cap 4 potencial electrico 46 74
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Cuaderno de Actividades: Física II
4) Potencial Eléctrico y Energía Potencial
Electrostática
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 46
Cuaderno de Actividades: Física II
4) 4) PotencialPotencial EléctricoEléctrico
V V àà CAMPO ESCALARCAMPO ESCALAR
Escalar
1
r r
→→ ′−
r r
{ } 2
1,E F
r r→
′−
r rr r
4.1)4.1) DefiniciónDefinición dede potencialpotencial dede unauna cargacarga puntualpuntual
La diferencia de V,La diferencia de V, V∆ , entre los puntos A y B, será igual al trabajo, entre los puntos A y B, será igual al trabajo cuasiestacionario realizado por la fuerza externa, sobre al carga de prueba, porcuasiestacionario realizado por la fuerza externa, sobre al carga de prueba, por unidad de carga de prueba.unidad de carga de prueba.
W E≡
: EXT EProceso cuasiestacionario F F − ≡r r
0
eFE
q=
rr
: Definición operacional del E
( ) ( )33 2
ˆr
kq r rkqr kqE r e
r rr r
′−≡ ≡ ≡
′−
rr r
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
ρ
•P
0qq0
A BV V
A BEXT EF Fr r
r
47
Cuaderno de Actividades: Física II
( )
, 0
0
0 0
.
. .
" " " "
A
B
EXT
B A
A A
B B
r
A B
F q
AB A B
r r
EXT e
rA
B
r
rB
WV V V
q
F dr F dr
V V q q
A r cualquiera
B r refererencial V REFEREN
V V E V Vdr
C A
E
I L
→
− ≡
∆ ≡ − ≡
−
−− ≡ ≡
←
→→ ←
∆ ≡ ∆
∫ ∫
∫
r
r
r r r
r
r
r
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
ˆ ˆ,
1 1
1 10
( )
A
B
A
B
A
B REF
r
REF r r
r
r
REF
r
r r
REFr r
REFREF
REF REF REFREF
q
kqV r V r e dr dr dre
r
kq V r V r dr
r
kqV r V r
r
V r V r kqr r
V r V r kq r Vr r
kq
V r r
≡
≡
− ≡ − ≡
→ − ≡ −
− → − ≡ −
→ − ≡ −
≡
≡ + − → ∞ ⇒ ≅
→
∫
∫
r r
Generalizando para una carga q colocada en Generalizando para una carga q colocada en r′r ,,
( )q kqV r
r r≡
′−r r
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Cuaderno de Actividades: Física II
4.2)4.2) PotencialPotencial parapara diversasdiversas distribuciones distribuciones dede cargascargas
Extendiendo la expresión para una carga puntual obtenemos las expresionesExtendiendo la expresión para una carga puntual obtenemos las expresiones para distribuciones discretas y continuas,para distribuciones discretas y continuas,
i) i) DistribucionesDistribuciones DiscretasDiscretas: n q: n q
( ) ,
( ) ( )i
q ii
qDD
i
kqV r r r
r r
V r V r
′≡ ≡′−
≡ ∑
r rr r
1
( )i n
DD i
i i
kqV r
r r
=
=
≡−∑ r r
ii) ii) D.D. ContinuasContinuas: : ρρ , , σσ y y λλ
( )k dv
V rr r
ρ
ρ
ρ≡′−∫ r r
( )k da
V rr r
σ
σ
σ≡′−∫ r r
( )k dl
V rr r
λ
λ
λ≡′−∫ r r
[ ] Ju V volt V
C≡ ≡ ≡
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• P
1q
iqnq
irr
rr
ρdq
P
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Cuaderno de Actividades: Física II
4.3) 4.3) LugaresLugares equipotencialesequipotenciales
i) SuperficiesSuperficies equipotencialesequipotenciales
Son regiones del RSon regiones del R3 3 donde el V se mantiene constante.donde el V se mantiene constante.
j) Volumétricosj) Volumétricos Volumen A Volumen A V=cte V=cte
jj) Superficialesjj) Superficiales Plano A Plano A V=cte V=cte
jjj) Linealesjjj) Lineales Líneas A Líneas A V=cte V=cte
*El E es perpendicular a las superficies equipotenciales.
