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i
INSTITUTO DE FISICA - UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
Tese de Doutorado
Caos, descoerencia, protecao de estados e a transicaoquantico-classico para ıons aprisionados
Andre Ricardo Ribeiro de Carvalho
Orientador: Luiz Davidovich
ii
“E preciso manter o caos dentro de sipara dar luz a uma estrela dancante.”
Goethe
iii
Aos meus pais e as minhas meninas:Marcele e Clara.
iv
Agradecimentos
Agradeco ao Luiz pela orientacao e pelo contagiante entusiasmo pela ciencia.
Agradeco tambem aos amigos do grupo de otica quantica: Kike, Paulo, LG, Marcelo,
Perola, Luis Andre e Mazolli pelos momentos que passamos juntos na universidade,
nos campos de futebol e nas inesquecıveis viagens. Agradeco ao Nicim Zagury e
ao Dario pela excelente companhia quando estivemos na Alemanha e ao Ruynet
pela amizade e por todos esses anos de trabalho em conjunto. Devo agradecer
aos grandes amigos do pH, em particular ao Rui Alves e ao Carlos Ferrao, que me
receberam de bracos abertos apos um perıodo de ausencia. Devo muito aos meus
pais e aos meus irmaos pelo apoio que me deram durante toda a minha vida e
principalmente a Marcele e a Clara por terem se tornado a razao de tudo isso.
v
Resumo
A transicao quantico-classico para sistemas quanticos com analogos classicos
caoticos e estudada para o caso de ıons aprisionados em uma armadilha harmonica
submetidos a pulsos periodicos. Mostramos que neste sistema e possıvel nao so
construir dinamicas nao-lineares que levem a uma dinamica caotica como tambem
criar ambientes artificiais, chamados de reservatorios, atraves da manipulacao de
campos eletromagneticos externos. Propomos, a partir da possibilidade de enge-
nharia de reservatorios, um metodo para a protecao de alguns estados quanticos
contra os efeitos da descoerencia. Analisamos, tambem, os papeis desempenhados
pela interacao com o ambiente e pelo limite macroscopico na transicao quantico-
classico mostrando a importancia da existencia de ambos os efeitos. Estudamos
a dinamica caotica na presenca de um reservatorio difusivo e de um dissipativo e
comparamos a influencia de cada um deles na obtencao do limite classico.
vi
Abstract
The quantum-classical transition for quantum systems with a chaotic classi-
cal analog is studied for ions confined in a harmonic trap under the influence of
periodic pulses. It is shown that in this system it is possible to build nonlinear inte-
ractions leading to chaotic dynamics and also to construct artificial environments,
called reservoirs, through the manipulation of external electromagnetic fields. We
propose a method for protecting quantum states against decoherence, based on
reservoir engineering. We also analise the roles played by the system-reservoir in-
teraction and the macroscopic limit in the quantum-classical transition, showing
that both effects are important. We study the chaotic dynamics in the presence
of diffusive and dissipative reservoirs, comparing the influence of each other in
obtaining the classical limit.
Conteudo
1 Introducao 1
2 Ions Aprisionados 5
2.1 Ions aprisionados e nıveis vibracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Interacao com laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Efeitos da emissao espontanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Engenharia de Reservatorios 15
3.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Eliminacao adiabatica e equacoes mestras . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.1 Apresentacao do metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.2 Reservatorio a temperatura nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.3 Reservatorio de aquecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.4 Reservatorio de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Interacao com campos aleatorios: reservatorio difusivo . . . . . . . . . 28
3.4 Protecao de estados quanticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4.1 Protecao de uma combinacao linear de autoestados de energia
do movimento vibracional ionico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4.2 Protecao de um “qubit” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4.3 Protecao de um estado comprimido . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4.4 Protecao de um estado tipo gato de Schrodinger . . . . . . . . . 39
4 Caos Classico: o Oscilador Harmonico Pulsado 41
vii
viii CONTEUDO
4.1 Equacoes de movimento e mapeamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 Linearizacao e pontos fixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3 Evoluindo uma distribuicao classica de probabilidades . . . . . . . . . 50
4.4 Evolucao classica com reservatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4.1 Reservatorio dissipativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4.2 Reservatorio difusivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5 Caos em ıons aprisionados 61
5.1 Interacao com Laser e hamiltoniano Caotico . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.2 Comparacao com variaveis classicas e escalamento . . . . . . . . . . . 64
5.3 Evoluindo o Estado Quantico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3.1 Dinamica do pulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.3.2 Dinamica entre os pulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.4 Consideracoes numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6 Transicao Quantico-Classico 75
6.1 Funcao de Wigner × distribuicao classica de probabilidades . . . . . . 77
6.2 Funcao caracterıstica e tempo de separacao . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.2.1 Funcao caracterıstica para o sistema isolado . . . . . . . . . . . 86
6.2.2 Reservatorio a temperatura zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.2.3 Reservatorio difusivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7 Conclusao 97
Apendice A 101
A.1 Reservatorio difusivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
A.2 Reservatorio a temperatura nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Apendice B 107
Apendice C 109
CONTEUDO ix
Apendice D 111
x CONTEUDO
Capıtulo 1
Introducao
Nascida no inıcio do seculo XX, a mecanica quantica e a base da fısica moderna
e responsavel pelo imenso progresso nesta area do conhecimento humano. O su-
cesso de suas explicacoes para os fenomenos microscopicos possibilitou o fabuloso
desenvolvimento tecnologico e cientıfico vivido pelo mundo cotemporaneo. No en-
tanto, tao ou mais importante que as bem sucedidas predicoes da teoria quantica
foi o impacto de suas novas ideias na maneira de pensar a natureza. Novos con-
ceitos como a nocao de estado quantico, a possibilidade de superposicao coerente
dos mesmos e uma descricao calcada em probabilidades entraram em conflito com
a ja bem estabelecida visao classica de mundo.
Esta incompatibilidade com o pensar classico provocou intensos debates pro-
tagonizados pelos principais fısicos envolvidos na construcao da nova teoria no
inıcio do seculo XX [1]. Mesmo um seculo depois de iniciada sua elaboracao, da
verificacao de sua consistencia e de seus sucessivos exitos na previsao de resulta-
dos experimentais, a teoria quantica ainda e alvo de interpretacoes [2] que compa-
tibilizem seus conceitos abstratos com o senso comum utilizado para descrever o
mundo classico.
Uma questao importante, nesse contexto, e compreender de que forma a teoria
fundamental dos processos fısicos da natureza, a mecanica quantica, da origem
a teoria classica que, durante seculos, mostrou-se capaz de descrever o mundo
macroscopico. A emergencia do classico a partir do mundo microscopico tem sido
1
2 CAPITULO 1. INTRODUCAO
objeto de grande interesse desde os primordios da teoria quantica, epoca em que
foi formulado por Bohr o princıpio da correspondencia (1923).
De acordo com este princıpio, as previsoes quanticas devem corresponder as
classicas no limite em que o sistema se torne macroscopico. A definicao de ma-
croscopicidade esta ligada a relacao entre o tamanho do sistema e as escalas onde
os fenomenos quanticos sao importantes. O limite classico e usualmente consi-
derado como aquele em que a constante de Planck (h), fundamental na definicao
da escala quantica, tende a zero. Obviamente que, sendo uma constante, h nao
pode ser mudada e, no limite macroscopico, o que deve ir para zero e a razao entre
a constante de Planck e uma grandeza dimensionalmente equivalente do sistema,
como a acao classica.
No entanto, argumentos baseados somente nestas relacoes de escala nao pare-
cem ser suficientes para explicar, por exemplo, porque nao sao observadas, em ob-
jetos macroscopicos, superposicoes coerentes de estados permitidas pela mecanica
quantica. Uma das possibilidades de explicacao da transicao quantico-classico e
formulada a partir da teoria da descoerencia [3]. Esta teoria baseia-se no fato de
os sistemas quanticos nao serem perfeitamente isolados do resto do universo de
maneira que a interacao entre os graus de liberdade que definem as variaveis ma-
croscopicas do sistema sob estudo e os demais graus de liberdade que compoem
o ambiente a sua volta previne a existencia de superposicoes coerentes no mundo
macroscopico.
No entanto, a descricao probabilıstica intrınseca da fısica quantica nao foi a
unica a perturbar os alicerces do determinismo cientıfico. Dentro da propria fısica
classica existem sistemas nao-lineares onde a evolucao atraves de equacoes deter-
minısticas gera a imprevisibilidade. Tais sistemas, chamados caoticos, apresentam
extrema sensibilidade as condicoes iniciais, ou seja, uma pequena diferenca nessas
condicoes gera resultados completamente diferentes no futuro. Como nao somos
capazes de obter com certeza a situacao inicial de um sistema, apos um tempo
perdemos a possibilidade de previsao. Este tipo de fenomeno ja havia sido nota-
3
do no fim do seculo XIX por Poincare mas so em meados do seculo XX o estudo
dos sistemas dinamicos caoticos avancou em diversas areas como fısica, quımica,
biologia e economia [4].
Na mecanica quantica estes sistemas foram pouco explorados ate as ultimas
decadas do seculo XX quando surgiu o interesse na transicao quantico-classico e
nos efeitos quanticos de sistemas classicamente caoticos [5]. A dinamica caotica
torna ainda mais delicada a discussao a respeito do limite classico e e um dos
topicos tratados nesta tese.
A discussao aqui e dirigida para a questao da transicao quantico-classico em
um sistema fısico com reais possibilidades de implementacao experimental, o sis-
tema de ıons aprisionados em uma armadilha harmonica. O capıtulo 2 contem
material introdutorio sobre a dinamica de ıons aprisionados e suas interacoes com
campos eletromagneticos. No capıtulo 3 discute-se a producao de diferentes tipos
de reservatorios para os ıons atraves da manipulacao de tais interacoes e tambem
de que forma isto pode ser utilizado para a protecao de alguns estados quanticos
contra efeitos indesejaveis do processo de descoerencia. No capıtulo 4 e feita uma
rapida introducao a respeito de sistemas caoticos dando enfase a analise do oscila-
dor harmonico pulsado enquanto que no capıtulo 5 e mostrado como implementar
fisicamente este modelo em ıons. Finalmente no capıtulo 6 sao apresentados os
resultados obtidos assim como uma discussao a respeito do limite classico desse
sistema.
4 CAPITULO 1. INTRODUCAO
Capıtulo 2
Ions Aprisionados
Na introducao falamos a respeito da importancia dos experimentos com ıons
aprisionados no estudo dos aspectos fundamentais da teoria quantica. Neste
capıtulo desenvolveremos as relacoes basicas da dinamica de um ıon interagindo
com campos eletromagneticos. Iniciaremos discutindo brevemente o movimento
quantizado do ıon numa armadilha de Paul para em seguida deduzir as equacoes
relativas a aplicacao de campos eletromagneticos externos ao mesmo.
2.1 Ions aprisionados e nıveis vibracionais
As armadilhas de Paul sao uma das mais utilizadas para o armazenamento de
um unico ıon [6, 7]. Nao faremos aqui uma deducao detalhada das equacoes da
armadilha 1 mas apenas nos limitaremos a uma descricao qualitativa da mesma
com o objetivo de introduzir o hamiltoniano que descreve a dinamica do centro de
massa do ıon.
Este tipo de armadilha combina a acao de campos eletrostaticos com campos
de radio frequencia (rf) dependentes do tempo. A utilizacao do campo de rf se de-
ve a impossibilidade de se gerar um potencial confinante nas 3 direcoes espaciais
somente com campos estaticos. Uma maneira ilustrativa de entender o funciona-
mento deste tipo de armadilha, em duas dimensoes, e a partir da rotacao de um
potencial tipo sela como mostra a fig. (2.1).
1Para uma discussao mais completa consultar [7] e suas referencias.
5
6 CAPITULO 2. IONS APRISIONADOS
(b)(a)
Figura 2.1: (a) Potencial tipo sela correspondendo a uma direcao estavel e ou-tra instavel. (b) A rotacao do mesmo com uma frequencia apropriada alterna asdirecoes gerando um potencial efetivo final estavel.
O campo estatico gera um potencial estavel em uma das direcoes e instavel em
outra (fig. 1-a). A rotacao alterna periodicamente essas direcoes de maneira que a
solucao final do problema e um potencial efetivo harmonico em todas as direcoes
(fig. 1-b)
V (xi) =∑
i=x,y,z
mν2i
2x2i . (2.1)
As frequencias νi podem ser diferentes umas das outras abrindo a possibilidade
de contrucao de armadilhas lineares [7] onde o movimento do ıon fica restrito prati-
camente a uma dimensao. Classicamente teremos entao uma partıcula movendo-
se sob um potencial harmonico na direcao i (x) e, portanto, o hamiltoniano do
sistema sera dado por
H0 =mν2
2x2 +
p2
2m. (2.2)
Podemos quantizar o movimento do ıon na armadilha substituindo as variaveis
x e p pelos operadores correspondentes x e p, observando-se as condicoes usuais
de comutacao entre os mesmos
H0 =mν2
2x2 +
p2
2m. (2.3)
2.1. IONS APRISIONADOS E NIVEIS VIBRACIONAIS 7
Os operadores de levantamento e abaixamento do oscilador harmonico sao de-
finidos, respectivamente, por
a† =1
2
(X − iP
)e a =
1
2
(X + iP
), (2.4)
com X = x/∆x e P = p/∆p. Nestas relacoes aparecem as dispersoes de posicao e
momentum do estado fundamental definidas, respectivamente, por
∆x =
√h
2mνe ∆p =
√hmν
2. (2.5)
Podemos, entao, reescrever o hamiltoniano livre do centro de massa do ıon na
armadilha, a menos de um termo constante, como
Hcm = hνa†a. (2.6)
Para uma descricao mais geral do ıon deve-se somar ao hamiltoniano vibracio-
nal uma parte relativa a energia dos seus nıveis eletronicos. Estaremos simplifi-
cando a estrutura interna do atomo considerando um sistema de dois nıveis como
ilustrado na fig. (2.2)
ν
Γ
|2〉
|1〉
ω21
Figura 2.2: Esquema de nıveis eletronicos e vibracionais do ıon. ω21 = ω2 − ω1 ea frequencia de transicao entre os nıveis 2 e 1, ν a frequencia vibracional e Γ umapossıvel taxa de decaimento entre os nıveis.
Esta simplificacao e justificada por ser a transicao 2 → 1 a unica ressonante
com os possıveis campos interagentes com o atomo. O hamiltoniano livre sera:
H0 = Hcm + Hele = hνa†a+ hω1A11 + hω2A22, (2.7)
8 CAPITULO 2. IONS APRISIONADOS
onde Aij = |i〉〈j| sao, para i 6= j, os operadores de transicao eletronica, e, para i = j,
os projetores nos dois estados eletronicos.
2.2 Interacao com laser
A interacao da radiacao com o ıon confinado pode acontecer, dependendo da
frequencia do campo incidente, atraves de seus graus de liberdade internos, ou
externos. Entende-se por graus de liberdade internos aqueles associados com a
estrutura de nıveis eletronicos dos atomos enquanto que os externos representam
o movimento quantizado do centro de massa da partıcula.
As frequencias tıpicas de transicoes eletronicas nos experimentos com arma-
dilhas de ıons e da ordem de 1015Hz para as transicoes oticas, de GHz para as
transicoes entre nıveis hiperfinos enquanto que o centro de massa oscila na faixa
de uma dezena de MHz no mesmo tipo de montagem experimental [7, 8, 9, 10, 11].
Uma das caracterısticas notaveis que colocam o sistema de ıons aprisionados
em destaque no cenario de experimentos fundamentais em mecanica quantica ho-
je e a possibilidade de manipulacao de estados vibracionais atraves de estados
eletronicos e vice-versa. A producao de emaranhamento [8, 12], a construcao de
portas logicas quanticas [9, 13], a producao [10, 14] e deteccao de estados vibra-
cionais nao classicos [11, 15] e o teletransporte [16] sao exemplos de onde se tira
proveito dessa interligacao entre estados internos e externos do ıon.
Uma maneira simples de justificar que transicoes eletronicas podem afetar o
estado vibracional do sistema e pensando em conservacao do momento. Quan-
do um eletron transiciona de um estado para outro emitindo, por exemplo, um
foton, ele sofrera um recuo, alterando, portanto, seu estado de movimento. Es-
sas alteracoes podem ser desejaveis ou nao, dependendo se ocorrem de maneira
controlada atraves da interacao com os campos aplicados ou se acontecem ocasio-
nalmente por efeito de emissao espontanea.
2.2. INTERACAO COM LASER 9
Interacao direta com o centro de massa
Consideremos a situacao em que se aplica sobre o ıon, confinado a mover-se ao
longo do eixo Ox, um campo de radiofrequencia E(t), excitando, ressonantemente,
o movimento vibracional. A interacao direta deste campo com o centro de massa
do ıon pode ser descrita, desprezando a variacao do campo com x, atraves do
hamiltoniano [17, 18]
HI = −ex E(t) = −e√
h
2mν(a† + a)E(t). (2.8)
Vamos considerar um campo aproximadamente monocromatico oscilando com
a mesma frequencia que os ıons e com uma envoltoria E(t) lentamente variavel no
tempo. Passando para a descricao de interacao obtemos
˜HI = −µ
(˜a† + ˜a
) (E(+)(t)e−iνt + E(−)(t)eiνt
)
= −µ(a†eiνt + ae−iνt
)(E(+)(t)e−iνt + E(−)(t)eiνt
), (2.9)
onde E(+)(t) e E(−)(t) sao as envoltorias correspondentes as partes de frequencia po-
sitiva e negativa do campo, respectivamente, til representa operadores na descricao
de interacao e
µ ≡ −e√
h
2mν. (2.10)
Fazendo a aproximacao de onda girante, que consiste em desprezar termos
rapidamente oscilantes em (2.9), podemos escrever
˜HI = −µ
[E(+)(t)a† + E(−)(t)a
]. (2.11)
Interacao com nıveis eletronicos
Adicionaremos a situacao descrita pela fig. (2.2) a interacao com um laser de
frequencia ωL e vetor de onda kL. Na aproximacao de dipolo eletrico o hamiltoniano
e [17, 18]
H = Hcm + Hele + Hint
= hνa†a+ hω1A11 + hω2A22 +h
2ΩL(t)A21e
i(kLx·x−ωLt) +H.c., (2.12)
10 CAPITULO 2. IONS APRISIONADOS
sendo Aij os operadores de transicao eletronica e x o operador posicao do centro
de massa do ıon definidos anteriormente e kLx = kL cos θ a componente do vetor
de onda na direcao de vibracao do ıon. A frequencia de Rabi ΩL(t) do sistema e
definida por
ΩL(t) = − 1
h|d12 · εL| EL (2.13)
onde εL e o vetor unitario na direcao de polarizacao do laser, EL a amplitude do
campo e d12 = −e〈1|r|2〉 o elemento de matriz do momento de dipolo eletrico entre
os estados 1 e 2, sendo r o vetor posicao do eletron.
A dependencia com o tempo na frequencia de Rabi e dada pelo perfil temporal
do campo aplicado. No caso de um laser contınuo esta dependencia temporal
nao existe e, portanto, ΩL(t) ≡ ΩL. Note que a aproximacao de dipolo eletrico
implica em desprezar a variacao do campo em uma regiao da ordem de grandeza
das dimensoes do ıon, contudo, a dependencia do campo com o centro de massa
do ıon e mantida.
O fato de o movimento ionico estar quantizado reflete-se no aparecimento do
operador x na parte espacial do hamiltoniano de interacao. Desta forma, a cada
transicao eletronica dada pelos operadores Aij = |i〉〈j|, teremos modificacoes no
estado vibracional. O efeito dessas alteracoes depende do campo empregado e
de que maneira o ıon encontra-se aprisionado. No entanto, podemos reunir os
diferentes fatores em um unico parametro chamado parametro de Lamb-Dicke η
que da uma medida da localizacao do atomo na armadilha, quando no estado
fundamental, em comparacao com o comprimento de onda da radiacao incidente
η = kL∆x cos θ = kL cos θ
√h
2mν=hkL cos θ
∆p, (2.14)
ou tambem a razao entre o momento do foton absorvido (ou emitido) e a incerteza
no momento do atomo (tambem quando no estado fundamental). Nas relacoes
acima θ e o angulo entre o eixo do movimento e o vetor de onda da radiacao.
Quando η e muito pequeno dizemos que estamos no limite de Lamb-Dicke. Nes-
sa regiao o ıon esta bem localizado na armadilha em relacao ao comprimento de
2.2. INTERACAO COM LASER 11
onda da radiacao e podemos considerar que somente o valor do campo no centro
do potencial harmonico e relevante para a interacao. Alem disso o momento do
f’oton e pequeno quando comparado com a incerteza no momento do ıon, ou se-
ja, o movimento do centro de massa do atomo e pouco influenciado pela radiacao
incidente. Quando nos afastamos do limite de Lamb-Dicke a variacao espacial do
campo torna-se relevante, gerando um comportamento nao-linear importante [19].
Supondo que o problema esteja restrito a uma dimensao e que a direcao de
incidencia do laser seja coincidente com o eixo de quantizacao podemos escrever
os modos espaciais do campo como
eikLx = eiη(a+a†) = e−η2/2∑
l,m
(iη)l+m
l!m!(a†)lam, (2.15)
onde na ultima igualdade foi utilizada a formula de Baker-Campbell-Hausdorff e
as exponenciais foram expandidas em a e a†.
A manipulacao controlada das alteracoes dos estados vibracionais atraves das
transicoes eletronicas sera possıvel se conseguirmos selecionar quais nıveis estarao
interagindo com o campo. O regime em que essa situacao e alcancada e chamado
de limite de banda lateral resolvida.
Resolver as bandas laterais significa que temos condicoes de escolher frequencias
do laser tais que se consiga diferenciar entre um estado vibracional e outro. Is-
so nao seria possıvel, por exemplo, se a largura em frequencia do campo, ou da
transicao eletronica, ou ainda o alargamento por potencia associado a ΩL fossem
maiores que a diferenca entre os nıveis vibracionais ja que, neste caso, varios esta-
dos vibracionais estariam envolvidos na transicao. Assim, para obtermos o limite
de banda lateral resolvida, devemos satisfazer a:
ν ΩL,Γ. (2.16)
Sob essas condicoes podemos sintonizar nosso laser na k-esima banda lateral,
ou seja, com uma frequencia ωL = ω21 − kν. Utilizando esta relacao podemos es-
crever o hamiltoniano (2.12) na descricao de interacao (indicada pelo til sobre o
12 CAPITULO 2. IONS APRISIONADOS
operador)
˜H int =
hΩL
2e−η
2/2A21
∑
l,m
(iη)l+m
l!m!(a†)lamei(k+l−m)νt . (2.17)
Os termos rapidamente oscilantes terao contribuicao menor que os demais e
serao desprezados (aproximacao de onda girante), com isso, so reteremos os termos
com m = l+ k e o somatorio duplo reduz-se a um so
˜Hint =
hΩL
2A21(iη)kfk(a†a)ak + H.c.
= hg(A21d+ A12d†), (2.18)
com
fk(a†a) = e−(η2/2)
∞∑
l=0
(−1)lη2l
l!(k+ l)!a†
l
al (2.19)
e
d = fk(a†a)ak. (2.20)
Nesta forma fica evidente a atuacao do operador ak a cada vez que o ıon transiciona
do estado 1 para o 2 e seu hermiteano conjugado quando de 2 para 1. Alem disso,
e no operador fk e na escolha apropriada de k que residem as possibilidades de
comportamento nao-linear na dinamica vibracional [19, 20].
