cap 9 ejemplo introduccion
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Diseño en concretoTRANSCRIPT
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1Concreto Armado 1
Captulo 9
Ejemplo Introductorio
Viga simplemente apoyada de 5 m de luz.
Seccin transversal 0.30 x 0.60 m,
Concreto fc = 210 kg/cm2.
Acero fy = 4,200
Viga sin armadura de refuerzo
Ejercicio terico. Es muy raro encontrar vigas
esbeltas como esta (esbeltez geomtrica 5.0/0.6 8.3) construidas de concreto simple.
La idea es la de demostrar la escasa, por no decir
casi nula, resistencia que tendra una viga de estas
proporciones si fuera construida sin refuerzo de
acero.
El concreto simple se utiliza en algunos elementos de poca esbeltez en los cuales las dimensiones de la seccin transversal son comparables con las luces del elemento y en los que los esfuerzos de traccin por flexin son bajos.
Algunos elementos estructurales de concreto simple suelen ser: zapatas, muros de gravedad, calzaduras, losas completamente apoyadas sobre el piso (pavimentos).
Calzadura convencional
-
2Hiptesis para el anlisis:Secciones planas permanecen planas.
El comportamiento del concreto en traccin y compresin es lineal hasta la falla de la seccin por traccin ( = E ) .
No hay posibilidad de una falla por cortante, ni de pandeo lateral.
El mdulo de rotura en traccin por flexin del concreto se puede estimar mediante fr = 2 fc 29 kg/cm2
t
ft
rotura
fr I
Mfr =
fc
fr
h/2
h/2
rotura = 0.00014 a 0.0002 (traccin por flexin)
La falla en traccin del concreto simple es frgil. La viga colapsar cuando la seccin central, la ms solicitada, alcance el esfuerzo fr.
t
ft
rotura
frI
Mfr =
fc
fr
h/2
h/2
Para la seccin central de la viga, la resistencia nominal ser:
Mn = Mcr 5,220 kg-m (resistencia nominal de la seccin)
322
cm 18,0006
30x606
=== bhSSfr Igfr Mn ==v
maxkg/m67012582205 5,220
8x2 ,,uu lMu =====
max .. . ,pp 250m/kg4146030kg/m3002 xx3 ==
El peso propio de la viga es:
-
3En el anlisis no se ha considerado ningn coeficiente de seguridad. Si la falla es frgil, sin previo aviso, el coeficiente de seguridad debe ser alto.
Para concreto simple el factor de reduccin de resistencia () que seala el ACI es de 0.65 y si suponemos que la carga que acta sobre la viga est asociada casi toda con carga muerta, tendremos:
Mn Mu 0.65 Mn = 1.4 MservicioLa carga mxima, en condiciones de servicio, que podremos
aplicar a esta viga de manera segura ser 1,670 (0.65/1.4) 775 kg/m es decir, prcticamente el peso propio de la viga.
VIGA DE CONCRETO SIMPLE VIDEO INTEMAC
- Seccin 0.20 x 0.40
- Concreto H-30. Probetas curadas en obra 300 a 320
kg/cm2
- Acero B500SD fy (real) 5,600 kg/cm2
- Armadura infracrtica As traccin 2 barras de 6 mm- Luz entre apoyos 4.90 m , cargas a 1.20 m del apoyo, 2.50 m al centro en flexin pura
VIGA DE CONCRETO ARMADO VIDEO INTEMAC
- Seccin 0.20 x 0.40
- Concreto H-30. Probetas curadas en obra 300 a 320
kg/cm2
- Acero B500SD fy (real) 5,600 kg/cm2
- Armadura As traccin 4 barras de 16 mm- Luz entre apoyos 4.90 m , cargas a 1.20 m del apoyo, 2.50 m al centro en flexin pura
Seccin reforzada con acero en traccin
As = 10 cm2= 10/(30x55) 0.6 %
Seccin reforzada con 10 cm2 de acero
Hiptesis:
Las secciones planas permanecen planas.
