cap 2 dominio tiempo
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ARG2001
CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 11 of 66of 66
CURSO:CURSO: TeoraTeora de Controlde Control 2004 Luis Alfonso2004 Luis Alfonso MuMuozoz H., CORUNIVERSITARIAH., CORUNIVERSITARIA
ESPECIALIZACION EN AUTOMATIZACION INDUSTRIAL
ConvenioCORUNIVERSITARIA-UNAB
Julio de 2004
ESPECIALIZACION EN ESPECIALIZACION EN AUTOMATIZACION INDUSTRIALAUTOMATIZACION INDUSTRIAL
ConvenioConvenioCORUNIVERSITARIACORUNIVERSITARIA--UNABUNAB
Julio de 2004Julio de 2004Captulo 2. Dominio del Tiempo
Ing. MSc. Luis Alfonso Muoz H.Facultad de Ingeniera
Programa de Automatizacin IndustrialUniversidad de Ibagu - CORUNIVERSITARIA
2004 Luis Alfonso Muoz H., All Rights Reserved
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 22 of 66of 66
Este anlisis se hace en el Dominio del tiempo.Idea: Someta su sistema a cierta seal que es una funcin
conocida en el tiempo.Luego mida las seales de salida & deduzca algo sobre
el sistema.
Este conocimiento puede luego usarse en un Modelo del sistema.
SistemaSistemaInput (t)Input (t) Output (t)Output (t)
Anlisis en el Dominio del Tiempo
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 33 of 66of 66
Muy til para determinar las caractersticasdel sistema.Tericamente, la representacin en el dominio del tiempo
debera contener la misma informacin que la representacin en el dominio de la frecuencia.
A veces, en la prctica, es mucho ms fcil obtener informacin en el dominio del tiempoque en el dominio de la frecuencia.Las seales de exitacin en el dominio del tiempo bsicas
son: paso, rampa e impulso.
Anlisis en el Dominio del Tiempo
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 44 of 66of 66
EjemploEjemplo
Sistema aire acondicionado.Necesita un modelo.Input: una secuencia de
entradas binarias pseudo-random.Dominio del tiempo
Tcri
BlowerHeater Cooling
Coil
Nozzle
TcnTC
FlowStraightener
Gas Cooler
Outdoor Chamber
Tor Mtr
SA
TC
Sp
D
p
c
n
Tcro, Pcro
XV
Tori
Tero, PeroTeri
Trcpi, Prcpi
mgTgoTgi
GlycolChiller
mr
ml
Trcpo, Prcpo
Tshri,Pshri
Tshro
SLHX
W
W
Heater
Humidifier
Indoor Chamber
Sp
Nozzle
Ten
Dpen Dpea
mg2
S
moTosro
DPer
DPcr
Tgi2 Tgo2
Cooling CoilTdpeo
Tdpei
TH
Blower
EvaporatorFlow
Straightener
Cp
Tren Tren de de pulsospulsos
COCO22 testbedtestbed
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 55 of 66of 66
Pulsos a la velocidad del compresor
Modelo identificado con el toolbox de identificacin de MatlabVer >>help ident
200 300 400 500 600 700 800-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Red: Data Blue: 3rd Order Model
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10007
7.5
8
8.5
9
9.5
10
Time (s)
T
e
m
p
e
r
a
t
u
r
e
(
*
C
)
Red: ModelBlue: Data
Evaporador Temperatura de salida del evaporador
EjemploEjemplo
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 66 of 66of 66
Sistemas Sistemas de Primer de Primer OrdenOrdenAnaloga de anlisis en el dominio del tiempo: Operando un VCR por trial and error y/o leyendo las
instrucciones.
Respuesta en el tiempo de sistemas de primer ordenSistemas trmicos (calentamiento de casa), sistemas de
nivel de liquido, aceleracin de vehculos o velocidad de un motor DC.
Representacin bsica:+={ ryyT &
TiempoConstante de
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 77 of 66of 66
Representacin como funcin de transferencia:
Diagrama de bloques:1
1)()(
)()()1(
+==+
TssRsY
sRsYTsF.T. de un F.T. de un sistema sistema dede
1er 1er ordenorden
T1
s1++
--rr yT& y& y RR YY
11+Ts
Sistemas Sistemas de Primer de Primer OrdenOrden
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 88 of 66of 66
Respuesta paso unitario:C.I. Cero
Respuesta paso unitarioRespuesta paso unitario
Tss
TsT
s
TsssY
111
11
111)(
+=
+=+=
)()( tUtr s=11
00 ttUse Use fracciones parcialesfracciones parciales
0 t;1)( / = Ttety
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 99 of 66of 66
Una caracterstica de un sistema de primer orden es que despus de 1 constante de tiempo, la respuesta del sistema va en un 63.2%.A medida que T decrece, el sistema
reacciona mas rpido.
632. 368.0.1
1)()( ,at 1
==
=== eTytyTtyy
ttTT
11.63.63
Respuesta paso unitarioRespuesta paso unitario
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 1010 of 66of 66
Si miramos la pendiente de la respuesta en t=0, .Provee otra forma de calcular la
constante de tiempo si usted cree queel sistema es de 1er orden.
Te
Tdttdy
t
Tt
t
11)(0
/
0
== ==
yy
00
11Slope = 1/TSlope = 1/T
tt
Respuesta paso unitarioRespuesta paso unitario
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 1111 of 66of 66
Cambio de temperatura en un vehculoComience con el carro caliente, apague, y
monitoree la temperatura interior.
EjemploEjemplo
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 1212 of 66of 66
Decaimiento de primer ordenPiense en una respuesta impulso
Car Temp
020406080
100120140
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
time (min)
d
e
g
(
F
)
Temperatura Temperatura medidamedida
Curva Curva de de temperatura temperatura ajustadaajustada
45065)(t
etT+=
EjemploEjemplo
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 1313 of 66of 66
Respuesta rampa unitariaRespuesta rampa unitaria
Respuesta rampa unitaria de un 1er orden
11
111)(
2
2
2
++=+=
TsT
sT
s
TsssY
0 t;)( / += TtTeTttyCondiciones Iniciales Condiciones Iniciales cerocero
y, ry, r
tt00
rryy
eessss= T= T
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 1414 of 66of 66
Considere el error entre la referencia y la salida.
Hay un error en estado estacionariopara una referencia rampa que decreceal decrecer la constante de tiempo
y, ry, r
tt00
rryyeessss= T= T
TteeeT
TeTtttytrte
tss
Tt
Tt
===
+==
)(lim)1(
)()()(
/
/
Respuesta rampa unitariaRespuesta rampa unitaria
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 1515 of 66of 66
Respuesta Impulso unitarioRespuesta Impulso unitario
Respuesta impulso de un sistema de 1erorden
11)( += TssY
0 t;1)( / = TteT
ty
tt00
T1
yy
2
1T
Pendiente Pendiente
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 1616 of 66of 66
Nota: La respuesta en el tiempo a unaseal de referencia impulso es idntica a una respuesta de condicion inicial con referencia cero.
