cap 2 conjuntos

Moisés Villena Muñoz Conjuntos

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DEFINICIÓNNOTACIÓNCARDINALIDADREPRESENTACIÓN GRÁFICAIGUALDADSUBCONJUNTOSOPERACIONESALGEBRA DE CONJUNTOSCONJUNTO REFERENCIALPROBLEMAS DE CARDINALIDAD

La idea de conjunto está manifiesta de una u otra forma en nuestro cotidiano vivir. Por ejemplo, cuando nos referimos a la especie que pertenecemos, a la sociedad donde vivimos, a la universidad en la cual estamos inscritos, a la carrera que vamos a cursar, ...

Más aún, los problemas matemáticos se solucionan referidos a conjuntos.


OBJETIVOS:

SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE: Defina conjunto. Clasifique y categorice conjuntos. Obtenga subconjuntos de un conjunto finito dado. Obtenga conjunto potencia. Opere conjuntos. Determine formas equivalentes de representación de conjuntos con regiones sombreadas en un diagrama de Venn. Resuelva problemas planteando conjuntos.

2.1 DEFINICIÓN

Un CONJUNTO es una agrupación bien definida de objetos llamados elementos.

2.2 NOTACIÓN

Para denotar a un conjunto usualmente se emplean las primeras letras del abecedario, en mayúscula.

Podemos referirnos a un conjunto indicando cada uno de sus elementos.

EjemploSi queremos referirnos al conjunto de las vocales, se lo puede hacer nombrando a cada vocal, es decir:

Esta manera de referirnos a los conjuntos se denomina por extensión o tabulación.

También podemos referirnos a un conjunto indicando las características de sus elementos.

EjemploPodemos referirnos al conjunto de las vocales de esta otra forma:

Esta otra forma de referirnos a un conjunto se denomina por comprensión.

Esto último se hace necesario cuando un conjunto tiene muchos elementos.

Ejemplo

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Si queremos referirnos al conjunto de los números reales, es mejor hacerlo por comprensión, es decir:

Para decir que un elemento pertenece a un conjunto empleamos el símbolo .

Ejemplo

Para decir que la vocal pertenece al conjunto , lo haremos así:

2.3 CARDINALIDAD

Para denotar al número de elementos de un conjunto , se emplea la simbología

EjemploPara los dos ejemplos anteriores, tenemos:

; donde el símbolo (Infinito) denota una cantidad muy grande.

De aquí surgen las siguientes definiciones:

Sea un conjunto. Entonces:1. es un CONJUNTO FINITO si tiene una

cantidad determinada (contable) de elementos. Tiene principio y tiene fin.

2. es un CONJUNTO INFINITO si tiene una cantidad indeterminada (no contable) de elementos. Tiene principio y no tiene fin.

3. Si tiene un sólo elemento se lo llama CONJUNTO UNITARIO.

4. Si no tiene elemento, se dice que es el CONJUNTO VACÍO. Para este caso se emplea la notación: .

30


2.4 REPRESENTACIÓN GRÁFICA

A los conjuntos se los suele representar gráficamente mediante los llamados DIAGRAMA DE VENN.

Generalmente son círculos, aunque también se puede emplear cualquier otra figura geométrica.

2.5 IGUALDAD

Sean y dos conjuntos. Entonces sí y solo sí tienen los mismos elementos. Es decir:

Gráficamente, tenemos:

2.5.1 CONJUNTOS DISYUNTOS.

Dos conjuntos y son DISYUNTOS si y sólo si, no tienen elementos en común. Es decir, son conjuntos diferentes,

Gráficamente tenemos:

31

A

A B

BAx


2.6 SUBCONJUNTOS

Sean y dos conjuntos. Se dice que es SUBCONJUNTO de sí y sólo sí los elementos de están contenidos en . Es decir:


Puede ocurrir lo contrario.

Suponga que los elementos de estén contenidos en , en este caso se dice que

es SUBCONJUNTO de . Es decir:


Si se cumple que , se dice que es SUBCONJUNTO PROPIO de . Y se escribe .

Además se cumple que, para cualquier conjunto :

En este caso a los conjunto y se los denomina SUBCONJUNTO NO PROPIOS.

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BA

x

B

Ax


Bien, ahora en el siguiente ejemplo se ilustra la técnica de búsqueda de todos los subconjuntos de un conjunto dado.

