campos electromagneticos noviembre 9

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 299001 – Campos Electromagnéticos

“UNIVERSIDAD NACIONAL

ABIERTA Y A DISTANCIA”

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

PROGRAMA CIENCIAS BÁSICAS

299001 – Campos Electromagnéticos

FUAN EVANGELISTA GÓMEZ RENDÓN

FUAN EVANGELISTA GÓMEZ RENDÓN

(Director Nacional)

ANDRÉS FELIPE TARAZONA

(Acreditador)

Medellín, Junio 21 de 2011


DEDICATORIA

Todo el trabajo desarrollado, todo el esfuerzo invertido, todos los sacrificios

realizados, todas las dichas alcanzadas, todos los logros conseguidos, todas las noches trabajadas en aras del objetivo y las madrugadas gastadas en la misma idea, solo fueron posible gracias a las luces, a las ideas, a la bondad, a la

grandeza, a la inmensidad, a la profundidad, al amor, a la compañía, a la guía, entregadas cada día, cada instante, por ese ser maravilloso a quien no tengo la dicha de ver, a quien no tengo la capacidad de comprender, a quien siempre le

entrego mis días, mis dolores, mis alegrías, mis esfuerzos, mis oraciones, mis agradecimientos, mis sorpresas, mis nostalgias, mis sueños.

A ese ser especial, bondadoso, inmenso, maravilloso, indescriptible, quien me

cuida, me ilumina, me protege, me mantiene con vida, me permite servir y ser servido, me permite querer y ser querido, me permite contemplar y disfrutar de sus creaciones, escuchar el canto de la naturaleza, sentir la divinidad en cada ser

humano, sentir su presencia en todas mis actividades... a ese ser de quien no tengo la capacidad de describir, pero sí la dicha de percibir, le dedico con mucha humildad, con cariño, con fe, con paciencia y con bondad, esta pequeña creación

con la intención de darle las gracias por permitirme compartir y vivir.

Con mucha confianza, con mucha creencia en el Todopoderoso y lleno de alegría y de bondad, te canto como cada mañana: “una vez más, te agradezco Señor que puedo ver; te agradezco Señor que el sol nació. Te agradezco Señor que puedo

oir. Qué sería de mí sin la fe que yo tengo en Ti”. Te agradezco infinitamente Señor por lo que soy y espero que mi próxima edición definitivamente contenga todas las revisiones y enmiendas aprendidas en esta existencia y pueda

integrarme lleno de sabiduría y armonía a tu seno.


AGRADECIMIENTOS

Fuan Evangelista (Beremís), autor del módulo de “Electromagnetismo”, creyente

profundo y convencido de la bondad, de la sapiencia y de la grandeza del Todopoderoso, agradece con entusiasmo, elegancia, alegría y eleva sus oraciones permanentes y oportunas por, la colaboración, el acompañamiento, los

mimos, los descubrimientos, los sueños, los logros, la paciencia o la espera, a:

James Clerk Maxwell, talento inigualable y sutil, quien supo organizar y estructurar matemáticamente los conceptos, experiencias y material de la

teoría electromagnética. Paz a su espíritu creador y atrevido. Mi eterna admiración y gratitud por sus trabajos y el deseo de que se entere de que uno de sus estudiosos y admirador cósmico, orienta su trabajo en varias

comunidades académicas y le rinde un especial y merecido tributo a su memoria y a sus realizaciones. ConSIDERO SU OBRA COMO EL MÁXIMO

PRODUCTO DEL CEREBRO HUMANO Y COMO UN VALIOSO, PERMANENTE Y

SIGNIFICATIVO APORTE A LA CIENCIA, A LA TECNOLOGÍA, A LA SOCIEDAD DEL

CONOCIMIENTO Y A LAS TELECOMUNICACIONES; LA INMORTALIDAD DE LA OBRA Y

DEL NOMBRE DEL VIEJO MAXWELL ESTÁ ARMÓNICAMENTE GARANTIZADA.

Mis familiares, por haberme permitido estar un tanto ausente y seguir

contando con su cariño, sus cuidados, su protección, su amparo, durante el desarrollo de este trabajo que con tanto amor estoy ahora bondadosa y gustosamente culminando y entregando. Sé cuánta fuerza hicieron conmigo

para que saliera adelante y cuánto se cuidaron para no distraerme. Su silencio protector y comprensivo fue un grito de esperanza en mi obra.

La doctora Gloria Concepción Herrera Sánchez, maravillosa persona, gran colega, gran compañera, excelente amiga, brillante, analista y

estudiosa, por haberme brindado la oportunidad de compartir y de ganarme un espacio tiempo en esta gran familia de la UNAD y haberme comprometido a realizar este escrito. Gracias doctora por dejarme contribuir

con mi actividad académica honrada, comprometida y alegre, con el fortalecimiento de esta gran empresa educativa que tanto he aprendido a querer y que me permite escribir y expresar con el alma cada día: “UNAD-

monos para que crezcamos y hagamos una sociedad más equitativa”.

Mis amistades, por recordar que existo, por no haberme borrado de sus listas y por seguirme haciendo invitaciones y llamadas a pesar de los pocos

instantes que durante este lindo periodo les he podido dedicar. Un mensaje lleno de paz, de alegría y de progreso, para ustedes y para cada uno de los


suyos, y un fuerte estrechón de manos. Sintámonos hermanos del alma y alimentados con la misma chispa divina y que nos fortalece día a día.

Mis colegas, jefas, jefes, directivos, administrativos, de la UNAD y en especial del CEAD Occidente, por su especial y desinteresado acompañamiento en este proceso; por haberme soportado, por haberme

hecho bondadosas sugerencias, por mostrarme caminos sensatos y prudentes y explorados por otros colegas en el sublime acto de la escritura. Sin su valiosa compañía este proyecto no hubiera encontrado el norte y

estaría todavía lleno de ideas, de hermosos sueños, de experiencias estimulantes, pero sin consolidar y bien lejos de formalizar y de ser tenido en cuenta para ser socializado amigablemente en nuestra fortalecida,

conocida, responsable, internacionalizada y querida universidad, mi UNAD.

Mis recordados animales, a las flores bellas, a los frutales, al ambiente, de

mi querida y soñada finca y refugio en Girardota (Antioquia) por sentir que a pesar de tenerles un poco abandonados han seguido muy bien,

creciendo, produciendo y deleitando mi vista, mi existencia o mi paladar. El Todopoderoso los cuide y conserve fuertes, frescos y hermosos. Espero que pronto pueda dedicarles más tiempo, talento y recursos, para cuidarles, fortalecerles, embellecerles, mimarles y disfrutar su vitalidad, frescura,

alegría, sonidos, conciertos, paz, poesías, refugio, frescura.

Sherezade Gómez Londoño, mi estudiosa hija, asistente, colaboradora incondicional, por su noble, fraternal, valioso e inigualable aporte en la búsqueda, clasificada o digitada de información pertinente para enriquecer

este ambiente de enseñanza aprendizaje electromagnético. Su talento, su cariño, su esfuerzo, su entrega, su acompañamiento, sus ideas, son invaluables en el momento de medir. El Todopoderoso la ayude, la

conserve talentosa y hermosa, la ilumine y le dé toda la fortaleza y energías necesarias para que se enfrente valiente y tranquilamente a su futuro inmediato. Infinitas gracias; sin su entrega, sugerencias, cercanía y

sacrificio, esta obra no estaría aún culminada. Las redes electromagnéticas y el Todopoderoso, le cubran, le realimenten, le ayuden, para ser mejor.


ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO

El presente módulo fue diseñado en el año 2009 por Fuan Evangelista

Gómez Rendón (Beremís), tutor de tiempo completo de la fortalecida, reconocida y

amada UNAD, ubicado en el CEAD de Occidente (Medellín).

El autor es “físico puro”, “especialista en Ciencias electrónica e

informáticas” y “especialista en diseño de ambientes de aprendizaje”. Se ha

desempeñado como tutor de la UNAD desde el segundo semestre de 2005 hasta

la fecha (semestre 2 de 2011) y ha sido catedrático de prestigiosas universidades

del medio: Politécnico Colombiano Jaime Isaza Cadavid, Institución Universitaria

de Envigado, Universidad de Antioquia, Tecnológico de Antioquia, Universidad

Minuto de Dios, Universidad de La Salle y tiene un grupo de investigación

registrado en Colciencias que se denomina “Ciencia y tecnología con Don Fuan”.

El presente módulo es la segunda actualización que se realiza y ha sido

desarrollada por el “Físico puro” y “Especialista en Ciencias Electrónicas e

Informática” de la Universidad de Antioquia (Medellín), Fuan Evangelista Gómez

Rendón. El autor tomó algunas referencias e imágenes del módulo de

“Electromagnetismo”, del cual también es director nacional y el cual fue escrito y

diseñado por el ingeniero Carlos Jaimes (ese material también ha sido actualizado

por Fuan Evangelista en enero del 2011). El autor espera mejorar y actualizar este

material de estudio en el 2011 y para ello espera sus aportes. Felicidades.


INTRODUCCIÓN

El presente módulo (Campos electromagnéticos) está dirigido a estudiantes de programas de pregrado (áreas de electrónica y de telecomunicaciones) que oferta la UNAD, bajo la modalidad de educación superior abierta y a distancia.

El material está estructurado en tres (3) unidades que son las temáticas macro del

curso académico. El contenido de cada una de las partes fue seleccionado, teniendo en cuenta los saberes mínimos que se esperaría debe alcanzar un estudiante de la UNAD (Universidad Nacional Abierta y a Distancia) al término de su viaje por el curso de los “Campos electromagnéticos”.

La propuesta permite que los estudiantes reconozcan los conocimientos mínimos

del curso en mención, que les permita resolver situaciones propias del mismo y además, abordar posteriores temáticas que requieran de éstos conocimientos.

Los ingenieros o tecnólogos electricistas, electrónicos o de telecomunicaciones,

además de un sólido soporte matemático deben tener una gran capacidad y una

buena actitud para interpretar adecuadamente los principios que regulan los

campos electromagnéticos. Conocer, estudiar, investigar, analizar, socializar, el

comportamiento de estos campos es divertido, maravilloso, interesante,

cautivador, porque pueden explicar una buena cantidad de fenómenos cotidianos

que la física clásica y muy especialmente los trabajos del cerebral Maxwell,

permiten comprender, como por ejemplo, análisis de circuitos eléctricos,

funcionamiento y diseño de antenas, las líneas de transmisión, generación y

propagación de ondas electromagnéticas, circuitos eléctricos resonantes,

inducción electromagnética, generación y transmisión de energía eléctrica.

Cada uno de estos fenómenos puede jugar con campos eléctricos o magnéticos

que varíen con el tiempo (tienen frecuencia) y los cuales son responsables de

muchos fenómenos y aplicaciones bien sean residenciales o industriales. Todos

esos comportamientos o manifestaciones son gobernados o explicados

plenamente por las inmortales y especiales “ecuaciones e Maxwell”.

Los “campos electromagnéticos” se fundamentan en los principios o leyes

publicados en el gran trabajo de James Clerk Maxwell (quien murió el 5 de

noviembre de 1879 en el Reino Unido), el cual es considerado al lado de la teoría

de la relatividad (de Einstein), como los mayores logros del pensamiento científico

de todos los tiempos. Su obra recoge experiencias, observaciones, predicciones,

trabajos, de sus antecesores sobre electromagnetismo y óptica y propone una


teoría para explicar y relacionar esos fenómenos desde una teoría coherente,

consistente, sistemática y predecible. Su talento lo llevó a pensar en las ondas

electromagnéticas y sugirió que tanto el campo eléctrico como el magnético

cuando dependían del tiempo se propagaban con la rapidez de la luz en el vacío.

El estudio de los “campos electromagnéticos” nos conduce a cambios profundos y

significativos en nuestra comprensión de la naturaleza. Es un curso que se

caracteriza por manejar los campos eléctricos o magnéticos y sus relaciones

íntimas entre sí y tratar de socializar algunas de sus sutiles estructuras.

Es un elegante curso matemática y físicamente exigente pero estimulantemente

interesante donde los operadores gradiente, laplaciano, divergencia, rotacional,

son el lenguaje vivo, permanente y dinamizador de los campos electromagnéticos.

Parámetros o variables como carga eléctrica, “permeabilidad magnética”,

“permisidad eléctrica”, campo eléctrico, campo magnético, estática, radiación,

líneas de fuerza o de campo, acciones a distancia, potenciales o voltajes, fuerza

electromotriz, antenas, líneas de transmisión, ondas electromagnéticas, motores,

represas, inducción electromagnética, forman parte del vocabulario cotidiano de

muchos técnicos, tecnólogos o ingenieros, que hacen sencilla, agradable,

necesaria la vida y elevan su calidad todos los días en todos los lugares.

Para el mejor aprovechamiento de este material, se recomienda que el estudiante

posea como conocimientos previos: conocimiento alto de derivadas normales, integrales, derivadas parciales, operadores, sistemas de coordenadas, fundamentos de Electromagnetismo. Sin embargo el autor de estas líneas va

refrescando muchos conceptos a medida que van surgiendo o se van necesitando. El módulo se caracteriza porque en cada lección se presentar ejemplos modelos

del tema en estudio, al final de cada capítulo se exponen ejercicios; con respuesta, que permite a los estudiantes contextualizarse en diversas áreas del conocimiento, con el fin de fortalecer las temáticas propias del curso. Al final de cada unidad se

presenta una Autoevaluación de un nivel medio-alto, las cuales permiten verificar los alcances de los estudiantes en las temáticas analizadas y detectar las debilidades y así centrarse en éstas, con el fin de alcanzar las metas propuestas.

Finalmente, el material pretende servir como guía de aprendizaje autónomo y se recomienda apoyar este proceso por medio de lecturas especializadas, ayudas

audiovisuales, visitas a sitios Web o realización de algunas prácticas significativas (entre otras), para lograr una efectiva comprensión, interiorización y aplicación de las temáticas estudiadas en el desarrollo de los “Campos electromagnéticos”.


INDICE DE CONTENIDO

UNIDAD UNO: CAMPO ELÉCTRICO, FLUJO ELÉCTRICO Y POTENCIAL ELÉCTRICO

CAPÍTULO 1. El maravilloso soporte matemático Lección 1: Sistemas de coordenadas

Lección 2: Cantidades vectoriales

Lección 3: Operaciones vectoriales

Lección 4: Operadores especiales

Lección 5: El vector posición ( R ) y el álgebra de operadores

CAPÍTULO 2. CAMPO ELÉCTRICO ESTÁTICO Lección 6: Carga eléctrica

Lección 7: Clases de materiales eléctricos

Lección 8: Ley de Coulomb

Lección 9: Campo eléctrico estático

Lección 10: Campo eléctrico debido a distribuciones continuas de carga

CAPÍTULO 3. FLUJO ELÉCTRICO Y POTENCIAL ELÉCTRICO Lección 11: Flujo eléctrico

Lección 12: La ley de Gauss.

Lección 13: Aplicaciones de la ley de Gauss

Lección 14: Potencial eléctrico

Lección 15: Relación entre campo eléctrico y potencial

Lección 16: Aplicaciones de la electrostática

UNIDAD DOS: CAMPO MAGNÉTICO ESTÁTICO

CAPÍTULO 4. SOCIALIZANDO EL CAMPO MAGNÉTICO


Lección 17: Historia del Magnetismo

Lección 18: Dipolo magnético o monopolo magnético

Lección 19: Líneas de campo magnético

Lección 20: Los campos vectoriales importantes de Maxwell

Lección 21: El campo magnético

CAPÍTULO 5. LA FUERZA MAGNÉTICA Y EL CAMPO MAGNÉTICO Lección 22: La fuerza magnética

Lección 23: La fuerza de Lorentz

Lección 24: La ley de Biot Savart

Lección 25: La ley de Ampere

Lección 26: Relaciones magnéticas importantes

CAPÍTULO 6. PROFUNDIZANDO EN LOS CAMPOS MAGNÉTICOS Lección 27: Magnetización de materiales

Lección 28: Inductores e inductancias

Lección 29: Energía magnética

Lección 30: Maxwell salvando la ecuación de continuidad

Lección 31: Campos electromagnéticos y la ley de Ohm

UNIDAD TRES: INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA, ONDAS

ELECTROMAGNÉTICAS, FUNDAMENTOS DE ANTENAS

CAPÍTULO 7. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS Lección 32: Fundamentos de ondas

Lección 33: Polarización de ondas electromagnéticas

Lección 34: Espectro electromagnético

Lección 35: Ondas electromagnéticas e índice de refracción

Lección 36: Energía e intensidad en ondas electromagnéticas

Lección 37: Ondas planas en buenos conductores


CAPÍTULO 8. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA Lección 38: Inducción electromagnética

Lección 39: Parámetros que determinan la inducción

Lección 40: La ley de Henry Faraday

Lección 41: El vector de Poyting

Lección 42: Relaciones profundas para comprender las ondas electromagnéticas

CAPÍTULO 9. INTRODUCCIÓN AL ESTUDIO DE ANTENAS Lección 43: Conceptos básicos

Lección 44: Tipos comunes de antenas

Lección 45: Análisis de algunos tipos de antenas

Lección 46: Características de las antenas

Lección 47: Arreglos de antenas


LISTADO DE TABLAS Tabla No 1: Nombre de la tabla, Tabla No 2: Nombre de la tabla.

LISTADO DE GRÁFICOS Y FIGURAS

Figura No 1: Nombre de la tabla, Figura No 2: Nombre de la tabla.


UNIDAD I

“CAMPO ELÉCTRICO, FLUJO ELECTRICO Y POTENCIAL ELÉCTRICO”


UNIDAD 1

Nombre de la Unidad

CAMPO ELÉCTRICO, FLUJO ELECTRICO Y

POTENCIAL ELÉCTRICO

Introducción

CAMPO ELÉCTRICO

En la naturaleza existen fuerzas fundamentales que rigen

el comportamiento de los cuerpos, como son la fuerza

gravitacional, la fuerza nuclear, la fuerza de rozamiento,

entre otras; dentro de esas fuerzas se encuentra la

correspondiente a la fuerza que se puede presentar entre

las cargas eléctricas. Los materiales de los cuerpos

determinan el efecto que esas cargas eléctricas pueden

producir en ellos y además puede ayudar a clasificarlos

desde el punto de vista eléctrico y es por ello que

conocemos materiales que son conductores, aislantes

(dieléctricos), semiconductores o superconductores.

En este capítulo se presentan los conceptos básicos

relacionados con el campo eléctrico, el cual es el principio

de la electrostática. Las aplicaciones o los efectos de la

electrostática están presentes en la vida moderna, como

es en equipos médicos de rayos X, electrocardiogramas y

electroencefalogramas, en dispositivos electrónicos como

condensadores y transistores, en equipos asociados a

computadoras como pantallas sensibles al tacto, pantallas

de cristal líquido e impresoras electrostáticas, en equipos

de protección como los pararrayos o las jaulas de

Faraday, en aplicaciones industriales como la pintura

electrostática, recubrimientos químicos como la

galvanoplastia, entre muchas otras aplicaciones.

Sin lugar a dudas, el estudio de la electrostática (campo

eléctrico estático) es un campo interesante y de actualidad

tecnológica, que es la base para estudios posteriores de

equipos y sistemas más complejos.


Intencionalidades

Formativas

Fundamentar los conceptos y aplicaciones de los

campos como acciones a distancia y como soportes o explicaciones de muchos fenómenos cotidianos.

Aportar a los estudiantes ideas, experiencias o

conceptos significativos que contribuyan a desarrollar sus habilidades para argumentar,

razonar o formular explicaciones o justificaciones a los fenómenos relacionados con electromagnetismo o a expresar sus interpretaciones basados en los

principios, leyes o teorías que estructuran este interesante curso.

Potenciar en los estudiantes la capacidad de

comprensión y aprehensión de los conceptos específicos de los campos eléctricos.

Contribuir al desarrollo de habilidades de

pensamiento en estudiantes de diferentes programas que oferta la UNAD mediante la

activación cognitiva de operaciones mentales que faciliten la apropiación de nociones, conceptos, experiencias y leyes que fundamentan los “Campos

Electromagnéticos”.

Fortalecer en el participante las características que

deben identificarlo en su desempeño y actuación como ingeniero electrónico y como científico.

Desarrollar en el estudiante las aptitudes y las

actitudes que le permitan analizar, comprender o aplicar el estudio de los campos eléctrico.

Desarrollar en el estudiante la habilidad para

representar e interpretar las líneas de campo eléctrico y relacionar sus conocimientos con los

dispositivos o máquinas que mueven las empresas diariamente.

Denominación de capítulos

El maravilloso soporte matemático

Campo eléctrico estático

Flujo eléctrico, potencial eléctrico


UNIDAD 1. CAMPO ELÉCTRICO, FLUJO ELECTRICO Y POTENCIAL ELÉCTRICO

CAPÍTULO 1: “El MARAVILLOSO SOPORTE MATEMÁTICO”

El encanto que producen las ecuaciones de Maxwell solo puede ser

experimentado cuando uno ha manejado un ratito con alegría, bondad y

rigurosidad el soporte matemático, al principio parece muy complejo, que permite

una comprensión razonable de la teoría de los “campos electromagnéticos”. Este

capítulo se interesa por dar a conocer las ideas matemáticas básicas que permiten

navegar con tranquilidad por estos mágicos mundos de los campos de interés

para nosotros. Comprender las operaciones vectoriales (suma, producto escalar o

vectorial), manipular los operadores especiales (gradiente, divergencia, rotacional,

laplaciano), además de ser un desafío estimulante para la mente y para el alma,

es un mecanismo sencillo, elegante y apropiado, que nos llena de fortaleza, de

conocimientos, de esperanza, para disfrutar y comprender el trabajo de “Maxwell”.

