calor, escoamento permanente e lami -
nar com gradiente de pressão.
Serão utilizadas as equaçoes integrais para a quantida
de de movimento
~º + o G dx 2 2 C
(2.6.12)
para a energia mecânica
d ~ o 2J l dU 0 -o + o 3-2-~ - M -•-d X 3 3 o o U dx
3 O
e para a
71
- 2C + D (2.6.17)
+ Kx(:: -1)]) =
aT
a condição de compatibilidade na parede
au V -ºay y=o
+ K ca Y y=o
y=o
+ J.l o a z Y y.=o
a condição de sucçao
X = - Reô 2
um perfil de velocidade tri-param~trico de foima
u - = 1 uó
T 2 3 - (1 - n) • (1 - EK + A n + A n + A n)
1 2 3
e um perfil de temperatura da forma
T u u 2
- =A+ (B+Kx)- + (C-Kx)(-) Tó Uó Uó
(2.6.38)
(2.4.14)
(2.5.2.1)
(3.1.8)
( 2 ,li . 3 2 )
A substitução nas equaçoes integrais da quantidade de movimento e
da energia mecânica dos valores de Cf e c0 bem como as consi-
72
derações de fluido viscoso (U = O) nos fornecem as equaçoes: o
dx
dó3 - + dx
A definição de
permite apos a
ó + _1 -
ó 2
ó + 2~ -
ó 3
zj
ZE
= Re 0 2
= Re 0 2
consideração de
dZj d Re 0 = 2
dx dx
dZ d Rer E v
= dx dx
•
•ó 2
•ó 3
que
dó 2
ó + Re 0 -2 2 dx
dó 3
ó + Rer -3 "2 dx
(7.1.1)
(7.1.2)
(7 . 1 .. 3 )
(7.1.4)
(7.1.5.)
(7.1.6)
obter-se as equaçoes seguintes, equaçoes diferenciais lineares de
primeira ordem [1] a que se acrescenta a Equação diferencial li
near de primeira ordem da Energia Total (Apêndice IV).
dZ. _J + G .z. - Fj = o dx J J
(6.1.1)
dZE GEZE FE o -+ - =
dx (6.1.2)
dZH GHZH FH o -+ - =
dx (2.6.65)
73
Aqui, a aplicação ao fluído newtoniano (n=l) nos permite as se9Ji~
tes definições: l dUô
Gj = 4 . ---uô dx
(7.1. 7)
l dUô ô 2
1) f. = 2cx - 2X - Z.- • ( 21 2Mô -J Ju dx ô 2
(7.1. 8)
l dUô GE = 4 • •
uô dx (7.1. 9)
FE = 26 -(:3
+1) ·x+ :3
~ cx-Zjulô ddU/)·(:1+2:· -2M~~
2 2 2 3
(7.1.10)
GH cx - X l dT0 _l dUô (1 + ~) = + ---
zj Tô dx u ô dx ô 2
(7.1.ll)
1 1 a [ K-1 , • B •K} xt;'.;(,(l-B)-1~1 FH = - -- r-M Z . Pr 2 ô
J o
(7.1.12)
Com a consideração da condição de compatibilidade (2.4) e do par~
metro de sucção (2.5) e, com as definições de cx(x), r(x) e Zj,
obtemos desprezando (cx(x)) 2 •w. r(x) = x •cx(x) + Zj
que, junto com (6.1.l) , (6.1.2)
l ·- . U ô dx
e (2.6.65)
(7.1.13)
constituem o sistema
de equações a ser resolvido, pois a obtenção de ZH implica no
cãlculo de Zj e a verificação do resultado é feita com a rela -
çao ZE/Zj.
As equaçoes em Z sao equaçoes diferenciais ordinãrias
74
de 1 ~ ordem do tipo equaçao Bernoui 11 i, para o caso gera 1 de f1 ui
do nao newtoniano (1.2), de expressão algébrica
dy
dx + f(x) • y
Vll.2 - Método de Solução.
= g(x) y" (7.1.14)
A equação de Bernouilli aplicãvel ao caso hidrodinâmico
tem forma
dz
dx + b • z •
l dU 0 ----a=O U0 d X
com solução geral (Apêndice 111)
(7.l.15)
(7.l.1.6)
Z(x) pode, então, ser calculado como função da distância X a um
ponto em que seu valor é conhecido como é por exemplo, o ponto de
estagnação, para um escoamento externo arbitrãrio U.s(x)" Comba
se na solução geral é possfvel desenvolver um processo iterativo
com a seguinte relação de recorrência, em que os valores com ~ ,n
dice (i) são os valores conhecidos e os valores com fndice
( i + l ) sao os calculados.
l~i+l [uº(x)]bdx 2i+l
[; ua r a
Uoi:l + 1 (7.l.17) =
zi zi Uoi+l
Na consideração da solução geral da Equação de Bernouilli, os coe-
75
ficientes a e b devem ser constantes. Para aplicação, devemos
pois obter valores médios de F . J
e pois estes valores sao
os valores de a nas duas equações dadas.
Utilizando a definição de r(x) dada em (7.1.13) pode -
mos escrever os valores de Fj ó
Fj = 2a - 2x - ( r - ax)(21 2
ó FE = 2S - (-: + 1)x
2
e FE como
2
1) - 2M 0 -
ó (r-axl(t +
2
abaixo:
ó 2__!!_
ó 2
(7.1.18)
Estas funções sao universais e dependem do perfil deve
locidades.