No hay posibilidad de una falla prematura por cortante, ni por pandeo lateral.
La resistencia en traccin por flexin del concreto (fr) se puede estimar en 29 kg/cm2.
Existe una perfecta adherencia entre concreto y acero.
-
4Seccin sin fisurar
Seccin transformada no agrietada
00022000015 ,cf,Ec
9000220
6102x =,
n
(n 1) As = (9-1)x10= 80 cm2
Atr = 30x60 + 80 = 1,880 cm2
EcEsn = (relacin modular)
Centro de gravedad de la seccin transformada ( Momentos estticos respecto al borde superior), equivale a calcular la posicin del eje neutro c:
1,880 c = 30x60x30 + 80x55 => c31.1 cm
Momento de inercia de la seccin transformada no agrietada:
Itr = (1/12)x30x603 + 30x60x(1.1)2 + 80x(55 - 31.1)2 588,000 cm4
Itr representa un 9% de incremento respecto al momento de inercia de la seccin bruta sin acero de refuerzo ((1/12) 30x603).
Momento que ocasiona el agrietamiento por traccin
El momento de agrietamiento de la seccin es Mcr = 5,900 kg-m, por encima de este valor se espera que el concreto en traccin se agriete.
El momento de agrietamiento se ha incrementado en un 13% de (5,900 vs. 5,220 kg-m).
cfItrMft == 2
mkgMcrM = 900,5000,588
)1.3160(29 x
Esfuerzos en el concreto y acero un instante antes de alcanzar el momento de agrietamiento Mcr:
x 2 2590,000 31.1 31 kg/cm 0.15 210 kg/cm (concreto)588,000
f cfc = =
-
5Esfuerzos en el concreto y acero un instante antes de alcanzar el momento de agrietamiento Mcr:
(concreto) kg/cm210kg/cm31000,588
1.31000,590 22x
-
6La inercia se ha reducido, al agrietarse la seccin, de 588,000 a 178,000 cm4.
En este caso, la inercia fisurada o completamente agrietada es aproximadamente el 33% de la inercia bruta.
2x5x kg/cm56000,178
41.15105.6 ==Icr
Mconcreto
2x5xx kg/cm300,1
000,178)41.1555(105.69 ==
IcrMn
acero
0
50
100
150
200
250
0.000 0.001 0.002 0.003 0.004
La curvatura de agrietamiento (cr) de la seccin es:cr 0.453 x 103 1/m Mcr = 5,900 kg-m
La curvatura luego del agrietamiento () de la seccin es:
= c / c = (fc /Ec) /c = (56 /220,000) /c 0.000255 /0.154 1.65 x 103 1/m M = 6,500 kg-m
EI = M / (Relacin Momento Curvatura)
0
5
10
15
20
25
0 5 10 15 20
Curvatura * 1000 (1/m)
Mom
ento
(ton
-m)
La curvatura luego del agrietamiento:
1.65 x 103 1/m
Sin fisurar
fc= 31 kg/cm2
31.1
fs= 215 kg/cm2
Mcr=5,900 kgm
2kg/cm29 tfItr 588,000 cm4
fs= 1,300 kg/cm2
M= 6,500
Fisurada
fc= 56 kg/cm2
15.41
Icr 178,000 cm4
Capacidad mxima de la seccin por Esfuerzos Admisibles
Las Normas fijaban, para el diseo en flexin, los siguientes esfuerzos admisibles para la compresin en el concreto y la traccin en el acero:
Concreto: fc admisible = 0.45 fc = 0.45x210 95 kg/cm2Acero: fs admisible = 0.5 fy = 0.5x4,200 = 2,100 kg/cm2
Cuando el acero alcance su esfuerzo admisible, la seccin se encontrar agrietada por flexin.
Los clculos se harn utilizando las propiedades de la seccin transformada agrietada.
Para que esto sea vlido, tendremos que suponer que el concreto se comporta linealmente hasta alcanzar su esfuerzo admisible.