}
11)(
1)()1()()0()(
1)0(
1
+==+
=
==
sTsY
sYsTsYYTssTY
TyyyT
T
&
Lo Lo mismo que mismo que el el impulso unitarioimpulso unitario
Respuesta Impulso unitarioRespuesta Impulso unitario
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 1717 of 66of 66
Ejemplo: Control de nivel en un tanque
RRqqoutout
CCqqinin
hh
11+= RCsQ
Q
in
out
)(1pero sHR
qout =
1)(
+= RCsR
QsH
in
EjemploEjemplo
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 1818 of 66of 66
Suponga que usamos control proporcional. Esto significa que el flujo de entrada esproporcional (k) al error entre la referencia(set point) o nivel deseado y el nivelmedido.
KK1+RCs
R++--
rr e inq h
h
Nivel deseadoNivel deseado
EjemploEjemplo
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 1919 of 66of 66
Usando lgebra de diagrama de bloques,
Si R(s) es un paso unitario,
KRRCsKR
RCsKR
RCsKR
sRsH
++=++
+=1
11
1)()(
)1(1)(
KRRCsKR
ssH ++=
EjemploEjemplo
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 2020 of 66of 66
Usando el teorema del valor final
Asi que: steady state error ess
KRKR
KRRCsKRssHth
sst +=++== 1)1(lim)(lim)(lim 00
KRKRKR
KRKR) r-h( ess +
+=+== 11
11
KR ess += 1
1
EjemploEjemplo
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 2121 of 66of 66
Tambin: A medida que K aumenta, el steady state error disminuye.
Q: Cual es la funcin de sensitividad?Asuma una perturbacin de salida.
00 tt
yy
11 KR ess += 1
1
EjemploEjemplo
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 2222 of 66of 66
Como K va a infinito, S -> 0 y T -> 1.Esto es lo que queremos!!!!!!!.
KK1+RCs
R++--
rr e inq h
h
d++++
KRRCsRCs
RCsKR S ++
+=++
=1
1
11
1KRRCs
KRT ++= 1Funcin Funcin de de sensitividadsensitividad
ComplementaryComplementarySensitivity FunctionSensitivity Function
EjemploEjemplo
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 2323 of 66of 66
Ejemplo: Masa-resorte-amortiguador y DC servo motor.Servo motor: Del Latin Servus que significa esclavo + motus
que indica movimiento.Bsicamente, es un dispositivo que se mueve a donde usted le
indica.
El Torque de salida es proporcional a la corrientede entrada si se ignora la electrnica de potenciaT = Ki
Respuesta en el tiempo de un sistema de 2do orden
bbJJ
,
-
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 2424 of 66of 66
Asumiendo que la corriente i es suentrada:
Si estamos interesados en la velocidad =
)(2 bJssK
bsJsK
I(s)(s)
KibJJ
+=+==+=
&&&&&
=&
1+=+= sTK
bJsK
I(s)(s)
m
m KKm m -- Motor GainMotor GainTTmm=J/b=J/b Motor Time ConstantMotor Time Constant
Respuesta en el tiempo de un sistema de 2do orden
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 2525 of 66of 66
Suponga que cerramos el loop alrededorde este servo motor
KbsJsK
sRs
++= 2)()(
Closed loop Transfer Function
Closed loop Closed loop Transfer FunctionTransfer Function
bJsK+ s
1++--
rr Feedback Feedback unitariounitario(a (a menudomenudo debemos debemos convertirconvertir voltage a voltage a GradosGrados. . Pero aqui Pero aqui asumimos asumimos Que tenemos Que tenemos un un GradmetroGradmetro))
Respuesta en el tiempo de un sistema de 2do orden
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 2626 of 66of 66
Los polos en Closed loop son
Respuesta diferente dependiendo de Defina la frecuencia natural como Defina el damping ratio comoAsi que:
JJKbb
242
)()( tUtr s=Frmula cuadrticaFrmula cuadrtica
JKb 42
JK
n =
JKb
2=
22
2
2)()(
nn
n
sssRs
++=
Respuesta en el tiempo de un sistema de 2do orden
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 2727 of 66of 66
Si , Under damped (subamortiguado)Considere la respuesta a una entrada paso
R(s) = 1/s
10
)2()( 22
2
nn
n
ssss
++=
s1++
--rr
n
n
s 2
2
+
Respuesta en el tiempo de un sistema de 2do orden
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 2828 of 66of 66
Defina la frecuencia natural amortiguada como 21 = nd
)1
(tandonde
)sin(1
1)(
)()(1)(
21
2
2222
=
+
=
++
++
+=
tet
sss
ss
d
t
dn
n
dn
n
n
Por fracciones Por fracciones parcialesparciales
Respuesta en el tiempo de un sistema de 2do orden
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 2929 of 66of 66
Note que:Si
Si
Si Criticamente amortiguado
tt)()(0 tRte tn >0 entonces
)cos(1)(,0 tt n == Oscilador armnico Oscilador armnico simplesimple
tt
,1= }R(s) Step Unit
sss
n
n 1)(
)( 22
+= )1(1)( tet n
tn += 1)()(lim == tRtt
Respuesta en el tiempo de un sistema de 2do orden
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 3030 of 66of 66
Note que (Cont).Si over-damped(sobre amortiguado) ,1=
, sPsPs
s n 1))((
)(21
2
++=
)1(
)1(2
2
21
=
+=
n
n
P
Pdonde
, )(12
1)(21
2
21
Pe
Pet
tPtPn
+=
tt
1=
1
Respuesta en el tiempo de un sistema de 2do orden
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 3131 of 66of 66
La f.t.siempre tiene 2 races.
