cap 9 resti sironi
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slide cap 9 Rischio e valore nelle bancheTRANSCRIPT
-
Slides tratte da:
Andrea Resti
Andrea Sironi
Rischio e valore nelle banche
Misura, regolamentazione, gestione
Egea, 2008
La valutazione dei modelli VaR
-
Rischio e valore nelle banche La valutazione dei modelli VaR
2
AGENDA
Il backtesting dei modelli VaR
Il test dellunconditional coverage
Il test della conditional coverage
Il test di Lopez
I test basati sullintera distribuzione
Esercizi
Resti e Sironi, 2008
-
Rischio e valore nelle banche La valutazione dei modelli VaR
3
I test retrospettivi (backtesting) sono basati sul confronto fra le indicazioni del modello e i risultati dell'attivit di negoziazione
La valutazione dei modelli VaR
Resti e Sironi, 2008
confronto tra la stima giornaliera del VaR e le perdite effettive del giorno successivo
Se il modello corretto, le perdite effettive dovrebbero risultare superiori al VaR con una frequenza coerente
con quella definita dal livello di confidenza
Se il VaR giornaliero 83 e il livello di confidenza del modello pari al 99%, ci si attende perdite superiori a 83 unicamente nell'1% dei casi,
cio 2,5 giorni su 250 giorni di negoziazione annui
-
5400
5600
5800
6000
6200
6400
6600
6800
7000
26
/07
/20
04
26
/08
/20
04
26
/09
/20
04
26
/10
/20
04
26
/11
/20
04
26
/12
/20
04
26
/01
/20
05
26
/02
/20
05
26
/03
/20
05
26
/04
/20
05
26
/05
/20
05
26
/06
/20
05
Valori effettivi del portafoglio
Rischio e valore nelle banche La valutazione dei modelli VaR
4
Backtesting del VaR di un portafoglio azionario
Un esempio di backtesting
Resti e Sironi, 2008
Portafoglio equiponderato investito in due indici azionari (FTSE100 e Dow Jones Industrial Average)
Orizzonte temporale: dal 26 luglio 2004 al 22 luglio 2005 (257 dati giornalieri)
Evoluzione del valore
del portafoglio
Il portafoglio partito da un valore di circa 6.000 euro ed ha chiuso il periodo in esame a un valore di 6.817 con rendimento del 13.6% circa.
-
64
31
47
-11
4-8
-13
-46
-97
-17
65
-29
-26 -
15
73
11
31
-82
61
49
28
27 3
2-4
34
51
05
90
26
-13
-22
12
10
-8-2
41
03
6-3
23
2-5
2-3
89
-43
45
32
-29
96
23
61
8-4
0-2
1-1
-28
-32
-36
7 10
2-3
0-6
-34
-38
55
67
10
-64
38
48
61
30
-15
-11
15
53
31
0-4
23
71
4-6
6-9
7-8
24
-8 -8-4
77
29
0-3
1-2
8-1
71
59
28 9
-44
27 31
48
11
70
24
-8 -9 -97
-30
-39
20
15
-4-3
5-6
-22
30
39
-16
-31
-33 -
22
-15
01
4-5
-27
33
56
21
-76
02
71
4-2
23
34
5-3
26
-5-2
19
-50
-19 -1
21
15
2-5
04
2-1
12
24
8-7
-19
-43
-10 -9
40
-78
-13
2-1
2-2
6-2
34
10
-24
28
-16
-16
-74
41
13
9-2
1 -1
1-1
-21
-49
-95
-50
37
-58
61
23
7-4
1-2
5-3
84
55
92
53
01
36
-44
-6-2
1-2
03
2 34
76
18
02
8-1
1-2
24
0-5
-38
58
-3-3
2-1
13
6-1
71
2 18
17
5-1
32
23
6-8
48
-40
-62
-27
67
4-2
74
23
74
-3-4
09
62
8-1
93
33
1-1
7-3
11
32
2-1
42
14
-150
-100
-50
0
50
100
150
26/07/2004 26/10/2004 26/01/2005 26/04/2005 26/07/2005
Variazione di valore reale VaR al 95%
Rischio e valore nelle banche La valutazione dei modelli VaR
5
La perdita giornaliera del portafoglio risulta
superiore al VaR in 10 dei 257 giorni
considerati, ossia nel 3,9% dei casi
Un esempio di backtesting
Resti e Sironi, 2008
