cap 1 elasticidad 156 168

8/16/2019 Cap 1 Elasticidad 156 168

1/22

Cuaderno de Actividades: Ondas y Termodinamica

1) ELASTICIDAD

Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo 156


2/22


1) ELASTICIDAD

1,1) Introducción

Cuerpos ← Deformables{Descripción adecuada}

→ Esfuerzo

→ Deformación

→ Módulos elásticos

Y

S

B

→ Régimen elástico

1.2) Esfuerzo y deformación

Exerimenta!mente"

Li ≡ L

A sección trans!ersal

Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo

L A

F

F

F

∆L

L

F

F

157


3/22


4/22


5/22


/ara pe0ue1as fuerzas % la cara de área A se desplaza relati!amente una

pe0ue1a distancia ∆2 3asta 0ue las fuerzas internas del cuerpo lograne0uilibrar dic3a fuerza&

La resistencia al desplazamiento ∆2 se describirá en base al modelo 4.

/

/

Esfuerzo de corte F AS

Deformación de corte x h≡ ≡

∆

→ Fh

S A x

≡

∆

iii) %odu!o $o!um/trico, 0

Describe la resistencia del material a deformaciones !olumétricas&


A

F 3

f

F ∆xh

xtg ∆=θ

h θ f

160


6/22


4upongamos 0ue el cubo de área A esta sometido a las fuerzas % sobre cadauna de sus caras& El cubo está sometido a comresión. el modulo !olumétrico

esta definido por.

4i esta presión. F

p A

≡ . se escribe como una !ariación

de presión. p∆ .

/ p B

V V ∆≡ − ∆


A

161

/ /

/ /

F A F A B

V V V V ≡ − ≡ −

∆ ∆


7/22


En estas condiciones se introduce el 56 5para obtener un 7 8 *&

Comresión ∆p 8 * ∧ ∆9 : *→ 7 8 *&

Di!atación o exansión ∆p : * ∧ ∆9 8 *→ 7 8 *&

&' Existirn otros módu!os e!sticos.

Eercicio 1"

13 Idea!

!,$*#

≡ *

; MR


8/22


; Deformación; CR; MR


9/22


Eercicio 2" La deformación causada a la barra de longitud L. 2. mediante laaplicación adecuada de la fuerza %. es decir. el trabaIo efectuado por % sobre el

sistema elástico. 0ueda almacenado como energJa potencial elástica en elsistemaK!eamos 0ue es asi.

Mostraremos 0ue en el sistema 0ueda almacenada energJa potencial elástica0ue puede e2presarse de esta manera.

,1

2

p e E F AL

u A L unidad de !oumen

≡ ×

Al aplicar la fuerza %. tal como muestra la figura. producirá una deformación 2.descrita por.

/

/

AY F A

x L x F Y

L

÷

≡ ≡→

De tal forma 0ue la fuerza del sistema será.

east

AY F x

L→ ≡ − {En todo momento la fuerza aplicada % es tan intensa como

la respuesta elástica del sistema. siempre 0ue el procesose realice mu" lentamente. estado cuasiestacionario}

A3ora. calculando el trabaIo de esta fuerza.


A

6% %

6L * 2 2

164


10/22


{ , , , , , , , ,e F

p e p e f p e i p e f p e " E E E E E ≡ −∆ ≡ − + ≡ − ≡ −

2

0 , ,0

1/

2

e L

F L

p e p e

AY AY " x dx x E E

L L

∆ ∆ ≡ − × ≡ − ≡ −∆ ≡ − ÷ ∫

2

,

1

2 p e

AY L E

L→ × × ∆ ≡

2

,

1

2 p e

A L E

L

Y → ∆ ≡

1

2

A→ ×

L

/ F A×

L∆ / L2 L

× ∆

, p e

E ≡

,

1

2 p e

F L E → ∆ ≡ 1

AL¬ ×

,1

2

p e E F Lu

AL AL

∆→ ≡ ≡

→ 1

2

F Lu

A L

∆ ≡ ÷ ÷

1

2 s e u≡

&' A!icaciones tecno!óicas de !a deformación de !os cueros en sustres fases nota#!es" e!stica, !stica y de rutura.