En el plano complejo:Si
22
2
2)()(
nn
n
sssRs
++=
221 1, = nn jss
,10
-
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 3232 of 66of 66
Si ,1> 1, 221 = nn jss
ss11 ss22ReRe
ImIm
Respuesta en el tiempo de un sistema de 2do orden
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 3333 of 66of 66
La respuesta transiente para sistemas de 2doorden estan dominadas por lo siguiente:Delay time, td Rise time, trPeak time, tpMaximum overshoot, MpSettling time, ts
Tiempo en alcanzar 50% de la respuesta,alcanza su valor final por primera vez, No se usa mucho
Respuesta en el tiempo de un sistema de 2do orden
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 3434 of 66of 66
1
ess
0.9
0.1
Banda deTolerancia1% - 2% - 5%
Banda deTolerancia1% - 2% - 5%
t
MP t
c(t)
Sobreimpulso MpSobreimpulso Mp
Tiempo de establecimiento
Tiempo de establecimiento t s
TiempoPico tp
TiempoPico tp
t P
Tiempo de Crecimiento trTiempo de Crecimiento tr
t r
Especificaciones de desempeoen el dominio del tiempo (respuesta paso)
Especificaciones de desempeoen el dominio del tiempo (respuesta paso)
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 3535 of 66of 66
Rise time para sistemas de 2do orden:
ttttrr
11X(t)X(t)
2
2
2
1tan
sin1
cos
)sin1
(cos11)(
=
=+==
rd
rdrd
rdrdtj
r
t
tt
ttetX rn
Respuesta en el tiempo de un sistema de 2do orden
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 3636 of 66of 66
Asi:
Si usted pone esto en su calculadora, esto da un ngulo en el IV cuadrante
=
21 1tan1
drt
21 1tan
ImIm
ReRe
Programado para Programado para /2/2
Respuesta en el tiempo de un sistema de 2do orden
-
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 3737 of 66of 66
Miremos el ngulo entre las races de la E.C. & El Eje Real Positivo
ImIm
ReReEsto da su calculadoraEsto da su calculadora
Angulo que queremosAngulo que queremos
Un Un sistema sistema de 2do de 2do ordenordensubamortiguado tendrsubamortiguado tendrUn polo Un polo aquiaqui
Mire la Fig. 4-13 en Ogata para mayor explicacin
Respuesta en el tiempo de un sistema de 2do orden
-
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 3838 of 66of 66
La tan de ambos ngulos es la misma. Ej.
Asi que si quiere usar el valor de sucalculadora, sera
3120tan
360tan
==
o
o
dr
dr tt
=
+
=
21
21 1tan
or
1tan
Respuesta en el tiempo de un sistema de 2do orden
-
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 3939 of 66of 66
Peak Time (Tiempo pico)El tiempo pico se da cuando la solucin
x(t), es un mximo.Podemos encontrar este mximo
derivando x(t), igualando a cero, y despejando el tiempo (tp).
+
+= )sin()cos()cos()sin()( ttettetx ddd
d
ndtdd
d
ntn
nn
&
Respuesta en el tiempo de un sistema de 2do orden
-
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 4040 of 66of 66
Dividiendo por la exponencial da:
( )( ))sin()sin(0
)sin()cos()cos()sin(0
tt
tttt
dddd
nn
dddnddd
nn
+
=
+
+=
L,3,2,,00)sin( == tt dd
dpt
=
Respuesta en el tiempo de un sistema de 2do orden
-
CURSO:CURSO: TeoraTeora de Controlde Control 2004 Luis Alfonso2004 Luis Alfonso MuMuozoz H., CORUNIVERSITARIAH., CORUNIVERSITARIA
CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 4141 of 66of 66
Mximo sobreimpulso - Overshoot (Mp)Sucede en el tiempo pico
22 11
2)cos()sin(
1
1
==
+=
==
eeM
eM
txM
nn
dn
p
p
dpp
Respuesta en el tiempo de un sistema de 2do orden
-
CURSO:CURSO: TeoraTeora de Controlde Control 2004 Luis Alfonso2004 Luis Alfonso MuMuozoz H., CORUNIVERSITARIAH., CORUNIVERSITARIA
CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 4242 of 66of 66
Settling Time (Tiempo de asentamiento)Determina cuando las exponenciales limitan la salida
entre 5% o 2% del estado estacionario.
Para 2%, se necesita
x(t) =1 e nt
1 2 x(t) =1+e nt
1 2
02. tne 02.018.4
-
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 4343 of 66of 66
SistemasSistemas de de segundo ordensegundo orden
Suponga que se le dan especificacionesde diseo en tr, ts y Mp?Esto lo podemos relacionar con las
localizaciones de los polos asi.
21
2
21
21
1tan
11
1tan1
1tan1
r
n
rd
dr
t
tt
-
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 4444 of 66of 66
y
Para muchos sistemas con un zita entre.5 y .8, la siguiente frmula es suficiente
Tambin podemos calcular zita comouna funcin de Mp pero es mascomplicadito
2%)(for 4
sn t
rn t
2 De la De la pginapgina anterioranteriorparapara el el trtr
SistemasSistemas de de segundo ordensegundo orden
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 4545 of 66of 66
En el plano complejonn coscos--11(())
-- nn
Zona Zona dedeLocalizacinLocalizacin de de polos permitidapolos permitida
Combinando restriccionesCombinando restricciones
SistemasSistemas de de segundo ordensegundo orden
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 4646 of 66of 66
Estas son reglas burdas.Tendrn que ser iteradas en un diseo
final.Podran tener restricciones en conflicto
que usted esta tratando de satisfacer.
SistemasSistemas de de segundo ordensegundo orden
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 4747 of 66of 66
DC Servomotor con retroalimentacin de velocidad
bJsK+ s
1++--
rr
KKhh++
++
( )KKbJssK
h++++--
rr
EjemploEjemplo
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 4848 of 66of 66
Closed loop transfer function
Zita puede calcularse como
Por lo tanto, incrementando la velocidad en feedback incrementar zita.
( ) KsKKbJsK
sRs
h +++= 2)(
)(
KJKKb h
2+=
EjemploEjemplo
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 4949 of 66of 66
Esto reducir cualquier overshoot u oscilaciones.Piense en un amortiguador mecnico.
Time (sec.)
A
m
p
l
i
t
u
d
e
(
t
h
e
t
a
)
Step Response
0 5 10 15 20 250
0.5
1
1.5
Disminuyendo KDisminuyendo Khh
IncrementandoIncrementando la la gananciaganancia de la de la
velocidadvelocidad dejadeja lo lo mismomismo la la
frecuenciafrecuencia natural natural no no amortiguada amortiguada del del
sistemasistema
JK
n =
EjemploEjemplo
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 5050 of 66of 66
Respuesta impulso para un 2do orden
Para un impulse reference command, R(s) =1.
Para zitas entre 0 y 1,
22
2
2)(
nn
n
sssY
++=
( )( )[ ]tety ntn n 22 1sin1)( =
-
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 5151 of 66of 66
Para zitas mayores o iguales que 1, hay otras soluciones en el dominio del tiempo.Sin embargo, el punto principal aqui es
que la respuesta de salida en el tiempo es la misma que si no hubiera setpoint pero un no cero inicial
)(ty&Respuesta impulsoRespuesta impulso Respuesta Respuesta a C.I.a C.I.
