Campos Magnéticos Produzidos por Correntes

Universidade Estadual do PiauíCampus Parnaíba

Professor : Olímpio SáCurso de Física 2 para Ciências da

Computação1o semestre, 2014

Lei de Biot - Savart

AmT1026,1

AmT104 67

0

o campo magnético produzido por cargas em movimento (correntes) é:

De maneira análoga à que o campo elétrico produzido por cargas é:

rrdqr

rdqEd

30

20 4

1ˆ4

1

onde é um elemento de comprimento sobre a linha de corrente, é um vetor que vai de até o ponto P e

ld

lId

34 rrlidBd o

r

é a permeabilidade do vácuo.

Ed

Bd

Campo num ponto P qualquer

C r

rlidB 20 ˆ

4

x

z

lid

P

r

Bd

y

C

(Lei de Biot-Savart)

34 rrlidBd o

Linhas de Campo Magnético As linhas de campo magnético são linhas a partir das quais pode-se visualizar a configuração do campo magnético de uma dada distribuição de correntes no espaço. No entorno de um fio longo transportando uma corrente, elas são da forma:

Observe que as linhas de são fechadas. B

Campo magnético de um fio retilíneo longo com corrente i

2

sin4 r

dsidB o

222 sRr

Integrando-se em tem-se:

dRRiB 22

2

0

0

sin/sin/sin

4

dRdssR

2sintan

RiB

40

(fio semi-infinito)

Ri

20

A lei de Biot-Savart 34 rrlIdBd o

Mas:

se reduz a:

Sentido do campo : dado pela regra da mão direita (ver figura)

B

B

B

devido a uma corrente em um arco circular

• campo magnético no ponto C• para os segmentos 1 e 2 da figura (a) é nulo (vetores

paralelos e anti-paralelos)• no segmento 3 são perpendiculares entre si.

RiB

40

rsd

rsd e

B

onde é o ângulo subentendidopelo arco.

,

Neste caso:

Exemplo

• Intensidade de cada campo:

• Módulo de

• A fase

• faz um ângulo com o eixo x dado por :

2,1,45cos2 0

0 nd

iB nn

μT190T1089,145cos2

422

210

0 iid

B

1,25

A32A15arctanarctan

2

1

BB

7045

Dois fios transportam correntes i1 e i2 em sentidos contrários. Obter a intensidade, direção e sentido de em P. Adote i1 =15A, i2 =32A e d=5,3cm.

B

B

B

Força entre dois condutores com correntes

abbba BldiFd

A corrente do fio a gera um campo na posição do fio b:

O fio a produz no fio b uma força dada por:

)(4 30

a

a

bb

ab

b rrldldiiFdF

baba

Para dois fios paralelos, a força sobre um comprimento L do fio b vale:

abba BLiF

oab

ba BiL

F 90sindii ab

2

0

Esta expressão possibilita a definição do ampère.

diB a

a 2

0

a

aaa r

rldiB 20 ˆ

4

Canhão sobre trilhos

• Força magnética como acelerador de projéteis

Corrente percorre os trilhos condutores ligados por um fusível condutor que se funde ao se estabelecer corrente criando um gás condutor.

O gás conduzindo corrente, sob influência do campo B produzido pelos trilhos, sofre uma força que empurra o projétil.

Circuitação de um campo vetorial

• Cada linha de é uma curva fechada.• A determinação de pode ser feita em termos da sua

circuitação.

cosdlrd

ididrridBrBdl

C

000

22cos

rIB

2

0Intensidade de :

CC

BdlldB cosi

d

B

B

BB

rld

A lei de Ampère

A lei de Ampère é geral, mas a sua utilidade no cálculo docampo magnético devido a uma distribuição de correntesdepende da simetria do problema.

envoC

ildB

)(cos 21021 iiBdliiiC

env

Da figura ao lado tem-se:

Então:

21 iildB oC

(lei de Ampère)

Campo magnético fora de um fio retilíneo longo com corrente

0011

cos iBdlldB

1cos0

possui simetria cilíndrica em torno do fio e a mesma intensidade em todos os pontos a uma distância r do mesmo.

é paralelo a

)2(cos11

rBdlBBdl

rIB2

00Da lei de Ampère: (fora do fio)

B

ld

B

Curva 1 ( r>R ):

Campo magnético no interior de um fio longo de raio R

Curva 2 (

)2(cos22

rBdlBBdl

A corrente envolvida pela curva 2 (de raio r) é:

2

2

0 RrIienv

2

2

000)2(RrIirB env

(dentro do fio)

O sentido de é dado pela regra da mão direita.

Rr

rRIB 2

00

2

B

:)

Gráfico da intensidade de de um fio retilíneo longo com corrente

• Para

• Para

Rr

Rr

rRiB 2

0

2

riB

20

B

:

:

Solenóides e Toróides

• Um fio longo enrolado formando uma bobina em espiral é chamado de solenóide.

• O campo magnético do solenóide é a soma vetorial dos campos produzidos por cada uma das voltas do fio que o forma.

Solenóide compacto Solenóide esticado

Solenóides e Toróides O campo no interior de um solenóide é praticamente uniforme. As figuras abaixo mostram um solenóide ideal e um solenóide real. Em ambos os casos os campos fora do solenóide são fracos, em comparação com os do interior.

Aplicando-se a lei de Ampère à curva abcd, havendo N voltas num comprimento h do solenóide:

env

b

a

c

b

d

c

a

dC

ildBldBldBldBldB 0

)(0 nhiienv

00inB

;

hNn

Campo de um toróide

NIldBC

0

)2( rBldBC

)toróide(2

0

riN

B

A figura mostra o enrolamento de um toróide de N voltas, transportando uma corrente I. é diferente de zero apenas no interior do toróide. Sua intensidade varia com r.

Aplicando-se a lei de Ampère para a curva tracejada em azul, tem-se:

B

nr

N

2Note que como , esta expressão é parecida à do campo de

um “solenóide enrolado”.

Bd BdBdzBd

||)(

cos)( || dBdBzB

)90(sin4

02

0

rdsidB

22222 cose

zRR

rRzRr

Substituindo essas três relações na integral de B(z) tem-se:

espira

dszR

iRdBzB 2/3220

|| )(4)(

2/322

20

)(2)(

zRiRzB

Campo magnético de uma bobina

Como a soma vetorial dos se anula:

O campo de uma bobina não tem simetria suficiente para ser calculado pela lei de Ampère. Usaremos a lei de Biot-Savart para calcular em pontos do eixo central da espira.B

Temos:

Campo magnético de uma bobina

2/322

20

)(2)(

zRiR

zB

30

2)(

zNiAzB

3

20

2)(

zRizB

30

2)(

zzB

Para pontos afastados ( ): Rz

(A bobina se comporta como um ímã)

Lembrando que é a área da espira e é o seu momento magnético:

AR 2 niA ˆ

Vimos: