campionamento e statistica...

Statistica Matematica

Cecilia VerniaStatistica Descrittiva

Campionamento

e

Statistica Descrittiva



Statistica, perché ?

• Incertezza nella ripetizione delle

misurazioni (dipendenza da fattori

casuali)

• Trarre conclusioni dai dati

• Costruire esperimenti validi e tracciare

conclusioni affidabili



Idea di base

Fare inferenze su una popolazione

studiando un campione estratto da

essa.



Esempio• Un macchinario produce rondelle d’acciaio per

dispositivi di memoria ottica.

• Specifica per il diametro delle rondelle è

0.45 0.02 cm

• 1000 rondelle prodotte…..quante rispettano la specifica?

• Su 50 rondelle 46 (=92%) hanno il diametro nella specifica.

• La proporzione, nella popolazione, di rondelle col diametro giusto è probabile che differisca dal 92% (proporzione campionaria).



Domande

• Quanto può essere grande la differenza tra la

proporzione delle rondelle buone nel campione

e nella popolazione?

• Come calcolare x tale che la vera percentuale di

rondelle accettabili nella popolazione si trovi,

con ragionevole fiducia nell’intervallo 92%x%?

• Come essere sicuri che almeno il 90% delle

1000 rondelle sia accettabile?

Deviazione Standard

Intervallo di confidenza

Test d’ipotesi



Metodi per poter trarre conclusioni dai dati

Metodi per raccogliere dati e produrre informazioni da essi

Statistica inferenziale

Statistica descrittiva



Indagine Statistica

• Rilevazione dei dati

• Organizzazione dei dati

• Presentazione dei dati organizzati

• Interpretazione dei dati e conclusioni



CampionamentoDefinizioni:Una popolazione è l’intera collezione di oggetti

o eventi sui quali si ricerca l’informazione.

Un campione è un sottoinsieme della popolazione. Esso contiene gli oggetti o gli eventi che sono osservati realmente.

Un campione casuale semplice (ccs) di ampiezza n è un campione casuale scelto in modo che ogni elemento degli n abbia la stessa probabilità di essere incluso nel campione. Estrazione casuale degli elementi che costituiscono il campione.



Campione Casuale Semplice

• Un CCS non rispecchia perfettamente la

propria popolazione.

• CCS differiscono dalla popolazione per diversi

motivi, a volte anche in maniera sostanziale.

• Due differenti campioni da una stessa

popolazione sono diversi l’uno dall’altro.

Tale fenomeno è noto come

variabilità di campionamento.



Indipendenza

• Gli elementi in un campione casuale

semplice possono essere trattati come

indipendenti nella maggior parte dei casi

che si incontrano nella pratica.

L’eccezione si ha quando la popolazione è

finita e l’ampiezza del campione è

maggiore o uguale al 5% di quella della

popolazione.



Indipendenza: esempio

1 010

Popolazione Campione




1 010

Popolazione

Estrazione: uguale probabilità di

estrarre 0 o 1

Campione




1 010

Popolazione


estrarre 0 o 1

1 01

Campione

0




1 010

Popolazione


estrarre 0 o 1

1 01

Campione

0

Estrazione: maggiore probabilità di

estrarre 1




1 010

Popolazione


estrarre 0 o 1

1 01

Campione

0

Estrazione: maggiore probabilità di

estrarre 1

10 0 1



Indipendenza: esempioPopolazione Campione

01



Indipendenza: esempioPopolazione


estrarre 0 o 1

Campione

01





estrarre 0 o 1

Campione

0

01

01





estrarre 0 o 1

Campione

0

Estrazione: probabilità di estrarre 0

o 1 praticamente uguali

01

01





estrarre 0 o 1

Campione

0

Estrazione: probabilità di estrarre 0

o 1 praticamente uguali

0 ?

01

01

01



Indipendenza: campionamento con reinserimento

1 010




1 010

Popolazione


estrarre 0 o 1

Campione




1 010

Popolazione


estrarre 0 o 1

1 01

Campione

0




1 010

Popolazione


estrarre 0 o 1

1 01

Campione

0


0

reinserimento



1 010

Popolazione


estrarre 0 o 1

1 01

Campione

0


0

reinserimento


estrarre 0 o 1



1 010

Popolazione


estrarre 0 o 1

1 01

Campione

0

1 00 ?


0

0


estrarre 0 o 1reinserimento

1



Una sintesi numerica calcolata su un

campione è detta statistica.

Una sintesi numerica calcolata su una

popolazione è detta parametro.

Le statistiche vengono spesso utilizzate

per stimare i parametri.

Ancora Definizioni:




Statistica

Inferenza

Parametro



Ancora sui CCS

Definizione: Una popolazione concettuale è formata da tutti i valori che potrebbero essere osservati.

• Per esempio, un geologo pesa una pietra diverse volte su una bilancia elettronica. Ogni volta la bilancia dà risultati leggermente differenti

• La popolazione è concettuale ed è composta da tutte le misurazioni che la bilancia, in teoria, potrebbe produrre.