Lección 1: “Sistemas de Coordenadas”

Existen muchos sistemas de coordenadas de interés para la ciencia o para la

tecnología y su utilización es una necesidad específica de acuerdo al tema de

interés. Es bueno saber que en la física del movimiento, en electromagnetismo o

en el cálculo de varias variables, se manejan los tipos de coordenadas

mencionados a continuación: cartesiana (rectangulares, cilíndricas y las esféricas.

Coordenadas Cartesianas.

Es el sistema que hemos disfrutado y manejado desde siempre; nos lo compartieron en el colegio, en él el hombre ha evolucionado, vivido,

amado, sufrido, progresado y ha comprendido que su vida se ha desarrollado en tres dimensiones y en él nos hablaron de los volúmenes. Es este sistema, como se indica en la figura un punto cualquiera P

puede ser identificado mediante sus tres coordenadas → xp , yp , zp


Es bueno mostrar que los vectores unitarios, que indican la dirección en cada

eje coordenado se representan por: y que equivalen a

los vectores unitarios y ordenados: i, j, k y en estricto orden.

Conviene recordar que los tres vectores mencionados con linealmente independientes, de magnitud uno, y que cada par es perpendicular entre sí.

Además de esos detalles importantes mencionados, los especiales vectores (i, j, k) se deben orientar de tal manera que: i x j = k, j x k = i.

Los desplazamientos diferenciales a lo largo de los ejes coordenados son sencillamente: dx , dy , dz. Es el sistema coordenado más cercano a nosotros.

Coordenadas Cilíndricas. Otro sistema, es el indicado en la figura [3], aquí un punto cualquiera P

puede ser identificado mediante las coordenadas → rp , φp , zp


Puedes imaginar este sistema de coordenadas concibiendo un tarro recto y cilíndrico en cual se tiene su radio ( r ), su altura ( z ) y el ángulo que ves en la

figura. Este sistema es muy interesante para trabajar con las líneas de los campos magnéticos que son líneas cerradas y concéntricas, que como el caso de un conductor rectilíneo son circunferencias concéntricas y de valor fijo.

Los desplazamientos diferenciales presentes a lo largo de cada uno de los ejes coordenados en este sistema de referencia son: dr , r dφ , dz

Coordenadas Esféricas.

En la figura un punto cualquiera P será identificado en este sistema de

referencia mediante las coordenadas, → rp , θp , φp

Los desplazamientos diferenciales a lo largo de los ejes coordenados son: dr, r dθ, r senθ dφ. Este marco de referencia es muy utilizado en sistemas

esféricos de distribuciones de carga eléctrica en sistemas estáticos en los cuales las líneas de campo son líneas abiertas que como en el caso de una carga eléctrica puntual se consideran que son líneas que salen del sistema.

Los desplazamientos diferenciales a lo largo de los ejes coordenados son: dr,

r dθ, r senθ dφ. Este marco de referencia es muy utilizado en sistemas esféricos de distribuciones de carga eléctrica en sistemas estáticos en los cuales las líneas de campo son líneas abiertas que como en el caso de una

carga eléctrica puntual se consideran que son líneas que salen del sistema.


Lección 2: “Cantidades Vectoriales”

En matemáticas, en la física y en la ingeniería, se manejan varios tipos diferentes

de cantidades. Ellas son las escalares, las vectoriales y las tensoriales, aunque

para los estudiosos normales solo son conocidas las dos primeras clases.

Escalares: son cantidades que quedan definidas por una magnitud

(un número) como ejemplos tenemos masa, tiempo, estatura, área,

longitud, energía, rapidez, parámetros en los cuales al preguntar por

ellos aquedamos satisfechos y comprendemos cuando nos

responden con una cifra definida. Por ejemplo: ¡cuál es tu

estatura?... la respuesta puede ser 1.78 m, pero nunca preguntamos:

¿acostado? ¿parado? Es de interés solo el número que nos digan.

Vectoriales: son aquellas cantidades que para quedar debidamente

definidas necesitan una magnitud y una dirección (ángulo).


Para representar un vector, es costumbre universal utilizar una flecha, cuya

longitud es proporcional a su magnitud y su orientación con respecto al eje X

muestra su dirección.

Dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud y la misma dirección. como

ejemplo tenemos:

Un vector en dos dimensiones, algebraicamente se puede especificar como un

par ordenado <a,b>. Los elementos del par ordenado se llaman componentes

rectangulares del vector.


Lección 3: “Operaciones Vectoriales”

La suma de vectores puede lograrse usando el método gráfico (polígono, o

usando reglilla, transportador, papel milimetrado), o el método analítico (el cual

hace uso de la calculadora científica y de las componentes rectangulares).

Además de la operación suma, se definen entre vectores dos productos

importantes: el escalar (producto escalar) y el vectorial (producto cruz).

PRODUCTO PUNTO ( a . b )

Se define como el producto de sus módulos (magnitudes) multiplicado por el coseno del ángulo θ que forman. Note que θ es siempre menor o igual que 180°. l resultado es siempre un número que puede ser positivo, negativo o nulo. Se

representa por un punto, y se define de la siguiente manera:

En coordenadas cartesianas y sabidas las componentes rectangulares de cada vector en bases ortonormales (ortogonal y unitaria), lo cual se traduce en vectores de magnitud igual a la unidad y que forman ángulos rectos entre sí):

PRODUCTO CRUZ ( a X b)

El producto vectorial de los vectores a y b (a × b) es un vector cuya magnitud está dada por |a||b| sen , en donde |a| y |b| son las magnitudes de los vectores “a” y “b” y “ ” es el ángulo entre ellos. La dirección del

vector resultante apunta en la dirección en la que un tornillo de rosca

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo

http://es.wikipedia.org/wiki/Coseno

http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas

http://es.wikipedia.org/wiki/Base

http://es.wikipedia.org/wiki/Ortonormal

http://es.wikipedia.org/wiki/Ortogonal

http://es.wikipedia.org/wiki/Unitaria


derecha penetraría perpendicularmente al pasar del vector “a” al vector “b”. El vector resultante es un vector que es perpendicular a cada uno de los vectores que lo generaron: (a x b) . a = (a x b) . b = 0

Ejemplos:

A) Sean los vectores:

y

El producto vectorial entre a y b se calcula como:

Expandiendo el determinante:

Por lo tanto:

Si (a x b) . a = (1, -5, -2) . (2, 0, 1) = (1) (2) + (-5) (0) + (-2) (1) = 0, lo cual

garantiza, que como estaba predicho, estos dos vectores eran perpendiculares.

Hal lar el produc to punto (a . b) de los vectores “a” y “b” cuyas coorden adas rec tangulares son (1, 1 /2, 3) y (4 , −4, 1) .

a . b = (1, 1/2, 3) · (4, 4, -2) = 1 · 4 + (1 /2) · 4 + 3 · (-2)

= 4 +2 + -6 = 0 (¡son perpendiculares ¡)

Lección 4: “Operadores especiales”

Las cantidades vectoriales son básicas en este curso. Las funciones escalares y

las funciones vectoriales siempre están asociadas con el comportamiento de los

campos eléctricos y algunas descripciones o parámetros asociados.

Los operadores que son de interés en el estudio de los campos electromagnéticos

son: el gradiente (operador fundamental), el cual combinado con el producto punto

o con el producto cruz y bien comprendida la naturaleza de una cantidad física


debemos saber su naturaleza escalar o vectorial para poder contribuir con su

estudio. Los operadores derivados de las distintas mezclas entre gradiente y los

productos escalar y vectorial, generan los demás operadores: divergencia,

rotacional, laplaciano, y es el tema de interés en este capítulo que ha disfrutado de

la presencia de la esencia matemática y física de cada navegante.

Estos operadores mágicos y especiales, fundamento y soporte de la teoría

electromagnética, se estructuran en el manejo de las derivadas direccionales (si

tienes dudas sobre su manejo o hace rato no los estudias por favor busca un libro

de cálculo avanzado y trabaja algunos ejercicios) y van a ser definidos:

GRADIENTE

Es el operador fundamental. Este operador especial se le aplica a funciones escalares y genera como resultado una función vectorial. Se representa el

gradiente de la función escalar "V", de la siguiente forma V (se lee nabla).

El operador gradiente muestra en un punto, la dirección y la magnitud de cambio de una función escalar “V”. Observar que todas las derivadas implicadas en estos conceptos son “derivadas acostadas” es decir “derivadas direccionales”:

Las expresiones matemáticas del “operador gradiente” en cada uno de los sistemas coordenadas se muestran a continuación y se sugiere guardarlos en

tablas apropiadas para su debida utilización: En coordenadas rectangulares se tiene que:

En coordenadas Cilíndricas se tiene que:

En coordenadas Esféricas se tiene que:


DIVERGENCIA ( . A)

Es un operador especial que se le aplica a “funciones vectoriales” (A) para generar “funciones escalares”. Se interpreta como una función que nos indica en un punto determinado la presencia de fuentes o de sumideros (desagues).

Por ejemplo: la fuente de los campos eléctricos son las cargas eléctricas, por lo

tanto en ciertos puntos .E (la divergencia del campo eléctrico es diferente de

cero, porque existe una fuente (cargas eléctricas) que lo genera)

Para la función vectorial “E” el concepto matemático, que es prácticamente, un producto escalar entre dos funciones vectoriales se trabaja de la manera siguiente:

∇ . E= ( i ) . (E1 i + E2 j + E3 k)

En coordenadas rectangulares se resume a::

En coordenadas cilíndricas se tiene que:

En coordenadas esféricas se tiene que:

Asociado con este interesante operador se tiene el conocido “teorema de la

divergencia” o “teorema de Gauss” o “teorema del flujo”, el cual permite convertir una integral de superficie en una integral de volumen para una región. Su interés se presenta en los campos electrostáticos o en la mecánica de los fluidos, donde

en forma natural se presentan los conceptos de “fuentes” o de “sumideros”. Este teorema se describe matemáticamente de la manera siguiente:


ROTACIONAL ( x E)

Es otro operador especial que se le aplica a funciones vectoriales y genera otra función vectorial. Es operador está asociado al concept de giro bien sea en un fluido o bien sea en un campo. Mentalmente se puede asociar a una rueda colocada dentro de un fluido y el análisis se daría pensando en

los lugares donde ella pueda girar como consecuencia del desplazamiento del fluido. Su expresión en cada uno de los sistemas de referencia es:

En coordenadas Rectangulares se tiene:

En coordenadas Cilíndricas se tiene:

En coordenadas Esféricas se tiene:

LAPLACIANO (2 V)

Es un operador especial de enorme interés en los cursos avanzados de

matemáticas especiales por su relación estrecha con los “armónicos”. Toda función cuyo laplaciano sea nulo se denomina “armónica” y ella es la ecuación


diferencial más conocida (cumple el papel del famoso teorema de Pitágoras en los cursos básicos de matemáticas). Este operador, se indica y se define como:

En coordenadas Rectangulares se tiene que:

En coordenadas Cilíndricas se tiene que:

En coordenadas Esféricas se tiene que:

La bella ecuación de Laplace es entonces: 2 V = 0, y a las funciones “V” que la

satisfacen plenamente se les denomina “funciones armónicas”. ¡Buscar algunas¡

Ejemplo: la función V = 3 X2 + 2 Y2 - 5 Z2, cumple la “ecuación de Laplace”

porque: 2 (3 X2) / X2 = 6, 2 (2 Y2) / Y2 = 4, 2 (- 5 Z2) / Z2 = -10

Y entonces: 2 (V) / X2 +2 (V) / X2 + 2 (V) / X2 = 6 + 4 – 10 = 0


Lección 5: “El vector posición (R) y el álgebra de operadores”

En coordenadas cartesianas el vector posición (R) se define como:

R = X i + Y j + Z k, cuya magnitud, una cantidad escalar, es simplemente:

R = (X2 + Y2 + Z2) = (X2 + Y2 + Z2)0.5

UR, es un vector unitario (magnitud uno) en la dirección del vector R.

Algunas propiedades del vector de posición R son:

R X R = 0 (vector nulo o vector cero)

R . R = R 2 = R2 (cantidad escalar o simplemente un número)

. R = 3

X R = 0 (vector nulo o vector cero)

R X UR = 0 (vector nulo o vector cero)

R . UR = R

Si f( R ) es una función meramente “radial”, es decir, depende sólamente del

parámetro “R”, entonces su gradiente { f ( R ) } se puede hallar

simplemente encontrando “df ( R ) / dR” (la derivada de “f” con respecto a

“R” y colocando el vector UR; es decir: f ( R ) = {df ( R ) / dR} UR

Por ejemplo, si f ( R ) = R6, entonces su gradiente es la función vectorial:

f ( R ) = 6 R5 UR, porque d R6/ dR = 6 R5. El “UR” le da el carácter vectorial.

Los operadores mencionados, tal como las funciones trigonométricas,

cumplen unas propiedades que conviene tener presentes permanentemente.

Si “A” es una función vectorial y “” es una función escalar, se cumple que:

(1 2) = 1 (2) + 2 (1)


. ( A) = . (A) + A . ()

x ( A) = x (A) - A x ()

X (A x B) = (B .) A – (A. ) B + A (.B) – B (.A)

. (x A) = 0 (la divergencia del rotacional es cero)

X (F) = 0 (rotacional del gradiente es vector nulo)

x ( X A) = (.A) - 2A

Para socializar el manejo de esta álgebra de operadores favor analizar con

cuidado y entusiasmo los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1: 1 =X2 “y” 2 = ln X

5 (“ln” logaritmo natural) son dos funciones escalares,

encontrar el gradiente de “1 2”.

Solución: se sabe del álgebra de operadores que: (1 2 ) = 12 + 21

(1 2) = { x2 (1/ X

5)(5 X4 ) + (ln X

5 ) 2x } UR

(1 2 ) = (5 x + ln (X5) 2 x) UR

(1 2) = (5X + 10x ln x ) UR

Ejemplo 2: si F = R3 R, es una función de carácter vectorial, hallar con la ayuda

del álgebra de los operadores y los conocimientos del cálculo:

a. X F

b. . F

Solución: se sabe que x ( A) = x (A) - A x (), y además x R = 0

Luego: X F = R3 ( x R) – R x ( R3) = 0 - R x (3R UR)

pero R X UR =0 por lo tanto: X F = 0

Para resolver la parte b. del ejemplo 2 recordar: . ( A) = . (A) + A . ()

. F = . (R3 R) = R3 . R + R . R3 = 3 R3 + R . 3 R2 UR = 3 R3 + 3 R3 = 6 R3


CAPÍTULO 2: “CAMPO ELÉCTRICO ESTÁTICO”

La fuerza gravitacional es una fuerza muy estudiada en la naturaleza y su

comportamiento explica con claridad el movimiento planetario, el peso que

ejerce la tierra sobre nosotros y que no nos permite levantarnos del piso con

facilidad. Esta fuerza es atractiva, de carácter central y solo puede notarse

cuando las masas son grandes; es el caso de los planetas moviéndose

alrededor del sol, las mareas terrestres causadas por la influencia de la luna.

La fuerza eléctrica es una fuerza significativamente más poderosa, que

puede ser atractiva o repulsiva, de carácter central y además es una fuerza

conservativa. Es la responsable de los enlaces de la materia, explica el

movimiento de los electrones en una pantalla de televisión, nos ayuda a

comprender el fenómeno del galvanizado, justifica la estática de las nubes;

es una fuerza especial de la naturaleza que está muy cerca de nosotros.

Comprender y manejar los campos eléctricos estáticos, es decir, aquellos

campos eléctricos que no dependen del tiempo, es muy importante para

justificar y analizar el comportamiento de muchos equipos, dispositivos o

fenómenos relacionados de la industria con este bello campo del saber.

Lección 1: “Carga eléctrica”

La carga eléctrica es un concepto fundamental (al nivel de la masa, la longitud y el

tiempo) y que se aplica ante la existencia de fuerzas susceptibles de ser medidas

experimentalmente. Es una medida de la “cantidad de electrización” que posee un

cuerpo. La carga tiene dos formas conocidas como son:

Carga positiva (+).

Carga negativa (-).

Estos dos tipos de carga fueron determinados por Benjamín Franklin (1706 -

1790), quien a través de sus observaciones sistemáticas determinó que cargas

similares se repelen entre sí y cargas opuestas se atraen entre sí.

Gráficamente esta situación se puede ilustrar de la siguiente manera:


Figura 1

En la figura 1A si se suspende una barra dura de caucho que se ha frotado con un

paño y se le acerca una barra de cristal que igualmente se ha frotado con seda,

las dos barras se atraerán entre sí (el frotamiento permanente de un cuerpo y en

la misma dirección produce una electrización que carga eléctricamente los

cuerpos y recibe el nombre de “triboelectricidad”). De manera similar, si se

acercan dos barras de caucho (o dos de cristal) cargadas, como se muestra en la

figura 1B, ambas se repelerán. “Cargas de diferente signo o carga eléctrica,

simplemente se atraen y de igual signo se repelen o se rechazan”.

La carga eléctrica en un cuerpo, se puede presentar en su exterior, en su interior o

dentro de una superficie cerrada, constituyendo una forma cualitativa de exceso

de electricidad respecto a la presente en otro cuerpo o superficie.

La electricidad es una de las siete cantidades fundamentales, las que han sido

adoptadas por la General Conference on Weights and Measures (Junta General

de Pesas y Medidas) y son aquellas cantidades que no se derivan de ninguna

otra. Las unidades de estas cantidades fundamentales son las creadas por el

Sistema Internacional (SI), se basan en el sistema M.K.S.A (metro-kilogramo-

segundo-amperio) y han sido adoptadas por las entidades normativas a nivel

mundial, entre las que se pueden mencionar la IEC, el ANSI y el IEEE.

La unidad correspondiente a la cuantificación de la carga eléctrica es el Coulombio

(C), el cual es una unidad derivada en el Sistema Internacional, es decir, que se

expresa en términos de las llamadas y aceptadas cantidades fundamentales.


Un “coulombio” equivale aproximadamente a 6 x 1018 electrones, mientras que la

carga de un electrón es: 1 e- = -1,6019 x 10-19 C. La carga eléctrica de un protón

es positiva y tiene el mismo valor absoluto de la carga eléctrica del electrón. Debe

conocerse además que los “neutrones” no poseen carga eléctrica.

En el mundo de las partículas atómicas los “protones” y los “neutrones” son

prácticamente igual de pesados y cada una de sus masas con casi dos mil veces

la del electrón, el cual es una partícula sumamente ligera con respecto a ellos. En

los pesos atómicos se consideran los protones y los neutrones (muy pesados).

Lección 2: “Clases de Materiales eléctricos” Los materiales por sus propiedades físicas tienen una capacidad para conducir las

cargas eléctricas. Los electrones de la última capa atómica de un elemento

determinan su capacidad de conducir bien sea la electricidad o bien sea el calor;

por ejemplo, el cobre, que es un metal muy conocido, es muy buen conductor del

calor y por lo tanto de la electricidad. En la naturaleza se pueden encontrar o

generar cuatro tipos especiales de materiales según su capacidad conductora:

Materiales aislantes: son aquellos en los que una pequeña o despreciable cantidad de cargas eléctricas se pueden mover o fluir. Los electrones no se

pueden desplazar fácilmente y se utilizan como aislantes del calor o de la electricidad. También se les conoce con el nombre de dieléctricos. Son la materia prima para los condensadores. Son muy conocidos y usados el teflón,

el neopreno, la mica, algunas cerámicas, la madera seca.

Materiales conductores: son los que permiten el paso de cargas eléctricas

con absoluta facilidad. Tienes electrones libres fáciles de desplazar, lo cual favorece el desplazamiento del calor o de la electricidad por su interior. Son buenos conductores el cobre, la plata, el aluminio.

Semiconductores: es una tercera clase de materiales y cuyas propiedades son intermedias entre los aislantes y los conductores, por lo que se denominan

de esta manera. Estos materiales permiten el paso de cargas eléctricas en unas condiciones, mientras que en otras condiciones, el mismo material se comporta como un aislante. La magia del silicio (del grupo IV A de la tabla

periódica) elemento que tiene 4 electrones de valencia, o sea favorece cuatro enlaces sencillos, ha motivado grandes investigaciones a su alrededor y se puede dopar con ciertas impurezas (elementos del grupo III A o del V A) y ese detalle de la física del estado sólido produce unas sustancias muy especiales

en cada caso: si se dopa con elementos del III A se van a tener estructuras con 7 electrones y como la ley del octeto exige ocho electrones en el último nivel


para fortalecer el enlace, se percibe que queda un hueco el cual se comporta como un sistema positivo, son las famosas pastillas “tipo P”. El otro caso especial se genera cuando se dopa, el silicio por ejemplo, con elementos del

grupo V A se tienen 9 electrones; se copan los 8 electrones para la ley del octeto y sobra uno que hace más negativo le sistema; de esta manera se forman las pastillas “tipo N”. La gran revolución moderna se produce cuando

los laboratorios Bell le entregan al mundo un “negrito de tres patas”, el transistor. El mundo cambió profundamente y los aparatos electrónicos se hicieron compactos, pequeños, con bajo consumo de energía; fue una

revolución profunda que permitió socializar muchos dispositivos que han facilitado y elevado la calidad de vida de los seres humanos.

Superconductores: son materiales especiales que a temperaturas cercanas al

cero absoluto (-273C) no presentan resistencia eléctrica. Esta propiedad

sugiere que esos materiales no gastan energía eléctrica y es como si fuese un proceso eterno. En los resonadores magnéticos, equipos básicos para la

R.M.N (resonancia magnética nuclear) se utiliza el helio líquido a temperaturas muy bajas como elemento superconductor en los sistemas de trabajo.

Como ejemplos típicos de cada una de estas clases de materiales, se pueden

mencionar los siguientes:

Aislantes Caucho, porcelana, mica, resinas poliméricas, vidrio,

celulosa, nylon, polivinilos, policarbonatos.