2.3 Efeitos da emissao espontanea
Para uma descricao completa da dinamica do ıon e necessario considerar, tambem,
a interacao do mesmo com um reservatorio de modos do campo eletromagnetico
que dara origem a emissao espontanea do atomo. A evolucao temporal do opera-
dor densidade total (incluindo as partes relativas ao movimento vibracional e aos
estados eletronicos), obtida a partir dos metodos usuais [20, 21], e
dρ
dt=
Γ
2
(2A12
¯ρA21 − A22ρ− ρA22
)(2.21)
onde Γ e a taxa de relaxacao da transicao eletronica e
¯ρ =1
2
∫ 1
−1dsW (s)eiηe(
˜a+ ˜a†)sρ e−iηe(˜a+ ˜a†)s (2.22)
2.3. EFEITOS DA EMISSAO ESPONTANEA 13
contem os efeitos da emissao na energia vibracional na direcao x. O parametro de
Lamb-Dicke para a emissao espontanea vale ηe =√hω2
21/2Mνc e a integral leva em
conta o perfil de emissao W (s) da transicao 2→ 1.
Para pequenos valores de η, podemos expandir as exponenciais na integral
de (2.22) e, supondo uma transicao de dipolo, substituir a distribuicao angular
W (s) por (3/4)(1− s2). Neste caso, os termos de ordem ımpar em s dao contribuicao
nula quando integrados com a funcao par W (s) e ¯ρ pode ser escrito como:
¯ρ = ρ+O(η2). (2.23)
Esta equacao mostra que a emissao espontanea so altera o movimento vibracional
em ordem de η2, ou seja, para pequenos valores do parametro de Lamb-Dicke e
uma boa aproximacao admitir que o decaimento preserva o estado vibracional do
ıon.
14 CAPITULO 2. IONS APRISIONADOS
Capıtulo 3
Engenharia de Reservatorios
3.1 Introducao
Uma consequencia fundamental da teoria quantica e a existencia de superpo-
sicoes coerentes de estados [22]. Esses estados aparecem em abundancia quando
descrevemos fotons, atomos ou spins mas geram estranheza quando transporta-
dos ao mundo macroscopico. Ao definirmos os estados possıveis de uma moeda
como cara ou coroa, ou de um objeto macroscopico como estando a direita ou
esquerda, achamos natural que estes sistemas se encontrem em uma das duas
condicoes mas o que seriam eles numa combinacao dos dois estados possıveis?
Uma sensacao de desconforto pode aparecer naqueles que tentam imaginar tais
estados talvez por jamais terem sido observados no mundo a nossa volta. Para ou-
tros, mais incomodo que imaginar tais estados e explicar porque nao os detectamos
no mundo macroscopico [23].
Segundo o princıpio da correspondencia [24] deverıamos obter, num certo limi-
te, os resultados classicos a partir da teoria quantica. Seria, entao, fundamental,
para entender a conexao entre as duas teorias, explicar o fato de so observarmos
superposicoes coerentes de estados em sistemas microscopicos.
O princıpio da superposicao e uma previsao valida somente para sistemas fe-
chados, ou seja, isolados completamente do mundo exterior. No entanto, sabemos
que tal situacao nao ocorre no mundo real devido a presenca de interacoes entre o
sistema estudado e o ambiente a sua volta.
15
16 CAPITULO 3. ENGENHARIA DE RESERVATORIOS
Esse acoplamento leva ao desaparecimento das superposicoes de estados tor-
nando-as misturas estatısticas. A esse processo onde as interferencias quanticas
dao lugar ao aparecimento de distribuicoes classicas de probabilidade da-se o nome
de descoerencia [3]. Esse fenomeno ocorre numa escala de tempo extremamente
curta para sistemas macroscopicos e isso explicaria por que observamos moedas
somente nos estados cara ou coroa, objetos macroscopicos a direita ou esquerda e
nunca numa superposicao desses estados macroscopicamente distintos.
A descoerencia, hoje, desempenha um papel fundamental no entendimento do
limite classico da mecanica quantica, mas, por outro lado, aparece tambem como
um obstaculo basico a implementacao de processos susceptıveis aos seus efeitos
como, por exemplo, a computacao quantica. Compreender os mecanismos da per-
da de coerencia tornou-se importante tanto para entender a emergencia do mundo
classico a partir do quantico, quanto para evitar seus efeitos indesejaveis em pro-
cessos onde e importante a manutencao da coerencia.
Observar esse processo de descoerencia e uma tarefa ardua ja que a escala de
tempo em que ele ocorre e muito curta e diminui a medida em que a superposicao
vai se tornando mais macroscopica [3]. Os avancos nos experimentos com sis-
temas mesoscopicos possibilitou a observacao da descoerencia em eletrodinamica
quantica de cavidades[25] e em ıons aprisionados [26].
Em cavidades a fonte de perda de coerencia e natural e provem, principalmen-
te, das imperfeicoes nas superfıcies refletoras que confinam o campo. Em arma-
dilhas de ıons o processo natural, associado a emissao espontanea e a interacao
de campos flutuantes com o centro de massa, tambem ocorre mas existe a pos-
sibilidade de gerar ambientes ou reservatorios artificiais atraves da interacao do
atomo com campos eletromagneticos, abrindo espaco para um estudo sistematico
da descoerencia [27, 28].
Ao introduzir a interacao com um reservatorio devemos optar por uma aborda-
gem do problema que leve em consideracao o grande numero de graus de liberdade
do ambiente e, consequentemente, a impossibilidade de conhecimento de seu es-
3.1. INTRODUCAO 17
tado. Devemos usar, portanto, uma descricao estatıstica do sistema atraves da
evolucao do operador densidade dada pela chamada equacao mestra. Independen-
te da forma do acoplamento e adotando a hipotese Markoviana, podemos escrever
a equacao para a dinamica reduzida do sistema interagindo com o banho na forma
geral de Lindblad [29]:
dρ
dt= Lρ ≡
∑
i
(γi/2)(2 ci ρ c
†i − c†i ci ρ− ρ c†i ci
). (3.1)
Esta equacao serve como um modelo para a interacao de um sistema com o am-
biente em diversas situacoes. No caso de ıons aprisionados tal equacao e utilizada
para descrever o processo de descoerencia no movimento vibracional associado a
existencia de campos indesejaveis oriundos de imperfeicoes nas armadilhas; em
cavidades, descreve a perda de fotons atraves de imperfeicoes nos espelhos, por
exemplo. O interessante no caso de ıons e que a equacao (3.1) pode ser obtida, me-
diante certas aproximacoes, a partir da interacao do sistema isolado com campos
eletromagneticos, possibilitando, assim, a geracao de reservatorios artificiais.
A primeira proposta nesse sentido foi feita por Poyatos e colaboradores [27] e
faz uso da influencia que as transicoes eletronicas exercem sobre o movimento
vibracional do ıon. Outra maneira de gerar reservatorios artificiais e atraves da
manipulacao de campos eletromagneticos aleatorios interagindo diretamente com
o movimento do centro de massa ionico.
No primeiro caso e utilizado o procedimento de eliminacao adiabatica para que
equacoes que misturam os graus de liberdade eletronicos e vibracionais (2.18,2.21)
possam ser levadas a uma equacao efetiva, puramente vibracional, na forma (3.1).
O segundo metodo, por sua vez, nao envolve transicoes eletronicas, dispen-
sando o uso da eliminacao adiabatica. No entanto, sao necessarias algumas con-
sideracoes sobre os campos aleatorios para que uma equacao que descreve uma
interacao hamiltoniana (2.12) possa ser transformada em uma outra que descreve
uma interacao com um banho (3.1).
Apresentaremos, aqui, uma generalizacao do metodo proposto em [27] assim
18 CAPITULO 3. ENGENHARIA DE RESERVATORIOS
como o metodo de interacao direta para produzir diferentes tipos de reservatorios.
3.2 Eliminacao adiabatica e equacoes mestras
3.2.1 Apresentacao do metodo
Como dissemos anteriormente, nosso objetivo agora consiste em combinar os
efeitos da emissao espontanea e da interacao de campos eletromagneticos na evo-
lucao vibracional para obter uma dinamica efetiva na forma (3.1). Para tanto e
necessario eliminar o nıvel eletronico excitado adiabaticamente de maneira a limi-
tar o problema a uma evolucao puramente vibracional.
Fisicamente a ideia e simples: o eletron pode transicionar do nıvel 1 para o 2
atraves da interacao com o campo (2.18) e do nıvel 2 para o 1 atraves do mesmo
campo ou a partir de um decaimento espontaneo (ver figura (2.2)). Se conside-
rarmos que a taxa de decaimento e muito alta, na verdade muito maior que as
demais taxas do problema, o eletron passa muito pouco tempo no nıvel superior ja
que decai espantaneamente muito rapido. Isso significa que, na media, o ıon esta
praticamente o tempo todo no estado eletronico fundamental 1 e seu estado pode
ser fatorado em ρtotal = |1〉〈1| ⊗ ρv, onde ρv representa a dinamica vibracional.
Para demonstrar a ideia acima, iniciamos escrevendo uma equacao geral que
combina a atuacao dos campos aplicados dados por (2.18), os efeitos da emissao
espontanea (2.21) e a interacao com um reservatorio natural na forma (3.1)
dρ
dt= − i
h
[˜H int, ρ
]+
Γ
2
(2A12
¯ρA21 − A22ρ− ρA22
)+ Lρ. (3.2)
A adicao do termo Lρ decorre da existencia de interacoes naturais do ıon com o
meio a sua volta que nao podem ser controladas. Devemos notar que este nao e o
reservatorio construıdo artificialmente mas aquele responsavel pelos processos de
descoerencia nos experimentos, por isso chamado de natural.
Projetando (3.2) na base eletronica obtemos:
˙ρ11 = −ig(d†ρ21 − ρ12d) + Γ¯ρ22 + Lρ11 , (3.3)
˙ρ22 = −ig(dρ12 − ρ21d†)− Γρ22 + Lρ22 , (3.4)
3.2. ELIMINACAO ADIABATICA E EQUACOES MESTRAS 19
˙ρ12 = −ig(d†ρ22 − ρ11d†)− Γ
2ρ12 + Lρ12 , (3.5)
onde d e d† sao definidos por (2.20) e
¯ρ22 =1
2
∫ 1
−1dsW (s)eiηe(
˜a+ ˜a†)sρ22 e−iηe(˜a+ ˜a†)s. (3.6)
Admitindo que a taxa de decaimento Γ e muito maior que todas as demais taxas
do problema (g e γ) podemos eliminar adiabaticamente o nıvel superior. Matemati-
camente isso pode ser feito impondo ˙ρ12 = 0 nas equacoes acima o que nos leva a
uma expressao para ρ12 dada por:
ρ12 = −2ig
Γ
(d†ρ22 − ρ11d
†)
[1 +O(γ/Γ)] , (3.7)
onde o termo de ordem γ/Γ vem de L ∝ γ.
O resultado pode ser obtido de uma maneira mais formal utilizando um proce-
dimento iterativo. Primeiro integra-se a equacao (3.5) obtendo-se
ρ12(t) = ρ12(0)e−Γ2t − ig
∫ t
0dt′e−
Γ2
(t−t′)(d†ρ22(t′)− ρ11(t
′)d†)
+∫ t
0dt′e−
Γ
2(t−t′)Lρ12(t′) (3.8)
e depois substitui-se essa solucao obtida para ρ12 no lado direito da equacao acima.
O desenvolvimento desta etapa nos fornece:
ρ12(t) = ρ12(0)e−Γ
2t [1 +O(γ/Γ)]− ig
∫ t
0dt′e−
Γ
2(t−t′)
(d†ρ22(t′)− ρ11(t′)d†
)
−ig∫ t
0dt′∫ t′
0dt′′e−
Γ
2(t−t′′)L
(d†ρ22(t′′)− ρ11(t′′)d†
)
+
∫ t
0dt′∫ t′
0dt′′e−
Γ
2(t−t′′)L2ρ12(t′′). (3.9)
Supondo que o nucleo da integral e uma funcao lentamente variavel comparada
com a taxa Γ podemos dizer que as contribuicoes relevantes aparecem quando
t′, t′′ ≈ t e, portanto, e possıvel passar o nucleo para fora da integral. Integrando
agora em t′′ e t′ tem-se:
ρ12(t) = ρ12(0)e−Γ
2t [1 + O(γ/Γ)]− i2g
Γ
(d†ρ22(t)− ρ11(t)d†
) (1− e−Γt
2
)[1 + O(γ/Γ)]
+O
[(γ
Γ
)2].(3.10)
20 CAPITULO 3. ENGENHARIA DE RESERVATORIOS
Na verdade, existem variacoes rapidas no nucleo das integrais em (3.9) mas es-
tas acontecem num transiente muito rapido que ocorre em uma escala de tempo
da ordem de 1/Γ. Para descrever o sistema apos este tempo curto a aproximacao
e boa e podemos prosseguir com a eliminacao adiabatica. Impondo que t >> 1/Γ
podemos desprezar os termos exponenciais em (3.10) de forma a obter novamen-
te (3.7).
Lembrando que ρv = ρ11 + ρ22, substituindo (3.7) em (3.3) e (3.4) e somando-as
teremos
˙ρv =2g2
Γ
[(2dρ11d
† − d†dρ11 − ρ11d†d)
+(2d†ρ22d− dd†ρ22 − ρ22dd
†)]
−Γ(ρ22− ¯ρ22
)+ Lρv, (3.11)
onde desprezamos os termos da ordem de γ/Γ.
Devemos notar no entanto que ρ22 tambem deve ser eliminado adiabaticamente
de modo que, de (3.7) e (3.4), ρ22 ≈ O[(g/Γ)2
]ρ11. Pode-se, portanto, aproximar ρv
por ρ11. Neste caso podemos escrever
˙ρv =2g2
Γ
(2dρvd
† − d†dρv − ρvd†d)− Γ
(ρ22− ¯ρ22
)+ Lρv, (3.12)
O primeiro termo da equacao acima corresponde ao reservatorio artificial na
forma de Lindblad com taxa de decaimento Γeng = 4g2/Γ. Note que o operador d que
aparece neste termo pode assumir diferentes formas dependendo do acoplamento
com os campos aplicados (veja (2.20)), ou seja, modificando a interacao com o laser
alteramos o tipo de reservatorio construıdo.
O termo proporcional a Γ merece algumas consideracoes. E nele que se en-
contra a integral de emissao espontanea e por isso mesmo sua importancia pe-
rante os demais termos depende do parametro de Lamb-Dicke. Expandindo as
exponenciais e desprezando os termos em η4 na expressao de ¯ρ22 obtem-se uma
contribuicao da ordem de (η2/5)Γengρv, ou seja, (2η2/5) vezes o termo de reservatorio
artificial. Parametros de Lamb-Dicke tıpicos mostram que esta contribuicao e pe-
quena (η ≈ 0.2 implica em um fator da ordem de 1/60) e a equacao (3.12) reduz-se
3.2. ELIMINACAO ADIABATICA E EQUACOES MESTRAS 21
a
˙ρv =Γeng
2
(2dρvd
† − d†dρv − ρvd†d)
+ Lρv, (3.13)
3.2.2 Reservatorio a temperatura nula
Um reservatorio a temperatura zero e aquele em que o operador d e substituıdo
por a que e obtido selecionando k = 1 no hamiltoniano (2.18). Fisicamente a escolha
desse operador e simples, basta sintonizar o laser numa frequencia ωL = ω21 − ν.
Alem disso, e conveniente posicionar os feixes de laser de maneira a produzir um
parametro de Lamb-Dicke pequeno ja que, nesse limite, o operador fk reduz-se a
1. A figura (3.1-a) representa o esquema do ıon interagindo com o laser para um
sistema de dois nıveis tratado aqui.
|2〉
|1〉 |1〉n=0
n=3n=2n=1
ΓΩL
(a)
n=1 n=2 n=3
n=0
a
(b)
Figura 3.1: (a) Esquema de dois nıveis para a producao de um reservatorio a tem-peratura zero. Um laser de frequencia de Rabi ΩL e sintonizado na primeira bandalateral no vermelho, ou seja, ωL = ω21− ν. (b) Dinamica efetiva do movimento vibra-cional do ıon: o reservatorio provoca um esfriamento do sistema ate que ele atinjao estado fundamental atraves de transicoes do tipo n+ 1→ n.
Como foi mostrado anteriormente, se as condicoes para a eliminacao adiabatica
forem satisfeitas, o problema se restringe a dinamica dos graus de liberdade exter-
nos obedecendo a seguinte equacao mestra:
˙ρ =Γeng
2
(2aρa† − a†aρ− ρa†a
)(3.14)
O efeito do laser e levar o ıon de um estado vibracional mais excitado no nıvel
eletronico 1 (|1, n + 1〉) para o proximo estado menos excitado no nıvel eletronico
22 CAPITULO 3. ENGENHARIA DE RESERVATORIOS
2 (|2, n〉). Desprezando os termos em η2 em (2.23), pode-se dizer que, ao decair,
o ıon mantem seu estado vibracional terminando no estado |1, n〉. A dinamica
efetiva pode ser descrita atraves da atuacao sucessiva do operador a como ilustra
a figura (3.1-b).
A partir de (3.14) podemos calcular os valores esperados de alguns operado-
res para tentarmos compreender o efeito deste acoplamento com o ambiente. O
procedimento e bastante simples ja que podemos utilizar que 〈O〉 = TrρO e
〈 ˙O〉 = TrρO.
Com o auxılio dessas relacoes obtemos para os valores medios:
i) 〈a〉 = −Γeng2〈a〉
ii) 〈n〉 = −Γeng〈n〉
iii) 〈x〉 = −Γeng2〈x〉 (3.15)
iv) 〈p〉 = −Γeng2〈p〉
Por esses resultados vemos que, com o passar do tempo, os valores medios
calculados decaem a zero, ou seja, o estado inicial evolui para o estado do vacuo.
Uma alternativa a descricao do problema feita atraves do operador densidade
e da equacao mestra e a utilizacao de representacoes deste mesmo operador no
espaco de fase. Na fısica classica, distribuicoes de probabilidade no espaco de fase
sao muito utilizadas em problemas de mecanica estatıstica e de sistemas dinamicos
caoticos. Em mecanica quantica o conceito de espaco de fase fica problematico
devido ao princıpio de incerteza de Heisenberg. Como nao e possıvel determinar,
simultaneamente, a posicao e o momento de uma partıcula, nao se pode definir
uma distribuicao de probabilidade propriamente dita para um sistema quantico.
No entanto, dispomos de funcoes que tem propriedades semelhantes as en-
contradas nas distribuicoes de probabilidade no espaco de fase. As chamadas
distribuicoes de quasi-probabilidades [17] tem se mostrado uteis tanto como ins-
trumento de calculo em mecanica quantica como no estudo da conexao entre esta
e a mecanica classica.
3.2. ELIMINACAO ADIABATICA E EQUACOES MESTRAS 23
Dentre as possıveis representacoes no espaco de fase a funcao de Wigner [31]
e uma das mais utilizadas para a analise do limite classico da mecanica quantica.
Esta funcao contem toda a informacao a respeito do estado quantico assim como
o operador densidade e e definida por:
W (q, p) =1
2πh
∫ +∞
−∞eipx/h
⟨q − x
2
∣∣∣ρ∣∣∣q +
x
2
⟩dx, (3.16)
onde∣∣∣q+ x
2
⟩e um autoestado do operador posicao. Em termos de a e a† tem-se [32]
W (α, α∗) = 2Tr[ρD(α, α∗)eiπa
†aD−1(α, α∗)], (3.17)
com o operador deslocamento D(α, α∗) = e(αa†−α∗ a).
Como principais propriedades podemos destacar a obtencao das distribuicoes
de probabilidade marginais a partir da integracao da funcao de Wigner
P (q) = 〈q|ρ|q〉 =
∫ +∞
−∞dpW (q, p), P (p) = 〈p|ρ|p〉 =
∫ +∞
−∞dqW (q, p) (3.18)
e o calculo do valor medio de operadores simetricos de forma semelhante as inte-
grais classicas no espaco e fase
〈O(q, p)sim〉 = Tr(ρ O(q, p)sim) =
∫ ∫dqdpW (q, p)O(q, p). (3.19)
Alem de ser um valioso instrumento de visualizacao e calculo, a funcao de Wig-
ner e importante tambem nos processos experimentais de recontrucao dos estados
quanticos. Medidas indiretas da funcao de Wigner ja foram realizadas em campos
eletromagneticos [33] e tambem em ıons [11] e, recentemente, a primeira proposta
de medida direta da funcao de Wigner em cavidades [34] foi realizada experimen-
talmente [35].
Definida a funcao de Wigner, podemos determinar sua dinamica. Como ela
e definida a partir do operador densidade, a equacao que governa sua dinamica
pode ser obtida a partir da equacao mestra (3.14). Para tanto basta utilizar algu-
mas relacoes entre os operadores a e a† aplicados a ρ e os operadores diferenciais
aplicados a funcao de Wigner [36]:
i)ρa† →(α∗ +
1
2∂α)W (α) (3.20)
24 CAPITULO 3. ENGENHARIA DE RESERVATORIOS
ii)a†ρ→(α∗ − 1
2∂α)W (α) (3.21)
iii)aρ→(α+
1
2∂α∗
)W (α) (3.22)
iv)ρa→(α − 1
2∂α∗)W (α). (3.23)
Aplicando as relacoes anteriores obtemos a chamada equacao de Fokker-Plank
para a funcao de Wigner que, neste caso, e dada por
∂tW =Γeng
2
(2 + α∂α + α∗∂α∗ + ∂2
α,α∗
)W, (3.24)
em termos de α e α∗ ou
∂tW =Γeng
2
(2 + x∂x + p∂p +
h
2mν∂2x2 +
hmν
2∂2p2
)W, (3.25)
em termos de x e p.
Os termos com derivada primeira sao chamados de termos de arrasto enquanto
que os que contem derivada segunda sao conhecidos como termos de difusao.
Os primeiros representam um deslocamento da funcao de Wigner no espaco de
fase e estao associados a existencia de dissipacao. Ja os termos difusivos estao
associados com os fenomenos de flutuacao.
A figura (3.2) mostra a funcao de Wigner para um estado inicial coerente (a) e o
estado final do vacuo (b) obtida atraves da solucao de (3.14). Um fato interessante
para este tipo de reservatorio e que o estado coerente se mantem coerente a medida
em que vai se aproximando do vacuo.
3.2.3 Reservatorio de aquecimento
A interacao com o ambiente nao esta restrita a perdas como observado no caso
anterior. Podemos imaginar uma situacao em que o banho funcione como um meio
de ganho para o sistema o que acontece, no caso do ıon, se trocarmos a por a† na
equacao mestra:
˙ρ =Γeng
2
(2a†ρa− aa†ρ− ρaa†
)(3.26)
No sistema real, essa inversao e efetuada alterando a frequencia do laser de
ωL = ω21 − ν para ωL = ω21 + ν, ou seja, sintonizando a primeira banda lateral no
3.2. ELIMINACAO ADIABATICA E EQUACOES MESTRAS 25
(b)(a)
Figura 3.2: Efeito do reservatorio a temperatura nula: um estado coerente inicialcentrado em (1.5, 1.5) (fig.a) e deslocado para o vacuo (0, 0) (fig.b).
azul. Com essa escolha a dinamica efetiva para o centro de massa e ditada por
transicoes para estados vibracionais mais excitados (n → n + 1) como ilustrado na
figura (3.3).
|2〉
|1〉 |1〉n=0
n=3n=2n=1
(a) (b)
ΩLΓ
n=0
n=3n=2n=1
a†
Figura 3.3: Esquema de producao de um reservatorio que aquece. Um laser defrequencia de Rabi ΩL sintonizado na primeira banda lateral no azul, ou seja, ωL =ω21 + ν. (a) Esquema de dois nıveis. (b) Esquema efetivo da dinamica vibracional:a acao do operador a† elevando os estados do oscilador harmonico e justamenteinversa a do operador a no reservatorio a temperatura nula.
