campi

Indice

1 Campi 31.1 Nozione di campo fisico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Nozione di campo matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Campo scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 Superfici equipotenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.2 Linee equipotenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Campo vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.1 Campo statico e campo stazionario . . . . . . . . . . . . . 111.4.2 Campo vettoriale uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5 Regione di definizione di un campo . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6 Regione di regolarita` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7 Linee chiuse riducibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.8 Linee aperte riconciliabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.9 Superfici chiuse riducibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.10 Superfici aperte riconciliabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.11 Campi affini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.11.1 Campo scalare affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.11.2 Campo vettoriale affine nel piano . . . . . . . . . . . . . 251.11.3 Campo vettoriale affine nello spazio . . . . . . . . . . . . 29

1.12 Il problema fondamentale di un campo . . . . . . . . . . . . . . . 311.12.1 Sorgenti del campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.12.2 Potenziali del campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.12.3 Condizioni al contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.12.4 Condizioni di raccordo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.12.5 Problema fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.12.6 Equazione fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.13 Le operazioni ricorrenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.13.1 Variazione gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.13.2 Circolazione rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1

2 INDICE

1.13.3 Flusso divergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Capitolo 1

Campi

Introduzione. Nello studio dei fenomeni fisici incontriamo i campi, quali il campogravitazionale, il campo elettrico, il campo magnetico, il campo termico. In presen-za delle rispettive sorgenti, quali le masse, le cariche, le correnti e i generatori dicalore, lo spazio diventa sede di certe proprieta` che siamo soliti descrivere mediantevariabili, funzioni del punto, che chiamiamo funzioni di campo. E` in questo contestoche eseguiamo operazioni matematiche comuni a diversi campi.

1.1 Nozione di campo fisico

Il fatto che un corpo possa influenzare a distanza lo stato di moto di un altro corpo,porta a ritenere che la regione di spazio in cui i due corpi giacciono si trovi in unostato particolare che chiamiamo campo.

Il primo pensiero che viene e` che questo stato sia un attributo della materiache riempie lo spazio. Il fatto che il suono richieda un mezzo di sostegno, qualelaria, lacqua o un solido, e che la conduzione del calore necessiti di un mezzomateriale, quale il ferro, ha fatto pensare in passato che, anche per le azioni elet-triche, magnetiche e gravitazionali che si propagano nel vuoto, dovesse esistereun qualche supporto con le seguenti caratteristiche:

1. elastico: per consentire, con le sue vibrazioni, la propagazione delle ondeelettromagnetiche, in particolare della luce che giunge dalle stelle;

2. imponderabile: per non fornire resistenza al moto dei corpi, altrimenti nonpotremmo spiegare la stabilita` del moto dei pianeti attorno al sole;

3. rigido: per il fatto che il suono, costituito da vibrazioni di un mezzo materia-le, ha una velocita` che aumenta con laumentare della rigidezza del mezzo:appariva naturale che la luce, avendo una velocita` elevata, dovesse muoversiin un mezzo molto rigido.

3

4 CAPITOLO 1. CAMPI

Si chiamo` tale mezzo etere. Tuttavia le esperienze eseguite per cercare di metternein luce le proprieta`, anche contraddittorie (elastico e rigido, rigido e imponderabi-le) portarono alla conclusione che un simile mezzo non esiste.

A partire dagli inizi del 900 si inizio` a pensare che le azioni elettromagnetichee gravitazionali, che si propagano nello spazio vuoto, non hanno affatto bisognodi un mezzo di sostegno e che il campo gravitazionale e quello elettromagneticosono semplicemente un modo di essere, una qualita` dello spazio in quanto tale.

Vediamo, ad esempio, cose` un campo elettrico. Consideriamo una regione dispazio nella quale siano presenti cariche elettriche libere di muoversi e confinatesu corpi conduttori. Ponendo in un punto generico della regione una piccola cari-ca, che chiamiamo carica di prova o anche carica esploratrice, constatiamo cheessa e` soggetta ad una forza. Diciamo pertanto di essere in presenza di un cam-po elettrico. Quindi un campo elettrico e` una proprieta` di una regione di spazioossia uno stato fisico. Chiamiamo sorgenti le cariche elettriche che generano que-sto campo. La forza su una carica di prova rivela il campo elettrico preesistente.Quindi la carica di prova e` la spia rivelatrice di tale stato dello spazio.

Analogamente, se disponiamo di fonti di calore in una regione di spazio e met-tiamo in un punto generico un termometro, esso ci segnala una certa temperatura.Affermiamo di essere in presenza di un campo termico: il bulbo termometrico e`la sonda rivelatrice del campo, mentre le fonti del calore ne sono le sorgenti.

Si vede dunque che un campo e` uno stato fisico dello spazio o della materia inesso contenuta, che si rivela per lazione che esercita su una sonda.

Osservazione. Ogni sonda perturba il sistema che deve essere misurato, pertanto e`opportuno che sia fisicamente piccola rispetto al sistema in esame.

Supponiamo di dover misurare la nostra temperatura corporea mediante un termome-tro che inizialmente segna 4C: quando mettiamo il termometro a contatto con il corpoavvertiamo una sensazione di freddo, dovuta alla differenza di temperatura. Un po dicalore viene ceduto dal corpo al termometro, ma tale quantita` di calore e` insignificanterispetto alla capacita` termica del corpo umano. Se, con lo stesso termometro e nelle stessecondizioni operative, misuriamo la temperatura di una formica, allora, avendo questa unapiccola capacita` termica, e` lei ad adeguarsi alla temperatura del bulbo termometrico! Ilrisultato e` che, se il termometro segnava inizialmente 4C, la formica cede tutto il suocontenuto termico al bulbo termometrico che si riscalda in modo insignificante e la tem-peratura della formica risulta... di 4C! Con questo vogliamo rimarcare che la sonda concui si effettua la misura deve essere abbastanza piccola da non alterare il campo nella zonanella quale viene posta.

A questo punto, visto che un campo ha delle sorgenti e si rivela tramite dellesonde, possiamo dare la definizione di campo fisico.

1.1. NOZIONE DI CAMPO FISICO 5

D. Si chiama campo fisico uno stato fisico dello spazioo della materia che vi e` contenuta.

Spesso il campo viene definito come una regione dello spazio in cui si manife-stano delle azioni sui corpi. Una simile definizione non e` accettabile perche mettelaccento sulla regione di spazio, che e` il recipiente entro cui il campo ha sede.Infatti nella stessa regione di spazio possono coesistere campi diversi, come inuna stanza (Fig. 1.1) al cui interno hanno sede il campo gravitazionale, riferito alpeso degli oggetti; il campo elettromagnetico, riferito alla luce e alle onde captateda radio e televisione; il campo termico, generato dal radiatore; il campo acustico,generato dal rumore della strada o dal suono di un altoparlante; ecc. Il campo none` la stanza: la stanza e` solo la sede dei vari campi, cioe` la regione in cui essi sonodefiniti. Analogamente una bottiglia puo` contenere olio, acqua o vino: la bottigliae` solo il contenitore dellolio, dellacqua e del vino.

Figura 1.1. Una stanza e` sede di diversi campi fisici.

Lettura. [... ] lo spazio, fino a questi ultimi tempi, rimaneva esclusivamente comeun recipiente passivo di tutti gli avvenimenti, senza parteciparvi in nessun modo. E` statanecessaria la teoria ondulatoria della luce e quella del campo elettromagnetico di Max-well e Faraday per dare alle idee un nuovo indirizzo. Divenne allora manifesto che nellospazio, privo di corpi materiali, vi sono degli stati che si propagano attraverso ondula-zioni e campi localizzati suscettibili di esercitare azioni dinamiche sulle masse elettricheo sui poli magnetici che vi si trovano. Poiche ai fisici del XIX secolo sembrava del tut-to assurdo attribuire allo spazio stesso funzioni o stati fisici, immaginarono, sul modellodella materia ponderabile, un mezzo che permeava tutto lo spazio ed era il supporto deifenomeni luminosi: letere. [... ] lo spazio fisico e letere non sono che due espressionidiverse di una sola e medesima cosa; i campi sono stati fisici dello spazio.

[Einstein Albert, Come io vedo il mondo, Newton Compton Editori, 1982.]

6 CAPITOLO 1. CAMPI

1.2 Nozione di campo matematico

Per descrivere un campo fisico puo` essere opportuno usare una funzione scalare ovettoriale: si parla rispettivamente di campo scalare e di campo vettoriale. Questoindica che, accanto alla definizione di campo fisico, occorre dare la definizione dicampo matematico.

A tale scopo fissiamo un numero intero n e consideriamo le n ple di numerireali u = (x1, x2, ..., xn). Questo insieme viene indicato con IRn ed e` uno specialespazio vettoriale.1 Se ci limitiamo alle n ple che soddisfano qualche condizionesupplementare, ad esempio di avere le componenti positive, otteniamo una sotto-regione IRn. Consideriamo ora un secondo spazio vettorialeV n e definiamoun campo matematico.

D. Si chiama campo matematico una corrispondenzache associa ad ogni vettore u IRn un vettore ~v V n.

Possiamo quindi dire che un campo vettoriale e` una corrispondenza tra duespazi vettoriali.

IRn nV

~v~u

Figura 1.2. Un campo vettoriale e` una corrispondenza tra due spazi vettoriali.

Chiediamoci se il campo gravitazionale e` un campo scalare o vettoriale! Ri-spondiamo dicendo che, se usiamo il vettore accelerazione di gravita` ~g, lo possia-mo descrivere come campo vettoriale, se invece usiamo il potenziale gravitaziona-leU, lo possiamo descrivere come campo scalare. Questo esempio mette in luce laprofonda differenza tra campo fisico e campo matematico, cosa che comunementeviene trascurata.

