Capitolul-10

GENERAREA SUPRAFEŢELOR

In acest capitol vor fi caracterizate analitic suprafeţele care se obţin prin deplasarea unei curbe ,numită generatoare, supusă anumitor restricţii geometrice (contact cu o curbă dată sau tangenţa la o suprafaţă dată ).

Dacă familia de curbe depinde de un parametru, adică

, R

(1) atunci suprafaţa pe care o descrie această familie de curbe, pentru R , se obţine eliminînd parametrul între cele două ecuaţii.

Dacă familia de curbe din spaţiu depinde de doi parametrii,adică

, R

(2)şi curbele acestei familii sunt supuse restricţiei de a avea contact cu o curbă dată, numită curbă directoare, dată de ecuaţiile:

(3)

atunci condiţia geometrică de contact a generatoarelor cu curba directoare este echivalentă cu compatibilitatea sistemului

(4)

Eliminînd nedeterminatele x,y,z între ecuaţiile sistemului (4) obţinem condiţia, numită condiţia de compatibilitate:

(5) Eliminînd şi între ecuaţiile (2) şi (5) obţinem ecuaţia suprafeţei

() : (6)

Dacă generatoarele suprafeţei sunt drepte, atunci suprafaţa va fi numită suprafaă riglată. Planul,cilindri, conurile, hiperboloidul cu o pânză, paraboloidul hiperbolic sunt suprafeţe riglate.

1

§1. Suprafeţe cilindrice

1.1 Definiţie. Se numeşte suprafaţă cilindrică, suprafaţa E3

generată de o dreaptă având direcţia fixă, supusă unei restricţii geometrice.

Să considerăm direcţia dată de dreapta determinată de intersecţia planelor: 1 =0 şi 2=0, adică

(1.1)

Ecuaţiile generatoarei suprafeţei cilindrice (o dreaptă paralelă cu d )sunt date de :

(1.2)

Dacă luăm drept curbă directoare, curba

(1.3)determinăm mulţimea dreptelor din familia , care sunt în contact cu curba directoare (), impunînd condiţia de compatibilitate a sistemilui:

(1.4)Sistemul S este compatibil dacă şi numai dacă avem satisfăcută condiţia de compatibilitate , obţinută prin eliminarea nedeterminatelor x, y, z între ecuaţiile sistemului S .

Ecuaţia suprafeţei cilindrice se obţine înlocuind în condiţia de compabilitate pe şi din sistemul (1.2) , adică

(1,2)=0 (1.5)Observaţii: 1o Dacă direcţia este dată de parametrii directori l, m, n, atunci o dreaptă oarecare în spaţiu cu această direcţie este caracterizată de ecuaţiile: X = x + l t, Y = y + m t, Z = z + n t , iar punctele acestor drepte care sunt situate pe curba directoare trabuie să satisfacă sistemul de ecuaţii:

2

(1.6)

Ecuaţia suprafeţei cilindrice se obţine eliminînd parametrul tR în sistemul (1.6).

2o Dacă restricţia geometrică înseamnă tangenţa dreptelor familiei (d) la suprafaţa F(x,y,z) = 0, atunci relaţia de compatibilitate se obţine impunând condiţia ca sistemul format din ecuaţiile generatoarei şi ecuaţia suprafeţei să aibă soluţie unică (condiţia de tangenţă) .

§2. Suprafeţe conice

2.1 Definiţie. Se numeşte suprafaţă conică, suprafaţa E3 generată de o dreaptă printr-un punct fix (numit vârf), supusă unei restricţii geometrice.

Fie punctul fix V(xo,yo,zo) şi o dreaptă oarecare (d) prin punctul Vscrisă sub forma:

(2.1)Impunând ca această dreaptă să satisfacă condiţia suplimentară impusă, obţinem condiţia de compatibilitate

(,) = 0 ( 2.2)

Eliminând parametrii şi între ecuaţiile (2.1) şi (2.2) se obţine ecuaţia suprafeţei conice dat

(2.3)Observaţie. Ecuaţia conului , făcând abstracţie de o translaţie, reprezintă o ecuaţie algebrică de gradul al doilea omogenă în x,y,z .

§3. Conoizi cu plan director

3.1 Definiţie. Se numeşte conoid cu plan director, suprafaţa E3

generată de o dreaptă paralelă cu un plan dat (plan ditrector), se sprijină pe o dreaptă dată şi este supusă

3

altei restricţii geometrice.

Să considerăm planul director dat de ecuaţia = 0 , dreapta (d) dată de intersecţia planelor P = 0 şi Q = 0 şi să impunem ca generatoarea acestei suprafeţe să intersecteze curba () : F (x,y,z) = 0 , G(x,y,z) = 0 .

Dacă scriem generatoarea conoidului cu plan director sub forma

( ): (3.1)

şi impunem condiţia de contact a generatoarei cu curba () obţinem condiţia de compatibilitate (,) = 0 . Inlocuind şi din ecuaţiile (1.10) se obţine ecuaţia conoidului cu plan director.

§4. Suprafeţe de rotaţie

4.1 Definiţie. Se numeşte suprafaţă de rotaţie suprafaţa E3, generată de o curbă care se roteşte în jurul unei drepte date (axă de rotaţie).

Fie curba

()

(4.1)şi axa de rotaţie dată de dreapta

(d) (4.2)

Cum fiecare punct al curbei () descrie un cerc situat într-un planperpendicular pa axa de rotaţie, suprafaţa de rotaţie poate fi gândită ca fiind suprafaţa generată de cercurile cu centrul pe dreapta (d) situate în plane perpendiculare pe aceasta şi care se intersectează cu curba () . Cercurile perpendiculare pe dreapta (d), cu centrul pe această dreapta pot fi determinate de intersecţia unui plan perpendicular pe dreaptă şi o sferă de rază variabilă cu centrul într-un punct al dreptei, adică :

(4.3)

Impunînd condiţia ca dreptele (d) să se intersecteze cu curba (),adică sistemul format de eciaţiile (4.1) şi (4.3) să fie compatibil , se obţine

4

condiţia de compatibilitate (,) = 0 . Inlocuind şi din ecuaţiile (4.3) se obţine ecuaţia suprafeţei de rotaţie dorită.

5