campos escalares
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Campos escalaresTRANSCRIPT
-
Campos Escalares
Definicin-Ejemplos-Curvas de Nivel
1
-
2CAMPOS ESCALARES
Campos Escalares
En el campo de la qumica y la fsica (como as
tambin en otras disciplinas) existen muchas
aplicaciones en las cuales interactan varias
variables. Por ejemplo:
el volumen ocupado por un gas confinado es
directamente proporcional a su temperatura e
inversamente proporcional a su presin: V=
KT/P.
Podemos decir entonces que:
El volumen del gas depende de 2 variables: T y P,
por lo tanto V=f(T,P)
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3Campos Escalares
La cantidad de energa calorfica (Q) que produce
una corriente elctrica de intensidad I que circula
durante un tiempo T a travs de una resistencia R
viene dada a travs de la Ley de Joule: Q=cI2RT, (c
es un constante)
Luego:
La cantidad de calor depende de 3 variables: I, Ry T. O sea: Q=f(I,R,T)
En las funciones de los ejemplos anteriores, elvalor de una variable depende del valor de variasvariables independientes.
-
4Campo escalar: funcin que transforma un
vector en un nmero real:
f: / f(x1,,xn)=z
Ej:
1. f(x1,x2)=x1+x2 R2->R
2. f(x1,x2, x3)= lnx1+sen(x2x3)
Campos Escalares
RRB n
RRB 3
Para simplificar trabajaremos con funciones
con dominio en R2 pero los resultados se
extienden a funciones de ms variables.
-
5Por lo tanto, usaremos la siguiente notacin:
f: / f(x,y)=z
Campos Escalares
RRB 2
Como estas funciones se aplican a vectores de
dos coordenadas, su dominio ser el plano o
un subconjunto de l.
Si f: / f(x,y)=z, entonces
Dom(f)={(x,y) R2 / un nico z tq z=f(x,y)}
RRB 2
Ejemplos:
1. el dominio es todo el plano
pues para cualquier par (x,y) existe x+y
f(x,y)=x+y
-
6Campos Escalares
f(x,y)= y/x En este caso el valor de y/x
no puede calcularse si x=0. Luego:
Dom(f)={(x,y) R2 / x0}
2 x
x
y
x
y
y
y
-
7Campos Escalares
4. f(x,y)= ln(y-x2) .En este caso el valor de f
se podr calcular cuando y-x2 >0. Luego:
Dom(f)={(x,y) R2 / y-x2 >0}={(x,y) R2 / y>x2 }
-10
-5
0
5
10
15
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Series1
-
8Campos Escalares
Qu tipo de grfico tendrn las funciones
escalares?
Debemos graficar las ternas (x,y,z) donde z=f(x,y);
por lo tanto necesitaremos 3 ejes: dos para el
dominio y uno para la imagen. Evidentemente no
podramos graficar una funcin de ms de dos
variables.
Mostraremos ejemplos de grficos de campos en
R2, pero obtenerlos no es sencillo.
-
9Campos Escalares
z=1-x-yz
x
y
z
El grfico de esta funcin es un plano, y en
general toda funcin de la forma
z=a(x-x0)+b(y-y0)+z0 representa a un
plano.
1
1
1
-
10Campos Escalares
z=x2+y2+1
El grfico de esta funcin es un paraboloide
-
11Campos Escalares
z=ln(x2+y2)
x
y
z
-
12Campos Escalares
z=x2-y2
x
y
z
-
13Campos Escalares
z=cos(xy)
x
y
z
-
14Campos Escalares
El grfico de un campo escalar es una
superficie
-
15Campos Escalares
Vemos que los grficos pueden muy
complejos de obtener. Un grfico til en
ciertas aplicaciones y menos complicado es el
de las Curvas de Nivel.
Consiste en graficar las proyecciones de la
superficie sobre distintos planos horizontales.