Procedendo da mesma forma que na secao anterior calculamos os seguintes
valores medios:
i) 〈a〉 =Γeng
2〈a〉;
26 CAPITULO 3. ENGENHARIA DE RESERVATORIOS
ii) 〈n〉 = Γeng〈n〉+ Γeng ;
iii) 〈x〉 =Γeng
2〈x〉; (3.27)
iv) 〈p〉 =Γeng
2〈p〉.
A equacao de Fokker-Plank fica:
∂tW =Γeng
2
(−2− α∂α − α∗∂α∗ + ∂2
α,α∗
)W, (3.28)
ou, em termos de x e p,
∂tW =Γeng
2
(−2− x∂x − p∂p +
h
2mν∂2x2 +
hmν
2∂2p2
)W. (3.29)
A interpretacao e semelhante a da secao anterior: pelos valores medios vemos
que ha um aquecimento do sistema que se afasta da origem. Isso e confirmado
observando os termos de arrasto na equacao de Fokker-Plank que possuem sinal
diferente do mostrado em (3.24).
3.2.4 Reservatorio de fase
Poyatos, Cirac e Zoller mostraram que, no limite de Lamb-Dicke, pode-se criar
reservatorios onde o operador d em (3.13) e uma combinacao linear dos operadores
a e a†. Nossa deducao da equacao mestra para reservatorios, por outro lado, inde-
pende do valor de η o que possibilita a criacao de operadores d mais gerais que os
propostos em [27].
Um dos possıveis reservatorios onde sao exploradas as nao linearidades do sis-
tema de ıons em armadilhas e o conhecido como reservatorio de fase. Utilizan-
do um laser ressonante com a transicao 2 → 1 e mantendo termos ate a segun-
da ordem em η, alem portanto do limite de Lamb-Dicke, obtem-se um operador
d linear em relacao ao operador numero n = a†a como pode ser visto substi-
tuindo k = 0 em (2.19). Na verdade o operador obtido nao e exatamente n pois
f0(a†a) = e−η2/2(1− η2n
). No entanto isso nao e problema, pois, com o auxılio de
um outro laser ressonante, atuando numa direcao y perpendicular ao eixo x com
3.2. ELIMINACAO ADIABATICA E EQUACOES MESTRAS 27
ηy 1, pode-se fazer uma engenharia de hamiltoniano [37] produzindo o operador
desejado. O hamiltoniano que combina a acao desses dois lasers e:
Hint = Hx + Hy =h
2A21
[Ωxf0x + Ωy f0y
]+H.c. (3.30)
com f0x(a†a) ≈ e−η
2x/2(1− η2
xn)
e f0y ≈ 1. Se as frequencias de Rabi do problema
obedecerem a condicao
Ωy = −Ωxe−η2
x/2, (3.31)
entao o hamiltoniano final fica
Hint = hgA21n+ H.c., (3.32)
com g = −Ωxe−η2
x/2η2/2. Neste caso tem-se como equacao mestra
˙ρ(t) =Γeng
2
(2nρ(t)n† − n†nρ(t)− ρ(t)n†n
)(3.33)
e, para os valores medios,
i) 〈a〉 = −Γeng2〈a〉;
ii) 〈n〉 = 0;
iii) 〈x〉 = −Γeng2〈x〉; (3.34)
iv) 〈p〉 = −Γeng2〈p〉.
A figura (3.4) mostra o resultado da evolucao de um estado coerente como o
da figura (3.2-a) em contato com um reservatorio de fase. O centro da distribuicao
desloca-se para a origem como indica o calculo dos valores medios mas assume um
aspecto circular onde o raio depende de 〈n〉 que e mantido. Perde-se, entretanto,
qualquer informacao sobre a fase o que pode ser visto pela forma simetrica da
funcao em torno da origem. E importante notar que se tivessemos iniciado com
um estado de Fock |m〉 nao terıamos qualquer alteracao ja que o mesmo e um
autovetor do operador numero.
28 CAPITULO 3. ENGENHARIA DE RESERVATORIOS
Figura 3.4: Efeito do reservatorio de fase: estado coerente inicial centrado em(1.5, 1.5) (a) e levado a um estado centrado na origem mas sem qualquer informacaosobre fase (b).
3.3 Interacao com campos aleatorios: reservatorio difusi-vo
Em experimentos recentes com ıons, campos aleatorios, provavelmente oriun-
dos de flutuacoes nos eletrodos que compoem a armadilha, parecem desempenhar
um papel importante no processo de descoerencia. Mostraremos a seguir que o
efeito destes campos tambem pode ser descrito por uma equacao mestra na forma
de Lindblad (3.1).
Consideremos um campo eletromagnetico classico, aleatorio e quasi-monocroma-
tico, ressonante com a frequencia ν da armadilha:
E(t) = E(+)(t)e−iνt + E(−)(t)eiνt , (3.35)
onde E±(t) sao envoltorias dependentes do tempo. Desprezamos aqui a dependencia
espacial do campo na regiao ocupada pelo ıon, ou seja, estamos considerando a
aproximacao de dipolo eletrico.
A interacao direta do campo classico com os graus de liberdade externos do ıon
foi apresentada no primeiro capıtulo, sendo dada atraves do hamiltoniano (2.11):
˜HI = −µ
[E(+)(t)a† + E(−)(t)a
].
3.3. INTERACAO COM CAMPOS ALEATORIOS: RESERVATORIO DIFUSIVO 29
A evolucao da matriz densidade sera dada pela equacao de Von-Neumann ˙ρ =
− ih [
˜HI , ρ]. Integrando entre t and t + ∆t e iterando esta equacao teremos:
∆ρ(t) = ρ(t+ ∆t)− ρ(t) =1
ih
∫ t+∆t
t[˜HI(t
′), ρ(t)]dt′
+( 1
ih
)2 ∫ t+∆t
tdt′∫ t′
tdt′′[
˜HI(t
′), [ ˜HI(t
′′), ρ(t′′)]]. (3.36)
Como uma primeira aproximacao vamos supor que ∆t e muito menor que o
tempo caracterıstico T de evolucao de ρ. Podemos, portanto, desprezar a evolucao
de ρ(t) no ultimo termo da equacao (3.36) substituindo ρ(t′′) por ρ(t). Utilizando o
hamiltoniano (2.11) e as aproximacoes acima, podemos expandir os comutadores
e obter para a variacao do operador densidade:
∆ρ(t) =iµ
h
∫ t+∆t
tdt′[(E(+)(t′)a† + E(−)(t′)a)ρ(t)− ρ(t)(E (+)(t′)a† + E(−)(t′)a)
]
− µ2
h2
∫ t+∆t
tdt′∫ t′
tdt′′ E(+)(t′)E(+)(t′′)
[a†
2
ρ(t)− 2a†ρ(t)a† + ρ(t)a†2]
+ E(−)(t′)E(−)(t′′)[a2ρ(t)− 2aρ(t)a+ ρ(t)a2
]
+ E(+)(t′)E(−)(t′′)[a†aρ(t)− aρ(t)a† − a†ρ(t)a+ ρ(t)aa†
]
+ E(+)(t′′)E(−)(t′)[aa†ρ(t)− aρ(t)a† − a†ρ(t)a+ ρ(t)a†a
]. (3.37)
Da realidade do campo temos E (±)(t) = E(∓)∗(t) e podemos escrever as amplitu-
des complexas E (+) e E(−) como uma soma das partes real e imaginaria
E(±)(t) = Er(t)± iEi(t) . (3.38)
A aleatoriedade do campo exige que tomemos uma media estatıstica na equacao
para ρ levando em conta a distribuicao estatıstica do campo. Este procedimento
leva ao aparecimento de valores medios e funcoes de correlacao do campo eletrico
na equacao mestra. Para prosseguir devemos comecar a fazer consideracoes a
respeito do processo aleatorio. Assumindo que o campo tenha media nula resta-
nos calcular:
i) 〈E(±)(t)E(±)(t′)〉 ,
ii) 〈E(+)(t)E(−)(t′)〉 = 〈E(−)∗(t)E(−)(t′)〉 ≡ D(t′ − t) ,
30 CAPITULO 3. ENGENHARIA DE RESERVATORIOS
iii) 〈E(−)(t)E(+)(t′)〉 = 〈E(−)∗(t′)E(−)(t)〉 ≡ D(t− t′) = D∗(t′ − t) .
Expressando estas equacoes em termos da parte real e imaginaria do campo
complexo, obtem-se
D(t′ − t) = 〈Er(t)Er(t′)〉+ 〈Ei(t)Ei(t′)〉+
+ i(〈Er(t)Ei(t′)〉+ 〈Ei(t)Er(t′)〉
), (3.39)
e
〈E(±)(t)E(±)(t′)〉 = 〈Er(t)Er(t′)〉 − 〈Ei(t)Ei(t′)〉+
+ i(〈Er(t)Ei(t′)〉+ 〈Ei(t)Er(t′)〉
). (3.40)
Supondo que o processo seja estacionario de segunda ordem pode-se mos-
trar [38] que:
〈Er(t)Er(t′)〉 = 〈Ei(t)Ei(t′)〉 ,
〈Er(t)Ei(t′)〉 = −〈Ei(t)Er(t′)〉 = 0 .
Com o auxılio destas equacoes teremos
〈E(±)(t)E(±)(t′)〉 = 0 (3.41)
e
D(t′ − t) = D(t− t′) = 2〈Er(t)Er(t′)〉 . (3.42)
Substituindo estes resultados na equacao mestra e assumindo que o processo
seja Markoviano, de tal maneira que D(t − t′) = Dδ(t − t′) 1, obtemos a equacao
mestra na forma de Lindblad (3.1):
˙ρ = −µ2D
h2
[(a†aρ− 2aρa† + ρa†a) + (aa†ρ− 2a†ρa+ ρaa†)
]. (3.43)
1A rigor nao podemos tomar a correlacao proporcional a uma funcao delta pois isso implicarianum espectro de E(t) infinitamente largo o que invalidaria a consideracao anterior de que o campoe quasi-monocromatico. Na pratica, necessitamos apenas que a largura temporal de D(t − t′) sejamuito menor que a escala tıpica de evolucao de ρ(t) e, ao mesmo tempo, muito maior que o perıodode oscilacao. Essa condicao pode ser verificada desde que µ2D/h2 << ν.
3.3. INTERACAO COM CAMPOS ALEATORIOS: RESERVATORIO DIFUSIVO 31
Esta equacao contem mecanismos de resfriamento e aquecimento do movimen-
to vibracional do ıon, correspondendo, respectivamente, a primeira e a segunda
contribuicao no lado direito da equacao, com a mesma taxa µ2Dh2 ≡ Γeng
2 . E interes-
sante comparar este reservatorio com um reservatorio termico descrito por
˙ρ = γ[(n+ 1)
(2aρa† − a†aρ− ρa†a
)+ n
(2a†ρa− aa†ρ− ρaa†
)]. (3.44)
Considerando a temperatura do reservatorio termico infinita, ou seja, n → ∞
podemos aproximar n + 1 por n de maneira que a equacao mestra se reduz a
˙ρ = γn[(
2aρa† − a†aρ− ρa†a)
+(2a†ρa− aa†ρ− ρaa†
)]. (3.45)
Esta equacao e identica a (3.43) se γn = Γeng/2 = µ2D/h2. Note que temos, na
verdade, um duplo limite em que n → ∞ e γ → 0, de modo que γn permanece
constante. Como a equacao mestra para um reservatorio a temperatura infinita
corresponde a soma das equacoes dos reservatorios de aquecimento e resfriamento
com a mesma taxa Γeng, o mesmo acontecera com os valores medios e, portanto,
teremos:
i) 〈a〉 = 0;
ii) 〈n〉 = Γeng〈n〉;
iii) 〈x〉 = 0; (3.46)
iv) 〈p〉 = 0.
A equacao de Fokker-Plank fica:
∂tW = Γeng∂2α,α∗W, (3.47)
ou, em termos de x e p,
∂tW = Γeng
(h
2mν∂2x2 +
hmν
2∂2p2
)W. (3.48)
Esta equacao apresenta somente termos de difusao pois o arrasto proveniente
do resfriamento cancela com o termo de aquecimento. A figura (3.5) mostra um
32 CAPITULO 3. ENGENHARIA DE RESERVATORIOS
(b)(a)
Figura 3.5: Funcao de Wigner relativa ao estado do vacuo (a) e ao estado evoluıdoa partir da interacao com um reservatorio difusivo (b). Ha um alargamento nadistribuicao sem alterar o seu centro.
estado coerente evoluindo a partir de (3.43): o centro da distribuicao mantem-se
na mesma posicao enquanto que a largura aumenta com o tempo. Este reservatorio
e bastante util se quisermos estudar o fenomeno de descoerencia na ausencia de
termos dissipativos.
3.4 Protecao de estados quanticos
A tentativa de suprimir o processo de descoerencia tem sido um grande desafio
nos ultimos anos motivado, principalmente, pelos avancos na teoria de informacao
quantica onde a preservacao da coerencia quantica e extremamente importan-
te [39, 40]. Algumas tentativas nesse sentido foram adotadas como o uso de
processos de retro-alimentacao (“feedback”) [41, 42] e tecnicas de desacoplamen-
to dinamico [43]; outras, por sua vez, admitem a existencia dos efeitos danosos
da descoerencia e procuram corrigı-los como no caso dos esquemas de correcao
quantica de erros [44].
Em ıons aprisionados o principal efeito de descoerencia acontece no movimen-
to vibracional e pode, em certos casos, ser amenizado com o uso da tecnica de
3.4. PROTECAO DE ESTADOS QUANTICOS 33
engenharia de reservatorio associada a ideia de “estados ponteiro”.
A interacao de um sistema quantico com o ambiente a sua volta leva ao emara-
nhamento entre os dois e a uma perda irreversıvel de informacao sobre o sistema.
Os conjuntos de estados menos sensıveis a esse emaranhamento sao chamados de
“estados ponteiro” e dependem da forma do hamiltoniano de interacao entre siste-
ma e ambiente. No decorrer da interacao, o operador densidade reduzido do sis-
tema torna-se diagonal na base de estados ponteiro transformando superposicoes
desses estados em misturas estatısticas.
O mecanismo de protecao consiste em procurar formas artificiais de reservatorio
que tenham como estado ponteiro aquele estado que se quer preservar [45]. A
base de estados ponteiros e dada pelo conjunto de autoestados do operador d que
aparece em (3.13). Se d for hermiteano, entao os estados ponteiros serao estados
estacionarios de (3.13) sem a parte relativa ao reservatorio natural, caso contrario,
os estados ponteiros so serao estacionarios se o autovalor correspondente for nulo.
De fato, suponhamos que |ψ〉 seja um autoestado de d com autovalor λ de tal
forma que d|ψ〉 = λ|ψ〉. Substituindo este estado como uma tentativa de solucao
estacionaria para a equacao do reservatorio artificial teremos:
˙ρ =Γeng
2
[2d|ψ〉〈ψ|d†− d†d|ψ〉〈ψ| − |ψ〉〈ψ|d†d
]
=Γeng
2
[2|λ|2|ψ〉〈ψ|− λd†|ψ〉〈ψ|− λ∗|ψ〉〈ψ|d
](3.49)
Note que se d for hermiteano teremos automaticamente, para qualquer autova-
lor λ, a condicao ˙ρ = 0 satisfeita. Quando relaxamos a condicao de hermiticidade
do operador d precisamos impor que o autovalor λ seja nulo para termos um estado
estacionario.
E evidente que se a dinamica fosse dada exclusivamente pelo reservatorio artifi-
cial resolverıamos o problema encontrando o estado estacionario, entretanto, existe
a interacao natural que pode levar a um estado diferente daquele que se quer prote-
ger. A solucao para isso e impor que o reservatorio artificial tenha um acoplamento
mais forte com o sistema que o natural, ou seja, que na equacao (3.13) tenhamos
34 CAPITULO 3. ENGENHARIA DE RESERVATORIOS
Γeng γ.
Existe ainda uma terceira imposicao que e ter o estado que se quer proteger
como o unico estado estacionario. Isso e importante para que a dinamica do reser-
vatorio natural nao possa induzir transicoes entre estados estacionarios diferentes
impossibilitando assim a protecao.
3.4.1 Protecao de uma combinacao linear de autoestados de energiado movimento vibracional ionico
Mostraremos, agora, como proteger uma combinacao linear arbitraria do tipo
|ψ〉 =N∑
n=0
cn|n〉. (3.50)
Um operador d = g(n)a + h(n) pode ter |ψ〉 como unico autovetor com autovalor
zero obedecidas certas condicoes. De fato, aplicando d em |ψ〉, teremos:
d|ψ〉 =N∑
n=0
h(n)cn|n〉+ g(n− 1)√ncn|n− 1〉. (3.51)
Impondo a condicao de autovalor zero a equacao acima obtem-se:
N∑
n=0
h(n)cn|n〉+ g(n− 1)√ncn|n− 1〉 = 0,
o que implica na unica solucao
g(n) =−h(n) cn
cn+1
√n + 1
(n = 0, ...N − 1) (3.52)
e
h(N) = 0. (3.53)
Devemos notar, ainda, que N e o primeiro zero de h(n).
Encontrado o operador d que protege o estado em questao, deve-se mostrar de
que forma e possıvel construı-lo em ıons aprisionados. O operador g(n)a e obtido
a partir de N lasers sintonizados na primeira banda lateral no vermelho do ıon de
modo que o hamiltoniano (2.18) fique:
˜Hint =
hA21
2
N∑
n=1
iηnΩnf1(a†a)a+H.c.. (3.54)
3.4. PROTECAO DE ESTADOS QUANTICOS 35
Sujeitando este hamiltoniano a condicao (3.52) teremos um sistema de equacoes
lineares relacionando as frequencias de Rabi dos N lasers dado porN∑
n=1
e−η2n/2ηnΩn
m∑
l=0
(−1)lη2ln
l!(l+ 1)!
m!
(m− l)! =ih(m) cm
cm+1
√m+ 1
. (3.55)
O operador h(n) e construıdo iluminando o ıon com dois campos de laser resso-
nantes com a transicao eletronica mas com um deles se propagando numa direcao
y, perpendicular ao eixo x, com ηy 1. O procedimento e semelhante ao descrito
na secao (3.2.4) assim como o hamiltoniano obtido:
Hint = Hx + Hy =h
2A21
[Ωxf0x(a†a) + Ωyf0y(a
†a)]
+H.c.. (3.56)
Como consideramos ηy 1 entao podemos fazer a aproximacao f0y ≈ 1. Com o
auxılio de (2.19) e das relacoes:
al|m〉 =
√m!
(m− l)! |m− l〉, (3.57)
(a†)l|m〉 =
√(m+ l)!
m!|m+ l〉, (3.58)
Lm(x) =m∑
l=0
(−1)lm!
l!(m− l)!xl
l!, (3.59)
onde Lm(x) e um polinomio de Laguerre de ordem m, podemos obter a funcao
f0x(m) = f0x(a†a)|m〉 = e−η2x/2Lm(η2
x). (3.60)
O valor de h(m) sera:
h(m) = Ωxe−η2
x/2Lm(η2x) + Ωy (3.61)
e a condicao h(N) = 0 e obtida se
Ωy = −Ωxe−η2
x/2LN (η2x). (3.62)
A protecao de uma combinacao linear arbitraria pode ser teoricamente alcancada
a partir do mecanismo mostrado aqui mas o numero de lasers necessario para atin-
gir este objetivo pode ser grande demais inviabilizando um tentativa experimental
nesse sentido. Por outro lado, esse metodo pode ser facilmente particularizado pa-
ra estados que nao ocupem valores muito altos na base de autoestados de energia
o que diminuiria o numero de lasers exigidos para a protecao.
36 CAPITULO 3. ENGENHARIA DE RESERVATORIOS
3.4.2 Protecao de um “qubit”
Um importante exemplo de estado que pode ser protegido atraves deste metodo
e o estado de um bit quantico ou simplesmente “qubit”:
|ψ〉 = c0|0〉+ c1|1〉. (3.63)
De acordo com a discussao acima, este estado pode ser protegido com o uso de
apenas tres lasers cujas frequencias de Rabi obedecem a:
iηΩx
Ω1=c1
c0(3.64)
e
Ωy
iΩ1= e−η
2/2 1− η2
η
c1
c0, (3.65)
onde consideramos que os parametros de Lamb-Dicke para os lasers de frequencias
de Rabi Ω1 e Ωx sao iguais (ηx = η1 = η).
E importante analisar as ordens de grandeza das frequencias envolvidas para
verificar a viabilidade experimental da protecao. Neste caso, Γeng = η2Ω21/Γ e, para
que o reservatorio artificial supere o natural, e necessario que Γeng γ. Esta
condicao deve respeitar, ainda, os requisitos para a eliminacao adiabatica: Γ,Ω1
ν e Γ ηΩ1. Estas exigencias sao satisfeitas se Γ ≈ 4MHz, Ω1 ≈ 2MHz, η = 0.2,
ν ≈ 20 − 30MHz de modo que Γeng ≈ 40KHz γ. Estes valores encontram-se
dentro, ou muito proximos, da realidade experimental.
A figura (3.6) mostra a evolucao da fidelidade F (t) = Tr(ρpρ(t)) em funcao do
tempo (expresso em unidades de γt) com ρp correspondente ao estado a ser prote-
gido, no caso |ψp〉 = (|0〉 + |1〉)/√
2. Em (a) o estado inicial e |ψp〉 enquanto que em
(b) e um estado termico com n = 0.5. As duas curvas vao para o mesmo estado
estacionario com fidelidade proxima a um o que mostra que alem de um mecanis-
mo de protecao temos um processo para a producao do estado. As curvas (c) e (d)
mostram a evolucao sem protecao com reservatorios termico e difusivo, respectiva-
mente. As curvas de fidelidade para a protecao em presenca de um banho termico
3.4. PROTECAO DE ESTADOS QUANTICOS 37
(a) ou de um reservatorio difusivo (nao mostrado) sao praticamente iguais, neste
caso.
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 1 2 3 4 5 6
c
d
b
a
F (t)
γt
Figura 3.6: Evolucao da fidelidade em funcao do tempo em presenca de um reser-vatorio termico com n = 0.5 (a), (b), (c) e com um reservatorio difusivo (d). Em (c)e (d) estao representadas as dinamicas na ausencia de protecao, enquanto que em(a) e (b) temos Γeng/γ = 30. O estado inicial e |ψ(0)〉 = (|0〉+ |1〉)/
√2 para (a), (c), (d) e
um estado termico para (b).
3.4.3 Protecao de um estado comprimido
Um estado coerente e um estado de incerteza mınima que tem o produto ∆X∆P =
1, com ∆X = ∆P . No espaco de fase sua representacao e uma gaussiana como ilus-
trado na figura (3.7-a). Um estado comprimido tambem tem incerteza mınima mas
uma de suas quadraturas, X por exemplo, tem dispersao menor que a do estado
coerente enquanto que a quadratura conjugada deve ter dispersao maior que a do
estado coerente. A funcao de Wigner deste estado e uma gaussiana deformada na
forma de uma elipse (fig 3.7-b).
O estado comprimido pode ser obtido a partir de um estado coerente |α〉 atraves
da aplicacao do operador de compressao S(z) [17, 46]
|sz,α〉 = S(z)|α〉, (3.66)
38 CAPITULO 3. ENGENHARIA DE RESERVATORIOS
(b)(a)
∆P
∆X∆X0
∆P0
Figura 3.7: Representacao de um corte sobre a funcao de Wigner para um estadocoerente (a) e um estado comprimido em x (b).
com S(z) = e1
2(z∗ a2−z(a†)2) e z = reiθ, sendo r o fator de compressao do estado e θ o
angulo que indica a direcao da compressao.
