cap-1 senales continuas
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Señales Continuas, AnalisisTRANSCRIPT
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Anlisis de Seales y Sistemas Hector Pea M. EIE-UCV
SECCION 1
ANALISIS DE SEALES
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Seales 1CONTENIDO:1.-Seales de tiempo continuo
Definicin,escaln,rampa,impulso,seales peridicas2.-Seales de tiempo discreto
Definicin,muestreo,escaln,rampa,pulso,seales peridicas de tiempo discreto,seales digitales
3.-ConvolucinPropiedades, Convolucin de seales de tiempo continuo y de tiempo discreto
4.-Series y Transformada de Fourier (tiempo continuo y discreto)Representacin en componentes de frecuencia, forma exponencial compleja, Espectro de frecuencia, Seales peridicas, Serie trigonomtrica, Fenmeno Gibbs, Teorema de Parseval, Transformada Inversa
5.-Transformada de LaplacePropiedades, Inversa, Relacin con Fourier
6.- Transformada Z
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Seales 2
CAPITULO 1SEALES DE TIEMPO CONTNUO
Definicin: Una seal se dice de tiempo continuo o seal anloga cuando la variable tiempo t toma sus valores del conjunto de nmeros reales
Ejemplos de seales de tiempo continuo1.1-Funcin Escaln Unitario:
==
-
0 real )()(
0 0)(
KdK
ttK
K(t)
0
(K)
t
-
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La notacin (K), en la figura, se refiere al rea del impulso.
1.4-Seales Peridicas
Sea T un nmero real positivo fijo. Una seal de tiempo continuo x(t) se dice peridica de perodo T si
(1.1)
Note que si x(t) es peridica, con perodo T, entonces tambin lo es con periodo qT, con q cualquier entero positivo.
=+ ttxTtx t, )()(
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El perodo fundamental es el menor valor positivo T para el cual se cumple la igualdad (1.1). Un ejemplo de seal peridica es la sinusoide:
(1.2)
Donde A es la amplitud, es la frecuencia angular en radianes por segundo (rad/s) y es la fase en radianes. La frecuencia, f, en ciclos por segundo, hertz, Hz, viene dada como:
+= ttAtx ,)cos()(
T2f 1==
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Para comprobar que la sinusoide es peridica, observe que para cualquier valor de la variable tiempo t, se verifica que:
luego la sinusoide es peridica con perodo y que adems este es el perodo fundamental.
)cos()2cos(2cos +=++=
+
+ tAtAtA
2
t
A
22+
22
2
2+
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Si =-/2 entonces :
Una situacin importante para anlisis de seales es :la suma de dos seales peridicas es una seal peridica ?
Sean x1(t) y x2(t) seales peridicas con periodos fundamentales T1 y T2 respectivamente. La suma serperidica?. Es decir existe T tal que
? (1.3)
tAsentA =+ )cos(
ttxtxTtxTtx +=+++ )()()()( 2121
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La relacin (1.3) es satisfecha si y slo si la razn T1/T2puede escribirse como la relacin q/r de dos enteros q y r. DEMUESTRE !!!!!. qu sucede si q y r son coprimos?
1.5-Seal desplazada en el tiempo
Si t1 es un nmero positivo real, la seal x(t-t1) es nada mas que la seal x1(t) desplazada a la derecha en t1unidades de tiempo. x(t+t1) es la seal desplazada a la izquierda.
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Suponga x(t)=s(t-t1) con t1=2 seg., entonces obtenemos:
t
S(t-2)
1
2
t
S(t+2)
1
-2
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Se comprueba que:
t s(t-2) valor0 s(-2) 0
1 s(-1) 0
2 s(0) 1 etc..
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Para un impulso K(t) y para cualquier numero fijo, positivo o negativo, t1, el desplazamiento temporal K(t-t1) del impulso es igual al impulso de rea K localizado en t=t1. Es decir
Esta caracterstica permite definir la propiedad de desplazamiento del impulso unitario:
f(t) continua en t1y real
+
>=
=
1
1
0 )(
0)(
1
11t
t
KdtK
ttttK
+
>=
1
1
0 )()()( 11t
t
tfdtf
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1.6-Seales Continuas y Continuas por trazos
Una seal de tiempo continuo x(t) es continua en un punto t1 si Donde los nmeros:
son positivos e infinitesimal. Si la seal x(t) es continua para todo t, se habla de seal continua.