Definicin:
Dada z=f(x,y) se llama Curva de nivel k para
f(x,y) a Ck(f) ={(x,y) R2 / (x,y,k) graf(f)}
={(x,y) R2 / f(x,y)=k)}
-
16Campos Escalares
Por ejemplo, hallemos C1(f) para:
f(x,y)=x+y+1
1=x+y+1 -> y=-x
x
y
f(x,y)=x2+y2
1=x2+y2
x
y
1
1
-
17Campos Escalares
Considerando diferentes valores para k se
obtiene un grfico, a veces llamado mapa de
contornos, que muestra las curvas
resultantes de intersecar la superficie con
planos horizontales a distintos niveles
Para f(x,y)=x+y+1y
C-2C-1
C0
C1
C2
-
18Campos Escalares
Para z=x2+y2
x
y
-
19Campos Escalares
Veamos la grfica de z=x2+y2 junto con las
curvas interseccin con los planos
horizontales
xy
-
20Campos Escalares
Isotermas: supongamos que se tiene una
placa metlica plana y que la temperatura
en cada punto est dada por una funcin
T=f(x,y); entonces las curvas de nivel k van
mostrando las curvas sobre la placa en que la
temperatura es constante e igual a k.
Una aplicacin de las curvas de nivel:
-
Campos Escalares
Derivada Direccional y parcial- Definicin
-
22Campos Escalares
Para las funciones cuyo dominio pertenece a
R, incrementar el punto significa mirar
hacia la derecha o la izquierda del mismo:
DERIVADA DE UN CAMPO ESCALAR
x0x0+h x0+h
El concepto de derivada es el mismo para
cualquier tipo de funcin pero Qu significa
un incremento de un punto del dominio en
R2?
*
-
23Campos Escalares
Grafiquemos en R2 y veamos cmo podemos
escribir entonces al punto incrementado
Para incrementar el punto en R2 tenemos infinitas direcciones en las cuales podemos movernos: por todas las rectas que pasan por dicho punto.
P0
x0y0
-
24Campos Escalares
Analicemos el conjunto de puntos incluidosen el siguiente conjunto:L={(x,y) R2 / (x,y)=k +(x0,y0), k R }
Consideremos un vector de mdulo 1 (versor)que sea paralelo a la recta en la cual estaracontenido el punto incrementado.
P0
x0y0x0
y0
x0
y0
U
U
-
25Campos Escalares
Definicin:
Dada f, un campo escalar en R2, y P0 un punto
de su dominio. Se define la derivada
direccional de f segn la direccin del versor
U=u1I+u2J, como:
t
)y,x(f)uty;utx(flim
t
)P(f)UtP(flim)P(fD
002010
0t
00
0t0U
-
26Campos Escalares
Clase 1
Ejemplo:Hallar la derivada direccional de f(x,y)=5x2+yen el punto (1,2) segn la direccin del versor
J5
3I
5
4
Siempre se debe verificar que el vector dadosea un versor, o sea que tenga mdulo 1, sinodebe elegirse el versor correspondiente
-
27Campos Escalares
5
43t
5
16
5
43lim
t
tt5
16
5
43
limt
t5
16t
5
43
lim
t
7t5
32)t
25
16t
5
81(5
lim
t
7)5
3t2()
5
4t1(5
lim
t
)2;1(f)5
3t2;
5
4t1(f
lim
t
)y,x(f)uty;utx(flim)P(fD
0t
0t
2
0t
2
0t
2
0t
0t
002010
0t0U
-
28Campos Escalares
Interpretacin geomtrica de la Derivada Direccional
Sea S la grfica de la funcin y el versor en la
direccin en que se busca la derivada. Levantemos un
plano vertical que contenga a la recta en direccin
que pasa por P0. Este plano corta a la superficie S en
una curva C. La derivada direccional representa la
pendiente de la recta tangente a dicha curva C, en el
punto (x0,y0,z0).
U
P0
C
U
z=f(x,y)
-
29Campos Escalares
Calculemos la derivada en la direccin de los
versores fundamentales:
t
)y,x(f)y;tx(flim
t
)y,x(f)0ty;1tx(flim
t
)P(f)ItP(flim)P(fD
0000
0t
0000
0t
00
0t0U
Segn el versor J:
t
)y,x(f)ty;x(flim
t
)y,x(f)1ty;0tx(flim
t
)P(f)JtP(flim)P(fD
0000
0t
0000
0t
00
0t0U
Segn el versor I:
-
30Campos Escalares
Observemos que al escribir la expresin de la
derivada en la direccin de I, en el cociente
incremental slo queda incrementada la variable x;
mientras que al utilizar el vector J slo resulta
incrementada la variable y. Estas derivadas,
que consideran la funcin incrementando slo una
de las variables se las llama derivadas parciales de
la funcin en el punto P0.