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Q ρ
σ
+
−
SE
Er
50
Cuaderno de Actividades: Física II
ii) Equipotenciales asociadas a ciertas ii) Equipotenciales asociadas a ciertas ρ
i) ρ àà q q
ii)ii) ρ àà D. Discretas D. Discretas
. 0E dr =r r
iii)iii) ρ λ→
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à CASACARONES
KqV
R=
r R≡
Er
Superficie Equipotencial
λ
Superficie Equipotencial
λ
Er
51
Eρ →r
Cuaderno de Actividades: Física II
iv)iv) ρ σ→
v)v) ρ ρ→
4.4) 4.4) RelaciónRelación entreentre V E∧r
1º1ºàà ( ) .ref
r
ref
r
E V
V r V E dr
V E
ρ ρ
→
− ≡ −
→
∫
r
r r
r
E V≡−∇r
2º2ºàà E CAMPO CONSERVATIVO→r
( )ˆˆ ˆi j k V V x, y,zx y z
∂ ∂ ∂∇ ≡ + + ≡∂ ∂ ∂
AplicacionesAplicaciones
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σEr
σ
//Planos σ
ρ
Superficie Equipotencial
( )rρ
q≡
52
Cuaderno de Actividades: Física II
S2P1)S2P1) Una esfera conductora de radio R posee una densidad de carga: Una esfera conductora de radio R posee una densidad de carga:
( ) 00,r r cteR
ρρ ρ ≡ ≡
a)a) Halle la carga total.Halle la carga total.b)b) Halle la carga en el interior de una esfera de radio r.Halle la carga en el interior de una esfera de radio r.c)c) Halle el y úselo para determinar el V en cualquier potencial y graficar.Halle el y úselo para determinar el V en cualquier potencial y graficar.
SoluciónSolución::
{ } ( )
( )
( ) ( )
42 30 0 0
0
30
) 4
:
)
)
4
.ref
r
r
ref
r
r r q dv r dr q r r dr
R R R
Q r R R
El potencial se puede hallar con
k dv V
a
r V E dr V rr
b
r
c
ρ ρ
ρ ρ
ρ
ρ πρ πρρ π
πρ
ρ
≡ ≡ → ≡ =
≡ ≡
≡ − ∨ ≡′−
∫ ∫ ∫
∫ ∫r r
r r
{ }
0
32 0
0
.
44
) NE
SG
II
qE da E//da
E cte punto SG
R
I
E
I
r
ε
πρπε
≡ →
→ ∀
≡ →
∫r rr r
r
r
Ñ
3
02
0
1
4II
RE
r
ρε
=
r
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IEr
IIEr
rR
R dar
53
Cuaderno de Actividades: Física II
{ }4
2 0
0
) 4IIr
E rR
πρπε
≡ →r
20
04IE rR
ρε
=
r
( ) { }
( )
2 2
30
0
ˆ) ˆ.
1] , 0
4
REF REF
REF
r rII
REF r r REF II
r r
rREF II r REF REF
IIII
C drV r V e dre V C
r r
V C r Vr
I
I
RCV r
r rρ
ε
≡ − ≡ −
− = − → → ∞ ≈
= ≡
∫ ∫
( ) { } { }
( )
2 2
3
ˆ ˆ.
3
)
?
REF REF
r
rREF
r r
REF I r r REF I
r r
I REF I REF
I V r V C r e dre V C r dr
rV V r V C
≡ − ≡ −
≡ − ←
≡
∫ ∫
ArgumentaciónArgumentación::
àà Continuidad del VContinuidad del V: ( ) ( )I IIV R V R≡
à ( )
2 3 30 0
0 04 4 3 3I
R r RV r
R
ρ ρε ε
≡ − −
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Cuaderno de Actividades: Física II
4.5)4.5) EnergíaEnergía potencialpotencial electrostáticaelectrostática, , ePE U=
La ELa Epe pe se puede definir como la E almacenada en el sistema de cargas luegose puede definir como la E almacenada en el sistema de cargas luego
de constituir el sistema de cargas. Esto es, la energía necesaria para formar elde constituir el sistema de cargas. Esto es, la energía necesaria para formar el sistema de cargas.sistema de cargas.
