Campi ConservativiCampi ConservativiSia una funzione scalare (x,y,z) funzione del punto data da grad (x,y,z)

sempre

non sempre

sempre

sempresi parla di campi conservatividove

Es.

è un campo conservativo

sommando

quindi

Flusso di un vettore Flusso di un vettore attraverso una attraverso una

superficiesuperficiecampo vettoriale

superficie dello spazio per la quale è definito il campo

Sia

Es.

Se con indico la velocità di un fluido è con la sua densità

Divergenza di un Divergenza di un vettorevettore

la seguente grandezza scalare

Indichiamo divergenza di un vettore

funzione di (x,y,z)

Teorema della divergezaTeorema della divergeza

attraverso una superficie chiusa qualsiasi Sdel vettoreIl flusso

Campi solenoidaliCampi solenoidali

è sempre nullo

campo vettoriale

Sia in una regione dello spazio

è solenoidale in quella regione

Quindi

allora

Campi conservativi e Campi conservativi e solenoidalisolenoidali

è sempre nullo in quella regione

è conservativo, ossia se

Se , si ha

secondo la definizione di divergenza, si ha

Se è anche solenoidale in una certa regione dello spazio

Circuitazione di un Circuitazione di un vettorevettore

Consideriamo un campo vettoriale

Definiamo un nuovo vettore, detto rotazione di

.

l

Per definizione è la componente lungodel vettore che battezzo

a

.

l a

proponiamoci di calcolare circuitazione

O anche

Viceversa se la rotazione di un vettore è nulla allora possiamo dire che

Proprietà del rotoreProprietà del rotore

Ogni qual volta

le tre componenti sono identicamente nulle.

ricordando che per qualunque campo conservativo

si ha

quindi qualunque campo vettoriale che soddisfi deve essere conservativo.

una funzione

Teorema della rotazione Teorema della rotazione ooteorema di Stokesteorema di Stokes

La circuitazione del vettore

lungo una linea chiusal

notiamo subito che

Infatti calcolando secondo la definizione di divergenza

Da ciò segue che il campo è sempre solenoidale

Campo vettoriale Campo vettoriale irrotazionaleirrotazionale

Le due espressioni matematiche

hanno lo stesso significato

Campo irrotazionale Campo conservativo

Concetto di caricaConcetto di carica

Elettroscopio a foglie

Legge di CoulombLegge di Coulomb

Introduciamo una nuova grandezza che prende il

nome di Carica C = Coulomb

q1

q2

L’unità di carica si misura in Coulomb

Costante dielettrica del vuoto

Il campo elettricoIl campo elettrico

q1qn

q4

q3

q2qo

Intensità del Campo elettrico generato da una carica

Per ottenre quindi una definizione indipendente dalla carica considerate

Il potenziale Il potenziale elettrostaticoelettrostatico

q1qn

q4

q3

q2qo

È l’integrale indefinito

Potenziale elettrostatico

P1 P2

Energia potenzialeEnergia potenziale

È l’energia potenziale della carica quando essa è posta nel puntoin cui il potenziale ha il valore

Quindi il campo elettrico si misura in

Flusso del campo elettricoFlusso del campo elettrico

Il flusso è indipendente dalla forma e dalle dimensioni della particolare superficie S

che si considera.

Sorgente interna alla superficie

Sorgente esterna alla superficie

Il flusso dato da una sorgente esternaalla superficie è nullo

Flusso del campo elettricoFlusso del campo elettricoteorema di Gaussteorema di Gauss

Nel caso di più cariche Teorema di Gauss

Se si ha una distribuzione continua

Ricordando il teorema della divergenza

Teorema di Gauss in forma differenziale

Equazioni Equazioni fondamentali del fondamentali del

campo elettrostaticocampo elettrostatico

O anche

Eqazione di Poisson

Nei punti in cui

Eqazione di Laplace

Equazioni Equazioni dell’elettrostatica nei dell’elettrostatica nei

dielettricidielettriciIntroduciamo due

vettori

Nel mezzo abbiamo

Analogo a Induzione dielettrica

Intensità di polarizzazio

ne

Suscettività

dielettrica

Costante dielettricarelativa

Costante dielettrica Costante dielettrica relativa di alcune relativa di alcune

sostanzesostanze

Legge di Coulomb nei Legge di Coulomb nei dielettricidielettrici

q1

q2

Costante dielettrica del mezzo

Corrente elettrica Corrente elettrica stazionariastazionaria

Definiamo due nuove grandezze fisiche legata fra loro.

Intensità di corrente

Densità di corrente

Conservazione della Conservazione della carica carica (equazione di continuità)(equazione di continuità)

Intensità di corrente uscente entro la superficie del volumetto

Per il teorema della divergenzaDensità di carica

Si può avere una corrente che esce dalla sua superficie solo

se ρdv contenuta dentro il cubetto diminuisce.

Quindi Equazione di continuitàdella corrente elettrica

Nel caso delle correnti stazionarie si ha

Quindi Ossia è sempre solenoidale

conduttore

La legge di OhmLa legge di Ohm

La legge di Ohm fissa la dipendenza fra il potenziale e la corrente in un conduttore

Legge di Ohm

Resistività del materiale

Resistenza del conduttore

La legge di JouleLa legge di Joule

Legge di JouleLavoro svolto dal campo

Quantità di carica

Possiamo anche scrivere nei conduttori metallici dove vale la legge di Ohm

O anche scrivendo

Le leggi di KirchhoffLe leggi di Kirchhoff

Il flusso totale di uscente da tale superficie deve essere nullo.

In ogni maglia la somma delle f.e.m. è

sempre uguale alla somma delle c.d.t.

Nodo Maglia