Vimos que um reservatorio a temperatura nula leva qualquer estado para o
vacuo e, particularmente, mantem um estado coerente sempre coerente ate atingir
o estado fundamental. A partir destas observacoes nota-se que o operador d que
protege o vacuo e simplesmente o operador a.
A protecao de um estado comprimido obtido a partir do vacuo, ou seja, |sz,0〉 =
S(z)|0〉 pode ser alcancada atraves de uma transformacao do operador a, dada por:
A(z) = S(z)aS†(z) = a cosh r+ a†eiθsenh r. (3.67)
Note que um estado comprimido |sz〉 e autoestado de A(z)
A(z) |sz,α〉 = S(z)aS†(z)S(z)|α〉
= S(z)a|α〉
= α|sz,α〉. (3.68)
Em particular, se o estado for o vacuo comprimido o autovalor sera α = 0 e, por-
tanto podemos protege-lo simplesmente usando o operador A(z). Para simplificar,
escolheremos o operador d = a+χa† onde χ = tanh r. Este operador pode ser obtido
a partir de dois lasers, alinhados na direcao de compressao, ressonantes com a
3.4. PROTECAO DE ESTADOS QUANTICOS 39
primeira banda lateral no vermelho (laser 1) e no azul (laser 2) com frequencias
de Rabi que obedecem a Ω2/Ω1 = χ, desde que Ω2 < Ω1. A figura (3.8) mostra
as simulacoes feitas a partir desse operador para η = 0.05 e r = 0.6. Note que a
obtencao do operador desejado a partir de a garante que o autoestado correspon-
dente e o unico com autovalor nulo, pois ele e obtido atraves de uma transformacao
unitaria a partir do vacuo, que e o unico autoestado com autovalor 0 de a.
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 1 2 3 4 5 6
a
b
c
d
F (t)
γt
Figura 3.8: Evolucao da fidelidade em funcao do tempo em presenca de um reser-vatorio termico com n = 0.5 (a) e (c) e com um reservatorio difusivo (b) e (d). Em(c) e (d) estao representadas as dinamicas na ausencia de protecao, enquanto queem (a) e (b) temos Γeng/γ = 30. Neste caso, o estado a ser protegido ρp e um estadocomprimido para r = 0.6 e coincide com o estado inicial ρ(0).
3.4.4 Protecao de um estado tipo gato de Schrodinger
Um estado tipo gato de Schodinger [47] |φ+〉 = (|α〉+ i| − α〉)/√
2 tambem possui um
operador d que o protege. Para encontrar esse operador podemos usar a mesma
ideia usada para estados comprimidos, ou seja, um operador transformado a partir
de a.
O operador unitario T = e[inπ(n−1)/2]e(αa†−α∗ a) quando aplicado no vacuo fornece
|φ+〉, logo, se escolhermos o operador d = T aT † = eiπna + iα teremos |φ+〉 como
40 CAPITULO 3. ENGENHARIA DE RESERVATORIOS
unico autoestado com autovalor zero deste operador e, portanto, esse estado sera
protegido.
A figura (3.9) mostra a protecao de um estado tipo gato a partir desse operador.
Um problema ainda aberto e como produzir o operador d com um numero finito de
lasers.
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 1 2 3 4 5 6
b
a
d c
γt
F (t)
Figura 3.9: Evolucao da fidelidade em funcao do tempo em presenca de um reser-vatorio termico com n = 0.5 (a) e (c) e com um reservatorio difusivo (b) e (d). Em (c)e (d) estao representadas as dinamicas na ausencia de protecao, enquanto que em(a) e (b) temos Γeng/γ = 150. O estado inicial e |φ+〉 com α2 = 3.
Como nao e sabido como produzir o operador d, podemos imaginar a protecao
de um estado que aproxime o estado tipo gato. Na secao 2.4.1 foi visto como e
possıvel, utilizando N+2 lasers, produzir e proteger a expansao (3.50) que, por sua
vez, pode aproximar o estado |φ+〉, bastando, para isso, escolher os N primeiros
coeficientes de |ψ〉 de forma a coincidirem com os coeficientes de |φ+〉.
Capıtulo 4
Caos Classico: o OsciladorHarmonico Pulsado
O interesse pela fısica classica foi renovado nos ultimos anos devido ao desen-
volvimento da teoria de sistemas nao-lineares onde destaca-se o aparecimento de
dinamicas bastante variadas que apresentam o caos determinıstico.
Tomado por emprestimo da linguagem coloquial, o termo caos pode dar a im-
pressao de aleatoriedade, desordem. Na verdade, um sistema dinamico caotico e
determinıstico, ou seja, obedece rigorosamente a equacoes de movimento obtidas
a partir de leis fısicas.
A incapacidade de previsao nao vem de uma aleatoriedade intrınseca do pro-
blema mas de uma sensibilidade as condicoes iniciais. Esta e a caracterıstica
fundamental de um sistema caotico: situacoes iniciais ligeiramente distintas po-
dem resultar em estados finais completamente diferentes um do outro. Como nao
podemos determinar as condicoes iniciais com precisao infinita num experimento
real, devido as limitacoes dos aparelhos, ou mesmo numa simulacao computa-
cional, devido aos arredondamentos, apos um certo tempo, solucoes inicialmente
proximas podem estar muito afastadas, ou seja, perdemos a previsibilidade.
Ao solucionarmos as equacoes de movimento do problema encontramos como
as variaveis X evoluem com o tempo obtendo o que chamamos de trajetoria X(t)
do sistema. A separacao X(t) − X′(t) entre duas trajetorias inicialmente muito
proximas apresenta comportamentos distintos dependendo se o sistema e caotico
41
42 CAPITULO 4. CAOS CLASSICO: O OSCILADOR HARMONICO PULSADO
ou regular. A figura (4.1) mostra esta diferenca para o caso de um oscilador
harmonico submetido a pulsos periodicos em uma situacao regular (curva a) e
em outra caotica (curva b). No primeiro caso a diferenca fica praticamente cons-
tante enquanto que no outro as trajetorias se afastam. O afastamento medio das
trajetorias nos sistemas caoticos se da de forma exponencial.
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
0 10 20 30 40 50 60 70
t
(b)
(a)
|x(t
)−x′ (t)|
Figura 4.1: Diferenca entre a evolucao da posicao x de um oscilador pulsado a partirde duas condicoes iniciais separadas por 10−3m para uma regiao de parametrosonde o comportamento e regular (a) e outra onde ha caos (b).
4.1 Equacoes de movimento e mapeamento
O primeiro passo para determinar se um sistema pode exibir caos ou nao e
analisar suas equacoes de movimento. Matematicamente teremos equacoes dife-
renciais do tipo
X = F(X, t) (4.1)
que serao ditas autonomas se a funcao F for independente do tempo e nao-autonomas,
em caso contrario.
Uma condicao necessaria para o aparecimento do caos e a existencia de nao-
linearidades. Alem disso, o sistema deve ter mais de dois graus de liberdade ou ser
nao-autonomo.
4.1. EQUACOES DE MOVIMENTO E MAPEAMENTO 43
Para introduzir os conceitos basicos da teoria de sistemas dinamicos de que
necessitamos utilizaremos um modelo particular: o oscilador harmonico pulsa-
do [49, 50]. Esta nao e a escolha mais simples do ponto de vista matematico mas,
como veremos no proximo capıtulo, se adequa ao modelo fısico de ıons aprisiona-
dos.
Consideremos uma partıcula de massa m submetida a um potencial harmonico
e tambem a pulsos periodicos no tempo supostos suficientemente curtos para
que possamos aproxima-los por funcoes delta. O Hamiltoniano que descreve esta
situacao e:
H =p2
2m+mν2x2
2+ Aclf(x)
∑
n
δ(t− nτ), (4.2)
onde ν e a frequencia de oscilacao, τ o intervalo de tempo entre os pulsos e f(x)
a dependencia espacial dos mesmos. Adotando f(x) = cos(2kx) as equacoes de
movimento serao:
x =∂H
∂p=
p
m, (4.3)
p = −∂H∂x
= −mν2x+ 2Acl k sen(2kx)∑
n
δ(t− nτ). (4.4)
Poderıamos integrar estas equacoes e encontrar a trajetoria do problema porem
uma abordagem mais simples pode ser adotada. Ao inves de analisarmos a cur-
va de (x(t), p(t)) ao longo do tempo podemos nos deter somente nas solucoes em
determinados instantes. Tomam-se as intersecoes entre a trajetoria do problema
e planos paralelos ao plano x, p separados de τ entre si, desta maneira, obtem-se
a secao de Poincare do sistema que, neste caso particular, e um grafico estro-
boscopico.
A vantagem deste procedimento e que mesmo simplificando a visualizacao do
problema podemos ainda caracterizar sua dinamica. A figura (4.2) mostra de ma-
neira esquematica a evolucao de alguns tipos de trajetoria. Trajetorias cıclicas
reduzem-se a um ou mais pontos (finitos) no espaco de fase (fig. 4.2-a), curvas qua-
siperiodicas geram infinitos pontos que se fecham numa curva (fig. 4.2-b) enquanto
44 CAPITULO 4. CAOS CLASSICO: O OSCILADOR HARMONICO PULSADO
que trajetorias caoticas espalham-se pelo espaco de fase ocupando-o totalmente ou
dando origem a fractais (fig. 4.2-c).
Xn+1
t
Xn
(a)
(b)
(c)
x
p
p
p
p
x
x
x
Figura 4.2: Na figura a esquerda temos um esquema para obtencao do mapa es-troboscopico a partir de uma trajetoria (x(t), p(t)), a direita temos a secao estro-boscopica obtida para sitemas: (a) periodico, (b) quasi-periodico e (c) caotico.
Encontrar os pontos da secao estroboscopica fica simples num sistema de
equacoes do tipo (4.3,4.4) que podem ser transformadas em um mapa discreto.
A figura (4.3) ilustra a situacao: ha uma evolucao harmonica de duracao τ inter-
calada por pulsos de duracao δt.
X+0 X+
2
τ
X0 X2X+1X1
δt
Figura 4.3: Representacao esquematica da dinamica do oscilador pulsado. Asolucao se divide na atuacao do pulso entre Xn e X+
n e na evolucao livre do os-cilador harmonico entre X+
n e Xn+1.
Entre os pulsos, a solucao e dada por uma simples rotacao correspondente
a evolucao livre do oscilador harmonico que, usando a notacao da figura (4.3),
4.1. EQUACOES DE MOVIMENTO E MAPEAMENTO 45
corresponde a:
Xn+1 =
(xn+1
pn+1
)= RXn =
(cos(ντ) sen(ντ)/mν
−mν sen(ντ) cos(ντ)
)(x+n
p+n
). (4.5)
Durante os pulsos, a evolucao livre e desprezada ja que δt e considerado muito
pequeno quando comparado com o tempo de oscilacao. Com isso, a relacao entre
as solucoes imediatamente antes e apos cada pulso e obtida a partir da integracao
de (4.4) desprezando os termos harmonicos:
X+n =
(x+n
p+n
)=
(xn
pn + 2Acl k sen(2kxn)
). (4.6)
Agrupando (4.5) e (4.6) podemos escrever de que maneira se relacionam as
solucoes imediatamente antes de cada pulso:
xn+1 = cos(ντ)xn + sen(ντ)/mν [pn + 2Acl k sen(2kxn)] , (4.7)
pn+1 = −mν sen(ντ)xn + cos(ντ) [pn + 2Acl k sen(2kxn)] . (4.8)
E interessante escrever este mapa em termos das variaveis adimensionais u =
2kp/(mν) e v = 2kx:
vn+1 = fv = cos(α)vn + sen(α) [un + Kclsen(vn)] , (4.9)
un+1 = fu = −sen(α)vn + cos(α) [un +Kclsen(vn)] . (4.10)
Em termos das novas variaveis o mapa apresenta dois parametros importantes:
Kcl = 4Aclk2/mν e α = ντ = 2π
q . O primeiro indica o quao forte sao os impulsos
sofridos pelo oscilador e esta relacionado com a importancia do termo nao-linear e
consequentemente com o aparecimento de caos no sistema: note que, para Kcl =
0 nao ha caos. O parametro α e a razao q entre o intervalo de tempo entre os
pulsos e o perıodo de oscilacao natural do sistema. Para q = 1 (ressonancia) e
q = 2 nao ha caos enquanto que para q = 3, 4, 6 temos o aparecimento de redes
com simetria cristalina no espaco de fase [50]. Outros valores de q, como 5 ou 7,
tambem apresentam caos porem gerando redes quasi-cristalinas. No que segue
consideraremos somente os valores inteiros de q, particularmente o caso q = 6.
46 CAPITULO 4. CAOS CLASSICO: O OSCILADOR HARMONICO PULSADO
A secao de Poincare mostra o quao rico pode ser o comportamento desse siste-
ma. Ha o aparecimento de teias, por onde o sistema pode difundir, e regioes regu-
lares onde o sistema fica confinado. A figura (4.4) mostra a secao estroboscopica
obtida a partir de (4.9) e (4.10) para q = 4 e q = 6, ambas com Kcl = 2.0. Cada figura
apresenta quatro trajetorias distintas evoluıdas durante 8000 pulsos mostrando a
existencia de ilhas de estabilidade e regioes caoticas.
-15
-10
-5
0
5
10
15
-15 -10 -5 0 5 10 15-15
-10
-5
0
5
10
15
-15 -10 -5 0 5 10 15
u
v
u
v
(a) (b)
Figura 4.4: Secao de Poincare para q = 4 (a) e q = 6 (b). Observa-se a simetriatetraedrica e hexagonal associadas aos respectivos valores de q assim como a coe-xistencia de regioes regulares e caoticas.
Observa-se, pela figura (4.5), que ha um aumento da area ocupada pelas teias e,
em contrapartida, uma diminuicao na regiao regular quando aumentamos Kcl, ou
seja, quanto maior o valor de Kcl mais rapida e a difusao. Entretanto, ao contrario
do que ocorre no sistema de rotor pulsado, nao existe valor crıtico de Kcl para o
qual o caos comeca a se manifestar.
A difusao atraves do espaco de fase neste sistema e ilimitada e valores cada
vez maiores de v e u sao atingidos a medida em que cresce o tempo de observacao.
Classicamente isto nao e um grande entrave numerico mas, como veremos adiante,
quanticamente torna-se impraticavel o calculo em situacoes como esta. A solucao
esta em encontrar parametros que sejam ao mesmo tempo interessantes do ponto
de vista do caos classico e ainda assim dentro dos limites computacionais impostos
4.2. LINEARIZACAO E PONTOS FIXOS 47
-15
-10
-5
0
5
10
15
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-150
-100
-50
0
50
100
150
-150 -100 -50 0 50 100 150
u
v
u
v
Figura 4.5: Duas secoes de Poincare para Kcl = 2.0 e Kcl = 2.3, ambas para q = 6.A figura da direita corresponde ao maior valor de Kcl e, consequentemente, a umadifusao mais rapida. Note a diferenca entre as escalas e uma ocupacao maior doespaco de fase.
pela solucao quantica. Dentro deste contexto estaremos procurando valores de Kcl
grandes o suficiente para possibilitar a visualizacao do caos e pequenos o suficiente
para que v e u nao crescam muito rapidamente.
4.2 Linearizacao e pontos fixos
A escolha dos parametros para a exploracao numerica do espaco de fase do
problema torna-se um pouco mais simples se pudermos descobrir, a partir das
equacoes (4.9) e (4.10), algo mais sobre sua dinamica como, por exemplo, a existencia
de pontos fixos e a analise de sua estabilidade.
Seja um mapa geral dado por
Xn+1 = F(Xn). (4.11)
Os pontos fixos X∗ sao aqueles que nao se alteram com a aplicacao do mapa, ou
seja,
F(X∗) = X∗. (4.12)
A linearizacao de (4.11) e obtida atraves de uma expansao em torno do ponto
48 CAPITULO 4. CAOS CLASSICO: O OSCILADOR HARMONICO PULSADO
fixo:
δn+1 = Xn+1 −X∗
= F(Xn)−X∗
≈ DF(X∗)δn, (4.13)
onde DF(X∗) e a matriz jacobiana que, no caso do mapa definido por (4.9) e (4.10),
e dada por:
DF(X∗) =
( ∂fv∂v
∂fv∂u
∂fu∂v
∂fu∂u
), (4.14)
onde as derivadas sao avaliadas em X∗.
A estabilidade local na vizinhanca destes pontos fixos pode ser analisada a par-
tir dos autovalores desta matriz.
No caso de um mapa bidimensional, a figura (4.6) mostra o que pode aconte-
cer em alguns casos dependendo dos autovalores λ1 e λ2. No caso de autovalores
reais o ponto fixo pode ser um no instavel quando os pontos tendem a se afastar
de X∗, um no estavel quando a dinamica aproxima os pontos de X∗ ou um pon-
to hiperbolico quando ha uma direcao estavel e outra instavel. A existencia de
autovalores complexos gera o aparecimento de espirais divergentes e convergentes
para nos instaveis e estaveis, respectivamente, e ainda os pontos fixos elıpticos que
possuem orbitas estaveis ao seu redor.
Podemos passar, entao, a aplicacao deste tipo de analise no caso do oscila-
dor harmonico pulsado. Utilizando a definicao (4.12) e o mapa definido por (4.9)
e (4.10)obtemos as seguintes equacoes para v∗ e u∗:
v∗ =Kcl sen(α) sen(v∗)
2(1− cos(α))(4.15)
u∗ = −Kclsen(v∗)2
(4.16)
A analise de estabilidade e feita atraves dos autovalores da matriz
DF =
(cos(α) + sen(α)Kclcos(v∗) sen(α)
−sen(α) + cos(α)Kclcos(v∗) cos(α)
)(4.17)
4.2. LINEARIZACAO E PONTOS FIXOS 49
λ1, λ2 reais
λ1 = λ∗2 = ρeiφ
ρ > 1 ρ < 1 ρ = 1
(a) (b) (c)
(e) (f)(d)
λ1, λ2 > 1 λ1, λ2 < 1 λ1 < 1, λ2 > 1
Figura 4.6: Analise da estabilidade local dependendo dos autovalores: o ponto fixopode ser um no instavel (a) e (d), um no estavel (b) e (e), um ponto hiperbolico (c)ou elıptico (f).
O ponto (0, 0) e uma solucao de (4.15) e (4.16) e os autovalores λ1 e λ2 de (4.17)
associados a ele estao mostrados na figura (4.7) como funcao de Kcl. Note que, a
partir de Kcl ≈ 1.155 o ponto fixo deixa de ser elıptico e passa a ser hiperbolico.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
=(λ2)
<(λ2)
<(λ1)
=(λ1)
Figura 4.7: Autovalores λ1 e λ2 em funcao de Kcl.
Existem tambem pontos fixos elıpticos como (1.71,−0.99) e (−1.71, 0.99), para
Kcl = 2.0, que aparecem claramente na figura (4.8) assim como as direcoes estavel
e instavel dadas pelos autovetores de (4.17) para a origem. Esta figura corresponde
a uma visao ampliada da regiao central da figura (4.4-b).
50 CAPITULO 4. CAOS CLASSICO: O OSCILADOR HARMONICO PULSADO
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3
Figura 4.8: Comportamento do oscilador pulsado na vizinhanca da origem paraq = 6 e Kcl = 2.0.
Os pontos hiperbolicos estao associados ao aparecimento do caos e sobre-
vivem mesmo ao introduzirmos os termos nao-lineares. A vantagem em utili-
zar parametros onde a origem e um ponto hiperbolico esta em poder observar a
dinamica caotica sem que o sistema se espalhe demais no espaco de fase. Por esse
motivo, estaremos trabalhando com os valores da figura (4.8) de agora em diante.
4.3 Evoluindo uma distribuicao classica de probabilidades
As trajetorias classicas mostradas ate aqui foram obtidas a partir da aplicacao
de (4.9) e (4.10) em uma condicao inicial escolhida (v0, u0). Poderıamos, entretanto,
imaginar uma situacao mais geral onde nao soubessemos, com certeza, o ponto
inicial (v0, u0) mas apenas a probabilidade de termos escolhido este ponto. Neste
caso, terıamos varias trajetorias possıveis iniciando em condicoes iniciais distin-
tas e com probabilidades diferentes. A pergunta agora nao seria mais como um
determinado ponto evolui mas sim como a distribuicao de probabilidades inicial e
modificada com o tempo.
A figura (4.9) mostra a evolucao de uma distribuicao de probabilidades gaus-
siana, centrada na origem, para o mapa (4.9,4.10). O cenario do caos esta visi-
velmente presente com o afastamento em uma direcao, a contracao em outra e
4.3. EVOLUINDO UMA DISTRIBUICAO CLASSICA DE PROBABILIDADES 51
as dobras da distribuicao de probabilidades. Este processo onde a distribuicao se
estica e depois se dobra e tıpico de uma dinamica onde pontos inicialmente muito
proximos acabam distanciando-se. Na figura (4.10) pode-se observar este afasta-
mento, depois de passados 10 pulsos, a partir da difusao das cores: o vermelho,
por exemplo, que estava inicialmente concentrado na origem agora se encontra
espalhado por varias regioes do espaco de fase. E interessante notar que com es-
te procedimento observa-se uma dinamica analoga a obtida atraves da analise de
uma unica trajetoria. A comparacao entre a figura (4.8) e a figura (4.9) para N = 10,
por exemplo, mostra bem essas semelhancas.
Uma medida do afastamento de pontos inicialmente proximos devido a dinamica
caotica, visto na figura (4.10), pode ser obtida atraves do expoente de Lyapunov
definido por
λL = limN→∞
λ0(x0, N), (4.18)
com o expoente de Lyapunov local λ0(x0, N) sendo
λ0(x0, N) = limε→0
1
Nln[d(ε, N)/ε], (4.19)
onde ε e a separacao inicial entre x0 e uma condicao inicial vizinha e d(ε, N) e a
distancia entre as trajetorias originarias desses pontos apos N iteracoes. O ex-
poente de Lyapunov descreve uma taxa de expansao media do sistema. Expoen-
tes positivos significam que pequenas incertezas nas condicoes iniciais crescem
na media enquanto que expoentes negativos significam uma contracao. Em outras
palavras, um expoente de Lyapunov positivo implica em sensibilidade as condicoes
iniciais.
A figura (4.11) mostra este expoente para diversos valores de Kcl obtido para
uma distribuicao de probabilidade inicial gaussiana centrada na origem. O grafico
e obtido calculando-se o expoente de Lyapunov para cada ponto do espaco de
fase [51] e depois fazendo uma media levando em consideracao as probabilidades
dos mesmos. Para Kcl = 2 o expoente e bem pequeno (λL = 0.067) e isso mostra o
porque da lenta difusao observada para este valor de Kcl em torno da origem. Ao
52 CAPITULO 4. CAOS CLASSICO: O OSCILADOR HARMONICO PULSADO
N = 5N = 4
N = 1 N = 2N = 0
N = 3
N = 6 N = 7
N = 9 N = 10
N = 8
N = 20
Figura 4.9: Evolucao de uma distribuicao de probabilidades gaussiana centrada naorigem do espaco de fase em funcao do numero N de pulsos.
4.4. EVOLUCAO CLASSICA COM RESERVATORIOS 53
(b)(a)
Figura 4.10: Distribuicao de probabilidades apos 10 pulsos (a) e a ampliacao deuma regiao (b).
aumentarmos este parametro o expoente de Lyapunov tambem cresce levando o
sistema a se espalhar rapidamente.
Ainda pensando na comparacao com a dinamica quantica, percebemos que ha
vantagens em analisar distribuicoes ao inves de trajetorias. A evolucao quantica
nao se da a partir de um ponto no espaco de fase mas a partir de um estado
do qual podemos tirar as probabilidades de x e p. Desta forma nota-se que uma
dinamica classica baseada em distribuicoes de probabilidades se assemelha mais
ao que acontece com o caso quantico.