Para un sistema qPara un sistema q11,q,q22,r: ,r: 1 2pe
kq qE
r≡
En general,
12
2121
rr
qKq
d
qKqE
ep pp −≡≡
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EXT EF F kqQW W q V
R−≡ − ≡ ∆ ≡
Q q r
0 → ∞
0
Q q
r
Inicio
fin
1q
1rr
2rr
2qd
55
Cuaderno de Actividades: Física II
EEpepe parapara ciertasciertas distribucionesdistribuciones dede cargacarga
i)i) Distribuciones DiscretasDistribuciones Discretas
Caso n=4
1
1 22
3 2 3 13
4 3 4 2 4 14
0
2
2
E
Kq qE
lKq q Kq q
El l
Kq q Kq q Kq qE
l ll
=
=
= +
= + +
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iq
E1
E3
E2
E4
1q1q 1q 1q
1q
2q2q2q
2q
3q 3q
4q
3q
4q
56
4
e
n
P ii
E E=
≡ ∑
Cuaderno de Actividades: Física II
1 1
1,
2
j nj
j jj i jj
i n
ei
i
p i
kq
rqV V
rE
≡
≡≠
≡
≡
≡≡−∑∑ r r
ii)ii) Distribuciones ContinuasDistribuciones Continuas
Para el volumen: Para el volumen: 1
2pE dvVρ
ρ= ∫
Para el área: Para el área: 1
2pE daVσ
ρ= ∫
Para la longitud: Para la longitud: 1
2pE dlVλ
ρ= ∫
4.6)4.6) Dipolo eléctrico, Dipolo eléctrico,
AISLANTEAISLANTE
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≡ ≡+-
+-
+-
+-
+-
+-+
-
+-
+-
+-
+-+
-+- +
-
,P pr r
---
---
57
-
Cuaderno de Actividades: Física II
Definición de dipolo eléctricoDefinición de dipolo eléctrico
Es el caso más simple {el modelo más sencillo} del Es el caso más simple {el modelo más sencillo} del momento dipolarmomento dipolar,, pr
, de un de un sistema de cargas.sistema de cargas.
Para el caso de Distribuciones Discretas:Para el caso de Distribuciones Discretas:
1
i n
i ii
p q r=
=
= ∑r r
Cuando n=2 y las cargas son de igual intensidad con diferente polaridad:Cuando n=2 y las cargas son de igual intensidad con diferente polaridad:
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2 2
2
2 :
,
1
1 1
1 1
n q q q q
pero r r r si
p r q r q q r r
r r d
≡ + + − ≡
= ≡ + ∧ ≡ −
→
− <<< −
−
=
r
r r r r r
r r r r
p qd=rr
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1 2r r r rq q + −
58
Cuaderno de Actividades: Física II
i) Potencial del Dipoloi) Potencial del Dipolo
àà “P muy lejos a ” “P muy lejos a ”
1 2
2
1 22
2 2
.2 2 2 4
.1
4
*dd d d
r r r r r r r d
dr d r
r r
−
− ≡ + ≡ + + ≡ + +
≡ + +
% % % % %
%%
% %
* 1 :d
Considerando a pequeñor
<<%
( ): 1 1 , 1n
BINOMIO x nx x+ ≈ + <<
( )
1 2
2
1 2
2
2
.1
1 1 .1
cos., ,
r dr r r
r
r d
r r r r
dr d r d
rr
θθ θ
−
′− ≡ +
→ ≡ + ′−
≡ =
%%
%
%
% %
%%
%%
( )
( )
2
2
2
1 1 1 .1
2
1 .1
2
1 .1
2
q
q
r d
r r r r
Kq r dV r
r r
Kq r dV r
r r
−
−
+
≡ − − − → ≡ −
→ ≡ +
%
% %
%
% %
%
% %
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r
r r
r
− +
′rr r
r
q q − +
P
d
59
Cuaderno de Actividades: Física II
( ) ( )3
.p
r dV r Kq
r⇒ ≡
%
%
p qd = ⇒ ( ) ( )3
.p
r pV r K
r≡
%
%
( ) ( ){ }3
.p
r r pV r k
r r
′→
−≡
′−
:
:
r localiza el p
r localiza el P(punto de calculo)
′
( )pV r en mejores coordenadasen mejores coordenadas
( ) ( ){ }3
.p
De la ecuación anterior :
r pV r k
r≡
( ) 3 2
cos cosp
rp k pV r k
r r
θ θ≡ ≡
( )) "Pii E r Campo del Dip olo"
( ) ( )5 3
3 ..P
r p r pE r k
r r
≡
% %r
% %
( ) ( ) ( )q qPE r E r E r DD− += + ←
iii)iii) Energía de InteracciónEnergía de Interacción
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p
r′r
E
rr
p
60
Z P
r
0 Y
X
θ
Cuaderno de Actividades: Física II
pep E E para formar p− ≡
à Energía para formar el dipoloEnergía para formar el dipolo en ese campo y posición.en ese campo y posición.