Conductores Metales como el cobre, aluminio, oro, plata.

Semiconductores Silicio, germanio.

Superconductores Helio líquido a -269 C

La acumulación de cargas eléctricas en un cuerpo se puede dar por dos métodos

básicos: la inducción y la conducción. En el primero, un cuerpo cargado

eléctricamente induce acumulación de cargas de polaridad contraria en un cuerpo

cercano, sin que haya un contacto entre los dos cuerpos.

Lección 3: “La ley de Coulomb”

Charles Coulomb (1736 – 1806) midió las magnitudes de las fuerzas eléctricas

que experimentaban cuerpos cargados eléctricamente, mediante un dispositivo

denominado Balanza de Torsión y que él mismo desarrolló. Las fuerzas que


actuaban a distancia y que Newton había inmortalizado en sus trabajos de

gravitación universal estimularon los trabajos de Coulomb en la fuerza eléctrica.

Las mediciones de Coulomb permitieron concluir lo siguiente:

La fuerza eléctrica entre dos pequeñas esferas cargadas es inversamente

proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, es decir:

F 2

1

r

La fuerza eléctrica experimentada por dos partículas cargadas es proporcional

al producto de la magnitud de cargas de las partículas, o sea:

F q1, q2

La fuerza eléctrica es de atracción si los signos de las cargas son opuestos (fig. 5B) o de repulsión si los signos son iguales (fig. 5A), con lo cual:

Figura 5

A partir de esas conclusiones experimentales, Coulomb expresó la ley que lleva su

apellido, la cual se puede representar con la siguiente ecuación:

F = k 2

21.

r

qq

Donde:


F: fuerza eléctrica entre las cargas, [N].

q1, q2: magnitudes de las cargas eléctricas bajo consideración, [C].

r: distancia de separación entre las cargas, [m].

k: constante de proporcionalidad, [2

2.

C

mN].

Las unidades aplicadas son las correspondientes al SI (Sistema Internacional). La

constante “k” se deriva de la siguiente expresión:

k = 4

1

La constante “” se conoce como la “permitividad eléctrica del medio” y

equivale a “ = 0 . r” donde “r” es la constante dieléctrica del medio y

además la constante “o” se conoce como la “permitividad eléctrica del vacío”.

Representa el efecto que las cargas eléctricas tienen en el espacio libre y tiene el

siguiente valor: o = 8,854 x 10-12 2

2

.mN

C

Con lo cual para el vacío: k = 9 x 109 2

2.

C

mN

Hay que destacar que la fuerza es una cantidad vectorial, por lo que tendrá una

magnitud y un sentido, y la suma de fuerzas se debe realizar de forma vectorial.

Lección 4: “El campo eléctrico estático” Un campo eléctrico estático no depende del tiempo. La electrostática es la parte

del electromagnetismo que analiza, estudia, aplica, el estudio de las cargas

eléctricas en equilibrio. Un campo eléctrico es una región en la cual una carga

eléctrica es capaz de experimentar una fuerza eléctrica como consecuencia de

otras cargas presentes en el lugar. Una carga eléctrica altera el espacio que la

circunda, siendo la intensidad de esa alteración igual a la relación entre la fuerza

eléctrica (F) sobre la carga de prueba (qo). La expresión correspondiente es:

E = oq

F [

C

N]


El campo eléctrico es producido por una carga externa a la carga de prueba, es

decir, no es producido por la carga de prueba. El campo eléctrico es un vector y

tendrá la misma dirección de la fuerza (F) considerada.

En la siguiente tabla se presentan algunos valores típicos de campo eléctrico.

Fuente E (

C

N)

Tubo de luz fluorescente 10

Atmósfera (buen clima) 100

Atmósfera (con nubes de tormenta) 10.000

Fotocopiadora 100.000

Chispa eléctrica en el aire > 3.000.000

Ejemplo. Encontrar la intensidad de campo eléctrico a 50cm de una carga

positiva de 10-4C.

Figura 8

En este ejemplo la carga externa es la carga de +10 -4C y la carga de prueba

positiva se ubica a 50 cm de ésta (en el punto A).

F = 9 x 109 2

2.

C

mNx

2

4

)5,0(

)).(10(

m

qC o

= 3,6 x 106 . qo [N]

E = oq

F=

o

o

q

qx .106,3 6

= 3,6 x 106 C

N

Si se aplica un campo eléctrico uniforme a un conjunto de “iones” se percibe una

dolarización de cargas es decirlas positivas siguen la dirección del campo y las

negativas se van en la dirección contrarias. Además usando el concepto de fuerza:


F ma

F qE

qa E

m

Este fenómeno fue aplicado por el creador “Faraday” para estructurar y aplicar la

electrólisis (descomposición de sustancias por medio de la electricidad) y su

industria se denomina “galvanoplastia”, como en el caso del cobrizado, plateado,

dorado, cromado, industrias prósperas y cercanas en todos los ámbitos sociales.

Dado que el campo eléctrico tiene una dirección, se pueden establecer líneas de

campo que permitan “visualizar” la distribución del mismo, determinando los

puntos de concentración. De manera pictórica ayudan a comprender o a explicar

significativamente el comportamiento de los campos eléctricos estáticos.

Unas reglas básicas para dibujar las líneas de campo eléctrico son:

Las líneas salen de la carga positiva y llegan o terminan en la carga negativa.

El número de líneas dibujadas saliendo de una carga positiva o aproximándose a una carga negativa es proporcional a la magnitud de la carga.

Ningún par de líneas de campo puede cruzarse.

Algunas configuraciones típicas se ilustran a continuación:


Figura 9

Analizando con cuidado y detenimiento las líneas de fuerza mostradas en la figura

9 y recordando la interpretación del “operador rotacional” puede concluirse que

sise colocase un aspa en el interior de ese campo eléctrico ella no rotaría, lo cual

sería una evidencia de que su rotacional ( x E) sería el vector cero o vector nulo.

Esta gran apreciación permite deducir con magia extrema que:

x E = 0

Para que una expresión matemática (E) tenga validez en el reino del

electromagnetismo se requiere que se cumplan dos detalles importantes:

x E = 0 y que además que cuando la distancia (R) es muy grande () el límite de

la expresión que define el campo eléctrico debe ser cero. Ese detalle nos muestra

que los campos eléctricos son decrecientes, es decir a medida que nos alejamos

de la fuente que lo genera (carga) su valor va decayendo, va disminuyendo


Ejemplo. Una carga eléctrica puntual genera a su alrededor un campo eléctrico de

la forma: E = q UR / ( 4 R2). Repasando las propiedades del vector R y el

álgebra de los operadores, se tiene que:

E = {q / (4 R2) } R / R = {q / (4 )} (R -3 R) y su rotacional será:

x E = {q / (4 )} x (R -3 R) = {q / (4 )} { R-3 x R – R x R-3}

x E = {q / (4 )} { R-3 O – R x (-3 R-4 UR)} = O

De esta manera se ha probado con propiedad que el rotacional del campo

eléctrico es nulo. La segunda propiedad exige que el límite de esa expresión

tienda a cero cuando la distancia ( R ) tiende a infinito (). Favor verificarlo.

Lección 5: “Campo eléctrico debido a distribuciones continuas de carga” Hasta el momento se han considerado los efectos de cargas puntuales. Sin

embargo, se tienen muchos casos de interés en el mundo de la ciencia o de la

tecnología, cuando las cargas eléctricas se agrupan y se distribuyen a lo largo de

una línea, en una superficie o en volumen. Cuando las cargas se encuentran en

grupo, la distancia de separación entre ellas es mucho menor, por lo que se

consideran que están distribuidas de forma continua.

Para estudiar el campo eléctrico producido por una distribución de carga continua

se debe seguir con un procedimiento, como el siguiente:

Se establece una densidad de carga, según corresponda a una distribución

lineal, superficial o volumétrica, así:

Densidad de carga lineal: es la carga eléctrica distribuida por unidad de

longitud (L = dQ / dL= ) y sus unidades de medida son [m

C]. Por ejemplo las

cargas eléctricas distribuidas a lo largo de un filamento o de un hilo.


Densidad de carga superficial: es la carga eléctrica distribuida por unidad de

superficie (S = dQ / dS=) y sus unidades de medida son2m

C.Por ejemplo las

cargas eléctricas distribuidas en una hoja de papel para fotocopiadora.

Densidad de carga volumétrica: es la carga eléctrica distribuida por unidad de

volumen (V = dQ / dV= ) y sus unidades de medida son [3m

C]. Por

ejemplo las cargas eléctricas distribuidas en una esfera sólida y conductora.

La intensidad de campo eléctrico debido a cada una de las distribuciones de

carga , , , puede considerarse como la sumatoria de las contribuciones al

campo que realizan todas las cargas puntuales que componen esa distribución de carga y se puede obtener la carga total como una integral definida con los límites apropiados según la distribución de carga eléctrica considerada.

Ejemplo 1. ¿Cuánta carga eléctrica está contenida en una distribución de la cual

se tienen 1.8 metros y se tiene una densidad uniforme con = 12 mC / m?

Como = dQ / dL, entonces dQ = dL, y así:

Q = dL = dL = L = 12 mC / m * 1.8 m = 21.6 mC

Ejemplo 2. ¿Cuánta carga eléctrica está contenida en una distribución cuadrada

de lado 0.5 metros y se tiene una densidad uniforme con = 12 mC / m2?

Como = dQ / dS, entonces dQ = dS, y así:

Q = dS = dS = S = 12 mC / m2 * (0.5m)2 = 3 mC

Ejemplo 3. ¿Cuánta carga eléctrica está contenida en una distribución esférica de

radio 3 metros y se tiene una densidad uniforme con = 12 mC / m3?

Como = dQ / dV, entonces dQ = dV, y así:

Q = dV = dV = V = 12 mC / m3 * 4 (3m)3 / 3 = 432 mC

Ejemplo 4. ¿Cuánta carga eléctrica está contenida en un cascarón esférico de

radio 3 metros y se tiene una densidad uniforme con = 12 mC / m2?

Este caso es muy interesante tanto técnica como académicamente. Si es un cascarón la carga eléctrica está distribuida obviamente solo en la parte externa y adentro no hay carga (está vacía); por esa razón la carga interna es nula pero

mirando desde afuera del elemento se percibe una carga eléctrica superficial y

total de: Q = dS = dS = S = 12 mC / m2 * (3 m)2 = 108 mC


CAPÍTULO 3: “FLUJO ELÉCTRICO Y POTENCIAL ELÉCTRICO”

Lección 1: “FLUJO ELÉCTRICO” Considerando un campo eléctrico uniforme tanto en magnitud como en dirección,

las líneas de campo penetrarán una superficie rectangular de área S, la cual es

perpendicular al campo. El número total de líneas que penetra la superficie es

proporcional al producto entre “S” y “E”, lo cual constituye el flujo eléctrico, así:

E = E . S [C

mN 2.]

Figura 10

En otras palabras, el flujo eléctrico es proporcional al número de líneas de campo

eléctrico que penetran una superficie. Por lo general, la evaluación del flujo se

realiza a través de una superficie cerrada, la que se define como aquella que

divide el espacio en una región interior y en otra exterior, de manera que no se

puede mover de una región a la otra sin cruzar la superficie. El ejemplo más típico

de una superficie cerrada es una esfera. El concepto de flujo en general es un

concepto matemático, que a su vez tiene profunda interpretación física, y el cual

es una integral definida a través de una superficie S:

E = E . dS

Asociado con el concepto de flujo está el teorema o “ley de Gauss”, el cual puede

ser trabajado a través del “teorema de la divergencia” (álgebra de operadores).

Asociado al campo eléctrico se encuentra el vector desplazamiento eléctrico (D),

el cual en ausencia de polarización eléctrica se define como: D = E y es paralelo,

en este caso especial, al vector campo eléctrico ( E ).


Lección 2: “LA LEY DE GAUSS” Kart Friedrich Gauss (1777 – 1855) estableció una relación general entre el flujo

eléctrico neto a través de una superficie cerrada y la carga eléctrica encerrada por

esa superficie. Esta relación se conoce como la Ley de Gauss y establece que:

E = dSE. = E ds

Para una carga eléctrica puntual, todos los puntos ubicados sobre una misma

superficie (tienen igual radio) tienen el mismo valor de intensidad de campo

eléctrico, por lo tanto el flujo de campo eléctrico desarrollado a través de esa

integral genera:

E = dSE. = E dS

E = q / (4 R2) UR . dS = q / , en la cual se

recuerda que la superficie de una esfera de radio “R” es: 4 R2. Este resultado se

ha generalizado a múltiples distribuciones de carga eléctrica y se ha encontrado

que: “el flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada equivale a la

carga eléctrica encerrada por la superficie dividida por la “permisividad eléctrica”

del medio (); es decir:

E = o

q

La Ley de Gauss es una formulación alterna a la Ley de Coulomb, con la cual se

puede hallar el campo eléctrico en el caso de distribuciones simétricas de carga

como la de carga puntual, carga lineal, carga superficial cilíndrica o esférica.

Ejemplo. ¿Cuál es el flujo eléctrico a través de una superficie esférica que tiene

un radio de 1,0 m y porta una carga eléctrica de +1C en su centro?

Solución 1: mediante la Ley de Coulomb, se tiene:

E = k . 2r

q= (9 x 109

2

2.

C

mN) x

2

6

)1(

101

m

Cx

= 9 x 103 C

N

El campo apunta radialmente hacia fuera, y por tanto, es perpendicular en todo

punto a la superficie de la esfera. El área de la superficie de la esfera es:

S = 4 R2 = 12,6 m2

El flujo a través de la superficie esférica es:

E = E . S = (9 x 103 C

N) x (12,6 m2)


E = 1,13 x 105 C

mN 2.

Solución 2: mediante la Ley de Gauss, se tiene que:

E = o

q

=

2

212

6

.10854,8

101

mN

Cx

Cx

= 1,13x105 C

mN 2.

Lección 3: “APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS”

Antes de aplicar la Ley de Gauss para el cálculo del campo eléctrico se debe

identificar la existencia de simetría. Una vez identificada la distribución simétrica

de carga, se determina una superficie cerrada (superficie gaussiana). Las

siguientes son las aplicaciones sobre las que se puede aplicar la Ley de Gauss:

Carga de línea infinita: asúmase una línea infinita de carga uniforme “” [m

C]

se ubica a lo largo del eje z en el espacio. Para determinar el campo eléctrico

en un punto P, se elige una superficie cilíndrica de radio “R” y de altura arbitraria “L” que contenga a “P” para satisfacer la condición de simetría:

Figura 13


La Ley de Gauss restringida a una longitud determinada L de la línea es:

E . dA = E . 2R.L = L /

En la cual “2R.L” es el área de la superficie gaussiana (correspondiente a un

cilindro de radio “R” y de altura “L”), con lo cual el campo eléctrico ( E ) es:

E = L / (2R.L ) = / (2 R )

Campo eléctrico en una placa conductora. considerar una placa conductora

inmersa en un campo eléctrico externo E, de acuerdo con la siguiente gráfica:

Figura 11

Las cargas inducidas en las caras de la placa, por efecto del campo externo E,

producen un campo que se opone a ese campo externo, de tal forma que el

efecto neto sobre las cargas de la placa es nulo. En tal sentido, el campo en el

interior de la placa es cero. La aplicación de la Ley de Gauss fuera de esta

superficie se expresa como:

E = dAE. = E.A = o

q

=

o

A

.= E . A de donde: E =

o

Lección 4: “POTENCIAL ELÉCTRICO” El concepto de potencial se asocia con el de fuerza conservativa, como la fuerza

gravitacional o la fuerza elástica. Dado que la fuerza electrostática, estudiada bajo

el concepto de la Ley de Coulomb es conservativa, los fenómenos electrostáticos

pueden describirse en términos de energía potencial eléctrica.

Esta idea, permite definir una cantidad escalar denominada “Potencial Eléctrico”,

el cual se determina en cualquier punto dentro de un Campo Eléctrico. También es

válido usar el término “voltaje” el cual se mide en “voltios” en honor al genio de

Volta, creador de la primera pila eléctrica, presentada en el año de 1800.


Cuando una carga de prueba qo se encuentra dentro de un Campo Eléctrico E

creado por un algún otro cuerpo cargado, la fuerza eléctrica que actúa sobre esa

carga de prueba es: F = qo . E

Esta fuerza es de tipo conservativo. Ahora, si la carga se mueve dentro de ese

Campo Eléctrico por efecto de un agente externo, el trabajo realizado por el

Campo Eléctrico sobre la carga es igual al negativo del trabajo hecho por el

agente externo que produce el movimiento de la carga. La energía empleada en

la realización de este trabajo, equivale al producto de la fuerza por la distancia

recorrida (d), con lo cual: F . d = qo . E . d

Para un desplazamiento determinado entre dos puntos, A y B, el cambio en la

energía potencial del sistema se puede expresar como:

Ep = UA-B = qo . E. d o

BA

q

U = E . d

Al igual a lo que sucede en la determinación de la energía potencial gravitatoria, el

cambio en la condición de energía no depende de la trayectoria seguida, sino de la

diferencia de potencial entre los dos puntos considerados.

La energía potencial por unidad de carga, oq

Ues independiente del valor de qo y

tiene un valor único en cada punto en un campo eléctrico. La cantidad oq

Urecibe

el nombre de Potencial Eléctrico (o simplemente Potencial) V, por tanto, el

Potencial Eléctrico en cualquier punto en un campo eléctrico es:

V = oq

U

La diferencia de potencial V = VB – BA entre los puntos A y B, en un campo

eléctrico, se define como el cambio en la energía potencial del sistema, con lo

cual: V = oq

U = E . d (Voltio = Joule / coulombio)

Observar que de acuerdo con la expresión anterior, al expresar el Campo Eléctrico

E en función de la Diferencia de Potencial, el campo queda con unidades de [m

V].


Lección 5: “RELACIÓN ENTRE CAMPO ELÉCTRICO Y POTENCIAL” En los laboratorios, en las placas de los televisores, de los osciloscopios, los

campos eléctricos reales, se registran o se controlan por la manipulación de la

distancia entre dos placas deflectoras y el voltaje o potencial entre ellas. En efecto

la experiencia registra que: E = d

V (voltios / metro)

La magnitud del Campo Eléctrico en cualquier dirección es igual al cambio del

“potencial eléctrico” en dicha dirección. El “voltaje” no cambia para cualquier

desplazamiento perpendicular al Campo Eléctrico, por lo que las superficies

equipotenciales se determinan perpendicularmente al Campo Eléctrico. Ejemplos

se superficies equipotenciales se presentan en la siguiente figura:

Figura 16

Debido a que “el rotacional del campo eléctrico estático es nulo” y que además,

según el álgebra de operadores, “el rotacional del gradiente es nulo”, y

considerando las relaciones y experiencias en los laboratorios se ha logrado

encontrar y evidenciar que: “el campo eléctrico equivale a menos el gradiente del

voltaje”: E = - V

Esta relación determina que si se conoce la forma del voltaje (cantidad escalar), se

puede encontrar la forma del campo eléctrico (cantidad vectorial).

Para una carga puntual se tiene que:

2( )

4R R

q vE V R

R R

Por tanto: 4

qV

R


El voltaje es entonces una función escalar y a diferencia del campo eléctrico es

medible en un laboratorio. El voltaje debido a varias cargas en un punto definido

puede ser positivo negativo o cero.

Los campos electrostáticos no son capaces de mantener una corriente eléctrica

entre dos puntos. En efecto usando el “teorema del rotacional” se tiene que:

. . 0s

V E dl xE ds

Los campos eléctricos estáticos pueden generar chispas los cuales pueden

producir incendios y se recomienda a empresas que trabajen con algodón, éteres,

disolventes o espumas, eliminarlos significativamente. En el sector productivo la

estática ha sido muy bien estudiada y se han ideado experiencias para eliminarla.

Lección 6: “APLICACIONES DE LA ELECTROSTÁTICA” La electrostática está presente en dispositivos de uso corriente, entre los cuales se

pueden mencionar los siguientes:

Filtros electrostáticos: son dispositivos que eliminan las partículas

materiales de los gases de combustión, reduciendo la contaminación atmosférica producida por las industrias que generan humos. Los sistemas

actuales pueden eliminar el 99% de las emisiones de partículas.

La siguiente figura muestra un esquema de un filtro electrostático:


Figura 17

Se mantiene una alta diferencia de potencial, entre 40 y 100kV, entre el

alambre que se ubica en el centro del dispositivo y las paredes del mismo,

estando el primero conectado a tierra. El alambre está a un potencial negativo

respecto de las paredes, con lo cual, el Campo Eléctrico está dirigido hacia el

alambre. El Campo Eléctrico en el alambre es tan intenso que produce

descargas eléctricas alrededor del mismo, las cuales ionizan el aire. El humo a

ser tratado se introduce en el ducto del dispositivo y se mueve cerca del

alambre, al entrar en contacto con los iones de aire se producirá una ionización

de las partículas del humo, y dado que la mayoría de esas partículas quedan

con carga negativa, se desplazarán hasta las paredes del dispositivo

permitiendo ser retiradas por precipitación mediante vibración del ducto.

Impresoras láser: el proceso de impresión con ayuda del rayo láser se basa en el proceso de xerografía en el cual primero se recubre la superficie de una placa o un tambor con una película delgada de material fotoconductor

(generalmente selenio) y se le proporciona una carga electrostática positiva bajo un ambiente oscuro. La imagen de lo que se va a imprimir o a copiar se proyecta con el rayo láser sobre la superficie cargada, la superficie

fotoconductora se vuelve conductora sólo en aquellas áreas donde incide la luz. En estas áreas la luz produce conducción de cargas en el fotoconductor, lo cual mueve la carga positiva del tambor, pero se presenta permanencia de


algunas cargas positivas en aquellas zonas donde no incide la luz. El polvo del toner con carga negativa se esparce sobre la superficie fotoconductora, el polvo cargado se adhiere sólo en aquellas zonas con carga positiva, pasando

al papel que se encuentra cargado positivamente.