A escolha do intervalo xi+,- xi pode ser tão pequena
quanto necessãrio e o trabalho de FIGUEIREDO [1] mostrou ser boa
a aproximação sugerida por WALZ [19] de se escolher tal intervalo
que
0.97 1. 03
A estimativa inicial dos valores
ve ser feita e apôs cãlculo do valor para o
rificado pela relação
ó z Ei+1 _3 =
ó z. 2 J i + 1
ó _3
ó 2
ponto
(7.1.20)
f(x) e x
X;+ 1 e 1 e ê
de-
ve
(7.1.21)
Aplicado ao caso da Energia Total, a equaçao tem a for-
ma
(2.6-65)
76
com a soluçio geral (Apindice III)
(7.l.22)
Nela, temos as seguintes definições:
X e (7.l.23)
_ l tª K- l 2 K- l 21 FH = z:- ;-(r-2-Mô •e+ Kx) + x (((1-e) • r-1) -2-Mô)
. J r
(7.l.24)
(7.l.25)
• dx (7.1.26)
77
O conhecimento de z . J
dado pela equaçao da quantidade
de movimento permite o cãlculo de FH e a resolução da equaçao
(7.1.22).
78
CAPITULO VIII
MtTODO COMPUTACIONAL
VIIl.l - Funçiies para Iteração.
Para a resolução do problema do perfil de velocidade do
flui do incompressível [1] , foram escolhidos como parâmetros de for
ma do perfil as quantidades H r 3 2
e X
A cada incrementos t,x os mesmos sao calculados itera
tivamente. Os resultados obtidos por FIGUEIREDO QJ, confirmam as
sugestiies de WALZ [19] de que a convergência era garantida para
t,x tal que
(8.1.1)
Valores médios dos parâmetros de forma sao considerados
apos cada incremento. Conforme verificado na determinação dos va-
lores ô , ô e ô , eles são funçiies de relaçiies designadas 1 2 3
por F , F e F , relaçiies estas funçiies de e, y, r, e X· 1 2 3
Obtém-se, então:
ô 1 F =
ô 3 (8.1.2)
ô 2 = F - F
ô 3 1 (8.1.3)
ô 3 = 2F - 3F + F
ô 3 1 2 (8.1.4)
79
ô ô e da consideração dos valores de _3 e obtém-se a relação
ô ô
ô 2F - 3F - F H
3 2 = 3 = 3 1 2
F - F (8.1.5)
ô 2 3 1
a determinação de E(x) e y(x) exige a formação de um sistema
de equações nao lineares a saber
p = F - F + 2
e
Q = F - F 3 1
Resolvendo o sistema
p =
Q =
obtemos E(x) e y(x).
( 2 - H a 2 )
o _2 = o ô
f (E, y)
f (E, y)
ô ~ = ô
o (8.1.6)
(8. 1.7)
(8.1.8)
(8.1.9)
No caso do escoamento de fluído compressível com troca
de calor, os valores de
fi l de velocidades como
ô , ô , ô e ô são função do per-1 2 3 lt
no caso incompressível mas também função
do perfil de temperatura pela relação
p T u u 2
ô = - = A + (B+Kx)(-) + (C-Kx)(-) P T ô Uô Uô
(8.1.10)
Quando considerados nas integrais de definição dases -
pessuras de perda de momentum, de energ.i a, etc, estas integrais
não apresentam solução analítica como no caso incompressível D]. Neste caso, a sua resolução foi feita por quadratura utilizando-se
80
a fórmula de Simpson.
Para manter o mesmo encaminhamento do problema incom -
pressivel e tornã-lo um caso particular do nosso trabalho, desen-
volvemos ô, ô, ô e ô conforme segue: 1 2 3 4
ô , espessura de perda de velocidade: 1
ô , espessura de perda de momentum: 2
u
U U 2
~ - (~) ô = Jô pu u Jl _2 (1 - - ) dn=
ô pôUó u ó o o
Ô', espessura de perda de energia: 3
T
Tó
dn
= Jó = II u ( uuô) ó 2 pu
( 1 - ~) uô _l. dn ô póU ó uó o o
ô , espessura de perda de densidade: 4
T
Tô
(8.1.11)
(8.1.12)
3
dn (8.l.13)
(8.1.14)
81
Estes valores sao função das relações que designamos por:
~ = F ó 3
(8.1.15)
o 2 = F -.F + F o 3 o
(8.1.16)
o _3 = 2 . F - 3 • F + F + 2F ó 3 1 2 o
(8.1.17)
o • = F o • (8.1.18)
sendo estas relações definidas conforme abaixo; tendo em vista ma.!!