.peE W p E≡ ≡ −
iv)iv) Fuerza sobre un p en una región de EFuerza sobre un p en una región de E
pF W≡ −∇r
p peF E≡ −∇
v)v) Torque sobre un p en una región de ETorque sobre un p en una región de E
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pE
EpF
pE
r′
61
Cuaderno de Actividades: Física II
( ){ }.p r p E p Eτ ′≡ × ∇ + ×r
:
p
Si r es cero o si E es uniforme
p Eτ′
= ×
Aplicaciones:
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Cuaderno de Actividades: Física II
S2P17) Un volumen esférico de radio R0 está lleno con carga de densidad uniforme ρ. Supongamos que dicha esfera se construye, capa por capa, a partir de una esfera de radio r, a) ¿Cuál es la carga total en este estado?, b) Seguidamente añada una capa infinitesimal delgada de espesor dr. ¿Cuánto vale el trabajo dw efectuado en trasladar la carga de esta capa desde el infinito hasta el radio r?, c) Finalmente realice una integración desde r = 0 a r = R0 para calcular el trabajo total, ¿Cuál es la energía total asociada al sistema?, expréselo en función de la carga total Q y del radio de la esfera R0.
Solución:
A) Por superposición de capas: forma distinguible.
{ } { } ( )2 3
2
2 4
4(4 ) ( )
433
k r dr rkdq q
dW k r drr r
ρ π ρ π πρ
≡ ≡ ≡
( ) ( )0 0
2 22 24 5
00 0
4 4
3 15
R R k kW E dw r dr R
π ρ π ρ≡ ≡ ≡ ≡∫ ∫
( ) 24k π
≡5 15
2
4
Q×
3π 3
0R
502
0
R
R
×
9× 3
2
0
3
5
kQW E
R≡ ≡
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Q ρ
q q +dq dr r r R0
63
Cuaderno de Actividades: Física II
B) Usando la Ec general: forma indistinguible
0
00
3
20
2 2( ) 0
0
1
2
( )
( ) . ; ,
4[ ( )]
3( ) { }{ }
4 1{ }
3 2
pel
r
ref ref ref
ref
r
R
r
E dvV
V Vp V r
kQV r V E dr r R V
R
k rkQV r dr
R r
kQV k r R
R
ρ
ρ
ρ π
ρ π
=
= ≡
= − = =
= −
= − × −
∫
∫
∫
r r
0 22 4 2 2
000
3 5 52 0 0 0
0
2 2
2
0
50
1 1 1 1 1( 4 ) { }
2 4 3 2 3 2
1 1 1 1 1( 4 ) { }
2 4 3 3 2 5 3 2 3
1 1 1 1
3
5
(4 )2 9 30 18
R
pel
QrE k r R r dr
R
QR R Rk
kQW E
R
R
kR
ρ πρ π
ρ πρ π
ρ π
= − × + ×
= − × + ×
= − +
≡ ≡
∫
S2P38) Determine el V en el eje de un anillo de radio R y densidad λ
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 64
Cuaderno de Actividades: Física II
( )'
k dlV z
r rλ
λ≡−∫ r r
ˆ ˆ ˆ, ' cosr zk r R i Rsen jθ θ≡ ≡ +r r
( ) ˆˆ ˆ' cosr r R i Rsen j zkθ θ→ − ≡ − − +r r
{ }1
2 2 2'r r R z− ≡ +r r ;
dl Rdθ≡
( ){ }
{ }2
1 02 2 2
k RV z d
R z
πλ λ θ≡+
∫
( ){ }
12 2 2
2 k RV z
R z
λ π λ≡+
S2P39) Una partícula de masa m y carga – q se coloca en el centro de un anillo cargado uniformemente, de radio a. El anillo tiene una carga total positiva Q y la partícula está confinada a moverse en el eje del anillo (X). Si se desplaza una pequeña distancia x de su posición de equilibrio a lo
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Z P z ≡ d
λ
0 y φ R
x dq
65
Cuaderno de Actividades: Física II
largo del eje (x << a) y luego es soltado, demuestre que la partícula oscilará con MAS y halle la frecuencia de oscilación.