En la figura siguiente se presentan los pasos mencionados en el proceso de

impresión.

Figura 18


ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD

1. Un electrón y un protón ubicados en el vacio están separados una distancia de 1.5 metros. Evaluar:

A. La fuerza gravitacional que los atrae

B. La fuerza eléctrica que se presenta entre ellos

C. La relación existente entre esas dos fuerzas

2. Un protón y un neutrón ubicados en el vacio están separados una distancia de 1.5 metros. Evaluar:

A. La fuerza gravitacional que los atrae

B. La fuerza eléctrica que se presenta entre ellos

C. La relación existente entre esas dos fuerzas

3. El campo eléctrico generado por una carga eléctrica puntual es descrito por la expresión:

. Demostrar que esa relación satisface las dos condiciones necesarias para que una

expresión matemática sea reconocida como válida para representar un campo eléctrico ( )

4. Se piensa que el campo eléctrico generado por cierta distribución de carga eléctrica está dada

por la expresión: (”K” es una constante). Desde el puno de vista de la teoría

electromagnética analizar profundamente la validez matemática que encierra esa interesante y

sencilla relación.

5. Para la carga central de la distribución puntual de cargas eléctricas presentada (en forma de cuadrado) y

donde las “cargas uno y cuatro son negativas mientras que la dos y la tres son positivas”, hallar:

a. La fuerza total

b. El campo eléctrico

c. El potencial (V)

d. La energía potencial (Ep)

Coulombios


(Constante dieléctrica)

Observar que cada diagonal forma un ángulo de 45 o con la línea horizontal o con la vertical.

En la figura derecha está el diagrama de fuerzas correspondiente a esa distribución de cargas eléctricas; si

analizas la simetría se percibe que las componentes verticales de las fuerzas se anulan y solo quedan las

componentes horizontales de las fuerzas y todo debido a que la magnitud de las fuerzas es la misma.

6. El potencial eléctrico generado por cierta distribución de carga eléctrica está dado por la relación

matemática: . Encontrar el campo eléctrico asociado con esa distribución y mostrar que la expresión

propuesta satisface plenamente las dos condiciones especiales para consolidar su validez.

7. Se aplica una diferencia de potencial (d.d.p) de 1000 Voltios entre dos placas paralelas separadas 20

centímetros. ¿Qué intensa aceleración podrá experimentar un electrón en esa región? ¿y un protón?

8. Analizar cuáles de las tres funciones dadas son armónicas (aquellas cuyo Laplaciano es nulo).

A. B.

D.

9. Sea “P” una función vectorial definida como

A. B.

10. Sea “µ” una función escalar definida como: . Con alegría:

A. encontrar el gradiente de “µ” (µ) y hacerlo igual a la función vectorial “M”

B. hallar con emoción extrema la divergencia de la función “M” ( . M)

11. En la carga eléctrica 4 de la siguiente distribución puntual de cargas hallar:

La base del rectángulo es de 60 cms y la altura 30 cms.

a.

b.

c. V (potencial)

d. Ep (energía potencial)


UNIDAD 2.

CAMPO MAGNÉTICO ESTÁTICO


UNIDAD 2.


UNIDAD 2

Nombre de la Unidad


Introducción

En la naturaleza existen fuerzas especiales capaces de

actuar a distancia: gravitacional, eléctrica, magnética.

El conocimiento de los imanes, de la brújula, de las

sustancias magnéticas, de la ferrita, de los anillos de van

Allen, de los ciclotrones, de los resonadores magnéticos

nucleares, solo son motivaciones para estudiar, analizar,

socializar las manifestaciones de los campos magnéticos.

En esta unidad se presentan los conceptos básicos

relacionados con el campo magnético estático, el cual es

el principio de funcionamiento de muchos dispositivos que

facilitan o elevan la calidad de vida de los seres humanos:

cuplas, resonador magnético, torque magnético, motores,

bobinas, gausímetros, anillos magnéticos, levitaciones.

Sin lugar a dudas, el estudio de la magnetostática (campo

magnético estático) es un campo interesante y de

permanencia tecnológica, el cual es la base para estudios

o aplicaciones en dispositivos o sistemas más complejos.

Justificación

Los campos magnéticos son elementos fundamentales de la vida, empresa, sociedad modernas; ellos son los responsables en gran medida de la generación eléctrica,

parámetro que ha permitido elevar la calidad de vida de los seres humanos. Los imanes y sus influencias hasta en el campo médico son aportes vitales para la civilización.

Intencionalidades

Formativas


campos como acciones a distancia.

Potenciar en el estudiante la capacidad de

comprensión y aprehensión de los conceptos específicos de los campos magnéticos.

Desarrollar las aptitudes y las actitudes que le

permitan analizar o aplicar el estudio del magnetismo.



representar e interpretar las líneas de campo magnético y relacionar sus conocimientos con los

dispositivos o máquinas que mueven las empresas.

Denominación de

los capítulos Socializando el campo magnético

La fuerza magnética y el campo magnético

Profundizando en los campos magnéticos


UNIDAD 2.


CAPÍTULO 1: “SOCIALIZANDO EL CAMPO MAGNÉTICO”

Lección 1: “HISTORIA DEL MAGNETISMO” Los griegos en la antigüedad tenían conocimiento del magnetismo (año 800 a.c),

sabían por ejemplo que unas piedras llamadas hoy en día “magnetita” (un óxido de hierro) eran capaces de atraer ciertas partículas metálicas. También se tenían noticias de puntas metálicas atraídas por ciertas rocas, incluso en las célebres e inolvidables historias de Ulises se habla de la fuerza poderosa con que en la isla

de Magnesia fueron sometidos él y su tripulación y que generó un gran caos.

En el año 1269 el señor Pierre de Maricourt trabajó sobre las direcciones que podía seguir una aguja metálica que se ubicaba estratégicamente en diversos

lugares en las cercanías de un imán natural esférico. Observaciones sistemáticas sugirieron proponer que todo imán tiene dos polos llamados, llamados norte y sur, y que cumplen el sencillo principio (semejante al de las cargas eléctricas) “polos

de igual nombre se repelen y polos diferentes se atraen entre sí”.

Gilbert propuso por el año 1600 que la tierra era un gigantesco imán y de esa manera los trabajos anteriores con la brújula fueron reanalizados. Una idea sencilla pudo haber motivado la construcción y posterior socialización del manejo

de la brújula: “si un imán de barra se deja suspendido de su punto medio por una cuerda de tal manera que pueda balancearse libremente por esa región, se percibirá que se orientará buscando naturalmente los polos de la t ierra”

En 1750 John Michael usó una balanza de torsión para mostrar que los polos

magnéticos son capaces de experimentar fuerzas atractivas o repulsivas entre sí y que dichas fuerzan varían, como lo hacen las gravitacionales o las eléctricas, de forma inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.

Lección 2: “DIPOLO MAGNÉTICO O MONOPOLO MAGNÉTICO” Sabemos que la fuerza magnética ente dos polos es estimulantemente semejante a la fuerza eléctrica que se experimenta entre dos cargas eléctricas, pero hay una

significativa y profunda diferencia entre ambas fuerzas. Las cargas eléctricas pueden aislarse (los cuantos elementales de electricidad son el protón y el electrón) en tanto que lo polos magnéticos no pueden separarse ni aislarse; es

decir, los polos magnéticos siempre se encuentran pares. Las experiencias realizadas hasta el momento (Julio 30 de 2009) para detectar un “monopolo magnético aislado” no han dado resultados satisfactorios, sin embargo, en algunos

foros internacionales se habla muy seriamente y como un hecho revolucionario


para la física que se está trabajando fuertemente para aislar un “monopolo magnético” y en algunos periódicos se considera ya este trabajo como uno de los grandes temas o logros del año 2009. Al tomar un imán permanente y cortarle

cuidadosamente en dos partes casi iguales ha mostrado siempre que quedan dos imanes y cada uno de ellos tiene un polo norte y un polo sur. Las masas magnéticas, tal como las cargas eléctricas o la masa gravitacional, no existen.

Lección 3: “LÍNEAS DE CAMPO MAGNÉTICO”

Los campos magnéticos, tal como los campos eléctricos, se pueden representar pictóricamente mediante „líneas de campo magnético‟ o „líneas de fuerza‟. En cualquier punto, la dirección del campo magnético es igual a la dirección de las

líneas de fuerza, y la intensidad registrada del campo magnético es inversamente proporcional al espacio entre las mencionadas líneas.

Desde la primaria o en los laboratorios del colegio o en los de electromagnetismo en la UNAD, se han mostrado experiencias para justificar y socializar las líneas de

campo magnético. Recordar con alegría el experimento de las figuras que forman las limaduras finas de hierro sobre un papel cuando se coloca y se mueve un imán permanente debajo de él; consultar sobre esas líneas de campo magnético.

Las líneas que representan los campos eléctricos estáticos son abiertas y ello

permitía analizar pictóricamente una de las relaciones fundamentales de ese

campo: “su rotacional es el vector nulo ( x E = 0 )”. Las líneas que representan

los campos magnéticos estáticos son cerradas lo cual sugiere que: x H 0 o

sea que “el rotacional del campo magnético en general no es el vector nulo”.

Lección 4: “LOS CAMPOS VECTORIALES IMPORTANTES DE MAXWELL” Comprendidas las lecciones básicas y las enormes aplicaciones del curso de

“Electromagnetismo”, fundamento natural de este bello curso, se deben hacer

ahora algunas modificaciones o precisiones en los parámetros involucradas en las

partes introductorias. Cuatro cantidades vectoriales están presentes en la teoría

de los campos electromagnéticos del cerebral Maxwell: campo eléctrico (E),

desplazamiento eléctrico (D), campo magnético (H), inducción magnética (B)

Las relaciones entre el “campo eléctrico” (E) y el “desplazamiento eléctrico” (D)

fueron temas de análisis en la unidad uno: D = E, donde el parámetro “” es la

permisibilidad eléctrica del material y es una constante para cada sustancia.

El “teorema de Gauss” muestra una relación estrecha, armoniosa e interesante

entre estas dos cantidades vectoriales. En efecto, se sabe que la densidad de

carga eléctrica en una región () es la divergencia (.) del “desplazamiento

eléctrico”, relación maravillosa que se fundamenta en el “teorema de la

divergencia” o “teorema de Gauss” o “teorema del flujo eléctrico”: .D =

http://www.monografias.com/trabajos15/direccion/direccion.shtml


En el mundo práctico, en el manejo de los laboratorios, los campos eléctricos se

miden en “V / m” (voltios / metros), unidad que se fundamenta en la relación

existente entre los campos eléctricos y el voltaje: E = - V; el campo eléctrico es

matemáticamente “menos el gradiente de la función voltaje o potencial”.

En los ambientes científicos los estudiosos de los campos electromagnéticos

usualmente hablan de la intensidad de campo eléctrico (E), de la densidad de flujo

eléctrico (D), de la intensidad del campo magnético (H) y de la densidad de flujo

magnético (B). Se percibe fácilmente que “D” es el “desplazamiento eléctrico” y

que “B” es la “inducción magnética”. Esta diferenciación y esta claridad, es

utilizada a partir de este instante para formalizar algunas deducciones y relaciones

importantes que permitirán profundizar en la comprensión del campo magnético.

Lección 5: “EL CAMPO MAGNÉTICO” Un Campo Magnético (H) es una región en la cual una partícula cargada

eléctricamente, en ausencia de campos eléctricos y gravitacionales, experimenta

una fuerza magnética cuando se desplaza en el campo mencionado con una

velocidad determinada (v ). Esta fuerza magnética es uno de los casos especiales

de fuerzas, desde el punto de vista físico y del matemático, dada su complejidad.

Los campos eléctrico y magnético son complementarios entre sí: la unidad del

primero es el “V / m” (Voltio / metro) y la unidad de la intensidad del básico “campo

magnético” es el “A / m” (amperio / metro). Quienes han trabajado con

resonadores magnéticos, equipos de alta tecnología en el área médica, saben que

en los grandes centros de atención de salud especializados, publicitan sus

servicios de acuerdo a los “teslas” que los controlan. La inducción magnética (B)


se mide en “Teslas” o en “gauss”: 1 T = 104 Gauss. La resonancia magnética

nuclear (RMN) es uno de los ambientes donde los campos magnéticos son vitales

para el diagnóstico eficaz, por ejemplo en las articulaciones, en las vértebras y se

invierten importantes sumas de dinero adquiriendo estos avanzados equipos.

Finalmente se recuerda que el campo magnético (H) y la inducción magnética (B)

están estrechamente relacionados entre sí a través de la expresión: B = µ H,

donde “µ” es la conocida “permeabilidad magnética”, la cual es una constante para

cada sustancia. De esta manera se han descrito con claridad y profundidad las

cuatro cantidades vectoriales (E, D, H, B) que han hecho posible el maravilloso

trabajo creativo y permanente de los “campos electromagnéticos”:

D = E, = r 0, 0 = 8.85 x 10- 12 (permisividad eléctrica del vacío)

B = µ H, µ = µr µ0, µ0 = 4 x 10 – 7 (permeabilidad magnética del vacío)

La magia de los campos electromagnéticos comienza con el conocimiento, el

reconocimiento, la socialización, la comprensión, el gusto, las aplicaciones, de

estas cuatro cantidades vectoriales. ¡La magia de Maxwell continúa su show¡


CAPÍTULO 2: “LA FUERZA MAGNÉTICA Y EL CAMPO MAGNÉTICO”

La fuerza magnética es una de las fuerzas de la naturaleza más interesantes y

complejas, física y matemáticamente, depende de muchos parámetros y ha sido sistemáticamente estudiada y comprendida desde hace varios siglos.

A partir de 1950 con la socialización de la ferrita y de las primeras memorias del computador, unidos con las mejores y avances en las telecomunicaciones, se han logrado desarrollar en los últimos años materiales ferro-magnéticos con µr

(permeabilidad magnética relativa) cada vez más altos, lo cual ha generado profundas transformaciones en los materiales para las máquinas o para los núcleos de muchas bobinas y para mejorar la calidad de algunas antenas.

Lección 1: “LA FUERZA MAGNÉTICA”

La fuerza magnética depende de la carga eléctrica (q), de la inducción magnética (B), de la velocidad con que penetra al campo (v) y del ángulo con que lo hace. Matemáticamente esta fuerza es el resultado de un producto cruz (vectorial):

F = q v x B. Las unidades de fuerza están relacionadas en el sistema MKSC, así:

N

F

C

q

sm

V

/

x

T

Se les recuerda a los estudiosos que la inducción magnética de la tierra (que es

un imán gigantesco) es del orden del Gauss mientras que las “B” de los grandes resonadores magnéticos, usados en medicina y cada vez más, son del orden de los “teslas”. Además sabemos que 1 Tesla= 10.000 Gauss= 104 Gauss

Como la partícula cargada eléctricamente puede penetrar al campo magnético de muchas maneras y básicamente dependiendo del ángulo que forma con él, se

presentan tres importantes y especiales casos que han sido muy bien estudiados:

Como la magnitud de la fuerza es F = q . v . B . sen , entonces:

a. Si la partícula penetra paralela al campo magnético entonces el producto

vectorial entre la velocidad (v) y la inducción magnética (B) es cero y por lo tanto la fuerza magnética es nula. Ello significa que la partícula no experimenta ninguna fuerza y que no se presenta ninguna desviación.

b. Si la partícula cargada penetra perpendicular al campo magnético se generan sobre ella una fuerza magnética y una fuerza centrípeta que la obligan a ejecutar un m.c.u (movimiento circular uniforme). La fuerza

magnética es máxima (sen 90 = 1).


V

R V

Β

Β

Entonces el radio de giro es R = m v / ( q B )

Además como v = R, entonces: = q B / m

En los mundos atómicos la relación “q / m” es violentísimamente alta, debido a que

el valor de la “masa” es muy inferior al valor de la “carga eléctrica” lo cual permite

intensas aceleraciones o altísimas frecuencias para el movimiento generado.

c. Si la partícula cargada penetra con un ángulo diferente de cero y de 90° o al

campo magnético entonces la partícula se mueve de manera helicoidal, en forma de hélice, siguiendo el movimiento de los tirabuzones (destapadores especiales de vino). Es uno de los movimientos más especiales e

interesantes de la naturaleza; gran cantidad de los rayos o emisiones que tienen cargas eléctricas son capturados en los anillos de Van Allen, cinturones magnéticos que rodean algunos planetas (como el nuestro) y

que protegen la vida de esas radiaciones o emisiones. ν

θ β

En este movimiento la velocidad se descompone en sus

componentes rectangulares: una perpendicular (v) y otra

componente paralela (v)

VI

Vll

VII = v cos θ

VI = v sen θ


La componente paralela de la velocidad no genera fuerza (como ya se había estudiado) pero sirve para desplazar la partícula cargada horizontalmente.

La componente perpendicular de la velocidad genera el m.c.u. y es la responsable del movimiento circular producido. El movimiento compuesto generado por estas dos componentes y apoyados en el “principio de superposición” produce una

“hélice” de radio uniforme y de paso (X) constante. El paso es la distancia que un tornillo avanza al dar una vuelta o cumplir un periodo de tiempo-

R

TVx

TVIIx

mqB

Bq

VmR

.cos

.

1

Las inducciones magnéticas intensas o violentas (de varios teslas) son de interés

especial para el desarrollo de poderosos y sorprendentes ciclotrones o

sincrociclotrones, maravillosos resonadores magnéticos para que la medicina

realice diagnósticos de alta confiablidad (R.M.N: resonancia magnética nuclear),

levitaciones magnéticas (trenes capaces de desarrollar grandes velocidades).

Ejercicio 1. Se tiene un chorro de protones (partícula fundamental de la

naturaleza con carga positiva y masa de 1.6 * 10-27 Kg) viajan a 36,000 km / h.

¿Cuál es la fuerza magnética sobre ellos cuando penetra mente a una región

donde existe una inducción magnética (B) de 2 gauss? ¿Con qué radio girarán en

ese campo? Encontrar además la frecuencia y periodo de rotación en ese espacio.

Solución: la masa del protón es: m = 1.6 * 10-27 kg y su carga es q=1.6 *10-19 C

v = 36,000 km/h = 36,000,000 m/3600s= 104 m/s


= 90 B = 2 gauss = 2 * 10-4 T, por lo tanto: 0.5

mvR m

qB

= q B / m = 20,000 s-1 con un T = 2 / = 0.31 * 10-3 s y f = 1 / T = 3.2 kHz

Ejercicio 2. Una partícula cargada con q=610

C (coulombios) tiene una

velocidad vectorial de la forma smjxixV 55 106104 y penetra en

una región en la cual la inducción magnética es

kxjxB 33 104102 gauss. ¿Cuál es la fuerza vectorial sobre la partícula?

¿Qué magnitud tiene? ¿Será posible saber el ángulo de penetración de la

partícula en el campo? En caso afirmativo, encontrar el valor de ese ángulo.

Solución: Cq 610

smjxixV 55 106104

kxjx 33 104102 gauss = (0.2 j + 0.4 k) teslas

NF

kjiF

kjiF

29.008.016.024.0

08.016.024.0

10801016024000010

222

336

Para hallar el ángulo con que la partícula cargada penetra al campo magnético

basta utilizar el concepto de producto escalar y hacer el despeje adecuado:


BV

BV1cos

77.671017.3

102.1cos

104410721

102.1cos

5

51

23

51

Lección 2: “LA FUERZA DE LORENTZ” Cuando una partícula cargada eléctricamente es sometida a la acción simultánea

de dos campos, uno eléctrico y otro magnético, experimenta una fuerza especial y

muy bien estudiada que se denomina “fuerza de Lorentz”, la cual es simplemente

la suma de las fuerzas eléctrica y magnética por las que está influenciado.

La fuerza eléctrica, como se recuerda, es: F = q E y la fuerza magnética, que

corresponde al estudio de esta unidad es: F = q v x B. Por lo tanto. La fuerza de

Lorentz, que es la suma de estas dos fuerzas es: F = q E + q v x B = q (E + v x B)

Si la fuerza eléctrica y la fuerza magnética se equilibran (aceleración nula) la

partícula se podrá mover horizontalmente y en ese caso especial: 0 = q (E + v x B)

y por lo tanto: (E + v x B) = 0 genera que: E = - v x B = B x v.

Con juegos apropiados de campos eléctricos y magnéticos cruzados, como por

ejemplo, que formen entre sí ángulos rectos se pueden predecir y utilizar

velocidades con magnitud: v = E / B y esta sencilla relación permite encontrar la

velocidad de arrastre de los electrones en algunos materiales (los metales).

En el análisis de la propagación de las ondas electromagnéticas en el vacío donde

las ondas de radio o televisión podrían desplazarse a v = c = 3 * 108 (m / s) y el

cociente entre los vectores “E” y “B” muestra que: E = c B, que gráficamente

generaría para el campo eléctrico una onda de forma senoidal en el plano YZ (por

ejemplo) y la otra componente (B) es otra señal vibrando de la misma forma y con

la misma frecuencia; es decir una lengua gigante (E) y una lengua pequeña (B) en


el plano XY. Recordar además que las ondas electromagnéticas son de carácter

transversal (E . H = 0) y por lo tanto se pueden polarizar.

Ejercicio. Entre dos placas separadas 40 centímetros se aplica una diferencia de

potencial de 16,000 voltios. Se hace pasar en entre ellas un electrón lo cual hace

que se desvíe o deflecte como consecuencia de la acción del campo eléctrico. Se

quiere aplicar una inducción magnética (B) de tal manera que los campos se

equilibren y la partícula se pueda desplazar rectilíneamente a 20,000 m / s.

