Numero 2, 2 Maggio 2011. Licenza Creative Commons CC-BY-NC-SA.

EditorialeBentornato! Questa è la seconda uscita della nostra ri-vista e se sei tornato qui dopo aver letto la prima, siamomolto contenti che ti sia piaciuta. . . se invece questa è latua prima volta, benvenuto!Le soluzioni dei giochi dei numeri precedenti le potraitrovare sul nostro Forum. Inoltre presto troverai diret-tamente sul sito anche altro materiale complementare:immagini, programmi, soluzioni e molto altro ancora!

In questo numero parleremo della Luna ed in partico-lare del perché ne vediamo sempre la stessa faccia e ve-dremo come creare un modello per descrivere l’evoluzionedi una popolazione. Non mancherà l’angolo dei giochi,l’aiuto agli studenti ed una bella recensione! Per le so-luzioni dei giochi dei numeri precedenti, vieni a trovarcisul Forum.

Cosa dirti ancora, buona lettura e vieni a trovarci sulnostro Forum e sulla pagina Facebook. Facci sapere checi stai leggendo e cosa ne pensi!

Il Team CaoStabile

In questo numero:

L’evoluzione di una po-polazione

La risonanza tra la Terrae la Luna

Chiedi alla Ga’:Disequazioni di secondogrado

Pausa caffè:Il buco nella sferaL’esploratoreLa scala mobile

Recensioni:“Togliamo il disturbo.Saggio sulla libertà dinon studiare.”

L’EVOLUZIONE DI UNA POPOLAZIONE

Nel primo numero di CaoStabile ave-vamo parlato di sistemi dinamici, intro-ducendo alcuni concetti di base attra-verso semplici esempi. Questa volta vo-gliamo mettere in luce alcune caratteristi-che interessanti considerando un sistemaparticolare: la mappa logistica.

Al solito abbiamo due strade, pos-siamo introdurre la mappa logistica co-

me una mappa polinomiale di grado 2,definita dalla legge di evoluzione

xn+1 = rxn(1 − xn),

ma probabilmente ti starai chiedendo “okha detto che ci sono due strade, vediamola prossima!”. Hai perfettamente ragio-ne, ma prima lasciami aprire una piccolaparentesi.

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Come ti ho già detto la volta scorsaun sistema dinamico è un modello ma-tematico che descrive l’evoluzione tem-porale di un sistema. L’idea di fondo èquella di considerare un problema “rea-le” e successivamente costruire un mo-dello “semplice” (o almeno più sempliceda trattare del sistema originale) che de-scriva alcune caratteristiche fondamenta-li del problema di partenza. Ovviamen-te studiare il modello non significa studia-re il problema reale, l’osservazione sem-bra del tutto ovvia (ed in effetti lo è), maspesso ci si dimentica di questo aspettofondamentale!

Perché allora studiamo un modellosemplificato? Beh, se hai mai incontratoun libro di fisica nella tua vita, ti sarai cer-tamente imbattuto in diversi modelli ideali(moto senza attrito, gas ideale, etc.) chesono chiaramente “lontani” dalla realtà,ma che possono essere studiati nel detta-glio e costituiscono un’ottima approssima-zione dei sistemi reali corrispondenti, tan-to da poterne descrivere e predire moltifenomeni osservabili!

Torniamo quindi alla seconda stradaper introdurre la mappa logistica. Con-sideriamo il problema della crescita diuna popolazione: supponiamo che ad untempo iniziale, t0, abbiamo un certo nu-mero di individui, x0. Ad intervalli di temporegolari (ad esempio ogni anno) proce-diamo ad un nuovo conteggio della po-polazione, avremo quindi una successio-ne di numeri x1, x2, . . . che rappresentanoil numero di individui al tempo t1, t2, etc.

Il modello più semplice che possiamointrodurre è il seguente: supponiamo chela popolazione abbia un certo tasso di na-talità, α ≥ 0, e di mortalità, β ≥ 0. L’i-dea è che dato un certo numero di indivi-dui xn al tempo tn, se indichiamo con xn+1

la popolazione al tempo successivo, tn+1,avremo la relazione

xn+1 = αxn − βxn = (α− β)xn .

In questo modo abbiamo costruito unsemplice modello che descrive l’evolu-

zione di una popolazione al passare deltempo.

Vediamo un esempio concreto, suppo-niamo che il tasso annuo di natalità sia2.25 e quello di mortalità 1.18, se la po-polazione iniziale è costituita da 100 indi-vidui, dopo un anno la popolazione to-tale sarà di (2.25 − 1.18) ∗ 100 = 107 indi-vidui ed iterando otterremo un’evoluzionecome mostrato nella figura 1.