Solución:
A) Usando Epe
La Ep para formar el sistema Anillo-carga,
( ){ }
12 2 2
2p
k aqE qV x
a x
λ π λ≡ ≡+
Aplicando la condición,
( )1
222 1 ( )p
xE qV x k q
aλ π λ
− ≡ − ≡ − +
2
2 22
12 1 ( )
2
1; :
2
p
p
xE k q
a
k qE x kx k cteelastica
a
π λ
π λ
≡ − −
≡ ≡ % %
22 3 3
1 (2 )
2
k q a kq Qkqk k m
a a a
π λ π λ ω≡ → ≡ ≡ ≡% %
1
3
2
32 1
2 2
kQq
m
q
a
Qkm
aνω ω ν
π πω≡ → ≡ ≡
←
→ ≡
B) Usando fuerza eléctrica
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Z Y dq
rr
dFr
dθ x -q X
66
Cuaderno de Actividades: Física II
dq dsλ≡ 2
Q
aλ
π=
dFx ≡ dF cosφ
(solo interesa fuerza hacia la izquierda)
Distribución contínua de carga
∑ → ∫
2
coscos
kdqqF dF
r
φφ= =∫ ∫
( ) ( )2
cosk ad q
r
λ θ φ≡ ∫
2
2 0
cosk aqd
r
πλ φ θ≡ ∫
3
xF kQq
r≡
( ) 3/ 22 2
xkQq
x a≡
+
( ) 3/ 22 2
ˆxFe kQq i
x a= −
+
r
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 67
Cuaderno de Actividades: Física II
x << a 1x
a<<
3/ 223 1
xFe kQq
xa
a
= − +
r
3ˆ ˆk Q q
Fe xi cxia
= − ≡ −r
ˆ ˆFe Fe cxi mxi≡ ≡ − ≡r r
&&
0c
x xm
+ ≡&&
2 0x w x→ → ≡&&
cw
m=
3
1
2 2
w kQq
maν
π π≡ ≡→
S2P21) Calcule la energía que se requiere para hacer el arreglo de cargas que se observa en la figura, donde a = 0,20, b = 0,40 m y q = 6µC.
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+q
-2q
a
+2q b +3q
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Cuaderno de Actividades: Física II
Deducir las expresiones que usará.
SOLUCION:
Ep,el =?
a)
* w1 = 0
* 1 22
. .k q qw
b=
( )1 3 1 3
3 1/ 22 2
. . . .k q q k q qw
aa b= +
+
( )3 41 4 2 4
3 1/ 22 2
. .. . . . k q qk q q k q qw
a ba b= + +
+
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q1 q2 a
q4 b q3
q1 a
b
q1 q2
a
b
q1 q2
a
b q3
q1 q2
a
q4 b q3
69
Cuaderno de Actividades: Física II
, 1 2 3 4p el TE w w w w w→ = = + + +
b) * ( )
32 41 1 11/ 22 2:
kqkq kqq q w
b aa b
+ + = +
*( )
31 42 2 21/ 22 2
:kqkq kq
q q wb a a b
+ + = +
*( )
1 2 43 3 31/ 22 2
:kq kq kq
q q wa ba b
+ + = +
*( )
31 24 4 41/ 22 2
:kqkq kq
q q wa ba b
+ + = +
( )( )
, 1 2 3 4
1 2 3 4
1' ' ' '
2p elE w w w w
w w w w
→ = + + +
= + + +
S2P27) La esfera de radio “a” constituye un sistema de cargas con densidad volumétrica ρ = ρ0 r. Se encuentra rodeada concéntricamente por un cascaron metálico de radio interno “b”.
