canarias · 2019. 7. 7. · canarias uebas pr u eba fÍsica a) la elo vcidad de escap e del planeta...

PRUEBAS EBAU FÍSICA

Juan P. Campillo Ni olás

22 de septiembre de 2020

1

CANARIAS PRUEBAS EBAU FÍSICA

1. Gravita ión.

1. Un satélite de 900 kg des ribe una órbita ir ular de radio 3RTierra. a) Cal ula la a elera ión del

satélite en su órbita. b) Dedu e y al ula la velo idad orbital para di ho satélite. ) Cal ula la energía

del satélite en su órbita . Datos: G = 6.67·10−11N·m2

kg

−2; MTierra=5.97·1024 kg; RTierra = 6370 km.

Respuesta:

a) La a elera ión del satélite en su órbita es:

g =GM

r2=

6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024(3 · 6, 37 · 106)2 = 1, 09m · s−2

b) Apli ando el Segundo Prin ipio de la Dinámi a, tendremos:

GMm

r2=

mv2

r→ v =

√

GM

r=

√

6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 10243 · 6, 37 · 106 = 4564, 8m · s−1

) La energía del satélite es la siguiente:

E = −GMm

2r= −6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024 · 900

2 · 3 · 6, 37 · 106 = 9, 38 · 109

J

2. Un pequeño satélite arti ial de 1000 kg de masa, destinado a la dete ión de in endios, des ribe una

órbita ir ular alrededor de la Tierra ada 90 minutos. Cal ule: a) La altura sobre la super ie de la

Tierra a la que se en uentra el satélite. b) La velo idad y la a elera ión del satélite en su órbita. ) La

energía que se ne esita suministrar al satélite, para posi ionarlo en una nueva órbita ir ular, situada

400 km sobre la super ie de la Tierra. Datos: G = 6.67Ö10

−11N m

2kg

−2; RT = 6370 km; MT =

5.98·1024 kg.

Respuesta:

a) A partir de la expresión del periodo de la órbita:

t =

√

4π2r3

GM

Podemos dedu ir el radio de aquella.

r =3

√

GMT 2

4π2=

3

√

6,67·10−11 · 5,98 · 1024(90 · 60)24π2

= 6, 65 · 106m

La altura respe to a la super ie terrestre será, pues:

h = r − rT = 6, 65 · 106 − 6, 37 · 106 = 280000m

b) La velo idad del satélite es:

v =

√

GM

r=

√

6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 10246, 65 · 106 = 7738m · s−1

La a elera ión es:

g =GM

r2=

6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024(6, 65 · 106)2 = 9m · s−2

2


) La energía en la órbita ini ial es:

E1 = −GMm

2r= −6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024 · 1000

2 · 6, 65 · 106 = −3 · 1010

J

La energía en la nueva órbita es:

E2 = −GMm

2r= −6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024 · 1000

2 · 6, 77 · 106 = −2, 94 · 1010

J

La energía ne esaria será:

∆E = E2 − E1 = −2, 94 · 1010 − (−3 · 1010

) =6 · 108 J

3. Considere dos ele trones separados una distan ia arbitraria r y determine el o iente entre los módulos

de la fuerza gravitatoria y de la fuerza ele trostáti a que se ejer en mutuamente ambos ele trones.

Datos: G = 6.67Ö10

−11N m

2kg

−2; K = 9Ö10

9N·m

2·C

−2qe = -1.6Ö10

−19C, me= 9.11Ö10

−31kg

Respuesta:

Los respe tivos módulos de las fuerzas gravitatoria y ele trostáti a entre ambos ele trones serán:

Fg =6, 67 · 10−11(9, 11 · 10−31)2

r2Fe =

9 · 109(1, 6 · 10−19)2

r2

El o iente será:

Fm

Fe

=6, 67 · 10−11(9, 11 · 10−31)2

9 · 109(1, 6 · 10−19)2= 2, 4 · 10−43

4. Un pequeño satélite de masa 100 kg des ribe una órbita ir ular de radio 24000 km en torno a la

Tierra. Determine el módulo de la fuerza gravitatoria que sufre el satélite debido a la intera ión on la

Tierra y on la Luna uando se en uentran los tres uerpos alineados en la forma Luna-satélite-Tierra.

La distan ia Tierra-Luna es de 384400 km. Datos: G = 6.67·10

11N m

2kg

2; MTierra= 5,98·10

24kg;

MLuna=7.35·1022

kg.

Respuesta:

Cuando los tres uerpos se en uentran alineados, el satélite se en ontrará a una distan ia de 24000

km respe to al entro de la Tierra, y 384400 - 24000 = 360400 km del entro de la Luna. En estas

ondi iones, el módulo de la fuerza gravitatoria sobre el satélite debida a la Tierra y la Luna será:

F =6,67·1011 · 5, 98·1024 · 100

(2, 4 · 107)2 − 6,67·1011 · 7, 35·1022 · 100(3, 604, 4 · 108)2 ≃ 69, 25N

5. Se lanza un satélite arti ial, desde la super ie de un planeta re ientemente olonizado, ha ia una

región del espa io libre de la inuen ia gravitatoria de los otros uerpos elestes. La masa del planeta

es dos ve es la masa de la Tierra y su radio la mitad del radio terrestre. El satélite se lanza on una

velo idad de 18 km/s. a) Cal ule la velo idad de es ape del planeta ¾Se es apa el satélite arti ial de

di ho planeta? b) Si en el momento del lanzamiento el satélite tiene una energía inéti a de 10

11J,

al ule su masa y la fuerza que ejer e el planeta sobre él. ) Admitiendo que el satélite queda ligado al

planeta en una órbita ir ular, y re ordando que fue lanzado on una velo idad de 18 km/s, al ule el

radio de di ha órbita. Datos: G = 6.67·10

11N m

2kg

2; MTierra= 5.98·10

24kg; RTierra= 6371 km.

Respuesta:

3


a) La velo idad de es ape del planeta es:

v =

√

2GM

r=

√

2 · 6,67·1011 · 2 · 5,98·10246, 371 · 106/2 = 22380m · s−1

El satélite no es apa de la atra ión gravitatoria del planeta, pues la velo idad que se le omuni a es

menor que la velo idad de es ape.

b) La energía inéti a es:

1011 =1

2m · (1, 8 · 104)2 m = 617, 3 kg

) La energía en la super ie del planeta es:

E = −GMm

r+

1

2mv2 = −6,67·1011 · 2 · 5,98·1024 · 617, 3

6, 371 · 106/2 + 1011 = −5, 46 · 1010J

Apli ando el Prin ipio de Conserva ión de la Energía:

−5, 46 · 1010 = −6,67·1011 · 2 · 5,98·1024 · 617, 32r

r = 4, 51 · 106 m

6. Deduz a, a partir de la segunda ley de Newton, la expresión para la velo idad v que lleva un uerpo de

masa m que des ribe una órbita ir ular de radio R alrededor de un planeta de masa Mp. Determine

el radio de un planeta de masa Mp = 2 10

20kg, sabiendo que un satélite orbita a su alrededor on una

velo idad de 10

2m/s a una altura de 500 km.Datos G = 6.67 ·10

−11Nm

2/kg

2

Respuesta:

Apli ando la 2ª Ley de Newton:

GMm

R2= m

v2

Rv =

√

GM

R

Cono ida la velo idad del satélite, podemos es ribir:

102 =

√

6,67·10−11 · 2 · 1020(R + 5 · 105) R = 8, 34 · 105m

7. Deduz a, a partir de la ley de onserva ión de la energía, la expresión para la velo idad de es ape de

un uerpo de masa m respe to de un planeta de masa M y radio R.

Respuesta:

La suma de las energías inéti a y poten ial en la super ie de un planeta es la siguiente:

−GMm

R‘1

2mv2

Cando se omunique al uerpo la velo idad de es ape, aquél se alejará hasta una distan ia innita del

planeta. Si suponemos que el uerpo llega al innito on velo idad ero, su energía total será:

−GMm

∞ + 0 = 0

Igualando las energías:

−GMm

R‘1

2mv2 = 0 con lo que : v =

√

2GM

R

4


8. Dos satélites idénti os A y B están moviéndose en órbitas ir ulares de distinto radio (RA< RB)

alrededor de la Tierra. Razone, a partir de las e ua iones apropiadas, uál de los dos se mueve a mayor

velo idad y uál on mayor periodo. Justique las respuestas.

Respuesta:

Igualando la fuerza al produ to de la masa por la a elera ión entrípeta, tendremos:

GMm

r2=

mv2

r

De donde podemos despejar la velo idad orbital::

v =

√

GM

r

De donde se dedu e que, uanto mayor sea el radio de la órbita, menor será la velo idad orbital. De

esta forma, el satélite que des ribe una órbita de radio RB tendrá una menor velo idad orbital.

Igualando las expresiones de velo idad:

v =2πr

T=

√

GM

r

4π2r2

T2=

GM

rT2 =

4π2r3

GM

Veremos que uanto mayor sea el radio de la órbita, mayor será el periodo de la misma. Así, el satélite

de radio RB tendrá un mayor periodo orbital.

9. Un satélite de masa 20 kg se olo a en órbita ir ular sobre el e uador terrestre de modo que su radio

se ajusta para que dé una vuelta a la Tierra ada 24 horas. Así se onsigue que siempre se en uentre

sobre el mismo punto respe to a la Tierra (satélite geoesta ionario). a) ¾Cuál debe ser el radio de su

órbita? b) ¾Cuánta energía es ne esaria para situarlo en di ha órbita? ) ¾Cuál es la energía me áni a

en di ha órbita? Datos: G = 6,67 · 10

11N m

2kg

2; MT = 5,96 · 10

24kg; RT = 6371 km

Respuesta:

a) El radio de la órbita se dedu e de:

T2 =4π2r3

GM864002 =

4π2r3

6, 67·1011 · 5, 96·1024 r = 4, 22 · 107m

b) La energía ne esaria de dedu e del prin ipio de onserva ión de la energía:

−GMm

rT+W = −GMm

2r

Sustituyendo valores:

−6, 67·1011 · 5, 96·1024 · 206, 371 · 106 +W = −6, 67·1011 · 5, 96·1024 · 20

2 · 4, 22 · 107

Despejando, obtendremos:

W = 1, 15 · 109J ) La energía me áni a en la órbita es:

U = −GMm

r= −6, 67·1011 · 5, 96·1024 · 20

2 · 4, 22 · 107 = −9, 42 · 107 J

5


10. La Esta ión Espa ial Tiangong-2 (Pala io Celestial) tiene una masa de 20000 kg. Si se pone en órbita a

400 km sobre el e uador de la Tierra, al ule: a) La velo idad y la a elera ión orbital de la esta ión. b)

El número de vueltas que da la esta ión alrededor de la Tierra en 24 horas. ) La energía ne esaria para

trasladar la esta ión desde la órbita de 400 km a una órbita geoesta ionaria. Datos: G = 6,67·10

11N

m

2kg

2; RT = 6370 km; MT = 5,97·10

24kg.