Respuesta impulso para un 2do orden
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 5252 of 66of 66
Respuesta forzadaRespuesta forzada
Las respuestas paso e impulso son unaforma de obtener las caractersticas de un sistema dinmico.Funciones de transferencia
Otra forma es usar un funcin forzantesuave como una sinusoidal.Para una entrada seno, la salida en
estado estacionario de un sistema LTI es tambin una sinusoidal con la misma frecuencia pero diferente fase.
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 5353 of 66of 66
Si r(t) = A sin(t) entonces,y(t) = A |G(j)| sin (t + )Sustituimos s=j ya que para una
sinusoidal pura, los polos quedan sobreel eje imaginario.
G(s)G(s)R(s)R(s) Y(s)Y(s)
=
)G(jParte Real de)Parte Imaginaria de G(j )tan 1
Respuesta forzadaRespuesta forzada
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 5454 of 66of 66
Podemos usar esta informacin paraidentificar G(j) para cualquier valor de .
Si es negativo, decimos que hay un atraso de fase (a phase lag).
)()()(
jRjYjG =
)()()(
jRjYjG ==
AmplitudAmplitud de la de la sinusoidesinusoidede de salidasalida sobresobre la la sinusoidesinusoide de de entradaentrada
CorrimientoCorrimiento de de fasefase de la de la sinusoidesinusoide dede salida sobresalida sobrelala sinusoidesinusoide dede entradaentrada
Respuesta forzadaRespuesta forzada
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 5555 of 66of 66
Si es positivo, decimos que hay un adelanto de fase (phase lead).Recuerde, la amplitud y la caracterstica
de fase se determinan en estadoestacionario.Esto es cuando todos los transientes han muerto.
Respuesta forzadaRespuesta forzada
-
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 5656 of 66of 66
0;1
)( >+= KTsKsG
1)( += Tj
KjGHaciendo Haciendo s=s=jj
11)(
22 +=+= TK
TjKjG )(tan)( 1 TjG ==
( ))(tansin1
)( 122
TtTKAty +=
)sin()( tAtr =
&&
EjemploEjemplo
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 5757 of 66of 66
Error en Error en Estado EstacionarioEstado EstacionarioObjetivosObjetivos de de diseodiseo
Siempre diseamos controladores para afectar trespropiedades del sistema:
; Estabilidad; Respuesta transiente; Steady-state error Error en estado estacionario
Ya discutimos la respuesta transiente, ahora veremos error en estado estacionario para terminar con algo de estabilidad via Routh Hurtwitz.
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 5858 of 66of 66
Definicin Definicin de error en de error en estado estacionarioestado estacionarioEl steady-state error es la la diferenciadiferencia entreentre c(t)c(t) y y r(t)r(t), , anteuna entrada especificaanteuna entrada especifica r(t)r(t), a , a medida quemedida que tttiendetiende a a infinitoinfinito.
En forma de ecuacin:
( ) ( ) ( )[ ]tctrt
e lim
En otras palabras, el steady state error describe qu tan bien un sistema puede seguir una entrada dada.
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 5959 of 66of 66
Arranquemos con una entrada paso y asumamosretroalimentacin unitaria.
Asuma que Geq(s) es un segundo orden.
error en error en estado estacionario estado estacionario ante ante entrada pasoentrada paso
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 6060 of 66of 66
Consideretres casosposibles de respuestapaso
error en error en estado estacionario estado estacionario ante ante entrada pasoentrada paso
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 6161 of 66of 66
( )( )( ) [ ] 75.025.01
00
3
2
1
====
eeeCaso 1:
Caso 2:
Caso 3:
error en error en estado estacionario estado estacionario ante ante entrada pasoentrada paso
-
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 6262 of 66of 66
Dado que sabemos que la respuesta del sistema esigual a
[respuesta forzada] + [respuesta transiente]
y la respuesta transiente decae a cero a medida quet crece, sabemos ya que en el dominio del tiempo, si hay una ganancia no unitaria multiplicando la respuesta forzada, habr un error en estadoestacionario..
error en error en estado estacionario estado estacionario ante ante entrada pasoentrada paso
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 6363 of 66of 66
Standard inputsStandard inputs
Obviamente hay otras entradasque se abordarn en el curso de identificacin
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 6464 of 66of 66
Estas funciones son a menudo descritas en trminosde su aplicacin al seguimiento (tracking) de un objeto.
Paso unitario => funcin posicin Rampa unitaria => funcin velocidad (derivadade la posicin)Parbola unitaria => funcin aceleracin (derivada de la velocidad)
Standard inputsStandard inputs
-
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 6565 of 66of 66
OrigenOrigen del steadydel steady--state errorstate error
Para empezar, porqu hay error en estado estacionario?
Considere un closed-loop feedback system en el cual G(s) es una ganancia K.
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 6666 of 66of 66
E(s) es la seal de error entre la entrada y la salida. Queremos que E(s) vaya a cero a medida que t crece.
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )[ ] ( )( ) ( )
KsRsE
sRKsEsKEsR
sCsRsE
+==+
==
1
1
OrigenOrigen del steadydel steady--state errorstate error
-
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 6767 of 66of 66
( ) ( )KsRsE += 1
Podemos ver de esto que la nica forma de tenercero E(s) es haciendo K a infinito. Eso, por supuesto, practicamente no es posible..
OrigenOrigen del steadydel steady--state errorstate error
-
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 6868 of 66of 66
CuantificandoCuantificando el steadyel steady--state errorstate error
Podemos usar nuestro viejo amigo el Teorema del Valor Final (FVT) para determinar el valor del steady-state error asi:
( ) ( )[ ]( )[ ]ssE
s
tet
e
0lim
lim
=
-
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 6969 of 66of 66
Derive una expresin para E(s).
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( )sGsRsE
sGsEsRsCsRsE
+=
==
1
CuantificandoCuantificando el steadyel steady--state errorstate error
-
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 7070 of 66of 66
Usemos nuestro ejemplo con G(s) = K. Sustituyendo y aplicando el FVT:
( )( ) ( )
KKss
ssEs
e
KssE
+=+==+=
11
110
lim1
1
Para Para esteeste sistemasistema, , el steadyel steady--state state error ante error ante unaunaentradaentrada pasopaso esesdiferentediferente de cero y de cero y finitofinito..
CuantificandoCuantificando el steadyel steady--state errorstate error
-
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 7171 of 66of 66
Qu pasa si la entrada es ahora una rampa?
( )
==
+=
01
11
0lim
2 Kss
se Para Para esteeste sistemasistema, ,
el steadyel steady--state state error error eses infinitoinfinito. . En En otrasotras palabraspalabras, , esteeste sistemasistema no no seguirseguir unaunaramparampa en en absolutoabsoluto..
CuantificandoCuantificando el steadyel steady--state errorstate error
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 7272 of 66of 66
NotaNota: No habr steady-state error si el sistema esinestable.