Dxf(P0) = =fx(P0)
x
)P(f 0
Dyf(P0) = =fy(P0)y
)P(f 0
-
31Campos Escalares
Grficamente la derivada respecto de x representa
la pendiente de la recta tangente en (x0;y0;z0) a la
curva interseccin de la superficie con el plano
vertical paralelo al plano x0z y que pasa por el punto
(x0;y0;0). Anlogamente, para la derivada respecto
de y
-
32Campos Escalares
Ejemplos
y8x)y,x(f 2 1. en el punto (1,2)
t
)2,1(f)2,t1(flim)2;1(
x
f
0t
t
1716t1lim)2;1(
x
f 2
0t
t
1tt21lim
x
f 2
0t
2
t
t2tlim
t
tt2lim
x
f
0t
2
0t
-
33Campos Escalares
t
)2;1(f)t2;1(flim
y
f
0t
t
17t281lim
y
f
0t
8t
t8lim
t
17t8161lim
0t0t
-
34Campos Escalares
Hallar por definicin las funciones derivadasparciales respecto a x e y:
t
)y,x(f)y,tx(flim)y,x(
x
f
0t
t
y8xy8txlim)y;x(
x
f 22
0t
t
y8xy8ttx2xlim)y;x(
x
f 222
0t
x2tx2limt
ttx2lim)y;x(
x
f
0t
2
0t
-
35Campos Escalares
Ejercicio:demostrar a partir de la definicin de
derivada parcial que
Ejemplos de derivada parcial utilizando las reglas:
)y;x(8)y;x(y
f
seny8x)y,x(f 2
x2x
f
ycos8y
f
-
36Campos Escalares
senyx)y,x(f 2
senyx2x
f
ycosxy
f2
)xy(sen)y,x(f 2
22 yxycosx
f
xy2xycosy
f2
-
37Campos Escalares
)yxln()yx(tg)y,x(f 4537
445
37
45232
36
x5yx
1)yx(tg
)yxln(yx3)yx(cos
1)yx(tg7)y;x(
x
f
3y44y5x
1)y3x(7tg
)4y5xln(3x)y3x(2cos
1)y3x(6tg7)y;x(
y
f
-
38Campos Escalares
Derivadas de orden superior de un campo escalar
As como para una funcin escalar podamos
derivar a la derivada primera y obtener la derivada
segunda y as sucesivamente para las derivadas de
orden 3, 4 etc; tambin para un campo escalar
podemos derivar a las derivadas parciales de
orden 1 y obtener derivadas de orden superior,
slo que la cantidad de derivadas de cada orden
va a ir aumentando ya que a cada derivada la
podemos derivar respecto a x y respecto a y.
-
39Campos Escalares
Derivadas Derivadas Derivadas
de 1 orden de 2 orden de 3 orden
f '''xxx . . . . . .
f ''xxf '''xxy . . . . . .
f 'xf '''xyx . . . . . .
f ''xyf '''xyy . . . . . .
f(x;y)
f '''yxx . . . . . .
f ''yxf '''yxy . . . . . .
f 'yf '''yyx . . . . . .
f ''yyf '''yyy . . . . . .
-
40Campos Escalares
2
2
xxx
f''f
xy
f''f
2
xy
yx
f''f
2
yx
2
2
yyy
f''f
Notacin:
)yx(ey)xycos(x
f
)1(ex)xycos(y
f )yx(
)yx(22
2ey)xy(sen
x
f
)yx(22
2ex)xy(sen
y
f
Ejemplo:
f(x;y)= sen(xy)+e(x-y)
-
41Campos Escalares
)1(e1)xycos(yx)xy(senxy
f )yx(2
)1(e1)xycos(yx)xy(senyx
f )yx(2
yx
f
xy
f 22
Observemos que para esta funcin
Ser casualidad??
-
42Campos Escalares
Teorema de Schwartz
Si f: es un campo escalar tal que sus
derivadas segundas existen y son continuas en un
U A , entonces
RRA 2
Uy)(x; )y;x(yx
f)y;x(
xy
f 22
(Sin demostracin)
-
Campos Escalares
Regla de la Cadena-Frmula de clculo
Derivada Direccional
-
44Campos Escalares
Clase 3
REGLA DE LA CADENA
Supongamos que f(u,v) es una funcin diferenciable
y que a su vez, u y v tambin son campos escalares
continuos, llammoslos: u=g(x,y) y v=h(x,y).
f depende de x e y a travs de la expresin:f(g(x,y),h(x,y)).