11/22


S1(17) 4e cuenta con una barra troncocónica maciza cu"a sección circular !arJa uniformemente a lo largo de su longitud L. entre los diámetros d " D& Los

e2tremos están suIetos a una fuerza a2ial %. determine la deformación unitariaó especJfica debido a dic3a fuerza&

S8L9CI8:"

De( )

2,

2 2

D d FL Fdx d L dL # x

YA Y # Lπ

−∆ ≡ → ≡ ≡ +

( ) ( )2 20

0

2 2

2

L

$

Fdx F dx FLdL L

Y Y dD D d D d Y d x d x

L L

π π π

≡ ≡→ ∆ ≡ ≡ − − + +

∫

1 4 4 4 2 4 4 43

? $ → ≡


d(, D(,% %

L

b(,

d(,

L

H

A$2# D(,

d(, " % * 2 A2 L

166


12/22


D d u d x

L

− ≡ + ÷

D d du dx

L

− ≡ ÷

( ) { 2

*

D

d

$

L du L $

D d u dD

→ ≡ ≡ − ∫

* 1 1 1 D

d $

u d D

→ ≡ − ≡ − ÷ ∫

02 FL

LY dDπ

→ ∆ ≡ → 2 L F

L Y dDπ

∆≡

S1(;)


13/22


m

Datos m'). l',. d'φ')*6?. Hacero ' ,)2 )*)*&

Del e0uilibrio en la !ertical.

...cos secT mg T mg θ α θ ≡ → ≡

H de la dinámica circular.

2

...' , 't

cp cp

! F Tsen ma m % sen % θ β θ ≡ ≡ ≡ ¬ ≡ ≡ + ∆

De N " O.

2

..t n .a'

t !mg m senθ

γ θ ≡

a) Del modulo de Houng.

2 22

4sec

2

FL T T Y Y T mg

LA Y d d

θ π π

≡ → ≡ → ∆ ≡ ¬ ≡∆ ∆ ÷

2 2

4 secmg

Y d

θ

π ∆ ≡

#) $periodo#'. con la condición 2

3

T mg π θ ≡ → ≡ $ tensión#

2( )T periodo

&

π ≡

La frecuencia angular la obtenemos de β.

2cp

F Tsen mθ ≡ ≡ g senθ m≡ ' senθ 2&



14/22


2 2'

'

g g & &

→ ≡ ¬ ≡ + ∆ → ≡

+ ∆

Con lo 0ue el 0ueda.

22

T

g π

+ ∆≡ 0,0242usando ∆ ≡ → 0,6T π ≡

S1(1) La barra mostrada. en la figura tiene las siguientes caracterJsticas peso

' . área trans!ersal ' A. longitud ' L " módulo de Houng ' H& 4i unapesa de peso , es colocado en la parte inferior. 3alle la deformaciónde la barra considerando la deformación por peso propio&

S8L9CI8:" /rimero determinaremos la deformación causada por el pesopropio de la barra. para lo cual tomamos un elemento de la barra de longitudinfinitesimal d2. como se muestra en la figura. sobre la cual act-a la fuerza$2#. es decir. la fuerza debido al peso del trozo de barra de longitud 2.


barra

L

,

X

dx

w(x)

x

0

w w(x)

169


15/22


( )&

& x x L

≡ ÷

Esta fuerza producirá un elemento de deformación dado por.

{ } { }

( )

( )

& x dx

& x dx FL

Y A

& L

d L xdx AY AY LAY L

÷

∆ ≡ ≡ ≡→≡ ∆

/ara calcular la deformación total integramos para toda la barra.