Respuesta:

a) La velo idad orbital es:

v =

√

GM

r=

√

6, 67·1011 · 5, 97·10246, 37 · 106 + 4 · 105 = 7669, 3m · s−1

La a elera ión es:

a =v2

r=

7669, 32

6, 37 · 106 + 4 · 105 = 8, 69m · s−2

b) El periodo será:

T =2πr

v=

2π(6, 37 · 106 + 4 · 105)7669, 3

= 5546 s

En un día, el número de órbitas será:

n =86400

5546= 15, 57

) Para una órbita geoesta ionaria, se umple que T = 86400 s, por lo que, apli ando la ter era ley de

Kepler:

86400 =

√

4π2r3

6, 67·1011 · 5, 97·1024 r = 4, 22 · 107m.

Apli ando el prin ipio de onserva ión de la energía:

−GMm

2r0+ E = −GMm

2r1

Sustituyendo en la anterior igualdad:

E =6, 67·1011 · 5, 97·1024 · 20000

2 (6, 37 · 106 + 4 · 105) − 6, 67·1011 · 5, 97·1024 · 200002 · 4, 22 · 107 = 4, 94 · 1011J

11. Determine la velo idad on la que hay que lanzar un uerpo desde la super ie de la Tierra para

olo arlo en una órbita ir ular de radio R=20000 km. Datos: G = 6,67·10

−11Nm

2kg

−2; MTierra =

5,97·10

24kg; RTierra = 6370 km.

Respuesta:

Apli ando el prin ipio de onserva ión de la energía:

−GMm

r0+

1

2mv2 = −GMm

2R

Sustituyendo en la anterior igualdad:

v2 = 2

[

6, 67·1011 · 5, 97·10246, 37 · 106 − 6, 67·1011 · 5, 97·1024

2 · 2 · 107]

= 1, 05 · 108

v =√

1, 05 · 108 = 10252m · s−1

6


12. Un meteorito de 400 kg de masa se dirige en aída libre ha ia el entro de la Tierra. Sabiendo que

uando se en uentra a una altura de 500 Km tiene una velo idad de 20 m/s, determine: a) El peso del

meteorito a di ha altura. b) La energía me áni a o energía total del meteorito a di ha altura. ) La

velo idad on la que impa tará sobre la super ie terrestre despre iando la fri ión on la atmósfera.

Datos: G = 6,673 10

11Nm

2/kg

2; MTierra = 5,98 10

24kg ; RTierra = 6370 km.

Respuesta:

a) El peso del meteorito a esa altura es:

P =GMm

r2=

6, 673·1011 · 5, 97·1024 · 400(6, 37 · 106 + 5 · 105)2 = 3376, 3N

b) La energía me áni a es:

E = −GMm

2r= −6, 673·1011 · 5, 97·1024 · 400

2 (6, 37 · 106 + 5 · 105) = −1, 16 · 1010J

) Apli ando el Prin ipio de Conserva ión de la Energía:

−1, 16 · 1010 = −6, 673·1011 · 5, 97·1024 · 4006, 37 · 106 +

1

2400 · v2

Con lo que la velo idad de impa to será: v = 8190 m·s−2

13. Un satélite geoesta ionario des ribe una órbita ir ular en torno a la Tierra. Determine la energía

me áni a si la masa del satélite es 70 kg. Datos: G = 6,673 10

11Nm

2/kg

2; MTierra = 5,98 10

24kg

; RTierra = 6370 km.

Respuesta:

La energía me áni a del satélite viene dada por:

E = −GMm

2r

Al tratarse de una órbita geoesta ionaria, el periodo del satélite será igual al periodo de rota ión de la

Tierra (86400 s), por lo que podemos es ribir:

86400 =

√

4π2r3

6, 6731011 · 5, 981024 r = 4, 225 · 107m

La energía me áni a será, por tanto:

E = −6, 6731011 · 5, 981024 · 702 · 4, 225 · 107 = −3, 31 · 108 J

14. Se sabe que la a elera ión de la gravedad en la super ie de la Tierra vale gT = 9,81 ms

−2, y que

la rela ión entre las masas y los radios de la Tierra y el planeta X es MX=0,02 MT y RX= 0,3 RT .

Determine gX , es de ir, la a elera ión de la gravedad en la super ie del planeta X.

Respuesta:

La a elera ión de la gravedad en la super ie de la Tierra y en la super ie del planeta son, respe ti-

vamente:

gT =GMT

R2T

gX =G · 0, 02MT

(0, 3 · RT)2

7


Dividiendo miembro a miembro:

9, 81

gx=

GMT

R2T

G · 0, 02MT

(0, 3 · RT)2

=0, 32

0, 02= 4, 5 gX = 2, 18m · s−2

15. Considere un objeto no identi ado de 100 kg de masa que se mueve ha ia el entro de un planeta de

masa M y radio R, bajo la a ión del ampo gravitatorio del planeta. Determine: a) La energía inéti a

y poten ial del objeto uando está a una altura de 100 km sobre la super ie del planeta y on una

velo idad de 6000 m/s. b) La altura desde la que empezó a aer este objeto, medida respe to de la

super ie del planeta. Considere que partió desde del reposo. ) La velo idad on la que impa ta el

objeto en la super ie del planeta. Datos: G = 6,67·10

11N·m

2·kg

2; M = 6·10

24kg; R = 6500 km.

Respuesta:

Las energía inéti a y poten ial son, respe tivamente:

Ec =1

2100 60002 = 1, 8 · 109 J U = −6, 67 · 10−11 · 6 · 1024 · 100

6, 5 · 106 + 105= −6, 06 · 109 J

b) Apli ando el prin ipio de onserva ión de la energía:

−6, 67 · 10−11 · 6 · 1024 · 1006, 5 · 106 + r

+ 0 = 1, 8 · 109 − 6, 06 · 109 r = 2, 89 · 106m

) Apli ando de nuevo el prin ipio de onserva ión de la energía:

1, 8 · 109 − 6, 06 · 109 = −6, 67 · 10−11 · 6 · 1024 · 1006, 5 · 106 +

1

2100 v2 v = 6159m · s−1

8


2. Vibra iones y ondas.

1. Tenemos una onda armóni a unidimensional que se transmite en el sentido positivo del eje X. Es ribe su

e ua ión y expli a, ayudándote de la e ua ión, los on eptos de amplitud, longitud de onda y periodo.

Respuesta:

La e ua ión de la onda que se propaga en sentido positivo del eje X tiene la forma:

y = A sen (ωt− kx+ ϕ0)

El signo - delante del término kx está rela ionado on el sentido de propaga ión de la onda, en este

aso, el sentido de propaga ión es el sentido positivo del eje X. A es la amplitud, la amplitud, es de ir

la máxima elonga ión de un punto. ω es la pulsa ión, rela ionada on el periodo de la forma: ω =2π

T,

siendo el periodo el tiempo que un punto tarda en repetir el mismo estado de vibra ión. La longitud de

onda, λ, es la distan ia que existe entre dos puntos que se en uentran en el mismo estado de vibra ión.

En la e ua ión de la onda , el valor k está rela ionado on la longitud de onda por la expresión: k =2π

λ.

Por último,ϕ0es la fase ini ial, rela ionada on el valor de la elonga ión para los valores nulos de x y t.

2. Una onda armóni a senoidal transversal se propaga en sentido positivo del eje X on una fre uen ia de

10 Hz, una velo idad de propaga ión de 20 m/s, una amplitud de 5 m y fase ini ial nula. Determine: a)

La e ua ión de la onda. b) La velo idad de vibra ión de un punto situado en x = 10 m en el instante

t = 0,15 s. ) La distan ia entre dos puntos uya diferen ia de fase, en un determinado instante, es p /

3 rad.

Respuesta:

a) La e ua ión de la onda es la siguiente:

y = 0, 05 sen (20πt− πx)

b) La velo idad de vibra ión es:

v =dy

dt= 0, 05 · 20π cos (3π − 0, 1π) = −2, 99m · s−1

) La longitud de onda es: λ = v/ν = 20/10 = 2 m. Teniendo en uenta que, a una longitud de onda

le orresponde una diferen ia de fase de 2π radianes, podremos es ribir:

2m

2π rad=

∆x

π/3∆x = 1/3m

3. Una onda sinusoidal y transversal se propaga en un medio material on una amplitud de 2 m y una

velo idad de 1.5 m/s. Si se observa que la distan ia entre restas onse utivas es de 50 m, determine:

a) El periodo y la fre uen ia de la onda. b) La e ua ión de la onda, sabiendo que la elonga ión en el

instante ini ial (t = 0) es nula en el origen (x = 0). ) La velo idad de una partí ula del medio que se

en uentra en el origen en el instante t = 2 s.

Respuesta:

a) De los datos suministrados por el enun iado, se pueden estable er los siguientes parámetros:

A = 0, 02m λ = 0, 5m ν =v

λ=

1, 5

0, 5= 3 s−1 T =

1

ν=

1

3s

b) La e ua ión de la onda es del tipo: y = A sen (ω t - kx + ϕ). Puesto que para t = 0 y x =

0, la elonga ión es y = 0, tendremos: 0 = A sen ϕ, on lo que ϕ = 0. Los valores de ω y k serán,

respe tivamente:

ω = 2πν = 6πs−1 k =2π

λ= 4πm−1

9


Así pues, la e ua ión de la onda quedará en la forma:

y = 0, 02 sen (6πt− 4πx)

) La velo idad transversal será:

vt =dy

dt= 0, 02 · 6πcos (6πt− 4πx)

Sustituyendo x por 0 y t por 2:

vt =0, 12π cos 12π = 0, 12πm · s−1

4. La e ua ión de una onda viene dada por y(x,t) = 0,5 sen (0,628 t - 0,785 x), donde la posi ión x está

expresada en metros y el tiempo t en segundos. Obtenga la amplitud, la longitud de onda, el periodo,

la fase ini ial y la velo idad de la onda.