Figura 1. Crescita di una popolazione

Consideriamo ora alcuni esempi reali,anzitutto esaminiamo la popolazione deileoni asiatici dal 1963 ad 2010 (vedi figu-ra 2) e poi quella dei canguri australianidal 2001 al 2010 (vedi figura 3). L’unicotipo di evoluzione in cui sia prevista unacrescita della popolazione, nel nostro mo-dello, è quello di una crescita esponen-ziale ed osserviamo subito che sia l’evolu-zione dei leoni asiatici, sia quella dei can-guri non possono essere rappresentate inalcun modo con il nostro modello.

Figura 2. Popolazione dei leoni asiatici dal 1963 al 2010

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Figura 3. Popolazione dei canguri australiani dal 2001 al2010

Infatti il semplice modello che abbia-mo considerato è decisamente troppogrezzo, si vede subito che se il tasso dinatalità è superiore a quello di mortalitàla popolazione è destinata a crescere in-definitamente, al contrario se è inferiorela popolazione è destinata ad estinguer-si (abbiamo implicitamente adottato laconvenzione che se la popolazione assu-me un valore negativo, viene posta ugua-le a zero, il che rappresenta l’estinzionedella specie) ed infine nel caso siano esat-tamente uguali la popolazione manterràun numero costante di individui.

A questo punto la domanda natura-le è: come possiamo “correggere il mo-dello” rendendolo più realistico? Uno de-gli ingredienti fondamentali che non vienetenuto in considerazione dal nostro mo-dello è la diminuzione delle risorse (il ci-bo) al crescere del numero degli indivi-dui presenti. Ovviamente abbiamo vo-lutamente tralasciato altri dettagli fonda-mentali (predatori, cambiamenti climati-ci, azione dell’uomo, etc.), magari un gior-no torneremo sull’argomento, per il mo-mento ricorda solamente che l’obbietti-vo è costruire un modello che abbia alcu-ne caratteristiche fondamentali, ma chesia il più semplice possibile. È la solita sto-ria, non puoi vedere il bosco se sei tra glialberi.

Fissiamo quindi un valore “limite” N perla popolazione e cerchiamo di costruireun modello che favorisca la crescita dellapopolazione quando xn < N , e la “smorzi”

quando xn > N . Per valori di xn compresitra 0 e N , la quantità

xn(N − xn)

si mantiene sempre all’interno dell’inter-vallo [0, n

2− n2

4] ed ha il comportamen-

to che volevamo. Ovviamente possiamonormalizzare la popolazione consideran-do una diversa unità di misura e conside-rare N = 1 per comodità; basterà poi mol-tiplicare per N i nuovi valori per ottene-re la popolazione nelle unità di misura dipartenza!

Per complicare ulteriormente il model-lo, senza però complicarci la vita, pos-siamo introdurre un parametro che chia-meremo r, che moltiplichi l’espressioneprecedente, regolando l’evoluzione delsistema:

xn+1 = rxn(1 − xn) .

La prima iterata sarà dunque compre-sa nell’intervallo [0, r

4] e poichè abbiamo

fissato il limite della popolazione ad 1, po-tremo calcolare le iterate successive soloper valori del parametro r compreso tra 0e 4.

Abbiamo quindi costruito un model-lo, che non è altro che la mappa logi-stica introdotta nelle prime righe dell’arti-colo. Siamo partiti da considerazioni ab-bastanza semplici per costruire un picco-lo modellino che speriamo contenga al-cuni ingredienti fondamentali per studiarel’evoluzione di una popolazione.

Il passo successivo è praticamente ob-bligato, dobbiamo considerare diversi va-lori del parametro r e studiare le differentievoluzioni. È naturale aspettarsi che perdifferenti valori del parametro r, l’evolu-zione seguirà strade differenti. Se ripen-si a come abbiamo costruito il modello,quel che ci aspettiamo è che l’evoluzio-ne di una popolazione possa oscillare tracerti valori di minimo e massimo consenti-ti, restare costante o tendere ad un cer-to valore fissato, non potremo esclude-re l’estinzione di una specie, ed in effet-

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ti se studiamo il modello appena costrui-to potremo ritrovare tutti questi fenome-ni, e a dire il vero molto altro ancora! Piùprecisamente:

• per r compreso tra 0 e 1, la popo-lazione sarà destinata ad estinguer-si, indipendentemente dal valoreiniziale della popolazione;

• per r compreso tra 1 e 2 la po-polazione si stabilizzerà rapidamenteraggiungendo il valore r−1

r, indipen-

dentemente dal valore iniziale dellapopolazione;

• per r compreso tra 2 e 3, la popo-lazione si stabilizzerà raggiungendo ilvalore r−1

r, ma prima di farlo oscille-

rà attorno a quel valore per un certotempo. La convergenza sarà linea-re (dopo n anni sarò n volte più vi-cino al valore limite), eccetto il casor = 3, dove la convergenza è moltopiù lenta;

• per r maggiore di 3 la situazione inve-ce è decisamente più complessa!