0 1

2

L &L L L

AY

& L xdx

LAY ∆ ≡ → ∆ ≡ ∆ ≡∫

A3ora. para la deformación total. consideramos la deformación 0ue produce lapesa ,.

2

(2 ) 2& L &L L

AY AY ∆ ≡ ≡

Con lo 0ue la deformación total es.1 2

2

2

&L &L L L L

AY AY ∆ ≡ ∆ + ∆ ≡ +

5

2

&L L

AY ∆ ≡



16/22


S1(4)


17/22


a) Determinamos L de la condición 1 2 L L L∆ ≡ ∆ ≡ ∆ & Mostramos DCL de cada!arilla en la dirección de interés " aplicamos la condición.

1 2 21

1 2

1 2 11 2 1

FL F L A Y L

AY

L L L L

AY A Y

∆ ≡ ≡ ∆ ≡ ∆ ≡ ≡→

Calculando.( ) 4

1 2 2

1 1

1, 40 1 10 L A Y L

AY

−×≡ ≡

( ) 1020 10×( )4

2 10−×( ) 1011 10×( )

1,27≡

1, 27 L ≡

#) Calculando los esfuerzos.

48

1 4

1

6,00 103 10

2,00 10 A

F s

A

F s

−

×≡ ≡ ≡ ×

×→≡ ∧


% ∆L) %

% ∆L %

172


18/22


48

2 4

2

6,00 106,00 10

1,00 10

F s

A −×

≡ ≡ ≡ ××

8 8

1 23 10 6 10 s s≡ × ∧ ≡ ×

c) Calculando las deformaciones.

s s

L L

L

s sLY L

Y

L

e≡ ≡

∆ ∆ ∆ ≡→≡

( ) ( )8

31 11 10

1

3 10 1, 403,81 10

11 10

s L L

Y

−×

∆ ≡ ≡ ≡ ××

( ) ( )8

32 22 10

2

6 10 1, 273,81 10

20 10 s L LY

−×∆ ≡ ≡ ≡ ××

3

1 2 3,81 10 L L −∆ ≡ ∆ ≡ ×

S1(14) 4i el esfuerzo de corte en el acero e2cede apro2imadamente ?.* 2 )* .el acero se rompe& Determine la fuerza de corte para. a) cortar unperno de acero de ) cm de diámetro. " #) 3acer un 3o"o de ) cm dediámetro en una planc3a de acero de *.>* cm de espesor&

S8L9CI8:"

a) Determinación de la fuerza de corte.

%



19/22

d


De la ecuación del esfuerzo de corte.

2

2

44

4

F s d s F

A

F F

d π

π ≡ → →≡ ≡≡

( ) ( ) 2

8 210 1 10

4

π −× ×

31,4 F 'N ≡

/or lo tanto. una fuerza ma"or 0ue % cortara al perno&

#) A3ora. determinamos la fuerza de corte para 3acer el 3o"o.

<

d

( )

F

d &

F s F s d &

A π π ≡ →≡ ≡

( ) ( ) ( )8 2 24 10 1 10 0,5 10 F π − −→ ≡ × × ×



20/22


21/22


Determinea) La deformación producida en la barra#) En donde se produce el esfuerzo má2imo

S8L9CI8:"

a) { } 2cpdF dF dm & r ≡ ≡

M

dm dr

L

≡

( )2 M&

dF r rdr L

≡

( )2

2 ! !2

cp

M& F r r dF

L≡ ≡∫

22

22

( )2

2

M&r dr

L M&Y dL r dr

AdL LAY

FLY

A L

→ ≡ → ≡≡

∆

22

0 0 2

L L M& L dL r dr

LAY → ∆ ≡ ≡∫ ∫


L.M

dm

dc r dr S

176


22/22


→ 2 2

6

M& L L

AY ∆ ≡

b) De

22

222( )

2

M& r F M& L s r r A A LA

= ≡ ≡ .

por lo tanto. en r'L.

2

( )2

M& L s L

A≡

cap 1 elasticidad 156 168

Documents