Respuesta:

Los parámetros pedidos son los siguientes:

A = 0, 5m λ =2π

k=

2π

0, 785= 8m−1 T =

2π

ω=

2 pi

0, 628= 10,s

ϕ0 =0 v =ω

k=

0, 628

0, 785= 0, 8m · s−1

5. Una onda sinusoidal transversal en una uerda tiene un período de 0,2 s y se propaga en el sentido

negativo del eje X a una velo idad de 30 m/s. En el instante t = 0, la partí ula de la uerda en x = 0

tiene una elonga ión negativa de 0,02 m y una velo idad de os ila ión negativa de 2 m/s. a) ¾Cuál es

la amplitud de la onda? ¾Y la fase ini ial? b) ¾Cuál es la velo idad de os ila ión máxima de un punto

de la uerda? ) Es riba la e ua ión de la onda orrespondiente.

Respuesta: a) La e ua ión de la onda es del tipo:

y = A sen (ωt + kx + ϕ0)

La pulsa ión es:ω =2π

T=

2π

0, 2= 10π s

−1.

Para x = 0 y t = 0, tendremos:

−0, 02 = A senϕ0 y v = .Aωcosϕ0 = −2

Dividiendo miembro a miembro:

tgϕ0

10π= 0, 01 ϕ0 = 0, 1π

Como el seno y el oseno del ángulo son negativos, el ángulo debe orresponder al ter er uadrante, por

tanto:

ϕ0 = π + 0, 1π = 1, 1π rad A =−0, 02

sen 1, 1π= 0, 065m

b) La velo idad de vibra ión máxima será:

vmax = Aω = 0, 065 · 10π = 2, 04m · s−1

) Sustituyendo los valores propor ionados por el enun iado, tendremos la siguiente e ua ión:

y = 0, 065 sen(

10πt +ω

vx + 1, 1π

)

= 0, 065 sen(

10πt +π

3x + 1, 1π

)

10


6. Por una uerda se propaga una onda armóni a uya e ua ión es y(x,t) = 0,8 sen (6t + 10x p/2),

donde x e y se miden en metros y t en segundos. Cal ule: a) El periodo, la fre uen ia, el número de

onda y la longitud de onda. b) La velo idad de propaga ión de la perturba ión, así omo la velo idad

máxima de ualquier punto de la uerda. ) La diferen ia de fase, en un instante dado, entre dos puntos

de la uerda separados entre sí una distan ia de 30 m.

Respuesta:

a) Comparando la e ua ión general on la que nos da el enun iado:

y(x, t) = A sen

(

2πνt− 2π

λ+ ϕ0

)

y(x, t) = 0, 8 sen(

6t + 10xπ

2

)

Obtenemos los siguientes valores: ν =6

2πs−1; T =

1

ν=

π

3s; k = 10m−1; λ =

2π

10m

b) La velo idad de propaga ión se obtiene de: v =λ

T=

0, 2ππ

3

= 0, 6m/s. La velo idad de ualquier

punto de la uerda es:

v =dy

dt= 0, 8 · 6 cos

(

6t + 10xπ

2

)

Siendo vmax =4,8 m/s.

) Para al ular la diferen ia de fase, utilizaremos la siguiente igualdad:

2π rad

λm=

∆ϕ

xm∆ϕ =

2π · 0, 300, 2π

= 3 rad

7. Es riba la e ua ión de una onda armóni a que se propaga a lo largo del eje X en sentido positivo y

explique ayudándose de las grá as oportunas, los on eptos de amplitud, longitud de onda, periodo y

fase ini ial.

Respuesta:

La e ua ión de la onda es:

y = A sen (ωt− kx + ϕ0) = A sen

(

2π

Tt− 2π

λx + ϕ0

)

En las siguientes representa iones grá as se reejan los on eptos pedidos en el enun iado:

La amplitud (A) es la máxima separa ión de un punto respe to a la posi ión de equilibrio. la longitud

de onda (λ) es la distan ia entre dos puntos onse utivos en el mismo estado de vibra ión. El periodo

(T) es el tiempo que trans urre para que un punto del medio repita su estado de vibra ión. La fase

ini ial (ϕ0) está rela ionada on el valor de la elonga ión, y, para los valores de x = 0 m y t = 0 s.

8. Una onda armóni a senoidal transversal se propaga en sentido positivo del eje X on una fre uen ia de

10 Hz, una velo idad de propaga ión de 20 m/s, una amplitud de 0,05 m y fase ini ial nula. Determine:

a) La e ua ión de la onda. b) La velo idad de vibra ión de un punto situado en x = 20 m en el instante

t = 0,15 s. ) La distan ia entre dos puntos uya diferen ia de fase, en un determinado instante, es p/6

11


rad.

Respuesta:

a) La e ua ión general de la onda es:

y = A sen (ωt− kx + ϕ0)

Siendo: ω = 2π · 10 = 20πs−1; A = 0,05 m; k = ω/v = 20π/20 = π m

−1; ϕ = 0 , por lo que la e ua ión

de la onda quedará así:

y = 0, 05 sen (20πt− πx)

b) La velo idad de vibra ión es:

v =dy

dt=

d [0, 05 sen (20πt− πx)]

dt= πcos (20πt− πx)

Para x = 0,2 m y t = 0,15 s, la velo idad será: v = πcos (4π − 0, 15π) = 2, 8m · s−1

) La longitud de onda es: λ =v

ν=

20

10= 2 m, por lo que podemos estable er la siguiente rela ión:

2πrad

2m=

π/6 rad

xmx =

1

6m

9. Un movimiento ondulatorio se propaga según la e ua ión: y(x,t) = sen (4t - 5x), donde t está expresada

en segundos y x en metros. Cal ule la velo idad de propaga ión y la longitud de onda de esta onda.

Respuesta:

Comparando la e ua ión dada on la expresión general de la e ua ión de la onda:

y = A sen (ωt− kx + ϕ0)

Tendremos que A = 1; ω = 4 s

−1; k = 5 m

−1y ϕ0 = 0. A partir de estos datos, tendremos:

k =ω

vv =

4

5= 0, 8m · s−1

k =2π

λλ =

2π

5= 0, 4πm

10. Considere una onda armóni a que se propaga sobre una uerda on una fre uen ia de 600 Hz ¾Cuál es

la diferen ia de fase, para un punto de la uerda dado, entre dos instantes de tiempo separados 0,1 s?

Respuesta: El periodo es: T = 1/600 = 1,67·10−3s.. Sabiendo que para dos instantes separados por

un tiempo igual al periodo, la diferen ia de fase es de 2π radianes, por lo ual:

2 π rad

1, 66 · 10−3 s=

∆ϕ

0, 1 s∆ϕ = 120, 5 π

11. Una onda transversal se propaga por una uerda en el sentido positivo del eje X, on una longitud de

onda de 2 m, una fre uen ia de 10 Hz, una amplitud de 5 m y una fase ini ial de p rad. Cal ule: a) El

periodo, la fre uen ia angular y el número de onda. Es riba la e ua ión de la onda. b) La velo idad de

propaga ión de la onda así omo la velo idad on la que vibra, en el instante t = 0,10 s, un punto de

la uerda situado en x = 20 m. ) La distan ia entre dos puntos de la uerda uya diferen ia de fase,

en un determinado instante, es p/6 rad.

12


Respuesta: a) Los valores pedidos son los siguientes:

T =1

ν=

1

10= 0, 1 s ω = 2πν = 2π · 10 = 20 πs−1 k =

2π

λ=

2π

2= πm−1

La e ua ión de la onda es:

y = 0, 05 sen (20πt− πx)

(Hemos supuesto, puesto que el problema no da datos al respe to, que la fase ini ial es ero).

b) La velo idad de propaga ión es:

v =ω

k=

20π

π= 20m · s−1

La velo idad de vibra ión es:

v =dy

dt= 0, 05 · 20πcos (20πt− πx)

Pata t = 0,10 s y x = 0,20 m:

v = π cos(2π − 0, 2π) = 2, 54m s−1

) A partir de la siguiente rela ión:

2π rad

λm=

2π rad

2=

π/6 rad

xmx =0, 17m

13


3. Ópti a.

1. Una lente onvergente de un proye tor de diapositivas que tiene una distan ia fo al de +16 m, proye ta

la imagen nítida de una diapositiva de 3 m de alto, sobre una pantalla que se en uentra a 4 m de

la lente. a) Dibuja un diagrama de rayos de forma aproximada de la situa ión planteada. b) ¾A qué

distan ia de la lente está olo ada la diapositiva (objeto)? ) ¾Cuál es el aumento de la imagen formada

por el proye tor en la pantalla?

Respuesta: a) El diagrama aproximado sería:

b) Apli ando la e ua ión fundamental de las lentes delgadas:

1

s− 1

s′=

1

f

1

s− 1

4=

1

−0, 16→ s = −0, 17m

) El aumento lateral es el siguiente:

y′

y=

s′

s=

4

−0, 17= −23, 52

2. Representa grá amente la refra ión de las ondas ele tromagnéti as. En qué ondi iones se produ e

la reexión total de la luz.

Respuesta:

La Ley de Snell rela iona los ángulos de in iden ia y de refra ión de la forma:

senα1

senα2=

n2

n1

Siendo α1 el ángulo de in iden ia y α2 el ángulo de refra ión. La reexión total de la luz se produ irá a

partir de un ángulo de in iden ia para el ual, el ángulo de refra ión sea de 90º. Ésto solo se produ irá

uando la onda pase de un medio de mayor a otro de menor índi e índi e de refra ión. La representa ión

puede ser del tipo:

14


3. En el ban o ópti o del laboratorio se dispone de una lente onvergente uya distan ia fo al vale +20

m. a) Determine la posi ión de un objeto de 5 m de altura que se olo a a 30 m por delante de la

lente. b) Cal ule la poten ia de la lente, el aumento lateral e indique las ara terísti as de la imagen

(real o virtual; invertida o dere ha) ) Dibuje el diagrama de rayos si el objeto se sitúa en la fo al de la

lente.

Respuesta:

a) Apli ando la e ua ión fundamental de las lentes delgadas:

1

s− 1

s′= − 1

f ′

1

−0, 30− 1

s′= − 1

0, 2s′ = 0, 6m

b) La poten ia de la lente es: P = 1/f

′ =5 dioptrías. El aumento lateral será: y′/y =s′/s =0, 6

−0, 3= −2.

la imagen será real, mayor e invertida.

) El diagrama de rayos es el siguiente:

4. Determine el ángulo límite para el fenómeno de la reexión total entre los medios materiales aire y

gli erina, uyos índi es de refra ión son 1.00 y 1.47 respe tivamente.