ter o caso incompressível como um caso particular do presente:
1
= f (, -Fc8\n) Fc7(n))
F + dn 3 Fc8(n)
o
(8.1.19)
1 Fc7(n) 3
=J F <ln 2 Fc8(n)
o
(8. 1. 20)
1 2
=f Fc7(n)
F dn 1 Fc8(n)
o
(8';1.21)
1
F = f ( Fc8\n)
- 1) dn o (8.1.22)
o
1
=J (1 - F c 7 ( n) -1 Fc7(n))
F + dn • Fc8(n) Fc8(n) o
(8.1.23)
82
em que
Fc7(n) = ( 1-n) T ( l - E K + A n + A n 2 + A n 3 ) 1 2 3
(8.1.24)
Fc8(n) = A+ (B+Kx) L1 - Fc7(n)] + (C-Kx) [i -Fc7(nu 2
(8.1.25)
ô Da consideração dos valores de
ô _3 e -
2 obtim-se a r~lação ô ô
32
ô = _j_ =
ô
2(F -F +F ) - F 3 1 O 1
+ F 2 (8.l.26) H
F - F + F 3 1 O
ô que, com a consideração de
çoes nao lineares
2 nos fornecerá o sistema de equa -ô
ô p = F - F + (2 - H
3 2) ---2.. = o
2 1 ô (8.1.27)
ô Q = F - F + F - J
3 1 o ô (8.1.28)
Neste sistema de equaçoes temos que
6 r ,12 J = ( -)
ô ô (8.1.29)
e
H = (~\ 3 2 Ô /
(8.l.30)
2
sao os valores definidos para o caso do perfil de velocidades no
escoamento incompressfvel QJ e que serão corrigidos para o caso
do flufdo compressfvel segundo correção sugerida por vlALZ [19], a
saber:
r = r • cp
H = H • ijJ 3 2 3 2
(8.1.31)
(8.1.32)
,P=l/1+ K-1 2
r--M 2 ô
83
($12
- l) Mô $ = l +
$' o
,,. - a - be "'12 -
H 3 2
1 0 , 8
$0
= 0.0144(2 - H )(2 - 8) 32
a= 1.18
b = l. 08
(8.l.33)
(8.l.34)
(8.l.35)
(8.l.36)
(8. 1.37)
(8.l.38)
Deste modo podemos determinar o sistema de Equações nao lineares
P = f (E, Y) = 0 (8.l.39)
Q=f(E,y)=O (8. l .40)
sendo os valores E e y, como no caso incompressivel, obtidos
a partir dos valores iniciais da solução de Hartree e determina -
dos iterativamente na resolução do sistema de equações não linea
res P = O e Q = O.
VIII. 2 - Valores Iniciais.
O método de resolução pressupoe: o conhecimento de um
valor imediatamente anterior para cãlculo do valor seguinte. t
possivel iniciar o problema com o conhecimento de valores no po~
84
to de estagnação, onde Zj(o)= O
do dado por:
= - Kx • ( H - 1 ) 3 2
(8.2.1)
O valor de temperatura no ponto de estagnação ê previsto, função
da velocidade do fluído e da temperatura do mesmo.
Os valores dos parâmetros do perfil de velocidade sao
os considerados no trabalho incompressível [1] com a correção men
ci onada (8. 1).
VIII.3 - Condição Final.
A condição final sera aquela em que o perfil nao mais
pode ser considerado como de um escoamento laminar. Ela ê dada por
u d-
(l = uô
< o (8.3.1)
a(:) 2 y=o
ou ô
(l = E: ·(-:)5-0 (8.3.2)
quando o perfil ê perpendicular ã parede, a partir do qual começa
a existir um fluxo no sentido inverso e o descolamento da camada.
85
VIII.4 - Processo de Iteração.
Para fins de computação do problema, foram considerados
pequenos intervalos da variável x sobre a superfície do cilin -
dro e dentro destes intervalos, foram calculados valores
dos diversos parâmetros do escoamento e da temperatura.
médios
As equações foram resolvidas com a consideração do co -
nhecimento do valor imediatamente anterior e foi verificado, den
tro de cada intervalo da variável x, qual o valor de Kx que i
gualava as duas equações da Energia (ZH), a obtida da relação
algébrica (2.6.62) e a da equação diferencial (2.6.65) denominadas
Ec e Eb respectivamente.
Aqui, a exemplo do parâmetro
a aproximação
H 3 2
IE - E 1 < 0,001
Ci+I bi+I
verificou-se ser boa
X
u T
86
INÍCIO
VALORES INICIAIS H3 ZJ EPS
GA ZE DAM
AK ZH TETA
Mach'
DO I = 1,800 >--~----~
X(I+I): X(I) + LIX
UÓ
T~
DO K = 1,100 >-------~
DOJ=l,10
CALL CRIS ( t, 1")
2 3 4
1
~
FUNÇOES UNIVERSAIS
FJ
FE FH
EQUAÇÕES
z J
ZE
ZH
•
s
5
FIG. ( 8 · t - A ) - ESQUEMA DO PROCESSO DE ITERAÇÃO
N
N
6 7
5
Z J ( I l =ZJ(I+t)
Z E ( I ) = ZE(I+1)
Z H ( I ) =ZH(It1)
H 3 ( I ) =H3(I+1)
K X ( I ) = KX(I+t)
o/. #- o
s
ll. X = ll. X'
4
N
87
CF,CO,TO
RD2,Q,NU
H 3J ( I t 1) = H 3 ( I + 1 )
GAJ ( I + 1 ) = GA ( I + 1 )
2
6
( Ec - Eb) 1 O
s
Kx = Kx ± ll.Kx
FIG. ( 8 · i - B) - ESQUEMA 00 PROCESSO OE #
ITERAÇAO
5
ªª
CAPfTULO IX
CONCLUSÕES
IX.l - Resultados e Discussão.
O presente trabalho consistiu na solução da equaçao da
energia térmica para a camada limite pelos métodos integrais e a
sua aplicação ao cálculo da transferência de calor e outras gran
dezas do escoamento no caso em que se acham presentes gradientes
de pressão adverso. Para tal foram arbitrados numeras de Mach p~
ra o escoamento compressível e escolhidas faixas para o parãmetro
de transferência de calor e dentro das inúmeras possibilidades
que o caso real apresenta. Foram selecionadas duas faixas de valo
res para e e verificado o comportamento da transferência de ca
lor e demais grandezas para estas faixas. Os resultados se encon
tram nos gráficos que se seguem. Verificou-se que a convergência~
solução se torna difícil para maiores valores de Mach sendo neces
sário inúmeras iterações para o estabelecimento dos valores cor
retos de E e y que resolvam as equações com determinado Kx que
preencha a precisão requerida. Estes valores estão relacionados na
Tabela 9. l.