......peropero, las expresiones del FVT le darn valores de bsqueda razonables para el steady-state error an siel sistema es inestable.
Asi, usted debe chequear la estabilidad del sistemaprimero, antes de calcular el steady-state error.
CuantificandoCuantificando el steadyel steady--state errorstate error
-
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 7373 of 66of 66
EjemploEjemplo de Steadyde Steady--state errorstate error
Dada la siguiente f.t.
( )107
52 ++= sssT
Q.: Cual es el steady-state error ante una entradapaso?
-
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 7474 of 66of 66
A.: Primero, chequeemos la estabilidad. Factorice el denominador:
( )
( )( )255
1075
2
++=++=
ss
sssT
Los polos estn en el LHP, as que OK!!!!.
EjemploEjemplo de Steadyde Steady--state errorstate error
-
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Ahora derivemos una expresin para E(s) en terminosde T(s):
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )[ ] ( )sRsTsRsTsR
sCsRsE
===
1
EjemploEjemplo de Steadyde Steady--state errorstate error
-
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 7676 of 66of 66
Sustituya y aplique FVT.
( ) ( ) ( )( )[ ]{ }
21
1051
10751
0lim
107511
0lim
10
lim
2
2
==
++=
++=
=
sss
ssss
s
sTsRss
e
EjemploEjemplo de Steadyde Steady--state errorstate error
-
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 7777 of 66of 66
Asi que el steady-state error es 0.5. Las unidadesdependern del sistema y de la entrada.
Como nota adicional, considere que pasa si nuestra f.t. cambia a:
( ) ( )( )255
= sssT
Claramente, este sistema es inestable!!!!!.
EjemploEjemplo de Steadyde Steady--state errorstate error
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 7878 of 66of 66
A pesar de ello, apliquemos el FVT:
( ) ( )( )
21
1051
10751
0lim
2551
0lim
2
==
+=
=
sss
ssse
Ese es el valor que obtuvimos para el sistema estable.
EjemploEjemplo de Steadyde Steady--state errorstate error
-
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 7979 of 66of 66
Para ver cmo eliminamos el steady-state error, miremos una f.t. en general. Primero hagamos:
( ) ( )( )sDsNsG =
(Nota: G(s) se denomina la forward transfer function; esta es la f.t. en la parte forward del sistema de feedback.)
Eliminando Eliminando el Steadyel Steady--state errorstate error
-
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 8080 of 66of 66
Sustituyendo,
Eliminando Eliminando el Steadyel Steady--state errorstate error
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 8181 of 66of 66
( ) ( ) ( )
+=
sDsNs
e1
10
lim
Deseamos que esta cantidad vaya a cero. Para hacerlo, necesitamos que D(s) vaya a cero a medidaque s se aproxima a cero.
Cmo hacerlo? Respuesta:Necesitamos un polo en el origen.
Eliminando Eliminando el Steadyel Steady--state errorstate error
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 8282 of 66of 66
( )( )...)( 21 pspsssD n ++=En otras palabras, necesitamos:
Porque dividir por s en el dominio de Laplacerepresenta una integracin en el dominio del tiempo(una integracin pura, ya que no hay constanteadicionada), este denominador se dice que contieneuna integracin de nnesimo orden.
Eliminando Eliminando el Steadyel Steady--state errorstate error
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Para cero steady-state error ante una entrada paso, necesitamos por lo menos n = 1.
De otra forma:
Para que un sistema tenga cero steady-state error ante una entrada paso, se requiere que el denominador de G(s) tenga por lo menos un integrador puro de primer orden.
Qu pasa si la entrada es una rampa?
Eliminando Eliminando el Steadyel Steady--state errorstate error
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Eliminando Eliminando el Steadyel Steady--state errorstate error
-
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 8585 of 66of 66
Hay una s multiplicando en G(s) en el denominador. Si no tenemos puros integradores en D(s), esa s en el denominador har que el steady-state error sea infinito.
Si hay un integrador de primer orden en G(s), esa scancelar la que esta multiplicando a G(s), y el steady-state error ser una constante finita, pero no cero.
Si hay un integrador al cuadrado o de orden superior en G(s), entonces D(s) ser cero para s yendo a cero, y el steady state error ser infinito.
Eliminando Eliminando el Steadyel Steady--state errorstate error
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 8686 of 66of 66
Qu pasa con la entrada parablica?
Eliminando Eliminando el Steadyel Steady--state errorstate error
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 8787 of 66of 66
Claramente, necesitamos un integrador ms en este casoque para el caso de la rampa.
Podemos hacer una afirmacin general:
Para Para tener tener cero steadycero steady--state error, state error, G(s)G(s) debedebecontenercontener porpor lo lo menosmenos tantostantos integradoresintegradores purospuroscomocomo tengatenga R(s).R(s).
Miremos otro ejemplo.
Eliminando Eliminando el Steadyel Steady--state errorstate error
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Q.) Para este sistema con retroalimentacin unitaria, cual es el steady state error ante cada una de las tresentradas standard?
A.) Comience por mirar la estabilidad.
Ejemplo Ejemplo de Steadyde Steady--state errorstate error
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 8989 of 66of 66
Yup, es estable. (Note tambin que podemos haceruna aproximacin a segundo orden.)
Ejemplo Ejemplo de Steadyde Steady--state errorstate error
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 9090 of 66of 66
Ahora, basados en lo que hemos aprendido, calculemos el steady-state error para cada entrada.
Para la entradapaso: hay un integrador puroen D(s), asi queel steady state error deber ser cero.
Ejemplo Ejemplo de Steadyde Steady--state errorstate error
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 9191 of 66of 66
Para la rampa: el steady state error ser una constante.
Ejemplo Ejemplo de Steadyde Steady--state errorstate error
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 9292 of 66of 66
Para la parbola: tenemos dos integradores en D(s) que en R(s), asi que el steady state error ser infinito.
Ejemplo Ejemplo de Steadyde Steady--state errorstate error
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 9393 of 66of 66
Constantes Constantes de error de error estticoesttico
En resumen, esto es lo quehemos visto:
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 9494 of 66of 66
Note que en cada una de estas ecuaciones hay un trmino que involucra G(s) y controla cual ser el steady state error.
Es prctica comn definir esos trminos de G(s)como constantes estticas de error (SECs) as.
Constantes Constantes de error de error estticoesttico
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 9595 of 66of 66
( )[ ]( )[ ]( )[ ] SECon accelerati
0lim
SEC velocity 0
lim
SECposition 0
lim
2
sGss
K
ssGs
K
sGs
K
a
v
p
Constantes Constantes de error de error estticoesttico
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Claramente, la clave de todo es el nmero de integradores en G(s). Por lo tanto, es comn clasificarun sistema definiendo su tipo:
Un sistema tipotipo n n tiene n integradores puros en suG(s).