Ejemplo:f(u,v)=u2v , siendo u=x3+y2, v=ln(x+3y)
f(x,y)=(x3+y2)2 ln(x+3y)
-
45Campos Escalares
Clase 3
Podramos entonces hallar las derivadas parciales de
f respecto de x e y y el diferencial de f dependiendo
de x e y (diferencial total de f).
Queremos hallar una frmula general para dichas
derivadas y dicho diferencial:
Aceptaremos sin demostrar que:
x
v
v
f
x
u
u
f
x
f
y
v
v
f
y
u
u
f
y
f
;
-
46Campos Escalares
Clase 3
Para el ejemplo dado:
f(u,v)=u2v , siendo u=x3+y2, v=ln(x+3y)
Verifiquemos que en efecto las derivadas coinciden
si derivamos la composicin:
[(x3+y2)2 ln(x+3y)]x=2(x3+y2)3x2 ln(x+3y)+ (x3+y2)2
1/(x+3y)
Ejercicio: hallar la derivada respecto de y.
Verificarla.
y3x
1)yx(x)y3xln()yx(61
y3x
1ux3uv2
x
f 22322322
-
47Campos Escalares
Clase 3
Caso particular: u y v son funciones de una
sola variable.
f=f(u,v) y u=u(t); v=v(t)
Luego, f=f(t) y por lo tanto buscamosf(t)=df/dt. Como caso particular de la reglade la cadena, podemos escribir:
)t('vv
f)t('u
u
f
dt
df
Ejemplo: f(u,v)=v2lnu ; u=t3+4 ; v=sent
-
48Campos Escalares
Clase 3
Utilizando la regla de la cadena podemos escribir el
diferencial de f en funcin de los diferenciales de
las variables independientes de la siguiente forma:
Para el caso f(u,v) con u=g(x,y) y v=h(x,y):
Para el caso f=f(u,v) y u=u(t); v=v(t):
dyy
v
v
f
y
u
u
fdx
x
v
v
f
x
u
u
fdf
dt)t('vv
f)t('u
u
fdf
Es comn en las aplicaciones fsicas utilizar lasiguiente notacin:
-
49Campos Escalares
Clase 3
Esquema de rbol para aplicar la regla de lacadena:
dyy
v
v
f
y
u
u
fdx
x
v
v
f
x
u
u
fdf
xuxvyuyv
xu
yf
xv
y
Para hallar una derivada parcial basta conconsiderar las ramas que terminan en la variabley luego sumar los productos que se obtienen de irderivando dentro de cada rama.
-
50Campos Escalares
Clase 3
un caso ms complejo:
f=f(u,v) ; u=u(x,t) ; v=v(u,t)
xu
tf x
uv t
t
ttutvt x
u
u
v
v
f
x
u
u
f
x
f
uuxtuxvx t
v
v
f
t
u
u
v
v
f
t
u
u
f
t
f
-
51Campos Escalares
Clase 3
Gradiente de un campo escalar:
Dada f: llamamos gradiente de f y lo
anotamos grad(f) o bien , al campo vectorial
que en cada componente contiene las derivadas
parciales de f; o sea:
grad(f)(x,y)=
FRMULA DE CLCULO PARA LA DERIVADA
DIRECCIONAL
RRA 2
f
J)y,x(y
fI)y,x(
x
f)y,x(f
Definicin:
-
52Campos Escalares
Clase 3
Sea f diferenciable en P0=(x0,y0), y U=(u1,u2) un
versor. Entonces la derivada de f en P0 segn la
direccin de U puede calcularse como:
2u)0y,0x(yf
1u)0y,0x(x
fU0y,0xf)0P(fU
D
Dem:Por definicin de derivada direccional sabemos que:
t
)y,x(f)uty;utx(flim)P(fD 002010
0t0U
-
53Campos Escalares
Clase 3
Definimos la funcin g(t)= f(x, y) dondex=x0+t u1 ; y= y0+t u2
Entonces,
g(t)=f(x0+t u1 ; y0+t u2) y g(0)=f(x0,y0)
Luego, por definicin de derivada para una funcinde una variable:
)P(fDt
)y,x(f)uty;utx(flim
t
)0(g)t(glim)0('g 0U
002010
0t0t
2201012010
20102010
utuy;tuxy
futuy;tux
x
f
)t('y)tuy;tux(y
f)t('x)tuy;tux(
x
f)t('g
Pero por regla de la cadena:(1)
-
54Campos Escalares
Clase 3
(2)
De (1) y (2) resulta
200100 uy;xy
fuy;x
x
f)0('g
Uy,xfu)y,x(y
fu)y,x(
x
f)P(fD 002001000U
Ejemplo: hallar utilizando la frmula de clculo la
derivada direccional de f(x,y)=5x2+y en elpunto (1,2) segn la direccin del versor
J2
1I
2
3
-
55Campos Escalares
Clase 3
Como la frmula de clculo que se deriv para laderivada direccional involucra un productoescalar, podemos escribir otra expresin paraella:
Derivada direccional mxima y mnima
cosUy,xf)P(fD 000U
siendo el ngulo que forman el gradiente y elversor.
