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Caos Determinista
Carlos Gershenson
IIMAS & C3, UNAM
http://turing.iimas.unam.mx/~cgg/teach/Pamplona
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CaosDeterminista
CarlosGershenson
Contenido
Repaso
Caos
Mapeologıstico
Diagramas debifurcacion
Universalidad
Conclusiones
Contenido
1 Repaso
2 Caos
3 Mapeo logıstico
4 Diagramas de bifurcacion
5 Universalidad
6 Conclusiones
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CaosDeterminista
CarlosGershenson
Contenido
Repaso
Caos
Mapeologıstico
Diagramas debifurcacion
Universalidad
Conclusiones
Repaso
Complejidad: Falta de previsibilidad por interacciones
Adaptacion
Auto-organizacion
Ahora: Caos determinista: Falta de previsibilidad porsensibilidad a condiciones iniciales
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CaosDeterminista
CarlosGershenson
Contenido
Repaso
Caos
Mapeologıstico
Diagramas debifurcacion
Universalidad
Conclusiones
Caos
¿Los sistemas deterministas son predecibles?
No siempre, ojo con la no-linearidad.
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CaosDeterminista
CarlosGershenson
Contenido
Repaso
Caos
Mapeologıstico
Diagramas debifurcacion
Universalidad
Conclusiones
Sensibilidad a condiciones iniciales
E.g. estados iniciales 2.1234567890 y 2.1234567891
Nos llevan a estados finales 3.5 y -1.7
No importa cuanta precision tengamos, hay divergenciaexponencial de trayectorias.
exponentes de Lyapunov mayores que cero.
Atractores extranos
auto-afines, i.e. fractales.
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CaosDeterminista
CarlosGershenson
Contenido
Repaso
Caos
Mapeologıstico
Diagramas debifurcacion
Universalidad
Conclusiones
Atractores extranos
http://mathworld.wolfram.com/StrangeAttractor.html
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CaosDeterminista
CarlosGershenson
Contenido
Repaso
Caos
Mapeologıstico
Diagramas debifurcacion
Universalidad
Conclusiones
http://www.countwordula.com/2006/09/13/strange-attractors-0086/
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CaosDeterminista
CarlosGershenson
Contenido
Repaso
Caos
Mapeologıstico
Diagramas debifurcacion
Universalidad
Conclusiones
http://www.nathanselikoff.com/strangeattractors/
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CaosDeterminista
CarlosGershenson
Contenido
Repaso
Caos
Mapeologıstico
Diagramas debifurcacion
Universalidad
Conclusiones
Mapeo logıstico
f (x) = ax(1− x)
Usada e.g. en dinamica poblacional.
a representa la “fertilidad” o “taza de crecimiento”,0 <= a <= 4, 0 <= x0 <= 1.
f es una parabola, la cual es iterada.
x1 = f (x0)
x2 = f (x1) = f 2(x0)
...
xn = f (xn−1) = f n(x0)
Donde xn es la nava iteracion de x0.
El conjunto de todas las iteraciones es el mapeo de f .
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CaosDeterminista
CarlosGershenson
Contenido
Repaso
Caos
Mapeologıstico
Diagramas debifurcacion
Universalidad
Conclusiones
a = 3.2
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CaosDeterminista
CarlosGershenson
Contenido
Repaso
Caos
Mapeologıstico
Diagramas debifurcacion
Universalidad
Conclusiones
Iteraciones (a = 2.0)
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CaosDeterminista
CarlosGershenson
Contenido
Repaso
Caos
Mapeologıstico
Diagramas debifurcacion
Universalidad
Conclusiones
Incrementemos a
Si a = 0, f (x) = 0,∀x0
Si incrementamos un poco a, xn = 0, ∀x0, e.g. a = 0.3
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CaosDeterminista
CarlosGershenson
Contenido
Repaso
Caos
Mapeologıstico
Diagramas debifurcacion
Universalidad
Conclusiones
a = 0.8
0 sigue siendo un atractor estable.
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CaosDeterminista
CarlosGershenson
Contenido
Repaso
Caos
Mapeologıstico
Diagramas debifurcacion
Universalidad
Conclusiones
a = 1.2
El atractor cambia a la interseccion entre la parabola y la lıneade identidad.
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CaosDeterminista
CarlosGershenson
Contenido
Repaso
Caos
Mapeologıstico
Diagramas debifurcacion
Universalidad
Conclusiones
La transicion a = 1.0
Cero es atractor asintotico.