Vemoslo con ms detalle
Constantes Constantes de error de error estticoesttico
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Suponga que la f.t. en open loop de un sistema de retroalimentacin unitaria es
N=0,1,2, indica el tipo de sistema.El Tipo de Sistema es lo mismo que el nmero de
integradores purosE.j. sistemas tipo cero no tienen integradores puros
(polos en el origen).
Por lo general n2
Tipos Tipos de de sistemasistema
mnsTsTsTssTsTsTKsG
nN
mba ++++++= ,
)1()1)(1()1()1)(1()(
21 LL
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Considere
Si el sistema es estable,
++--
rr e y)(sG)(1
)()()(
sGsG
sRsY
+=
)(11
)(1)()(1
)()(1
)()()(
)()(
sGsGsGsG
sRsY
sRsYsR
sRsE
+=++===
)(1)(lim)(lim
00 sGssRssEe
ssss +==
Tipos Tipos de de sistemasistema
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Si R(s) es un paso,
Para Tipo 0,
Para Tipo 1,
)0(11
)(11lim
0 GsGe
sss +=+=
KKGs
== )())(()())((lim)0(
0 LLLLLLLL
== )())(()())((lim)0(
0 LLLLLLLL
Ns sKG
Tipos Tipos de de sistemasistema
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Asi que, para una entrada paso unitario,
Nota: La existencia de un integrador puroeventualmente elimina el error para unaentrada paso.
higher or 1Type
0Type
01
1
=+=
ss
ss
eK
e
Tipos Tipos de de sistemasistema
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 101101 of 66of 66
Si R es una rampa,
Para un Tipo 0,
Para un Tipo 1,
21)( ssR =
)(1lim
)(1lim1
)(1lim
002
0 ssGssGsssGse
sssss / =+=+/=
00
0)())((
)())((lim)0(0
== LLLLLLLLsKsG
s
KsKssG
s=/
/= )())(()())((lim)0(
0 LLLLLLLL
Tipos Tipos de de sistemasistema
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Para un Tipo 2, (Respuesta rampa )
Asi, para una entrada rampa
2 ;)())(()())((lim)0(
0== Ns
sKsG Ns LLLLLLLL
higher or type 2 for
1type for
0type for
0
1
===
ss
ss
ss
eKe
e
Tipos Tipos de de sistemasistema
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NotaNota: La : La existenciaexistencia de 2 de 2 integradoresintegradorespurospuros eventualmenteeventualmente eliminaelimina el error el error ante ante unauna entradaentrada ramparampa....Para Para entrada entrada de de aceleracinaceleracin 2)(
2ttr =)1)(( 3ssR = i.e.,
)(1lim
)(1lim
1)(1
lim
20220
230
sGssGss
ssGse
ss
sss
/
=+=
+/=
00
Tipos Tipos de de sistemasistema
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Para Tipo 0,
Para Tipo 1,
Para Tipo 2,
0)())((
)())((lim)0(2
0
2 == LLLLLLLLKsGs
s
0)())((
)())((lim)0(2
0
2 == LLLLLLLL
sKsGs
s
KsKsGs
s== )())((
)())((lim)0( 22
0
2
LLLLLLLL
Tipos Tipos de de sistemasistema
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Tipo 3 o mas
Asi que
== )())((
)())((lim)0( 22
0
2
LLLLLLLL
sKsGs
s
higher or type 3 for
type 2 for
1 &0 type for
0
1
===
ss
ss
ss
eKe
e
Tipos Tipos de de sistemasistema
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Note que para seguir una seal particular necesitamos la transformada de Laplace de la seal en la f.t. en lazoabierto.Esto es parte de lo que se conoce con
el nombre de Internal Model Principle.El sistema en C.L. debe ser estable
)( sG c )(sGm++--
ReferenciaReferenciaSetpointSetpoint
)(sGpPlantaPlantaModelo Modelo de de
referenciareferenciaControladorControlador
Tipos Tipos de de sistemasistema
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Usted se estar preguntando cual es la utilidad real de las constantes de error esttico SECs. Parecenredundantes y hasta cierto grado lo son. Sin embargo, considere este ejemplo:Q.) Usted tiene una caja negra etiquetada con "Kp=1000". Qu sabe usted del sistema dentro de la caja?
Constantes Constantes de error de error estticoesttico
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 108108 of 66of 66
A.) 1. El sistema es estable. De lo contrario, nohay Kp.
2. El sistema es Tipo 0- no integradores. Este es el nico Tipo de sistema para el cualla constante de posicin es finita diferentede cero.
3. La entrada es un paso unitario. De lo contrario, se hubiera especificado un SECdiferente.
4. Sabemos queestep() = 1 / (1 + Kv) = 0.00999.
Constantes Constantes de error de error estticoesttico
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 109109 of 66of 66
Sistemas Sistemas de de retroalimentacin retroalimentacin no no unitariaunitaria
Ya hemos gastado bastante tiempo derivandofrmulas especificas para unity-feedback systems.
Pero como sabemos, no todos los sistemas tienenloops de retroalimentacin unitarios.
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 110110 of 66of 66
No quiero aqui derivar un nuevo conjunto de SECsetc. para cada f.t. posible en lazo cerrado.
Asi que, qu hacer con este sistema?
Respuesta: podemos convertirlo a un sistema con retriolaimentacin unitaria equivalente usando algnalgebra de bloques que ya conocemos.
Sistemas Sistemas de de retroalimentacin retroalimentacin no no unitariaunitaria
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Primero, sumemos, luego restemos en retroalimentacin, un loop de ganancia unitaria. (por supeusto esto no tiene efecto sobre Geq(s).)
Sistemas Sistemas de de retroalimentacin retroalimentacin no no unitariaunitaria
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 112112 of 66of 66
Ahora, combinemos G(s) y H(s):
)()(1)(
sHsGsG
+-1
+- -
R(s) C(s)
Sistemas Sistemas de de retroalimentacin retroalimentacin no no unitariaunitaria
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 113113 of 66of 66
Volvamos a combinar la nueva fincin forward (G(s), si lo prefiere) con el feedback loop que incluye la ganancia -1.
Sistemas Sistemas de de retroalimentacin retroalimentacin no no unitariaunitaria
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 114114 of 66of 66
Q.) Cual es el estep()?
A.) Su primer instinto debera ser decir cero, ya queparece ser un sistema Tipo 0.
Sistemas Sistemas de de retroalimentacin retroalimentacin no no unitariaunitaria: : EjemploEjemplo
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 115115 of 66of 66
Sin embargo, vemos que este es un sistema de retroalimentacin no unitario, an esos resultadosse derivaron fue para sistemas de retroalimentacin unitaria..