4.4 Evolucao classica com reservatorios
A evolucao caotica analisada anteriormente pode ser bastante modificada se
considerarmos a possibilidade de existencia de dissipacao ou mesmo de interacoes
que produzam difusao no sistema. Estas situacoes, que no caso quantico corres-
pondem ao reservatorio a temperatura nula e ao reservatorio puramente difusivo,
respectivamente, podem ser tambem introduzidas na dinamica classica.
54 CAPITULO 4. CAOS CLASSICO: O OSCILADOR HARMONICO PULSADO
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1 2 3 4 5 6 7 8 9
λL
Kcl
Figura 4.11: Expoente de Lyapunov medio para a distribuicao de probabilidadeinicial mostrada na figura (4.9).
4.4.1 Reservatorio dissipativo
Um reservatorio a temperatura zero pode ser obtido colocando o oscilador num
meio viscoso que atenua as oscilacoes atraves de uma forca de atrito proporcional
a velocidade. A equacao diferencial que representa esta situacao e:
x+ ν2x+ Γx =2Acl k
msen(2kx)
∑
n
δ(t− nτ). (4.20)
Esta equacao e identica a obtida para os valores esperados quanticos a partir da
equacao mestra (3.14) adicionando o termo dos pulsos.
Com um procedimento analogo ao feito no caso conservativo, podemos obter o
mapa da evolucao dissipativa que, ja nas variaveis adimensionais v e u, fica:
vn+1 = e−β[cos(α) +
β
αsen(α)
]vn + e−βsen(α)
[un +Kclsen(vn)
](4.21)
un+1 = −e−β[1 +
(βα
)2]sen(α)vn + e−β
[cos(α)− β
αsen(α)
][un +Kclsen(vn)
], (4.22)
com β = Γτ/2 = Γα/2ν.
4.4. EVOLUCAO CLASSICA COM RESERVATORIOS 55
Este novo mapa tem como pontos fixos
v∗ =eβKcl sen(α) sen(v∗)[1− 2 eβcos(α) + e2β]
(4.23)
u∗ =eβKclsen(v∗)[cos(α)− ( βα)sen(α)− 1]
[1− 2 eβcos(α) + e2β](4.24)
Para entender melhor o que ocorre neste caso, vamos assumir um determinado
valor para a intensidade do pulso (Kcl = 2) e variar o parametro de dissipacao. Pa-
ra pequenos valores do parametro de dissipacao o ponto fixo (0, 0) continua sendo
hiperbolico mas os dois pontos fixos vizinhos a ele passam de elıpticos a estaveis,
atraindo as trajetorias ao redor dos mesmos. Aumentando o valor de β, estes pon-
tos fixos vao se deslocando para a origem ate que para β ≈ 0.83 a origem passa a ser
o ponto de atracao do sistema. Este processo esta ilustrado na figura (4.12) onde
vemos as trajetorias de duas condicoes iniciais distintas para diferentes valores da
dissipacao.
E importante notar que a introducao da dissipacao nao implica no desapareci-
mento do caos. O comportamento do sistema vai depender dos valores de Kcl e de
β podendo aparecer atratores estranhos como o ilustrado na figura (4.13).
Para se ter uma ideia desse comportamento em funcao dos parametros, calcu-
lamos o expoente de Lyapunov para varios valores de Kcl e β atraves do mesmo
procedimento utilizado no caso conservativo mudando apenas o mapa. Na figu-
ra (4.14) podemos identificar claramente as regioes onde o expoente de Lyapunov
e positivo e, portanto, temos caos e as regioes onde ele e negativo ou nulo. A escala
de cores da figura vai desde um azul escuro representando os valores mais nega-
tivos ate o vermelho que indica os valores mais altos do expoente passando pelo
verde mais claro que corresponde ao zero. E interessante notar que uma pequena
dissipacao ja elimina o caos para pequenos valores deKcl ao passo que e necessaria
uma dissipacao bem maior quando se aumenta a intensidade dos pulsos.
4.4.2 Reservatorio difusivo
Um reservatorio difusivo pode ser pensado como o resultado de colisoes aleatorias
56 CAPITULO 4. CAOS CLASSICO: O OSCILADOR HARMONICO PULSADO
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
-3 -2 -1 0 1 2 3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
-3 -2 -1 0 1 2 3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
-3 -2 -1 0 1 2 3
(c)
(b)(a)
Figura 4.12: Secao estroboscopica do mapa dissipativo para: β = 0.1 (a), β = 0.4(b) e β = 0.85 (c). Nas tres figuras aparece a secao do mapa conservativo paracomparacao.
4.4. EVOLUCAO CLASSICA COM RESERVATORIOS 57
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-1
-0.5
0
0.5
1
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2
Figura 4.13: Secao estroboscopica do mapa dissipativo para β = 0.85 e Kcl = 20.
Kcl
β
λL
Figura 4.14: Expoente de Lyapunov em funcao de Kcl e β.
58 CAPITULO 4. CAOS CLASSICO: O OSCILADOR HARMONICO PULSADO
no oscilador harmonico numa situacao semelhante ao que ocorre no movimento
browniano. Quanticamente vimos que campos eletromagneticos aleatorios eram
capazes de produzir tal reservatorio.
Classicamente podemos tentar resolver o problema atraves da introducao de
uma forca de flutuacao diretamente nas equacoes de movimento para depois fazer
uma media sobre as diversas trajetorias produzidas. Uma outra maneira, adotada
nas nossas simulacoes, e resolver diretamente a equacao diferencial parcial que
representa a evolucao da distribuicao de probabilidade.
E importante ressaltar que em ambos os casos nao temos mais a evolucao de
uma unica trajetoria mas sim de um conjunto delas ou da distribuicao de proba-
bilidade como um todo.
A equacao para a distribuicao de probabilidade e analoga a equacao de Fokker-
Plank obtida no caso quantico, contendo os termos difusivos assim como os termos
originarios da equacao de Liouville. Nas variaveis v e u tem-se, entre cada pulso,
∂P
∂t= νu
∂P
∂v− νv ∂P
∂u+ Γ
(∂2P
∂v2+∂2P
∂u2
), (4.25)
enquanto que, durante um pulso, desprezam-se as evolucoes harmonica e difusiva
para escrever
∂P
∂t= Kclsen(v)
∂P
∂uδ(t− nτ). (4.26)
A solucao do problema entre dois pulsos consecutivos e dividida em tres par-
tes de acordo com um algoritmo de separacao (“splitting algorithm”) [52]. Com a
utilizacao deste metodo, ao inves de resolver diretamente (4.25) deve-se encontrar
a solucao para o conjunto de equacoes abaixo
∂P
∂t= νu
∂P
∂v, (4.27)
∂P
∂t= −νv ∂P
∂u, (4.28)
∂P
∂t= Γ
(∂2P
∂v2+∂2P
∂u2
), (4.29)
onde a solucao de cada uma delas e utilizada como condicao inicial na equacao
seguinte.
4.4. EVOLUCAO CLASSICA COM RESERVATORIOS 59
A solucao de (4.27) e (4.28) segue o metodo de fluxo balanceado [53]. O espaco
de fase e dividido em celulas cujas probabilidades sao evoluıdas no tempo so-
mando os ganhos e subtraindo as perdas para as celulas vizinhas a partir do
fluxo ditado pelas equacoes. A parte relativa a difusao (4.29) utiliza um metodo
de diferencas finitas que funciona de maneira semelhante ao fluxo balanceado.
Em [54] ha uma extensa discussao sobre diversos metodos de diferenca finita e
processos de discretizacao.
A equacao (4.26) e semelhante a (4.28) e utiliza-se, portanto, o mesmo metodo
de fluxo balanceado para soluciona-la. Neste caso a funcao δ e aproximada por um
pulso retangular de area unitaria e duracao muito menor que o intervalo entre dois
pulsos consecutivos.
A precisao desses metodos depende de uma conveniente discretizacao espacial e
temporal do problema. Obviamente o erro e tao menor quanto menor for o intervalo
de tempo ∆t e os espacamentos ∆v e ∆u utilizados para a definicao do tamanho das
celulas do espaco de fase. E claro, tambem, que um aumento em precisao corres-
ponde a um aumento tambem no tempo de computacao. A dificuldade maior nesse
problema e a de encontrar parametros de discretizacao que sejam compatıveis com
a solucao harmonica, a difusiva e a caotica simultaneamente o que so e possıvel,
em alguns casos, com um aumento muito grande no numero de pontos utilizados.
A figura (4.15) mostra a evolucao da distribuicao classica com a introducao de
um reservatorio difusivo. O parametro relevante para descrever o processo difusivo
e a razao entre a taxa Γ e a frequencia da aplicacao dos pulsos que definiremos
como um coeficiente de difusao D = Γτ/2 = Γα/2ν. O que e observado nesta
evolucao e que a difusao suavisa a distribuicao de probabilidades impedindo a
formacao de estruturas cada vez mais finas como ocorria no caso conservativo.
Existe ainda um outro fator que aparece na dinamica que e a possibilidade de
passagem de uma regiao caotica para uma regular, ou seja, a difusao permite
que pontos migrem para as areas correspondentes aos pontos elıpticos vizinhos a
origem.
60 CAPITULO 4. CAOS CLASSICO: O OSCILADOR HARMONICO PULSADO
N = 5N = 4
N = 1 N = 2N = 0
N = 3
N = 6 N = 7 N = 8
N = 10N = 9
Figura 4.15: Evolucao de uma distribuicao de probabilidades gaussiana centradana origem para Kcl = 2.0 e D = 0.005.
Capıtulo 5
Caos em ıons aprisionados: ooscilador harmonico pulsado
A descoberta de sistemas com sensibilidade as condicoes iniciais no mundo
classico despertou a curiosidade sobre o comportamento de tais sistemas no domınio
microscopico, iniciando-se assim o estudo do que passou a ser conhecido como
caos quantico. Como o conceito de caos classico esta baseado na ideia de tra-
jetorias e nao temos esta ideia formulada de forma clara na mecanica quantica,
nao podemos definir facilmente caos nesta teoria. O que hoje chamamos caos
quantico e uma vasta area que engloba pesquisas sobre o comportamento quantico
de sistemas classicamente caoticos, as assinaturas quanticas desse comportamen-
to, a quantizacao desses sistemas assim como a transicao quantico-classico nesta
situacao.
O desenvolvimento desta area despertou a curiosidade a respeito de sistemas
fısicos onde as previsoes teoricas pudessem ser testadas, existindo hoje, diversas
propostas tanto na area de materia condensada como em fısica atomica.
Ha na literatura algumas sugestoes nesse sentido utilizando ıons aprisiona-
dos [55] e aqui apresentaremos uma proposta semelhante a que foi introduzida
por Cirac e Zoller em 1994 [56] onde obtem-se o hamiltoniano quantico equiva-
lente ao oscilador harmonico pulsado exposto no capıtulo anterior. Como um ıon
aprisionado e um sistema relativamente bem isolado do meio externo, ele apresenta
a possibilidade de estudar, aproximadamente, sistemas conservativos. Por outro
61
62 CAPITULO 5. CAOS EM IONS APRISIONADOS
lado, como e possıvel produzir reservatorios artificiais, tambem pode-se estudar
sistemas interagindo com o ambiente ao seu redor.
5.1 Interacao com Laser e hamiltoniano Caotico
Consideremos um atomo de dois nıveis interagindo com um laser numa configuracao
de onda estacionaria conforme ilustra a figura (5.1). A diferenca de energia entre os
nıveis eletronicos e hω21 = hω2− hω1, ωL e a frequencia do laser e kL e a componente
do vetor de onda ao longo da direcao de movimento x. O laser encontra-se dessin-
tonizado de ∆ = ω21 − ωL em relacao a transicao eletronica e tem uma frequencia
de Rabi dependente do tempo Ω(t).
|1〉
|2〉
Ω(t), ωL, kLω21
∆
Figura 5.1: Esquema para a obtencao do oscilador harmonico pulsado num ıon.
O hamiltoniano que descreve essa situacao e obtido a partir de (2.12) simples-
mente trocando a dependencia espacial da onda propagante por uma onda esta-
cionaria
H = hνa†a+ hω1A11 + hω2A22 +h
2
[Ω(t)A21 cos(kLx) e−iωLt + h.c.
]. (5.1)
Vamos considerar uma situacao em que a dessintonia ∆ seja muito maior que
as frequencias de Rabi envolvidas no problema de forma a podermos eliminar a
dinamica do nıvel |2〉 atraves de um procedimento de eliminacao adiabatica seme-
lhante ao adotado no capıtulo 2. Para tanto vamos passar para um referencial
definido pelo operador
U = e−i[(ωL+ω1+∆/2)A22t+(ω2−ωL−∆/2)A11t]. (5.2)
5.1. INTERACAO COM LASER E HAMILTONIANO CAOTICO 63
A nova matriz densidade ˜ρ = U †ρU do sistema nesse novo referencial obedece a
uma equacao que e obtida a partir de
˙ρ =
˙U †ρU + U †ρ ˙
U + U † ˙ρU
= i
(ωL + ω1 +
∆
2
)[A22, ρ
]+ i
(ω2 − ωL −
∆
2
)[A11, ρ
]− i
h
[˜H, ˜ρ
], (5.3)
com ˜H = U †HU .
Avaliando cada termo em (5.3) tem-se
˙ρ = − i∆
2
[(A22 − A11
), ρ]− iΩ(t)
2
[cos(kLx)A21, ρ
]
− iΩ∗(t)2
[cos(kLx)A12, ρ
]. (5.4)
Projetando esta equacao na base eletronica obteremos:
˙ρ12 = i∆ρ12 −iΩ∗(t)
2
[cos(kLx)ρ22 − ρ11cos(kLx)
](5.5)
˙ρ21 = −i∆ρ21 −iΩ(t)
2
[cos(kLx)ρ11− ρ22cos(kLx)
](5.6)
˙ρ11 = − iΩ∗(t)2
[cos(kLx)ρ21
]+iΩ(t)
2
[ρ12cos(kLx)
](5.7)
˙ρ22 = − iΩ(t)
2
[cos(kLx)ρ12
]+iΩ∗(t)
2
[ρ21cos(kLx)
](5.8)
A consideracao que ∆ Ω para a eliminacao do nıvel superior consiste, na
pratica, em dizer que ˙ρ12 = 0. Fisicamente podemos justificar este procedimento
argumentando que, como ∆ e muito grande, entao, o nıvel superior nao e pratica-
mente populado e o ıon permanece o tempo todo no nıvel inferior |1〉. A equacao
para ρ12 torna-se:
ρ12 =Ω∗
2∆
[cos(kLx)ρ22 − ρ11cos(kLx)
](5.9)
Substituindo-a nas equacoes para ρ11 e ρ22, teremos:
˙ρ11 =i |Ω(t)|2
4∆
[cos2(kLx), ρ11
](5.10)
˙ρ22 = − i |Ω(t)|24∆
[cos2(kLx), ρ22
](5.11)
Como ρ22 ρ11 pode-se aproximar ρv por ρ11. Podemos notar que (5.10) e
(5.11) reforcam a interpretacao da nao populacao do nıvel 2 pois os dois estados
64 CAPITULO 5. CAOS EM IONS APRISIONADOS
eletronicos encontram-se, agora, desacoplados. A dinamica efetiva fica descrita
por (5.10), ou seja, ela fica restrita ao movimento vibracional no estado eletronico
fundamental. O hamiltoniano efetivo que gera a equacao (5.10) e
Hef = H0 +h |Ω(t)|2
8∆[cos(2kLx) + 1] |1〉〈1|, (5.12)
onde H0e o hamiltoniano do oscilador harmonico.
Suponhamos, agora, que o laser seja ligado e desligado durante um tempo mui-
to curto (σ) e que isto seja feito sempre de maneira periodica em intervalos de
tempo iguais a τ . Desta forma teremos o ıon iluminado por uma serie de pulsos
gaussianos que, no limite de σ muito pequeno pode ser substituıda por uma serie
de pulsos tipo delta
|Ω(t)|2 = |Ω|2∑
n
e−(t−nτ)2/σ2 ≈ σ√π |Ω|2∑
n
δ(t− nτ) (5.13)
Devemos observar que ha um compromisso entre o limite de σ τ para que
possamos considerar pulsos tipo delta e a condicao de σ 1/∆ que e necessaria
para que o laser nao seja muito largo em frequencia e a eliminacao do nıvel 2 seja
possıvel. O hamiltoniano final fica:
Hef = H0 + hKQ [cos(2kLx) + 1]∑
n
δ(t− nτ), (5.14)
onde KQ = σ√π|Ω|28∆ . Podemos ainda escrever em termos dos operadores a e a†
H = hνa†a+ hKQcos[2η(a+ a†) + 1]∞∑
n=0
δ(t− nτ). (5.15)
Este hamiltoniano e o analogo quantico de (4.2) a menos de um termo constante
que contribui apenas com uma fase global e pode, portanto, ser desprezado.
5.2 Comparacao com variaveis classicas e escalamento
A dinamica quantica apresenta um fator a mais que a dinamica classica devido
a existencia da constante de Planck. Esta aparece explicitamente no hamiltoniano
5.2. COMPARACAO COM VARIAVEIS CLASSICAS E ESCALAMENTO 65
quantico e tambem implicitamente atraves do parametro de Lamb-Dicke. Clas-
sicamente devemos introduzir um parametro de escalamento correspondente ao
parametro de Lamb-Dicke para que possamos comparar as duas evolucoes.
O mapa (4.9,4.10) descreve o problema classico atraves das variaveis adimen-
sionais v e u. Quanticamente estas variaveis estao relacionadas com o operador a
da seguinte forma:
〈a〉 =
√mν
2h〈x〉+ i
√1
2hmν〈p〉
=1
4η(v + iu)
≡ v + iu. (5.16)
Reescrevendo o mapa classico para as variaveis escaladas v e u teremos:
vn+1 = cos(α)vn + sin(α)[un + Kcl
4η sin(4ηvn)]
(5.17)
un+1 = − sin(α)vn + cos(α)[un + Kcl
4η sin(4ηvn)]. (5.18)
Como o mapa e nao-linear, um reescalamento de suas variaveis nao significa
que o mesmo ocorra para o mapa como um todo. Realmente os mapas (5.17,5.18)
e (4.9,4.10) nao diferem apenas de um fator de escala, entretanto, as alteracoes
ocasionadas pelo escalamento nao mudam qualitativamente a dinamica do siste-
ma. Na figura (5.2), onde e mostrada a secao estroboscopica deste mapa para
dois valores distintos de η, podemos observar a alteracao na escala sem alteracoes
importantes nas caracterısticas basicas da evolucao do sistema.
Para uma completa identificacao entre as grandezas que aparecem nos hamilto-
nianos quantico e classico e necessario, tambem, comparar a intensidade do pulso
em ambos os casos. Isso pode ser feito a partir de (4.2) e (5.14) o que nos leva a
impor que hKQ = Acl. Esta relacao pode ainda ser escrita utilizando a intensidade
adimensional classica Kcl = 4k2Acl/mν e o parametro de Lamb-Dicke η = k√h/2mν:
hKQ =mνKcl
4k2
KQ =Kcl
8η2. (5.19)
66 CAPITULO 5. CAOS EM IONS APRISIONADOS
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
u
v v
u
Figura 5.2: Secao estroboscopica para q = 6, Kcl = 2.0 e fatores de escala valendoη = 0.25 e η = 0.125.
5.3 Evoluindo o Estado Quantico
A versao quantica do oscilador harmonico pulsado foi estudada pela primeira
vez por Berman e colaboradores [57] e posteriormente em alguns outros traba-
lhos [58]. A dinamica quantica pode ser separada em duas partes: uma determi-
nada pelo efeito do pulso e outra relacionada a evolucao entre dois pulsos con-
secutivos. Procederemos no caso quantico de forma analoga ao classico, ou seja,
resolveremos o problema estroboscopicamente encontrando o estado do sistema
imediatamente antes de cada pulso, como ilustra a figura (5.3).
τ
|ψ+〉n|ψ−〉n |ψ−〉n+1
Tp Toh
Figura 5.3: Esquema da evolucao do oscilador pulsado: no instante do pulso atuao operador Tp e entre os pulsos temos a atuacao do operador Toh que produz aevolucao harmonica do sistema.
5.3. EVOLUINDO O ESTADO QUANTICO 67
5.3.1 Dinamica do pulso
A evolucao de um vetor de estado |ψ(t)〉 e dada por:
|ψ(t)〉 = T (t, t0)|ψ(0)〉, (5.20)
onde T (t, t0) = exp[− ih
∫ tt0H(t′)dt′
].
Introduzindo no operador de evolucao Tp o hamiltoniano que descreve os pulsos
obteremos uma relacao entre o estado do sistema antes e depois do pulso:
|ψ+〉n = Tp|ψ−〉n = exp[−iKQcos[2η(a+ a†)]
]|ψ−〉n, (5.21)
nesta equacao, os ındices + e − correspondem, respectivamente, a instantes de
tempo imediatamente apos e antes do n-esimo pulso.
Para resolver a eq. (5.21) vamos usar a expansao da exponencial em funcoes de
Bessel
eiAcos(θ) =∞∑
k=−∞ikJk(A)eikθ. (5.22)
No nosso caso teremos:
e−iKQ cos[2η(a+a†)] =∞∑
k=−∞ikJk(−KQ)ei2kη(a+a†)
= J0(−KQ) +∞∑
k=1
ikJk(−KQ)ei2kη(a+a†) +−1∑
k=−∞ikJk(−KQ)ei2kη(a+a†)
= J0(−KQ) +∞∑
k=1
[ikJk(−KQ)ei2kη(a+a†) + i−kJ−k(−KQ)e−i2kη(a+a†)
]
= J0(−KQ) +∞∑
k=1
ikJk(−KQ)[ei2kη(a+a†) + e−i2kη(a+a†)
], (5.23)
onde usamos que J−k(−KQ) = (−1)kJk(−KQ).
Podemos, agora, expandir os vetores de estado |ψ+〉 e |ψ−〉 na base de autoesta-
dos do operador numero n = a†a:
|ψ+〉 =∞∑
m=0
c+m|m〉, (5.24)
|ψ−〉 =∞∑
m=0
c−m|m〉, (5.25)
68 CAPITULO 5. CAOS EM IONS APRISIONADOS
e escrever os novos coeficientes c+r em funcao dos antigos c−m da seguinte maneira:
c+r = 〈r|ψ+〉 = 〈r|e−iKQ cos[2η(a+a†)]
∞∑
m=0
c−m|m〉
= c−r J0(−KQ) +∞∑
m=0
c−m∞∑
k=1
ikJk(−KQ)[Arm(k) +Arm(−k)
], (5.26)
onde Arm(k) = 〈r|ei2kη(a+a†)|m〉 = e−2k2η2
(i2kη)r−m√m!√r!Lr−mm (4k2η2), sendo Lr−mm (4k2η2)
um polinomio de Laguerre generalizado.
A equacao (5.26) nos revela que a evolucao do estado quantico, para o pulso, de-
pende apenas de dois parametros: KQ e η. Este utimo e de extrema importancia pa-
ra o limite classico do problema ja que e nele que se encontra qualquer dependencia
com a constante de Planck. Este parametro que classicamente representa um es-
calamento, quanticamente tem um papel semelhante. A medida que diminuimos
η, estamos aproximando o sistema do limite macroscopico fazendo com que h fique
cada vez menor quando comparado com uma acao tıpica do problema. A grande
vantagem, neste caso, e que se pode alcancar o limite classico manipulando uma
grandeza acessıvel experimentalmente ja que, como visto em (2.14), pode-se alterar
o parametro de Lamb-Dicke com a mudanca do angulo entre o laser e a direcao de
vibracao do ıon.