Foram utilizados os perfis de velocidade externa dado
pela experiência e perfil de temperaturas externa função da velo
cidade externa, sendo usado como fator de proporcionalidade os va
lares c = l para Mach = 0.2 e os decorrentes da consideração
89
NQ de Mach Interação e: y e
l 7.3220 35.7220
2 7.3250 35.5224 0.2 o. 17350
3 7.3494 35.6724
4 7.3494 35.6724
l 7.6355 38.0724
2 7.0709 34.0224
0.4 3 8.2099 44.9724 0.17005
4 7.4348 37.4224
5 7.4347 37.2724
l 8.7599 49.7224
2 6. l 07 4 27.2724 0.6 0.16460
3 8.7599 50.4224
4 8.7599 51.1224
TABELA 9-1 - Parâmetros e:, y iniciais
E90
de escoamento externo isentrõpico, função do numero de Mach. O
perfil de velocidade externa e crescente e apresenta valor mãximo
nas proximidades de eº=70º sendo decrescente a partir deste va
lor e se interrompendo em torno de eº=BOº visto que ai o pe:rfil
nao mais e laminar e as equações não mais representam o problema
estudado. O perfil de temperatura externa e de representação sem~
lhante com representações distintas em função do fator de propor
cionalidade utilizado. As figuras (9-1) e (9-2) apresentam estes
* perfis em função do ângulo eº ou de X =X/L. A diferença de tem
peratura AT utilizada foi de AT=l89°C numa suposição·e AT=40°C
em outra. A tensão de cisalhamento na parede
sível e função de U0/U00
e de p0/p00
, esta
(To/Too)1/K-1.
't' o
no ç:aso compre~
últjma· 0 flinção de
A presença do gradiente de pressao adverso afeta a ten-
sao de cisalhamento acentuando a declividade da curva para
valores superiores a 8°=70°. Para valores de AT=l89°C e a con
sideração de p0/P00
dado pelo perfil de temperatura externa com
fator de proporcionalidade c=l obtemos valores máximos de T 0 em
torno de eº=62° a partir do qual se acentua a declividade da cur
va. Verifica-se um deslocamento deste mãximo para maiores valores
de eº quando comparado~com o caso incompressível. Na represent~
* çao da figura (9-3) temos a curva para T o
em função de T" de-
monstrando que para os valores iniciais de eº temos Tst/T00
pr~
ximo de T0/T00
sendo esta diferença Proporei onal ã relação p -'p IS oo
considerada. Os coeficientes de arraste e de dissipação são fort~
mente decrescentes no início, obtendo-se estabilização para maio -
res valores de e 0 • Eles se acham representados na figura (9-3)
91
para valores de 6T=l89°C. Deve ser observado que estes valores i/ 2
são função da relação Re 6 /Re00
que ê proporcional ã correçao 2
de variação de massa específica e de viscosidade dinãmica, ambas
funções da relação de temperatura considerada. A influência do,nüC
mero de Mach pode ser vista na figura (9-5), onde se considera a
diferença de temperatura 6T=40ºC para diferentes .. numeros de
Mach.
o fluxo de calor apresenta rãpida variação pa-
ra valores de eº menor que 50° devido a espessura da camada
limite térmica ser muito pequena. os valores obtidos, bem como
o do nümero de Nusselt para 6T=l89°C e Mach=0.2 se encontram
representados na figura (9-4). Valores para outros nümeros '-. de
Mach e 6T=40°C são representados na figura (9-6). Aqui utili -
zou-se o perfil de escoamento externo isentrõpico.
IX.2 - Conclusões e Sugestões.
A solução da equação da energia térmica pelos métodos
integrais com a utilização de um perfil de velocidades polinomial
de grau variãvel e um perfil de temperatura função1do perfil de
velocidades do tipo empregado por Van Driest para a placa plana
e considerando por correção de seus coeficientes a influência
dos gradientes de pressão adverso e de temperatura, revelou- se
satisfatória para diferentes faixas de fl~xo .de calor e
diferentes nümeros de Mach do escoamento compressível. A aproxi
mação obtida estã dentro dos valores aceitãveis para os proble -
mas usuais em que a utilização de um mêtodo aproximado se reve-
92
la de grande utilidade.
Como sugestão, recomenda-se a continuação do estudo com
a aplicação do método aqui desenvolvido ao caso de maiores valo
res do numero de Mach do escoamento do fluido compressível, sendo
pesquisada a correção necessária para a consideração da existênc~
de ondas de choque e sua iteração com as camadas li~~s laminar~
velocidade e de temperatura. De grande importãncia é a pesquisa ca
influência d~ dissfpação viscosa nas equaçoes. A sua con
sideração e apresentada como sugestão no prosseguimento do traba
lho.
Sugere-se, igualmente, a aplicação do princípio dos me
todos integrais como aqui desenvolvido ao caso do escoamento biff
sico, considerando-se a C.L. de concentração de massa e condições
de contorno para a interface. Isto feito, acreditamos que se te
ria abrangido os três diferentes ramos da mecânica dos flufdos ~e
estudam os fenômenos de transporte pelos métodos integrais.