-
7fc
As fs
30 cm
15.41
39.59n As= 90 cm2
Icr 178,000 cm4
21 kg/cm95=Icr
Mconcreto
22 kg/cm100,2=Icr
Mnacero
m-kg000,1141.15
000,17895x =Mad
m-kg500,1059.399
000,178100,2x
x =Mad
La capacidad de la seccin est controlada por el esfuerzo admisible en el acero.
Para un momento flector de 10,500 kg-m, el esfuerzo mximo en el concreto ser fc 90 kg/cm2 con una deformacin correspondiente de (90/220,000) 0.41x10-3. El acero estar trabajando a 2,100 kg/cm2 con una deformacin correspondiente de (2,100/2x106) 1.05x10-3.
0
50
100
150
200
250
0.000 0.001 0.002 0.003 0.004
La curvatura de la seccin en servicio es:
M = 10,500 kg-m
= c / c 0.00041 /0.154 2.66 x 103 1/m
EI = M / (Relacin Momento Curvatura) 05
10
15
20
25
0 5 10 15 20
Curvatura * 1000 (1/m)
Mom
ento
(ton
-m)
En condiciones de servicio (esfuerzos admisibles) :
M = 10,500 kg-m 2.66 x 103 1/m
Capacidad ltima o mxima de la seccinEl momento flector de 10,500 kg-m que produce el mximo esfuerzo admisible en el acero, no es la capacidad mxima o ltima de la seccin, es decir el valor para el cual se agota la capacidad de la seccin.
Una vez que se superan los esfuerzos admisibles, la seccin no falla, esta tiene an una reserva de resistencia que es justamente la que aprovecha el Diseo por Resistencia.
Capacidad ltima o mxima de la seccin
0
5
10
15
20
25
0 5 10 15 20
Curvatura * 1000 (1/m)
Mom
ento
(ton
-m)
-
8Falla en la zona de compresin Falla en la zona de compresin
Agrietamiento por flexin cerca a la carga mxima
Viga III 01 - 0.20x0.40 - 2-5/8"- lon=4.8m - cargas a los tercios
0
1,000
2,000
3,000
4,000
5,000
6,000
7,000
8,000
9,000
0 20 40 60 80 100 120 140 160
Deflexin al centro (mm)
Car
ga T
otal
(kg)
L/240 L/120 L/60 L/40 L/30
Momento = P/2 x 1.6 Ductil. Desplaz. 160/23 7
Viga V2 Falla sbita por cortante
Para calcular la resistencia nominal de la seccin, utilizaremos las siguientes hiptesis:
Las secciones planas permanecen planas.
No hay posibilidad de una falla prematura por cortante, ni por pandeo lateral.
Existe una perfecta adherencia entre concreto y acero.
Se desprecia el aporte del concreto en traccin a la resistencia de la seccin.
-
9El acero de refuerzo tiene un diagrama de comportamiento elastoplstico perfecto, con fy = 4,200 kg/cm2, deformacin de fluencia y = 0.0021. El mdulo de elasticidad del acero se considera Es = 2x106 kg/cm2
Traccin (Local) Barra 1/2" (V-2C)
0
1,000
2,000
3,000
4,000
5,000
6,000
7,000
8,000
0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040 0.045 0.050 0.055 0.060 0.065 0.070
Def. Unitaria (mm/mm)
Esf
uerz
o (k
g/cm
)
terica
Es necesario conocer el diagrama esfuerzo deformacin del concreto en compresin.
0
50
100
150
200
250
0.000 0.001 0.002 0.003
c
fc
Esfuerzos y deformaciones en la seccin en la falla
Asumiremos, con cargo a verificacin, que la falla de la seccin se producir por agotamiento del concreto comprimido y que al acero de refuerzo est en fluencia, esto conducir a una falla dctil de la seccin.
Simplificacin: El concreto sen compresin se puede modelar mediante un diagrama esfuerzo deformacin parablico.
fc = a1 c2 + a2 c a1 = fc / (o)2 a2 = 2 fc / o o = cu = 0.002
0
105
210
0.000 0.001 0.002
fc
c
0
50
100
150
200
250
0.000 0.001 0.002 0.003
c
fc
Cuando el concreto agote su capacidad de deformacin:
Volumen de compresiones: Cc 2/3 c b fcT = As fy = 10 x 4,200 = 42,000 kg.