1.3 Campo scalare

Ricordiamo che una grandezza fisica e` definita scalare quando e` individuata da unnumero, un segno e una unita` di misura. Tali sono la temperatura, la pressione, ladensita`, il potenziale elettrico, la carica elettrica, la massa, ecc. Il termine scalare

1Per la definizione di spazio vettoriale, chiamato anche spazio lineare, si veda a pagina ??.

1.3. CAMPO SCALARE 7

indica che i valori di una stessa grandezza possono essere messi in scala. Cos` latemperatura di 78C e` maggiore della temperatura di 12C.

Indichiamo con T un intervallo di tempo e con una regione dello spaziofisico, con t un generico istante dellintervallo T e con P un generico punto dellaregione . Si ha la seguente

D. In un intervallo di tempo T e in una regione dellospazio fisico e` definito un campo scalare se a ogni istante t T ea ogni punto P e` associata una grandezza scalare = f (t,P).

Tavola 1.1. Principali campi scalari.

teoria grandezza scalare simbolomeccanica potenziale delle forze U(t,P)

densita` (t,P)meccanica relativa potenziale delle forze centrifughe U(t,P)elettromagnetismo potenziale elettrico (t,P)

potenziale scalare magnetico m(t,P)densita` di carica (t,P)densita` di energia u(t,P)

gravitazione potenziale gravitazionale U(t,P)termodinamica temperatura termodinamica T (t,P)

densita` di energia interna u(t,P)densita` di entropia s(t,P)

chimica fisica potenziale chimico (t,P)concentrazione c(t,P)

fluidodinamica potenziale cinetico (t,P)funzione di corrente (t,P)pressione p(t,P)

ottica acustica indice di rifrazione n(t,P)fase di unonda (t,P)

meccanica quantistica densita` di probabilita` P(t,P)

1.3.1 Superfici equipotenziali

Fissato un istante t, consideriamo i punti in cui la funzione di campo assume un va-lore prefissato: questi si trovano su una superficie detta superficie equipotenzialeo anche superficie di livello. Se fissiamo una serie discreta di valori 1, 2, ..., adesempio in progressione aritmetica, le relative superfici equipotenziali mettono inevidenza una struttura lamellare del campo (Fig. 1.3).

8 CAPITOLO 1. CAMPI

27 C28 C

30 C31 C

29 C

32 C

Figura 1.3. Superfici isoterme di un campo termico.

In particolare le superfici di livello si chiamano:

isobare nel campo delle pressioni; isoterme nel campo termico; superfici di livello nel campo gravitazionale.

Mentre in un campo costante (nel tempo) le superfici equipotenziali sono fisse,in un campo variabile nel tempo esse cambiano da un istante allaltro.

1.3.2 Linee equipotenziali

Se la regione , invece di essere una porzione dello spazio e` una porzione dipiano, nulla cambia nella definizione data di campo scalare. In questo caso invecedi superfici di livello abbiamo linee di livello o linee equipotenziali.

alla pompaFigura 1.4. Linee di livello di una sottile membrana fissata sul bordo di unascatola con foro quadrato.

Consideriamo una scatola che abbia il coperchio formato da una membrana.Se aspiriamo aria dalla scatola, la membrana si abbassa, salvo lungo il perimetrodella scatola e di un eventuale bordo interno (Fig. 1.4). In questo caso le linee dilivello della superficie della membrana sono il luogo dei punti alla stessa quota.Le mappe che si fanno in meteorologia, tracciando le linee isobare, sono unaillustrazione di un campo scalare piano. In questo caso la funzione di campo e`

1.4. CAMPO VETTORIALE 9

la pressione p, la quale e` funzione dellistante t e del punto P della superficieterrestre: p = f (t,P).

100 V

20 V

isolante isolante

piano conduttore:

piano conduttore: conduttoriconduttoreFigura 1.5. Linee equipotenziali del campo elettrico ~E tra due conduttori piania differente potenziale in presenza di tre conduttori cilindrici.

Se consideriamo il campo elettrico tra due conduttori piani a differente poten-ziale in presenza di altri conduttori, le linee equipotenziali risultano tangenti allesuperfici dei conduttori e ortogonali alle superfici dei dielettrici (Fig. 1.5).

1.4 Campo vettoriale

Una grandezza fisica si dice vettoriale quando e` individuata da una unita` di misura,una direzione orientata e un numero. Tali sono lo spostamento, la velocita`, laforza, la quantita` di moto, il vettore campo elettrico, il vettore densita` di flussomagnetico. Le grandezze vettoriali non possono essere messe in scala perche unaforza orizzontale di 78 N puo` produrre un effetto minore di una forza verticale di12 N, pur avendo modulo maggiore. Nelle grandezze vettoriali la direzione contacome e forse piu` del modulo.

D. In un intervallo di tempo T e in una regione dellospazio fisico e` definito un campo vettoriale se ad ogni istantet T e ad ogni punto P e` associata una grandezza vettoriale~w = ~v (t,P) detta vettore di campo.

Linee di campo. Come un campo scalare bidimensionale ha le linee di livel-lo e un campo scalare tridimensionale ha le superfici di livello, cos` un campovettoriale ha le linee di campo, dette anche linee di flusso.

10 CAPITOLO 1. CAMPI

Tavola 1.2. Principali campi vettoriali.

teoria grandezza vettoriale simboloelettromagnetismo intensita` campo elettrico ~E(t,P)

spostamento elettrico ~D(t,P)densita` di flusso magnetico ~B(t,P)intensita` magnetica ~H(t,P)densita` di corrente elettrica ~J(t,P)potenziale vettore magnetico ~A(t,P)polarizzazione elettrica ~P(t,P)polarizzazione magnetica ~M(t,P)vettore di Poynting ~S (t,P)densita` di quantita` di moto ~g (t,P)

gravitazione accelerazione di gravita` ~g (t,P)

densita` di flusso gravitazionale ~h (t,P)conduzione termica gradiente termico ~g (t,P)

densita` di corrente di energia ~q (t,P)meccanica continui spostamento ~u (t,P)

forza di volume ~f (t,P)

dislocazione nei cristalli vettore di Burgers ~b (t,P)fluidodinamica velocita` ~v (t,P)

vorticita` ~w (t,P)

forza di massa ~f (t,P)densita` di corrente di massa ~Jm(t,P)densita` di quantita` di moto ~p (t,P)densita` di corrente di energia ~Ju(t,P)densita` di corrente di entropia ~Js(t,P)

meccanica quantistica densita` di corrente probabilita` ~S (t,P)


RP

Q

(t,P)~v

(t,Q)~v(t,R)~v

Figura 1.6. Il vettore di campo ~v e` in ogni punto tangente alla linea del campo.

Consideriamo il vettore~v (t,P) a un istante t T e in un generico punto P (Fig. 1.6). Immaginando di congelare il campo allistante t, consideriamo un altropunto Q posto sulla retta dazione di ~v (t,P) a distanza infinitesima e nel versodi ~v (t,P). Sia ~v (t,Q) il vettore del campo in Q. Consideriamo successivamenteun punto R sulla retta dazione del vettore ~v (t,Q) a distanza infinitesima da Q.Procedendo in questo modo la successione dei punti P, Q, R, ... individua unalinea. Essa e` in ogni suo punto tangente al vettore relativo a quel punto. Tale lineae` linviluppo dei vettori del campo e prende il nome di linea di campo.

Nel caso in cui il vettore sia una forza parliamo di linea di forza; se il vettoree` una densita` di corrente di carica o di massa o di energia, parliamo di linea diflusso.

Se consideriamo il campo elettrico tra due conduttori piani a differente poten-ziale in presenza di altri conduttori, le linee di campo del vettore campo elettrico~E risultano ortogonali alle superfici dei conduttori e parallele alle superfici deidielettrici (Fig. 1.7).

100 V

20 V

piano conduttore:

piano conduttore:conduttoriconduttore

isolante isolante

Figura 1.7. Linee di campo del campo elettrico ~E tra due conduttori piani adifferente potenziale in presenza di tre conduttori cilindrici.

1.4.1 Campo statico e campo stazionario

Campo statico. Un campo che non varia nel tempo si dice statico. Tali sonoil campo fluidostatico, come quello dellatmosfera terrestre; il campo idrostatico,


come quello di un mare, di un lago o di un bacino contenente acqua in quiete; ilcampo elettrostatico; il campo magnetostatico; il campo gravistatico e il campoelastostatico. Sovente un campo statico viene denominato anche costante.

Campo stazionario. Un campo si dice stazionario quando le grandezze che lodescrivono soddisfano luna o laltra delle due condizioni:

non variano nel tempo pur descrivendo un movimento; variano in modo periodico nel tempo.

Appartengono al primo tipo la conduzione termica stazionaria, la conduzioneelettrica stazionaria e il campo del moto stazionario di un fluido. Appartengono alsecondo tipo il campo acustico e il campo elettromagnetico le cui variabili sianofunzioni periodiche, cio` comporta che la frequenza e lampiezza siano costanti.