Respuesta:

Apli ando la Ley de Snell:

senαi

sen 90º=

1, 00

1, 47αi = 42, 86º

5. Considere una lente delgada uya distan ia fo al imagen vale 20 m. a) Cal ule la poten ia de la

lente. ¾La lente es onvergente o divergente? b) Determine la posi ión de un objeto de 5 m de altura

que se olo a a 30 m por delante de la lente. Dibuje el trazado de rayos e indique las ara terísti as

de la imagen (real o virtual, invertida o no invertida). ) Determine el aumento lateral de un objeto de

5 m de altura que se olo a a 10 m por delante de la lente. Dibuje el trazado de rayos e indique las

ara terísti as de la imagen (real o virtual, invertida o no invertida).

Respuesta:

a) La poten ia es la inversa de la distan ia fo al imagen, es de ir:

P =1

f′=

1

−0, 2= −5 dp La lente es divergente

b) Apli ando la e ua ión de las lentes delgadas:

1

s− 1

s′= −P

1

−0, 3− 1

s′= 5 s′ = −0, 12m

El diagrama de rayos es el siguiente:

15


La imagen es menor, virtual y dere ha.

) Apli ando la e ua ión de las lentes delgadas:

1

s− 1

s′= −P

1

−0, 1− 1

s′= 5 s′ = −0, 067m

La e ua ión del aumento lateral es:

y′

y=

s′

s

y′

5=

−0, 067

−0, 1y′ = 3, 35 cm

Al igual que en el apartado b) la imagen es menor, virtual y dere ha.

6. Un objeto luminoso de 3 mm de altura está situado a 4 m de distan ia de una pantalla. Entre el objeto

y la pantalla se olo a una lente delgada, de distan ia fo al des ono ida, de tal manera que se produ e

sobre la pantalla una imagen de 9 mm de altura. a) Indique la naturaleza de la lente y el tipo de imagen

produ ida, y reali e la onstru ión del diagrama de rayos. b) Cal ule el aumento lateral y las distan ias

objeto-lente y lente-imagen. ) Cal ule la distan ia fo al de la lente y su poten ia.

Respuesta:

a) y b) Del enun iado puede dedu irse lo siguiente:

s + s′ = 4m y = 3mm y′ = 9mm

La lente es onvergente, pues podemos proye tar la imagen sobre una pantalla. La imagen será invertida,

por lo que podremos es ribir:

y′

y=

s′

s

−9

3=

s′

ss′ = −3s

Utilizando el riterio de signos, podremos es ribir: -s + s

′= 4 m, on lo ual:

−s− 3s = 4 s = −1m

El diagrama de rayos será el siguiente:

) Apli ando la e ua ión fundamental de las lentes delgadas:

1

−1− 1

3= −P P = 1, 33 dp

16


La distan ia fo al imagen será:

f′ =1

1, 33= 0,75m

7. Un rayo láser de 550·10

−9m de longitud de onda emite, en el aire, luz mono romáti a verde. Desde

el aire se ha e in idir el haz sobre un bloque de vidrio. Si el ángulo de in iden ia es de 40º y el de

refra ión es de 25º, ¾ uál es el índi e de refra ión del vidrio? ¾Cuál es la longitud de onda de la luz

láser en el vidrio?

Respuesta:

Apli ando la segunda ley de la refra ión:

sen 40

sen 25=

n

1n = 1, 52

La fre uen ia de la radia ión es:

ν =c

λ=

3 · 108550 · 10−9

= 5, 45 · 1014s−1

Al no variar la fre uen ia, tendremos que, en el vidrio:

5, 45 · 1014 =

3 · 1081, 52

λλ = 3, 62 · 10−7m

8. Una lente onvergente forma, de un objeto, una imagen real, invertida y aumentada 4 ve es. Al desplazar

el objeto 3 m ha ia la lente, la imagen que se obtiene es virtual, dere ha y on el mismo aumento en

valor absoluto que en la situa ión anterior. Determine: a) La distan ia fo al imagen y la poten ia de la

lente. b) La distan ia del objeto a la lente en las dos situa iones omentadas. Las respe tivas distan ias

imagen. ) Los trazados de rayos orrespondientes.

Respuesta:

a) El aumento lateral en ambos asos será, respe tivamente:

y′1y

= −4 =s′

s

y′2y

= 4 =s′

s + 0, 03

Apli ando la e ua ión de las lentes delgadas en ambos asos:

1

s− 1

s′= −P

1

s− 1

−4s= −P =

1

s + 0, 03− 1

4(s + 0, 03)

5

4s=

3

4(s+ 0, 03)s=-0,075m

El objeto se en ontrará a 7,5 m de la lente, en el primer aso, y a 4,5 m en el segundo. Las respe tivas

distan ias imagen son: s

′

1 = 30 m, y s

′

2 = −18 m.

b) La poten ia de la lente es:

P =1

s′− 1

s=

1

0, 3+

1

0, 075= 16, 67 dp

La distan ia fo al imagen es:

f′ =1

P= 0, 06m

17


) los respe tivos diagramas de rayos son:

9. Considere una lente divergente. Dibuje el diagrama de rayos para formar la imagen de un objeto de

altura h situado a la izquierda del fo o, y también, situado a la dere ha del fo o. Indique, razonadamente,

que tipo de imagen se forma en ada aso.

Respuesta:

Los respe tivos diagramas de rayos son los mismos que pueden verse en el ejer i io anterior. La imagen

de la izquierda orresponde al objeto a la dere ha del fo o, mientras que la imagen de la dere ha

orresponde al objeto situado a la izquierda del fo o.. En el primer aso, la imagen es mayor, real e

invertida, mientras que en segundo, la imagen es mayor, dere ha y virtual.

10. Un objeto de 4 m de altura se olo a a 0,5 m de una lente delgada produ iendo una imagen dere ha

de 10 m de alto: a) ¾A qué distan ia de la lente se forma la imagen del objeto? b) ¾Se trata de una

lente onvergente o divergente? ¾Cuánto valen la distan ia fo al y la poten ia de la lente? ) Dibuje el

trazado de rayos y determine la posi ión a la que debe situarse el objeto respe to de la lente para que

su imagen se forme en el innito.

Respuesta:

a) Para determinar la distan ia imagen, utilizamos la expresión del aumento lateral:

y′

y=

s′

s

10

4=

s′

−0, 5s′ = −1, 25m

b) La lente debe ser onvergente, pues una lente divergente nun a da imágenes de mayor tamaño que

el objeto. La poten ia y la distan ia fo al se obtienen de:

1

−0, 5− 1

−1, 25= −P P = 1, 2 dp

f′ =1

P= 0, 83m

) El diagrama de rayos es el siguiente:

Para que la imagen se forme en el innito, el objeto debe situarse en el fo o.

18


11. Una super ie plana separa dos medios de índi es de refra ión distintos n1 y n2. Un rayo de luz in ide

desde el medio de índi e n1. Justique brevemente si son verdaderas o falsas las siguientes arma iones:

a) El rayo in idente, el reejado y el refra tado están en el mismo plano, b) Si n1 > n2 se produ e

reexión total para ualquier ángulo de in iden ia.

Respuesta:

a) La arma ión es orre ta, pues onstituye el enun iado de la primera ley de la reexión.

b) La arma ión es falsa, sólo sería orre ta para ángulos de in iden ia mayores o iguales que el ángulo

límite.

12. En el ban o ópti o del laboratorio disponemos de una lente uya fo al es 20 m. a) Determina la

posi ión y tamaño de la imagen de un objeto de 5 m de altura uando se olo a a 30 m de la lente.

b) Determina la posi ión y tamaño de la imagen de un objeto de 5 m de altura uando se olo a a 10

m de la lente. ) Reali e los diagramas de rayos en las situa iones anteriores y al ule la poten ia de

la lente.

Respuesta:

a) Apli ando la e ua ión fundamental de las lentes delgadas:

1

s− 1

s′= − 1

f′1

−0, 30− 1

s′= − 1

−0, 2s′ = −0, 12m

El tamaño del objeto se dedu e de:

y′

y=

s′

sy′ =

5 (-12)

30= 2 cm

b) En este aso, y apli ando nuevamente las anteriores e ua iones:

1

s− 1

s′= − 1

f′1

−0, 10− 1

s′= − 1

−0, 2s′ = −0, 066m

y′

y=

s′

sy′ =

5 (-6,6)

10= 3, 3 cm

) Los orrespondientes diagramas de rayos son:

13. Un objeto de 5 m de altura se olo a a 0,5 m de una lente delgada produ iendo una imagen dere ha de

15 m de alto: a) Cal ule a qué distan ia de la lente se forma la imagen del objeto así omo la distan ia

fo al de la lente. ¾La imagen es real o virtual? b) Indique el tipo de lente, al ule la poten ia de la lente

y reali e el trazado de rayos. ) Cal ule la posi ión a la que debe situarse el objeto respe to de la lente

para que su imagen se forme en el innito. Reali e el trazado de rayos.

Respuesta:

A partir de la expresión del aumento lateral:

y′

y=

s′

ss′ = −0, 5

15

5= −1, 5m

19


Apli ando la e ua ión fundamental de las lentes delgadas:

1

−0, 5− 1

−1, 5=

1

ff = −0, 75m

La imagen, al estar olo ado el objeto entre el fo o y la lente, es virtual .

b) Al ser la imagen mayor que el objeto, la lente debe ser onvergente, pues una lente divergente

dará siempre una imagen menor. La poten ia de la lente es:

P =1

f′=

1

0, 75= 1, 33 dp

El diagrama de rayos es el siguiente:

) Para que la imagen se forme en el innito el objeto debe situarse sobre el fo o imagen omo podemos

ver en la siguiente representa ión:

14. ¾En qué onsiste la hipermetropía?, ¾qué tipo de lente se debe utilizar para orregirla? Ayúdese de un

diagrama de rayos para a larar en qué onsiste y ómo se resuelve la hipermetropía.

Respuesta:

La hipermetropía es un defe to de la visión por el que la imagen de un objeto er ano se forma

por detrás de la retina. Para su orre ión se utilizan lentes onvergentes. El diagrama de rayos es el

siguiente:

20


4. Ele tromagnetismo.

1. Qué rela ión debe existir entre el ampo magnéti o y elé tri o al a tuar sobre una partí ula argada

para que ésta se mueva on movimiento re tilíneo uniforme.