Calcular con claridad y buenas justificaciones la magnitud de esa “B”.

Solución: este ejercicio es una clásica aplicación de la fuerza de Lorentz: el

campo eléctrico se genera entre las placas al aplicar entre ellas un voltaje o

diferencia de potencial (E = V / d), por lo tanto: E = 16,000 V / 0.4 m= 40,000 V/m

y como la rapidez es de 20,000 m/s entonces: B = E / v = 2 teslas. Este valor es

técnicamente muy alto y es del orden de magnitud de los grandes resonadores

magnéticos de amplia utilización en los diagnósticos médicos modernos (RMN).

Lección 3: “LA LEY DE BIOT-SAVART” Cuando el célebre profesor danés Hans Christian Oersted divirtiéndose con sus

estudiantes a través de las experimentaciones en física encontró que cuando una corriente eléctrica atraviesa un conductor una brújula cerca del alambre mostraba el movimiento de la aguja y cuando se apagaba el sistema la aguja recuperaba su

posición inicial. Ese fue un gran descubrimiento para la humanidad, los campos eléctricos y magnéticos no eran entes individuales, estaban íntimamente relacionados entre sí. Esa noticia se difundió rápidamente por todos los medios

académicos y científicos de la época y el asombro y las inquietudes por el fenómeno reportado, reinaban en todos los escenarios; era el comienzo de la magia del “electromagnetismo”; los campos electromagnéticos comenzaban a

abrirse camino en los centros académicos, en los tecnológicos, en el mundo.

Los campos magnéticos pueden generarse entonces por medio de “imanes” o por “corrientes eléctricas”. La experimentación motivada por esta experiencia y en general por el magnetismo estimuló la creación de diversas formas de bobinas,

distribuciones, capaces de transportar corriente y todas con la finalidad de tratar de encontrar una expresión válida que relacionara el “campo magnético” y la “corriente eléctrica”. Como se recordará del curso de “Electromagnetismo” la ley

de Biot-Savart fue la expresión que permitió validar esa realidad y esa esperanza.

Esta Ley de denomina así en homenaje a los físicos Jean-Baptiste Biot y Félix

Savart y establece que la intensidad de campo magnético H producida en un

punto P por una corriente (i) circulante en una trayectoria (L), es proporcional a la

magnitud de esta corriente e inversamente proporcional al cuadrado de la

distancia (d) entre ese punto y el elemento por el que circula esta corriente.


Esto se puede ilustrar de la siguiente manera:

Y la expresión correspondiente es: H = k . 2

.

d

Li, donde k es la constante de

proporcionalidad. El sentido de la intensidad de campo (H) se puede determinar de

forma práctica aplicando la regla de la mano derecha, mediante la cual el pulgar

apunta en la dirección de la corriente y los dedos rodean el alambre en la dirección

de H, como se puede ilustrar a continuación, en la figura de la izquierda.

Igualmente, se puede aplicar “la regla del tornillo de rosca derecha”, en la cual si el

tornillo se coloca a lo largo del alambre y apuntando en la dirección del flujo de

corriente, la dirección de su avance será la dirección de H, como se muestra en la

figura de la derecha.

La dirección de la intensidad de campo magnético H (o de la corriente i) suele

representarse por un punto o una cruz dentro de un círculo, dependiendo de si

aquella sigue un curso hacia fuera o hacia adentro del plano de la página, como se

ilustra en las siguientes filminas:


Lección 4: “LA LEY DE AMPERE” La “ley de Ampere” es una relación útil similar a la ley de Gauss, que establece una relación entre la componente tangencial del campo magnético (H) en los

puntos de una curva cerrada y la corriente neta que atraviesa la superficie limitada por dicha curva. En otras palabras, la corriente eléctrica neta que circula a través de una trayectoria cerrada determina la intensidad del campo magnético (H), de tal

forma que: dLH . = Ineta

La Ley de Ampere es un caso especial o particular de la Ley de Biot-Savart y es

útil para determinar campos magnéticos (H) en algunas distribuciones simétricas de corriente, similar a como se manejó la Ley de Gauss para el campo eléctrico. Como caso especial para aplicar esta ley está el estudio del campo magnético

generado por una corriente eléctrica que se transporta por un filamento de longitud infinita, como se aprecia en la filmina siguiente:

Para determinar H en un punto P, se asume que una trayectoria cerrada pasa por

P, alrededor del filamento que conduce la corriente. Se puede por facilitad asumir

que la trayectoria cerrada es un círculo, y dado que esta trayectoria encierra a la

corriente “i” en su totalidad. De acuerdo con la Ley de Ampere se tiene que:


Ineta = dLH . = H.L

Donde L es la longitud de la trayectoria cerrada alrededor de la corriente i, que

equivale a una circunferencia de longitud “2..R”, con lo cual:

I neta = 2.H..R

De donde: H = R

I neta

..2. Esta expresión permite evaluar el campo magnético a una

distancia “R” del filamento cuando transporta una corriente eléctrica (i).

Lección 5: “RELACIONES MAGNÉTICAS IMPORTANTES” Para fortalecer y socializar los conceptos básicos sobre los campos magnéticos

estáticos (no dependen del tiempo) se ambientan algunas propiedades, conceptos

o principios fundamentales que relacionan parámetros importantes:

En el espacio libre, B = µ0 * H, donde “ 0 ” es la permeabilidad del vacío.

Los campos magnéticos (H) se miden en “A / m” (amperio / metro). El

“Weber” es dimensionalmente igual al producto de “Henrios” y “amperios”.

El teorema de Gauss o del flujo o de la divergencia para el campo eléctrico

o para el vector “desplazamiento eléctrico” (D), establece que el flujo total

que pasa a través de una superficie cerrada equivale a la carga eléctrica

encerrada por ella: s

QdSD . La carga eléctrica “Q” es la fuente de

las líneas del flujo eléctrico y esas líneas comienzan en las cargas

positivas y termina en las cargas negativas; son líneas abiertas.

Las líneas de flujo magnético son cerradas y no terminan en una “carga

magnética”. Por esta razón la ley de gauss para el campo magnético o

para la inducción magnética es: s

dSB 0 .

Jugando con el teorema de la divergencia se encuentra que: 0 B . Esta

relación vuelve a afirmar que las fuentes magnéticas no son las “masas

magnéticas” (como se creía) si no que el magnetismo es solo una

manifestación de las interacciones entre cargas eléctricas en movimiento.

Un vector nuevo en el estudio de los “campos electromagnéticos” es el “J”

el cual se denomina “densidad de corriente”. Se define como la variación

de la corriente eléctrica por unidad de superficie”. Por ejemplo, si por un


conductor de área transversal “S” se transporta corriente eléctrica (i), “J” es

en magnitud: J = i / S (amperio / metro cuadrado).

Para frecuencias bajas, como por ejemplo, con las cuales trabaja la

corriente alterna en nuestra patria (60 Hz) la corriente se reparte por igual a

través de toda la superficie transversal del conductor, pero a latas

frecuencias, como es el caso de los circuitos de celulares o de televisión, la

corriente no se distribuye uniformemente por toda el área transversal si no

que trata de hacerlo solo por la superficie o sea por la parte externa,

reduciendo de esa manera el “área efectiva” de conducción. Este

fenómeno especial se denomina “efecto piel” y debe ser tenido en cuenta

en el diseño de los dispositivos que trabajan a altas frecuencias para evitar,

por ejemplo, ruido electromagnético, lo cual requiere hacer tramos cortos.

La corriente de conducción “Jc” se presenta solo en algunos materiales a los

cuales se les denomina “materiales óhmicos” y satisfacen que: Jc = E, en

la cual “” es la “conductividad eléctrica del material” (consultar tablas con

sustancias comunes en electricidad) y “E” es el campo eléctrico.

La corriente eléctrica “i” que atraviesa por una superficie conocida “S” está

relacionada con el vector “J” (densidad de corriente) a través de la

ecuación: i = J . dS = H . dL = x H . dS. El resultado anterior es una

aplicación directa del teorema matemático denominado “de Stokes” o “del

rotacional”. Comparando término a término se encuentra una relación

fundamental entre “H” y “J”: J = x H. Una interpretación física de esta

relación basada en la comprensión real de lo que es un rotacional nos

sugiere que las líneas de campo magnético son cerradas a diferencia de

las líneas del campo eléctrico (unidad uno) que son abiertas: x E = 0.

Finalmente, con alegría y entusiasmo, se muestran las principales

“ecuaciones de Maxwell” que involucran al campo eléctrico y al magnético:

. D = x E = 0 . H = 0 x H = J


CAPÍTULO 3: “PROFUNDIZANDO EN LOS CAMPOS MAGNÉTICOS”

Lección 1: “MAGNETIZACIÓN DE MATERIALES” La importancia relativa de las diversas propiedades magnéticas de un material

magnético varía según la aplicación que se va a dar al mismo. Algunos materiales

magnéticos tienen una direccionalidad muy pronunciada en sus propiedades

magnéticas, lo que hace que deban utilizarse dentro de ciertos rangos para

obtener los mejores resultados. Nuevos materiales magnéticos van surgiendo

como consecuencia de la carrera espacial, del plan de armamentismo, de los

avances médicos, de las necesidades industriales o del laboratorio.

Los esfuerzos introducidos en los materiales magnéticos por las diversas técnicas

de fabricación pueden afectar las propiedades, particularmente en aquellos que

tienen una alta permeabilidad. Básicamente existen tres grandes grupos de

materiales con propiedades magnéticas significativas o de interés y son:

Paramagnéticos: estos materiales tienen gran facilidad para establecer

momentos magnéticos permanentes; estos momentos interactúan débilmente entre sí y se orientan al azar si no hay un campo magnético externo. Cuando

se somete a un campo magnético externo, sus momentos tiendes a alinearse con el campo; sin embargo, el movimiento térmico es bastante notorio. En

estos materiales se satisface que: r 1. Estos materiales cumplen la

denominada Ley de Curie (en honor a Pierre Curie, 1859-1906), que establece que la magnetización es directamente proporcional al campo magnético aplicado y que ella es inversamente proporcional a la temperatura absoluta (T).

Ferromagnéticos: son aquellos materiales que tienen momentos magnéticos

que tienden a alinearse paralelos entre sí incluso en un campo magnético externo débil, y una vez retirado el campo magnético, el material permanece

magnetizado. En estos materiales se satisface que: r >> 1.

Diamagnéticos: se puede decir que las propiedades diamagnéticas están

presentes en todos los materiales, siendo sus efectos mucho menores que los del paramagnetismo o el ferromagnetismo. El diamagnetismo se manifiesta cuando un material se introduce en un campo magnético y se produce un débil

momento magnético en la dirección opuesta al campo aplicado. Esto produce que algunos materiales sean repelidos débilmente por un imán. En general, en

estos materiales se satisface que: r 1.

En la siguiente tabla se presenta un resumen de los tipos de materiales, desde el

punto de vista de sus propiedades magnéticas.


Tipo de Material Características

No magnético No facilita o permite el paso de las líneas de Campo magnético.

Ejemplo: el Vacío.

Diamagnético

Material débilmente magnético. Si se sitúa una barra magnética

cerca de él, esta lo repele.

Ejemplo: Bismuto (Bi), Plata (Ag), Plomo (Pb), Agua.

Paramagnético

Presenta un magnetismo significativo. Atraído por la barra

magnética.

Ejemplo: Aire, Aluminio (Al), Paladio (Pd), Magneto Molecular.

Ferromagnético

Magnético por excelencia o fuertemente magnético. Atraído por

la barra magnética.

Paramagnético por encima de la temperatura de Curie

(La temperatura de Curie del hierro metálico es

aproximadamente unos 770 °C).

Ejemplo: Hierro (Fe), Cobalto (Co), Níquel (Ni), Acero suave.

Antiferromagnético No magnético aun bajo acción de un campo magnético inducido.

Ejemplo: Óxido de Manganeso (MnO2).

Ferrimagnético Menor grado magnético que los materiales ferromagnéticos.

Ejemplo: Ferrita de Hierro.

Superparamagnético

Materiales ferromagnéticos suspendidos en una matriz

dieléctrica.

Ejemplo: Materiales utilizados en cintas de audio y video.

Ferritas

Ferromagnético de baja conductividad eléctrica.

Ejemplo: Utilizado como núcleo inductores para aplicaciones de

corriente alterna.

http://es.wikipedia.org/wiki/Vac%C3%ADo

http://es.wikipedia.org/wiki/Diamagnetismo

http://es.wikipedia.org/wiki/Bismuto

http://es.wikipedia.org/wiki/Plata

http://es.wikipedia.org/wiki/Plomo

http://es.wikipedia.org/wiki/Agua

http://es.wikipedia.org/wiki/Paramagnetismo

http://es.wikipedia.org/wiki/Aire

http://es.wikipedia.org/wiki/Aluminio

http://es.wikipedia.org/wiki/Paladio

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Magneto_Molecular&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/Ferromagnetismo

http://es.wikipedia.org/wiki/Temperatura_de_Curie

http://es.wikipedia.org/wiki/Temperatura

http://es.wikipedia.org/wiki/Hierro

http://es.wikipedia.org/wiki/Cobalto

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%ADquel

http://es.wikipedia.org/wiki/Acero

http://es.wikipedia.org/wiki/Antiferromagnetismo

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=%C3%93xido_de_Manganeso&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ferrimagnetismo&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ferrita_de_Hierro&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/Superparamagnetismo

http://es.wikipedia.org/wiki/Diel%C3%A9ctrico



http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ferritas&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/Conductividad_el%C3%A9ctrica


Lección 2: “INDUCTORES E INDUCTANCIAS” Un circuito es una trayectoria conductora cerrada por la que circula una corriente i

que produce una inducción magnética B, el cual genera un flujo = B . A, que

pasa por cada vuelta del circuito como se muestra en la siguiente figura:

Si el circuito posee N vueltas idénticas, se define el “eslabonamiento de flujo”

como: = N . Adicionalmente, si el medio circundante al circuito es lineal, el

eslabonamiento de flujo es proporcional a la corriente i, con lo cual: i

= L . i

Donde “L” es una constante de proporcionalidad denominada inductancia del

circuito. Esta inductancia (L) es una propiedad de la disposición física del circuito.

Un circuito, o parte de un circuito con inductancia, se denomina inductor. De las

expresiones anteriores, se puede plantear que:

L = i

=

i

N .

La unidad de inductancia es el Henry (H), que equivale a Amperio

weber; dado que es

una unidad muy grande, la inductancia suele expresarse en milihenrios (mH).

Si se tienen dos circuitos portadores de corriente i1 e i2, como se ilustra en la

siguiente figura:


Existirá entre ellos una interacción magnética de tal forma que se producen cuatro

flujos componentes, así:

11: es el flujo que pasa por el circuito 1 debido a la corriente 1.




Considerando el campo B2 debido a I2, y A1 como el área del circuito 1, entonces:

12 = B2 . A1

La inductancia mutua M12 es la razón del eslabonamiento de flujo 12 = N1 . 12 en

el circuito 1 a la corriente i2, con lo cual: M12 = 2

12

i

=

2

121.

i

N

De igual manera, la inductancia mutua M21 se define como los eslabonamiento de

flujo del circuito 2 por unidad de corriente i1, es decir: M21 = 1

21

i

=

1

212.

i

N

Si el medio que rodea los circuitos es lineal, es decir en ausencia de material

ferromagnético, se cumple que: M12 = M21

Igualmente, la unidad de la inductancia mutua es el Henry (H).

Se sugiere al estudioso de este curso buscar, coleccionar, fórmulas o expresiones

que permitan construir, calcular o evaluar la inductancia de algunas bobinas.


Lección 3: “ENERGÍA MAGNÉTICA” La inductancia definida por la última expresión se denomina “autoinductancia”, ya

que es el propio inductor el que produce los “eslabonamientos”. De forma análoga

a la capacitancia, la inductancia puede considerarse una medida de la cantidad de

energía magnética almacenada en un inductor, la que se puede expresar como:

Energía magnética = 2

1.L . i2

La energía se almacena en el campo magnético del inductor, por tanto, esta

energía se puede expresar en términos de “B” ó de “H”, para lo cual:

Energía magnética = 2

1.B . H =

2

1 .H2

El concepto de circuito magnético surge como un método para la solución de

ciertos problemas mediante la técnica del análisis de circuitos. Los dispositivos

magnéticos como toroides, transformadores, motores, generadores y relés pueden

considerarse como circuitos magnéticos. Su análisis se simplifica si se aplica la

analogía entre los circuitos eléctricos y los magnéticos.

A continuación se presenta un resumen de la analogía entre los circuitos

magnéticos y los eléctricos, la que gráficamente se puede describir así:

Eléctrico Magnético

Conductividad eléctrica: Permeabilidad magnética:

Intensidad de campo: E Intensidad de campo magnético: H

Corriente i = J . A donde “A” es área Flujo magnético: = B . A

Densidad de corriente: J =A

i= . E Densidad de flujo: B =

A

= . H

Fuerza electromotriz: V Fuerza magnetomotriz: Fmm

Resistencia: R Reluctancia

Conductancia: G = R

1 Permeancia P =

1


Ley de Ohm R =

i

V=

A

L

. Ley de Ohm =

Fmm=

A.

L

Leyes de Kirchhoff:

i = 0

V - iR. = 0

Leyes de Kirchhoff:

= 0

Fmm - . = 0

De la tabla anterior, un término un tanto nuevo, es el que corresponde a la “fuerza

magnetomotriz” (Fmm) se define como: Fmm = N . i = H . L

Lección 4: “MAXWELL SALVANDO LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD”

Maxwel. El genio de la teoría electromagnética, era gran conocedor e investigador

de los fluidos y de sus comportamientos y su mente visionaba permanentemente

el fluir de cargas como si se tratara de una corriente de agua líquida. Aunque fue

muy criticado por algunos personajes de su época por esa comparación, el

término “fluido eléctrico” sigue vigente y es de uso cotidiano en la civilización.

La ecuación de continuidad establece que: . J = - / t.

Sabemos que: x J = H. Maxwell le sacó divergencia ( .) a ambos lados y

obtuvo: . ( x J) = . H = 0 (Recordar que la divergencia del operador

rotacional es nula). Esa respuesta no le gustó, no se estaba salvando la célebre


ecuación de continuidad; había que salvarla; ella era el orgullo de las matemáticas

superiores y encerraba el comportamiento del flujo en espacio tiempo.

Para salvar la ecuación de continuidad, Maxwell propuso cerebralmente que:

J = Jc + JD en la cual JD es la densidad de corriente de desplazamiento, la cual

se define de la siguiente manera: JD = D / t = E / t

Despejando Jc y utilizando la primera relación: x H = Jc + JD, se tiene que:

Jc = x H – JD = x H - D / t

Sacando ahora divergencia ( .) a ambos lados de la ecuación se obtiene:

. ( Jc) = . ( x H) – . JD = . ( x H) - . (D / t)

. J = 0 - (. D) / t = - / t

Lección 5: “CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS Y LA LEY DE OHM” Uno de los primeros logros de la “teoría electromagnética” fue la deducción de la “ley de Ohm”, la cual es una sencilla ley que fundamenta los circuitos eléctricos.

Esa valiosa y fundamental ley establece que “en todo circuito eléctrico la corriente es directamente proporcional al voltaje aplicado e inversamente proporcional a la resistencia”. Los materiales que siguen ese principio de les denomina “óhmicos”.

Como sabemos desde los cursos básicos, si a una resistencia (R) se le aplica una

diferencia de potencial (V), se genera en ella una corriente eléctrica (i). También

sabemos que esa resistencia tiene una longitud (L) y un área transversal (S) y

que se genera un campo eléctrico (E) entre las terminales. Además con el

transporte de corriente está asociado el concepto “densidad de corriente” (J).

En los materiales óhmicos: J = E, E = V / L, J = i / S.

Combinando apropiadamente y reemplazando adecuadamente esas expresiones

matemáticas, validadas por la experimentación física, se encuentra que:

I / S = V / L { L / ( S)} i = V V = ( L / S) i

El parámetro “” se denomina “resistividad eléctrica” y es una constante (buscar

tablas) para el material con el cual se construye el resistor. Como se percibe

fácilmente la pendiente de esa recta es: m = L / S, que es una constante,

depende de su geometría (longitud (L) y área transversal (S)) y de una propiedad


intrínseca de él, cual es su “resistividad eléctrica” (). Esta constante es llamada

en los círculos técnicos y científicos “resistencia eléctrica” (R).

De esa manera se tiene que: V = R i, que se conoce como “ley de Ohm”, y la cual

es una relación lineal entre el “voltaje aplicado” y la “corriente eléctrica” (i).

Existen en la naturaleza, materiales como algunos sulfuros y carburos, que no son

óhmicos y se denominan “varistores”. En la industria son utilizados como

estabilizadores de voltaje o de corriente porque permiten cortar los picos de gran

amplitud presentes en los equipos eléctricos o electrónicos cuando se generan

transitorios por sobrecargas del sistema o por la estática de la atmósfera en las

líneas de transmisión eléctrica. La relación entre el “voltaje” y la “corriente” es “no

lineal”. En esas sustancias no se cumple la “ley de Ohm” y por ello se les

denomina “no óhmicos”. Su importancia y aplicaciones crecen cada día.