1.4.2 Campo vettoriale uniforme

Se il vettore e` lo stesso in tutti i punti della regione di definizione, il campo e`uniforme.2 Vediamo alcuni esempi di campi vettoriali uniformi (Fig. 1.8):

il campo gravitazionale terrestre in una regione piccola rispetto al raggio terre-stre e` sensibilmente uniforme: il vettore accelerazione di gravita` ~g e` invarianteper traslazione;

allinterno di un condensatore a facce piane e parallele il campo elettrico e`sensibilmente uniforme: il vettore intensita` del campo elettrico ~E e il campodel vettore spostamento elettrico ~D sono invarianti per traslazione;

allinterno di un solenoide rettilineo con avvolgimento molto fitto il campomagnetico e` sensibilmente uniforme: il vettore densita` di flusso magnetico ~Be il vettore intensita` del campo magnetico ~H sono invarianti per traslazione;

allinterno di un conduttore percorso da corrente continua, il campo e` sensibil-mente uniforme: il vettore intensita` del campo elettrico ~E e il vettore densita`di corrente ~J sono invarianti per traslazione;

in un cilindro omogeneo avvolto da un isolante, con differente temperaturaagli estremi, transita calore: il campo termico e` sensibilmente uniforme ilvettore gradiente della temperatura ~g e il vettore densita` di corrente di energia~q sono invarianti per traslazione.

2Attenzione che costante si riferisce al tempo, uniforme allo spazio. E` opportuno mantenerequesta prassi al fine di evitare equivoci. Si puo` parlare di campo costante (non varia nel tempo),di campo uniforme (non varia nello spazio) e di campo costante e uniforme. Questa terminologiaha, purtroppo, uneccezione in cinematica: un moto con velocita` costante si chiama uniforme e unmoto con accelerazione costante si chiama uniformemente accelerato.


Osservazione. Abbiamo usato ovunque il termine sensibilmente perche in fisica nul-la e` ideale. In un condensatore a facce piane e parallele e di estensione infinita, comune-mente diciamo che il campo e` uniforme. Poiche un tale condensatore non esiste possiamoevitare lespressione estensione infinita affermando che in un condensatore a facce pianee parallele il campo e` sensibilmente uniforme. Questo corrisponde a tipiche frase usate:Il campo e` uniforme con buona approssimazione o anche Possiamo ritenere il campouniforme salvo in prossimita` dei bordi del condensatore. In matematica termini qualisensibilmente, approssimativamente, sufficientemente e simili sono banditi mentre i ter-mini infinito e infinitesimo, che richiedono la nozione di limite, risultano familiari. Lafisica, pero`, opera con la realta`, con le misure, con la nozione di tolleranza e con quelladi errore di misura. La matematica idealizza e deve a questo processo di idealizzazioneil suo grande successo: mentre in matematica esiste il piccolo a piacere, in fisica esiste ilpiccolo che acquista senso nel contesto del problema trattato. Ad esempio la cifra di 100euro e` piccola nel contesto dellacquisto di un immobile mentre e` tuttaltro che piccolanel contesto della spesa giornaliera.


campo elettrico uniforme

TA TB

campo di corrente di calore uniforme

term

ostato

term

ostato

temperatura affine

campo magnetico uniforme

N

N

S

S

campo di velocit uniforme

potenziale delle velocit affine

potenziale gravitazionale affine

moto di un fluido perfetto

potenziale elettrico affine potenziale magnetico affinecampo elettrico campo magnetico