Respuesta:

Para que la partí ula argada se mueva on movimiento re tilíneo y uniforma, es pre iso que la fuerza

sobre ella, debida a los dos ampos, sea nula, es de ir:

−→F = q(

−→E +−→v ×−→

B ) = 0

Por tanto, los ampos elé tri o y magnéti o deben ser perpendi ulares entre sí, y el ve tor

−→E debe

tener la misma dire ión y sentido ontrario que el ve tor

−→v ×−→B

2. Una arga puntual de 10

−6C está situada en el punto A(0,2) de un sistema artesiano. Otra arga

puntual de 10

−6C está situada en B (0,-2). Las oordenadas están expresadas en metros. Cal ula: a)

El valor del poten ial ele trostáti o en un punto C (2,0). b) El ve tor intensidad de ampo elé tri o en

un punto C (2,0). ) El trabajo realizado por el ampo para llevar una arga puntual de 1 C desde el

punto anterior (2,0) al punto D (1,1). Datos: K=9·109N m

2C

−2.

Respuesta:

a) El poten ial ele trostáti o en (2,0) será:

V =9 · 109 · 10−6

√8

+9 · 109 · 10−6

√8

= 6363V

b) El ampo elé tri o en el punto C está representado en la siguiente imagen: Los módulos de

−→E1 y

−→E2

tienen el mismo valor:

∣

∣

∣

−→E1

∣

∣

∣=∣

∣

∣

−→E2

∣

∣

∣=

9 · 109 · 10−6

(√22 + 22

)2 = 1125N · C−1

Dado que el módulo de ada uno de los ampos es el mismo y que el ángulo formado por di hos ve tores

on el eje X es de 45º, las omponentes verti ales se anulan entre sí, quedando:

−→E = 2

∣

∣

∣

−→E1

∣

∣

∣cos 45º

−→i = 1591

−→i N · C−1

) El trabajo ne esario será: W = q(V1 − V2), siendo:

V1 =9 · 109 · 10−6

√8

+9 · 109 · 10−6

√8

= 6363V V2 =9 · 109 · 10−6

√2

+9 · 109 · 10−6

√10

= 9210V

Por tanto:

W = 1 (6363− 9210) = −2847 J

21


3. Des ribe qué le pasará a dos ondu tores re tilíneos y paralelos por los que ir ula orriente ontinua

en el mismo sentido y en sentido ontrario.

Respuesta:

En la siguiente representa ión grá a podemos omprobar que, en apli a ión de la regla de la mano

izquierda, la fuerza entre ondu tores por los que ir ulan orriente paralelas es de atra ión, mientras

que si las orrientes on antiparalelas, la fuerza es de repulsión.

4. Considere dos ondu tores re tilíneos y paralelos re orridos por intensidades de orriente del mismo

sentido y valor I1= I2= 2 A. Determine la distan ia d de separa ión entre ambos ondu tores, sabiendo

que el módulo de la fuerza magnéti a por unidad de longitud vale 5·10−6N/m. Datos: µ0 = 4π · 10−7

m·kg·C

−2.

Respuesta:

La fuerza por unidad de longitud es:

F

l= 5 · 10−6 =

µ0I1I22πd

=4π · 10−7 · 4

2πdd = 0, 16m

5. Cal ule la fuerza on la que se atraen un protón y un ele trón separados entre sí una distan ia de

1.5·10−10m ¾Cuál es la energía poten ial ele trostáti a de este sistema de argas? Datos: K= 9·10

9

N·m

2·C

−2; qe= 1.602·10

−19C; qp= 1.602·10

−19C.

Respuesta:

la fuerza de atra ión es:

F =9 · 109(1, 602 · 10−19)2

(1, 5 · 10−10)2= 1, 03 · 10−8N

La energía poten ial ele trostáti a es:

U =Kqq′

r= −9 · 109(1, 602 · 10−19)2

1, 5 · 10−10= 1, 54 · 10−18 J

6. Un ele trón se mueve en un ampo magnéti o uniforme

−→B = −0, 8

−→j T. Si en un instante dado su

velo idad es

−→v = 4Ö10

4 −→i (m/s) , determine para el ele trón: a) El ve tor a elera ión. b) La energía

inéti a. ) El radio de la traye toria que des ribe al moverse en el ampo. Dibuje la traye toria que

des ribe el ele trón, así omo su velo idad y a elera ión en un punto de la misma. Datos: qe= -1.6Ö10

−19

C ; me= 9.11Ö10

−31kg.

Respuesta:

a) La fuerza sobre el ele trón es:

−→F = q (−→v ×−→

B ) = −1, 6 · 10−19[

(4 · 104−→i )× (−0, 8−→j )]

= −1, 6 · 10−19(−3, 2−→k ) = 5, 12 · 10−19−→k N

22


la a elera ión será:

−→a =

−→F

m=

5, 12 · 10−19−→k9, 11 · 10−31

= 5, 62 · 1011−→k m · s−2

b) La energía inéti a será:

Ec =1

2mv2 =

1

29, 11 · 10−31(4 · 104)2 = 7, 29 · 10−22 J

) El radio de la traye toria tendrá el valor:

r =mv

qB=

9, 11 · 10−31 · 4 · 1041, 6 · 10−19 · 0, 8 = 2, 85 · 10−7m

la traye toria seguida por el ele trón puede ser representada de la forma siguiente:

7. Considere la distribu ión de dos argas dispuestas sobre dos vérti es de un uadrado de lado L=1m,

omo se muestra en la gura. Cal ule: a) El ve tor intensidad de ampo elé tri o en el punto A. b) El

poten ial elé tri o en el punto A. ) El trabajo realizado por el ampo para llevar una arga de -1C

desde el punto A hasta el punto B. Datos: K=9·10

9N m

2C

2.

Respuesta:

a) De la anterior representa ión grá a puede dedu irse que:

−→E =

−→E1 +

−→E2 =

9 · 109 · 5 · 10−6

(√2)2

(−→i cos 45º+

−→j sen 45º) +

9 · 109 · 5 · 10−6

1

−→j

−→E = 1, 59 · 104−→i + 6, 09 · 104−→j N · C−1

b) El poten ial elé tri o en el punto A es:

VA = V1 +V2 =9 · 109 · 5 · 10−6

√2

+9 · 109 · 5 · 10−6

1= 7, 68 · 105V

23


) El poten ial en el punto B tiene el mismo valor que en el punto A, por lo que:

W = q (VA −VB) = 0V

8. Considere un ondu tor re tilíneo indenido por el que ir ula una orriente elé tri a de 5 A. Está

inmerso en una región del espa io donde hay un ampo magnéti o uniforme de 2 T. Si el ondu tor

está olo ado en un plano perpendi ular al ampo magnéti o, dibuje en un esquema: el ondu tor

(indi ando el sentido de la orriente), el ampo magnéti o y la fuerza que ejer e el ampo magnéti o

sobre el ondu tor. Cal ule el módulo de la fuerza que ejer e el ampo magnéti o sobre un trozo de

ondu tor re tilíneo de longitud 1 m.

Respuesta:

a) El esquema es el siguiente:

El módulo de la fuerza es el siguiente:

F = IlB = 5 · 1 · 2 = 10N

9. En una región del espa io existe un ampo magnéti o uniforme dado por B = 2·10−5i (T) . Cal ule el

ve tor fuerza magnéti a que a túa sobre una partí ula de arga q = 10

6C que entra en di ha región

del espa io on una velo idad

−→v = 5 Ö10

5 −→k (m / s) . Represente en un dibujo los ve tores velo idad

y fuerza aso iados a la partí ula, el ve tor ampo magnéti o y la traye toria que des ribe la partí ula.

Respuesta:

a) La fuerza ejer ida sobre la arga será:

−→F = q (−→v ×−→

B ) = 106(

5Ö105−→k × 2 · 10−5−→i

)

= 10−5−→j N

La representa ión grá a de los ve tores es la siguiente:

La arga des ribirá una traye toria ir ular, uyo radio es:

r =mv

qB

24


10. Un protón se mueve en una región del espa io libre de ampos de fuerzas on una velo idad de 10

8

m·s

−1, en la dire ión y sentido indi ados en la gura. Al al anzar el punto P entra en una región

donde hay un ampo magnéti o uniforme, perpendi ular al papel y ha ia dentro, siendo la velo idad

del protón perpendi ular a di ho ampo. Sabiendo que el protón des ribe una órbita ir ular en el

interior de di ha región , determine: a) La intensidad o módulo del ampo magnéti o B para que el

protón llegue al punto Q situado a 30 m del punto P. b) El módulo de la fuerza que a túa sobre el

protón, así omo su a elera ión. Dibuje ambas magnitudes ve toriales en algún punto de la traye toria.

) El tiempo que permane erá el protón en el interior de la región donde hay ampo magnéti o. Datos:

mp= 1.67·10

−27kg; qp= 1.6· 10

−19C

Respuesta:

a) El radio de la traye toria será: r = 0,15 m, y podremos igualarlo a:

r =mv

qBde donde : B =

mv

qr=

1,67·10−27 · 1081,6·10−19 · 0, 15 = 6, 96T

El módulo de la fuerza será:

∣

∣

∣

−→F∣

∣

∣= qvB = 1,6·10−19 · 108 · 6, 96 = 1, 11 · 10−10N

|−→a | = F

m=

1, 11 · 10−10

1,67·10−27= 6, 64 · 1016m · s−2

) El periodo de la órbita ir ular es:

T =2πr

v=

2π · 0, 15108

= 9, 42 · 10−9s

Puesto que el protón re orre una semi ir unferen ia, el tiempo que se en ontrará el protón bajo la

a ión del ampo elé tri o será:

t =T

2= 4, 71 · 10−9s

11. Se tienen tres argas puntuales idénti as lo alizadas en los puntos que se indi an en el dibujo adjunto.

Cal ule: a) El poten ial elé tri o en el punto P2. b) La intensidad del ampo elé tri o en el punto P1.

) El trabajo ne esario que debe realizar el ampo elé tri o para trasladar una uarta arga q' desde el

innito hasta el punto P2. Datos: q = +1C; q' = 2C; K=9·10

9Nm

2/C

2; 1 µC=10−6

C

Respuesta:

a) El poten ial en en punto P2 será:

V =9 · 109 · 10−6

3+

9 · 109 · 10−6

√22 + 32

+9 · 109 · 10−6

√32 + 42

= 7269, 2V

25


b) A partir de la siguiente representa ión grá a:

Podremos dedu irlo siguiente: −→E =

−→E1 +

−→E2 +

−→E3

−→E = 9 · 109 · 10−6

(−→i cos 36, 87º+

−→j sen 36, 87º

25) +

−→i cos 56, 31º+

−→j sen 56, 31º

13+

−→j

9

)

−→E = 668, 9

−→i + 1790, 6

−→j N · C−1

) El trabajo ne esario será:

W = q(V∞ −V) = 2 · 10−6(0− 7269, 2) =, 015 J

12. En una región del espa io hay un ampo magnéti o uniforme de 5 T. Cal ule el ujo del ampo magnéti o

a través de un uadrado de lado 1 m dispuesto de forma: a) Perpendi ular al ampo magnéti o. b)

Formando un ángulo de 45º on el ampo magnéti o.