Como U es un versor, su mdulo vale 1 y por lotanto:
cosy,xf)P(fD 000U
-
56Campos Escalares
Clase 3
y el valor de esa derivada mxima resulta ser
La derivada direccional en un punto P0 es
mxima cuando el versor tiene la misma
direccin y sentido que ; por lo tanto
)P(fD 0U
1cos
)y,x(f o0
)y,x(f
)y,x(fU
00
00
)y,x(f o0
Si consideramos todas las direcciones en que
podemos incrementar el punto P0, aquella en la
cual ser mxima es aquella para la cual
Luego:
-
57Campos Escalares
Clase 3
La direccin en la cual ser mnima es
aquella para la cual . Luego:
La derivada direccional en un punto P0 es
mnima cuando el versor tiene la misma
direccin pero sentido opuesto que ;
por lo tanto
)P(fD 0U
1cos
)y,x(f o0
)y,x(f
)y,x(fU
00
00
)y,x(f o0
y el valor de esa derivada mnima resulta ser
-
58Campos Escalares
Clase 3
Suponga que la temperatura en un punto (x,y,z)
en el espacio est dada por
donde T est medida en grados centgrados y
x,y,z estn en metros. En qu direccin
aumenta ms rpido la temperatura respecto
al punto(1, 1, -2)? Cul es la mxima tasa de
incremento?
222 z3y2x1
80)z,y,x(T
-
59Campos Escalares
Clase 3
Considere la placa rectngular que se muestra
en la figura siguiente. La temperatura en un
punto de la placa est dada por
22 yx25)y,x(T
Determine la direccin en la que se
debe mover un insecto que est en el punto
(4,2) , para que se enfre lo ms rpido posible.
-
Campos Escalares
Diferencial y Plano Tangente
-
61
Funcin diferenciable-Plano tangente
Para una funcin escalar se defini como derivable
a aquella que tiene recta tangente no vertical en
todos sus puntos.
De una funcin de dos variables diremos que es
diferenciable si su imagen est dada por una
superficie suave, que admita plano tangente encada punto.
Funcin diferenciable
Funcin no diferenciable en
los puntos del doblez
-
62
Plano tangente a un campo escalar en un punto
Sea f: un campo con derivadas parciales
primeras continuas y cuya grfica viene dada por la
superficie S.
RRA 2
Sea P0=(x0,y0,z0),un punto de S. Llamemos C1 a la
curva interseccin de S con el plano vertical, paralelo al
plano y0z que pasa por x0y C2 a la curva interseccin de
S con el plano vertical, paralelo al plano x0z que pasa
por y0.El plano tangente a la superficie S en P0 es aqul que
contiene a las rectas tangentes a ambas curvas en el
P0.
-
63
xy
z
xy
z
-
64
La ecuacin de un plano viene dada por:
z-z0= (x- x0)+ (y-y0)
Considerando que las derivadas parciales son las
pendientes de las rectas tangentes a las curvas
interseccin con el plano, se puede demostrar
que
)y;x(y
f00
)y;x(
x
f00
y
Por lo tanto:
z-z0= (x- x0)+ (y-y0))y;x(x
f00
)y;x(
y
f00
-
65
como el punto P0 pertenece a la superficie,
z0=f(x0;y0), el plano tangente se obtiene como:
z- f(x0;y0)= (x- x0)+ (y-y0))y;x(x
f00
)y;x(
y
f00
-
66
Ejemplo:
Hallar la ecuacin del plano tangente a la superficieimagen de f(x;y)=2x3-y2 en el punto P(1,2,-2).