Tipi di dati

• Numerico o quantitativo se una quantità numerica è assegnata ad ogni elemento nel campione.• Altezza

• Peso

• Età

• Categorico o qualitativo se gli elementi del campione sono classificati in categorie.• Genere

• Colore dei capelli

• Sigle di province



Organizzazione dei datiIndici statistici

iy




• Campo di Variazione: minimo intervallo

che contiene tutti gli ; iy

iymin iymax

ii yyr minmax

iy





che contiene tutti gli ;iy

• Classi

iymin iymax

iy

ii yyr minmax





che contiene tutti gli ;iy

n log 443.11cncn

r

• Classi (numero delle classi ed ampiezza)

iymin iymax

iy

ii yyr minmax



Funzioni di frequenza

• Funzione di frequenza (x): associa ad ogni classe il numero degli

elementi che la compongono;

n

xxr

)(

n

xx c

cr

)(

• Funzione di frequenza relativa r(x): rapporto tra il numero degli

elementi della classe e il numero totale degli elementi;

• Funzioni di frequenza cumulativa c(x): numero degli elementi della

classe e delle classi precedenti;

• Funzione di frequenza cumulativa relativa cr(x):



Funzione di frequenza

iymin iymax

100n

3)( 1 x

1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x

7)( 2 x 20)( 3 x 45)( 4 x

8)( 5 x 5)( 6 x 12)( 7 x

100)(1

cn

iix



Funzione di frequenza relativa

iymin iymax

03.0)( 1 xr

1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x

07.0)( 2 xr 2.0)( 3 xr

45.0)( 4 xr 08.0)( 5 x 05.0)( 6 xr

12.0)( 7 xr

1)(1

cn

iir x

nxxr /)()(



Funzione di frequenza cumulativa

iymin iymax

100n

3)( 1 xc

1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x

10)( 2 xc 30)( 3 xc 75)( 4 xc

83)( 5 xc 88)( 6 xc 100)( 7 xc



Funzione di frequenza cumulativa relativa

iymin iymax

03.0)( 1 xcr

1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x

1.0)( 2 xcr 3.0)( 3 xcr

75.0)( 4 xcr 83.0)( 5 xcr 88.0)( 6 xcr

1)( 7 xcr

nxx rcr /)()(



Istogramma• Scegliere i punti di confine

per gli intervalli di classe.

• Calcolare le frequenze e le frequenze relative per ogni classe.

• Calcolare la densità per ogni classe secondo la formula

Densità = frequenza relativa /ampiezza classe

• Disegnare un rettangolo per ogni classe, la cui altezza sia uguale alla densità.



IstogrammaL’altezza di ogni rettangolo dell’istogramma è la densità:

,/)()( iiri xx

dove è la lunghezza della classe i e è la frequenza relativa.

L’area totale dell’istogramma è

i )(xr

dove è la frequenza, che soddisfa alla condizione:)(x

,)(1

nxc

n

ii

è l’ampiezza del campione e è il numero delle

classi.

ncn

1)(1

)()(111

cccn

iii

n

iri

n

ii x

nxx



Misure Statistiche di sintesi

• Media Campionaria:1

1 n

i

i

X Xn

• Varianza Campionaria: 22 2 2

1 1

1 1

1 1

n n

i i

i i

s X X X nXn n

• Deviazione Standard Campionaria è la radice quadrata

della varianza campionaria.

•Se X1, …, Xn è un campione, e Yi = a + b Xi ,con a e b

costanti, allora .Y a bX

• Se X1, …, Xn è un campione, e Yi = a + b Xi ,con a e b

costanti, allora 222

xy sbs xy sbs ||



Misure di Dispersione

• Varianza dei dati

• Varianza campionaria

• La varianza stima la dispersione nella popolazione da cui si estrae il campione (le distanze dalla media campionaria sono più piccole delle distanze dalla media della popolazione si divide per (n-1))



Definizione: La moda è il valore più presente nel

campione. Se esistono diversi valori con uguale

frequenza, ciascuno di essi è una moda.

Definizione: La mediana come la media è un’altra

misura di tendenza centrale. Per calcolarla si

ordinano i valori in ordine crescente:

Se n è dispari, la mediana campionaria è il

valore nella posizione:

Se n è pari, la mediana campionaria è la media

dei due valori che occupano le posizioni:

1.

2

n

and 1.2 2

n n

Moda e Mediana



Moda unica

Più mode



QuartiliDefinizioni:

Il primo quartile è la mediana della metà inferiore

dei dati (includere la mediana nella metà inferiore dei

dati se n è dispari).

Il terzo quartile è la mediana della metà superiore

dei dati (includere la mediana nella metà superiore dei




QuartiliDefinizioni:

Il primo quartile è la mediana della metà inferiore

dei dati (includere la mediana nella metà inferiore dei


Il terzo quartile è la mediana della metà superiore

dei dati (includere la mediana nella metà superiore dei


•Ex n=99 ( ordinati)

1x 99x50x

22625 xx

ix

27574 xx



Percentili

Definizione: Il p-esimo percentile di un campione, con p numero tra 0 e 100, divide il campione in modo tale che almeno il p% dei valori campionari siano più piccoli di . Per calcolarlo:

Ordinare i valori del campione in ordine crescente.