Ejemplo

Sea el conjunto , entonces todos los conjuntos que se pueden formar con los elementos de , serían: con cada elemento

con dos elementos

con tres elementos (ya es el conjunto

)

y obviamente

Note que: , y que el número total de subconjuntos es . Entonces la regla para el número total de subconjuntos de un conjunto

, sería:

2.6.1 CONJUNTO POTENCIA

Sea un conjunto. Entonces el CONJUNTO POTENCIA de , denotado por , es el conjunto que tiene como elementos a todos los subconjuntos de .

EjemploPara el caso anterior tenemos que:

Observe que es correcto decir que:

El NÚMERO DE ELEMENTOS DEL CONJUNTO POTENCIA de un conjunto está dado por:

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CANTIDAD DE SUBCONJUNTOS

)(2 AN


Ejemplo 2

Sea el conjunto . Hallar .

SOLUCIÓN: Hallemos todos los subconjuntos del conjunto .

entonces

Ejercicios Propuestos 2.1

1. Sea el conjunto entonces el CONJUNTO POTENCIA de , es:

a) b)

c) d)

e)

2. Sea el conjunto , entonces es VERDAD que:

a) b) c) d) e)

3. Dados los conjuntos y . Determine ¿cuál de las

siguientes proposiciones es FALSA?

a) b) c)

d) e)

2.7 OPERACIONES

Los conjuntos pueden ser operados, dando a lugar nuevos conjuntos.

2.7.1 INTERSECCIÓN

Sean y dos conjuntos. Entonces la INTERSECCIÓN de con , denotada por

, es el conjunto constituido por los elementos comunes tanto a como a . Es decir:


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Para tres conjuntos sería:

Para otros casos tenemos:

2.7.2 UNIÓN

Sean y dos conjuntos. Entonces la UNIÓN de con , denotada por , es el conjunto constituido por elementos que pertenecen al conjunto o al conjunto o a ambos. Es decir:


35

BBA ABA BA


36


La unión de tres conjuntos sería:

Observe que se podría decir que:

y que

Para otros casos tenemos:

2.7.3 DIFERENCIA

Sean y dos conjuntos. Entonces la DIFERENCIA de con , denotada por , es el conjunto constituido por elementos que pertenecen al conjunto y no pertenecen al conjunto . Es decir:

37

ABA BBA BA


En cambio,

La DIFERENCIA de con , denotada por , es el conjunto constituido por

elementos que pertenecen al conjunto y no pertenecen al conjunto . Es decir:

2.7.4 DIFERENCIA SIMÉTRICA

La DIFERENCIA SIMÉTRICA de con , denotado por se define como

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Conjunto formado por los elementos sólo del conjunto .

Conjunto formado por los elementos sólo del conjunto .


Ejemplo

Sean los conjuntos y entonces

el conjunto menos los elementos del conjunto .

el conjunto menos los elementos del conjunto .

2.8 ALGEBRA DE CONJUNTOS

Las operaciones entre conjuntos cumplen ciertas propiedades.

UNION INTERSECCIÓN

Conmutatividad Asociatividad

Identidad

AbsorciónPropiedades distributivas

(OPCIONAL)Ejercicio Propuesto 2.2Demuestre las propiedades anteriores.

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2.9 CONJUNTO REFERENCIAL

En muchas ocasiones un conjunto estará referido a otro conjunto que lo contiene, llamado CONJUNTO REFERENCIAL.

Ahora surge la siguiente definición:

2.9.1 CONJUNTO COMPLEMENTO

Sea un conjunto. Entonces el complemento de , denotado como , se define como:

Es decir, está constituido por los elementos que le faltan al conjunto para llegar a ser el referencial.

Además se cumple que: y se pueden verificar las LEYES

DE DEMORGAN

Ejemplo 1

Determine los conjuntos , y , conociendo que el conjunto referencial es y

SOLUCIÓN: Representando la información en un diagrama de Venn generalizado, resulta:

40


Ejemplo 2

La región sombreada de la figura mostrada corresponde a:a)

b)

c)

d)

e)

SOLUCIÓN: Un método podría ser asignarle un número a cada región del gráfico dado, lo cual nos quedaría: (NOTA: no importa el orden de asignación)

Realizando la operación de conjunto para cada opción dada, encontramos a la “ ” como respuesta, es decir al

hacer se obtiene que corresponde a los números dados a las regiones

sombreadas.