Uc! Uoo
U6 --t X L
--------- - -+-- .. -- -+-----.------i-r1c ,-------, ~ -
·-+----- - -t---+--+--+-e· ;w::
--- - -+--·- -- - +- - - -· -t-~· -- ----j--. ' 5.0 -t-----+--------1 J
>----------+- 1
1 --+---·- --+- - --- -+
4.0 - -~ --kttl-Ltttt ---11----- - - --+------__._----!- --+--___;:..---_/
3·0 1 1 -i 1 7:r/ 1 1 11111 11 1
/
2·º 1 1 - ~~-1 1 --~-_,
1.0 - ---r-
10º
o
- - ---+-----' 1
20°
2
- ·-- -+-- - -··
----j---------- ·--+- -
300 40º
3
+-- - --·- -- +··--'- - +- +-+-·-'-->-+--.. -t· -+-+--+-t-+--+--+--+-
' ... -~ -- --t- --·f- -
----t--+--t--t-+--~ +-- +-+---+--
+- -·t· -+-
50° 60° 70º 80º
4 5 6 7
FIG. { 9-1) - VELOCIDADE NA EXTREMIDADE DA CAMADA LIMITE .U e!/ U.., = f ( ~ )
eº
x*
<D w
Tst-Tó Too
20.0
18.0
16.0
14.0
12.0
10.0
e.o
6.0
4.0
2.0
::::::::::::::
10°
o
Te!
Too
, L -~ X
u~ , . ..
-
r
J 1
-r:::... ~ , .
-L /
L L
L L
L. /
L /
L L
L /'
/' -
L__.
l .
20º 30º 40º 50º 60º 70º 80º
2 3 4 5 6 7
FIG. ( 9 - 2) TEMPERATURA NA EXTREMIDADE DA CAMADA LIMITE
eº
* X
~ ...
\ ~ 1 1 T foRam 2 /Ts.-Tó)'x-1 112 \
PóU"'• ~ T ó Cf · R,."' \
( • 10 2 ) - - -
- \ e / ,, , - 1 \º / \.,z-;
300 40 1 \ / ·- \, o
1 \ / 210 \ e, \ / - \
-, \ J \
240 \ \ / \
-30 \ \ / \
210 \ - \ / \
• \ \./ \ 1
180, e; 0.82~5 ~ o.8951 \ 'x \ , T =e.(-) - c=1 \ / '\. \
150t20 1 Uo 1 ·-: / '\. - \
\ J '\ \
\.. / ' \ 120------+-
90 y, -~ - \ e- 10 .. - - ...
/ '- --......___ 60 •. .. ·-, ~~
-~ --·-- ·--- -· - . .. ----. ----. / --30 --· -• - - /'- --- - . - -r-··
10º 20º 30º 40º !50º 60º 70º
o 2 3 4 5 6
80º
CD x Rl. 1/2
Q)
( x 10 2 )
4.0
3.0
2.0
l·O
7
eº
* X
FIG. ( 9-3) - COEFICIENTES DE ARRASTE E DISSIPAÇÃO E TENSÃO DE CIZALHAMENTO
u:,
"'
,.
.,. qx·R.oo
Íd uó' ( X 10 a)
.
40 \ \ \ ~ \ \
\
"" '
30
\ "\ -~e= 0.825 a 0.895
\ ·~q. • ( u ) '
-- T = C, Ud \Nu
""' 20
~ \. 10
~ -
' "' 5
~ -10º 20º 30º 40º 50º 60º
' o 2 3 4 !5
, FIG. ( 9 - 4) - FLUXO DE CALOR E NUMERO DE NUSSELT
NL f&u ( X 1(
"
30
20
10
.............. 5
~
"' 70º 80º
6 7
MACH=0.2
- ,, ó' R.oo •
')
...
eº
* X
"' "'
~
1o Rta, • ~ 'f\ --t'ooUoo 2 1 '\\ 1 M= 0.4t-- -~ - -
.- ·r---·
4.0 IÔO - ·-· '.J. ~ +-·· --· +------! 100
1-------+.\------+--~-------3.0 t 75 75
·- -Co· ~ '1•
(X)
( X 102)
2.0 [: __ 50
1.0 25 25
-- 1 ::::-:-.. 1 ........ -
10° 20° 30º 40º 50º 60º 70º BOº
o 2 3 4 5 6 7
1 Ct . R,. 1
• (X)
( X 10 2 )
8° 9
x*
N N
FIG. ( 9-5) - COEFICIENTE DE ARRASTE E DISSIPAÇAO E TENSAO DE CIZALHAMENTO
"' '-J
800
q •. cl• .)(o· uó" 750
( • 10 4 )
700
650
600
550
500
450
400
350
300
250
/ /
/ / ./ " / / \ / -- -
J \ -- ,--, .,. . .,,.
M_=0.6,' / / .,,.
\ -q. M = 0.4, ,____
,,. \ .,,. ,,. \
M=0.2 ~~ / -.,,. \ \ ., \ -- 1
.- M= 0.4 • ,
/--::\-, Nu
/M= 0.6 - -
. - ··-e-;:; o-. <- -! ...... - .....