5.3.2 Dinamica entre os pulsos
Entre dois pulsos consecutivos devemos considerar as situacoes corresponden-
tes ao sistema isolado ou interagindo com o ambiente. No primeiro caso a evolucao
do estado quantico se da atraves da atuacao do operador de evolucao correspon-
dente ao oscilador harmonico Toh durante um tempo τ :
|ψ−〉n+1 = Toh|ψ+〉n = e−iντ a† a|ψ+〉n. (5.27)
Esta parte da evolucao corresponde, simplesmente, a uma rotacao do estado.
Lembrando que classicamente definimos o intervalo de tempo entre os pulsos como
sendo τ = α/ν = 2π/qν, vemos que esta rotacao transforma os coeficientes da
5.3. EVOLUINDO O ESTADO QUANTICO 69
seguinte maneira:
c′m = ei2πm/qcm. (5.28)
Para a situacao do sistema isolado a solucao esta completa bastando combinar
as equacoes (5.28) e (5.26). Entretanto, ao considerarmos interacoes com reser-
vatorios como descrito no capıtulo 2, devemos modificar a evolucao entre os pulsos.
Evolucao com reservatorio
Introduzindo a interacao com um reservatorio temos que procurar resolver a
equacao mestra correspondente:
dρ
dt=i
h
[ρ, H0
]+γ
2
(2 c ρ c† − c† c ρ− ρ c† c
), (5.29)
onde H0 corresponde ao hamiltoniano do oscilador harmonico.
Uma das alternativas numericas para a solucao de (5.29) e o metodo de funcao
de onda de Monte Carlo [59, 60] a partir do qual obtemos a matriz densidade
fazendo uma media sobre varias realizacoes estocasticas do vetor de estado |ψ〉. A
vantagem deste metodo e que nele evoluımos o estado que tem dimensionalidade,
digamos, N enquanto que uma integracao numerica de (5.29) resultaria na solucao
de um sistema de equacoes N ×N . Obviamente que o ganho nao e tao grande pois
temos que executar o metodo de Monte Carlo um numero suficiente de vezes para
fazermos uma boa media sobre as realizacoes. Este metodo pode ser implementado
para qualquer dos reservatorios encontrados no capıtulo 2 ja que sua aplicacao e
valida sempre que a equacao mestra estiver na forma de Lindblad.
Para alguns reservatorios podemos resolver analiticamente a equacao mestra
escrevendo de que forma os elementos de matriz de ρ evoluem no tempo. Este pro-
cedimento esta descrito no apendice A e, no caso do reservatorio difusivo, teremos:
ρi,k(t) =∞∑
l=0
min(i,k)∑
j=0
ρi+l−j,k+l−j (0)(γt+ 1)(j−i−k−1−l)(γt)l+j√i!k!(i+ l − j)!(k+ l − j)!l!j!(i− j)!(k− j)! .
(5.30)
70 CAPITULO 5. CAOS EM IONS APRISIONADOS
A solucao final deve envolver a evolucao livre dada por (5.28) associada a evolucao
do reservatorio. No apendice B mostramos que estas duas evolucoes comutam e,
consequentemente, podemos calcula-las separadamente.
5.4 Consideracoes numericas
Os calculos numericos relativos a evolucao quantica estao relacionados as solucoes
da evolucao dos pulsos (5.26) e da parte relativa ao reservatorio.
A evolucao hamiltoniana dos pulsos apresenta o parametro de Lamb-Dicke co-
mo um fator fundamental nao so do ponto de vista teorico mas tambem numerico.
Vimos que este parametro e responsavel por um escalamento que, classicamente,
esta diretamente relacionado a ocupacao maior ou menor de regioes do espaco de
fase. Quanticamente, uma maior extensao do sistema no espaco de fase significa
que necessitamos de uma maior base 1 para descrever os estados do sistema.
Numericamente, os somatorios que se estendem ate o infinito em (5.26) devem
ser obviamente truncados em valores Mmax e kmax. No somatorio em m quanto
menor o valor de η maior o valor de Mmax ja que este ındice esta relacionado com
o tamanho da base. A segunda soma, em k, e levada em consideracao ate que
seus termos, basicamente dados pelas funcoes de Bessel, fiquem menores que um
valor muito pequeno δ = 10−10. Note que o argumento das funcoes de Bessel e a
intensidade do pulso KQ que varia com 1/η2 para uma intensidade classica cons-
tante(ver (5.19)), ou seja, ao diminuirmos η aumentamos KQ e devemos, portanto,
elevar o numero de termos somados.
A figura (5.4) mostra o efeito da escolha do parametro de Lamb-Dicke no tempo
de execucao do programa. Estes dados correspondem a calculos executados em
um processador Athlon de 1.2GHz e 512Mb de RAM para um total de 50 pulsos
sem adicao de reservatorio. Para uma diminuicao de η por um fator de 5 (de 0.5
para 0.1) temos um aumento no tempo de execucao de um fator maior que 18.
Um outro ponto importante neste caso e o gasto de memoria. Como em (5.26)
1No nosso caso usamos a base de autoestados de energia do oscilador harmonico
5.4. CONSIDERACOES NUMERICAS 71
temos varios polinomios de Laguerre que sao utilizados durante os calculos e como
este numero aumenta com a base, fizemos a opcao de calcula-los todos no inıcio
do programa para diminuir o tempo de execucao. Esta medida, por outro lado,
aumenta a memoria requerida para o armazenamento da matriz relativa a estes
polinomios o que limita o menor valor de η que conseguimos atingir numericamen-
te.
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
Tem
po
de
exec
uca
o(s
egu
ndos
)
η
Figura 5.4: Tempo de execucao do problema quantico sem reservatorio em funcaode η. As retas da figura simplesmente ligam os pontos que representam calculosrealizados para um total de 50 pulsos em um processador Athlon de 1.2GHz e512Mb de memoria.
Quanto aos calculos com a introducao da interacao com um reservatorio deve-
mos comparar os diferentes metodos numericos utilizados. A integracao numerica
por metodos de Runge-Kutta foi descartada por ja termos a solucao analıtica (5.30)
e ambas realizarem calculos com as matrizes N × N . A questao e comparar o
desempenho da solucao analıtica que trabalha diretamente com os elementos da
matriz densidade e uma solucao numerica via Monte Carlo que utiliza apenas os
vetores de estado de dimensao N .
A comparacao entre os metodos pode ser vista na figura (5.5) onde e mostrado o
tempo de execucao, em horas, para a solucao atraves de (5.30) e a feita por Monte
Carlo com 3000 realizacoes. O numero de realizacoes foi escolhido de forma a ser o
72 CAPITULO 5. CAOS EM IONS APRISIONADOS
mınimo necessario para se obter medias de acordo com os resultados conseguidos
com a solucao analıtica.
0
50
100
150
200
250
300
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
η
Tem
po
de
exec
uca
o(h
oras)
(b)(a)
Figura 5.5: Tempo de execucao do problema quantico com reservatorio difusivo emfuncao de η. As curvas representam o tempo gasto, em horas, com os calculosfeitos a partir de (5.30) (a) e com o metodo de Monte Carlo (b). Neste ultimo foramfeitas 3000 realizacoes.
Vemos pelo grafico que quando o parametro de Lamb-Dicke atinge o valor η = 0.1
os dois metodos se equivalem e que para valores maiores o metodo de Monte Carlo
e ligeiramente inferior. Isto ocorre porque a medida que diminuımos η a base
utilizada aumenta e como a solucao atraves da matriz densidade escala com N ×N
ela e mais afetada.
Uma vantagem do metodo de Monte Carlo que nao podemos observar nesta
figura e a facilidade de paralelizacao que ele apresenta. A paralelizacao obvia e
separar as diferentes realizacoes em processadores diferentes e depois reunı-las
para calcular as medias. Isto foi feito usando quatro processadores de 800MHz
nos quais eram feitas apenas 750 realizacoes em cada.
Na maior parte dos calculos da tese utilizou-se o metodo baseado na matriz
densidade apesar de ter sido utilizado o metodo de Monte Carlo em simulacoes
utilizando 4 processadores. A aparente vantagem do metodo de Monte Carlo em
relacao a paralelizacao e, no entanto, minimizada nesse problema porque a parte
5.4. CONSIDERACOES NUMERICAS 73
dos programas que consome mais tempo de execucao e o calculo do efeito dos pul-
sos onde esse metodo nao se aplica. Alem disso, embora o metodo de Monte Carlo
utilize vetores e nao matrizes, consumindo menos tempo para o calculo de cada
pulso, estes calculos devem ser repetidos a cada nova realizacao comprometendo
os ganhos do metodo nos trechos entre os pulsos.
74 CAPITULO 5. CAOS EM IONS APRISIONADOS
Capıtulo 6
Transicao Quantico-Classico emıons aprisionados
E sabido que em situacoes particulares, como no caso do oscilador harmonico,
as dinamicas classica e quantica coincidem. Entretanto, para casos mais gerais, o
maximo que podemos esperar e que as duas dinamicas sejam equivalentes apenas
durante um certo intervalo de tempo apos o qual as solucoes se separam.
Um primeiro passo para tentar abordar esse problema e a utilizacao do teore-
ma de Ehrenfest. Muitos livros de mecanica quantica [24, 61, 62] baseiam suas
discussoes sobre limite classico nesse teorema que diz que, sob certas condicoes,
o movimento do centro do pacote de onda obedece as equacoes classicas. Para
mostra-lo consideremos uma particula com momento p submetida a um potencial
V (x) de maneira que, a partir do hamiltoniano
H = p2/2m+ V (x), (6.1)
podemos escrever as equacoes para os valores esperados dos operadores de mo-
mento e posicao como:
d
dt〈p〉 =
1
ih〈[p, V (x)]〉, (6.2)
d
dt〈x〉 =
1
ih〈[x, p2/2m]〉. (6.3)
Utilizando as relacoes de comutacao entre esses operadores obtemos
d
dt〈p〉 = − 〈F (x)〉 , (6.4)
75
76 CAPITULO 6. TRANSICAO QUANTICO-CLASSICO
d
dt〈x〉 =
1
m〈p〉. (6.5)
Essas equacoes seriam identicas as classicas se pudessemos aproximar o lado
direito de (6.4) pela forca classica no centro do pacote, ou seja,
〈F (x)〉 ≈ F (〈x〉), (6.6)
o que, em geral, nao e valido. Expandindo o lado direito de (6.4) em torno de 〈x〉
tem-se:
d
dt〈p〉 = F (〈x〉) +
∂
∂〈x〉F (〈x〉) 〈x− 〈x〉〉+1
2
∂2
∂〈x〉2F (〈x〉)⟨(x− 〈x〉)2
⟩+ . . ., (6.7)
Pode-se notar que o segundo termo desta expansao e nulo de modo que a primeira
correcao a (6.6) aparece somente nos termos de derivada segunda da forca, ou seja,
derivada terceira do potencial. A aproximacao (6.6) so e razoavel, portanto, quando
se considera um pacote altamente localizado em relacao a regiao onde o potencial
varia apreciavelmente. Uma primeira analise da expansao (6.7) pode levar a falsa
conclusao de que as correcoes em derivadas de mais alta ordem do potencial tem
origem puramente quantica e levariam a eventuais diferencas entre esta dinamica
e a classica. No entanto, as correcoes ao termo F (〈x〉) tambem aparecem quando e
feita uma analise puramente classica a partir de distribuicoes de probabilidade. De
fato, a expansao (6.7) e equivalente a obtida classicamente para uma distribuicao e
este resultado e usado em [63] para mostrar que a identificacao do regime classico
simplesmente a partir do teorema de Ehrenfest e inadequada.
Este problema da correspondencia entre o mundo quantico e o classico e da
escala de tempo em que ela e valida e especialmente interessante quando ten-
tamos entende-lo no contexto de sistemas quanticos cujos analogos classicos sao
caoticos. Nestes casos, a estimativa do tempo durante o qual as dinamicas classica
e quantica coincidem [64] escala com o logarıtmo de 1/h enquanto que, para siste-
mas regulares, escala com uma lei de potencia.
Mesmo para sistemas macroscopicos essa escala logarıtmica poderia levar a
correcoes quanticas em tempos muito curtos. Essa questao foi levantada por Zurek
6.1. FUNCAO DE WIGNER × DISTRIBUICAO CLASSICA DE PROBABILIDADES 77
e Paz [65, 66] que, concluindo que a macroscopicidade era insuficiente para levar
ao limite classico, propoem como solucao a inclusao dos efeitos de descoerencia no
sistema.
Neste cenario o sistema de ıons aprisionados apresenta-se como uma excelente
alternativa para testes experimentais das previsoes para sistemas caoticos pois,
alem de se poder usar a engenharia de reservatorios para criar descoerencia arti-
ficialmente, pode-se modificar o parametro de macroscopicidade (η) experimental-
mente atraves de ajustes nas direcoes de feixes de laser.
6.1 Funcao de Wigner × distribuicao classica de probabili-dades
Na analise do oscilador pulsado classico foi utilizada a dinamica da distribuicao
de probabilidade a partir da qual, atraves de sua estrutura de esticamentos e do-
bras, visualizava-se a presenca de caos no sistema. O mesmo podia ser verificado
pela observacao da secao de Poincare de uma trajetoria ou pelo estudo do afasta-
mento de trajetorias inicialmente proximas calculando-se o expoente de Lyapunov.
Para estudar o mesmo fenomeno quanticamente e, alem disso, entender como o
caos classico surge a partir de um limite da teoria quantica e interessante escolher
uma abordagem que seja acessıvel tanto a uma quanto a outra teoria. Entre as
opcoes descritas anteriormente a que parece se adequar melhor a situacao e a
exploracao do espaco de fase via distribuicao de probabilidade.
E importante ressaltar que nao temos uma distribuicao de probabilidade quanti-
ca no espaco de fase mas funcoes de quasi-probabilidade que podem servir como
instrumento para tentar entender o limite classico da mecanica quantica.
Como foi visto antes, uma das distribuicoes de quasi-probabilidade mais utiliza-
das no contexto do limite quantico-classico e a funcao de Wigner que apresenta cer-
tas vantagens em relacao a outras distribuicoes quanticas. Algumas dessas van-
tagens ja foram explicitadas no segundo capıtulo como, por exemplo, a obtencao
das distribuicoes marginais (3.18) e dos valores medios de operadores em ordem
78 CAPITULO 6. TRANSICAO QUANTICO-CLASSICO
simetrica (3.19) por simples integracao, assim como acontece classicamente.
A funcao de Wigner auxilia tambem na caracterizacao de estados nao classicos.
Considerando tais estados como aqueles em que as densidades de quasi-probabili-
dade nao se comportam como verdadeiras distribuicoes de probabilidade [73],
pode-se relacionar o carater quantico de um estado com a existencia de valores
negativos na funcao de Wigner.
Um exemplo claro de estado nao classico e a superposicao de dois estados coe-
rentes |φ+〉 = (|α0〉 + | − α0〉)/√
2 cuja funcao de Wigner esta representada na figu-
ra (6.1). Observa-se duas Gaussianas correspondentes aos estados coerentes |α0〉
e |−α0〉 e, entre elas, estruturas de franjas de interferencia com a funcao de Wigner
oscilando entre valores positivos e negativos. Esta facil identificacao de fenomenos
puramente quanticos atraves desta funcao e o que faz com que ela seja tao util na
observacao da transicao quantico-classico.
Figura 6.1: Funcao de Wigner para uma superposicao coerente do tipo (|α0〉 + | −α0〉)/
√2 com α0 = 3.
Em sistemas caoticos, as interferencias sao geradas dinamicamente a partir dos
alongamentos e das dobras da funcao de Wigner sobre ela mesma. O aparecimento
6.1. FUNCAO DE WIGNER × DISTRIBUICAO CLASSICA DE PROBABILIDADES 79
dessas oscilacoes e a principal contribuicao para as diferencas entre a funcao de
Wigner e a distribuicao classica de probabilidades estando associado tambem ao
afastamento das previsoes classica e quantica para a evolucao de valores esperados
de observaveis.
Assim como foi feito com as distribuicoes de probabilidade classicas, podemos
analisar a evolucao temporal da funcao de Wigner imediatamente antes de cada
pulso. As figuras (6.2) e (6.3) mostram esta evolucao no caso de um sistema isolado
para η = 0.25 e η = 0.05, respectivamente.
No primeiro caso, podemos observar o aparecimento de interferencias ja a partir
do segundo pulso apesar de ainda haver entre a funcao de Wigner e a distribuicao
classica da figura (4.9) uma semelhanca grande que, a partir do quarto pulso fica
completamente descaracterizada. Com a diminuicao do parametro de Lamb-Dicke
para η = 0.05 vemos o efeito do escalamento ja que o sistema agora ocupa uma
regiao do espaco de fase cerca de cinco vezes maior. Alem disso, apesar de ainda
observarmos fortes efeitos de interferencia, a estrutura geral da funcao de Wiger
mantem-se como a da distribuicao classica por mais tempo. Isso mostra que quan-
to mais proximo do limite macroscopico (η cada vez menor) maior o tempo em que
quantico e classico mantem-se juntos.
A mesma evolucao e mostrada nas figuras (6.4) e (6.5) agora na presenca de
um reservatorio puramente difusivo com D = 0.005. A presenca deste reservatorio
modifica tanto a dinamica classica (figuras 4.15 e 6.6) quanto a quantica, possibili-
tando uma aproximacao maior entre as duas. Do ponto de vista classico a difusao
impede o desenvolvimento de estruturas cada vez mais finas, imposto pelo evolucao
caotica, suavizando, portanto, a distribuicao de probabilidade. Quanticamente, a
difusao contribui para a eliminacao, ou pelo menos diminuicao, dos processos de
interferencia.
A comparacao dessas figuras nos leva a tirar algumas conclusoes a respeito da
transicao quantico-classico para sistemas caoticos. A grande semelhanca entre as
figuras (6.5) e (6.6) nos leva a acreditar que o limite classico e atingido quando se
80 CAPITULO 6. TRANSICAO QUANTICO-CLASSICO
N = 5N = 4
N = 1 N = 2N = 0
N = 3
N = 6 N = 7 N = 8
N = 9 N = 10 N = 20
Figura 6.2: Evolucao da funcao de Wigner calculada imediatamente antes do N-esimo pulso para η = 0.25, Kcl = 2.0 e q = 6.
6.1. FUNCAO DE WIGNER × DISTRIBUICAO CLASSICA DE PROBABILIDADES 81
N = 5N = 4
N = 1 N = 2N = 0
N = 3
N = 6 N = 7 N = 8
N = 9 N = 10 N = 20
Figura 6.3: Evolucao da funcao de Wigner calculada imediatamente antes do N-esimo pulso para η = 0.05, Kcl = 2.0 e q = 6.
82 CAPITULO 6. TRANSICAO QUANTICO-CLASSICO
N = 5N = 4
N = 1 N = 2N = 0
N = 3
N = 6 N = 7 N = 8
N = 9 N = 10 N = 20
Figura 6.4: Evolucao da funcao de Wigner para os mesmos parametros da figura6.2 mas agora na presenca de um reservatorio puramente difusivo com D = 0.005.
6.1. FUNCAO DE WIGNER × DISTRIBUICAO CLASSICA DE PROBABILIDADES 83
N = 5N = 4
N = 1 N = 2N = 0
N = 3
N = 6 N = 7 N = 8
N = 9 N = 10 N = 20
Figura 6.5: Evolucao da funcao de Wigner para os mesmos parametros da figura6.3 mas agora na presenca de um reservatorio puramente difusivo com D = 0.005.
84 CAPITULO 6. TRANSICAO QUANTICO-CLASSICO
N = 5N = 4
N = 1 N = 2N = 0
N = 3
N = 6 N = 7
N = 9 N = 10
N = 8
N = 20
Figura 6.6: Evolucao da distribuicao classica para os mesmos parametros da figura6.5.
6.1. FUNCAO DE WIGNER × DISTRIBUICAO CLASSICA DE PROBABILIDADES 85
combina os dois efeitos ja mencionados: macroscopicidade (η 1) e interacao com
o ambiente (D > 0).
O processo de descoerencia parece, entao, conciliar a existencia do caos classico
com a natureza quantica intrınseca dos sistemas fısicos. E claro tambem que a pre-
sente analise, baseada simplesmente na comparacao visual entre as distribuicoes
classica e quantica, e muito elementar e necessita de argumentos mais quantitati-
vos para ser justificada.
Um topico a ser considerado e como a introducao da descoerencia resolve o
problema da separacao do sistema classico do quantico numa escala de tem-
po que cresce apenas logaritmamente com o inverso de h. Os artigos que tra-
tam a descoerencia como solucao para a transicao quantico-classico em sistemas
caoticos [65, 66, 67, 68] nao explicam o que ocorre com o tempo de separacao
mas estao interessados em encontrar as condicoes para que seja restaurada a cor-
respondencia entre as duas dinamicas, ou seja, a situacao em que nao ha mais
separacao.
Essas condicoes devem relacionar os parametros relevantes do problema como
o coeficiente de difusao, o expoente de Lyapunov e o parametro de escalamento
que da uma medida de quao macrocopico o sistema e. Algumas tentativas foram
realizadas nesse sentido [68, 69, 70, 71] mas ainda nao ha um consenso quanto a
melhor medida de separacao entre as dinamicas nem tampouco quanto a univer-
salidade dos resultados para diversos modelos [72].
Uma outra questao ainda nao explorada dentro desse contexto e a influencia
que o tipo de interacao entre o sistema e o ambiente a sua volta exerce na obtencao
do limite classico. Esse problema e especialmente interessante do ponto de vista
de ıons aprisionados pois, neste sistema, ja foram criados, experimentalmente,
diferentes tipos de reservatorio artificiais o que abre a possibilidade de um estudo
sistematico do efeito de interacoes distintas.
86 CAPITULO 6. TRANSICAO QUANTICO-CLASSICO
6.2 Funcao caracterıstica e tempo de separacao
Para dar as consideracoes feitas na secao anterior uma justificativa mais formal
e tentar responder as questoes la colocadas pode-se tentar estudar as equacoes que
dao origem as distribuicoes de Wigner apresentadas nas figuras (6.2), (6.3), (6.4)
e (6.5). As tentativas nesse sentido procuram, geralmente, partir da equacao di-
ferencial parcial que descreve diretamente a dinamica obedecida pela funcao de
Wigner. No entanto, pode-se optar por uma descricao do problema atraves da
transformada de Fourier da funcao de Wigner, a funcao caracterıstica em ordem
simetrica, definida como [36]
C(λ, λ∗) = Tr[ρeλa
†−λ∗a]. (6.8)
Como foi dito, esta funcao esta ligada a funcao de Wigner via transformada de
Fourier:
C(λ, λ∗) =
∫d2αeλα
∗−λ∗αW (α, α∗), (6.9)
W (α, α∗) =1
π2
∫d2λ e−λα
∗+λ∗αC(λ, λ∗). (6.10)
Foi visto no segundo capıtulo que a media de qualquer operador em ordem
simetrica poderia ser calculada atraves de integracao da funcao de Wigner. Com o
uso da funcao caracterıstica essas medias podem ser calculadas atraves de deriva-
das avaliadas na origem:
〈a†man〉sim =
(∂
∂λ
)m ( ∂
∂λ∗
)nC(λ, λ∗)
∣∣∣λ=0
. (6.11)
6.2.1 Funcao caracterıstica para o sistema isolado
Introduzindo a evolucao do operador densidade na definicao (6.8) obtem-se a
equacao obedecida pela funcao caracterıstica. No caso do oscilador harmonico
pulsado isto foi feito por Berman e colaboradores [57] e este procedimento esta
descrito no apendice B. A funcao caracterıstica imediatamente antes do n-esimo
6.2. FUNCAO CARACTERISTICA E TEMPO DE SEPARACAO 87
pulso e dada por:
Cn(λ, λ∗) =∞∑
m1 ,m2,...,mn=−∞Jm1
(z1)Jm2(z2) . . . Jmn
(zn)C0(λn, λ∗n), (6.12)
onde
λk = λk−1eiα + i2mkη, (6.13)
zk = 2KQ sen(ξk) =Kcl
4η2sen(ξk), (6.14)
ξk = −η(λk + λ∗k), (6.15)
λ0 ≡ λ. (6.16)
O limite macroscopico e obtido fazendo o parametro de Lamb-Dicke tender a
zero o que significa dizer que as funcoes seno na expressao acima podem ser subs-
tituıdas por seus argumentos, ou seja,
sen(ξk) ≈ ξk. (6.17)
Neste caso a funcao caracterıstica classica fica sendo
Ccln (λ, λ∗) =∞∑
m1,m2,...,mn=−∞Jm1
(2KQξ1)Jm2(2KQξ2) . . . Jmn
(2KQξn)Ccl0 (λn, λ∗n), (6.18)
com a condicao inicial dada por
Ccl0 (λ, λ∗) =∫ ∞
−∞d2αP (α, α∗)eλnα
∗−λ∗nα. (6.19)
Note que (6.18) poderia ter sido obtida, alternativamente, atraves da substituicao
do mapa classico na definicao de funcao caracterıstica acima (ver apendice C).