Per questa volta accontentati di sape-re che per valori del parametro r compresitra 3 e 4, potrai osservare delle oscillazionidella popolazione tra due valori fissati, poiquattro, otto e così via, sino ad arrivare avalori di r poco superiori a 3.5 dove potraiosservare la nascita del caos.

Sei sorpreso? In effetti abbiamo costrui-to un modello molto semplice, e la formu-la che abbiamo ottenuto è quella si unacomune parabola, tuttavia l’ingredientein più è rappresentati dalle iterazioni suc-cessive di una formula che, anche se deltutto innocua all’apparenza, può dar luo-go a strani fenomeni se ripetuta numero-se volte. Per saperne di più dovrai aspet-tare la prossima puntata, inoltre sul nostrosito presto troverai del materiale comple-mentare, come ad esempio dei sempliciprogrammi che potrai scaricare ed ese-guire direttamente sul tuo computer per“osservare” il caos con i tuoi occhi!

Marco Sansottera

LA RISONANZA TRA LA TERRA E LA LUNA

Vi siete mai accorti che la Luna rivolgesempre la stessa faccia alla Terra? Vi sietemai chiesti se questo sia un caso oppuresia conseguenza di fenomeni fisici e leggimatematiche che hanno portato la Lunaa guardare la Terra sempre con gli stessiocchi?

La Luna.

Osservandola attentamente possiamo

notare che l’emisfero che la Luna volgealla Terra non cambia mai.

Proviamo a descrivere questo fenome-no da un punto di vista dinamico. La Lu-na è un satellite naturale del pianeta Ter-ra e, come tanti altri corpi che compon-gono il sistema solare, è caratterizzata dadue movimenti: il moto di rivoluzione intor-no al pianeta ospitante (la Terra) e un mo-to di rotazione intorno al proprio asse. Esi-stono dei casi in cui questi due movimen-ti sono in relazione tra loro in modo taleche si verifichino delle particolari configu-razioni dinamiche che si ripetono periodi-camente nel tempo. Nel caso del sistemaTerra-Luna esiste una di queste particola-ri configurazioni che in Meccanica Cele-ste chiamiamo “risonanza spin-orbita sin-

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crona”. Questa si verifica perché il pe-riodo di rivoluzione della Luna intorno allaTerra è uguale al periodo di rotazione del-la Luna intorno al proprio asse: sono infat-ti entrambi pari a 28 giorni. Possiamo de-scrivere questo fenomeno attraverso unasemplice formula matematica: chiamia-mo Triv il periodo di rivoluzione della Lunaintorno alla Terra e Trot il periodo di rota-zione della Luna intorno a se stessa. Dire-mo che la Luna e la Terra sono in risonanzaspin-orbita sincrona se il rapporto tra i dueperiodi è 1:

TrivTrot

= 1 ,

e questo è proprio il caso della Terra e del-la Luna. Perciò, mentre la Luna percorrela sua orbita ruotando intorno alla Terra,contemporaneamente ruota intorno a sestessa in modo tale da guardare la Terrasempre con la stessa faccia. Esiste dun-que un lato (un emisfero) della Luna rivol-to sempre verso la Terra, e ne esiste un al-tro rivolto sempre dalla parte opposta allaTerra che guarda lo spazio aperto. Atten-zione! Questo non vuol dire che quel latoè buio, perché, attraverso i suoi movimen-ti, la Luna verrà interamente illuminata dalsole col passare del tempo. Questo fe-nomeno ha permesso agli uomini che os-servano il cielo sin dall’antichità di cono-scere perfettamente l’emisfero rivolto ver-so la Terra, mentre ha reso completamen-te ignoto l’emisfero che non guarda laTerra, poiché esso non poteva essere os-servato. Le prime osservazioni e le primeimmagini di quella parte della Luna sonostate realizzate quando l’uomo è andatocon le prime navicelle nello spazio e hacompiuto un sorvolo intorno alla Luna.

Una parte del lato nascosto della Luna illuminato dalsole.