Calcolare la quantità (p/100)(n+1), dove n è l’ampiezza del campione.

Se questa quantità è un intero, allora il valore del campione che occupa questa posizione è il p-esimo percentile. Altrimenti, è la media dei due valori tra cui si trova (p/100)(n+1).

Osserva: il primo quartile è il 25mo percentile, la medianaè il 50mo percentile, e il terzo quartile è il 75mo percentile.

pz

pz



Rappresentazioni Grafiche

• Grafico a punti

• Istogramma

• Boxplot

• Scatterplot (o grafico a dispersione)



Grafico a punti

• Un dotplot è un grafico che può essere usato per dare una prima (approssimativa) idea della forma del campione.

• È utile quando l’ampiezza del campione è non troppo grande e quando il campione contiene alcuni valori ripetuti.

• Generalmente non usato nelle presentazioni formali.

22122

HiAltitude

Dotplot for HiAltitude



Istogramma• Scegliere i punti di confine

per gli intervalli di classe.

• Calcolare le frequenze e le frequenze relative per ogni classe.

• Calcolare la densità per ogni classe secondo la formula

Densità = frequenza relativa /ampiezza classe

• Disegnare un rettangolo per ogni classe, la cui altezza sia uguale alla densità.

)( ir x



Simmetria e Asimmetria

• Un istogramma è perfettamente simmetrico se la sua metà di destra è esattamente l’immagine speculare della sua metà di sinistra. – Altezze di persone scelte a caso

• Gli istogrammi che non sono simmetrici sono detti asimmetrici.

• Un istogramma con la coda a destra più lunga si dice asimmetrico a destra, o con asimmetria positiva.– L’istogramma del reddito è asimmetrico a destra.

• Un istogramma con la coda a sinistra più lunga si dice asimmetrico a sinistra, o con asimmetria negativa.– Votazioni riportate in un test facile: asimmetrico a sinistra.



Boxplot

• Un boxplot è un grafico che riporta la mediana, il primo e il terzo quartile e gli outliers presenti nel campione.

• La differenza interquartile (IQR) è la differenza tra il terzo e il primo quartile. Questa è la distanza che copre la metà centrale dei dati.

• Passi nella costruzione di un Boxplot Calcolare la mediana, il primo e il terzo quartile del campione. Indicare

questi valori con linee orizzontali. Disegnare linee verticali per completare la scatola.

Trovare il più grande valore del campione che non superi per più di 1.5 IQR il terzo quartile e il più piccolo valore del campione che non sia inferiore per più di 1.5 IQR del valore del primo quartile. Collegare le linee dei quartili con delle linee verticali (baffi) a questi punti.

I Punti più grandi di 1.5 IQR volte il terzo quartile o più piccoli di 1.5 IQR volte il primo quartile sono definiti outliers e riportati singolarmente attraverso delle croci.



Boxplot

mediana

terzo quartile

primo quartile

X

outlier

}5.1|max{ txx ii

}5.1|min{ pxx ii

t

p

outlierX



Esempio: dati del Geyser: Non ci sono outliers in questo campione.

Osservando le quattro parti del boxplot, si può dire che I valori del campione sono più addensati tra la mediana ed il terzo quartile.

Il baffo che si trova in basso è un po’ più lungo di quello che si trova in alto, il che indica che i dati hanno una coda leggermente più lunga sulla parte inferiore che su quella superiore.

La distanza tra il primo quartile e la mediana è più grande di quella tra la mediana e il terzo quartile.

Questo boxplot suggerisce che i dati sono asimmetrici a sinistra.

90

80

70

60

50

40

dura

tio

n



Scatterplot

• I dati le cui unità possiedono una coppia di

valori sono detti bivariati

• La rappresentazione grafica per i dati bivariati

è lo scatterplot (o grafico a dispersione).

• Esempio di scatterplot:

876543210

2

1

0

-1

x

y

),( ii yx



Esempio:Pesi di 50 persone

53 55 56 57 57 58 58 59 59 60

60 60 61 61 61 61 62 62 62 62

63 63 63 63 63 64 64 64 64 64

64 65 65 65 65 65 66 66 66 66

67 67 67 68 68 69 70 71 71 73

Campo di variazione [53,73]



Suddivisione in classi

• Numero di classi: 7 ([1+1.443 lg 50]=7);

• Ampiezza delle classi: 3 ( )86.27

20



Istogramma

•Media:

22.6351717350

1

50

1 50

1

i

ixx

•Mediana:

5.632

6463

2

2625

xx

xmed

•Moda

64modx



Funzioni di frequenza

•Varianza

13.1722.6350

11 250

1

2

1

2 i i

n

i i xxxn

•Deviazione Standard

14.413.17

campionamento e statistica...

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