corrente di calore

campo gravitazionale uniforme campo di densit di corrente uniforme

potenziale elettrico affineconduzione elettrica

gE J

campo gravitazionale

v q q

E D B

T2T1

~ ~

~~~~

~~H~ ~

g

~ h~

Figura 1.8. Esempi di regioni in cui un campo vettoriale e` uniforme e ilcorrispondente potenziale e` affine.

1.5. REGIONE DI DEFINIZIONE DI UN CAMPO 15

1.5 Regione di definizione di un campo

Finora abbiamo parlato di una regione entro la quale e` definito un campo. Comepuo` essere questa regione? Puo` essere tutto lo spazio fisico oppure la regionecompresa entro una superficie chiusa, ad esempio entro una stanza, un recipiente;puo` essere una regione contenente uno o piu` buchi; puo` avere la forma di unamela alla quale e` stato estratto il torsolo oppure puo` essere la regione occupatadalla polpa di una pesca, ma anche linterno di un toro, ad esempio linterno dellacamera daria di un pneumatico, ecc.

Ricordiamo che linsieme di definizione di una funzione non puo` conteneresingolarita`. Ad esempio la funzione y = 1/x ha significato per qualunque valoredi x salvo il valore x = 0, detto punto di singolarita`; il suo campo di definizione e`lasse reale con esclusione dellorigine (Fig. 1.9 a). I due intervalli x < 0 e x > 0,ove la funzione e` definita, formano un insieme non connesso perche un puntodel semiasse positivo non puo` passare, con continuita`, al semiasse negativo senzaattraversare lorigine che e` esterno al campo di definizione.

Analogamente una funzione scalare o vettoriale, definita in una regione dello spazio, richiede che in tutti i punti della regione siano definiti una funzioneo un vettore: un eventuale punto nel quale la funzione non e` definita non puo`appartenere alla regione di definizione della funzione.

Se ad esempio consideriamo le funzioni

f (r) =cr

~v (~r) =cr 2~er (1.1)

con c una costante, dobbiamo escludere lorigine corrispondente a r = 0 per-che in esso le due funzioni non sono definite (Fig. 1.9 b). Questi punti si diconosingolari. La regione di definizione e` tutto lo spazio ad esclusione dellorigine.

x

ysingolarit

singolarit

a) b)Figura 1.9. La regione di definizione di una funzione scalare o vettoriale nonpuo` contenere singolarita`: a) funzione di una variabile; b) campo vettorialecentrale.


Vedremo che queste singolarita` sono puramente matematiche e non hannonulla a che fare con la fisica. Esse provengono da una illecita estrapolazione dellefunzioni di campo al di fuori del loro campo di validita`.3

1.6 Regione di regolarita`

In una regione possiamo avere mezzi materiali diversi: questo comporta che sullasuperficie di separazione tra i due mezzi la funzione che descrive il campo siadiscontinua o abbia una variazione discontinua.4

D. Consideriamo una funzione di una o piu` variabilidefinita in una regione . Tale funzione si dice regolare entrouna sottoregione R se e` ivi continua e con derivate parzialiprime continue. In termini matematici si dice che la funzione deveessere di classe C1. Questo significa che il grafico della funzione,sia esso una linea o una superficie, non presenta ne salti ne puntiangolosi (piegature)

Consideriamo il campo gravitazionale: il vettore accelerazione di gravita` ~g:pur essendo continuo sulla superficie della Terra, ha una variazione discontinua(Fig. 1.10 a). Infatti allesterno il campo e` inversamente proporzionale al quadratodella distanza mentre allinterno varia in modo proporzionale ad essa.

Il potenziale gravitazionale U e` invece continuo e ha variazione continua.Quindi una regione a cavallo di due mezzi materiali diversi e` regione di regolarita`per il potenziale gravitazionale ma non lo e` per il vettore ~g.

Terra conduttore

a ) b )

~E

= 0E~g~

g~continuo discontinuo

Figura 1.10. Campo: a) gravitazionale; b) elettrico.

3Per ulteriori considerazioni sulle singolarita` si veda a pagina ??.4Per la nozione di regolarita` si veda Goursat [?, vol. III, parte 1, p. 291].

1.6. REGIONE DI REGOLARITA` 17

Consideriamo il campo elettrico in una regione a cavallo della superficie diseparazione tra un mezzo conduttore e uno isolante, ad esempio una sfera con-duttrice cava o piena (Fig. 1.10 b). Il potenziale e` continuo ma non derivabilein quanto il vettore ~E e` discontinuo: allesterno e` inversamente proporzionale alquadrato della distanza mentre allinterno e` nullo (Fig. 1.11).

0

0R

Rr

rU

a) b)Figura 1.11. Landamento del potenziale: a) gravitazionale; b) elettrico.

I vettori densita` di flusso magnetico (Fig. 1.12 a) e intensita` del campo ma-gnetico (Fig. 1.12 b), in una regione che contiene due materiali diversi, subisco-no una discontinuita`. Ne viene che le funzioni ~B(t,P) e ~H(t,P) sulla superfi-cie di separazione tra i due materiali, non essendo continue, non sono neppurederivabili.

Bn

t

a) b)

~n

~B~H

~H

H

~

~

B

t

Figura 1.12. Sulla superficie di separazione tra due materiali sono discontinuii vettori: a) densita` di flusso magnetico ~B; b) intensita` del campo magnetico ~H.Per convenzione il segno, positivo o negativo, messo come apice ai vettori, fariferimento ai differenti mezzi materiali.

La separazione di una regione in sottoregioni di regolarita` consente luso diformule contenenti derivate parziali. Il fatto, pero`, che negli attuali dispositivi


della tecnica siano presenti materiali diversi, suggerisce di prendere in conside-razione fin dallinizio una formulazione delle leggi fisiche che sia valida anchein condizioni di non regolarita`. Per fare un esempio, solitamente si definisce uncampo vettoriale come irrotazionale quando il rotore e` nullo.5 Questo comportalesistenza delle derivate parziali e questo presuppone una regione di regolarita`.Questa proposizione si puo` sostituire con la seguente: un campo e` irrotazionalequando la circolazione del vettore lungo qualsiasi linea chiusa riducibile e` nulla.Il vantaggio di questa seconda definizione sta nel fatto che tale linea puo` passareattraverso materiali diversi e quindi la condizione di regolarita` non e` richiesta.

1.7 Linee chiuse riducibili

Pensiamo a un vermicello che sia costretto a muoversi nella polpa di una mela allaquale sia stato tolto il torsolo (Fig. 1.13 a). Se compie un cammino chiuso, talecammino puo` essere di due tipi: o avvolge il buco lasciato dal torsolo o non loavvolge. Nel primo caso la linea chiusa non puo` contrarsi indefinitamente fino adiventare un punto perche la presenza del buco ostacola tale contrazione: il ver-micello non puo` passare nel buco lasciato dal torsolo, deve muoversi nella polpa.Nel secondo caso possiamo pensare di contrarre la linea chiusa riducendola a unpunto. Definiamo riducibile una linea chiusa che puo` deformarsi con continuita`fino a contrarsi a un punto, sempre rimanendo nella regione considerata; nel casoopposto e` non riducibile. Poiche esistono delle linee chiuse non riducibili, la re-gione occupata dalla polpa della mela si dice molteplicemente connessa rispettoalle linee.

Se consideriamo un moscerino, costretto a volare nellaria, la regione di voloe` lo spazio non occupato dalla polpa: tale regione e` molteplicemente connessarispetto alle linee. Infatti una traiettoria chiusa che attraversa il buco non puo`ridursi a un punto. Se invece consideriamo la regione occupata dalla polpa di unapesca (Fig. 1.13 b), qualunque percorso del vermicello e qualunque percorso dellamosca, puo` deformarsi con continuita` fino a ridursi a un punto.

5Per lirrotazionalita` di un campo vettoriale si veda il capitolo ??.

1.8. LINEE APERTE RICONCILIABILI 19

traiettoria di unvermicellonella polpa

traiettoriadi una mosca

nell'aria

a) b)Figura 1.13. Regione di un campo come: a) una mela dalla quale e` stato estrattoil torsolo; b) una pesca col no`cciolo.

Osserviamo che la deformazione della linea chiusa comporta la possibilita` cheessa, pensata come il cappio di una corda, scivoli sul no`cciolo. Per tale motivo,nella regione occupata dalla polpa della pesca e nella regione esterna alla pesca,tutte le linee chiuse sono riducibili, quindi definiamo la regione semplicementeconnessa rispetto alle linee.6

1.8 Linee aperte riconciliabili

Fissiamo due punti A e B e due linee che li congiungano (Fig. 1.14 a). Se una del-le due linee puo` deformarsi con continuita` fino a sovrapporsi allaltra, chiamiamole due linee riconciliabili. Se questo non capita vuol dire che la regione consi-derata non consente la deformazione continua a causa della presenza di buchi odi ostacoli e quindi le due linee vengono dette non riconciliabili. In una regio-ne semplicemente connessa rispetto a linee, tutte le linee congiungenti due puntisono riconciliabili e ogni linea chiusa riducibile e` bordo di una superficie.

Se consideriamo una regione bidimensionale che non contenga ne singolarita`,ne buchi, ci rendiamo conto che tutte le linee chiuse possono ridursi a un puntoper contrazione. In una regione piana lostacolo costituito dal profilo di unala diaeroplano non consente alle linee che avvolgono lala di contrarsi a un punto: talilinee sono non riducibili (Fig. 1.14 b).

6Ai tempi di Maxwell [?, p. 166] una regione semplicemente connessa rispetto alle linee venivachiamata aciclica altrimenti veniva definita ciclica e il numero di linee chiuse non riducibili venivachiamato numero ciclomatico.


x

y

a) b)1L

L2

linea chiusariducibile

linea chiusanon riducibile

x

y

1L

3L

L2

AB

linee nonriconciliabili

lineericonciliabili

Figura 1.14. Regione duplicemente connessa: a) linee aperte riconciliabili enon riconciliabili; b) linee chiuse riducibili e non riducibili.

Se una superficie e` semplicemente connessa non contiene buchi e quindi il suobordo e` formato da una sola linea e questa e` riducibile. Viceversa se una superficiee` molteplicemente connessa il suo bordo e` formato da piu` linee chiuse e nessunadi esse e` riducibile. Pensiamo a una corona circolare (Fig. 1.15 a) il cui bordoe` costituito da una circonferenza esterna e una interna oppure alla facciata di unedificio (Fig. 1.15 b) che contiene un certo numero di aperture.

a) b)Figura 1.15. Il bordo di risulta: a) formato da due linee chiuse; b) formatoda sette linee chiuse.

In conclusione possiamo dare la seguente definizione che riassume i concettiappena visti.