Cc = T 2/3 c b fc = As fy c = 10 cmResistencia Nominal de la seccin ( Momentos respecto a Cc):
Mn = 42,000 x (55 0.375 x 10) 21,500 kg-m
Verificacin de las deformaciones en el acero, para comprobar su fluencia:
4510002.0 s=
s = 0.009 4.3 y
La curvatura de la seccin cuando se alcanza la resistencia mxima es:
max = c / c = 0.002 /0.10 = 20 x 103 1/m
-
10
Capacidad ltima o mxima de la seccin
0
5
10
15
20
25
0 5 10 15 20
Curvatura * 1000 (1/m)
Mom
ento
(ton
-m)
Resistencia Nominal de la seccin de acuerdo al ACI
cm84.73021085.0
42001085.0 xx
x === bcffyAsa)
2( adfyAsMn =
cm22.985.084.7 ==cMn = 21,450 kg-m
Ig = 540,000 cm45,220 kg-m30
29
29
30
28.95,900
31.1
31
29
Itr = 588,000
Icr 178,000
fs = 1,300 0.3 fy6,500
5615.41
fs = 2,100 = 0.5 fy10,500
90 = 0.43 fc
15.41 Icr 178,000
fs= 215
f s = 4,200 = fy
fc = 210 = fc
c = 10 cm
Diagrama Momento Curvatura de la seccin
El comportamiento de la seccin, en todo el intervalo, puede representarse mediante su Diagrama Momento Curvatura.
Inicio de la Fluencia en el Acero
Un estado importante en el comportamiento de secciones de concreto armado, es el correspondiente al inicio de la fluencia del acero de refuerzo.
Este estado precede al de la falla de la seccin y se le asocia el momento de fluencia (My) de la seccin y la curvatura de fluencia (y). En secciones con falla en traccin (subreforzadas) marca el inicio del comportamiento inelstico de la seccin.
-
11
Traccin (Local) Barra 1/2" (V-2C)
0
1,000
2,000
3,000
4,000
5,000
6,000
7,000
8,000
0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040 0.045 0.050 0.055 0.060 0.065 0.070
Def. Unitaria (mm/mm)
Esf
uerz
o (k
g/cm
)
terica
Simplificacin: El concreto sen compresin se puede modelar mediante un diagrama esfuerzo deformacin parablico.
fc = a1 c2 + a2 c a1 = fc / (o)2 a2 = 2 fc / o o = cu = 0.002
0
105
210
0.000 0.001 0.002
fc
c
0
50
100
150
200
250
0.000 0.001 0.002 0.003
c
fc
Estado de deformaciones y fuerzas internas en el inicio de la fluencia del acero:
fc = a1 c2 + a2 c a1 = fc / (o)2 a2 = 2 fc / ofc = 210 o = 0.002
0
( )c
Cc fc y b dy= = b ( 0.5 x a2 x c x c a1/ 3 x c x c2) (1)
Estado de deformaciones y fuerzas internas en el inicio de la fluencia del acero:
0
( )c
Cc fc y b dy= = b ( 0.5 x a2 x c x c a1/ 3 x c x c2) (1) Equilibrio Cc = T = As fy = 42,000 kg (2)
Compatibilidad:
c / c = y / (55 c) c = 0.0021 c / (55 c) (3)De (1), (2) y (3)
c 16.92 cm c 0.000933 fc 150 kg/cm2
En el inicio de la fluencia:
0
50
100
150
200
250
0.000 0.001 0.002 0.003
c
fc
Traccin (Local) Barra 1/2" (V-2C)
0
1,000
2,000
3,000
4,000
5,000
6,000
7,000
8,000
0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040 0.045 0.050 0.055 0.060 0.065 0.070
Def. Unitaria (mm/mm)
Esf
uerz
o (k
g/cm
)
terica
Estado de deformaciones y fuerzas internas en el inicio de la fluencia del acero:
La posicin de la resultante se ubica aproximadamente a 5.9 cm del borde superior.