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a S
b
70
Cuaderno de Actividades: Física II
a) Calcule el potencial eléctrico en r = a/2b) Si se conecta el interruptor S, ¿Cuál es el nuevo potencial en r =
a/2?
SOLUCION:
( ) 0.r rρ ρ=
a) s↑ V( r = a/2) = ?
( ) ( ) ( ) ( )2 4 40 0 0
0
4r
q r r r dr r q a Q aρ π πρ πρ= = → = =∫
( ) .REF
r
REF
r
V r V E dr→ = − ∫r r
(4): E4 =? ← LG → ( )4 42
kQ kqE V r
r r= → =
(3): E3 =0 → V3 (r) = cte ← LG
Debido a la continuidad del V,
r = c; V (r = c) = V3 = V4 (r = c) = kQ
c
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E3 =0 s q (r) +Q -Q +Q er E1 E2 E4 0 a b c r (1) (2) (3) (4)
71
Cuaderno de Actividades: Física II
(2): ( )2 2
kQE r LG
r= ←
( ) ( ) ( )2 2ˆ ˆ.
r
r r
b
kQV r V r b e dre
r = = − ∫
( )2
kQ kQ kQV r
c r b → = + −
(1): E1 (r) =? ← LG→0
. NE
SG
qE ds
ε∴ =∫
r rÑ
{ }4
2 01
0
.. 4
rE r
πρπε
→ =2
201 0
0
.. .
4
rE k r
ρ π ρε
→ = =
V1 (r) =? → ( ) ( )1 1.r
a
V r V r a E dr= = − ∫r r
→ ( ) ( ) ( )3 301 3
kV r V a r a
πρ= − −
Por continuidad del V, ( ) ( )1 2:r a V a V a= =
( ) ( ) ( )2 1
1 1 1V a kQ V a V a
c a b → = + − = =
( ) ( )3 301
1 1 1
3
kV r kQ r a
c a b
πρ → = + − − −
( )3
01
71 1 1/ 2
24
k aV a kQ
c a b
πρ = + − + →
b) s↓ V( r = a/2) = ?
En estas condiciones la carga +Q externa es neutralizada por “tierra”, alcanzando el cascaron potencial cero.
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 72
Cuaderno de Actividades: Física II
(4): E4 =0 ← LG → ( )4 40 0E V r= → = , debido a la continuidad del V,
(3): E3 =0 → V3 (r) = 0
(2): ( )2 2
kQE r LG
r= ←
( ) ( ) ( )2 2ˆ ˆ.
r
r r
b
kQV r V r b e dre
r = = − ∫
( )2
kQ kQV r
r b → = −
(1): E1 (r) =? ← LG→0
. NE
SG
qE ds
ε∴ =∫
r rÑ
{ }4
2 01
0
.. 4
rE r
πρπε
→ =2
201 0
0
.. .
4
rE k r
ρ π ρε
→ = =
V1 (r) =? → ( ) ( )1 1.r
a
V r V r a E dr= = − ∫r r
→ ( ) ( ) ( )3 301 3
kV r V a r a
πρ= − −
Por continuidad del V en ( ) ( )1 2:r a V a V a= =
( ) ( ) ( )2 1
1 1V a kQ V a V a
a b → = − = =
( ) ( )3 301
1 1
3
kV r kQ r a
a b
πρ → = − − −
( )3
01
71 1/ 2
24
k aV a kQ
a b
πρ = − + →
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 73
Cuaderno de Actividades: Física II
S2P35) Usando la ecuación: ( ) 20
2 cos,
4
aqV r
r
θθπε
= , r >> a, demuestre que las
superficies equipotenciales de un dipolo eléctrico son descritas por la ecuación r2 = b cosθ donde b es una constante.
SOLUCION:
( ) 20
2 . .cos, ;
4
a qV r r a
r
θθπε
= >>
2, : cos ; : ...?pSE V r b b cteθ=r
( ) 2
cos,
kpV r
r
θθ =
S E: V = cte
( ) 22 coscos :kp kp
r b b cteV V
r bθ θ→ = → = =→
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 74