D. Data una regione bidimensionale o tridimensionale, una linea chiusa si dice riducibile se, con una deformazionecontinua che la mantenga entro la regione, puo` essere contrattafino a ridursi a un punto. Una regione nella quale tutte le lineechiuse sono riducibili si dice semplicemente connessa rispettoalle linee altrimenti si dice molteplicemente connessa rispettoalle linee. Due linee con gli stessi estremi si dicono riconcilia-bili se, con una deformazione continua che le mantenga entro laregione, possono essere sovrapposte.

1.9. SUPERFICI CHIUSE RIDUCIBILI 21

1.9 Superfici chiuse riducibili

Definiamo riducibile una superficie chiusa quando, per deformazione continuache la mantiene entro la regione, puo` ridursi a un punto. La regione occupatadalla polpa di una pesca e` tale che le superfici chiuse che contengono il no`cciolonel loro interno non sono riducibili, proprio perche la presenza del nocciolo neimpedisce la contrazione. Diciamo che la regione e` molteplicemente connessarispetto alle superfici.7

Per la mela senza torsolo tutte le superfici chiuse sono riducibili: se conside-riamo una superficie toroidale immersa nella polpa e che avvolge il buco lasciatodal torsolo, vediamo che essa non e` riducibile ad un punto. Dunque la mela senzatorsolo e` molteplicemente connessa non solo rispetto alle linee, ma anche rispettoalle superfici.

Possiamo sempre considerare una superficie chiusa riducibile come bordo diun volume. Al contrario una superficie chiusa non riducibile, quale puo` esserequella della buccia della pesca, non e` da sola bordo in quanto anche la superficiedel no`cciolo delimita la polpa. In altre parole la polpa ha come bordo due superficichiuse riconciliabili. In generale se una regione ha piu` di una superficie chiusa dibordo, contiene dei buchi: pensiamo al formaggio emmenthal.

1.10 Superfici aperte riconciliabili

Consideriamo due superfici che abbiano una stessa linea chiusa come bordo. Seuna superficie puo` deformarsi con continuita` fino a sovrapporsi allaltra, semprerimanendo allinterno della regione, le due superfici sono riconciliabili. Se questonon capita vuol dire che siamo in presenza di buchi e le due superfici consideratenon sono riconciliabili. E` evidente che, in un regione semplicemente connessarispetto a superfici, le superfici con lo stesso bordo sono riconciliabili (Fig. 1.16).

S

L

SS 1 23

ostruzione

Figura 1.16. Le superfici S1 ed S2 sono riconciliabili, S1 ed S3 non lo sono.7Ai tempi di Maxwell una regione semplicemente connessa rispetto alle superfici veniva chia-

mata perifrattica e il numero dei buchi veniva chiamato numero perifrattico; il termine ingleseperifractic e` stato introdotto da J. J. Thomson. Lorigine della parola e` quella stessa di perifrasi dalgreco pi ossia girare intorno. Per i numeri perifrattici si veda Maxwell [?, p. 166].


D. Data una regione tridimensionale , una superficiechiusa si dice riducibile se, con una deformazione continua chela mantenga entro la regione, puo` essere contratta fino a ridur-si ad un punto. Una regione tridimensionale nella quale tutte lesuperfici chiuse siano riducibili si dice semplicemente connessarispetto alle superfici. Due superfici con lo stesso bordo si diconoriconciliabili se la loro unione costituisce il bordo di un volume.

1.11 Campi affini

Consideriamo le seguenti funzioni di una, due e tre variabili

f (x) = a + g xf (x, y) = a + gx x + gy y

f (x, y, z) = a + gx x + gy y + gzz .(1.2)

Queste equazioni vengono solitamente chiamate lineari, ma il termine e` impro-prio. Infatti una funzione lineare di una variabile ha la forma y = g x ; la presenzadella costante additiva a ne distrugge la linearita` anche se landamento rimanelineare. Lespressione propria per queste funzioni e` funzioni affini. Lequivocosul termine lineare dipende dal diverso significato che diamo ad esso: un tem-po si utilizzava nel senso di rettilineo mentre oggi indica unapplicazione (unafunzione, un operatore, una trasformazione, una corrispondenza) lineare, cioe`unapplicazione che soddisfa le due proprieta` di additivita` e di omogeneita`:

f (x + x) = f (x) + f (x) additivita`f (a x) = a f (x) omogeneita`

(1.3)

Consideriamo ora una funzione generica: in una regione di regolarita` essa ammet-te derivate parziali del primo ordine, quindi possiamo approssimarla nellintornodi quel punto con una funzione affine. Per fare cio` usiamo lo sviluppo in serie diTaylor 8 arrestato al primo ordine

f (x) = f (x0) +d fdx

x0(xx0) +

f (x, y) = f (x0, y0) + fx

x0,y0(xx0) +

fy

x0,y0(yy0) +

f (x, y, z) = f (x0, y0, z0) + fx

x0,y0,z0(xx0) +

fy

x0,y0,z0(yy0) +

fz

x0,y0,z0(zz0) +

(1.4)

8Amenita`: i nomi di alcuni matematici, se tradotti in italiano, sarebbero curiosi. Cos` Green =Verde, Schwarz = Nero, Young = Giovane, Taylor = Sarto, Poisson = Pesce.

1.11. CAMPI AFFINI 23

Vediamo che tutte le funzioni, in una regione di regolarita`, possono approssimarsi,nellintorno di un punto, con una funzione affine. Questa proprieta` consente distudiare localmente una funzione generica sostituendola con una funzione affine(Fig. 1.17).

y

y

x

z

x

b)a)

u(x) = a+g x x u(x,y) = a+g x + g yy

y=f(x)

z=f (x,y)

P P

Figura 1.17. Funzione affine che approssima in un suo punto a) la funzionerappresentata dalla curva; b) la funzione rappresentata dalla superficie.

Tenendo conto che una retta che approssima una funzione f (x) in un punto e`tangente alla curva che la rappresenta, parliamo di approssimazione tangente.

1.11.1 Campo scalare affine

Un campo scalare si dice affine se la funzione che lo descrive e` una funzioneaffine. Per tali campi le superfici di livello sono piani paralleli ed equidistanti.Infatti, indicata con c una costante e ponendo f (x, y, z) = c, otteniamo lequazione

gx x + gy y + gz z = c a (1.5)

che rappresenta un piano. Dando alla costante c valori in progressione aritmeticac, c+ h, c+ 2h, c+ 3h, ... i piani risultano tra loro paralleli ed equidistanti. I campidi questo tipo sono numerosi: eccone alcuni.

Superfici isobare nellatmosfera. Consideriamo una regione di spazio prossi-ma alla superficie terrestre nella quale questa si possa considerare piana e latmo-sfera terrestre si possa considerare in quiete: la pressione p in essa varia solo conla quota z secondo la legge

p = p0 k z (1.6)

che e` una funzione affine. Le superfici di livello in questo caso sono dei piani pa-ralleli alla superficie terrestre e prendono il nome di superfici isobare (Fig. 1.18).


Superfici isoterme nellatmosfera. Nelle medesime ipotesi del paragrafo pre-cedente, la temperatura T dellatmosfera ha un andamento del tipo

T = T0 h z (1.7)

e le superfici isoterme sono dei piani paralleli al terreno (Fig. 1.18). In analogiacon la conduzione elettrica, la temperatura puo` essere chiamata potenziale termicoper il ruolo che svolge nella conduzione del calore e di conseguenza le isotermesono superfici equipotenziali.

Superfici equipotenziali terrestri. Nel campo gravitazionale terrestre una gran-dezza fondamentale e` il vettore accelerazione di gravita` ~g = ~F/m che fornisce laforza che agisce sullunita` di massa. In una regione vicina alla superficie terrestre,che possiamo considerare piana, il lavoro compiuto dallaccelerazione di gravita`,per portare una massa unitaria dalla superficie terrestre ad una quota z, e` propor-zionale a z. Si definisce potenziale gravitazionale, e lo si indica con U, il lavorocompiuto per unita` di massa e il suo andamento e`

U = U0 + g z . (1.8)

Le superfici di livello sono piani paralleli alla superficie terrestre (Fig. 1.18).

z

x

y

z

superficie terrestre

Figura 1.18. I piani paralleli alla superficie terrestre sono isobari, isotermi edequipotenziali.

Superfici equipotenziali nellelettromagnetismo. Nella regione compresa trale facce di un condensatore piano indefinito il campo elettrico ~E e` uniforme e ilpotenziale elettrico e` affine.

Analogamente, allinterno di un solenoide rettilineo indefinito, il vettore cam-po magnetico ~H e` uniforme e il potenziale scalare magnetico m e` affine.


1.11.2 Campo vettoriale affine nel piano

Fra i campi vettoriali, hanno particolare importanza i campi vettoriali affini, inquanto ogni campo vettoriale, in una regione di regolarita`, puo` essere approssi-mato localmente con un campo vettoriale affine.9 Tale nozione favorisce lo studiolocale del campo in quanto ne semplifica la trattazione matematica. Un campovettoriale piano si dice affine se le sue componenti cartesiane vx e vy hanno laforma {

vx = mx + hxx x + hxy yvy = my + hyx x + hyy y

(1.9)

essendo mx,my, hxx, hxy, hyx, hyy delle costanti. In forma matriciale possiamo scri-vere [

vxvy

]=

[mxmy

]+

[hxx hxyhyx hyy

] [xy

].

(1.10)

Applicando questa equazione matriciale (Eq. 1.10) in due punti P eQ e sottraendole due equazioni, otteniamo[

vx(Q) vx(P)vy(Q) vy(P)

]=

[hxx hxyhyx hyy

] [xQ xPyQ yP

](1.11)

e in modo sintetico scriviamo

~vQ ~vP = H (~rQ ~r P) . (1.12)

Determinazione di un campo affine. Nella formula (Eq. 1.9) compaiono seicoefficienti: mx,my, hxx, hxy, hyx, hyy. Se in tre punti del piano assegniamo ad ar-bitrio un vettore, allora, avendo ciascuno due componenti, dobbiamo assegnare seinumeri, tanti quanti sono i coefficienti. Deduciamo che, assegnati tre vettori in trepunti del piano, e` completamente determinato un campo affine. Infatti assegnatitre punti P, Q, R e, in ciascuno di essi, un vettore abbiamo

vx(P) = mx + hxx xP + hxy yPvx(Q) = mx + hxx xQ + hxy yQvx(R) = mx + hxx xR + hxy yR

vy(P) = my + hyx xP + hyy yPvy(Q) = my + hyx xQ + hyy yQvy(R) = my + hyx xR + hyy yR .

(1.13)

Risolvendo i due sistemi che scriviamo in forma matriciale 1 xP yP1 xQ yQ1 xR yR

mxhxxhxy

= vx(P)vx(Q)vx(R)

1 xP yP1 xQ yQ1 xR yR

myhyxhyy

= vy(P)vy(Q)vy(R)

(1.14)9Dal momento che questo libro fa uso massiccio delle funzioni affini, ignorate nei libri che

parlano degli operatori differenziali, abbiamo spesso evidenziato il termine affine in corsivo persottolineare che le proprieta` che vengono enunciate sono riferite solo a funzioni affini.


otteniamo i sei coefficienti. Questo ci consente di tracciare i vettori del campoaffine in un reticolo regolare di punti (Fig. 1.19).

P

R

Q

P

Q

R