" . - ,-
" '· . "
"\ \ -
200
10º 20º 30º 40º 50º 60º 70º
o 2 3 4 5 6
I FIG. (9-6) - FLUXO DE CALOR E NUMERO DE NUSSELT
25.0
22.5
20.0
17.5
15.0
12.5
10.0
7.5
5.0
2.5
ªºº 7
NU·d•
)(o"U.! 2
eº
x*
.,, 00
99
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A
1 02
NOMENCLATURA
Parâmetro na equaçao do perfil de temperaturas defini do por (2.6.33)
A1 ,A 2 ,A 3 - Coeficientes do perfil de velocidades
B
c
e V
E
f V
Parâmetro na equaçao do perfil de temperatura definido por (2.6.34)
Parâmetro na equação do perfil de temperatura definido por (2.6.35)
Coeficiente de dissipação definido pela eq. (2.6.14)
Coeficiente de arraste definido pela eq. (2.6.9)
Coeficiente de calor específico a pressao constante
(Cpm = valor médio)
Coeficiente de calor específico a volume constante
Numero de Eckert (E = valor médio) . cm
Parâmetro da equaçao diferencial ordinária definido por (2.6.5)
Definido pela eq. (2.6.40)
Equação da comparaçao
Equação básica
Numero de Froude
Parâmetro da equação diferencial ordinária, definido
F
f ,f 1 2
F . J
g
G
H 32
h \)
h
i
1 03
por (2.6.6)
Definido pela equaçao (2.6.41)
Definido pela equaçao (2.6.63)
Funções no perfil de temperatura
Parâmetro da equação diferencial ordinária da quantidade de movimento (7.1.1)
Parâmetro da equação diferencial ordinária da energia mecânica (7.1.10)
Constante gravitacional
Parâmetro da equaçao diferencial ordinária, definido por (2.6.7)
Definido pela equaçao (2.6.39)
Definido pela equaçao (2.6.62)
Parâmetro da equação diferencial ordinária da quantidade de movimento (7 .1 . 7)
Parâmetro da equação diferencial ordinária da Energia mecânica (7.1. 9)
Parâmetro de forma do perfil de velocidade
Parâmetro da equaçao diferencial ordinária, definido por (2.6.4)
Entalpia definida pela equaçao (2.6.24)
Energia interna, definido pela equaçao (2.6.25)
K
Kx
L
m
M
n
Pr
p
Re
p
Q
r
104
Relação entre os calores específicos e
Coeficiente de condutividade térmica (Kcm=valor medio)
Parâmetro de correçao das influências de~ f. O e ~f.O
Diâmetro do cilindro
Coeficiente de viscosidade para fluidos não-newtonianos (newtoniano m=µ)
Número de Mach
Expoente da taxa de variação da velocidade para fluidos não newtonianos (newtoniano n=l)
Número de Nusselt
Número de Prandtl (Prm = valor medio)
Pressão estãtica
Fluxo de calor local definido pela eq. (6.2.1)
Número de Reynolds
Número de Reynolds local relativo a espessura de perda de momentum (o )
2
Função para iteração
Função para iteração
''Recovery factor"
Raio do cilindro
R
s
T
u
u
* u
V
w
X
* X
X
y
105
Constante universal dos gases
Fator de Analogia
Número de Stanton
Temperatura absoluta do fluido (Tm = valor médio)
"Recovery temperature"
Velocidade do fluido na direção x
Velocidade livre do fluido
Adimensionalização do perfil de velocidades na extremidade da camada limite
Velocidade do fluido na direção y
Expoente na fÕrmula de correlação entre a massa específica e a temperatura
Coordenada ao longo da parede do cilindro, na direção do escoamento.
Adimensionalização do comprimento sobre a superfície do cilindro
Componente na direção x da força externa por unidade de massa
Coordenada perpendicular a parede do cilindro, dirigi da para fora
V
z
106
Componente na direção y da força externa por unidade de massa
Parâmetro de espessura
Definido pela equaçao (2.6.61)
Variável da equaçao diferencial ordinária da quantid! de de movimento
Variável da equaçao diferencial ordinária da energia mecânica.
Símbolos Gregos:
a.
e
y
r
ó
Parâmetro do perfil de velocidade definido pela equação (3.1.4-a)
Definido pela equaçao (3.3.11)
Parâmetro do perfil de velocidades definido pela equ! ção (3.1.2)
Parâmetro do perfil de velocidades, definido pela equação (3.1.4-b)
Espessura da camada limite
Espessura de perda de velocidade, definido pela equação (2.6.11)
Espessura de perda de momentum definida pela equaçao (2.6.10)
Espessura de perda de energia definida pela eq.(2.6.15)
f. T
)J
n
p
e
1 07
Espessura de perda de massa .es~ecífica definida pela equação (2.6. 18).
Divergente
Diferença entre a temperatura da parede do cilindro e a temperatura externa.
Parâmetro do perfil de velocidades, definido pela eq.
(3.2.1)
Viscosidade dinâmica
Adimensionalização da ordenada y(n= f) Massa específica
Ângulo central subentendido pelo comprimento x
Parâmetro da transferência de calor definido pela equaçao (2.6.36)
'xy Tensão de cisalhamento segundo o eixo dos x
, Expoente variável do perfil de velocidades