Consideremos, agora, o caso de caos forte (Kcl 1) e vejamos em que condicoes
as dinamicas classica e quantica coincidem. A aplicabilidade de (6.18) para descre-
ver o sistema quantico significa que todas as funcoes seno poderao ser substituıdas
por seus argumentos, ou seja, |ξk| 1 (k = 1, . . ., n). Levando em consideracao que
as funcoes de Bessel decrescem exponencialmente para |mk| 2KQ|ξk|, podemos
truncar as somas em (6.12) e estimar os valores tıpicos de mk ate os quais cada
88 CAPITULO 6. TRANSICAO QUANTICO-CLASSICO
soma deve ser calculada. As contribuicoes relevantes serao aquelas em que os
ındices das funcoes de Bessel sao da ordem do seu argumento, ou seja,
|m1| ≈ 2KQ|ξ1| =Kcl
4η|λeiα + λ∗e−iα|,
|m2| ≈ 2KQ|ξ2| =Kcl
4η|λei2α + λ∗e−i2α − 4m1η sen(α)|, (6.20)
|mn| ≈ 2KQ|ξn| =Kcl
4η|λeinα + λ∗e−inα − 4m1η sen((n− 1)α)− . . .4mn−1η sen(α)|.
Na situacao onde Kcl 1 temos, a partir de (6.20),
|m1| ≈K
4η sen(α) 1, |m2| ≈
K2
4η sen(α), . . ., |mn| ≈
Kn
4η sen(α),
o que nos da a estimativa
|ξn| ≈4η2|mn|Kcl
≈ ηen ln (K)
K,
onde K ≡ Kcl sen(α).
A relacao acima mostra que quanto maior o ındice k, maior o valor do argumento
|ξk|. Isso significa que existira um n a partir do qual a condicao |ξn| < 1 nao sera
mais satisfeita e as previsoes quanticas e classicas nao serao mais iguais. Esta
condicao leva ao tempo de separacao logarıtmico em 1/η:
n <ln(K/η)
ln (K). (6.21)
Os graficos da figura (6.7) mostram o tempo de separacao (ts) para o oscilador
harmonico pulsado em funcao de η (6.7-a) e em funcao de log (1/η) (6.7-b). Cada
ponto e obtido comparando-se a evolucao da variancia de x classicamente e quan-
ticamente e determinando-se o instante em que a diferenca relativa (dr) entre as
duas dinamicas excede um valor ε, ou seja, quando e satisfeita a inequacao
dr ≡〈∆x2〉cl − 〈∆x2〉q
〈∆x2〉cl> ε. (6.22)
A escolha de ε e arbitraria e, nos casos apresentados, utilizou-se o valor ε = 0.2.
E importante salientar que, apesar de modificar o valor absoluto do tempo de
separacao, a escolha de diferentes valores de ε nao modificam significativamen-
te as figuras apresentadas alterando basicamente a escala do eixo vertical.
6.2. FUNCAO CARACTERISTICA E TEMPO DE SEPARACAO 89
A reta superior em (6.7-b) corresponde a um ajuste da curva enquanto que
a inferior representa um ajuste levando em consideracao somente os pontos da
parte final da mesma (η < 0.05). As duas regioes, apesar de haver uma pequena
transicao entre elas, sao muito bem ajustadas por retas com praticamente o mesmo
coeficiente angular (≈ 3.6). Embora esse valor nao concorde com o coeficiente
angular de aproximadamente 1.82 previsto em (6.21), a lei de escala obtida confirma
o comportamento logarıtimico. Nao e surpreendente que ocorra esse desvio entre
os valores dos coeficientes angulares previsto e calculado por terem sido utilizados
diversos argumentos de ordem de grandeza na deducao de (6.21), alem disso, nosso
caso numerico nao obedece a uma dessas aproximacoes que e a condicao de caos
forte.
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.52
4
6
8
10
12
14
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
η
ts ts
(a) (b)
log (1/η)
Figura 6.7: Tempo de separacao ts em funcao de η (a) e de log (1/η) (b). O ajuste de(b) por uma reta comprova a estimativa (6.21).
6.2.2 Reservatorio a temperatura zero
A introducao da interacao entre o sistema e o mundo exterior modifica a dinamica
do problema entre os pulsos. Para o o sistema isolado havia, entre os pulsos,
somente uma rotacao devido a evolucao do oscilador harmonico mas, adicionan-
do o reservatorio a temperatura nula, acrescenta-se a esta rotacao um termo de
90 CAPITULO 6. TRANSICAO QUANTICO-CLASSICO
dissipacao e−Γτ/2 [36]. Neste caso a funcao caracterıstica sera dada por
Cn(λ, λ∗) =∞∑
m1 ,m2,...,mn=−∞Jm1
(z1)Jm2(z2) . . .Jmn
(zn)C0(λn, λ∗n), (6.23)
onde
λk = λk−1eiαe−Γτ/2 + i2mkη (6.24)
e as demais grandezas permanecem como no caso conservativo.
O procedimento para a obtencao do tempo de separacao e semelhante ao uti-
lizado no caso anterior, ou seja, devemos analisar as condicoes de validade da
substituicao das funcoes seno por seus argumentos. Definindo e−Γτ/2 = e−Γα/2ν ≡
e−D (note que D e igual ao parametro β usado classicamente), teremos para os
valores tıpicos de |mk| o seguinte:
|m1| ≈ 2KQ|ξ1| =Kcl
4ηe−D
∣∣∣λeiα + λ∗e−iα∣∣∣,
|m2| ≈ 2KQ|ξ2| =Kcl
4η
∣∣∣(λei2α + λ∗e−i2α)e−2D − 4m1η sen(α)e−D∣∣∣, (6.25)
|mn| ≈ 2KQ|ξn| =Kcl
4η
∣∣∣(λeinα + λ∗e−inα)e−nD − 4m1η sen((n− 1)α)e−(n−1)D −
. . .− 4mn−1, sen(α)e−D∣∣∣.
Novamente, na situacao de caos forte, teremos
|m1| ≈K
4η sen(α)e−D, |m2| ≈
K2
4η sen(α)e−2D , . . ., |mn| ≈
Kn
4η sen(α)e−nD
Teremos agora uma riqueza maior de comportamento ja que o aumento do
ındice k nao implica mais necessariamente no crescimento do argumento |ξk|. Note
que, de acordo com a relacao acima, a razao entre dois ξ ’s consecutivos sera
|ξk||ξk−1|
≈ K e−D, (6.26)
enquanto que o primeiro dos argumentos sera
|ξ1| ≈ ηe−D. (6.27)
6.2. FUNCAO CARACTERISTICA E TEMPO DE SEPARACAO 91
A tabela (6.1) resume os diferentes situacoes possıveis nesse caso. A partir
de (6.27) pode-se ver que quando D < ln(η) tem-se |ξ1| > 1 o que significa que, ja no
primeiro pulso, as dinamicas quantica e classica diferem.
Quando a condicao complementar a esta for satisfeita, ou seja, D > ln(η), o pri-
meiro termo sera menor que 1 e pode haver coincidencia entre as duas evolucoes.
O tempo durante o qual esse acordo entre as duas se mantem depende do valor
de (6.26). Quando essa razao for maior que 1, os ξk ’s estao crescendo com k e,
em algum instante n, o valor de ξn torna-se maior que 1 invalidando a descricao
classica. Esse instante determina o tempo de separacao que aumenta com a
dissipacao mas continua com uma escala logarıtmica como pode ser visto na tabe-
la (6.1). Caso a razao entre dois ξ’s consecutivos seja menor que um, a aproximacao
classica sera sempre valida e nao ha, portanto, separacao.
D < ln(η) (|ξ1| > 1) D > ln(η) (|ξ1| < 1)
D < ln (K) Classico 6= Quantico sempre A condicao |ξn| < 1 nos da n < ln (K/η)ln (K)−D
(ξk > ξk−1)
D > ln (K) Classico 6= Quantico sempre Classico = Quantico sempre(ξk < ξk−1)
Tabela 6.1: Correspondencia entre quantico e classico em diversas regioes dosparametros D, η e K.
A primeira coluna da tabela (6.1) representa a situacao fısica de um sistema
muito longe do limite macroscopico e, mesmo com a inclusao de dissipacao, o
comportamento quantico nao pode ser reproduzido pela dinamica classica. Apesar
de se poder manipular η nos ıons, experimentos tıpicos trabalham com valores do
parametro de Lamb-Dicke (η < 1) que se enquadram com a condicao da segunda
coluna da tabela.
Nessa coluna encontram-se os resultados de maior interesse pois tratam das
situacoes onde o sistema quantico pode se comportar como o classico. No entanto,
uma analise mais detalhada mostra que o reservatorio a temperatura nula nao e
eficiente para levar o sistema ao limite classico.
Se por um lado uma pequena dissipacao (D < ln (K)) mantem o tempo de
92 CAPITULO 6. TRANSICAO QUANTICO-CLASSICO
separacao obedecendo a uma incomoda escala logarıtimica em 1/η, por outro,
dissipacoes maiores (D > ln (K)) que levariam ao limite classico simplesmente des-
troem a caracterıstica caotica do sistema. Isso pode ser visto atraves da comparacao
dos valores do expoente de Lyapunov para o sistema classico dissipativo mostrado
em (4.14) com a condicao D > ln (K). Para Kcl = 2.0, por exemplo, deverıamos ter
D > 0.549 que claramente ja leva o sistema para regioes de expoente de Lyapunov
negativo. Mesmo explorando para valores maiores de Kcl nao foi possıvel encon-
trar regioes que compatibilizassem as condicoes para limite classico e existencia
de caos simultaneamente.
6.2.3 Reservatorio difusivo
A evolucao da funcao caracterıstica em presenca de um reservatorio difusivo esta
descrita no apendice D e e dada por:
C(λ, λ∗, t) = C(λ, λ∗, 0)e−Γ|λ|2t. (6.28)
Combinando-a com a relacao de recorrencia para a dinamica caotica (6.12) te-
remos:
Cn(λ, λ∗) = e−Γ|λ|2τ∞∑
m1=−∞Jm1
(z1)Cn−1(λeiα + i2m1η, λ∗e−iα − i2m1η), (6.29)
que, em termos da funcao caracterıstica inicial, assume a forma
Cn(λ, λ∗) =∞∑
m1,...,mn=−∞e−2D|λ|2Jm1
(z1) e−2D|λ1|2Jm2(z2)
. . . e−2D|λn−1 |2Jmn(zn)C0(λn, λ
∗n), (6.30)
com as variaveis definidas exatamente como no caso do sistema isolado.
A investigacao do limite classico, neste caso, e um pouco diferente das analisa-
das anteriormente. Tanto no caso do sistema isolado quanto no do reservatorio a
temperatura zero a discussao foi baseada na aproximacao da funcao seno pelo seu
argumento, o que nao parece ser o melhor caminho para o reservatorio difusivo. A
exclusao dessa abordagem se deve ao fato de nao haver diferenca entre os argu-
mentos das funcoes seno no caso conservativo e no reservatorio difusivo, ou seja,
6.2. FUNCAO CARACTERISTICA E TEMPO DE SEPARACAO 93
basear-se somente nesta aproximacao colocaria em pe de igualdade duas situacoes
que, como vimos atraves da funcao de Wigner, sao completamente distintas.
A solucao esta em procurar justamente as diferencas entre o sistema com e sem
difusao. Na funcao caracterıstica a presenca da difusao esta caracterizada pelo
aparecimento das exponenciais do tipo e−2D|λk| que devem, portanto, desempenhar
papel crucial na definicao do limite classico.
Para esta discussao pode-se usar a expressao (6.29) por ser bem mais simples
que (6.30). Considerando-se que as dinamicas quantica e classica coincidam ate
o n-esimo pulso pode-se tentar obter a condicao para que continuem coincidindo
no proximo pulso, ou seja, supondo que Cn(λ, λ∗) = Ccln (λ, λ∗) deve-se determinar
quando Cn+1(λ, λ∗) = Ccln+1(λ, λ∗). Pode-se obter uma estimativa da regiao dos pon-
tos da funcao caracterıstica onde falha a aproximacao macroscopica, ou seja, onde
|ξ| = |η(λ+ λ∗)| > 1. (6.31)
Esta condicao mostra que sao os valores da funcao caracterıstica afastados da
origem que contribuem para as correcoes quanticas. Os valores tıpicos λT para os
quais isso ocorre sao dados por
|λT | ≡ |<(λeiα)| > 1
η. (6.32)
No caso difusivo, entretanto, mesmo que (6.32) seja satisfeita, ha ainda a pos-
sibilidade de se obter o limite classico. Para isso seria preciso que a gaussiana
que aparece em (6.29) eliminasse os termos que geram a falha na aproximacao
macroscopica. Isso ocorre quando os valores tıpicos λT sao maiores que a largura
da gaussiana e podem ser desprezados. Esta condicao pode ser escrita como
1√2D
<1
η, (6.33)
o que da uma escala de como varia o menor coeficiente de difusao necessario para
se obter o limite classico em funcao do parametro de Lamb-Dicke:
D ∝ η2. (6.34)
94 CAPITULO 6. TRANSICAO QUANTICO-CLASSICO
Esta analise tambem pode ser entendida a partir da relacao entre a funcao
caracterıstica e a de Wigner. De fato, como estas funcoes estao ligadas atraves
de uma transformada de Fourier (6.9 e 6.10), as estruturas em grande escala da
funcao caracterıstica estao associadas com as estruturas em pequena escala da
funcao de Wigner.
Este fato relaciona o que foi discutido na secao anterior sobre as interferencias
que aparecem nas funcoes de Wigner e as correcoes quanticas nas funcoes ca-
racterısticas que levaram a (6.34). Enquanto que nesta ultima o termo difusivo
funciona impondo um corte nos valores de λ, na funcao de Wigner ele aparece
como uma convolucao gaussiana que suaviza as interferencias.
O efeito da difusao pode ser visto na figura (6.8) onde sao mostradas as diferencas
relativas entre a dinamicas classica e quantica em funcao do numero de pul-
sos para diferentes valores de η e D. Quando introduz-se a difusao a distancia
entre classico e quantico diminui mas o tempo de separacao, indicado por se-
tas na figura, praticamente nao e alterado em relacao ao tempo sem reservatorio.
Quando a difusao e suficiente para reduzir a distancia relativa a valores menores
que ε (condicao de separacao) pode-se dizer que o limite classico e atingido e as
dinamicas nao mais se separam.
Pode ser observado tambem que quanto menor o parametro de Lamb-Dicke me-
nor o coeficiente de difusao necessario para nao haver separacao. Para testar a
escala prevista em (6.34) foi feito o grafico da figura (6.9) onde se ve, em escala
linear (6.9-a) e logarıtmica (6.9-b), a difusao mınima necessaria para nao haver
separacao em funcao de η. Para η > 0.1 os resultados confirmam a escala qua-
dratica prevista em (6.34) havendo, no entanto, um desvio nesse comportamento
para valores menores de η.
Com o reservatorio difusivo deve-se ter o mesmo cuidado que foi tomado ao
analisar o limite classico com o reservatorio a temperatura nula. Naquela ocasiao
foi visto que os valores de D para os quais nao havia separacao entre classico e
quantico encontravam-se em regioes de expoentes de Lyapunov negativos, ou se-
6.2. FUNCAO CARACTERISTICA E TEMPO DE SEPARACAO 95
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
D=0D=0.0005D=0.002
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
D=0D=0.001
D=0.00167
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
D=0D=0.001D=0.005
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
D=0D=0.00111
D=0.0025.dat"
η = 0.25
η = 0.1η = 0.05
N
dr
N
N
dr
N
η = 0.15
dr
dr
Figura 6.8: Evolucao da diferenca dr (ver (6.22)) em funcao do numero de pulsospara diferentes valores de η e D. As retas paralelas indicam o valor ε = 0.2 utilizadona definicao do tempo de separacao (indicado por setas).
96 CAPITULO 6. TRANSICAO QUANTICO-CLASSICO
-7
-6.5
-6
-5.5
-5
-4.5
-4
-3 -2.5 -2 -1.5 -10
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
log ηη
D logD
Figura 6.9: Coeficiente de difusao em funcao de η em escala linear (a) e logarıtmica(b). Para η > 0.1 o ajuste da curva logarıtmica em (b) e uma reta de coeficienteangular 2.12 confirmando (6.34).
ja, ausencia de caos. Para o reservatorio difusivo nao dispomos dos expoentes de
Lyapunov porque nao temos a evolucao de trajetorias mas sim de densidades de
probabilidade. A solucao neste caso e observar a dinamica dessas distribuicoes de
probabilidade e verificar se apresentam ainda caracterısticas caoticas. A difusao
pode levar pontos de regioes caoticas para regioes regulares dificultando a tirada
de conclusoes mais gerais sobre a transicao quantico-classico. Por outro lado es-
sa pode ser uma explicacao para os desvios encontrados a partir de η ≈ 0.1 nas
figuras (6.7) e (6.9). Como o parametro de Lamb-Dicke escala as dinamicas, as
alteracoes em η modificam as posicoes dos pontos elıpticos assim como a relacao
entre o tamanho da regiao caotica e a largura do estado inicial. Essas mudancas
fazem com que o expoente de Lyapunov seja diferente para valores distintos de η e
isto pode ser responsavel pelas alteracoes observadas nos graficos.
Capıtulo 7
Conclusao
Ions aprisionados em armadilhas harmonicas sao excelentes sistemas de testes
para questoes fundamentais em mecanica quantica. Nesta tese foram abordados
alguns topicos que permitem ampliar ainda mais as possibilidades de exploracao
de temas importantes neste tipo de sistema.
Um dos grandes desafios enfrentados em qualquer experimento que vise de-
monstrar aspectos essenciais da teoria quantica e a questao da descoerencia.
Em relacao a esse assunto, contribuimos com a proposta de um metodo para a
protecao de estados quanticos baseado na tecnica de engenharia de reservatorios.
Neste metodo o estado a ser protegido e um estado ponteiro de um reservatorio ar-
tificialmente produzido atraves da interacao de lasers com o ıon. Embora o numero
de lasers a ser utilizado no processo de protecao possa ser muito grande para um
estado geral, para alguns casos de importancia como o estado de um “qubit”, esta-
dos comprimidos ou estados tipo gato de Schrodinger, o arranjo experimental pode
ser simples e exigir um numero reduzido de lasers.
Os efeitos da descoerencia, indesejaveis quando se quer observar fenomenos de
coerencia quantica, parecem, por outro lado, desempenhar um papel fundamental
no limite classico da mecanica quantica. Alguns autores, porem, alegam que o
limite classico e obtido simplesmente a partir do limite macroscopico e que recorrer
a introducao de descoerencia, embora ajude, e desnecessario. Dentro desse cenario
nosso objetivo foi tentar contribuir para o entendimento do papel desempenhado
97
98 CAPITULO 7. CONCLUSAO
por cada uma dessas abordagens no limite de sistemas quanticos cujos analogos
classicos sejam caoticos.
Para essa analise foi escolhido o modelo caotico do oscilador harmonico pulsado
(OHP) classico. Apesar de nao ser tao simples, nem tao exaustivamente estudado,
quanto o modelo do rotor pulsado, a escolha do OHP foi feita por poder ser repro-
duzido, como mostrado no capıtulo 4, no sistema de ıons aprisionados.
Combinando a possibilidade de reproduzir sistemas classicamente caoticos em
ıons com a engenharia de reservatorios, foi possıvel avaliar a influencia do tipo de
interacao com o ambiente na obtencao do limite classico. A maioria dos traba-
lhos que se referem a efeitos de descoerencia no limite quantico-classico adotam
o limite de pequena dissipacao e, portanto, um reservatorio puramente difusivo.
Aqui tratamos de dois casos extremos de reservatorio: o difusivo e o dissipativo a
temperatura nula.
Os resultados obtidos para o caso com dissipacao indicam regioes de parametros
onde o limite classico e atingido, entretanto, nesta mesma regiao o sistema deixa
de ser caotico. Porem, este resultado pode ser um reflexo do modelo estudado e
nao se pode afirmar, para um caso geral, que as condicoes para o limite classico
implicam em regularidade do sistema. No caso difusivo tambem existe uma regiao
de parametros que une as evolucoes quantica e classica e ainda assim o espaco
de fase do sistema apresenta caracterısticas caoticas sendo, portanto, mais eficaz
para levar ao limite classico que o reservatorio dissipativo. E importante notar
que neste caso tambem ha mudancas na dinamica classica pois a difusao, alem
de impedir a formacao de estruturas cada vez mais finas, promove a passagem de
pontos que estavam em regioes regulares para regioes caoticas e vice-versa.
Alem dessa comparacao entre reservatorios foi feita tambem uma analise para
examinar as relacoes entre o que ocorre quando e introduzida uma interacao com
o ambiente e o que acontece quando e feito um escalamento do sistema tornando-o
mais macroscopico. Diante dessa analise concluiu-se que os dois procedimentos
sao necessarios para alcancar o limite classico e, mais ainda, foi obtida uma relacao
99
entre os parametros de difusao e de macroscopicidade para que as dinamicas
quantica e classica coincidam.
Embora alguns avancos tenham sido alcancados, existe ainda um campo aber-
to a ser explorado nesta area. Ainda no modelo de OHP ha uma vasta regiao de
parametros a ser estudada como por exemplo o limite de caos forte. Esse limite di-
minuiria as regioes regulares e permitiria tirar conclusoes mais gerais a respeito do
limite classico. O regime de tempos mais longos tambem poderia ser interessante
para estudar fenomenos como a localizacao, por exemplo. Uma outra alternati-
va seria encontrar um modelo caotico diferente do OHP, tambem reproduzıvel em
ıons, mas com caracterısticas classicas mais simples que evitem as dificuldades
numericas do OHP. Finalmente, ha ainda a possibilidade de estudar a influencia
de outros tipos de reservatorio no limite quantico-classico.
100 CAPITULO 7. CONCLUSAO
Apendice AEvolucao do estado quantico comreservatorio
Descreveremos nesse apendice a evolucao do estado quantico com reservatorio
tanto para o caso difusivo quanto para o dissipativo a temperatura nula. Podemos
escrever a equacao de Lindblad para o reservatorio (3.1) da seguinte forma:
˙ρ =∑
i
γi(Ji + Li
)ρ, (A - 1)
onde Jiρ = ciρc†i e Liρ = −1
2(c†i ciρ+ ρc†i ci), os operadores ci e c†i sendo independentes
do tempo.