Ejercicios Propuestos 2.3

1. Si y , ,

Entonces el conjunto , es:

a) b) c) d) e)

2. Sea y los conjuntos y no vacíos, tal que:

Entonces ES VERDAD que:a) b) c)

d) e)

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Entonces:

Entonces, los conjuntos se definirían de la siguiente manera:


3. Considere el conjunto y los conjuntos , y

no vacíos, tales que:

Entonces el conjunto es:

a) b) c) d) e)

4. Sean , y subconjuntos no vacíos de un conjunto referencial , tales que:


a) b) c)

d) e)

5. Dados los conjuntos:

Entonces es VERDAD que:a) b) c)

d) e)

6. Sea un conjunto referencial, y subconjuntos de ; entonces el conjunto:

, es igual a:

a) b) c) d) e)

7. Una expresión que representa a la región sombreada del diagrama de Venn adjunto es:

a)

b)

c)

d)

e)

8. Si , y son conjuntos no vacíos representados en el diagrama de Venn adjunto entonces la región sombreada corresponde a:

a)

b)

c)

d)

e)

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9. Dados los conjuntos no vacíos , y , entonces la región sombreada del gráfico adjunto corresponde a:

a)

b)

c)

d)

e)

10. Dados los conjuntos , y , no vacíos, entonces la EXPRESIÓN CORRESPONDIENTE a la parte sombreada es:

a)

b)

c)

d)

e)

11. Dados los conjuntos no vacíos , y , entonces la región sombreada del gráfico adjunto corresponde a:

a)

b)

c)

d)

e)

12. Sean los conjuntos y no vacíos, como se muestra en la figura; entonces la región sombreada está representada por:

a)

b)

c)

d)

e)

13. Dados los conjuntos , y , no vacíos, entonces la región sombreada del gráfico adjunto corresponde a:

a)

b)

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c)

d)

e)

2.10 PROBLEMAS DE CARDINALIDAD

Hay situaciones problémicas que para su solución se requiere plantear conjuntos. Analicemos los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1

De los maestros de una universidad tienen su doctorado, son investigadores, de los doctores son investigadores. Entonces es VERDAD que:

a) maestros no son doctores.b) son investigadores o doctores.c) doctores no son investigadores.d) profesores no son investigadores ni doctores.e) maestros no son investigadores.

SOLUCIÓN: primero se hace la interpretación de la información en un diagrama de Venn:

Ejemplo 2

En un curso preuniversitario, ocurrió que, de estudiantes: aprobaron Matemática aprobaron Economía aprobaron Contabilidad aprobaron Matemática y Economía aprobaron Matemática y Contabilidad aprobaron Economía y Contabilidad; y, aprobaron Matemática , Economía y Contabilidad

Determinar cuántos de estos estudiantes aprobaron:a) Sólo una materia d) Al menos una materiab) Exactamente 2 materias e) Cuando mucho 2 materias.c) Ninguna materia

SOLUCIÓN: El diagrama de Venn correspondiente, sería:

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Analizando cada proposición dada nos damos cuenta que la única verdadera es la “d”


Ejemplo 3

Una fábrica produce artículos por hora de los cuales pasan el control de calidad . El resto de artículos tuvieron fallas del tipo , tipo y tipo , y se repartieron

del modo siguiente: artículos con fallas del tipo y tipo artículos con sólo falla de tipo artículos con fallas de los tipos artículos con fallas de tipo y artículos con sólo falla de tipo y tipo El número de artículos que tuvieron una sola falla de tipo o de tipo

fue el mismo.

Determine:

a) ¿Cuántos artículos tuvieron fallas de tipo ?b) ¿Cuántos artículos tuvieron sólo una falla?

SOLUCIÓN: El diagrama de Venn correspondiente sería:

Ejercicios Propuestos 2.41. Se realiza una encuesta a 660 estudiantes del Prepolitécnico y se obtiene que 350 estudian Matemáticas, 450

estudian Química, 350 estudian Física, 150 estudian las 3 materias, 200 estudian Matemáticas y Química, 250 estudian Física y Química, 210 estudian Física o Matemáticas pero no Química. Determinar :a) ¿Cuántos estudian SÓLO MATEMÁTICAS?b) ¿Cuántos estudian POR LO MENOS una materia?c) ¿Cuántos estudian CUANDO MAS dos materias?d) ¿Cuántos estudian SOLO una materia?e) ¿Cuántos estudian SOLO dos materias?