Asi que, primero necesitamos encontrar la f.t. forward de retroalimentacin unitaria equivalente(llamada T(s)). Esto es:
Sistemas Sistemas de de retroalimentacin retroalimentacin no no unitariaunitaria: : EjemploEjemplo
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 116116 of 66of 66
( )( )( ) ( )( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )
14
14)4(
11)4(
11
)4(1
11
1
1
23
2
++=
++=+++
+=
+=+
+=
ssss
ssss
sssss
ss
sGsHsGsG
sHsGsG
sHsGsG
sT
Cambio Cambio de de signo signo en en D(s)D(s)
Sistemas Sistemas de de retroalimentacin retroalimentacin no no unitariaunitaria:: EjemploEjemplo
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 117117 of 66of 66
Dnde estn los polos de este sistema?
{ }4953.00303.0,061.4 14)(
3,2,1
23
jpss
ssGeq
+=++=
Sistemas Sistemas de de retroalimentacin retroalimentacin no no unitariaunitaria:: EjemploEjemplo
El sistema es inestable, y no podemos evaluar susteady-state error.
Miremos otro ejemplo.
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 118118 of 66of 66
Q.) Cual es el estep()?
A.) Proceda como antes; primero chequee la estabilidad del sistema encontrando Geq(s).
Sistemas Sistemas de de retroalimentacin retroalimentacin no no unitariaunitaria:: EjemploEjemplo
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 119119 of 66of 66
( ) ( )( ) ( )
22 )3(2
962
1)2)(4(2
21
411
41
1
++=++
+=
++++=
++++=
+=
ss
sss
sss
ss
s
sHsGsGsGeq
EstableEstable..
Sistemas Sistemas de de retroalimentacin retroalimentacin no no unitariaunitaria:: EjemploEjemplo
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 120120 of 66of 66
Ya que el sistema es estable, podemos proceder a encontrar su steady-state error ante una entrada paso. Calcular la f.t. forward equivalente al sistema de retroalimentacin unitario y listo!!.
( )866.05.2
275
2
12862
41
21
411
41
)()()(1)()(
2
2
jss
sss
ssss
sss
s
sGsHsGsGsT
++=++
+=
++++=
+++++=
+=
Sistemas Sistemas de de retroalimentacin retroalimentacin no no unitariaunitaria:: EjemploEjemplo
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 121121 of 66of 66
No hay integradores puros en el denominador, asi que el error en estado estacionario (steady-state error) ante una entrada paso debera ser una constante diferente de cero. Evaluemos:( )
( )( )
( )( )7778.0
721
1866.05.2866.05.2
21
1866.05.2866.05.2
20
lim1
1
)(0
lim1
1
=+=++
=
++++
+=
+=
jj
jsjss
ssT
s
estep
Sistemas Sistemas de de retroalimentacin retroalimentacin no no unitariaunitaria:: EjemploEjemplo
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 122122 of 66of 66
Introduzcamos aqui otro tpico de inters: sensitividadsensitividad. La Sensitividad es casiautoexplicatoria; describe la sensitividad del comportamiento de un sistema ante cambios en susparmetros.
Por qu nos importa? Hay una razn esencial: no son las constantes. Los valores de los parmetros del sistema variarn con la temperatura, edad del sistema, y otros factores de forma muy compleja que es dificil de modelar directamente.
SensitividadSensitividad
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La sensitividad de una funcin F ante un cambio en un parmetro P se denota
SF:PY se define entonces as:
Definicin Definicin dede SensitividadSensitividad
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Considere el siguiente OPAM.
SensitividadSensitividad: : EjemploEjemplo
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Sabemos que la funcin de transferencia de estecircuito (sistema) es:
Assuma que tenemos R1 = 1 y C2 = 10 F. Tambin hagamos s = j con = 377 rad/s.
SensitividadSensitividad: : EjemploEjemplo
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 126126 of 66of 66
Q.) Encuentre un valor de R2 tal que la sensitividad de la ganancia ante cambios en R2 sea mnima.
A.) Note que lo que queremos es
SG:R2Necesitaremos la derivada de G(s) con respecto a R2. Podemos hacerlo sin MATLAB, pero miremos cmousar MATLAB para hacerlo.
SensitividadSensitividad: : EjemploEjemplo
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 127127 of 66of 66
Primero, usando el comando syms, defina todaslas variables en la funcin como simblicas:
syms C2 R1 R2 s
Luego, digite la funcin y derivela con respectoa R2 usando el comando diff :
G=1/(R1*C2)*(1/(s+1/(R2*C2))); D=diff(G,R2)
SensitividadSensitividad: : EjemploEjemplo
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 128128 of 66of 66
Hay otros dos comandos que puede usar para afinar el resultadot D: pretty (ya lo haban visto en seales y sistemas??) y simplify.
D2=simplify(D);pretty(D2)
simplify algebraicamente reducir la expresin porusted.
SensitividadSensitividad: : EjemploEjemplo
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 129129 of 66of 66
Despues de usar syms, diff, simplify y pretty, se obtiene:
Sustituya esto en la definicin de sensitividad.
SensitividadSensitividad: : EjemploEjemplo
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 130130 of 66of 66
Ahora debemos minimizar esto. En otras palabras, debemos derivar con respecto a R2 e igualar a cero.
SensitividadSensitividad: : EjemploEjemplo
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 131131 of 66of 66
Para simplificar el problema, reemplacemos de unavez por sus valores numricos.
Hay varios factores comnes aqui. Despus de simplificar:
SensitividadSensitividad: : EjemploEjemplo
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Podemos diferenciar e igualar a cero, pero no hay necesidad; claramente la sensitividad disminuye a medida que R2 aumenta, asi que queremos el mximo R2 que podamos usar y an lograr otras metas de desio (gain, etc.).
SensitividadSensitividad: : EjemploEjemplo
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 133133 of 66of 66
Porqu la sensitividad es importante?. Como ya lo mencionamos, una gran razn es que los valores de los parmetros de un sistema pueden depender de factores tales como:
: edad: temperatura: influencias externas tales como campos elctricosy magnticos, polvo, etc.
En resumen, hay hay unauna incertidumbreincertidumbre (uncertainty) (uncertainty) asociada asociada con con nuestros modelos fsicos nuestros modelos fsicos de de los los sistemassistemas..
RobustezRobustez
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 134134 of 66of 66
Preferimos que nuestro controlador sea capaz de controlar apropiadamente el comportamiento del sistema (planta) bajo cualquier condicin, an cuandolos parmetros del sistema no sean totalmenteconocidos.
La abilidad de un sistema de control para hacer esto, controlar el sistema an cuando sus valores cambien, se denomina robustnessrobustness del sistema. Un controladorrobustorobusto todavia trabaja en presencia de incertidumbre.