a) b)Figura 1.19. Esempi di approssimazioni di campi vettoriali con campi affinideterminati assegnando tre vettori nei vertici di un triangolo: a) porzione delcampo gravitazionale di una massa sferica; b) porzione del campo magneticoattorno a un filo rettilineo.

Riportiamo come esempio una porzione del campo gravitazionale (Fig. 1.19 a)e del campo magnetico (Fig. 1.19 b) dove abbiamo rappresentato i vettori con unalinea spessa.10 Sulla medesima figura sono stati sovrapposti i vettori dellappros-simazione affine, rappresentati con linea sottile. Lapprossimazione affine e` otte-nuta assegnando tre vettori del campo in tre punti P,Q,R e interpolando gli altrivettori del campo con una approssimazione affine basata su questi vettori. Osser-viamo come, in una regione che comprende i tre punti, il campo esatto e quelloapprossimato siano pressoche coincidenti. Naturalmente, la coincidenza migliorarimpicciolendo il triangolo.

Proprieta` dei campi vettoriali affini. Consideriamo due punti P e Q, indichia-mo con h la loro distanza e otteniamo (Eq. 1.12)

~vQ = ~vP + H (~rQ ~r P) = ~vP + hH(~rQ ~r P

h

). (1.15)

dove il termine fra parentesi e` il versore della retta passante per i due punti. Posto

~t def=~rQ ~r P

h(1.16)

10Facciamo notare che il simbolo usato per indicare un vettore nei disegni fatti con il calcolatore,cioe il pallino nellorigine e lassenza della freccia, rende piu` chiaro landamento del campo vet-toriale. Le frecce, infatti, si sovrapporrebbero nelle regioni dove i vettori si infittiscono rendendoincomprensibile la figura. Lo studente, pero`, se ne guardi bene dallusarlo come notazione!


possiamo scrivere lequazione (Eq. 1.15) nella forma

~vQ = ~vP + h~u (1.17)

avendo fatto la posizione ~u def= H~t.Se consideriamo un altro punto S della medesima retta, che dista s dal punto

P, vale la formula~vS = ~vP + s~u . (1.18)

Facendo il prodotto scalare con il versore ~t della retta e con un vettore normale ~notteniamo le relazioni

vS = v||P + s u

|| vS = vP + s u

. (1.19)

Questo mostra che le componenti tangenziale e normale del vettore ~v varianoin modo lineare lungo la retta (Fig. 1.20 a). In particolare ponendo s = 1/2otteniamo la velocita` del baricentro B

~vB =~vP +~vQ

2. (1.20)

Quindi in un campo affine il vettore nel punto medio di un segmento e` la mediadei vettori nei due estremi (Fig. 1.20 b).

xP

Q

P

Q

x

yy

B

a) b)

PP

BQ

Q~v

vv

v

vv

v

vv

~v~v

~v ~v

Figura 1.20. Proprieta` dei campi vettoriali affini per: a) le componentitangenziale e normale del vettore; b) il vettore nel punto medio del segmento.

Diamo nel seguito una serie di esempi di campi vettoriali affini.

Deformazione di taglio. Se deformiamo un provino di sezione quadrata, fa-cendo traslare un lato parallelamente al suo opposto come avviene deformandoun vocabolario (Fig. 1.21), otteniamo un campo di spostamenti nel quale ognispostamento risulta proporzionale alla distanza{

vx = k yvy = 0 .

(1.21)


x

y

Figura 1.21. Deformazione di taglio.

Siamo in presenza di un campo vettoriale affine.

Rotazione rigida. In una rotazione rigida, quale e` quella di una ruota che giraattorno ad un asse fisso, ad esempio il piatto di un giradischi, la velocita` cresceproporzionalmente al raggio ed e` perpendicolare ad esso. La formula e` ~v = ~~rche possiamo scomporre nelle due componenti cartesiane

~v = ~~r =~i ~j ~k0 0 x y 0

= ( y)~i + ( x) ~j{vx = yvy = + x .

(1.22)


Compressione. Se comprimiamo un provino di sezione rettangolare (Fig. 1.22),determiniamo un campo di spostamenti proporzionali alla distanza dalla base{

vx = 0vy = k y . (1.23)


x

y

Figura 1.22. Compressione.


Compressione radiale. Se un cerchione di ferro riscaldato e` forzato su un discodi legno, quando il cerchione si raffredda si determina una contrazione isotropa,ovvero uguale in tutte le direzioni, con il campo degli spostamenti, proporzionalealla distanza del punto dallasse del disco

~v = k~r {vx = k xvy = k y . (1.24)


Campo gravitazionale. In prossimita` della superficie terrestre il campo gravi-tazionale e` affine con ottima approssimazione

x

y

~g

mettere un omino!

gx = 0

gz = GM(R + z)2 GMR2

(1 2 z

R

) (1.25)quindi

gz = 9, 81(1 2 z

R

)(1.26)

essendo R il raggio terrestre, G la costante gravitazionale ed M la massa dellaTerra.Siamo in presenza di un campo vettoriale affine.

1.11.3 Campo vettoriale affine nello spazio

Un campo vettoriale tridimensionale affine ha la forma

vx = ax + hxx x + hxy y + hxz zvy = ay + hyx x + hyy y + hyz zvz = az + hzx x + hzy y + hzz z .

(1.27)


Indicati con P e Q due punti generici della regione di definizione del campo,scriviamo lequazione precedente (Eq. 1.27) in notazione matriciale vx(Q) vx(P)vy(Q) vy(P)

vz(Q) vz(P)

= hxx hxy hxzhyx hyy hyzhzx hzy hzz

xQ xPyQ yPzQ zP

(1.28)e in forma compatta

~vQ ~vP = H (~rQ ~rP) (1.29)che coincide con lequazione del campo vettoriale affine nel piano (Eq. 1.12).

La matrice H viene chiamata matrice gradiente della funzione vettoriale~v. Per mettere in evidenza la funzione vettoriale della quale la matrice H e` ilgradiente, possiamo scrivere la relazione

H = Grad~v . (1.30)

Gli elementi della matrice gradiente H non dipendono dal posto: un campo vetto-riale affine ha un gradiente uniforme.

In un campo vettoriale affine tridimensionale il campo e` definito quando sonoassegnati i vettori in quattro punti (Fig. 1.23).

B

C

A

D

B

C

A

D

xy

z

Figura 1.23. Campi vettoriali affini entro un tetraedro.

Lettura. Il piu` diretto e, in un certo senso, il piu` importante problema che la nostraconsapevole conoscenza della natura deve metterci in grado di risolvere e` lanticipazionedegli eventi futuri, cos` che possiamo programmare le nostre azioni secondo tale antici-pazione. Come base per la soluzione di questo problema noi facciamo sempre uso deglieventi che sono gia` accaduti, ottenuti da osservazione casuale o da esperimenti preor-dinati. Nellimpresa di trarre inferenze sul futuro dal passato, noi adottiamo sempre ilseguente processo: ci formiamo immagini o simboli degli oggetti esterni; e la forma chegli diamo e` tale che le necessarie conseguenze delle immagini nel pensiero siano sem-pre le immagini delle necessarie conseguenze in natura delle cose rappresentate. Al fine

1.12. IL PROBLEMA FONDAMENTALE DI UN CAMPO 31

di soddisfare questo requisito deve esistere una certa conformita` tra la natura e il nostropensiero. Lesperienza ci insegna che questo requisito puo` essere soddisfatto e quindi chetale conformita` di fatto esiste.

[Heinrich Hertz, The Principles of Mechanics Presented in a New Form, Dover, NewYork, 1956, p. 1.]

1.12 Il problema fondamentale di un campo

Ogni campo fisico e` generato da sorgenti disposte entro una regione di spazio.Tale regione puo` essere vuota o riempita da uno o piu` mezzi materiali.

Il problema fondamentale e` quello di determinare landamento del campo inogni punto della regione. In generale tale andamento e` caratterizzato da una fun-zione scalare o vettoriale che prende il nome di potenziale del campo e le sorgentidel campo sono sia dentro che fuori la regione. Mentre e` facile sapere dove sonosituate le sorgenti dentro la regione, e` pressoche impossibile conoscere lintensita`e la posizione di quelle esterne ad essa. A causa di tale limite dobbiamo ipotiz-zare delle condizioni sul contorno della regione che producano, al suo interno,un effetto equivalente a quello delle sorgenti esterne. La scelta delle condizionial contorno rappresenta il punto debole nella determinazione del campo entro laregione considerata.

Per poter enunciare, in tutta la sua generalita`, il problema fondamentale diun campo, dobbiamo precisare cosa intendiamo per sorgente e potenziale di uncampo e per condizioni al contorno e di raccordo.

1.12.1 Sorgenti del campo

Ogni campo ha delle sorgenti, cioe` delle entita` che lo creano, per esempio:

le masse sono le sorgenti del campo gravitazionale; i generatori di calore sono le sorgenti del campo termico; le cariche elettriche sono le sorgenti del campo elettrico; le correnti elettriche sono le sorgenti del campo magnetico; le forze su un corpo solido sono le sorgenti del campo degli spostamenti; le forze su un continuo fluido sono le sorgenti del campo delle velocita`.

Le sorgenti possono essere concentrate in certi punti o distribuite nella re-gione di definizione del campo. Sono sorgenti concentrate il raggio laser e ilcannello ossiacetilenico usati per tagliare le lamiere.

La distribuzione delle sorgenti e` descritta da una funzione scalare o vettorialeche da` la densita` di sorgente. Tali sono la densita` di massa, la densita` di caricaelettrica e la densita` di corrente (Tav. 1.3).


Se lintensita` delle sorgenti e la loro distribuzione spaziale non variano neltempo, allora il campo generato e` costante e le variazioni delle funzioni di camposono solo di tipo spaziale. Se le sorgenti mutano con il tempo, allora anche ilcampo e` variabile nel tempo: in questo caso le variazioni delle funzioni di camposono sia spaziali che temporali.

Nei fenomeni di diffusione, se la sorgente emette con ritmo costante nel tem-po, come un forno elettrico, parliamo di campo stazionario. Esempi sono laconduzione termica, la diffusione di una sostanza in un fluido, la diffusione di unliquido o di un gas in un mezzo poroso, la diffusione della corrente elettrica entroun materiale, come accade per le correnti parassite e vaganti.

1.12.2 Potenziali del campo

Nella formulazione differenziale la configurazione del campo e` descritta da certefunzioni del posto e del tempo alle quali diamo il nome di potenziali del cam-po. Questi possono essere di tipo scalare o vettoriale (Tav. 1.3): sono scalari ilpotenziale gravitazionale, il potenziale elettrico, la temperatura; sono vettoriali lospostamento nella meccanica dei solidi, la velocita` nella meccanica dei fluidi, ilpotenziale vettore del campo magnetico.

Esiste una regola valida per tutte le teorie fisiche: se la sorgente e` una gran-dezza scalare, anche il potenziale e` una grandezza scalare; se la sorgente e` unvettore, anche il potenziale lo e`.

Esempi. Nellelettrostatica la sorgente e` la carica elettrica, che e` una grandezzascalare, e il potenziale elettrico e` pure uno scalare.

Nel campo gravitazionale la sorgente e` la massa, che e` una grandezza scalare, e ilpotenziale gravitazionale e` pure esso una grandezza scalare.