2. Un curso de 40 alumnos que tienen que aprobar Ed. Física, y para ello todos deben escoger entre tres deportes: fútbol, básquet y volley, 6 alumnos prefieren sólo volley, 4 alumnos eligen volley y básquet. El número de alumnos que eligen sólo básquet es la mitad de lo que eligen fútbol y es el doble de los que eligen fútbol y volley. No hay ningún alumno que elija fútbol y básquet. Entonces el número de alumnos que ELIGEN

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Entonces, las respuestas a los literales sería:a) 893, b) 315, c) 82 d) 1518 d) 1208

Vemos que

resolviendo se obtiene que lo que nos permite responder a lo solicitado: a) y b)


VOLLEY, el número de alumnos que ELIGEN FÚTBOL y el número de alumnos que ELIGEN SÓLO BÁSQUET ES, respectivamente:

a) 15, 20 y 10 b) 10, 20 y 15 c)10, 10 y 10 d) 15, 15 y 15 e)20, 10 y 15

3. En una entrevista a 40 estudiantes del Prepolitécnico acerca de ¿qué deporte les gusta practicar?, se obtiene que: 12 gustan jugar básquet, 14 volley y 16 fútbol. No hay estudiantes que practiquen básquet y volley, 4 practican básquet y fútbol, 20 practican volley o fútbol pero no básquet. Entonces el NÚMERO DE ESTUDIANTES QUE NO PRACTICAN DEPORTE ALGUNO es:

a) 8 b) 0 c)1 d) 3 e)5

4. En una encuesta a 500 estudiantes se tiene que: 220 estudian Algebra, 180 estudian Lógica, 300 estudian Cálculo, 150 estudian Lógica y Cálculo, 120 estudian Algebra y Cálculo, 50 estudian las tres materias, 120 estudian Algebra o Lógica pero no Cálculo. Entonces LOS QUE ESTUDIAN SOLO LÓGICA SON: a) 20 b) 100 c) 60 d) 30 e) 150

5. En una encuesta realizada a 100 damnificados por los efectos del fenómeno de “El Niño”, se encuentra que 30 de ellos han perdido sus viviendas y sus rebaños, 35 sus viviendas y sus cultivos, mientras que 25 perdieron sus cultivos pero no sus rebaños, 40 perdieron sus cultivos y rebaños y 15 sólo sus cultivos. Entonces EL NÚMERO DE DAMNIFICADOS QUE PERDIERON O SÓLO SUS VIVIENDAS O SÓLO SUS REBAÑOS ES IGUAL A:a) 60 b) 15 c) 25 d) 30 e) 10

6. Una agencia de Autos vendió durante un año 180 unidades con las siguientes características:- 57 tenían transmisión automática- 77 tenían aire acondicionado- 45 tenían transmisión automática y aire acondicionado- 10 tenían transmisión automática pero no tenían ni aire acondicionado ni radio estéreo- 28 tenían transmisión automática y aire acondicionado, pero no tenían radio estéreo- 90 tenían ninguna de las tres características mencionadas- 19 tenían aire acondicionado y radio estéreo Entonces EL NÚMERO DE UNIDADES QUE TENÍAN RADIO ESTÉREO ES: a) 22 b) 1 c) 91 d) 30 e) 21

7. Un campamento de 100 estudiantes tiene 3 tipos de actividades, pescar, nadar y escalar. Setenta (70) estudiantes prefieren pescar, veinticinco (25) prefieren pescar y nadar, dieciocho (18) prefieren nadar o escalar pero no pescar y diez (10) se dedican a las tres actividades durante su estancia en el campamento. De todos ellos doce (12) se enfermaron al llegar al campamento y no pueden hacer ninguna actividad, entonces, EL NÚMERO DE ESTUDIANTES QUE SE DEDICAN A PESCAR Y NADAR, PERO NO A ESCALAR SON: a) 15 b) 10 c) 20 c) 30 d) 25