y = c / c 5.51 x 103 1/m My 20.62 ton-m
-
12
0
5
10
15
20
25
0 5 10 15 20
Curvatura * 1000 (1/m)
Mom
ento
(ton
-m)
Inicio de la Fluencia en el acero
R e su lt an t e c o m p res io ne s e n e l c o n c re to = C c = K 1 * f 'c * b * cP o sic io n r esu lta n t e c o m p re s io n e s = K 2 * c
C ua lq u ie r v a lo r d e f 'c c fc / f 'c K 1 K 20 .0 0 0 1 0 .1 0 0 .0 4 9 1 7 0 .3 3 4 7 50 .0 0 0 2 0 .1 9 0 .0 9 6 6 7 0 .3 3 6 2 10 .0 0 0 3 0 .2 8 0 .1 4 2 5 0 0 .3 3 7 7 20 .0 0 0 4 0 .3 6 0 .1 8 6 6 7 0 .3 3 9 2 90 .0 0 0 5 0 .4 4 0 .2 2 9 1 7 0 .3 4 0 9 10 .0 0 0 6 0 .5 1 0 .2 7 0 0 0 0 .3 4 2 5 90 .0 0 0 7 0 .5 8 0 .3 0 9 1 7 0 .3 4 4 3 40 .0 0 0 8 0 .6 4 0 .3 4 6 6 7 0 .3 4 6 1 50 .0 0 0 9 0 .7 0 0 .3 8 2 5 0 0 .3 4 8 0 40 .0 0 1 0 0 .7 5 0 .4 1 6 6 7 0 .3 5 0 0 00 .0 0 1 1 0 .8 0 0 .4 4 9 1 7 0 .3 5 2 0 40 .0 0 1 2 0 .8 4 0 .4 8 0 0 0 0 .3 5 4 1 70 .0 0 1 3 0 .8 8 0 .5 0 9 1 7 0 .3 5 6 3 80 .0 0 1 4 0 .9 1 0 .5 3 6 6 7 0 .3 5 8 7 00 .0 0 1 5 0 .9 4 0 .5 6 2 5 0 0 .3 6 1 1 10 .0 0 1 6 0 .9 6 0 .5 8 6 6 7 0 .3 6 3 6 40 .0 0 1 7 0 .9 8 0 .6 0 9 1 7 0 .3 6 6 2 80 .0 0 1 8 0 .9 9 0 .6 3 0 0 0 0 .3 6 9 0 50 .0 0 1 9 1 .0 0 0 .6 4 9 1 7 0 .3 7 1 9 50 .0 0 2 0 1 .0 0 0 .6 6 6 6 7 0 .3 7 5 0 00 .0 0 2 1 0 .9 9 0 .6 8 2 3 6 0 .3 7 8 2 80 .0 0 2 2 0 .9 9 0 .6 9 6 2 9 0 .3 8 1 7 70 .0 0 2 3 0 .9 8 0 .7 0 8 6 8 0 .3 8 5 3 60 .0 0 2 4 0 .9 7 0 .7 1 9 7 2 0 .3 8 8 9 70 .0 0 2 5 0 .9 6 0 .7 2 9 5 8 0 .3 9 2 5 80 .0 0 2 6 0 .9 6 0 .7 3 8 4 0 0 .3 9 6 1 30 .0 0 2 7 0 .9 5 0 .7 4 6 2 8 0 .3 9 9 6 10 .0 0 2 8 0 .9 4 0 .7 5 3 3 3 0 .4 0 3 0 20 .0 0 2 9 0 .9 3 0 .7 5 9 6 4 0 .4 0 6 3 30 .0 0 3 0 0 .9 3 0 .7 6 5 2 8 0 .4 0 9 5 60 .0 0 3 1 0 .9 2 0 .7 7 0 3 1 0 .4 1 2 6 90 .0 0 3 2 0 .9 1 0 .7 7 4 7 9 0 .4 1 5 7 40 .0 0 3 3 0 .9 0 0 .7 7 8 7 8 0 .4 1 8 6 90 .0 0 3 4 0 .9 0 0 .7 8 2 3 0 0 .4 2 1 5 60 .0 0 3 5 0 .8 9 0 .7 8 5 4 2 0 .4 2 4 3 50 .0 0 3 6 0 .8 8 0 .7 8 8 1 5 0 .4 2 7 0 60 .0 0 3 7 0 .8 7 0 .7 9 0 5 3 0 .4 2 9 6 90 .0 0 3 8 0 .8 7 0 .7 9 2 5 9 0 .4 3 2 2 50 .0 0 3 9 0 .8 6 0 .7 9 4 3 5 0 .4 3 4 7 40 .0 0 4 0 0 .8 5 0 .7 9 5 8 3 0 .4 3 7 1 7
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0.000 0.001 0.002 0.003 0.004
Deformacin c
fc /
f 'c
Notas:c = posicin (profundidad) del eje
neutrob = ancho de la seccinCc = K1 * fc * b * cPosic. Resultante = K2 * c