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CaosDeterminista
CarlosGershenson
Contenido
Repaso
Caos
Mapeologıstico
Diagramas debifurcacion
Universalidad
Conclusiones
a = 2.0
Cero es un atractor inestable, 1− 1/a es nuevo atractor estable.
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CaosDeterminista
CarlosGershenson
Contenido
Repaso
Caos
Mapeologıstico
Diagramas debifurcacion
Universalidad
Conclusiones
a = 3.0
Atractor asintotico...
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CaosDeterminista
CarlosGershenson
Contenido
Repaso
Caos
Mapeologıstico
Diagramas debifurcacion
Universalidad
Conclusiones
a = 3.1
1− 1/a se vuelve inestable, hay un nuevo atractor cıclico(orbita) de perıodo 2.
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CaosDeterminista
CarlosGershenson
Contenido
Repaso
Caos
Mapeologıstico
Diagramas debifurcacion
Universalidad
Conclusiones
a = 3.5
La orbita de perıodo 2 se vuelve inestable, hay un nuevoatractor estable de periodo 4.
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CaosDeterminista
CarlosGershenson
Contenido
Repaso
Caos
Mapeologıstico
Diagramas debifurcacion
Universalidad
Conclusiones
a = 3.55
Atractor de perıodo 8.
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CaosDeterminista
CarlosGershenson
Contenido
Repaso
Caos
Mapeologıstico
Diagramas debifurcacion
Universalidad
Conclusiones
a = 3.6
Las orbitas estables e inestables jalan y empujan la dinamica...bienvenidos al caos...
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CaosDeterminista
CarlosGershenson
Contenido
Repaso
Caos
Mapeologıstico
Diagramas debifurcacion
Universalidad
Conclusiones
Diagramas de bifurcacion
Grafiquemos donde se concentra la dinamica despues decierto tiempo, i.e. atractores.
Seccion de Poincare
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CaosDeterminista
CarlosGershenson
Contenido
Repaso
Caos
Mapeologıstico
Diagramas debifurcacion
Universalidad
Conclusiones
Zoom...
http://brain.cc.kogakuin.ac.jp/~kanamaru/Chaos/e/BifArea/
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CaosDeterminista
CarlosGershenson
Contenido
Repaso
Caos
Mapeologıstico
Diagramas debifurcacion
Universalidad
Conclusiones
a = 4.0
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CaosDeterminista
CarlosGershenson
Contenido
Repaso
Caos
Mapeologıstico
Diagramas debifurcacion
Universalidad
Conclusiones
a = 3.83
Una “ventana”, con una orbita de periodo 3
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CaosDeterminista
CarlosGershenson
Contenido
Repaso
Caos
Mapeologıstico
Diagramas debifurcacion
Universalidad
Conclusiones
Mas diagramas de bifuracion
El del mapeo logıstico contiene orbitas estables de perıodode todos los numeros naturales.
Keep on zooming... no se vuelve mas simple... esauto-afin, i.e. fractal... una parte contiene de nuevoorbitas de perıodo de todos los numeros naturales.
Los numeros naturales se contienen a sı mismosinfinitamente...
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CaosDeterminista
CarlosGershenson
Contenido
Repaso
Caos
Mapeologıstico
Diagramas debifurcacion
Universalidad
Conclusiones
Universalidad
Mitch Feigenbaum en 1975, midio la convergenciageometrica de los puntos de bifurcacion.
an − an−1
an+1 − an
a0 = 1, a1 = 3, a2 = 3.4495..., a3 = 3.5441..., a4 =3.5644...
limn→+∞
an − an−1
an+1 − an= δ = 4.669201609...
δ es universal, i.e. describe bifurcacion en todos losmapeos con un solo maximo cuadrado.
Tambien describe diametros de cırculos sucesivos en el ejereal del conjunto de Mandelbrot.
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CaosDeterminista
CarlosGershenson
Contenido
Repaso
Caos
Mapeologıstico
Diagramas debifurcacion
Universalidad
Conclusiones
Otra constante universal
limn→+∞
anan+1
= α = 2.502907876...
Razon entre la distancia entre 0.5 y orbita mas cercana enorbitas superestables.
Orbitas superestables convergen mas rapido a atractores.
La razon entre distancias de orbitas superestables es δ .
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CaosDeterminista
CarlosGershenson
Contenido
Repaso
Caos
Mapeologıstico
Diagramas debifurcacion
Universalidad
Conclusiones
Conclusiones
Caos: sensibilidad a condiciones iniciales
Atractores estables e inestables jalan y empujan ladinamica.
Mapeo logıstico ejemplo simple.
Diagramas de bifuracion.
Universalidad