Concludiamo chiedendoci se questofenomeno è isolato o se esistono altri ca-si simili in natura. La risposta è che nel si-stema solare esistono tantissimi altri satelli-ti naturali in risonanza spin-orbita sincronacon il pianeta ospitante. È il caso dei duesatelliti di Marte (Phobos e Deimos), dei sa-telliti galileiani di Giove (Io, Europa, Gani-mede e Callisto, i quali sono detti galileianiperché osservati da Galileo Galilei), mol-ti dei satelliti di Saturno, la maggior par-te dei satelliti di Urano, ecc. La causa diquesta sincronia è data dalle forze ma-reali dei satelliti. Essi infatti all’interno han-no una parte fluida la quale tende a fre-nare la rotazione del satellite stesso fino ache esso non arrivi a guardare il pianetaospitante sempre con la stessa faccia e araggiungere la risonanza.

La terra vista dalla Luna.

Sara Di Ruzza

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CHIEDI ALLA GA’RUBRICA DI AIUTO AGLI STUDENTI

- DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO-

A un colloquio di lavoro, per testa-re le mie (eventuali) qualità di insegnan-te, il professore incaricato di valutarmi miha chiesto solo “E come spieghi, tu, ledisequazioni?”.

Risultano così importanti perché ven-gono utilizzate in diversi argomenti e nonc’è scampo né via d’uscita, prima o poitutti ci ritroviamo i quaderni pieni di grafi-ci, linee piene e tratteggiate, pallini pienie vuoti...Una premessa, quindi, il grafico serve.Non è un accessorio decorativo, è partefondamentale della risoluzione.

Ora cominciamo. Il nostro obiettivoè risolvere la disequazione di secondogrado

ax2 + bx+ c > 0 ,

tralasciamo gli altri casi perché sonoanaloghi.

Step 0: Riduciamo ulteriormente le pos-sibilità considerando solo le disequazionicon a > 0: quando il primo coefficienteè negativo possiamo cambiare i segni ditutti i termini e cambiare il verso della disu-guaglianza, in modo da poter procederecome descritto qui di seguito.

Step 1: considerare l’equazione asso-ciata ax2 + bx + c = 0 e ricercarne lesoluzioni.

Step 2: a questo punto si presentanotre casi.

• ∆ > 0 : l’equazione ha due soluzionidistinte x1 e x2, con x1 < x2. A questopunto si procede col grafico.Il vostro insegnante potrebbe averutilizzato la parabola oppure lo stu-dio dei segni: entrambi sono corret-ti e la scelta dipende da tanti fatto-ri. Utilizzando la parabola, il graficoottenuto sarà

mentre per lo studio dei segni indi-

cheremo in due linee rispettivamen-te la positività dei due fattori x − x1e x − x2 per poi studiare il segno delloro prodotto

In entrambi i casi otteniamo che la

soluzione di ax2 + bx+ c > 0 è l’unionedei due intervalli x < x1 e x > x2.

• ∆ = 0 : l’equazione ha due soluzionicoincidenti, cioè troviamo solo x1. Inquesto caso abbiamo che

ax2 + bx+ c = a(x− x1)2

e quindi il trinomio è > 0 per ogni x di-verso da x1, come si vede anche dalgrafico

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• ∆ < 0 : l’equazione è impossibile, manon sempre la disequazione lo è! Laparabola y = ax2+bx+c non interseca

l’asse orizzontale e il trinomio risultapositivo per ogni x reale:

Gabriella Pina

PAUSA CAFFÈRUBRICA DI ENIGMI E GIOCHI MATEMATICI

- IL BUCO NELLA SFERA -Questo gioco, almeno all’apparenza,

può sembrare irrisolvibile! Tuttavia credi-mi, i dati che ti darò saranno sufficienti arisolverlo!

Attraverso il centro di una sfera solidaviene fatto un foro cilindrico lungo esat-tamente sei centimetri, qual è il volumedella sfera residua?

Marco Sansottera

- L’ESPLORATORE -Un esploratore percorre un miglio verso

Sud, poi cambia direzione e fa un miglioverso Est, poi cambia nuovamente direzio-ne e percorre un miglio verso Nord ed in-fine si ritrova esattamente al punto di par-

tenza. Vede un orso e lo uccide. . .di checolore è l’orso?

Se hai risolto la prima parte dell’indo-vinello, lasciando stare questa volta il po-vero orso, dove altro potrebbe trovarsi ilnostro esploratore?

Marco Sansottera

- LA SCALA MOBILE -

Ti trovi su una scala mobile e scenden-do lentamente raggiungi la fine in 50 pas-si. Provando a salire, sempre un gradino

alla volta, raggiungi la cima in 125 passi.Supponendo che la tua velocità di sali-ta si 5 volte maggiore di quella di disce-sa (ovvero cinque passi per ognuno dei

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passi precedenti) e che compi ogni viag-gio a velocità costante, quanti gradini

risulterebbero visibili a scala ferma?