Nella conduzione termica le sorgenti di calore sono descritte dalla quantita` di caloreerogato nellunita` di tempo ovvero da una grandezza scalare. Il corrispondente potenzialetermico e` la temperatura, che e` una grandezza scalare.

Nella meccanica dei solidi deformabili la sorgente della deformazione e` una forza,che e` una grandezza vettoriale, e il potenziale e` lo spostamento, pure esso una grandezzavettoriale.

Nel magnetismo possiamo prendere come variabile di sorgente il vettore densita` dicorrente ~J e come potenziale il vettore magnetico ~A.

1.12.3 Condizioni al contorno

Il valore del potenziale in un punto della regione dipende non solo dalla distribu-zione e dalle intensita` delle sorgenti ma anche dal tipo e dalla distribuzione dellecondizioni al contorno.

Riferiamoci ad un esempio molto familiare: la propagazione del calore entro


Tavola 1.3. Potenziali e sorgenti dei principali campi della fisica.

campo potenziale sorgenteelettrico potenziale elettrico carica elettrica Qgravitazionale potenziale gravitazionale U massa mtermico temperatura T calore generato Pelastico spostamento ~u forza ~Ffluidodinamico velocita` ~v forza ~F

velocita` dilatazione volumica pressione pmagnetico potenziale vettore magnetico ~A densita` di corrente ~J

un locale. Supponiamo che su una parete della stanza si trovi un termosifone cheemette calore, mentre sulla parete opposta vi sia una finestra: il calore emesso daltermosifone si diffonde innalzando la temperatura. Se la finestra e` aperta, buo-na parte del calore si disperde e linnalzamento della temperatura e` modesto. Sechiudiamo la finestra, il calore viene trattenuto e la temperatura aumenta. Dedu-ciamo che, aprendo o chiudendo la finestra, cambiano le condizioni al contornodella stanza. Quindi la distribuzione spaziale della temperatura dipende non solodai termosifoni, ma anche dalle condizioni al contorno.

La stessa cosa vale quando indossiamo una maglia per ripararci dal freddo:cambiano le condizioni al contorno del nostro corpo. In tal modo impediamo alcalore di sfuggire e manteniamo il corpo alla temperatura voluta.

Analogamente, per evitare la riverberazione del suono in una sala, utilizzia-mo pannelli fono assorbenti o velluti: in tal modo cambiano le condizioni alcontorno del campo acustico che e` descritto dal campo delle pressioni dellariaallinterno della stanza.

Per evitare le riflessioni in un cannocchiale o in un microscopio, le paretiinterne vengono annerite. Cos` facendo la luce non viene riflessa dalle pareti,ossia cambiano le condizioni al contorno del campo elettromagnetico che ha sedenel tubo: il campo e` quello delle onde elettromagnetiche di frequenza luminosa.

E` naturale dunque che unequazione differenziale non basti da sola a deter-minare il valore del potenziale in ogni punto, in quanto descrive la legge di uncampo nei punti interni ad una regione di spazio: dobbiamo precisare le condizio-ni al contorno. Inoltre, se il campo non e` statico ossia varia nel tempo, dobbiamoprecisare anche il potenziale ad un istante iniziale in ogni punto del campo edeventualmente la sua derivata temporale al medesimo istante, qualora lequazionedifferenziale contenga le derivate temporali fino al secondo ordine.

Ma come determiniamo le condizioni al contorno? Semplicemente usando


la medesima legge fisica che porta alle equazioni differenziali nei punti internialla regione di spazio ove ha sede il campo e combinandola con le particolariinformazioni sulla struttura fisica dei materiali che formano il contorno.

Cos` se un corpo ha una parte del suo contorno a contatto con un termosta-to, vale a dire con un serbatoio che riesce a mantenere una temperatura costantenonostante lapporto o la sottrazione di calore, la temperatura su quella parte delcontorno e` assegnata. Se la rimanente parte del contorno e` protetta da un materialeisolante, ivi la corrente di calore e` nulla (Fig. 1.24).

isolante

temperatura assegnata

temperatura assegnata

T1

T2

flusso uscentenullo

~q

Figura 1.24. Conduttore di calore avvolto da un manto isolante sul contorno.

In pratica, assegnare le condizioni al contorno vuol dire fornire il valore delpotenziale, su quella parte del contorno ove e` noto, e il valore del flusso, sullaparte rimanente.

Nel caso della conduzione termica, il potenziale e` la temperatura e il flusso e`quello del calore. Quindi su una parete isolante il flusso e` nullo, mentre sulla partedel contorno che confina con un termostato la temperatura e` assegnata. Comeesempio illustriamo le condizioni al contorno relative a una porzione di terrenonella quale e` interrato un tubo dove scorre acqua calda ad 80C (Fig. 1.25).

20 C

acqua calda

assegnata la temperatura

assegnata la temperatura : 80 Cassegnato il flusso

asse

gnato

il fl

usso

asse

gnato

il fl

usso

terreno

Figura 1.25. Condizioni al contorno in un tubo percorso da acqua calda.

In un primo tempo supponiamo che tutto il calore sfugga solo verso latmosfe-


ra, che viene considerata come un termostato a 20C. Le condizioni al contornosopperiscono alla non conoscenza di cio` che sta allesterno della regione nellaquale il campo e` considerato. Le condizioni al contorno sono condizioni idealiz-zate, sono approssimazioni della realta`. Infatti il calore si diffonde anche verso ilbasso e lateralmente alla regione considerata. Non sapendo, pero`, quanto calorevada in queste direzioni, ipotizziamo che esso sia trascurabile ponendolo ugualea zero. Questo tipo di idealizzazione e` frequente nelle applicazioni pratiche incampi diversi della fisica.

1.12.4 Condizioni di raccordo

Quando nella regione in cui definiamo un campo vi sono materiali diversi, la for-mulazione differenziale non va piu` bene. Infatti le derivate parziali presuppongonola regolarita` nellintorno del punto in cui sono calcolate e questa regolarita` non e`verificata sulle superfici di separazione fra due materiali diversi.

50 1015202530354045

=100=10

x

~i

Figura 1.26. Propagazione del calore in presenza di materiali diversi.

Facciamo riferimento alla conduzione termica entro una barra, formata da duemateriali diversi, che sia termicamente isolata verso lesterno (Fig. 1.26). Il ma-teriale di sinistra, piu` scuro, ha una bassa conducibilita` termica, = 10, mentrequello di destra ne ha una maggiore, = 100. I due muri laterali fungono datermostati. La quantita` di calore che attraversa una generica sezione della barranellunita` di tempo (corrente di calore) e` la stessa, in quanto il calore non puo`disperdersi verso lesterno a causa dellisolante perfetto che avvolge la barra. Dalmomento che tutte le sezioni normali hanno la stessa area, ne viene che ancheil vettore densita` di corrente di energia ~q = /A~i e` il medesimo in ogni sezio-ne. Quindi ~q non subisce discontinuita` nellinterfaccia tra i due materiali. Dallarelazione costitutiva ~q = T ne viene che, dove minore e` la conducibilita`,maggiore deve essere il gradiente. Questo significa che il gradiente e` maggiorenel materiale di sinistra e minore in quello di destra, quindi la distanza tra due su-perfici isoterme e` minore nel materiale di sinistra. Infatti il modulo del gradientee` dato dal rapporto tra la differenza di temperatura tra due superfici equipotenziali


e la distanza che intercorre tra esse. Ne concludiamo che, attraverso linterfaccia,la temperatura e` continua, il gradiente della temperatura e` discontinuo e il vettoredensita` di corrente di energia e` continuo. In generale, sulle superfici di separa-zione tra due materiali diversi il potenziale e` continuo, mentre il suo gradiente e`discontinuo.

Nel campo gravitazionale il vettore accelerazione di gravita` ~g si mantiene con-tinuo nel passaggio dallinterno della Terra allesterno (Fig. 1.10 a), mentre nelcampo elettrico il vettore ~E passa da un valore finito, allesterno del conduttore,al valore nullo, allinterno, quindi subisce una discontinuita` (Fig. 1.10 b). Questoe` dovuto al fatto che le cariche elettriche sono mobili in un conduttore e, respin-gendosi, si confinano sulla sua superficie. Al contrario, nel caso gravitazionale, lesue sorgenti, ovvero le masse, sono fisse.

Incontriamo un comportamento analogo a quello gravitazionale, cioe` assenzadi discontinuita`, nelle atmosfere stellari: la carica elettrica della massa gassosarimane distribuita nel suo interno invece di confinarsi sulla superficie, quindi ilvettore campo elettrico non e` discontinuo.

1.12.5 Problema fondamentale

Possiamo enunciare il problema fondamentale di un campo nel modo seguente:

assegnata la regione in cui ha sede il campo; assegnata la natura del materiale che riempie la regione; assegnate le sorgenti del campo; assegnate le condizioni sul contorno del campo;

determinare la configurazione del campo.

effetti (incogniti) cause (note)

potenziali sorgentiproblema fondamentale

equazione fondamentale

Figura 1.27. Problema fondamentale della teoria matematica dei campi.

Questo problema e` tipico della la fisica: assegnate le cause, determinarne glieffetti. Riportiamo alcuni esempi per diversi campi della fisica.

Campo elettrostatico. Precisata la regione in forma e dimensioni; assegnati imateriali che la riempiono; data la distribuzione delle cariche nella regione e


sul bordo; precisata la natura del materiale che delimita la regione (metallico,dielettrico, vuoto); determinare il potenziale elettrico in ogni punto della regione.

Incontriamo questo problema nei dispositivi elettromagnetici.

Campo termico. Assegnata una regione di spazio occupata da un materiale con-duttore del calore; precisate le caratteristiche del materiale (isotropo/anisotropo,omogeneo/non omogeneo); assegnate le posizioni e le intensita` delle sorgenti ter-miche nella regione; assegnate le condizioni al contorno della regione; determi-nare la temperatura in ogni punto del materiale.

Incontriamo questo problema nella termotecnica, nella fisica delle stelle, nellameteorologia, nella fluidodinamica, nella progettazione dei reattori nucleari.

Campo elastico. Precisata la regione in forma e dimensioni; assegnati i mate-riali che la riempiono; data la distribuzione delle forze sul continuo e quelle agentisul bordo; precisate le condizioni di bordo (appoggio, incastro, bordo libero, ecc.);determinare lo spostamento in ogni punto del continuo.