Respuesta:

a) El ujo de un ampo magnéti o a través de una super ie es:

ϕ =−→B · −→S = BS cosα

Siendo α el ángulo formado por los ve tores

−→B y

−→S . Hay que tener en uenta que el ve tor

−→S es

perpendi ular a la super ie. Según esto, el ujo será:

ϕ1 = 5 · 1 cos 0 = 5wb ϕ2 = 5 · 1 cos 45º = 3, 54wb

13. Tres argas elé tri as puntuales se en uentran en los vérti es A, B y C de un triángulo, omo se indi a

en la gura. Las argas en A y B son de 1nC, mientras que la arga en C es de -1nC. Determine: a)

La fuerza ele trostáti a que ejer e la arga que está en A sobre la arga que está en C. b) El ampo

26


ele trostáti o reado por las tres argas en el punto P (punto medio del segmento AC). ) La energía

ne esaria para desplazar hasta el punto P la arga que está en C, en presen ia de las otras dos argas.

Datos: K = 9·10

9Nm

2/C

2

Respuesta:

a) Basándonos en la siguiente representa ión grá a:

−−→FAC =

∣

∣

∣

−−→FAC

∣

∣

∣(−−→

i cos45º−−→j sen 45º)=

9 · 109 · 10−9 · 10−9

0, 12 + 0, 12(-

−→i os45º-

−→j sen 45º)=3,87·10−7(−−→

i −−→j )N.

b) Las distan ias de ada una de las argas al punto P son iguales y de valor: r =

√

0, 12 + 0, 12

2=

0, 071m. La intensidad de ampo en el punto P será:

−→E =

−→EA +

−→EB +

−→EC

Siendo:

−→EA =

9 · 10−9

0, 0712(−→i cos45º− −→

j sen 45º) = 1, 26 · 10−6−→i − 1, 26 · 10−6−→j

−→EB =

9 · 10−9

0, 0712(−→i cos45º+

−→j sen 45º) = 1, 26 · 10−6−→i + 1, 26 · 10−6−→j

−→EC =

9 · 10−9

0, 0712(−→i cos45º−−→

j sen 45º) = 1, 26 · 10−6−→i − 1, 26 · 10−6−→j−→E = 3, 78 · 10−6−→i −1, 26 · 10−6−→j N · C−1

) La energía ne esaria será:

W = U0 −U Siendo :

U0 =9 · 109 · 10−9(−10−9)

0, 141+

9 · 109 · 10−9(−10−9)

0, 1= −1, 54 · 10−7J

U =9 · 109 · 10−9(−10−9)

0, 071+

9 · 109 · 10−9(−10−9)

0, 071= −2, 54 · 10−7J

W = U0 −U = −1, 54 · 10−7 − (−2, 54 · 10−7) = 10−7J

27


14. Un ele trón re orre un ír ulo que se en uentra en el interior de una región donde hay un ampo

magnéti o uniforme de 2·10

−4T. El plano que ontiene el ír ulo es perpendi ular al ampo magnéti o

y el ele trón se mueve on una energía inéti a de 3 eV. Cal ule el radio de la órbita e indique en

un dibujo: el ír ulo, el ve tor ampo magnéti o, el ve tor fuerza magnéti a y el ve tor velo idad del

ele trón en un punto de la traye toria. Datos: e

−= 1,60 ·10

19C ; me = 9,11·10

31kg ; 1 eV = 1,60·10

19

J

Respuesta:

La representa ión grá a es la siguiente:

El ampo magnéti o está representado por las aspas y es perpendi ular al plano del papel y dirigido

ha ia dentro.

La velo idad del ele trón se dedu e de:

Ec = 3 · 1, 6 · 10−19 = 4, 8 · 10−19 =1

29, 1 · 10−31v2 v = 1, 027 · 106m · s−1

El radio de la traye toria será:

r =mv

qB=

9, 1 · 10−31 · 1, 027 · 1061, 60 · 10−19 · 2·10−4

= 0, 029m

15. Entre dos pla as argadas plano-paralelas dispuestas verti almente existe un ampo elé tri o uniforme

E en la dire ión horizontal, además del ampo gravitatorio g. Se olo a una partí ula de masa m y

arga q entre las pla as y se deja en reposo. Reali e el diagrama de fuerzas que a túa sobre la partí ula

y des riba el movimiento, y para esto, onsidere que la partí ula pueda tener arga positiva o negativa,

y que el ampo elé tri o puede estar orientado ha ia la dere ha o ha ia la izquierda.

Respuesta:

Las posibles representa iones grá as son las siguientes:

16. En una región del espa io existe un ampo magnéti o uniforme B = -4·10−3i (T). Cal ule la fuerza

magnéti a que a túa sobre una partí ula de arga q = 2·10

−6C que pasa por un punto P de di ha

28


región, según el ve tor velo idad en P sea

−→v1 = 4·10

4 −→k (m/s) o

−→v 2 = 5·10

4 −→j (m/s)

Respuesta:

En el primer aso, la fuerza magnéti a es:

−→F1 = 2 · 10−6[4·104

−→k × (−4 · 10−3−→i )] = −3, 2 · 10−4−→j N

Mientras que en el segundo, tiene el valor:

−→F1 = 2 · 10−6[5·104

−→j × (−4 · 10−3i)] = 4 · 10−4−→k N

17. Considere un protón y un ele trón separados entre sí una distan ia de 2·10

6m. Cal ule el módulo de

la fuerza entre ambas partí ulas y la energía poten ial ele trostáti a de este sistema de argas. Datos:

K= 9·10

9N·m

2·C

2; qe= 1,602·10

19C; qp= 1,602·10

19C..

Respuesta:

El módulo de la fuerza es:

∣

∣

∣

−→F∣

∣

∣=

9 · 109 (1, 602 · 10−19)2

(2 · 10−6)2= 5, 77 · 10−17N

La energía poten ial tiene el valor:

U =9 · 109 (−1, 602 · 10−19) 1, 602 · 10−19

2 · 10−6= −1, 15 · 10−22J

18. En los puntos A(3,0) y B(-3,0) de un sistema de oordenadas artesianas OXY, se jan respe tivamente

las argas QA= - 8 µC y QB= + 5µC. Las oordenadas están expresadas en metros. Cal ule: a) El

ve tor intensidad de ampo elé tri o de la distribu ión de argas, en el punto (0,4). b) El ve tor fuerza

ele trostáti a que ejer e la arga QA sobre la arga QB. ) El trabajo realizado por el ampo elé tri o

de la distribu ión de argas, para traer una arga puntual Q = 2 µC, desde el punto (0,4) hasta el

origen O (0,0). Datos: K = 9·10

9N·m

2·C

2.

Respuesta:

a) A partir de la siguiente representa ión grá a:

Podemos dedu ir lo siguiente:

∣

∣

∣

−→E1

∣

∣

∣=

9 · 109 · 5 · 10−6

32 + 42= 2880N · C−1

∣

∣

∣

−→E2

∣

∣

∣=

9 · 109 · 8 · 10−6

32 + 42= 9000N · C−1

29


−→E1 = 2880 cos 53, 13

−→i + 2880 sen 53, 13

−→j = 1728

−→i + 2304

−→j N · C−1

−→E2 = 9000 cos 53, 13

−→i − 9000 sen 53, 13

−→j = 5400

−→i + 8000

−→j N · C−1

−→E =

−→E1 +

−→E2 = 7128

−→i − 5696

−→j N · C−1

b) La fuerza ejer ida por QB sobre QA se dirige ha ia la primera, y tiene el valor:

−→F =

9 · 109 · 5 · 10−6 · 8 · 10−6

62−→i = 0, 01

−→i N

) El trabajo ne esario será:

W = 2 · 10−6(V(4,0) −V(0,0))

Siendo:

V(4,0) =9 · 109(−8 · 10−6)

5+

9 · 1095 · 10−6

5= −5400V

V(0,0) =9 · 109(−8 · 10−6)

3+

9 · 1095 · 10−6

3= −9000V

W = 2 · 10−6[−5400− (−9000)] = 7, 2 · 10−3J

19. Un ele trón que se mueve on velo idad v, penetra en una región del espa io donde existe un ampo

magnéti o uniforme B. ¾Dé la expresión ve torial de la fuerza que a túa sobre el ele trón? ¾Bajo qué

ondi iones el ampo magnéti o no inuye en su movimiento? Y ¾qué rela ión debe existir entre los

ve tores v y B para que des riba un movimiento ir ular uniforme?

Respuesta:

La fuerza que ejer e el ampo magnéti o sobre el ele trón es:

−→F = q−→v ×−→

B. El ampo magnéti o no

inuirá en el movimiento del ele trón uando la traye toria de éste sea paralela a la dire ión del

ampo magnéti o. Para que el ele trón des riba un movimiento ir ular uniforme, la traye toria del

ele trón debe ser perpendi ular a la dire ión del ampo magnéti o.

20. Enun ie la Ley de Faraday-Henry y Lenz. Cal ule el valor máximo de la orriente elé tri a indu ida en

una espira de resisten ia 5 Ω, sabiendo que el ujo magnéti o a través de la misma viene dado por φ =

5· os(5πt) (Tm2).

Respuesta:

La ley de Faraday-Henry estable e que la fuerza ele tromotriz indu ida sobre una espira es igual a la

varia ión on respe to al tiempo del ujo del ampo magnéti o, esto es:

ε = −dφ

dt

Siendo el signo negativo el que indi a que la fuerza ele tromotriz indu ida tiende a oponerse a la ausa

que los produ e (Ley de Lenz).

La fuerza ele tromotriz indu ida es:

ε = −d (5 cos (5πt)

dt= 25π sen 5πt

El valor máximo de esta fem será de 25π V, por lo que la máxima intensidad de la orriente indu ida

será: I =

25π

5= 5πA

30


21. Explique qué son las líneas de ampo elé tri o y las super ies equipoten iales. Dibuje esquemáti amen-

te las líneas de ampo y las super ies equipoten iales orrespondientes a una arga puntual positiva.