6)2;1(x
fx6)y;x(
x
f 2
4)2;1(y
fY2)y;x(
y
f
2)2;1(f
Ecuacin del plano:
z+2= 6 (x- 1)-4 (y-2)
z=6x-6-4y+8-2
z=6x-4y
-
67
Campo escalar diferenciable
Extenderemos a campos escalares los conceptos
de incremento de funcin y diferencial, teniendo
en cuenta que incrementar un punto significa
incrementar dos variables.
Definicin 1:
Sea f una funcin de dos variables x e y; se
llama incremento de f en el punto (x0;y0) a:
f(x0;y0;x;y)=f(x0+x; y0+y)-f(x0;y0).
-
68
Definicin 2:
f: se dice diferenciable en (x0;y0) A
si existen y si el incremento
de f puede escribirse como:
donde son funciones de que
tienden a 0 cuando
RRA 2
)y;x(y
fy)y;x(
x
f0000
yxyy
)y,x(fx
x
)y,x(f)y,x,y,x(f 21
0000
00
21 y yyx
)0,0(y,x
(1)
-
69
De la igualdad (1) de la definicin 2 :
yxyy
)y,x(fx
x
)y,x(f)y,x(f)yy,xx(f 21
00000000
Si llamamos:
resulta
y podemos reescribir a (1) como:
yyy,xxx 00
00 yyy,xxx
)yy()xx()yy(y
)y,x(f)xx(
x
)y,x(f)y,x(f)y,x(f 02010
000
0000
-
70
Como: equivale a )0,0(y,x )y,x(y,x 00
entonces, que tiendan a 0 equivale a que
el valor de la funcin en el punto incrementado
es prximo al valor del plano tangente en el
punto.
21 y
-
71
Llamamos diferencial de f en (x0,y0) a:
Como x=dx y y=dy ; por (1) podemos decir que,
f(x0,y0,dx,dy)= df(x0,y0,dx,dy)+ dx+ dy
y por lo tanto, para (x,y)cercano a (x0,y0) podemos
aproximar el incremento de f como:
f(x0,y0,dx,dy) df(x0,y0,dx,dy)
dyy
)y,x(fdx
x
)y,x(f)y,x(df 000000
21
-
72
O bien:
f(x,y)f(x0,y0)+ df(x0,y0,dx,dy)
f(x0+x,y0+y)f(x0,y0)+ df(x0,y0,x,y)
-
73
Ejemplo:
Hallar, utilizando diferenciales, una valor
aproximado para ln1,2+e0.1
Consideramos entonces: f(x,y)=lnx+ey x0=1;
y0=0; x=0.2 ; y=0.1
Luego: f(x0+x,y0+y)f(x0,y0)+df(x0,y0,x,y)
Debemos pensar a ln1,2+e0.1 como
f(x0+x,y0+y) para alguna f y algn x0,y0,x,y
adecuado.
-
74
f(x0,y0)= ln1+e0 =1
El siguiente teorema nos provee de una condicin
suficiente que nos permite asegurar la
diferenciabilidad de una amplia variedad de
funciones, sin utilizar la definicin:
fx=1/x -> fx(1;0)=1
fy=ey -> fy(1;0)=1
Luego: ln1,2+e0.1 1 + (1. 0.2 + 1. 0.1)
-> ln1,2+e0.1 1.3
-
75
Teorema:
Si f: tiene sus derivadas parciales
continuas en los puntos cercanos a P0(x0,y0)
entonces f es diferenciable en P0.
(sin demostrar)
RRA 2
Otro teorema importante:
RRA 2
Teorema:
Si f: es diferenciable en P0(x0,y0)
entonces f es continua en P0.
-
76
Dem:
Si f es diferenciable en (x0,y0) entonces
)y,x(f)y,x(flim 00)y,x()y,x( 00 Debemos demostrar que
yxyy
)y,x(fx
x
)y,x(f)y,x,y,x(f 21
000000
equivalentemente :
yxyy
)y,x(fx
x
)y,x(f)y,x(f)yy,xx(f 21
00000000
)y,x(f)yy,xx(flim 0000)0,0()y,x(
)0,0(y,x Debido a que, cuando :
Luego:
2) 3) 4) 5)
(*)
-
77
21 y
)0,0(y,x )y,x(y,x 00
)y,x(f)y,x(flim 00)y,x()y,x( 00
Si llamamos x=x0+x e y= y0+y :
es equivalente a : . Luego en :
y
)y,x(f
x
)y,x(f 0000
y
y ni x
son constantes porque no
dependen de . Al estar multiplicados por
dichos incrementos que tienden a 0, tienden a 0 los
trminos 2) y 3).