1 Puntos: 1 … Una bobina o inductor puede perfectamente almacenar:

1. campos eléctricos

2. voltajes

3. corrientes

4. campos magnéticos

Seleccione una respuesta.

a. Marcar ésta si 3. y 4. son verdaderas

b. Marcar ésta si 1. y 3. son verdaderas

c. Marcar ésta si 1. y 2. son verdaderas

d. Marcar ésta si 2. y 4. son verdaderas


2 Puntos: 1 … Si un conductor recto lleva una corriente de "a" amperios se pueden predecir "dos

y solo dos" de los enunciados siguientes; favor marcarlos:

1. las lineas de campo magnético generadas son cerradas

2. todos los puntos sobre la misma circunferencia tienen la misma inducción

3. no pasa absolutamente nada

4. la fuerza eléctrica y la fuerza magnética tienen la misma magnitud


a. Marcar ésta si 1. y 2. son verdaderas

b. Marcar ésta si 1. y 3. son verdaderas

c. Marcar ésta si 3. y 4. son verdaderas

d. Marcar ésta si 2. y 4. son verdaderas

3 Puntos: 1 … Un neutrón (m = 1.6 * 10 elevado a la -27 kgrs) penetra con un ángulo de 90

grados a una región donde existe una "B" de 250 gauss. La fuerza magnética que experimenta

cuando lleva una una rapidez de 36,000 km / hora, es en Newtons, de:


a. 100

b. 2.56 * 10 elevado a la -42

c. 0

d. 1

4 Puntos: 1 … Las masas magnéticas, parámetro similar a las cargas eléctricas, no se han

descubierto hasta el momento y los "monopolos" aún no se han logrado aislar. Ese concepto

fundamental está encerrado en una expresión matemática a través de un operador matemático.

Favor descubrirlo y marcarlo.



a. el laplaciano del campo magnético es nulo

b. la divergencia del campo magnético es la densidad de corriente

c. la divergencia del campo magnético es nula

d. el rotacional del campo magnético es el vector nulo

5 Puntos: 1 … Alrededor de un alambre recto que conduce una corriente eléctrica ( i ) se genera

un campo magnético lo cual se evidencia acercando una brújula al sistema. La ley de Ampere,

usada para sistemas simétricos, permite encontrar la inducción magnética ( B ) a una distancia ( R )

del alambre. Si "a" es la "permeabilidad magnética" entonces la expresión que permite saber "B" a

una distancia de 1 metro del conductor es:


a. a R / ( pi)

b. a / pi

c. i / ( 2 pi)

d. a i / ( 2 pi)

6 Puntos: 1 … Un electrón (q = 1.6 * 10 elevado a la -19 C y su masa es de m = 9.1 * 10 elevado a

la -31 kgrs) penetra perpendicularmente a una región donde existe una "B" de 0.25 gauss y lo hace

con una rapidez de 36,000 km / hora. En el interior del campo magnético es sometido a un

movimiento circular uniforme en el cual la frecuencia de rotación es de:


a. 0.69 Mhz

b. 69 Mhz

c. 4.9 Mhz

d. 6.9 Mhz


7 Puntos: 1 … El "rotacional del campo magnético" nos muestra la forma de ser de las líneas de

campo, las cuales son bastante diferentes a las registradas para los campos eléctricos estáticos. La

respuesta de esa mencionada operación equivale a uno y solo uno de los parámetros presentes en

esta unidad especial; favor marcarlo


a. densidad de líneas de campo (B)

b. densidad de corriente (J)

c. densidad de flujo magnético (B)

d. Fuerza magnética

8 Puntos: 1 … La vida de muchos planetas se ha posibilitado, según muchas investigaciones ,

gracias a unas capas protectoras en la atmósfera que son capaces de desviar o de atrapar

partículas cósmicas o fundamentales que puedan alterar o perturbar las condiciones de vida en un

sistema palnetario. Esa estructura protectora se denomina:


a. espectrógrafo de masas

b. sincrociclotrón

c. resonador magnético

d. anillos de Van Allen

9 Puntos: 1 Un protón (q = 1.6 * 10 elevado a la -19 C y su masa es de m = 1.6 * 10 elevado a la -

27 kgrs) penetra con un ángulo de 60 grados a una región donde existe una "B" de 0.25 gauss y lo

hace con una rapidez de 36,000 km / hora. En el interior del campo magnético es sometido a un

movimiento especial (conviene que lo repases) en el cual, la frecuencia con que gira la partícula,

expresado en hertz (Hz), es:



a. 3.9788

b. 397.88

c. 39.788

d. 0.39788

10 Puntos: 1 … Un protón (q = 1.6 * 10 elevado a la -19 C y su masa es de m = 1.6 * 10 elevado a

la -27 kgrs) penetra con un ángulo de 60 grados a una región donde existe una "B" de 0.25 gauss y

lo hace con una rapidez de 36,000 km / hora. En el interior del campo magnético es sometido a un

movimiento especial (conviene que lo repases) en el cual, la frecuencia angular con que gira la

partícula, expresado en segundos a la menos 1, es:


a. 25

b. 2500

c. 250

d. 25000

11 Puntos: 1 … Si una partícula con carga eléctrica "q" y masa "m" penetra perpendicular a un

campo magnético con cierta velocidad v = 4000 i + 2000 j (m / s) y se desea equilibrar su peso con

la fuerza magnética F = 2500 i + 3000 k, entonces la inducción magnética (B) que debe aplicarse es:


a. m . g / ( q . v)

b. q . g / (m . v )

c. q . v / ( m . g)

d. q . v . g / ( m )





movimiento especial (conviene que lo repases) en el cual el radio que describe la partícula,

expresado en metros, es:


a. 0.323

b. 3.23

c. 323

d. 32.3




movimiento especial (conviene que lo repases) en el cual el "paso" (avance del tornimllo en una

vuelta) que describe la hélice como consecuencia del movimiento de la partícula, expresado en

metros, es:


a. 14.77

b. 1.477

c. 0.1477

d. 147.7

14 Puntos: 1 … "Una y solo una" de las relaciones vectoriales presentadas a continuación, no es

válida en los campos magnéticos; favor ubicarla y marcarla



a. "J" (densidad de corriente) equivale al rotacional del campo magnético

b. w = B . m / q

c. F = q . V x B

d. La divergencia del campo magnético es cero

15 Puntos: 1 … Un campo magnético en "A / m" (amperios / metro) está asociado con una

inducción magnética B =12.5663 * 10-7 * cos (25,000,000 t - a x) k ( "k " es el vector unitario sobre

el eje Z) expresado en "Teslas". La forma matemática de ese campo (H) en un medio material con

"permeabilidad magnética relativa" de 2 es:


a. 10

b. 1

c. 100

d. 0,1


UNIDAD 3.

INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA, ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS, FUNDAMENTOS DE ANTENAS


UNIDAD 3.

INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA, ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS, FUNDAMENTOS DE ANTENAS

Nombre de la Unidad

INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA, ONAS ELECTROMAGNÉTICA,

FUNDAMENTSO DE ANTENAS

Introducción

Las ondas son medios de transporte de energía, de

momento lineal, angular o de información. La existencia y

propagación de las ondas electromagnéticas, en especial,

se explica mediante las experimentaciones de Heinrich

Hertz, quien logró generar y detectar ondas de radio, por

lo que se denominaron ondas hertzianas en su honor.

Ejemplos normales de ondas electromagnéticas son las

ondas de radio, las señales de televisión, los haces de

radar, los rayos luminosos, entre otros. Todas estas

formas especiales de energía electromagnética tienen tres

características generales, que son:

Se desplazan a gran velocidad (a la velocidad de la

luz, c = 3 * 108 m / s).

Presentan todos los fenómenos o propiedades de las ondas: refleccíón, refracción, difracción, interferencia,

polarización, efecto Doppler.

Se propagan hacia fuera desde la fuente sin necesidad

de ningún medio material o mecánico.

Existen varios mecanismos de generación de ondas

electromagnéticas y ello ha motivado profundas

investigaciones e innovaciones tecnológicas en el campo

de las “antena”, los cuales son dispositivos encargados de

transmitir o detectar las ondas electromagnéticas.

Justificación

La inducción electromagnética, el conocimiento, las

propiedades y las potencialidades de las ondas electromagnéticas o la instalación, implementación o diseño de antenas, son temas no solo de investigación


permanente, si no fuentes de grandes inversiones científicas, tecnológicas y económicas por su sensibilidad

e influencia en las vida, empresa, sociedad modernas.

Intencionalidades

Formativas


campos como acciones a distancia.

Potenciar en el estudiante la capacidad de

comprensión y aprehensión de los conceptos específicos de los campos magnéticos.

Desarrollar las aptitudes y las actitudes que le permitan analizar o aplicar el estudio del magnetismo.


representar e interpretar las líneas de campo magnético y relacionar sus conocimientos con los

dispositivos o máquinas que mueven las empresas.

Denominación de

los capítulos Ondas electromagnéticas

Inducción electromagnética

Introducción al estudio de las antenas


CAPÍTULO 1: “ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS”

Parte de la comprensión del mundo inmediato que nos rodea se fundamenta en el

reconocimiento de la inducción electromagnética y de las ondas

electromagnéticas. Por esa razón se motiva a los navegantes de este bello y

fascinante curso a que estudien, analicen, socialicen, investiguen, con mucha

atención e inquietud los interesantes fenómenos ondulatorios.

Lección 1: “FUNDAMENTOS DE ONDAS”

Una onda es una función tanto del espacio como del tiempo. Ocurre un

movimiento de ondas cuando una perturbación en el punto A en el instante t0 se

relaciona con lo que sucede en el punto B en el instante t = t0 + t1. Dada su

variación armónica en el espacio-tiempo, una onda puede representarse

matemáticamente como: E = A . sen (w.t - .x) o por E = A . cos (w.t - .x)

E: es la función armónica en el tiempo.

A: es la amplitud de la onda y determina las unidades de E.

(.t. - .x): es la fase de la señal (medida en radianes) de la onda; depende de la

variable temporal tiempo ( t ) y de la variable espacial ( x ). En muchos escritos

científicos en vez de “” se utiliza “K” y con el mismo significado: número angular

de onda y que equivale a: K = = 2 / (sus unidades son rad / m = m-1)

: es la frecuencia o rapidez angular (medida en radianes / segundo) y “” es la

constante de fase ó número de onda angular (medido en radianes / metro).

Las formas senoidales o cosenoidales se utilizan por doquier debido a que entre

ellas solo hay un desfase de 90 grados. Las gráficas mostradas muestran casos

de ondas sinusoidales. En la primera gráfica se presenta E=f(x, t: constante) por

lo que la onda tarda en repetirse una distancia “”, por lo que recibe el nombre de

longitud de onda (en metros); este concepto nos indica que durante un periodo “T”

el movimiento ondulatorio avanza una distancia “”. En la segunda gráfica se

presenta E = f(t, x:constante) por lo que la onda tarda en repetirse un tiempo “T”,

un período (este tiempo está obviamente medido en segundos).


Diagrama de E = A . sen (.t - .x), con “t” constante y con “x” constante

Cuando un movimiento ondulatorio que se propaga con rapidez uniforme (v)

recorre una distancia “” (longitud de onda) y lo hace en un tiempo de un periodo

(T) entonces se presenta una relación sencilla y básica entre ellas: = v.T

Pero T = f

1, donde “f” es la frecuencia (número de ciclos por unidad de tiempo).

La frecuencia se mide normalmente en Hertz (Hz). Reacomodando queda: v = f.

Dada esa relación existente entre la longitud de onda () y la frecuencia, (f) la

ubicación de una estación de radio en su banda se puede identificar con una u

otra de esas variables, aunque suele identificarse con la frecuencia.

De los conceptos previos se tiene que: = 2..f y que además: = v

w

T = f

1=

w

2, f = / (2), =

.2


Esta última expresión indica que cualquiera que sea la distancia comprendida por

la longitud de onda, una onda experimenta un cambio de fase de 2 radianes.

En resumen, se puede concluir lo siguiente:

Una onda es una función tanto del tiempo como del espacio.

Cuando se tiene “ (.t - .x)”, la propagación de la onda ocurre en la dirección

“+X” (onda de avance o marcha positiva); cuando se tiene “ (.t + .x) ”, la

propagación ocurre en la dirección “–X” (como si fuese una onda de retroceso).

La clasificación de múltiples frecuencias en un orden numérico conforma un

espectro de frecuencias. En la siguiente tabla se presentan las frecuencias en las

que se presentan diversos tipos de energía en el espectro electromagnético.

Fenómeno

electromagnético

Aplicaciones de uso Intervalo de frecuencia

Rayos cósmicos

Rayos gamma

Rayos X

Radiación ultravioleta

Luz visible

Radiación infrarroja

Microondas

Radioondas

Física, astronomía

Terapia contra el cáncer

Examen con rayos X

Esterilización

Visión humana

Fotografía

Radares, comunicación

satelital

Televisión UHF

Televisión VHF, radio FM

Radio de onda corta

Radio AM

1014 GHz

1010 – 1013 GHz

108 – 109 GHz

106 – 108 GHz

105 – 106 GHz

103 – 104 GHz

3 – 300 GHz

470 – 806 MHz

54 – 216 MHz

3 – 26 MHz

535 – 1605 kHZ


Ejercicio 1

Un campo eléctrico en el vacío está representado por la siguiente expresión:

E = 50 cos (108 t + .x) ( Voltios / metro)

Hallar la dirección de propagación de la onda y su amplitud:

Del signo positivo en (108 t + . x) se deduce que la onda se propaga a lo largo

del eje negativo X. La señal se propaga con una amplitud A = 50 V / m.

Hallar “” y calcular el tiempo que tarda en recorrer una distancia de “2

”:

En el vacío v = c, donde c es la velocidad de la luz (3 * 108 m / s). Por tanto:

= c

w=

8

8

103

10

x rad / m =

3

1rad / m

Si “T” es el período de la onda, ésta tarda T segundos en recorrer una distancia

a una velocidad c. Por lo que para recorrer una distancia de 2

emplearía:

t1 = 2

T=

2

1.

w

2=

810

= 31,42 * 10-9 s = 31.42 ns (nanosegundos)

Ejercicio 2

Escribir la ecuación de una onda electromagnética con la siguiente información:

a. Se propaga en un medio material en el cual n = 1.25.

b. Se propaga en dirección contraria al eje X.

c. Su longitud de onda es: = 100 m

d. Su fase inicial es nula

e. Su amplitud es 3 V / m (voltios / metro)


Solución

E = A . cos (t + .x) para una señal que propaga en dirección contraria al eje X.

n = c / v, luego: v = c / n = 240,000 km / s = 2.4 * 108 m / s,

además: = 2 / = 2 / (100 m) = 0.06283 m-1

v = / = v * = 0.15 * 108 s-1

Reemplazando: E = 3 cos (0.15 * 108 t + 0.06283 x) “V / m”

Lección 2: “POLARIZACIÓN DE ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS” La polarización es un especial fenómeno ondulatorio que es exclusivo de las

ondas transversales, y las ondas electromagnéticas lo son. Una onda está

polarizada cuando todas las vibraciones oscilan en un mismo plano.

Una lente normal permite que los rayos luminosos provenientes de una fuente

luminosa penetren a nuestros ojos y nos puedan encandilar debido a que la luz

natural no está polarizada y hay planos de oscilación en todas las direcciones.

Pero, ciertas lentes, llamadas polarizadas permiten que la luz pase solo en cierto

ángulo o plano de polarización, dejando a los ojos mucha tranquilidad. Es muy

común encontrar vidrios o cortinas polarizados, algunas películas delgadas (con

trazas de metales o de cerámicas) mantienen espacios habitacionales o de trabajo

como ambientes agradables y frescos porque reflejan la luz solar que pudiese

calentar los interiores. Es bueno saber que existen materiales como la turmalina o

el polaroide que permiten generar polarizadores. A nivel casero podemos

hacernos a la idea de la polarización usando una cuerda atada en un extremo y

haciendo oscilar el otro con nuestros manos; si no existen obstáculos podemos

generar cuantos movimientos queramos con las manos y la cuerda, pero si

cogemos un pedazo de cartón con una ranura vertical al piso y pasamos la cuerda

por esa abertura, cuando queramos generar cualquier movimientos, ya no somos

capaces…después del cartón, o sea a través de la ranura solo pasan ondas

verticales, las cuales están vibrando en un solo plano; es esa una polarización

vertical, y se tiene un solo plano de oscilación. Puedes pensar en hacer la ranura

horizontal y analizar de nuevo tu “polarizador casero”; ¡atrévete a jugar de nuevo¡

Existen tres clases de polarización para las ondas electromagnéticas:


Lineal: ésta se presenta cuando hay un solo plano de vibración para la señal; por

ejemplo, la onda descrita en el siguiente movimiento ondulatorio:

E = 50 cos (108 t + .x) j (V / m)

Se percibe fácilmente que esta señal tiene como plano de polarización el “XY”.

Circular: se presenta cuando la onda electromagnética tiene dos planos de

vibración y las amplitudes de las oscilaciones son iguales, es como si las ondas se

desplazaran en un cilindro recto. Por ejemplo, la onda descrita por la expresión:

E = 50 cos (108 t + .x) j + 50 cos (108 t + .x) k (V / m)

Se percibe fácilmente que esta señal tiene dos planos de polarización que son: el

“XY” y el “XZ”. También se puede observar que las amplitudes son las mismas.

Elíptica: se presenta cuando la onda electromagnética tiene dos planos de

vibración y las amplitudes de las oscilaciones son diferentes. Por ejemplo:

E = 50 cos (108 t + .x) j + 40 cos (108 t + .x) k (V / m)

Se percibe fácilmente que esta señal tiene dos planos de polarizac ión que son: el

“XY” y el “XZ”. También se puede observar que las amplitudes son diferentes.

La polarización por reflexión es otro fenómeno especial que permite encontrar

señales polarizadas a través de ciertos ángulos. En este caso, las ondas reflejada

y refractada, están formando un ángulo recto. Si una onda proveniente del aire o

del vacío (n = 1) penetra con un ángulo “i” en un material de índice de refracción

“n”, entonces cuando hay “polarización por reflexión” y usando la ley de Snell:

1 * sen i = n * sen r` pero: i = r (los ángulos de incidencia y de reflexión son

iguales); además: r + r` = 90 ( propiedad de la polarización por reflexión). Luego,

sen i = n sen (90 – r) = cos r n = sen i / cos r = sen i / cos i = tan i n = tan i

Esta relación se conoce con el nombre de “ley de Brewster”.

Ejercicio

El índice de refracción (n) del agua es prácticamente “4 / 3”. ¿Para qué ángulo de

incidencia se presentará en el ambiente una polarización por reflexión?

Solución: Usando la ley de Brewster (recién deducida) se tiene que: n = tan i,

luego: n = 4 / 3 = tan i y así el ángulo de incidencia es: i = tan-1(4 / 3) = 53


Lección 3: “ESPECTRO ELECTROMAGNÉTICO” El espectro electromagnético es la distribución del conjunto de ondas de acuerdo

con la radiación que emite o que absorbe una sustancia. El espectro presenta las

longitudes de onda, las frecuencias y las intensidades de la radiación de las

ondas, de tal forma que se establecen unas bandas. Según normatividad

internacional el espectro electromagnético es propiedad del gobierno de cada país

el cual lo podrá alquiler, licitar, facilitar, posibilitar, según las necesidades y

requerimientos locales. Toda banda o frecuencia para ser utilizada debe ser

notificada y reglamentada por el ministerio de comunicaciones en cada región.

En la siguiente tabla se presenta el espectro electromagnético, con sus longitudes

de onda y sus frecuencias, para que sirva básicamente de referencia.

Onda (m) f (Hz)

Rayos gamma < 10 pm > 30 EHz

Rayos X < 10 nm > 30 PHz

Rayos ultravioleta < 380 nm > 789 THz

Luz visible < 780 nm > 384 THz

Infrarrojo < 1 mm > 300 GHz

Microondas < 30 cm > 1 GHz

Ultra alta frecuencia

radios (UHF)

<1 m > 300 MHz

Muy alta frecuencia radio

(VHF)

< 10m > 30 MHz

Onda corta radio < 180 m > 1,7 MHz

Onda media radio < 650 m > 650 kHz

Onda larga radio < 10 km > 30 kHz

Muy baja frecuencia radio > 10 km < 30 kHz


En el caso de la luz visible, las sensaciones de colores diferentes obedecen a

diferentes longitudes de onda, como pueden ser:

400 – 450 nm Violeta 550 – 600 nm Amarillo

450 – 500 nm Azul 600 – 650 nm Naranja

500 – 550 nm Verde 650 – 700 nm Rojo

Utilizando fuentes o filtros especiales, puede limitarse la anchura de las longitudes

de onda a una pequeña banda, entre 1 y 10 nm, por ejemplo. Esta luz se llama

monocromática, es decir, es luz de un solo color. Aunque la luz monocromática se

asocia a una específica longitud de onda en el concepto teórico,

experimentalmente no es posible restringirla a esa longitud de onda

específicamente, sino que estará dentro de un intervalo de longitudes de onda.

Lección 4: “ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS E ÍNDICE DE REFRACCIÓN” Muchos medios materiales permiten el paso de las ondas electromagnéticas por su interior; es el caso del vacío, del aire o del vidrio, por ejemplo. En las fibras

ópticas se presenta el fenómeno de la “reflexión total” y hace que ellas se conviertan, literalmente hablando, en una “manguera de luz”. El secreto radica en el “índice de refracción del material” ( n ) el cual se def ine para medio ópticos

como el cociente entre la “c” (velocidad de la luz en el vacío) y la rapidez que tiene una onda en el medio material de interés: n = c / v ( no tiene unidades).

En el vacío el índice de refracción es la unidad: n = c / v = c / c = 1; en el aire es prácticamente “1” y en muchos vidrios es cerca de “1.5”, lo cual significa que en

ellos las ondas luminosas se propagan a “150,000 km / s = 1.5 * 108 m / s”.