8. En una encuesta a 100 aficionados del fútbol, sobre qué equipo juega mejor en la Copa Libertadores de América, se obtuvieron los siguientes resultados :- 50 opinan que es el Nacional- 50 opinan que es el Emelec- 40 opinan que es el Palmeiras - 20 opinan que es Nacional y Emelec- 10 opinan que es Emelec y Palmeiras- 30 opinan que es Nacional y Palmeiras- 10 opinan que ninguno juega bien¿CUÁNTOS A FAVOR SOLAMENTE DE EMELEC?a) 0 b) 30 c) 10 d) 20 e) 25

9. En una encuesta a 100 inversionistas se observa lo siguiente: - 5 sólo poseen acciones - 15 poseen solamente valores - 70 son propietario de bonos - 13 poseen acciones y valores - 23 tienen valores y bonos - 10 son propietarios de acciones y bonos - Cada uno de los 100 invierte por lo menos en algo.

Entonces, EL NÚMERO DE INVERSIONISTAS QUE SÓLO TIENEN BONOS ES IGUAL : a) 40 b) 45 c) 67 d) 30 e) 27

10. Entre un grupo de personas conversan sobre tres películas (A, B y C) y determinan que 4 personas no han visto alguna de las tres películas, la mitad del número de personas que han visto sólo la película B es igual al número de personas que han visto la película C, el número de personas que han visto las películas A y B es igual a la tercera parte del número de personas que han visto sólo la película B, 7 personas han visto la película A y 5 personas han visto sólo la película A. Las personas que ven la película C no han visto las otras películas.

Determine: a) El número de personas que han visto las películas A y B. b) El número de personas que han visto la película A o la película B. c) El número de personas que ven sólo una película.

d) El número de personas que no ven la película B.

11. Para realizar una encuesta se reparte el mismo número de productos A, B y C entre 1270 consumidores; los resultados de dicha encuesta revelan lo siguiente: 200 personas consumen (A y B) o (A y C) o (B y C), 370

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personas consumen sólo C, el número de personas que consumen sólo A es igual al de personas que consumen sólo B, 30 personas consumen los tres productos.Entonces el número de personas que consumen sólo el producto A, es:a) 530 b) 370 c) 700 d) 180 e) 350

12. Se hace una encuesta a un grupo de personas sobre los lugares de compra de juguetes para Navidad, arrojando los siguientes resultados: 14 personas compraron en Mi Juguetería y en Juguetón; 11 personas compraron sólo en Juguetón, 9 personas compraron sólo en Juguetelandia, 5 personas compraron en los tres lugares; el número de personas que compraron sólo en Juguetelandia y Juguetón es igual al número de personas que compraron sólo en Mi Juguetería y Juguetelandia. Se supo además que en Juguetón compraron 3 personas más de las que compraron en Juguetelandia y 3 personas más de las que compraron en mi Juguetería. Entonces el NÚMERO DE PERSONAS QUE COMPRARON EN CUALQUIERA DE ESTOS TRES LUGARES, es: a) 93 b) 58 c) 13 d) 28 e) 15

13. En una encuesta realizada por PACIFICTEL a un grupo de 26 abonados que han realizado al menos una llamada, sea ésta, local, nacional o internacional, se obtuvo la siguiente información:

23 abonados han realizado llamadas nacionales o internacionales. 5 abonados han hecho llamadas locales y nacionales. 12 abonados han hecho llamadas internacionales pero no locales. El número de personas que han hecho sólo llamadas nacionales es igual al doble de

personas que han hecho llamadas internacionales y locales pero no nacionales.Entonces EL NÚMERO DE ABONADOS QUE HAN HECHO LLAMADAS LOCALES es:a) 10 b ) 4 c) 6 d) 2 e) 14

14. Los estudiantes que están en el Prepolitécnico de Auditoría se encuentran registrados en los paralelos

y . En el paralelo hay 35 estudiantes, en el paralelo hay 41 estudiantes y en el paralelo hay 49

estudiantes. De estos estudiantes, 5 asisten a los tres paralelos, 13 estudiantes asisten a los paralelos y