Respuesta:

Las líneas de fuerza de un ampo elé tri o son ada una de las traye torias que una arga unidad

seguiría bajo la a ión del men ionado ampo elé tri o. Las super ies equipoten iales son los lugares

geométri os de todos los puntos en los que el valor del poten ial es el mismo. En el aso de una arga

positiva, la representa ión grá a de línea de fuerza y super ies equipoten iales es la siguiente:

22. Dos partí ulas on argas de +1 mC y de 1 mC están situadas en los puntos del plano XY de oordenadas

(1, 0) y (1, 0), respe tivamente. Sabiendo que las oordenadas están expresadas en metros, al ule: a)

El ve tor ampo elé tri o en el punto (0, 3). b) El poten ial elé tri o en los puntos (1,1) y (3, 3). ) El

trabajo realizado por el ampo para llevar una arga de +1 C desde el punto (1,1) al (3,3). Dato: K =

9 10

9N m

2C

−2.

Respuesta:

a) A partir de la siguiente representa ión grá a: Podemos apre iar que el módulo del ampo magnéti o

reado por ada una de las argas es el mismo, y tiene el valor:

∣

∣

∣

−→E∣

∣

∣=

9 · 109 · 10−6

12 + 32= 900N · C−1

La tangente del ángulo formado por el ve tor ampo debido a la arga positiva y un eje paralelo al eje

X será:

tgα =3

1

α = 71, 56º

31


Mientras que el ángulo formado on di ho eje por el ve tor ampo debido a la arga negativa será:

α = −71, 56. Así pues, en ampo en (0,3) será:

−→E = 900 cos 71, 56 .

−→i + 900 cos (−71, 56) .

−→i + 900 sen 71, 56 .

−→i + 900 sen (−71, 56) .

−→i

−→E = 2 · 900 cos 71, 56 .−→i = 569, 21

−→i N · C−1

b) El poten ial elé tri o en los puntos (1,1) y (3,3) es, respe tivamente:

V1 =9 · 109 · 10−6

√22 + 12

+9 · 109 · (−10−6)

1= −4975V

V3 =9 · 109 · 10−6

√32 + 42

+9 · 109 · (−10−6)√

32 + 22= −696, 15V

) El trabajo realizado será:

W = q (V1 −V3) = 10−6(−4975 + 696, 15) = −4, 28 · 10−3J

23. Un protón que se mueve on velo idad onstante en el sentido positivo del eje X penetra en una región

del espa io donde hay un ampo elé tri o

−→E= = 3,5 10

5 −→k (N/C) y un ampo magnéti o

−→B = 2

−→j

(T) . Determine el módulo de la velo idad que debe llevar el protón al penetrar en la región para que

la atraviese a velo idad onstante, sin ser desviado.

Respuesta:

La fuerza de Lorentz sobre el protón es:

−→F = q (

−→E +−→v ×−→

B )

Para que el protón atraviese la men ionada región del espa io on velo idad onstante y sin experimentar

desvia ión (movimiento re tilíneo y uniforme), la fuerza de Lorentz debe ser nula. Al estar dirigido el

ampo magnéti o a lo largo del eje Y, y moverse el ele trón a lo largo del eje X, la fuerza ejer ida por

el ampo magnéti o sobre el protón estaría dirigida a lo largo del eje Z. Si el ampo elé tri o a túa a

lo largo del eje X, la resultante de las fuerzas debidas al ampo elé tri o y al ampo magnéti o nun a

puede ser nula, por lo que el protón experimentaría una desvia ión en su traye toria.

24. Considere dos argas olo adas sobre dos vérti es de un uadrado de lado 2 m (ver gura). Cal ule:

a) El ve tor intensidad de ampo elé tri o en el punto P. b) El ve tor fuerza ele trostáti a que ejer e

la arga de -2 µC sobre la arga de +2 µC, así omo la energía poten ial ele trostáti a de estas dos

argas. ) El trabajo realizado por el ampo elé tri o para llevar una arga de 1C desde el innito hasta

el punto P. Datos: K=9·10

9N m

2C

2

Respuesta:

El ve tor intensidad de ampo en el punto P puede verse en la siguiente imagen:

32


Los ampos reados por ada arga son, respe tivamente:

−→E1 =

9 · 109 · 2 · 10−6

22 + 22(−→i cos 45º+

−→j sen 45º) = 1182

−→i + 1182

−→j

−→E2 = −9 · 109 · 2 · 10−6

22−→j = −4500

−→j

−→E =

−→E1 +

−→E2 = 1182

−→i − 3318

−→j N · C−1

b) La fuerza ele trostáti a ejer ida por la arga negativa sobre la positiva será:

−→F =

9 · 109 · 2 · 10−6 · 2 · 10−6

22−→i = 9 · 10−3−→i N

La energía poten ial será:

U =9 · 109 · 2 · 10−6(−2 · 10−6)

2= 1, 8 · 10−2J

) En el punto P, el poten ial será:

VP =9 · 109 · 2 · 10−6

√22 + 22

+9 · 109(−2 · 10−6)

2= −2636V

El trabajo será:

W = q (V∞ −VP) = 1 (0 + 2636) = 2636 J

25. Por un ondu tor re tilíneo indenido ir ula una orriente elé tri a de 2 A. Está inmerso en una región

del espa io donde hay un ampo magnéti o uniforma de 5 T y olo ado en un plano perpendi ular al

ampo magnéti o. Represente el ondu tor (indi ando el sentido de la orriente), el ampo magnéti o y

la fuerza que ejer e el ampo magnéti o sobre el ondu tor. Por último, al ule el módulo de la fuerza

que ejer e el ampo magnéti o sobre un trozo de ondu tor re tilíneo de longitud 10 m.

Respuesta:


El módulo de la fuerza será:

F = IlB = 2 · 10 · 5 = 100N

33


26. En una región del espa io existe un ampo magnéti o uniforme B= -10

−6i (T). Cal ule el ve tor fuerza

magnéti a que a túa sobre una partí ula de arga q = 10

−6C que entra en di ha región, en los asos

en que su velo idad es v1 = 4·10

4k (m/s) o v2 = 5·10

4i (m/s). Dibuje en ambos asos los ve tores

velo idad, ampo magnéti o y fuerza magnéti a, así omo la traye toria que des ribe la partí ula.

Respuesta:

La fuerza magnéti a tiene los respe tivos valores:

−→F1 = 106(4 · 104−→k × (−10−6)

−→i ) = −4 · 10−8−→j N

−→F2 = 106(5 · 104−→i × (−10−6)

−→i ) = 0N


Para la primera velo idad, la arga des ribiría un movimiento ir ular en el plano YX, mientras que en

el segundo, al no ejer er fuerza sobre ella el ampo magnéti o, seguiría on su traye toria re tilínea.

27. Una partí ula de arga negativa entra entre las pla as de un ondensador plano-paralelo. Sele ione el

signo de la arga de ada pla a ondu tora del ondensador, represente el ampo elé tri o y el gravita-

torio terrestre y reali e el diagrama de fuerzas sobre la partí ula. Por último, des riba ualitativamente

su movimiento uando el módulo de la fuerza elé tri a es mayor que el de la gravitatoria.

Respuesta:

Suponiendo las pla as del ondensador situadas horizontalmente, la representa ión grá a puede ser:

Si el ele trón se en uentra ini ialmente en reposo, tenderá a desplazarse en línea re ta ha ia la pla a

positiva, on mayor o menor a elera ión según aquella se en uentre en la parte inferior o en la superior.

En aso de que el ele trón llevara un movimiento horizontal, al entrar el el ampo elé tri o adquiri-

ría un movimiento parabóli o ha ia la pla a positiva, on una a elera ión onstante a =

qE±mg

m,

dependiendo el signo+ o - de la orienta ión del ampo elé tri o.

34


5. Físi a moderna.

1. Una varilla, uya longitud en reposo es de 5 m y que tiene 1 kg de masa, está olo ada a lo largo del

eje X de un sistema de oordenadas, y se mueve en esa dire ión on una velo idad de 0.3· . ¾Cuál será

la longitud de la varilla y la masa medida por un observador situado en reposo sobre el eje X? Dato:

= 3x10

8m/s

Respuesta:

El valor de γ es:

γ =1

√

1− v2

c2

= 1, 048

La longitud medida por el observador para el que el objeto se en uentra en reposo (longitud propia) es:

L0 = γL → 5 = 1, 048 · L y L =5

1, 048= 4, 77m

Mientras que la masa será:

m = γm0 = 1, 048 · 1 = 1, 048 kg

2. Tenemos un metal uyo trabajo de extra ión para ele trones es de 3.5 eV. Se ilumina on una luz

mono romáti a y se observa que la velo idad máxima de los ele trones emitidos es de 2·106 m/s.

Cal ula: a) La energía de los fotones in identes y la fre uen ia de los mismos. b) La longitud de onda

de De Broglie aso iada a los ele trones emitidos a .2·106 m/s ) La longitud de onda de la luz on que

hay que iluminar el metal para que la energía inéti a máxima de los ele trones emitidos sea 9.0·10−19

J. Datos: h = 6.63·10−34J·s ; = 3x10

8m/s ; me =9.11·10−31

kg; 1eV=1.6·10−19J.

Respuesta:

a) El trabajo de extra ión, expresado el J será: Wext = 3, 5 · 1, 6 · 10−19 = 5, 6 · 1o−19.Apli ando la

e ua ión del efe to fotoelé tri o y sustituyendo valores, tendremos:

hν = hν0 +1

2mv2 hν = 5, 6 · 10−19 +

1

29, 1 · 10−31(2 · 106)2 = 2, 38 · 10−18 J

La fre uen ia de los fotones es:

ν =E

h=

2, 38 · 10−18

6, 63 · 10−34= 3, 59 · 1015s−1

b) La longitud de onda de De Broglie es:

λ =h

p=

h

mv=

6, 63 · 10−34

9, 1 · 10−31 · 2 · 106 = 3, 64 · 10−10m

) Apli ando de nuevo la e ua ión del efe to fotoelé tri o, tendremos:

hc

λ= 5, 6 · 10−19 + 9, 0 · 10−19 = 1, 46 · 10−18 de donde : λ = 1, 36 · 10−7m

3. Un protón y un ele trón poseen la misma velo idad. ¾Serán iguales sus longitudes de onda de De

Broglie? Razone la respuesta.

35


Respuesta:

No, puesto que la longitud de onda de De Broglie tiene la expresión:

λ =h

p=

h

mv

Al ser diferentes las masas de ele trón y protón, las respe tivas longitudes de onda de De Broglie será

también diferentes.