Las tablas son aplicables a cualquier valor de fc con la condicin que el diagrama constitutivo en compresin sea como el mostrado en la figura (parbola recta descendente con cada de 0.15 fc)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0.000 0.001 0.002 0.003 0.004
Deformacin c
K1K2fc/f'c
Preesfuerzo en el centro de gravedad de la seccin
Antes de aplicar las cargas externas, colocamos a lo largo de la viga en el centroide de la seccin, un cable no adherido de alta resistencia.
Precompresin de 40 toneladas estables.
Ductos para cables de postensadoDuctos en vigas para cables postensados
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Sistema de postensado en losas.
La fuerza estable de 40 ton producir un esfuerzo de compresin en la seccin de 22 kg/cm2 aprox., al cual se sumarn posteriormente los esfuerzos producidos por las cargas externas.
Nuevamente asociaremos la falla de la viga al instante en el cual el esfuerzo de traccin (ft) ocasionado por las cargas externas supere la resistencia en traccin por flexin del concreto (fr).
La falla, al no haber acero de refuerzo adherido, ser frgil sin previo aviso.
Esfuerzos en la seccin central de la viga
2kg/cm29+==AgP
IgM
tf
2kg/cm512229 =+==SM
IgM3
2cm000,18
6== hbS
m-kg200,9000,1851x =M2x kg/cm226030000,401 ==fc
El momento de agrietamiento de la seccin, asociado a una falla frgil, ser 9,200 kg-m.
Los esfuerzos en la seccin en el instante del agrietamiento son:
-22+51
-51-73 kg/cm2 0.35 fc
+29 kg/cm2
42.94
17.06
La precompresin ha modificado el momento de agrietamiento y en consecuencia la resistencia de la seccin, de 5,220 (caso de la viga sin ningn refuerzo) a 9,200 kg-m. Incremento del 75% aproximadamente.
Ntese que en los clculos no se ha considerado ningn coeficiente de seguridad.
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Cable de preesfuerzo excntrico
Cable recto no adherido 0.20 m por debajo del centroide de la seccin.
Adems de la fuerza axial, se presenta un momento flector producido por la excentricidad del cable de 40x0.2 = 8 ton-m.
Seccin del apoyo.
Seccin central:Esfuerzos en la seccin central, Fibra Inferior:
-22 - 44 + ft = 29 ft = + 95 kg/cm2
Mmax = ft S = 95x18,000 = 17,100 kg-m.
Este momento causar el agrietamiento por flexin de la seccin y en consecuencia, para este caso particular, la falla de la viga.
+ 44
- 44
8 tm
40 t
17.1 tm
+ 95- 22
- 22 - 95 - 73 kg/cm2 0.35 fc
+ 29 kg/cm2
42.9
17.1
Verificacin de los esfuerzos en la seccin central