cap 1.3.2 functia de transfer a elementelor si sistemelor automate.pdf
DESCRIPTION
functia de transer a elementelor si sistemelor automateTRANSCRIPT
1.3.2. FUNCTIA DE TRANSFER A ELEMENTELOR SI
SISTEMELOR AUTOMATE
Pentru sistemul descris de o ecuatie de forma
ady
dtb
dy
dti
i
ii
n
jj o
m j
j⋅ = ⋅
= =∑ ∑
0
prin aplicarea transformatei Laplace si a proprietatilor acesteia (vezi anexa) atât
membrului drept cât si membrului stâng se obtine:
−=
− ∑∑∑ ∑
−
=
−−
==
−
=
−−1j
0k
k)0(
k1jjm
0j
jn
oi
k)0(
1i
0k
k1iii us)s(Usbys)s(Ysa (1.12)
unde yd y
dtk
k
k t( )0 0= = si u d u
dtk
k
k t( )0 0= =
Pentru cazul in care conditiile initiale ale functiilor y(t) si u(t) si ale derivatelor lor
sunt nule, atunci expresia generala a iesirii unui sistem de ordinul n este:
Y s
b s
a s
U sj
j
j
m
ii
i
n( ) ( )= ⋅=
=
∑
∑
0
0
(1.13)
Prin definitie raportul intre variabila Y(s) si U(s), in conditii initiale nule, este
denumit functie de transfer.
H(s) = Y s
U s
( )
( ) (1.14)
Functia de transfer pentru un sistem de ordinul intâi, tinând seama de definitia
acesteia si de relatia (1.4) are forma:
H sK
Ts( ) =
+0
1 (1.15)
iar pentru sistemul de ordinul doi, tinând seama de (1.7) este:
H sK
s sn
n n
( ) =+ +
02
2 22
ω
ξω ω (1.16)
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com
Pentru diferite elemente componente ale unui sistem automat, functiile de transfer
deduse, pornind de la ecuatiile diferentiale ale acestora, au expresiile conform tabelului
1.1.
Tabel 1.1.
Nr.crt. Tipul elementului EcuaTia diferenTiala FuncTia de transfer
0 1 2 3
1 Element proportional y t K u tp( ) ( )= ⋅ H(s) = Kp
2 Element derivativ y t Kdu t
dtd( )
( )= H(s) = Kds
3 Element integrator dy
dtK u ti= ( ) H s
K
si( ) =
4Element de intârziere de
ordinul intâiT
dy
dt+y = K1u(t) H(s) =
K
Ts1
1+
5Element de anticipatie de
ordinul intâiy(t) = Kpu(t) + Kd
du
dtH(s) = Kp + Kds
6Element proportional
integraly(t) = Kpu(t) + Ki udt
t
0∫ H(s) = Kp +
K
si
0 1 2 3
7Element proportional
integral diferential
y(t) = Kpu(t) + Ki udtt
0∫ +
Kddu
dt
H(s) = Kp + K
si + Kds
8 Element de intârziere de
ordinul doiT
d y
dtT
dy
dty K u t2
2
22
2⋅ + ⋅ + = ⋅ξ ( ) H(s) =
K
T s + 2 Ts +12
2 2 ξ
9 Element de anticipatie de
ordinul doiy t T
d u
dtT
du
dtu t( ) ( )= ⋅ + ⋅ +2
2
22ξ H(s) =T2s2 + 2ξTs + 1
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com
Conform tabelului 1.1.si relatiei generale a functiei de transfer a unui sistem de
ordinul n
H(s) = b s
a s
B s
A s
jj
j
m
ii
i
n
=
=
∑
∑=0
0
( )
( ) (1.17)
ecuatiile diferentiale sunt exprimate in domeniul complex prin intermediul unor
polinoame sau rapoarte de polinoame in S.
Functia de transfer poate fi scrisa si sub forma
H(s) = b
a
s z
s p
m
n
ii
m
k
n⋅
+
+
∏
∏
( )
( )1
(1.18)
unde zi si pk reprezinta zerourile si polii reali ai celor doua polinoame.
Daca notam Ti = 1
zi
si Tk = 1
pk
expresia functiei de transfer devine:
H(s) = K ⋅+
+
∏
∏
( )
( )
Ts
T s
i
m
ki
n
1
1
1 (1.19)
unde K = b
a
z
p
m
n
i
m
k
n⋅∏
∏1
1
reprezinta coeficientul de transfer al sistemului.
Functia de transfer poate fi pusa si sub forma:
H(s) = K
S
P s
P s
K
SG s
α α⋅ =1
2
( )
( )( ) (1.20)
unde α este numarul polilor in origine ai functiei de transfer, iar polinoamele P1(s) si
P2(s) au ultimul termen egal cu unitatea. Coeficientul de transfer in acest caz, este dat de
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com
relaTia: K = b
ai
0 unde ai poate fi a0, a1, a2, . . . in functie de numarul de poli in origine ai
functiei de transfer.
Functia de transfer are urmatoarele proprietati:
1. Functia de transfer a unui sistem reprezinta transformata Laplace a raspunsului
sistemului la impuls unitar δ(t) aplicat la intrare:
H(s) = [ ] )s(Y)t(
)s(Y)s(U)s(Y
=δ
=L
y(t)=w(t)=L-1[H(s)]=L-1[Y(s)]
unde w(t) poarta denumirea de raspuns pondere.
2. Functia de transfer se obtine din ecuatia diferentiala a a sistemului prin aplicarea
transformatei Laplace acestei ecuatii si neglijând toti termenii care apar datorita
conditiilor initiale.
3. Ecuatia diferentiala a sistemului poate fi obtinuta din functia de transfer prin
inlocuirea variabilei s cu operatorul D = d/dt.
4. Numitorul functiei de transfer egalat cu zero reprezinta ecuatia caracteristica a
sistemului.
5.Radacinile numitorului sunt polii sistemului iar radacinile numaratorului sunt
zerourile sistemului. Aceste singularitati care determina raspunsul sistemului se obtin
prin rezolvarea ecuatiilor:
a sii
i
n
==∑ 0
0
; b sjj
j
m
==∑ 0
0
(1.21)
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com