4. Para romper el enla e quími o de las molé ulas de la piel humana y ausar quemaduras solares, se

requiere un fotón on una energía de aproximadamente 3.5 eV. ¾Cuál es la longitud de onda de la

radia ión solar aso iada on fotones de esa energía? ¾Cuál sería la longitud de onda de De Broglie de

ele trones on una energía inéti a de 3.5 eV? Datos: h = 6.63Ö10

−34J·s; = 3Ö10

8m/s; 1 eV =

1.6Ö10

−19J; me= 9.11·10−31

kg

Respuesta:

La energía de estos fotones es: E = 3, 5 ·1, 6·10−19J = 5,6·10−19

J. A partir de la rela ión entre energía

y longitud de onda:

λ =hc

E=

6,63 · 10−34 · 3 · 1085, 6 · 10−19

= 3, 55 · 10−7m

La velo idad de los ele trones se al ularía a partir de la energía inéti a:

5, 6 · 10−19 =1

29, 11 · 10−31v2 v = 1, 11 · 106m · s−1

la longitud de onda de De Broglie será:

λ =h

mv=

6,63 · 10−34

9, 11 · 10−31 · 1, 11 · 106 = 6, 56 · 10−10m

5. Considere un material ondu tor sobre el que se ha e in idir luz mono romáti a on el propósito de

arran arle ele trones. a) Determine el trabajo de extra ión del material sabiendo que al in idir luz de

fre uen ia 1.4·10

15s

1emite ele trones on velo idad máxima de 10

6m/s. b) Determine la longitud

de onda de De Broglie de los ele trones emitidos on esa velo idad máxima de 10

6m/s, y también,

la longitud de onda de la luz in idente de fre uen ia 1.4·10

15s

1. ) Si in ide sobre el material una

nueva luz mono romáti a de longitud de onda de 10

8m, uál será ahora la velo idad máxima de los

ele trones emitidos. Datos: me = 9.11·10

31kg; h = 6.626·10

34J s; =3·10

8m/s.

Respuesta:

a) Apli ando la e ua ión del efe to fotoelé tri o:

6,626·1034 · 1,4·1015 = Wext +1

29,11·1031(106)2

Wext = 4, 73 · 10−19 J

b) La longitud de onda de De Broglie es:

λ =h

p=

6,626·1034

9,11·1031 · 106 = 7, 27 · 10−10m

La longitud de onda de la luz in idente tiene el valor:

λ =c

ν=

3 · 1081, 4 · 1015 = 2, 14 · 10−7m

36


) Apli ando de nuevo la e ua ión del efe to fotoelé tri o:

6,626·10343 · 10810−8

= 4, 73 · 10−19 +1

29,11·1031v2

v = 6, 53 · 106m · s−1

6. Un observador en reposo respe to de una varilla realiza una medi ión y obtiene una longitud y una

masa de 10 m y 25 kg, respe tivamente. Cuál será la longitud y la masa de la varilla, medidas por un

observador que se mueve on una velo idad de 0.5 respe to de la varilla, a lo largo de la dire ión que

dene la varilla.

Respuesta:

La longitud propia de la varilla, L será:

L = 10 = γL′ γ =1

√

1− v2

c2

=1√

1− 0, 25= 1, 155

La longitud medida por el observador que se desplaza es:

L′ =L

γ=

10

1, 155= 8, 66m

La masa,medida por di ho observador, será:

m = γm0 = 1, 155 · 25 = 28, 875 kg

7. Una nave espa ial parte desde la Tierra ha ia un úmulo globular situado a 100 años-luz de distan ia.

Si el viaje se realiza a una velo idad de 0,995· . ¾ uánto tiempo se ha empleado en el viaje para

observadores terrestres? ¾Y para los pasajeros de la nave?

Respuesta:

a) El tiempo trans urrido para un observador situado en la Tierra es:

t′ =100 c

0,995 c= 100, 50 anos

Para el observador situado en la nave, el tiempo trans urrido (tiempo propio), será:

t =t′

γ

γ =1

√

1− 0, 9952c2

c2

= 10

Siendo, por tanto:

t =t′

γ=

100,50

10= 10, 05 anos

:

37


8. Una barra metáli a mide 10 m de longitud y tiene 10 g de masa uando está en reposo respe to de un

observador. A ontinua ión, la barra se aleja de di ho observador a una velo idad onstante de 0.7 .

Qué nueva longitud y masa mide el observador en estas ondi iones. Dato: = 3·10

8m/s.

Respuesta:

a) La longitud medida por el observador respe to al que la barra se en uentra en reposo (longitud

propia), es:

L = 10 = γL′ γ =1

√

1− v2

c2

=1

√

1− 0, 72c2

c2

= 1, 40

Despejando, obtenemos:

L′ =L

γ=

10

1, 40= 7, 14 cm

La masa medida por el observador será:

m = γm0 = 1, 40 · 10 = 14 g

9. Determine la energía inéti a de un ele trón, expresada en eV, uya longitud de onda de De Broglie es

igual a la longitud de onda de un fotón de energía 10

4eV. Datos: h = 6,63·10

−34J s; = 3·10

8m s

−1;

me= 9,11·10

−31kg; 1 eV = 1,6·10−19

J

Respuesta:

La longitud de onda del fotón se dedu e de:

1, 6 · 10−19·104 =hc

λ=

6, 631034 · 3 · 108λ

λ = 1, 24 · 10−10m

La longitud de onda de De Broglie es:

λ = 1, 24 · 10−10 =h

mv=

6, 63 · 10−34

9, 11·10−31vv = 5, 87 · 106m · s−1

Siendo, por tanto la energía inéti a:

Ec =1

29, 11 · 10−31(5, 87 · 106)2 = 1, 57 · 10−17J

10. Se ha e in idir luz mono romáti a, pro edente de un láser de He-Ne, sobre una super ie de potasio.

El láser tiene 3 mW de intensidad y una longitud de onda de 632 nm, mientras que la super ie

tiene un trabajo de extra ión de 2,22 eV. Determine la energía de los fotones ¾Se produ irá emisión

fotoelé tri a?, ¾qué o urrirá si aumentamos la intensidad del láser de He-Ne? Justique sus respuestas.

Datos: h = 6,63 10

34Js ; = 3 10

8m/s ; 1 eV = 1,602 10

19J ; 1 nm = 10

9m.

Respuesta:

La energía del fotón in idente es:

E =hc

λ=

6, 631034 · 3 · 1086, 32 · 10−7

= 3, 15 · 10−19J

Puesto que el trabajo de extra ión es: Wext = 2, 22 · 1, 6 · 10−19 = 3, 52 · 10−19J, superior, por tanto,

a la energía de los fotones in identes, no se produ irá emisión fotoelé tri a.

Un aumento en la intensidad del láser no afe tará a la emisión fotoelé tri a, pues la energía de ada

fotón es la misma. Lo que aumentaría es el número de fotones por unidad de tiempo que in idirían

sobre la super ie metáli a.

38


11. Una nave interestelar parte ha ia la estrella Sirio situada a 8,7 años luz de la tierra viajando a una

velo idad de 0,85 . Cal ule el tiempo (expresado en años) que invierte la nave en al anzar di ha estrella

según los relojes terrestres y según los relojes de a bordo.

Respuesta:

El tiempo medido por un observador terrestre será:

t′ =8, 7 c

0,85 c= 10, 24 anos

El valor de \gamma es el siguiente

γ =1

√

1− 0, 852c2

c2

= 1, 898

Mientras que el tiempo medido por un observador en la nave (tiempo propio), será:

t =t′

γ=

10, 24

1, 898= 5, 39 anos

12. Cal ule el defe to de masa y la energía de enla e por nu león del isótopo

8537Rb , uya masa atómi a es

84,9117 u. Datos: mp = 1,0073 u; mn = 1,0087 u; 1 u = 931 MeV/

2.

Respuesta:

El defe to de masa es: ∆m = 37 · 1, 0073 + 48 · 1, 0087− 84, 9117 = 0, 776 u, que orresponde a una

energía de 0,776·931 = 722, 456 MeV. La energía de enla e por nu león es:

En =722, 456

85= 8, 5MeV

13. En una ierta región del espa io se mueve un protón a la velo idad de 1·104 Km/h. Cal ule el momentolineal y la longitud de onda de De Broglie aso iada a di ho protón. Datos: h = 6,63·10−34

J s; mp =

1,67·10−27kg.

Respuesta:

El momento lineal es:

p = mv = 1, 67 · 10−27 · 104

3, 6= 1, 86 · 10−22kg ·m · s−1

14. ¾Qué se entiende por energía de enla e nu lear? Determine la energía de enla e por nu león del

146 C

, uya masa atómi a vale 14,0032 u. Datos: mproton = 1,0073 u; mneutron = 1,0087 u; 1 u = 931,5

MeV/

2.

Respuesta:

La energía de enla e nu lear es la diferen ia entre la energía de un nú leo y la de sus omponentes, onsi-

derados individualmente. Así pues, podremos es ribir: Ee = (mnucleo − Z ·mproton − (A− Z)mneutron) c2.

La energía de enla e por nu león para el

146 C es:

(14, 0032− 6 · 1, 0073− 8 · 1, 0087) · 931, 514

= −7, 33MeV/nucleon

39


15. Determine el trabajo de extra ión de un material sabiendo que, uando se ha e in idir luz de fre uen ia

2,5·10

15s

1, emite ele trones on velo idad máxima de 5·10

5m/s. Datos: me = 9,11·10

31kg; e- = 1,60

·10

19C; 1 eV = 1,60·10

19J; h = 6,626·10

34J s; = 3·10

8m/s.

Respuesta:

El trabajo de extra ión se puede obtener de la igualdad:

Wext = hν − 1

2mv2 = 6, 63 · 10−34 · 2, 5 · 1015 − 1

29, 11 · 10−31 · (5 · 105)2

Wext = 1, 54 · 10−18J

16. Una nave espa ial mide 50 m de longitud para un observador en reposo respe to de ella. La nave parte

de la Tierra ha ia el planeta Marte. Los habitantes de una olonia de di ho planeta dijeron que la

nave medía 49.9 m uando pasó por delante de ellos ¾A qué velo idad viajaba la nave respe to de los

habitantes de la olonia situada en Marte? Dato: = 3·10

8m/s.

Respuesta:

La longitud propia de la nave es de 50 m, mientras que la longitud de la nave respe to al observador de la

olonia es de 49,9 m. Teniendo en uenta la rela ión: l′ =l

γ, obtendremos: γ =

1√

1− v2

c2

=l

l′=

50

49, 9.

Despejando, tendremos:

1,002 =1

√

1− v2

c2

v = 0, 063 c

40

canarias · 2019. 7. 7. · canarias uebas pr u eba fÍsica a) la elo vcidad de escap e del planeta...

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