Incontriamo questo problema nella meccanica dei solidi deformabili, nellascienza delle costruzioni, nella meccanica delle macchine.

Campo fluido. Precisata la regione in forma e dimensioni; precisata la naturadel fluido (incompressibile, viscoso, perfetto, ecc.); precisato il tipo di moto (sta-zionario, barotropico, irrotazionale, ecc.); precisate le forze di volume e quelleagenti sul bordo; precisate le condizioni geometriche del bordo (impermeabile,libero, ecc.); determinare la velocita` e la pressione in ogni punto del fluido.

Incontriamo questo problema nello studio nelle condutture, nello studio dellemaree, dei deflussi da un recipiente, nella metereologia, nella ventilazione.

Campo elettromagnetico. Precisata la regione in forma e dimensioni; assegnatii materiali che la riempiono; data la distribuzione delle cariche e delle correntielettriche nella regione e sul bordo; prescritta la natura del materiale che delimitail dominio (conduttore, isolante, ecc.); determinare il potenziale scalare elettricoe il potenziale vettore magnetico in ogni punto della regione.

Incontriamo questo problema nello studio della generazione delle onde elet-tromagnetiche, nelle guide donda, nella fisica del plasma.

Campo gravitazionale. Precisata la regione in forma e dimensioni; data la di-stribuzione delle masse nella regione; precisate le condizioni al contorno; deter-minare il potenziale gravitazionale in ogni punto della regione.

Incontriamo questo problema in geodesia.

Per risolvere il problema fondamentale, occorrono delle relazioni tra cause edeffetto ossia tra la distribuzione delle sorgenti e i potenziali del campo. Queste


relazioni prendono il nome di equazioni fondamentali. Le equazioni di campoportano solitamente il nome di coloro che le hanno scoperte (Tav. 1.4).

Tavola 1.4. Equazioni fondamentali dei campi fisici.

campo equazione didella conduzione termica Fourierdella diffusione Fickelastico Navierfluidodinamico (per fluidi perfetti) Eulerofluidodinamico (per fluidi viscosi) Navier Stokesacustico (in un fluido o in un solido) dAlembertgravitazionale (classico) Poissongravitazionale (relativistico) Einsteinampiezza di probabilita` (mecc. quant.) Schrodingerdellelettrone (mecc. quanti. relativ.) Dirac

Osservazione. Nella tavola sono assenti le equazioni del campo elettromagnetico diMaxwell poiche esse sono equazioni di campo (equazioni di struttura) e non sono equazio-ni fondamentali. Le equazioni fondamentali del campo elettromagnetico sono quelle chelegano la densita` di carica e di corrente ~J ai potenziali elettrico e magnetico ~A. Questeultime si ottengono componendo le equazioni di Maxwell con le equazioni costitutive.Ribadiamo il fatto che la locuzione equazione fondamentale ha qui un significato ristrettoalle equazioni che legano le sorgenti con i potenziali. Nessuno nega che le equazioni diMaxwell siano fondamentali per lelettromagnetismo!

1.12.6 Equazione fondamentale

Come possiamo ricavare lequazione fondamentale di un campo fisico? Per sca-lare una montagna dobbiamo prevedere delle opportune soste lungo il percorso,dividere larrampicata in tappe e stabilire, a partire dal campo di partenza, unaserie di campi intermedi. Si procede in modo analogo anche in fisica.

Meccanica della particella. Per ottenere lequazione fondamentale della mec-canica della particella

~F = m~a (1.31)

dobbiamo comporre le tre equazioni

~v =d~rdt

~p = m~vd~pdt

= ~F . (1.32)


La variabile che descrive la causa del moto e` la forza ~F(t), mentre quella chedescrive la posizione della particella e` ~r(t). Fra queste due variabili collochiamo,come tappe intermedie, la velocita` ~v (t) e la quantita` di moto ~p(t) (Tav. 1.5).

Operiamo in modo analogo per legare le funzioni di campo alle funzioni chedescrivono le sorgenti: scomponiamo il problema in tappe intermedie.

Tavola 1.5. Grandezze della meccanica della particella.

raggio vettore forza~r ~F

~v =d~rdt

d~pdt

= ~F

~v ~p = m~v ~p

velocita` quantita` di moto

Campo elettrostatico. Per descrivere il campo elettrostatico (Tav. 1.6) prendia-mo come funzione di campo il potenziale elettrico (P) e come distribuzione dellesorgenti la densita` di carica elettrica (P). Oltre a queste due funzioni, che descri-vono i due campi scalari, prendiamo in considerazione altri due vettori, funzionidel punto, che descrivono due campi vettoriali: il vettore campo elettrico ~E(P) eil vettore spostamento elettrico ~D(P). Ciascuno di questi vettori intermedi ha unpreciso significato fisico. Lo studio del campo elettrico porta a stabilire delle rela-zioni tra queste quattro funzioni. Ne viene che lequazione di campo e` il risultatodella composizione di tre relazioni rispettivamente tra ~D e , ~E e ~D, e ~E.

Tavola 1.6. Grandezze del campo elettrostatico.

potenziale elettrico densita` di carica

~E = ~D =

~E ~D = ~E ~D

campo elettrico spostamento elettrico

Ricordiamo che il problema fondamentale di un campo e` quello di determinare


la variabile di configurazione una volta assegnata la distribuzione delle sorgentidel campo.

Equazione di Poisson. Lequazione di Poisson descrive il problema fondamen-tale di diversi campi fisici, una volta corredata dalle condizioni sul bordo dellaregione. La ricerca della funzione che soddisfa lequazione e le condizioni alcontorno costituisce un problema matematico per il quale esistono diversi metodirisolutivi, raramente espliciti, talvolta approssimati e sempre numerici.

Il problema di trovare la funzione f (P) che soddisfa lequazione e le condi-zioni addizionali seguenti{ 2 f (P) = (P)

f (S) assegnata sul bordo della regione S (1.33)

prende il nome di problema di Dirichlet per lequazione di Poisson. Analoga-mente il problema di trovare la soluzione del complesso

2 f (P) = (P) fn

S assegnata sul bordo della regione S (1.34)prende il nome di problema di Neumann per lequazione di Poisson.

Infine il problema di trovare la soluzione dellequazione e delle condizioniaddizionali seguenti

2 f (P) = (P)f |S1 assegnata sulla parte S1 del contorno fn

S2 assegnata sulla parte S2 del contorno(1.35)

e` il problema misto per lequazione di Poisson.In particolare, se (P) = 0, lequazione di Poisson si riduce a quella di La-

place. Questo comporta che il potenziale sia determinato solo dalla distribuzionedelle sorgenti esterne alla regione che, non essendo note, sono rappresentate dallecondizioni al contorno.

Nella formulazione integrale le equazioni di campo sono espresse da unarelazione del tipo

f (P) =VG(P,P) (P) dV (1.36)

che e` in grado di fornire direttamente il potenziale in un punto, una volta assegnatala distribuzione delle sorgenti nella regione considerata se si conosce la funzione

1.13. LE OPERAZIONI RICORRENTI 41

G(P,P) chiamata funzione di Green. Tale funzione dipende dalla forma e dal-lestensione della regione in cui il campo e` definito, nonche dalle condizioni alcontorno e dalla natura del materiale di cui e` composta.11 Se la regione e` linterospazio, la sorgente e` puntiforme e il materiale e` omogeneo: la funzione di Greenprende il nome di soluzione fondamentale.

Osserviamo che possiamo esprimere lequazione del campo in forma loca-le, attraverso le derivate parziali del potenziale, e in forma globale, attraversolintegrazione sulla regione in cui vi e` la sorgente.

1.13 Le operazioni ricorrenti

Nello studio dei campi scalari e vettoriali alcune operazioni suggeriscono lintro-duzione di veri e propri strumenti matematici. Come nella lavorazione del legno iltagliare, piallare, levigare e forare richiedono strumenti quali la sega, la pialla, lalevigatrice e il trapano, cos`, nello studio dei campi, le operazioni di valutazionedella variazione spaziale, della circolazione e del flusso richiedono opportuni stru-menti quali il vettore gradiente, il vettore rotore e la funzione scalare divergenza.

1.13.1 Variazione gradiente

Dati due punti in un campo scalare consideriamo la variazione della funzione erapportiamola alla loro distanza: otteniamo un indicatore della rapidita` di varia-zione della funzione nella direzione considerata. Questo indicatore prende il nomedi gradiente della funzione in quella direzione. Se consideriamo che in ogni puntodel campo possiamo avere infiniti gradienti, uno per ciascuna direzione, possiamoindividuare la direzione di massimo gradiente e introdurre un vettore che abbiaquesta direzione e modulo uguale al massimo gradiente: chiamiamo tale vettoregradiente della funzione.

1.13.2 Circolazione rotore

Nellanalisi dei campi vettoriali introduciamo la nozione di integrale del vettorelungo una linea. E` significativo lintegrale lungo una linea chiusa ovvero la cir-colazione del vettore lungo una linea chiusa. Se poi la linea chiusa e` piana e dilunghezza infinitesima, constatiamo che tale circolazione e` proporzionale allarearacchiusa dalla linea. Il limite del rapporto tra la circolazione e larea, relati-vamente alla giacitura considerata, e` un espressivo indicatore locale del campo

11La lettera G e` liniziale del nome Green, dal nome del fisico matematico inglese che lhaintrodotta. Per la funzione di Green si vedano: Morse e Feshbach [?, vol. I]; Lanczos [?, cap. 5];Dettmann [?, cap. 4]; Courant Hilbert [?, p. 351].


vettoriale. Questo indicatore prende il nome di rotore del vettore relativo alla gia-citura nel punto considerato. Osservando che esso varia con la giacitura, possiamodeterminare la giacitura del piano per la quale il limite di tale rapporto e` massimoe introdurre un vettore perpendicolare a tale giacitura che abbia come modulo ilvalore di tale limite. Nasce cos` il vettore rotore della funzione vettoriale.

1.13.3 Flusso divergenza

Nellanalisi dei campi vettoriali, introduciamo la nozione di flusso di un vettorerelativo ad una superficie: tale grandezza scalare e` associata alla superficie. E`significativo il calcolo del flusso attraverso una superficie chiusa e se questa e`infinitesima, constatiamo che il flusso totale e` proporzionale al volume racchiu-so. Diventa allora indicativo il limite del rapporto tra il flusso totale e il volume,grandezza scalare, alla quale diamo il nome di divergenza del vettore.

campi

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