Integrando a equacao obtemos a solucao:
ρ(t) = e(∑
iγi(Ji+Li)t)ρ(0). (A - 2)
Esta equacao tem a a forma geral
ρ(t) = F (α)ρ(0), (A - 3)
onde
F (α) = eα(A+B). (A - 4)
Supondo que o operador F (α) possa ser separado num produto de exponenciais
dependentes de A e B, teremos
F (α) = ep(α)Beq(α)A, (A - 5)
onde q(α) e p(α) sao funcoes a serem determinadas.
101
102 APENDICE A
Derivando F (α) utilizando (A - 4) teremos:
dF
dα= (A+ B)F (α) (A - 6)
ou, utilizando (A - 5),
dF
dα= p(α)BF (α) + ep(α)Bq(α)Ae−p(α)BF (α). (A - 7)
O segundo termo da equacao (A - 7) pode ser expandido utilizando:
eβBA e−βB = A+ β[B, A] +β2
2!
[B, [B, A]
]+ ... (A - 8)
Os proximos passos dependem da forma de A e B o que significa que devemos
escolher um caso particular de reservatorio para ilustrar o procedimento.
A.1 Reservatorio difusivo
No caso de um reservatorio difusivo teremos as seguintes relacoes:
α = γt, (A - 9)
Aρ = SRρ =(JR + LR
)ρ, (A - 10)
Bρ = SAρ =(JA + LA
)ρ, (A - 11)
onde os ındices A e R correspondem as partes de aquecimento e resfriamento,
respectivamente. Os operadores Ji sao definidos por:
JAρ = a†ρa, (A - 12)
LAρ = −1
2(aa†ρ+ ρaa†), (A - 13)
JRρ = aρa†, (A - 14)
LRρ = −1
2(a†aρ+ ρa†a). (A - 15)
Substituindo o comutador entre SA e SR
[SA, SR
]ρ =
(SA + SR
)ρ (A - 16)
A.1. RESERVATORIO DIFUSIVO 103
em (A - 8) tem-se:
ep(α)SASR e−p(α)SA = SR + p(α)(SA + SR) +
p(α)2
2!(SA + SR) + · · ·
= (SA + SR)ep(α)− SA. (A - 17)
Comparando as derivadas obtidas em (A -6) e em (A - 7) teremos
(SR + SA)F (α) =[p(α)SA + q(α)
(SA + SR)ep(α)− SA
)]F (α), (A - 18)
o que nos leva as equacoes:
p(α) + q(α)(ep(α) − 1
)= 1, (A - 19)
q(α)ep(α) = 1. (A - 20)
Resolvendo-as para as condicoes iniciais p(0) = q(0) = 0 obtemos p(α) = q(α) =
ln (α+ 1) e para ρ(t)
ρ(t) = eln(γt+1)SAeln(γt+1)SR ρ(0). (A - 21)
Este procedimento que possibilitou a separacao dos operadores corresponden-
tes aos reservatorios de aquecimento e resfriamento deve ser repetido agora para
separar os operadores Si em Ji e Li. Usando os comutadores
[JR, LR
]ρ = −JRρ, (A - 22)
[JA, LA
]ρ = JAρ (A - 23)
e resolvendo para p(α) e q(α) obtem-se
eα(LR+JR) = eαLRe(1−e−α)JR (A - 24)
e
eα(LA+JA) = eαLRe(eα−1)JR . (A - 25)
Com isso a equacao para ρ(t) fica
ρ(t) = eln(γt+1)LAeγtJAeln(γt+1)LRe(
γt
γt+1
)JR ρ(0). (A - 26)
104 APENDICE A
A solucao final depende da escolha de uma base apropriada para ρ e da aplicacao
dos superoperadores na forma indicada em (A - 26). Escrevendo o operador densi-
dade na base de autoestados de energia do oscilador harmonico
ρ(0) =∑
m,n
ρn,m(0)|n〉〈m|, (A - 27)
teremos:
eαJR ρ(0) =∑
m,n
∞∑
l=0
αl
l!ρn,m(0)al|n〉〈m|(a†)l
=∑
m,n
min(n,m)∑
l=0
αl
l!ρn,m(0)
√n!
(n− l)!
√m!
(m− l)!|n− l〉〈m− l|, (A - 28)
eαLR ρ(0) =∑
m,n
ρn,m(0)e−αa†a/2|n〉〈m|e−αa†a/2
=∑
m,n
ρn,m(0)e−α(n+m)/2|n〉〈m|, (A - 29)
eαJA ρ(0) =∑
m,n
∞∑
l=0
αl
l!ρn,m(0)a†
l |n〉〈m|(a†)l
=∑
m,n
∞∑
l=0
αl
l!ρn,m(0)
√(n+ l)!
n!
√(m+ l)!
m!|n+ l〉〈m+ l|, (A - 30)
eαLA ρ(0) =∑
m,n
ρn,m(0)e−αaa†/2|n〉〈m|e−αaa†/2
=∑
m,n
ρn,m(0)e−α(n+m+2)/2|n〉〈m|. (A - 31)
Finalmente os elementos de matriz num tempo t podem ser escritos, exatamen-
te, em funcao dos elementos no instante inicial:
ρi,k(t) =∞∑
l=0
min(i,k)∑
j=0
ρi+l−j,k+l−j (0)(γt+ 1)(j−i−k−1−l)(γt)l+j√i!k!(i+ l − j)!(k+ l − j)!l!j!(i− j)!(k− j)! .
(A - 32)
A.2 Reservatorio a temperatura nula
Considerando apenas o reservatorio a temperatura zero, pode-se utilizar a relacao (A -
24) para escrever a equacao para o operador densidade como
ρ(t) = eγtLRe(1−e−γt)JR ρ(0). (A - 33)
A.2. RESERVATORIO A TEMPERATURA NULA 105
A solucao de (A - 33) na base de autoestados de energia do oscilador harmonico
segue diretamente da aplicacao de (A - 28) e (A - 29). Dessa maneira teremos
ρi,k(t) =
min(i,k)∑
l=0
(1− e−γt)ll!
√(i+ l)!
i!
√(k + l)!
k!e−γt(i+k)/2ρi+l,k+l(0). (A - 34)
106 APENDICE A
Apendice BEvolucao da funcao caracterısticado oscilador pulsado
A funcao caracterıstica em ordem simetrica imediatamente antes do n-esimo pulso
e definida como:
Cn(λ, λ∗) = Tr[ρne
λa†−λ∗a]. (B - 1)
A evolucao desta funcao pode ser obtida recursivamente a partir da evolucao do
operador densidade:
ρn = T ρn−1T†, (B - 2)
onde T = e−iαa†ae−iKQ cos[2η(a+a†)]. Utilizando estas relacoes em (B- 1) teremos
Cn(λ, λ∗) = Tr[e−iαa
†ae−iKQ cos[2η(a+a†)]ρn−1eiKQ cos[2η(a+a†)]eiαa
†aeλa†−λ∗ a
]. (B - 3)
A partir da propriedade cıclica do traco e da formula de Baker-Hausdorff pode-
mos escrever
Cn(λ, λ∗) = Tr[eiKQ cos[2η(a+a†)]eiαa
†aeλa†e−λ
∗ ae−|λ|2/2e−iαa
†ae−iKQ cos[2η(a+a†)]ρn−1
].
(B - 4)
Atraves das relacoes de ordenamento
eiαa†af(a, a†)e−iαa
†a = f(ae−iα, a†eiα)
e−βa†f(a, a†)eβa
†= f(a+ β, a†) (B - 5)
eβaf(a, a†)e−βa = f(a, a† + β),
107
108 APENDICE B
podemos simplificar ainda mais a expressao para a funcao caracterıstica
Cn(λ, λ∗) = Tr[eiKQ cos[2η(a+a†)]eλa
†eiαe−λ∗ ae−iαe−iKQ cos[2η(a+a†)]ρn−1
]e−|λ|
2/2
= Tr[eλa
†eiαeiKQ cos[2η(a+a†+λeiα)]e−iKQ cos[2η(a+a†−λ∗e−iα)]e−λ∗ ae−iα ρn−1
]e−|λ|
2/2. (B - 6)
E possıvel, ainda, agrupar as exponenciais com cossenos ja que os operadores que
neles aparecem comutam, e, usando a relacao trigonometrica
cos(x)− cos(y) = −2sen(x+ y
2)sen(
x− y2
), (B - 7)
obter
Cn(λ, λ∗) = Tr[eλa
†eiαe−i2KQsen[2η[a+a†+(λeiα−λ∗e−iα)/2]]sen[η(λeiα+λ∗e−iα)]e−λ∗ae−iα ρn−1
]e−|λ|
2/2.
(B - 8)
Expandindo em funcoes de Bessel atraves de
eiβsen(θ) =∞∑
m−∞Jm(β)eimθ , (B - 9)
teremos:
Cn(λ, λ∗) = Tr
[eλa
†eiα∞∑
m=−∞Jm(z)eim2η[a+a†+(λeiα−λ∗e−iα)/2]e−λ
∗ae−iα ρn−1
]e−|λ|
2/2,
(B - 10)
com z = 2KQ sen[−η(λeiα + λ∗e−iα)].
Ordenando as exponenciais com a e a† adequadamente obteremos uma relacao
de recorrencia entre Cn e Cn−1
Cn(λ, λ∗) =∞∑
m=−∞Jm(z)Cn−1(λeiα + i2mη, λ∗e−iα − i2mη), (B - 11)
que, escrita em termos da funcao caracterıstica inicial, torna-se
Cn(λ, λ∗) =∞∑
m1 ,m2,...,mn=−∞Jm1
(z1)Jm2(z2) . . . Jmn
(zn)C0(λn, λ∗n), (B - 12)
onde
λk = λk−1eiα + i2mkη, (B - 13)
zk = 2KQ sen(ξk), (B - 14)
ξk = −η(λk + λ∗k). (B - 15)
Apendice CEvolucao da funcao caracterısticaclassica
A funcao caracterıstica classica imediatamente antes do n-esimo pulso e dada por
Ccln (λ, λ∗) =
∫ ∞
−∞d2αPn(α, α∗)eλα
∗−λ∗α, (C - 1)
onde Pn(α, α∗) e a distribuicao de probabilidade correspondente a este mesmo ins-
tante de tempo e α ≡ v + iu um ponto qualquer do espaco de fase. Em termos de α
e α∗ o mapa dado por (5.17) e (5.18) fica como
α = e−iντα′ + ie−iντKcl
4ηsen
[2η(α′ + α′
∗)]. (C - 2)
A evolucao de Pn(α, α∗) e obtida a partir de
Pn(α, α∗) = Pn−1(α′, α′∗), (C - 3)
onde (α, α∗) e o ponto que e obtido a partir da aplicacao de (C - 2) em (α′, α′∗), ou seja,
no decorrer de uma iteracao transporta-se o valor da distribuicao de probabilidade
para um novo ponto dado pelo mapa classico.
Inserindo (C - 2) e (C - 3) em (C - 1) e notando que o Jacobiano da transformacao (C -
2) e unitario obtem-se
Ccln (λ, λ∗) =∫ ∞
−∞d2α′ Pn−1(α′, α′
∗)e(λe
iντα′∗−λ∗e−iντα′)e−i
[Kcl4η
(λeiντ+λ∗e−iντ )sen(2η(α′+α′∗
))].
(C - 4)
Utilizando a relacao (B -9) tem-se
Ccln (λ, λ∗) =∞∑
m=−∞Jm
(−Kcl
4η
(λeiντ − λ∗e−iντ
))∫ ∞
−∞d2α′ Pn−1(α′, α′
∗)e[(λe
iντ+i2mη)α′∗−(λ∗e−iντ−i2mη)α′]
109
110 APENDICE C
=∞∑
m=−∞Jm (2KQξ1)Cn−1
(λeiντ + i2mη, λ∗e−iντ − i2mη
). (C -5)
Esta equacao e exatamente a que e encontrada aproximando o seno por seu argu-
mento em (B- 11) e que da origem a (6.18).
Apendice DEvolucao da funcao caracterısticacom reservatorio difusivo
A equacao mestra que descreve a evolucao com um reservatorio puramente difusivo
e dada por (3.43):
˙ρ = −Γ
2
[(a†aρ− 2aρa† + ρa†a) + (aa†ρ− 2a†ρa+ ρaa†)
]. (D - 1)
A funcao caracterıstica em ordem simetrica definida anteriormente por (6.8) tera
sua dinamica dada atraves de:
C(λ, λ∗) = Tr[
˙ρneλa†−λ∗a
]. (D - 2)
Introduzindo (D -1) em (D- 2) teremos
C(λ, λ∗) =Γ
2Tr[−a†aρeλa†−λ∗a + 2aρa†eλa
†−λ∗ a − ρa†aeλa†−λ∗a (D - 3)
−aa†ρeλa†−λ∗a + 2a†ρaeλa†−λ∗a − ρaa†eλa†−λ∗ a
], (D - 4)
que, utilizando as propriedades de ordenamento (B -5), pode ser reescrita como:
C(λ, λ∗) =Γ
2Tr[−2|λ|2eλa†−λ∗ aρ
]
= −Γ|λ|2C(λ, λ∗). (D - 5)
Integrando esta equacao no tempo encontra-se a solucao
C(λ, λ∗, t) = C(λ, λ∗, 0)e−Γ|λ|2t. (D - 6)
111
112 APENDICE D
Referencias Bibliograficas
[1] N. Bohr, Essays 1958-1962 on atomic physics and human knowledge, New
York: Wiley-Interscience, 1963; A. Pais, Sutil e o Senhor..., Rio de Janeiro:
Nova Fronteira, 1995, cap. 24 e 25.
[2] R. Omnes, The interpretation of Quantum Mechanics, Princeton: Princeton
University Press, 1994.
[3] W. H. Zurek, Physics Today 44, 36 (1991); W. H. Zurek, Phys. Rev. D 24, 1516
(1981); D. Giulini et al., Decoherence and the appearance of a classical
world in quantum theory, Berlin: Springer-Verlag, 1996.
[4] S. Neil Rasband, Chaotic dynamics of nonlinear systems, New York: Wiley-
Interscience, 1989.
[5] F. Haake, Quantum signatures of chaos Berlin: Springer, 1992; M. C. Gut-
zwiller, Chaos in classical and quantum mechanics, New York: Springer,
1990.
[6] W. Paul, Rev. Mod. Phys. 62(3), 531 (1990).
[7] D. J. Wineland et al , Journal of Research of the National Institute of Stan-
dards and Technology 103 , 29 (1998).
[8] C. Monroe, D. M. Meekhof, B. E. King e D. J. Wineland, Science 272, 1131
(1996).
[9] D. M. Meekhof, C. Monroe, B. E. King, W. M. Itano e D. J. Wineland, Phys.
Rev. Lett. 75, 4714 (1995).
113
114 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
[10] D. M. Meekhof, C. Monroe, B. E. King, W. M. Itano e D. J. Wineland, Phys.
Rev. Lett. 76, 1796 (1996).
[11] D. Leibfried, D. M. Meekhof, B. E. King, C. Monroe, W. M. Itano e D. J. Wine-
land, Phys. Rev. Lett. 77, 4281 (1996); Phys. Today 51 No. 4, 22 (1998).
[12] S. Wallentowitz, R. L. de Matos Filho e W. Vogel, Phys. Rev. A 56, 1205 (1997).
[13] Cirac, J. I. e P. Zoller, Phys. Rev. Lett. 74, 4091 (1995).
[14] R. L. de Matos Filho e W. Vogel, Phys. Rev. Lett. 76, 608 (1996), R. L. de Matos
Filho e W. Vogel, Phys. Rev. A 54, 4560 (1996).
[15] S. Wallentowitz e W. Vogel, Phys. Rev. Lett. 75, 2932 (1995).
[16] E. Solano, C. L. Cesar, R. L. de Matos Filho, N. Zagury, Eur. Phys. J. D13, 121
(2001)
[17] W. Vogel e D. G. Welsch, Lectures on quantum optics, Berlin: Akademie
Verlag, 1994; C. W. Gardiner, Quantum noise, Berlin:Springer, 1991.
[18] S. Wallentowitz, Preparation and determination of the quantum state of
a single trapped atom. Orientador: Werner Vogel. Rostock, Universidade de
Rostock, 1997. Dissertacao de doutorado.
[19] W. Vogel e R. L. de Matos Filho, Phys. Rev. A 52, 4214 (1995).
[20] R. L. de Matos Filho, Effekte der quantisierten Schwerpunktbewegung ges-
peicherter Ionen bei der Wechselwirkung mit Licht. Orientador: Werner
Vogel. Rostock, Universidade de Rostock, 1997. Dissertacao de doutorado.
[21] C. Cohen-Tannoudji, J. Dupont-Roce G. Grynberg, Atom-photon interac-
tions: basic processes and applications, New York: Wiley, 1992.
[22] P. A. M. Dirac, The principles of quantum mechanics. Oxford: Clarendon
Press, 1947.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 115
[23] E. Schodinger, Naturwissenschaften 23, 807 (1935).
[24] E. Merzbacher, Quantum mechanics. New York: Wiley, 1970.
[25] M. Brune et al., Phys. Rev. Lett. 77, 4887 (1996)
[26] C. J. Myatt et al., Nature 403, 269 (2000).
[27] J. F. Poyatos, J. I. Cirac e P. Zoller, Phys. Rev. Lett. 77, 4728 (1996).
[28] Q. A. Turchette et al. Phys. Rev. A 62, 053807 (2000).
[29] G. Lindblad, Math. Phys. 48, 119 (1976).
[30] D. F. V. James, Phys. Rev. Lett. 81, 317 (1998).
[31] E. Wigner, Phys. Rev. 40, 749 (1932); M. Hillery, R. F. O’Connell, M. O. Scully
e E. P. Wigner, Phys. Rep. 106, 121 (1984).
[32] K. E. Cahil e R. J. Glauber, Phys. Rev. 177, 1857 (1969);.
[33] D. T. Smithey et al., Phys. Rev. Lett. 70,1244 (1993); G. Breitenbach et al., J.
Opt. Soc. Am. B 12, 2304 (1995).
[34] L. G. Lutterbach e L. Davidovich, Phys. Rev. Lett. 78, 2547 (1997).
[35] P. Bertet et al., Phys. Rev. Lett. 89, 200402 (2002).
[36] P. M. Radmore, S. M. Barnett, Methods in theoretical quantum optics. Ox-
ford: Oxford University Press, 1997.
[37] W. Vogel e R. L. de Matos Filho, Phys. Rev. A 58, R1661 (1998).
[38] L. Mandel e E. Wolf, Optical coherence and quantum optics. Cambridge:
Cambridge University Press, 1995. Secao 3.1.3.
[39] For reviews, see D. P. Di Vicenzo, Science 270, 255 (1995); A. Ekert and
R. Josza, Rev. Mod. Phys. 68, 733 (1996); J. Preskill, Physics Today 52, 24
(1999).
116 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
[40] J. I. Cirac and P. Zoller, Phys. Rev. Lett. 74, 4091 (1995).
[41] H. Mabuchi and P. Zoller, Phys. Rev. Lett. 76, 3108 (1996);
[42] D. Vitali, P. Tombesi, and G. J. Milburn Phys. Rev. Lett. 79, 2442 (1997);
Phys. Rev. A 57, 4930 (1998).
[43] L. Viola, E. Knill, and S. Lloyd, Phys. Rev. Lett. 82, 2417 (1999); L. Viola and
S. Lloyd, Phys. Rev. A 58, 2733 (1998).
[44] P.W. Shor, Phys. Rev. A 52, 2493 (1995); D. Gottesman, ibid. 54, 1862 (1996);
A. Ekert and C. Macchiavello, Phys. Rev. Lett. 77, 2585 (1996); A.R. Calder-
band et al, ibid. 78, 405 (1997);
[45] A. R. R. Carvalho, P. Milman, R. L. de Matos Filho and L. Davidovich, Phys.
Rev. Lett. 86, 4988 (2001).
[46] L. Mandel e E. Wolf, Op. cit., capıtulo 21.
[47] B. Yurke and B. Stoler, Phys. Rev. Lett. 57, 13 (1986).
[48] D. T. Pegg e S. M. Barnett, Europhys. Lett. 6, 483 (1998).
[49] G. M. Zaslavsky et al, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 91, 500 (1986); S. Murakami, T.
Sato e A. Hasegawa, Physica 32 D, 269 (1988); V. V. Afanasiev et al, Phys.
Letters A 144, 229 (1990).
[50] G. M. Zaslavsky, R. Z. Sagdeev, D. A. Usikov e A. A. Chernikov, Weak chaos
and quasi-regular patterns. Cambridge: Cambridge University Press, 1992.
[51] A. Wolf et al, Physica 16 D, 285 (1985).
[52] M. D. Feit, J. A. Fleck, Jr., e A. Steiger, J. Comput. Phys. 47, 412 (1982).
[53] Eric Fijalkow, Comput. Phys. Commun. 116, 319 (1999).
[54] Armando de Oliveira Fortuna, Tecnicas computacionais para dinamica dos
fluidos. Sao Paulo: Edusp - Editora da Universidade de Sao Paulo, 2000.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 117
[55] J. K. Breslin, C. A. Holmes e G. J. Milburn, Phys. Rev. A 56, 3022 (1997).
[56] S. A. Gardiner, J. I. Cirac e P. Zoller, Phys. Rev. Lett. 79, 4790 (1997).
[57] G. P. Berman, V. Yu Rubaev e G. M. Zaslavsky, Nonlinearity 4, 543 (1991).
[58] D. Shepelyansky e C. Sire, Europhys. Lett. 20, 95 (1992); I. Dana, Phys. Rev.
Lett. 73, 1609 (1994); F. Borgonovi e L. Rebuzzini, Phys. Rev. E 52, 2302
(1995); M. Frasca, Phys. Lett. A 231, 344 (1997); B. Hu et al, Phys. Rev. E 58,
1743 (1998).
[59] K. Mølmer, Y. Castin e J. Dalibard, J. Opt. Soc. Am. B 10, 524 (1993).
[60] T. B. L. Kist, Equacoes de Schrodinger estocasticas aplicadas a sistemas
quanticos dissipativos. Orientador: Luiz Davidovich. Rio de Janeiro, Pon-
tifıcia Universidade Catolica do Rio de Janeiro, 1996. Dissertacao de doutora-
do; T. B. L. Kist, M. Orszag, T. A. Brun e L. Davidovich, J. Opt. B: Quantum
Semiclass. Opt. 1, 251 (1999).
[61] J. J. Sakurai, Modern Quantum mechanics. Menlo Park: Addison-Wesley,
1994.
[62] C. Cohen-Tannoudji, B. Diu e F. Laloe, Quantum mechanics. Paris: Her-
mann, 1993.
[63] L. E. Ballentine, Y. Yang e J. P. Zibin, Phys. Rev. A 50, 2854 (1994).
[64] G. P. Berman e G. M. Zaslavsky, Physica 91 A, 450 (1978).
[65] W. H. Zurek e J. P. Paz, Physica D 83, 300 (1995).
[66] W. H. Zurek, Phys.Scripta T76 186 (1998); Acta Phys.Polon. B29, 3689 (1998).
[67] S. Habib, W. H. Zurek e J. P. Paz, Phys. Rev. Lett. 80, 4361 (1998).
[68] J. P. Paz e W. H. Zurek, “Environment induced superselection and the transi-
tion from quantum to classical”, em Coherent matter waves, Les Houches
118 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Session LXXII, editado por R. Kaiser, C. Westbrook and F. David, Berlin: EDP
Sciences, Springer Verlag (2001).
[69] A. R. Kolovsky, Phys. Rev. Lett. 76, 340 (1996).
[70] A. K. Pattanayak, Phys. Rev. Lett. 83, 4526 (1999).
[71] D. Monteoliva e J. P. Paz, Phys. Rev. E 64, 056238 (2001).
[72] A. K. Pattanayak e B. Sundaram, quant-ph/0206069.
[73] L. Mandel e E. Wolf, Op. cit. Capıtulo 11.