, y 11 estudiantes asisten a los paralelos y . Entonces, el NÚMERO DE ESTUDIANTES que asisten SÓLO

al paralelo es:a) 8 b) 36 c) 30 d) 38 e) 49

15. De un conjunto de 1200 estudiantes del ICHE se determinó que hay 400 estudiantes que hablan inglés, 600 que hablan francés, 500 que hablan alemán. De ellos 120 hablan inglés y francés, 130 hablan francés y alemán, 50 hablan inglés, francés y alemán, 180 sólo hablan inglés y 750 hablan inglés o alemán, por tanto EL NÚMERO DE ESTUDIANTES QUE HABLAN INGLÉS Y ALEMÁN PERO NO FRANCÉS ES:a)100 b) 50 c) 150 d) 180 e)270

Misceláneos

1. Dados los conjuntos no vacíos y ; entonces la REGIÓN SOMBREADA del gráfico adjunto corresponde a:a)

b)

c)

d)

e)

2. Considere el conjunto y los conjuntos y no vacíos, tales que:

Entonces el CONJUNTO es:

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a) b) c) d) e)

3. En una encuesta realizada a 2580 personas en el Malecón 2000, se obtuvo lo siguiente: A 250 personas les gusta pasear y comer o pasear y conversar o comer y conversar. A 480 personas les gusta sólo conversar. El número de personas que les gusta sólo pasear es igual al número de personas que les gusta sólo

comer. A 30 personas les gusta hacer las tres actividades. Todas las personas entrevistadas tienen por lo menos uno de los gustos mencionados.

Entonces, el NÚMERO DE PERSONAS que les gusta sólo pasear es:a) b) c) d) e)

4. Sea el conjunto . Entonces es FALSO que:

a) b) c)

d) e)

5. Se realiza una encuesta a 300 estudiantes del prepolitécnico y se obtiene la siguiente información: 110 estudian Matemáticas. 110 estudian Contabilidad. 115 estudian Economía. 40 estudian Matemáticas y Economía. 25 estudian las tres materias. 60 estudian Contabilidad y Economía. 90 estudian Matemáticas o Contabilidad, pero no Economía.Entonces, el número de estudiantes que estudian SÓLO MATEMATICAS, es:a) 20 b)40 c)15 d) 25 e) 70

6. Sean , y conjuntos no vacíos, entonces es VERDAD que:

a)

b)

c)

d) .

e)

7. Se hizo una entrevista a 885 estudiantes del Prepolitécnico de Ingeniería y se obtuvo la siguiente información respecto a las materias que más les gustan. A 600 les gusta Matemáticas. A 400 les gusta Física. A 620 les gusta Química. A 195 les gusta Matemáticas y Física. A 190 les gusta Física y Química. A 400 les gusta Matemáticas y Química. A todos los entrevistados les gustaba al menos una de las materias mencionadas.Entonces el número de estudiantes que les gustan LAS TRES MATERIAS, es:a) 5 b) 25 c) 35 d) 50 e) 0

8. Sea el conjunto . Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela.

a)

b)

c)

d)

e)

9. Sean y conjuntos no vacíos, entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela.

a)

b)

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c)

d)

e)

10. En una feria de autos, hubo 102 personas interesadas en comprar autos, además en dicha feria se obtuvo la siguiente información:

30 personas compraron autos Volswagen y Chevrolet. 40 personas compraron autos Volswagen y Hyundai. El número de personas que compraron los 3 carros es igual a la mitad del número de personas que no

compraron ningún automóvil. El número de personas que compraron sólo Hyundai y Chevrolet es la mitad del número de las personas

que compraron sólo Chevrolet. 50 personas compraron autos Hyundai. 48 personas compraron Chevrolet o Volswagen pero no Hyundai. 5 personas compraron Hyundai y Chevrolet.Entonces EL NÚMERO DE PERSONAS QUE COMPRARON SÓLO UNA CLASE DE AUTO fue:a) 27 b) 28 c) 98 d)14 e)58

11. Dados los conjuntos no vacíos A, B , C y el conjunto referencial tales que:


a) b) c) d) e)

12. Sea el conjunto . Entonces es VERDAD que:

a) b) c)

d) e)

13. La expresión que representa la región sombreada es:

a)

b)

c)

d)

e)

14. Sea un conjunto referencial, tal que y sean y tres conjuntos no vacíos, tales que:

- -

- -

- - Entonces es VERDAD que:a)

b)

c)

d)

e)

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cap 2 conjuntos

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