Según las atrevidas y profundas predicciones de la “teoría electromagnética” de Maxwell (luego se demostrará) y las experiencias realizadas, las ondas

electromagnéticas se propagan en el vacío con la velocidad de la luz en ese medio: c = 300,000 km / s = 3 * 108 m / s. Esa cifra mágica, límite natural de velocidad para todos los cuerpos materiales, se calcula como:

c = ( 1 / (0 µ0)) = 3 * 108 m / s

En general puede mostrase que “la rapidez de una onda electromagnética en un

medio material es: v = ( 1 / ( µ))”. Pero: = r 0 y µ = µr µ0. Reemplazando se

tiene que: v = ( 1 / ( µ)) = ( 1 / (r 0 µr µ0)) = ( 1 / (r µr)) * ( 1 / (0 µ0)) y

como: c = ( 1 / (0 µ0)), entonces: v = c ( 1 / (r µr)) y de esta manera:


n = (r µr), o sea, el índice de refracción “n” depende de las constantes dieléctrica

(r) y de la permeabilidad magnética relativa (µr) del medio material de propagación, los cuales no tienen unidades como tampoco las tiene “n”.

Ejercicio

En cierto medio material las ondas electromagnéticas se propagan a 75,000 km / s

y además se sabe que “µr = 1”. Hallar para ese medio los valores de “n” y de “r”.

Solución

n = c / v = (300,000 km / s) / (75,000 km / s) = 4,

pero, n = (r µr) y como µr = 1, entonces: r = n2 / µr = 16

Lección 5: “ENERGÍA E INTENSIDAD EN ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS” En una onda electromagnética los campos eléctrico ( E ) y magnético ( H )

avanzan con el tiempo hacia regiones donde inicialmente no hay campos; la onda

transportará energía o momentos lineal (p) o angular (L) de un sitio a otro. Esta

transmisión de energía se caracteriza, entre otros parámetros, por la intensidad de

la onda, que es la energía que fluye perpendicularmente a la dirección de

propagación a través de la unidad de superficie en cada segundo, y se expresa

como: I = tA

Eem

. [

2m

W]

Eem: energía electromagnética, en julios. A = área, en m2.

t = tiempo, en segundos

También se puede decir de manera sencilla que la “intensidad (I) de una señal es

la potencia disipada por unidad de superficie”: I = P / S. Cuando una fuente irradia

en todas sus direcciones (omnidireccional) entonces: I = P / (4 R2). Este

concepto es análogo al de la “densidad de corriente” (J). Entre más elevada sea

la frecuencia, mayor será la energía transportada por la onda estudiada.

De la dependencia de la frecuencia, se pueden determinar dos tipos importantes y

representativos de ondas, según los efectos que se generen en el ambiente por la

energía transportada:


Ionizantes: son aquellas señales cuya energía es suficientemente alta como para alterar el balance iónico de un cuerpo; por ejemplo, onda radioactiva.

No ionizantes: son aquellas señales que no producen ningún efecto sobre los átomos de la materia, como por ejemplo, las ondas sonoras

La energía almacenada por un capacitor es:

Se define (densidad volumétrica de energía del campo eléctrico) como el

cociente entre la energía del capacitor sobre el volumen de éste:

Haciendo un trabajo similar con un solenoide se encuentra que la densidad

volumétrica de inducción magnética es:

La naturaleza se privilegio de la energía de algunos de los dos campos, lo

que hace es equipartirla. Si:

Cuando se trabaja con ondas electromagnéticas en el vacío aun en el aire:

La densidad volumétrica de energía total “E = Energía total / volumen)” en una

región del espacio (vacío) donde están presentes los campos “E” y “H”, está dada

por: E = 2

1o.E2 +

2

1o.H2. Si la región no es el vacío, entonces en vez de


“o” y de “o” se deben utilizar “ “ y “” y es probable que la rapidez ya no sea “c”,

si no la relación estudiada desde la física ondulatoria: v = ( 1 / ( µ)).

De la física ondulatoria conviene extraer una expresión útil entre la intensidad (I) y

la densidad volumétrica de energía de la onda (E): I = v E.

Finalmente, la intensidad de la onda electromagnética que se propaga en el vacío

(v = c) está dada por: I = tA

Eem

.= o.c.E2 (las unidades son w / m2).

Conviene recordar de los cursos de Cálculo Integral y de “Estadística” que: “el promedio de las señales seno o coseno es cero” y “el promedio de sus cuadrados es fantásticamente: 1 / 2 = 0.5”. Si se anima puede repasar y hacer una plana.

Los promedios de las funciones “cos ” o del “sen ” al “cuadrado” son: 1 / 2 = 0.5

Lección 6: “ONDAS PLANAS EN BUENOS CONDUCTORES” La propagación de ondas en un medio material obedece a un comportamiento

especial de la transmisión de la energía contenida por la onda y permite

determinar varios tipos de materiales de acuerdo con esa facilidad de transmisión.

Un dieléctrico disipativo es un medio material en el cual la onda

electromagnética pierde potencia al propagarse a causa de una conducción deficiente. Es decir, es un medio parcialmente conductor (dieléctrico

imperfecto) en el que 0 (“” es la conductividad), a diferencia de un

“dieléctrico sin pérdidas” (dieléctrico perfecto) en el que = 0.

En un dieléctrico sin pérdidas, se tiene que: = 0, = o.r, = o.r

En el vacío, se cumple que: r = 1, r = 1, = 0, = o, = o

Los campos electromagnéticos (u ondas electromagnéticas), tanto E como H, son

perpendiculares en cualquier punto de la dirección de propagación de la onda. En

otras palabras, se sitúan en un plano transversal u ortogonal a esa dirección. De

esta forma, constituyen una onda electromagnética sin componentes de campo

eléctrico y magnético a lo largo de la dirección de propagación, llamada onda

electromagnética transversal (ET).


Aplicaciones prácticas de las ondas planas son las ondas procedentes de una

antena de radio; puede observarse que se encuentra a grandes distancias de la

fuente emisora y por lo tanto, como toda esfera, se van tornando planas.

En un conductor perfecto (o buen conductor) se tiene que >>, de modo

que

.w , por tanto: 0, = o, = o.r

A medida que la onda E (ó H) se desplaza en un medio conductor, su amplitud es

atenuada por un factor exponencial que equivale a e-.x. En la figura de la otra

página se presenta una ilustración de este comportamiento. La distancia “” a lo

largo de la cual la amplitud de la onda decrece en un factor e-1 (alrededor del

37%), es la profundidad pelicular o profundidad de penetración del medio,

con lo cual: Eo * e-. = Eo . e-1


De donde: =

1

La profundidad pelicular es una medida del grado de penetración de una onda

electromagnética en el medio. La última expresión suele ser aplicable a cualquier

medio material. En el caso de los buenos conductores se cumple que:

= ...

1

f

En la siguiente tabla se presenta la profundidad pelicular del cobre para varias

frecuencias, la cual decrece al aumentar la frecuencia.

f (Hz) 10 60 100 500 104 108 1010

Profundidad

pelicular

(mm)

20,8 8,6 6,6 2,99 0,66 6,6x10-3 6,6x10-4

El fenómeno por el que la intensidad de campo decrece rápidamente en un

conductor se conoce como efecto pelicular. Los campos y corrientes asociadas

son confinados a una capa muy delgada de la superficie del conductor. Por

ejemplo, considerando un cable de radio r, se espera que a altas frecuencias toda

la corriente fluya en el anillo circular de grosor d que se muestra en la figura de la

otra página. Este efecto ya se había estudiado en un capítulo anterior.


Profundidad pelicular a altas frecuencias, d<<r

El efecto pelicular debe ser tenido en cuenta al realizar ciertas aplicaciones de los

campos electromagnéticos, como es el caso de las antenas exteriores de

televisión en las que se emplean conductores tubulares huecos en lugar

conductores sólidos. En ciertos aparatos eléctricos se implementa una protección

contra ondas electromagnéticas con la instalación de unas cubiertas conductoras

o apantallamientos con algo de profundidad pelicular de grosor.


CAPÍTULO 2: “INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA”

Los campos electromagnéticos que dependen del tiempo son los responsables del

fenómeno de la inducción electromagnética y de los mecanismo de recepción y de

transmisión de ondas electromagnéticas, unas ondas especiales de la naturaleza

que en el vacío se propagan a la velocidad de la luz, la cual es c = 3 * 108 m / s).

Lección 1 “INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA” Es el fenómeno que origina la producción de un voltaje inducido o una fuerza

electromotriz (F.E.M), en un medio o cuerpo expuesto por un campo

electromagnético dependiente del tiempo o bien en un medio móvil respecto a un

campo magnético estático. Es así que cuando dicho cuerpo o material es un

conductor eléctrico se produce o se genera una corriente inducida.

Este interesante fenómeno fue descubierto por Michel Faraday quien lo expresó

indicando que “la magnitud del voltaje inducido (F.E.M) es directamente

proporcional a la variación del flujo de inducción magnético en el tiempo”.

Por otra parte el investigador Lenz comprobó que la corriente debida a la F.E.M

inducida se opone el cambio de flujo de inducción magnética de forma tal que la

corriente tiende a mantener el flujo magnético de forma tal que la corriente tiende

a mantener el flujo. Este enunciado es válido para el caso en que la intensidad de

flujo varíe en el tiempo o que el cuerpo conductor se mueva con respecto a él.

Son aplicaciones del fenómeno de la inducción electromagnética: los generadores

de corriente, los motores, el funcionamiento de las antenas, los circuitos

resonantes, en los aviones que se desplazan a grandes velocidades se cargan

eléctricamente como consecuencia del campo magnético de la tierra. La

generación y transmisión de la corriente alterna se fundamenta en este fenómeno.

Lección 2: “PARÁMETROS QUE DETERMINAN LA INDUCCIÓN”

El fenómeno de la inducción electromagnética se puede presentar por cualquiera

de las siguientes situaciones o por la modificación de alguno de sus parámetros:

Variando o modificando el campo magnético, su magnitud o su dirección

Cambiando la rapidez con que el conductor eléctrico penetra en el campo


Deformando el sistema conductor o sea, alterando su forma o superficie

Ahora entraremos a disfrutar y a analizar uno de los análisis más complejos de la

teoría electromagnética, estudiaremos con emoción la matemática que posibilita

encontrar una relación más estrecha e interesante entre los campos eléctricos y

los magnéticos que dependen del tiempo. Desde este momento es básico

comprender y asimilar que “si conocemos la forma como cambia el campo

eléctrico en el tiempo, es posible encontrar la forma matemática y física del

campo magnético”. Es bueno también pensar que si “se conoce la forma del

campo magnético también es posible encontrar el campo eléctrico asociado”.

Vind = dlE. = dSrotE. = - B / t = - ( dSB.. ) / t = - dSdtB ./d

Se estarán preguntando que de dónde salen esas maravillosas expresiones que

forman parte de la magia de Maxwell, pues la respuesta es bien interesante:

Lección 3: “LA LEY DE HENRY FARADAY”

La relación dlE. (la integral cerrada del producto escalar entre el campo eléctrico

y un diferencial de longitud), que se denomina una integral de línea, corresponde

al voltaje o diferencia de potencial entre dos puntos. Ese tipo de integrales a partir

del teorema de Stokes o de la circulación o del rotacional se transforma en otra

integral de un producto escalar entre el rotacional del “E” ( x E) y un diferencial

de superficie y ello según los descubrimientos de Henry, Faraday, Lenz, es menos

la derivada parcial con respecto al tiempo del flujo de la inducción magnética.

Comparando y analizando términos se llega a la forma diferencial de la ley de

inducción también denominada Ley de “Henry Faraday” y que queda así:

x E = - B / t

Esta mágica expresión nos muestra una estrecha “relación espacial” del campo

eléctrico (rotacional) con una “relación temporal” del cambio de la inducción

magnética”. Queda entonces demostrado que existe un relación firme entre los

campos eléctricos y los campos magnéticos, que dependen del tiempo.

Los campos eléctrico y magnético, son vectores linealmente independientes y

forman con el vector que indica la dirección de propagación de la señal


(perpendicular a ellos dos) una “base” para los vectores de tres dimensiones

habiendo recuerdos adecuados del “Álgebra Lineal”; es decir, esos tres vectores

combinados lineal y apropiadamente pueden generar cualquier vector de ese

espacio vectorial donde evolucionamos, nacimos y vamos a fallecer.

Lección 4: “EL VECTOR DE POYNTING”

Es un vector (S) importante en el estudio de las ondas electromagnéticas debido a

que nos muestra la dirección de propagación de ellas y de la energía que llevan.

En ese vector, su módulo representa la intensidad instantánea de energía

electromagnética y su dirección es la misma de la propagación de la onda

electromagnética. Se define el “vector de Poynting” como el producto cruz

(vectorial) entre los campos eléctrico (E) y magnético (H). Debe su nombre al

físico inglés John Henry Poynting y se concibe como:

Es importante resaltar que los campos eléctrico y magnético, de una onda

electromagnética oscilan con la misma frecuencia pero con amplitudes diferentes.

La magnitud del representativo vector “E x H” determina el flujo de energía a

través de un área transversal perpendicular a la dirección de propagación de la

señal y por unidad de área y por unidad de tiempo. Si relees el capítulo 4 de esta

unidad, donde se rememora valiosa información estadística, debemos aportar

finalmente que aunque el vector de Poynting es muy útil es realmente su “valor

promedio” el que es de interés para la tecnología. Por esa razón nos dedicamos

ahora a evaluar la intensidad media de la señal electromagnética, que es lo mismo

que decir “el promedio del vector de Poynting” y el cual contiene mucha

información valiosa para diseñar e implementar dispositivos capaces de detectar o

de medir, las intensidades de los campos electromagnéticos.

I = Spromedio = Em * Bm / (2 µ) = (Em)2 / (2 µ c) = c (Bm)2 / (2 µ)

Ejercicio

En mi adorado refugio, en una de las montañas de Colombia, existe una fuente

puntual y avanzada de radiación electromagnética cuya potencia promedio es de

1200 watios. Usando las relaciones derivadas del “vector de Poynting” evaluar la

intensidad de los campos eléctrico (E) y magnético (H) sabiendo que el ambiente

de propagación es el aire donde µr = 1 a una distancia de 10 metros de la fuente.


Solución:

I = P / (4 R2) = 1200 w / (4 (10 m)2) = 0.95492 w / m2

pero, I = Spromedio = Em * Bm / (2 µ) = (Em)2 / (2 µ c) Em = ( 2 µ c I) = 28.83 V / m

Bm = Em / c = 0.0961 * 10-6 Teslas y H = B / (µr µ0) = 0.07647 A / m (Amperio / m)

Lección 5: “RELACIONES PROFUNDAS PARA COMPRENDER LAS

ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS”

En esta sección se van a analizar y a profundizar las relaciones existentes entre

los campos eléctricos y los campos magnéticos y además se estudiarán algunas

consideraciones finales y significativas de las ondas electromagnéticas.

El siguiente especial ejercicio, lleno de encanto y de magia maxwellianas pretende

socializar, fortalecer, dar a conocer o analizar, relaciones profundas y significativas

de las ondas electromagnéticas, de los campos electromagnéticos y del material.

Ejercicio

Se tiene un campo eléctrico cuya amplitud es “4 ” y que se propaga en el vacío.

Su longitud de onda es de “4π” metros. Se sabe que el plano de polarización es el

“XY” y que la señal se está propagando en la dirección positiva del eje x.

a. Digitar la expresión del campo eléctrico y sus componentes en cada eje.

b. Suponiendo que los campos estacionarios son nulos (amplitud cero o

despreciables) hallar la forma completa de la inducción magnética (B).

c. Encontrar el campo magnético (H) asociado con esta señal.

d. ¿Cuál es la forma matemática del vector desplazamiento eléctrico (D)?

e. Si cree que es posible hallar la densidad de corriente por desplazamiento (JD).

f. Hallar el índice de refracción (n) del material.

g. Mostrar convincentemente que esa onda electromagnética es transversal

(vibración perpendicular) . = 0

h. Hallar la relación entre las magnitudes del campo eléctrico y del magnético.


Solución:

a. Ey = 4 cos (ωt - kx) j ( V / m); Ey = Ez = 0, esta señal se propaga en la

dirección positiva del eje X y como el plano de polarización es el “XY” entonces

ello nos indica que la señal vibra en ese plano. Esa polarización es de tipo lineal.

Se sabe también que: λ = 4π m = 12.566 metros k = = = 0,5 m-1

También: f = v / λ = Hz = 23.873 MHZ

= 2 π f = 2π (23,873 * MHz) = 1.50 * 108 s-1, reemplazando queda:

Ey = 4 cos (1,5 * – 0.5 X) j ( V / m) = a cos ( ) j

b. X E =

X E = ( 0-0 ) - (0-0) + (- 4 sen(1,5 * t – 0,5x ) * (-0,5)

X E = 2 sen (1, 5 t - 0,5 x) k = - B / t

= =

= 1,3 cos (1,5 t - 0,5x)

c. = = k

H = 0,0106 cos (1,5 t - 0,5 x) (Amperio / metro)

d. = E = (1 * 8.85 * 10-12) * 4 cos (1,5 * – 0.5 x) j

D = 3.54 * 10-11 cos (1,5 * – 0.5 x) j

e. = = j = - 5,31 sen (1,5 t - 0,5x) j

f. Si se hace el producto escalar entre los vectores que representan el campo

eléctrico y el campo magnético se percibe que: E . H = 0 , lo cual nos indica que

“en una onda electromagnética los campos eléctrico y magnético son


perpendiculares entre sí”; ese concepto nos permite afirmar que “las ondas

electromagnéticas son de carácter transversal y por lo tanto son polarizables”.

g. La impedancia intrínseca (Z) de un medio material se encuentra evaluando el

cociente de las magnitudes del campo eléctrico y del magnético y debido a que las

magnitudes de E son “V / m” y de “H” son “A / m”, entonces ese cociente nos da

en ohmios (). Z = E / H = = 377,36 Ω = 120π Ω

Esa información parece sorprendente, el vacío tiene una impedancia de “377 ” y

se puede obtener también de: Z = 377

La impedancia intrínseca (Z) de un material puede ser evaluada en función de la

“permeabilidad magnética” (µ) y de la “permisividad eléctrica” (). En general se

cumple que: Z = y para el vacío: Z = = (337Ω)


CAPÍTULO 3: “INTRODUCCIÓN AL ESTUDIO DE LAS ANTENAS”

Hasta el momento se han estudiado los campos electromagnéticos, cuya fuente se

explica en las cargas eléctricas. Si la fuente varía en el tiempo, las ondas

electromagnéticas se propagan y se genera la radiación, la cual puede

considerarse como la transmisión de energía, a través de ondas en el espacio

tiempo y cuya emisión o recepción se puede realizar eficientemente con la ayuda

de unas estructuras conductoras o dieléctricas llamadas antenas.

Lección 1: “CONCEPTOS BÁSICOS”

Existen varios mecanismos para generar radiación electromagnética: acelerar

cargas eléctricas, manejar dipolos eléctricos oscilantes o dipolos magnéticos

oscilantes y algunos de estos mecanismos de emisión son modelos importantes

para la implementación, diseño o montaje de antenas de comunicaciones.

En teoría, cualquier estructura puede emitir ondas electromagnéticas, pero no

todas con dispositivos de radiación eficientes. Una antena puede considerarse

como un transductor para el acoplamiento de la línea de transmisión con el medio

circundante o viceversa. En la siguiente figura se ilustra la función de una antena:

Antena como dispositivo de acoplamiento

Las antenas son necesarias para lograr una radiación eficiente y un acoplamiento

de impedancias de onda fin de minimizar la reflexión de ondas. Utilizan un voltaje

y una corriente de la línea de transmisión o de los campos electromagnéticos para

emitir una onda en dirección del medio. Pueden utilizarse para transmitir o recibir

energía electromagnética (ondas) y se tienen muchos dispositivos eficientes para

capturar o para enviar señales electromagnéticas. Muchos de esos buenos

dispositivos han sido desarrollados de manera completamente empírica.


Lección 2: “TIPOS COMUNES DE ANTENAS”

En la figura de la otra página, la antena tipo dipolo de la primera figura está

conformada por dos alambres rectos tendidos a lo largo del mismo eje. La antena

de cuadro de la segunda figura se compone a su vez de una o más vueltas de

alambre. La tercera antena, helicoidal consta de un alambre en forma de hélice

sostenida en un plano conectado a tierra. A todas estas antenas se les conoce

como antenas de alambre, se usan en automóviles, edificios, aviones, barcos,

entre otros. La antena de bocina piramidal, corresponde al tipo de antena de

abertura, es una sección piramidal que sirve de transición entre la fuente y el

medio circundante. En la antena de reflector de disco parabólico de la quinta

figura, se aprovecha el hecho de que las ondas electromagnéticas son reflejadas

por una lámina conductora. Cuando se utiliza como antena transmisora, en el

punto focal se coloca una antena de alimentación, ya sea de dipolo o de bocina.

La radiación que procede de la fuente se refleja en el disco (similar como si fuera

un espejo), de lo que resulta un haz de rayos paralelos. Este último tipo de antena

se utiliza en sistemas de comunicaciones, en radares y en astronomía.

Tipos comunes de antenas


Existen antenas dirigidas al espacio exterior esperando capturar señales de radio

provenientes de seres inteligentes de otros mundos; también se tienen satélites,

sondas espaciales a más de 18,000 millones de kilómetros de nuestro planeta y ya

fuera del sistema solar nuestro, enviando información. En los sistemas de

resonancia magnética nuclear, tan usados hoy en medicina, las antenas juegan un

papel esencial en el desarrollo de las imágenes procedas para diagnósticos y la

cuales se producen usando radiofrecuencias apropiadas en el cuerpo humano.

Lección 3: “ANÁLISIS DE ALGUNOS TIPOS DE ANTENAS”

3.1 Dipolo hertziano. Es un elemento de corriente en una unidad de longitud de carácter teórico y que

tiene por objeto facilitar el cálculo del campo de una antena práctica. El potencial

magnético vectorial debido a un dipolo en un punto P del campo, está dado por:

Potmagn = d

LI

.4

..