Por definicin de funcin diferenciable,
tienden a 0 cuando tienden a 0. Luego,los trminos 3) y 4) tienden a 0
y y x
(*)
-
78
Este teorema nos indica que la caracterstica de
ser diferenciable es ms fuerte que la de
continuidad en el sentido que si una funcin es
diferenciable entonces es continua, mientras que
el recproco no es cierto (o sea que una funcin
puede ser continua pero no diferenciable)
-
79
y=2x+3 ; y=ln(x+3); y=x3 - sen(x)
FUNCIN IMPLCITA
Todas las funciones en las que se expresa el valor
de y a partir de una expresin de x tales como:
Se dicen que estn en forma implcita dado que
se est indicando explcitamente el valor de y a
partir del valor de la variable x.
-
80
y-2x-3=0 ; y-ln(x+3)=0; y-x3 + sen(x)=0
Sin embargo, en las mismas expresiones podemos
reunir en un mismo miembro ambas variables, y
en ese caso la funcin se dice en forma
implcita:
El nombre proviene del hecho de que existe una
funcin de y dependiente de x pero no se est
mostrando explcitamente como en la forma
anterior.
-
81
En muchos casos las funciones vienen dada en
forma implcita y no es posible pasar a la forma
explcita:
ey-ex+xy=0 ; x2y+y3-1=0
Cmo se puede obtener la derivada de y(x) cuando viene dada en forma implcita?
-
82
1. Podemos aplicar las reglas de clculo de
derivadas, recordando que y no es una variable
independiente sino una funcin de x
2xy+x2y+3y2y=0
2xy+y(x2+3y2)=0 y=-2xy/(x2+3y2)
Podemos hacerlo de dos formas:
ey y-ex+y+xy=0
y (ey+x)-ex+y=0 y= (ex-y)/(ey+x)
-
83
2. Podemos aplicar el TEOREMA DE LA
DERIVADA DE LA FUNCIN IMPLCITA
Sea y=y(x) una funcin continua definida
implcitamente por la ecuacin F(x,y)=0. Si en el
punto (x0,y0) F tiene derivadas parciales continuas en
un entorno de (x0,y0) y se verifica que Fy(x0,y0)0 ,
entonces:
)0
y,0
x(yF
)0
y,0
x(xF
)x(y
-
84
Volviendo a los dos ejemplos anteriores, podemos calcular la derivada usando el teorema:
Si llamamos F(x,y)=ey -ex+xy
Entonces F(x,y)=0 define implcitamente a y=y(x)
Luego, segn el teorema:
xe
ye
xe
ye
)y,x(F
)y,x(F)x(y
y
x
y
x
y
x
Que coincide con la hallada con el primer mtodo
-
85
Para el segundo ejemplo:
F(x,y)=x2y+y3-1
22y
x
y3x
xy2
)y,x(F
)y,x(F)x(y
Que tambin coincide con la hallada anteriormente
-
86
POLINOMIO DE TAYLOR PARA UN CAMPO
ESCALAR
De manera anloga que para funciones escalares, se
puede definir un polinomio de orden n para un campo
escalar que aproxime los valores de dicho campo para
valores de (x,y) cercanos a un punto (x0,y0). Tambin
lo llamaremos Polinomio de Taylor y se verificar que:
f(x,y) Pn(x,y)+Tn+1
siendo Tn+1 el trmino complementario o error, que
tiende a 0 cuando (x,y) se aproxima a (x0,y0) o
cuando n tiene a infinito.
-
87
Veremos la frmula del polinomio de orden 1 y el de
orden 2.
)0yy()0y,0x(yf)0xx()0y,0x(xf)y,x(f)y,x(P 001
)0yy()0y,0x(yf)0xx()0y,0x(xf)y,x(f)y,x(P 002
2)0yy()0y,0x(yyf
)yy)(0xx()0y,0x(xyf2)0xx()0y,0x(xxf21
02
Ejemplo: Aproximar el valor de 2,1sen(0,1)
utilizando un polinomio de Taylor de orden 2.