Termo de dissipação nas equaçoes de Navier-Stokes
X Parâmetro de sucçao definido pela equaçao (2.5.2.1)
\) Expoente da "função peso"
Numero de sucçao definido pela equaçao (2.5.2.2)
Nível de sucçao definido pela equaçao (6.1.3)
Indices
ó
s
o
i
*
J
E
H
108
Valor local na extremidade da camada limite
Valor relativo ã espessura da perda de momentum (ó2
)
Valor em um ponto de referência fora da camada limite
Valor no ponto de separaçao
Valor na parede do cilindro
fndice de interação
Valor adimensionalizado
Valor na lei da quantidade de movimento
Valor na lei da energia mecânica
Valor na lei da energia têrmica
109
APt'.NOICE I
PERFIL.DE TEMPERATURA, DE VELOC!OAD~· E. SEUS
COEFICIENTES
O perfil de temperatura· utilizad~ ida forma
2 T U U
= A + (!3+Kx)-' . + (C-Kx) (-) . T ô Uô . Uô
com as definições:
A= 1 + r·K-lM 2 (1-9) 2 ô
o. perfil: de velocidades i.definido por
U T - = 1 - (1-n) (1-EK+A n+A n2 +A n3
) U 1 2 3
ô
obtemos apõs derivar com relação a n:
que, aplicada ao ponto y=O (n=O), se torna:
= T - A 1
(AI-1)
(AI-2)
(AI-3)
(AI-4)
(AI-5)
(AI-6)
11 O
ou, pela definição de E: dada em (3.1.11)
A =T-E: l
(Al-7)
Derivando novamente com relação a n e aplicando are-
lação anterior para A ' l
obtemos no ponto y=O (n= O)
- 2A 2
(Al-8)
que, pela definição de y dada em (3.1.12), nos fornece
u a2-
A = 2
y
2 -T•E:+
2
Partindo da derivada segunda do perfil
(AI-9)
u o T-2 2 3 T-1 ..2)+ --=-(T-l)·T·(l-n) (l+A n+A n +A n )+T(l-n) (A +2A n+3A ,, 1 2 3 l 2 3
+ (1-n)T-l(A +2A n+3A n 2 )-(l-n)T(2A +6A n) l 2 3 2 3
(AI-10)
e derivando novamente com relação a n e aplicando as relações p~
ra A l
e A obtidas anteriormente, temos, no ponto y=O (n=O) 2
=T 3 + 3T 2 + 2T - 3 • E:(T 2 +T) + 3T • y - 6A 3
(AI-11)
n=o Considerando a condição de compatibilidade na forma ge-
ral (2.4.15) e derivando esta expressão com relação a Y, temos:
v a2u 1 = ~ ~_.:::_. ~( B+Kx) 0 ay 2 p U, T y=o o u o
(AI-12)
1 1 1
que adimensionalizada nos fornece: u a-
uó µ w TO
· U0
U0 -v -· = -º -•-•(B+Kx)•2•-•-
ou
ou
002 y 2
a(-) o· y=o
P o Uo To o aL
+
o
u a 3_
uo uo -·--3 3
y=o
º a('í...) o y=o
u a2-
• uo
+ uo
u a3-uo
a(;) 2
( º) 3 a( f / y=o y=o
Utilizando as definições de e e y obtemos:
p V o3 U0 -º-º ·-·-2. (-y) = µ o2 u
o o
u ª3_ u ó
p V o ó T0 =y( 0 0 2·-
2 -2•w-·(B+Kx)•c)
µ o T 0 y=o o
y=o
+
y=o
(AI-13)
(AI-14)
(AI-15)
(AI-16)
112
donde finalmente
r -1/2 T = y (-x·(-) -2,w·_j_· (B+Kx) ·e:)
y To (AI-17)
y=o
A obtenção de A é feita utilizando esta condição de 3
compatibilidade na parede e a derivada terceira do perfil de velo
cidades.
Obtemos, então:
ou
e, finalmente:
A = 3
y ' r - 1 / 2 B+Kx T3+3T 2 +2T T2 + T x(-) +2•W•--•e:+3T + - e:•---
6 y A 6 2 (AI-20)
No caso de µ=µ temos w=O, e o coeficiente para o o
caso incompressível serã:
- e: • (AI-21) 2
11 3
APtNDICE II
DETERMINAÇÃO DOS COEFICIENTES DE
ARRASTE E DE DISSIPAÇÃO
O parâmetro Cf da equaçao da quantidade de movimento
e calculada a partir de sua definição
Aplicada ao fluido newtoniano (n=l) obtemos
=
au µ ºay
que, adimensionalizada se torna
uô a..!!... uô
µo ô a.L
cf 2 ô 2 y=o - = = 2
pô u2
ô
ou, utilizando a definição de (l
cf (l
= 2 Re 6
y=o
a_!!_ ~ uô a.L
ô 2 y=o 2
pô•Uô•ô2
µo
e de Re 6 2
2
(AII-1)
(AII-2)
(AII-3)
(AII-4)
114
O parâmetro c0 , da Equação da Energia mecânica, e cal
culado a partir da sua definição
2 (AII-5)
para o fluido viscoso (µ =O) e newtoniano (n=l), obtemos: o
2 uó
ó au au ·f ,•du= 2
2C 0 = --3 3 . J (µ-)(-)(dy) póUó póUô ay ay
a o
(AII-6)
2
2 Jó (u ó • .~) µ Uo 2C 0 - --3 -ª • µ • dy póUó µ aL a o ó2 ó
(AI I-7)
2
2
Jó c~,y 2•U µ µ 2C 0
ó -ª • a / .. dy - --3
pó u ô ó µ 2 a o ó2
(AII-8)
Utilizando a definição de Re 6 e mudando os limites 2
da integração: 2
2 _1 Jl µ ·C (u',l)- ,(). 2C 0 - ó Reô º2 µ ô 0Y ô
o o o.. -2 2 Ô
(AII-9)
1 / u '2
2 ô ô2 ·J ~ ·( ª~; )· 2C 0 = _2 an Re 0 º2
ô2 o µo 2
(AII-10)
2 ô . Jl µ (\":• )' . 2C 0 = _2 n Reô ô µo
2 o '
(AII-11)
ou, em forma resumida
2C = D
115
2 • B (AII-12)
116
APtNDICE III
SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
No caso de fluído newtoniano (n=l), as equaçoes diferen
ciais sao da forma
ay - + p{x) · y = g(x) ôx
e tem para solução
l
[
X X p(t)dt J J , g(s) , dsl y =
X J p(t)dt e
Jxp(t)dt e
(AIII-1)
(AIII-2)
A aplicação a equaçao da quantidade de movimento e feita como se
gue:
dZ. l dUô __,1.+4·---· dx U ô dx
(AIII-3)
. (AIII-4)
(AIII-5)
117
(AIII-6)
X = X o (AIII-7)
zJ. = z. J o
(AIII-8)
A aplicação a equaçao da energia mecânica e semelhante.