I = corriente, I = Io.cos w.t

L = longitud del dipolo considerado.

d = distancia desde el dipolo al punto P considerado.

La potencia radiada equivale a la potencia disipada por la corriente I, en una

resistencia ficticia Rrad, con lo cual: Prad =.I2rms . Rrad = 2

1.Io.Rrad

en donde: Rrad = 2

.2

o

rad

I

P

La resistencia Rrad es llamada la “resistencia de radiación” y es una propiedad

característica de la antena de dipolo hertziano. Como se puede deducir de las

expresiones anteriores, es importante disponer de antenas con gran resistencia de

radiación para emitir grandes montos de potencia al espacio.

3.2 Antena de dipolo de media onda.

El dipolo de media onda se denomina así porque su longitud equivale a la mitad

de una longitud de onda (L = 2

). Como se aprecia en la siguiente figura, consta


de un hilo delgado alimentado en su centro por una fuente de voltaje conectada a

través de una línea de transmisión (una línea de dos alambres, por ejemplo).

Dipolo de media onda

El campo debido al dipolo puede obtenerse fácilmente asumiendo que es una

cadena de dipolos hertzianos. El potencial magnético vectorial en cualquier punto

P debido a la longitud del dipolo portador de una corriente I = Io.cos wt, es:

Potmagn = d

LwtIo

.4

.cos..

En este dipolo, la corriente debe tender a cero en los extremos, aunque la

distribución de corriente en el dipolo no se puede determinar con precisión, se

determina con la aplicación de las ecuaciones de Maxwell sujetas a condiciones

de frontera, procedimiento matemático que es un tanto complejo.

Igualmente, con base en la teoría de antenas, se tiene que:

Prad =36,56 . Io

Rrad = 2

.2

o

rad

I

P

3.3 Antena monopolar de un cuarto de onda. Esta antena consta básicamente de la mitad de una antena de dipolo de media

onda situada en un plano conductor a tierra, como se ilustra en la siguiente figura:


Antena monopolar

La antena es perpendicular al plano, habitualmente supuesto como infinito y

perfectamente conductor. La alimenta un cable coaxial conectado a su base.

Aplicando el método de las imágenes, se puede reemplazar el plano infinito

perfectamente conductor conectado a tierra, por una imagen del monopolo. El

campo producido por el monopolo 4

con su imagen en la región sobre el plano a

tierra es igual al campo debido a un dipolo 2

. Esto significa que este monopolo

sólo irradia la mitad de la potencia que el dipolo con igual corriente, por tanto:

Prad =18,28 . Io

Rrad = 2

.2

o

rad

I

P

3.4 Antena de cuadro pequeño. Esta antena posee importancia práctica, se le usa como antena indicadora de

dirección (o cuadro de exploración) en la detección por radiación y como antena

de televisión para frecuencias ultraaltas. El término cuadro pequeño implica que

las dimensiones del cuadro son mucho menores que la longitud de onda ().

En la siguiente figura, se la espira circular de filamento es portadora de una

corriente Io.cos wt. Esa espira puede equivaler a un dipolo magnético elemental.


Antena de cuadro pequeño

Como resumen (ver cuadro), la intensidad de campo magnético (H) según el tipo

de antena se puede precisar como:

Dipolo hertziano H =

r

senLwI o

.4

...

Dipolo de media onda

H =

senr

wI o

..2

)cos2

.(.

Antena de cuadro H =

2.

).(..

r

senAI o

Ejercicio

En un punto en = 2

a 2 km de una antena en aire, se precisa de una intensidad

de campo magnético de 5m

A. Sin considerar pérdidas óhmicas, determínese la

potencia a transmitir por la antena si se trata de:


Un dipolo hertziano de

25

de longitud.

En este dipolo se tiene que: H = r

senLwI o

.4

...

Donde: L = 25

w =

2 5x10-6 =

)102.(4

)1.(25

2.

3x

I o

= 510

oI

De donde: Io = 0,5 A Prad = 40.2.[

L] = 40.2.[

25

5,0] = 158 mW

Un dipolo hertziano de media onda (2

).

En este dipolo se tiene que: 5x10-6 =

senr

I o

..2

)cos2

cos(.

5x10-6 = )1).(102.(2

)1.(3x

I o

De donde: Io = 62,8 mA

Prad = 2

1.Io.Rrad =

2

1.(62,8x10-6).(73) = 144 mW

Un monopolo (4

).

En este se tiene que: Io = 62,8 mA

Prad = 2

1.Io.Rrad =

2

1.(62,8x10-6).(36,56) = 72 mW

Una antena de cuadro.


En este dipolo se tiene que: H =

2.

).(..

r

senAI o

En el caso de una vuelta, A = .ro2, y con N vueltas se tiene que A = N. .ro

2. Así:

5x10-6 = 3102

10..

x

I o .

22

or

De donde: Io =

3

2

210.

10

10x

ro

3

2

2

1020

x

40,53 mA

Rrad = 4

24 ..320

A

A= 3206x100.

4

20

1 192,3 mW

Prad = 2

1.Io.Rrad =

2

1.(40,53)2x10-6.(192,3) = 158 mW

Lección 4: “CARACTERÍSTICAS DE LAS ANTENAS”.

Después de conocer los principales tipos básicos de antenas, se presentan ahora

las principales características de las mismas, como son:

Patrón de antena: es un diagrama tridimensional de la radiación de la antena

en un campo lejano, que se conoce como patrón de campo o de voltaje.

Intensidad de radiación: la intensidad de la radiación de la antena está en

función del ángulo sólido (medido en estereorradianes) de cobertura de la antena y de la potencia promedio que puede emitir la antena.

Ganancia directiva: es una medida de la concentración de la potencia radiada

en una dirección específica, lo que se puede entender como la capacidad de la antena para dirigir potencia radiada en esa dirección. La “directividad” de una antena es la razón de la intensidad de radiación máxima a la intensidad de

radiación promedio.

Ganancia de potencia: es una relación entre la potencia radiada por la antena

y la potencia aceptada por la antena en sus terminales, de tal forma que se

puede plantear como = ent

rad

P

P=

Lrad

rad

PP

P

.

Lección 5: “Arreglos de antenas”.


En muchas aplicaciones prácticas, como una estación radiodifusora de AM, es

necesario diseñar antenas con mayor potencia radiada en ciertas direcciones que

en otras. Esto equivale a establecer un patrón de radiación para que se concentre

en una dirección dada. Este objetivo es difícil de conseguir con un solo elemento

de antena, mientras que un arreglo permite tener una mayor “directividad” que la

que puede ofrecer una sola antena. Un arreglo de antenas es un grupo de

elementos de radiación dispuestos de forma que se produzcan características de

radiación particulares. Es conveniente y práctico, aunque no necesariamente

indispensable, que los elementos del arreglo sean iguales.

En general, el campo total de un arreglo de antenas obedece al patrón resultante

del producto entre los patrones unitario y de grupo, y está en función del

espaciamiento entre los elementos que conforman el arreglo. Las grandes sumas

de dinero invertidas actualmente en el sector de las telecomunicaciones ha

permitido un avance vertiginoso en este campo prodigioso de las antenas.


1 Puntos: 1 … La potencia promedio con que se irradia una señal electromagnética desde una

fuente puntual en una ciudad es de 3141.59 W (watios). ¿Cuál es la intensidad media registrada

(en watios / metro cuadrado) a una distancia de 5 metros de ella?


a. 25

b. 250

c. 314

d. 10

2 Puntos: 1 … En una onda electromagnética viaja por una sustancia en la cual se percibe que su

rapidez de propagación es de 200,000 km / s; puede afirmarse que el índice de refracción ( n ) de

esa material es:



a. 1

b. 1.46

c. 2

d. 1.5

3 Puntos: 1 … La razón con la cual la energía fluye o se consume a través de una superficie de

área unitaria y perpendicular al flujo representa la magnitud de una importante variable estudiada

en radiopropagación y que se conoce como:


a. Intensidad

b. Potencia

c. Corriente de Maxwell

d. Vector de Poynting

4 Puntos: 1 … Una interesante emisora de comunicaciones ("Radio Queen) emite señales

electromagnéticas con una longitud de onda de 60 metros. Esas ondas viajeras tienen una

frecuencia en megahertz (Mhz) de:


a. 50

b. 5

c. 5000

d. 0.5


5 Puntos: 1 … Un bobina cuadrada de 20 cms de lado y de 10 ohmios de resistencia recoge los

frutos de una inducción electromagnética debido a que en una región magnética se pasó de "3.2

teslas a 1. 7" en solo 1 centésimo de segundo. El valor de la F.E.M generada en el sistema, en

voltios, es de:


a. 6

b. 600

c. 60

d. 0.6

6 Puntos: 1 … PREGUNTA DE AFIRMACIÓN - RAZÓN

Si el voltaje inducido en un circuito cambia de "20 a 50" voltios en cierto intervalo de tiempo es

PORQUE hubo en cambio en el tiempo del flujo de inducción magnética que lo originó.


a. Marcar ésta si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación

CORRECTA de la afirmación

b. Marcar ésta si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA.

c. Marcar ésta si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA.

d. Marcar ésta si la afirmación y la razón son VERDADERAS, pero la razón NO es una

explicación CORRECTA de la afirmación.

7 Puntos: 1 … Un campo eléctrico es de la forma E = 0.08 cos (25,000,000,000 t - 100 x) j ( " j " es

el vector unitario sobre el eje Y) expresado en " V / m" (voltios / metro). Suponiendo que los

campos estáticos son despreciables, y que la permeabilidad magnética relativa es 1, entonces el

cociente entre las magnitudes de los campos eléctrico ( E ) y magnético ( H ) , o sea, la "impedancia

intrísnseca " ( Z ) del medio, es en ohmios, de:



a. 377

b. 2513

c. 0.003

d. 100

8 Puntos: 1 … Un campo eléctrico es de la forma E = 0.08 cos (25,000,000,000 t - 100 x) j ( " j " es

el vector unitario sobre el eje Y) expresado en " V / m" (voltios / metro). Suponiendo que los

campos estáticos son despreciables, y que la permeabilidad magnética relativa es 1, entonces el

campo magnético ( H ) asociado a este campo eléctrico ( E ) es de la forma:


a. - 25,13 cos (25,000,000,000 t - 100 x) k

b. 2 sen (25,000,000,000 t - 100 x) k

c. 253.5 sen (25,000,000,000 t - 100 x) k

d. - 2513 cos (25,000,000,000 t - 100 x) k

9 Puntos: 1 … Un campo eléctrico propuesto para estudiar las bellas ondas electromagnéticas es

E = 0.08 cos (25,000,000,000 t-100 x) j + 0.08 cos (25,000,000,000 t-100 x) k (" j ", " k " son los

vectores unitarios sobre el eje Y y sobre el Z, respectivamente) expresado en " V / m" (voltios /

metro). La polarización de esta señal es:


a. circular

b. cúbica

c. elíptica

d. lineal



Cuando se tiene un campo eléctrico senoidal variable en el tiempo en una región, se encuentra

que asociado a él existe un campo magnético también senoidal y variable en el tiempo PORQUE el

transporte de las señales electromagnéticas exige que las frecuencias de los campos sean

diferentes


a. Marcar ésta si la afirmación y la razón son VERDADERAS, pero la razón NO es una


b. Marcar ésta si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación



d. Marcar ésta si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA.


Los antena Yagi, que es un dipolo eléctrico, es un dispositivo muy utilizado para recibir señales

electromagnéticas, como las de televisión por ejemplo , PORQUE está formada por una gran espira

circular por la cual se transporta una corriente alterna.


a. Marcar ésta si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA.

b. Marcar ésta si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación



d. Marcar ésta si la afirmación y la razón son VERDADERAS, pero la razón NO es una


12 Puntos: 1 … Un bobina cuadrada de 20 cms de lado y de 2 ohmios de resistencia recoge los

frutos de una inducción electromagnética debido a que en una región magnética se pasó de "3.2


teslas a 1. 7" en solo 1 centésimo de segundo. El valor de la corriente generada en el sistema, en

amperios, es de:


a. 60

b. 12

c. 3

d. 18

13 Puntos: 1 … Las condiciones dadas: "conductividad eléctrica nula", "permisividad eléctrica es

epsilon su cero = 8.85 * 10 elevado a la -12" y "permeabilidad magnética de 4 pi * 10 elevado a la -

7", caracterizan significativamente a “uno y solo uno” de los medios materiales mencionados a

continuación:


a. los dieléctricos disipativos.

b. el teflón

c. el vacío

d. los dieléctricos sin pérdidas.

14 Puntos: 1 … Un campo eléctrico es de la forma E = 0.08 cos (25,000,000,000 t - 100 x) j ( " j "

es el vector unitario sobre el eje Y) expresado en " V / m" (voltios / metro). La polarización que

presenta esta onda electromagnética es:


a. lineal

b. circular


c. elíptica

d. cúbica

15 Puntos: 1 … La razón con la cual la energía fluye o se consume a través de una superficie de

área unitaria y perpendicular al flujo representa la magnitud de una importante variable estudiada

en radiopropagación y que se conoce como:


a. Potencia

b. Corriente de Maxwell

c. Vector de Poynting

d. Intensidad


FUENTES DOCUMENTALES

BIBLIOGRAFÍA

Teoría Electromagnética (Campos y Ondas), Johnk, Editorial Limusa, 1997

Fundamentos de compatibilidad electromagnética, José Luis Sebastián, Addison and Wesley, 1999

Fundamentos de Teoría Electromagnética, Reitz, Milford, Christy, Addison and Wesley Iberoamericana, Cuarta edición, 1997

Classical Electromagnetic Theory, Nunzio Tralli, International Student Edition.

Electromagnetic Theory, Jefinenko, Reverte Edition.

Campos y Ondas, Marcelo Alonso y Edward Finn, Editorial Addison-Wesley.

Óptica, Francis W. Sears, Editorial Aguilar.

Introducción a los Sistemas de Comunicación, F.G. Stremler, Editorial Addison and Wesley.

Física (Tomo II); Serway Raymond A. y otros, Editorial Mc Graw Hill, 2001, México.

Redes de Ordenadores; Tanenbaum, Editorial Prentice Hall.

Mc Donald and Burns, Física para las ciencias de la vida y la salud.

Tipler Paul A., FÍSICA, Editorial Reverté, Tercera Edición, Tomo II, Madrid.

EDMINISTER J., Teoría y Problemas de Electromagnetismo, Mc Graw Hill, Bogotá,

DORF Richard, Circuitos Eléctricos. Introducción al Análisis y Diseño, Alfaomega, Segunda Edición, Bogotá,

Electromagnetics, Joseph A. Edminister, 2nd Edition, Schaum's Outlines Series – Mc GRAW-HILL

Halliday, Resnick, and Krane. Physics. Volumen 2.

R. P. Feynman. The Feynman Lectures on Physics. Volumen 2.

E. M. Purcell. Electricity and Magnetism.Pollack y Stump. Electromagnetism. Addison-Wesley 2002.

J. D. Jackson. Classical Electrodynamics. (3ª edición).

Sears F., Zemansky M. & Young H, Física

Alonso M & Finn E., Física

Sears F., Zemansky M. & Young H, Física

Módulo de “Campos Electromagnéticos” de la UNAD

Campos y Ondas, Marcelo Alonso y Edward Finn, Editorial Addison-Wesley.

Óptica, Francis W. Sears, Editorial Aguilar.

Introducción a los Sistemas de Comunicación, F.G. Stremler, Editorial Addison and Wesley.

Física (Tomo II); Serway Raymond A. y otros, Editorial Mc Graw Hill, 2001, México.

Redes de Ordenadores; Tanenbaum, Editorial Prentice Hall.

Mc Donald and Burns, Física para las ciencias de la vida y la salud.

Tipler Paul A., FÍSICA, Editorial Reverté, Tercera Edición, Tomo II, Madrid.

EDMINISTER J., Teoría y Problemas de Electromagnetismo, Mc Graw Hill, Bogotá,

Electromagnetics, Joseph A. Edminister, 2nd Edition, Schaum's Outlines Series – Mc GRAW-HILL

E. M. Purcell. Electricity and Magnetism.Pollack y Stump. Electromagnetism. Addison-Wesley 2002.


CIBERGRAFÍA

www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/default.htm

www.fisica.edu.uy

www.fisica.net/

Módulo de “Campos Electromagnéticos” : www.unadvirtual.org.co

www.electromagnetismo.4mg.com

CAMPO ELÉCTRICO http://www.solociencia.com/fisica/carga-electrica-como-define-campo-electrico.htm

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/electrico/cElectrico.html

http://personal.redestb.es/jorgecd/campo%20electrico.html

http://www.angelfire.com/empire/seigfrid/Lineasdecampoelectrico.html

http://www.alipso.com/monografias/2492_gauss/

http://www.educaplus.org/play-242-Fuerza-y-campo-el%C3%A9ctrico.html

http://espaciociencia.com/como-se-define-un-campo-electrico/

http://www.mitecnologico.com/Main/LeyDeCoulombYCampoElectrico

http://www.xuletas.es/ficha/campo-gravitatorio-y-electrico/

http://www.todoejercicios.com/resueltos/Fisica/Campo-Electrico

CAMPO MAGNÉTICO http://www.slideshare.net/phi89/campo-magnetico-solar-y-aurora-boreal2-450183

http://www.fisicanet.com.ar/fisica/f3_magnetismo.php

http://tamarisco.datsi.fi.upm.es/ASIGNATURAS/FFI/apuntes/camposMagneticos/te

oria/estacionarios/estacionarios2/estacionarios2.htm

http://www-istp.gsfc.nasa.gov/Education/Mmfield.html

http://www.edumedia-sciences.com/es/n76-campo-magnetico

http://www.enciclonet.com/documento/campo+magnetico/

http://www.molwick.com/es/astrofisica/155-campo-magnetico-tierra.html

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/default.htm

http://www.fisica.edu.uy/

http://www.fisica.net/

http://www.unadvirtual.org.co/

http://www.electromagnetismo.4mg.com/

http://www.solociencia.com/fisica/carga-electrica-como-define-campo-electrico.htm

http://personal.redestb.es/jorgecd/campo%20electrico.html

http://www.angelfire.com/empire/seigfrid/Lineasdecampoelectrico.html

http://www.alipso.com/monografias/2492_gauss/

http://www.educaplus.org/play-242-Fuerza-y-campo-el%C3%A9ctrico.html

http://www.todoejercicios.com/resueltos/Fisica/Campo-Electrico

http://www.slideshare.net/phi89/campo-magnetico-solar-y-aurora-boreal2-450183

http://www.fisicanet.com.ar/fisica/f3_magnetismo.php

http://tamarisco.datsi.fi.upm.es/ASIGNATURAS/FFI/apuntes/camposMagneticos/teoria/estacionarios/estacionarios2/estacionarios2.htm

http://tamarisco.datsi.fi.upm.es/ASIGNATURAS/FFI/apuntes/camposMagneticos/teoria/estacionarios/estacionarios2/estacionarios2.htm

http://www-istp.gsfc.nasa.gov/Education/Mmfield.html

http://www.edumedia-sciences.com/es/n76-campo-magnetico

http://www.enciclonet.com/documento/campo+magnetico/

http://www.molwick.com/es/astrofisica/155-campo-magnetico-tierra.html


http://www.windows.ucar.edu/tour/link=/physical_science/magnetism/magnetic_fiel

d.sp.html

http://www.yalosabes.net/origen-del-campo-magnetico-de-la-tierra.html

http://www.lawebdefisica.com/problemas/probMagnetoestatica.php

CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO http://www.alegsa.com.ar/Dic/campo%20electromagnetico.php

http://www.molwick.com/es/materia/145-fuerza-electromagnetica.html

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/campo/intro.htm

http://www.arturosoria.com/fisica/art/electro.asp

http://www.udistrital.edu.co/comunidad/profesores/pdeaza/html/campos2.html

http://www.contaminacionelectromagnetica.org/efectosbiologicos.htm

http://blogalarmas.com/%C2%BFque-son-los-campos-electromagneticos-feb/

http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/teoria/A_Franco/elecma

gnet/mov_campo/mov_campo.html

http://www.todoexpertos.com/categorias/ciencias-e-ingenieria/ingenieria-

electronica/respuestas/1385699/campo-electromagnetico-y-salud

http://www.retena.es/personales/lpastord/problemas/campo_electromagnetico.htm

ANTENAS http://www.definicionabc.com/comunicacion/antena.php

http://www.wordreference.com/definicion/antena

http://www.electronica2000.com/temas/antenas.htm

http://wni.com.mx/index.php?option=com_content&view=article&catid=31:general&i

d=62:antenassoporte

http://www.invenia.es/oepm:e99939797

http://proton.ucting.udg.mx/~tonycova/antenas.html

http://www.todoantenas.cl/tipos-de-antenas.html

http://platea.pntic.mec.es/~lmarti2/ant.htm

http://www.windows.ucar.edu/tour/link=/physical_science/magnetism/magnetic_field.sp.html

http://www.windows.ucar.edu/tour/link=/physical_science/magnetism/magnetic_field.sp.html

http://www.yalosabes.net/origen-del-campo-magnetico-de-la-tierra.html

http://www.lawebdefisica.com/problemas/probMagnetoestatica.php


AUTOR

Fuan Evangelista Gómez Rendón

Físico Puro, Universidad de Antioquia

Especialista en Ciencias Electrónicas e Informática, Universidad de Antioquia

Especialista en Diseño de Ambientes de aprendizaje (apoyado en las TIC`s), Universidad

Minuto de Dios

Maestría en Física, A.I.U (Atlantic International University), actualmente en el proceso.

Sitio Web: www.fuanevangelista.com

Electronic mail: [email protected]

Celular: 313 607 62 43

http://www.fuanevangelista.com/

mailto:[email protected]

campos electromagneticos noviembre 9

Documents