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Cap. 10. Interiores Estelares.Transporte de energia: convecção.
Modelos estelares.A Sequência Principal
AGA 0293, Astrofísica Estelar
Jorge Meléndez
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Equações básicas do interior estelar
Equilíbrio hidrostático
Conservação de massa
Gradiente de luminosidade
Gradiente radiativo de temperatura
= ??? Gradiente convectivo de temperatura
ou
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Transporte de energia: convecçãoA convecção é 3D: hidrodinâmica. Devido a limitações, os modelos estelares são 1D (dependem só de raio r) e o tratamento da convecção é simplificado.
Granule
Rising gas Sinking gas
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Altura de escala da variação da pressão HP
Definição:
Para r = Hp P = P0 e –1 = P0 / e
ln P = – r / HP
Considerando HP constante:
Adotando P = P0 para r = 0:
A altura de escala é a distância para uma quantidade diminuir por um fator de e
→ dP/P = – dr/HP
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Altura de escala da variação da pressão HP
Definição:
Lembrando que
dP/dr = – g
HP = P/g
1/HP = (–1/P)(– g)
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Exemplo 10.4.1. Estimar o valor da altura de escala de pressão (HP) no Sol. Usar uma pressão
média = PC/2 e usar a densidade média do Sol.
HP = P/g
Cálculos mais detalhados mostram:
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Primeira lei da termodinâmica
Mudança da energia interna de um
elemento de massa
Energia térmica recebida (calor acrescentado)
Energia cedida pelo elemento ao entorno na forma de trabalho
No texto, as mudanças da energia acima são por unidade de massa
dU = dQ - dW
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Primeira lei da termodinâmica:
As mudanças da energia acima são por unidade de massa
dU = dQ - dW
Gás:m, P
Gás:m, P
A
Força pelo gás: F = P Adr
Pis
tão Trabalho pelo gás = F dr
Trabalho por unidade de massa: dW = F dr/m
dW = PA dr/m= PdVV: volume específico
(volume/massa) ou V = 1/
dU = dQ - PdV
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Energia interna para um gás ideal monoatômico neutro (sem ionização)
Energia total interna por unidade de massa é:
U = (energia média/partícula) x (número de partículas/massa)
é a massa média de uma partícula no gás
onde
Para um gás ideal:
A energia interna:
n: número de moles por unidade de massaR = 8,314472 J mole-1 K-1 (cte. univ. gases)
1 mole = NA partículas, NA = 6,02214199x1023
(número de Avogadro)
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Calores específicosA mudança de calor é expressada em termos do calor específico C (quantidade de calor requerida para elevar a temperatura de uma unidade de massa de material por intervalo de unidade de temperatura):
Calor específico a pressão constante
Calor específico a volume constante
Para um gás ideal monoatômico:
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razão dos calores específicos a pressão e volume constantes
Definição do parâmetro :
Gás neutro ou completamente ionizado monoatômico: = 5/3 = 1,67
Gás diatômico: = 7/5 = 1,40
Gás poliatômico: = 4/3 = 1,33
Ionização acontecendo ~ 1
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Mudança da energia interna dU em função do calor específico CV
Primeira lei da termodinâmica: dU = dQ - PdV A volume constante: dU = dQ
dU = CV dT
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Lei do gás adiabático
Processo adiabático:
Primeira lei da termodinâmica:
dU = – PdV
dQ = 0
dU = dQ – PdV
Lembrando dU = CV dT
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Gás adiabático:
PV = nRTLei do gás ideal:
Diferenciando: PdV + V dP = RT dn + nR dT
Para n = cte: PdV + V dP = nR dT
CV P dV + CV V dP = -nR PdV
dV P (CV +nR) = -CV V dP
dV P CP = -CV V dPFator comum dV P
Lembrando que para um gás ideal:
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Gás ideal: dV P CP = – CV V dP
Lembrando a definição do parâmetro :
dV P = – V dP
Lei do gás adiabático
dV/V = – dP/P
PV = KResolvendo, temos a lei do gás adiabático: K: constante
lnV = lnP -1
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O é chamado de “ adiabático” e define as simples equações de estado acima
Lei do gás adiabático
PV = K
K: constante
PV = nRTLei do gás ideal:
P=K’T K’: constante
P P V = K P
(nRT) = K P
T (n R / K ) = P
T (n R / K )1/( = P
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Velocidade do som adiabática:
Exemplo 10.4.2. Estimar a velocidade adiabática no interior do Sol.Usar uma pressão média = PC/2, densidade média do
Sol, e considerar gás monoatômico neutro ( = 5/3)
Tempo para onda de som atravessar o Sol:
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Gradiente de temperatura adiabático
Para estudar a convecção, consideremos uma bolha que sobe e se expande adiabaticamente (dQ = 0)
Qual o gradiente de temperatura dT/dr?