De no verificarse lo anterior se habla de una seal discontinua.
OBSERVEN QUE SE HABLA DE SEAL DE TIEMPO CONTINUO QUE ADEMAS ES CONTINUA (como funcin de t)
)()()( 111+ == txtxtx
1111 y tttt +
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Por ejemplo, la seal escaln es una seal de tiempo continuo, sin embargo no es una seal continua, porque no esta definida para todo tiempo.
Un ejemplo de seal continua: (pulso triangular)
12 +t12 + t
1
t-/2 /20
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Una seal continua es continua por trazos si es continua para todo t con excepcin de una coleccin finita de puntos ti , i=1,2,3...Un ejemplo es el tren de pulsos:
0123 1 2 3
t
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1.7-Derivada de una seal de tiempo continuoUna seal x(t) de tiempo continuo se dice
diferenciable en un punto fijo t1 si se cumple que:
Es evidente que se hace necesario (aunque no suficiente en general, que x(t) debe ser continua en t=t1.
Para una seal continua por trazos se habla de una derivada generalizada, definida como:
htxhtx
dttdx
htt
)()()( 110
lim1
+==
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Si x(t) es una seal de tiempo continuo, y adems continua por partes, su derivada generalizada se expresa como:
Observemos que se compone de la derivada ordinaria (exceptuando t=t1) y de un impulso en t=t1 con amplitud igual al salto de la discontinuidad.
[ ] )()()()()( 111 tttxtxdt tdxdt tdx G += +
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Veamos unos ejemplos:1.- Derivada generalizada de un escaln K
Si K=1, se hace evidente que la derivada generalizada de un escaln unitario es un impulso unitario.
2.- Derivada generalizada de un seal continua por trazos
Considere x(t) definida como:
[ ] )()0()0()0()( tKtssKdt
tdsG
== +
totro todo3t22t11t0
03t-
112
)(
-
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El grfico de la funcin es entonces:
01 2 3 4
1
2
3
)(tx
t
12 +t
3+ t0
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La derivada generalizada ser:Para el intervalo (0,1) exceptuando 0 y 1 es
Para el intervalo (1,2) exceptuando 1 y 2 es
Para el intervalo (2,3) exceptuando 2 y 3 es
Para el intervalo (todo otro tiempo)
[ ])1()(2 tsts
0
[ ])3()2( tsts0
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Entonces la derivada ordinaria es
En consecuencia la derivada generalizada viene dada como:
Que puede simplificarse como:
[ ] [ ])3()2()1()(2)( = tstststsdt
tdx
[ ] [ ] [ ][ ] )1()1()1( )()0()0()3()2()1()(2 + + ++
txxtxxtstststs
[ ] [ ] )1(2)()3()2()1()(2 + tttstststs
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Entonces la derivada generalizada se obtiene como:
)1(
1
2
1 )2(
1
2 3 4
t
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1.8-Seales definidas por intervalosSeales de tiempo continuo son generalmente
definidas intervalo por intervalo. Ejemplo:Sea:
Cualquier funcin de este tipo puede ser representada en trminos de un escaln s(t) y sus desplazamientos. Es decir:
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Rearreglando se obtiene:
De (1.5) se desprende que x(t) puede expresarse como:
Donde:
[ ][ ] (1.5) t t)()(
)()()()()()(
1323
21211
++=
) s(t-ttxtxttstxtxttstxtx
(1.6) )()()()()()()( 1332211 ttttstfttstfttstftx ++=
)()()()(
)(
)()()(
23
12
1
3
2
1
txtxtxtx
tx
tftftf
===
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Por otra parte, suponga ahora que x(t) esta dado en la forma de (1.6) para algunas funciones f1(t), f2(t), f3(t). Entonces
Que tambin podemos escribir como:
)7.1( )()()(
)()()(
)(
3
22
21
321
21
1
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totro todo3t22t11t0
03t-
112
)(