Marco Sansottera

RECENSIONISCELTI DA NOI

- “TOGLIAMO IL DISTURBO. SAGGIOSULLA LIBERTÀ DI NON STUDIARE.” -

E’ arrivato il momento dello sprint finale:ecco il terribile mese di maggio, in cui icompiti in classe e le interrogazioni si susse-guono senza tregua, accompagnati dalticchettio delle calcolatrici che emettonola sentenza della media dei voti. In que-sto momento in cui anche chi è matema-ticamente condannato decide di buttareun occhio ai libri, sperando nella clemen-za del consiglio di classe, ho letto “Toglia-mo il disturbo. Saggio sulla libertà di nonstudiare” di Paola Mastrocola, il libro piùrecente che descrive la situazione scola-stica italiana.La fascetta posta attorno alla copertinadel libro mi avvisa che in circolazione cene sono già novantamila copie e ne sonostate stampate quattro edizioni in quattrosettimane: ne deduco che l’argomentonon interessa soltanto me. Spero che que-ste novantamila persone non siano soltan-to insegnanti: spero che questo libro siastato letto da chi l’istruzione ha il compitodi diffonderla, ma anche da chi dovrebbericeverla. Mi sembra improbabile, ma vor-rei, in particolare, che l’avesse letto Edoar-do. Ha 17 anni e mi auguro che stia perterminare la classe seconda. Ci siamo co-nosciuti alla fine dello scorso anno scola-stico, quando, proprio nel momento del-lo sprint finale, i suoi genitori l’hanno co-stretto a seguire lezioni private pomeridia-ne per evitare una seconda bocciatura inprima. Ragazzo gentile, educato e simpa-tico, aveva (e sono sicura che non gli siapassata) una gran passione per i motori.Veniva a lezione in autobus, ma il suo mo-torino per me era diventato leggendario,

tanto erano epici i racconti delle avventu-re che Edoardo viveva insieme a lui. Ognivolta in cui il rombo di un motore arrivavaalle nostre orecchie, io Edoardo lo perde-vo per un attimo. Era concentrato, sì, manon più sull’esercizio: cercava di indovina-re che tipo di mezzo avesse appena attra-versato l’incrocio sotto la finestra.Le nostre lezioni andavano così, tra un’e-spressione e un clacson. Era evidente cheEdo avesse un’inclinazione e, per sua stes-sa ammissione, non era per lo studio teo-rico: voleva studiare “da meccanico” perpoi diventarlo. Questo, però, non fa par-te degli indirizzi in programma al prestigio-so liceo che Edoardo frequenta. E io honon ho potuto fare a meno di pensare alui quando, nel libro della Mastrocola, holetto “non importa niente a nessuno checosa realmente la scuola insegni, né cosarealmente il figlio impari, ma contempo-raneamente diventa importantissimo chescuola il figlio frequenta, che liceo, dove,quante e quali strade gli vengano apertepoi”. E ancora “Abbiamo voluto lo studioper tutti, ma soprattutto per i figli delle fa-miglie svantaggiate, perché con lo studiomigliorassero la condizione sociale di par-tenza. Non abbiamo minimamente previ-sto che i figli delle famiglie avvantaggiatepotessero scegliere il non-studio! Non ab-biamo previsto che qualcuno tra i giovanipotesse desiderare di peggiorare anzichémigliorare la propria condizione sociale dipartenza! Il fatto è che dobbiamo smette-re di pensare in termini di peggioramento.Io parlerei di mutamento, senza attribuir-gli per forza un valore, positivo o negativoche sia”. La libertà di non studiare cita-ta nel sottotitolo, quindi, consiste nella li-

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bertà di scelta della scuola da parte deiragazzi, certamente guidati e orientati dafamiglie e insegnanti, ma pur sempre liberidi seguire le proprie inclinazioni, senza sot-tomettersi alla diffusa convenzione socialeche il lavoro manuale equivalga a igno-ranza. Come dice, a pag.263, l’immagi-nario padre architetto al figlio agricoltore“Fa’ quello che ti senti di fare, figlio mio,

ma che sia fatto bene!”.“Togliamo il disturbo” è molto più di questepoche righe, è analisi (anche divertente)della situazione di oggi e del passato checi ha portati qui, ma soprattutto è seriae concreta proposta per il futuro fatta dauna persona che sa cosa significa entrarein classe tutti i giorni.

Gabriella Pina

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