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V: volume específico (volume/massa), V = 1/
PV = K
P= K
Diferenciando: dP/dr = K d/drdP/dr = K d/dr
Como P = K
Gradiente de temperatura adiabático
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Gradiente de temperatura adiabático
Diferenciando:
Gás ideal:
Considerando constante:
Como:
Gradiente de temperatura adiabático:
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Gradiente de temperatura adiabático
Usando a eq. de equilíbrio hidrostático:
e a lei do gás ideal:
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Critério para convecção estelar
i: inicial
f: final
s: entorno b: bolha
Se a densidade final da bolha b for menor que no entorno s convecção
Se a densidade final da bolha b for maior que no entorno s estável
f(b) >
f(s)
f(b) <
f(s)
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Critério para convecção estelar
Usando uma expansão de Taylor para determinar a densidade final da bolha b e do entorno s:
Supondo densidade inicial similar na bolha e no entorno:
e
f(b) <
f(s)
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Critério para convecção estelaract: actualQuer dizer o
gradiente real de
temperatura O termo da esquerda é o gradiente de temperatura adiabático:
Como T diminui com o aumento do raio (dT/dr < 0), no valor absoluto a desigualdade é revertida: Se o gradiente de temperatura for
super-adiabático convecção
É possível demonstrar:
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Critério para convecção estelarOutras formas de escrever o critério de convecção:
Considerando um gás monoatômico ( = 5/3) /(-1) = 5/3 / (5/3 – 3/3) = 5/3 / (2/3) = 5/2 = 2,5.
Gás monoatômico convecção: d ln P / d ln T < 2,5
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Gradiente adiabático de TGradiente radiativo de T
Convecção:1) Opacidade alta2) Regiões onde acontece ionização ( pequeno ~ 1)3) Dependência muito forte da geração de energia com T
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Convecção: a aproximação do comprimento de mistura
percurso da bolha convectiva até ficar termalizada
HP: escala
de pressão
Parâmetro livre :
Comparação entre modelos e observações, 0,5 < < 3
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Fluxo convectivo
=
Se todo o fluxo for carregado pela convecção:
: entra na velocidade média convectiva; 0 < < 1Diferença no
gradiente de temperatura:
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Exemplo 10.4.3. Estimar o gradiente de temperatura adiabático e a velocidade convectiva na base da zona convectiva. Usar = 1, = ½
Usando:
Usando:
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10.5 Modelos estelares
Equilíbrio hidrostático
Conservação de massa
Gradiente de luminosidade
Gradiente radiativo de temperatura
Gradiente convectivo de temperatura
ou
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Relações constitutivas
Aproximadamente gás ideal+ pressão de radiação
Interpolado em tabelas. Formulas aproximadas para opacidade do contínuo
Por exemplo:
Calculo mais sofisticado: usando cadeias de reação para cada isótopo
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Condições de contorno
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Teorema de Vogt-RussellA massa e composição da estrela determinam seu raio, luminosidade e estrutura interna, assim como a sua evolução.
Gêmeas solares são estrelas da sequência principal com massa e composição química similares ao Sol. Como elas seguem o mesmo caminho evolutivo que o Sol, podemos usar gêmeas solares de várias idades para estudar o passado e futuro do Sol
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Modelagem numérica
Código StatStar: modelo estelar simples baseado no material do livro (apêndice L)
Link:
http://wps.aw.com/aw_carroll_ostlie_astro_2e/48/12319/3153834.cw/index.html
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Código livre mais completo para estudo da estrutura e evolução das estrelas: MESA
http://mesa.sourceforge.net
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• 70% massa de H (X ~ 0.7), metais < 3% (Z = 0 – 0,03); o resto é He (Y ~ 0,3)
• Supor composição inicial homogênea
• Quais as reações nucleares inicialmente favorecidas? p-p: baixa massa, CNO: alta massa
• Limite aproximado para uma estrela:
0,08 < M < 90
A sequência principal
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Limite de luminosidade de Eddington
Qual a máxima luminosidade para manter a estrela em equilíbrio?
Em alguns casos a pressão de radiação pode dominar sobre a pressão do gás
Importante em estrelas massivas
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A sequência principal
M ~ 0,1 - 102 Msol
L ~ 5x10-4 a 106 Lsol
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Teff
= 2000 – 40 000 K na sequência principal
M K G F A B O
(c) Bruna Barroso Gomes
Tem
per
atu
ra [
K]
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Sem Provinha?