Vamos, agora, aplicar a equaçao da energia térmica:
dE {ª-X -+ --+ dx Z j
Considerando valores mêdios para os integrantes do Ülti
mo termo temos:
(AIII-10)
e a equaçao
dE { a-x - +E • (-) dx zj
(AIII-11) U dx
tem solução
(~~!) E =E .• e J
X x 0 4> (AIII-12)
118
em que
4> = IX Tôx (~)·x
(1 + ô 1 )
• e Zj
X
• dx
Q
Uôx Ô2
119
APtND ICE IV
DETERMINAÇÃO DAS EQUAÇÕES INTEGRAIS
Partindo das equaçoes da continuidade e da quantidadede
movimento
a a -(pu) + -( pv) = o (AIV-1) ax ay
au au dp a, pu- + pv- = - - + (AIV-2)
ax ay dx ay
Multiplicando a equaçao da continuidade por e a
da quantidade de movimento por Uv e adicionando as duas equações
obtemos:
1 { a v+ 2 - .-(pu ) v+ 1 ax
a v+ 1 } + -(pvu ) ay
= uv{- ~ + ~} dx ay
(AIV-3)
Integrando com relação a y entre os limites y = O e
y = ô e adimensionalizando pela multiplicação por
tém-se
1
V'+ l
v+l ob-
(AIV-4)
1 20
Considerando que, pela simplificação da camada limite
~ e constante ao longo de y,e que temos a relação
dp dUô = - p u -
dx ô ô dx (AIV-5)
A equaçao da continuidade nos dã
ô
-J ~(pu}dy ax o
(AIV-6)
e a fórmula de Leibnitz nos fornece
= d Jô (puv+2)dy - dô dx o dx
(AIV-7)
Obtém-se, então, a forma
=
1 dU Jâ u v ô u v a T
(v+l)- _ô (-) dy+(v+l)r (-) -(-2)dy u ô d x º U ô 'Jº u ô a Y P ô u ô
(AIV-8)
A consideração de
1 d Jº pu v+2dy = __ , __
dx U v+• o p li ô
e
1 (AIV-10)
l 21
bem como a relação
l d pó --- = (AIV-11)
permite obter a forma
d ó ~ uv+2 j l dU ó ~ uv+1j J ~ 1- dy-(v+2-M
2
)
pu -- 1- dy --- 1 pºUº uºv:1 dx U U v+ 1 ó U
O dx o pó ó ó
pOVl ~ "" J l dU ó pu tº uv-1 ~ o -1 = - __ ó (v+l )1 - ---1 dy +
póUó U v+ 1 U O
dx 0
póUó u \)""l
ó p ó
(AIV-12)
que, com as definições (2.6.4), (2.6.5), (2.6.6) e (2.6.7) nos da
rao o sistema de equações diferenciais de 1~ ordem
d gv 2 l dU 0 fv + fv(v+2 - 1v - M0} - -- + ev + hv = O dx Uó dx
(AIV-13)
Partindo da equaçao da continuidade multiplicada por
~;r l - h v- ~ e da equação da energia, coloca da sob a forma de
entalpia, multiplicada por (v+l)•hv obtêm-se, por subtração des
ta equação da primeira e da consideração de que 2
h uó
+ - = const. ( AIV-14) 2
a forma abaixo
122
Integrando com relaçio a y nos limites y=O e y - o
obtemos o .
J~[ u(hv+1_hv+1)Jd { U [hv+1_hv+1]- v ~hv+1_hv+1J} = . p o y+ p o o o o p o o o o ax o
o - ( v+ 1 ) J h \}.
o
ou, pela utilizaçio da fórmula de Leibnitz,
-(v+l)
donde
aT a( U'l" + K -)
cay
que e a equaçao integral da Energia Térmica (2.6.22).
(AIV-16)
(AIV-17)
123
APtNDICE V
SIMBOLOGIA PARA CODIFICAÇKO
Subprogramas FUNCTION:
FCl calcula o integrando de BJ(velocidade externa na Eq. da Energia)
FC2 calcula o integrando de BE{velocidade externa na Eq. da Energia)
FC3 calcula o integrando de 8 (coeficiente de dissip~ ção)
FC4 calcula a função Temperatura externa T
FCE calcula o integrando de cp (ria'.equação,da·
térmica)
FCS
FC6
FC7
FC8
calcula o integrando do perfil ·de
calcula o integrando do perfi 1 de
calcula o integrando do perfi 1 de
calcula o perfil de temperatura
FC9 calcula o integrando de F3
FClO - calcula o integrando de Fl
FCll - calcula o integrando de F2
FC12 - calcula o integrando de F4
FCO calcula o integrando de FO
velocidade
velocidade
velocidade
{T/T 0 )
energia
(U/Uõ)2
(U/Uõ)l
(U/U 0 )
124
lTO calcula o expoente t do perfil de velocidade.
ADI calcula os coeficientes do perfil de velocidade
FCI calcula as funções FO, P e Q
Subprogramas SUBROUTINE:
Símbolos
FIP calcula as integrais
QATR - calcula as integrais
CRIS - cal cu.la a solução do
AUXFCN- subprograma auxiliar
BACK - subprograma auxiliar·
NLSYS 1- calcula a solução do
para codificação FORTRAN:
ALFA
AK
AKZ
AP
A
A2
AH
AE
BETA
BET
a
X
a-x Zj a
Pr
A
A2
AH
AE
13
13
pela Regra de Simpson
de B J , BE e 13
sistema nao linear P=O
de NLSYSl
de NLSYSl
sistema nao linear P=O e
ALF a
AKM X
AKZM - ( ;-_x) . J
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Al
A3
AJ
B
BB
(Pªr)
Al
A3
A.
B
B
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Q=O
1 25
BE
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126
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