RobustezRobustez
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CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 135135 of 66of 66
Claramente, la robustez es una buena vaina!!!. Cmoincrementamos la robustez de un sistema?
Sobrediseo (ej. Multiplicando los mrgenes de estabilidad por algn nmero fijo, etc.). El sobrediseo trabaja, pero limita nuestra abilidad para cumplir con otras especificaciones en el transiente.
Sensitividad decreciente. Si un controlador es sensitivo a cambios en un parmetro no bien conocido, entonces no importa mucho ese parmetro ni que representa.
RobustezRobustez
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La funcin de transferencia general de un sistema es:
Estabilidad de sistemas de orden superior
GG
HH
++
--
RR YY
)(
)()(1)(
)()(
11
10
11
10 nmasasasabsbsbsb
sHsGsG
sRsC
nn-nn
mm-mm
++++++++=
+=
LL
-
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Cmo juzgar la estabilidad?sin factorizar el denominador.Si usted tiene un par de polos en el denominador,
puede simplificar sus sitema para mayor facilidad.
Estos polos dominan Estos polos dominan la la respuestarespuesta
Estabilidad de sistemas de orden superior
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Tambin note que cualquier respuestade un sistema puede descomponerse en la suma de 1er+2do orden.
22dodo ordenorden
11erer ordenorden
Estabilidad de sistemas de orden superior
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Cmo los polos determinan la estabilidad.
Re(s)Re(s)
RHPRHPLHPLHP
ImIm(s)(s)
Estabilidad de sistemas de orden superior
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En general, podemos usar esta prueba de Routh-Hurwitz test para determinar sihay polos en el RHP.Trabaja con la ecuacin caracterstica.
Criterio #1Considere
donde . Asumimos que cualquier raiz cero ya ha sido
factorizada.
011
10 =++++ nn-nn asasasa L0na
Prueba de Routh Hurtwitz
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Criterio #1: (Cont)Si cualquiera de los coeficientes no tiene el mismo
signo, hay por lo menos una raiz inestable.Si cualquiera de los coeficientes es cero, hay
raices que son imaginarias. (sobre el eje j.)Asi que: Primer criterio de estabilidad: Todos los ai
deben ser positivos.
Criterio #2:Si todos los coeficientes son positivos entonces
forme un arreglo con tales coeficientes. Y chequee los valores dentro del arreglo.
Prueba de Routh Hurtwitz
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Criterio #2: (Cont)Forme el arreglo asi:
00
1
1
21
4321
7531
6420
gf
ee
bbbbaaaaaaaa
MM
nn-nn asasasa ++++ 1110 L
0
1
2
2
1
sss
sss
n
n
n
M
1
30211 a
aaaab =31
20
aaaa ++--
Prueba de Routh Hurtwitz
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1
50412 a
aaaab =531
420
aaaaaa ++--
1
70613 a
aaaab =
1
21311 b
baabc =1
31512 b
baabc =
1
12211 c
bcbcd =1
41713 b
baabc =
1
13312 c
bcbcd =
Prueba de Routh Hurtwitz
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La primera columna es:
El nmero de raices parte real posistiva es igual al nmero de cambios de signo en la primera columna del arreglo, igual al nmero de polos en el lado derecho, igual al nmero de inestabilidades del sistema.
[ ]Tcbaa L 1110
Prueba de Routh Hurtwitz
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Ejemplo. 1
Para no cambios de signo se requiere
0322
13
0 =+++ asasasa
3
1
3021
31
20
0
aa
aaaaaaaa
0
1
2
3
s
s
ss
3021 aaaa >Note: Note: una desigualdaduna desigualdad
Prueba de Routh Hurtwitz
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Ejemplo. 2
2 cambios de signo 2 raices con parte real positiva
05432 234 =++++ ssss
5 0 6
512
43*2042531
=
0
1
2
3
4
ss
sss
Prueba de Routh Hurtwitz
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1) Si una de las entradas de la 1ra columna es cero, reemplace por un trmino epsilon muy pequeito y proceda iguale.j 022 23 =+++ sss
raicesraices 2, 2, jj
2002211
0
1
2
3
ssss
Prueba de Routh Hurtwitz: Casos especiales
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Si el signo de los coeficientes sobre un cero es el mismo que el del cero de abajo significa que hay un par de raices imaginarias.Si los signos son diferentes arriba y
abajo de un cero, indica un cambio de signo.ej. 0)2()1(23 23 =+=+ ssss
RaicesRaices 1, 1, 1, 1, --22
Prueba de Routh Hurtwitz: Casos especiales
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Ej. 0)2()1(23 23 =+=+ ssss
2
023
2031
0
1
2
3
s
s
ss
2 2 cambios cambios de de signosigno
2 2 raices inestablesraices inestables((ambas ambas en 1)en 1)
RaicesRaices 1, 1, 1, 1, --22
Un Un cambio cambio de de signosigno
Prueba de Routh Hurtwitz: Casos especiales
Un Un cambio cambio de de signosigno
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2) Si todos los elementos de una fila son cero, significa que hay raices de igual magnitudradialmente opuestas en el plano complejo.Para continuar, forme un polinomio auxiliar con
los coeficientes de la ltima fila y use la derivadadel polinomio en la prxima fila.Las raices del polinomio auxiliar son
radialmente opuestas en el plano complejo.
Prueba de Routh Hurtwitz: Casos especiales
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Ej. 0502548242 2345 =+++ sssss
005048225241
3
4
5
sss
50 07.1125024
96850482
0
1
2
3
4
-sssss
Polinomio auxiliarPolinomio auxiliar P(s)P(s)
50482)( 24 += sssPss
ssP 968)( 3 +=
Un Un cambiocambio de de signosigno 1 1 raiz positivaraiz positiva((tiene que tiene que ser real)ser real)
Prueba de Routh Hurtwitz: Casos especiales
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Ej. ContLas raices de P(s) son s=1, j5La raiz real inestable esta en s=+1.
Prueba de Routh Hurtwitz: Casos especiales
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Routh-Hurwitz test puede usarse para encontrar regiones de estabilidad.Ej.
KK )2)(1(1
2 +++ ssss++--
R(s)R(s) e u )(sYPP--controlcontrol
KssssK
sRsY
++++= )2)(1()()(
2
Aplicacin a sistemas de control
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La Ecuacin Caracterstica es:0233 234 =++++ Kssss
00792
037
329
02331
1
3032
3
4
Ks
Kss
Ks
K
==
Aplicacin a sistemas de control
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Para estabilidad, y
garantizar estabilidad
El criterio no es realmente til en diseo (Ej. Cmo reducir el overshoot). Pero es muy tilpara anlisis iniciales (Ej., qu ganancias debo evitar para estabilidad)
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