Evoluzione del VaR giornaliero stimato con lapproccio varianze-covarianze con livello di confidenza 95% nel periodo considerato
Risultato coerente con il livello di
confidenza desiderato
Il valore degli errori di stima connessi a tali eccezioni raggiunge tuttavia, in alcuni casi, importi rilevanti, anche il 100% del VaR stimato
-
-100,0
-80,0
-60,0
-40,0
-20,0
0,0
20,0
40,0
60,0
80,0
100,0
26/07/2004 26/10/2004 26/01/2005 26/04/2005 26/07/2005
Variazione di valore effettiva VaR al 95%, lambda=0,94 VaR al 95%, lambda=0,97
Rischio e valore nelle banche La valutazione dei modelli VaR
6
Un esempio di backtesting
Resti e Sironi, 2008
Evoluzione del VaR giornaliero stimato con lapproccio varianze-covarianze, con una volatilit stimata attraverso lEWMA (decay factor : 0,94 e 0,97)
-
Rischio e valore nelle banche La valutazione dei modelli VaR
7
Come si nota dalla figura della slide 6, un valore di lambda minore produce un VaR pi reattivo alle condizioni recenti
Luso di un lambda minore consente di stimare meglio il rischio del portafoglio quando le perdite elevate sono precedute da altre perdite elevate
In questo caso:
VaR con decay factor 0,94
VaR con decay factor 0,97
Un esempio di backtesting
Resti e Sironi, 2008
il VaR sale pi rapidamente in presenza di rendimenti recenti fortemente negativi o positivi e si riduce pi velocemente
quando le variazioni giornaliere sono contenute
9 eccezioni su 257 giorni (tasso di errore 3,5%)
10 eccezioni (tasso di errore 3,9%)
-
Rischio e valore nelle banche La valutazione dei modelli VaR
8
Un esempio di backtesting
Resti e Sironi, 2008
evoluzione del VaR giornaliero stimato con il modello delle simulazioni storiche
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
26/07/2004 26/10/2004 26/01/2005 26/04/2005 26/07/2005
Variazione di valore effettiva VaR storico al 95%
Il VaR ottenuto con questo metodo presenta
unevoluzione temporale peculiare, caratterizzata da una
certa stabilit interrotta da improvvisi salti
Numero di eccezioni = 11 Errore massimo = 119% del VaR
Quando la perdita relativa al percentile
corrispondente al livello di confidenza prescelto
esce dal campione il VaR cambia
-
0,0%
2,0%
4,0%
6,0%
8,0%
10,0%
12,0%
14,0%
16,0%
% d
i ca
si n
el
ca
mp
ion
e
Rendimenti giornalieri
Rischio e valore nelle banche La valutazione dei modelli VaR
9
Il risultato dellapproccio delle simulazioni storiche risulta abbastanza simile a quello connesso allapproccio varianze-covarianze
Il portafoglio ha una distribuzione simile ad una normale e ha un payoff lineare
Un esempio di backtesting
Resti e Sironi, 2008
I vantaggi della simulazione storica,
full valuation e distribuzione dei rendimenti non
vincolata a nessuna variabile casuale
nota, vengono ridimensionati
-
Rischio e valore nelle banche La valutazione dei modelli VaR
10
Evoluzione congiunta del VaR secondo i tre approcci
Resti e Sironi, 2008
-100,0
-80,0
-60,0
-40,0
-20,0
0,0
20,0
40,0
60,0
80,0
100,0
26/07/2004 26/10/2004 26/01/2005 26/04/2005 26/07/2005
Variazione di valore effettiva EWMA, lambda = 0,94
Simulazione storica Media mobile semplice
il secondo approccio
(parametrico EWMA)
produce stime di VaR pi
volatili
Un esempio di backtesting VaR
Numero di
eccezioni
Errore massimo, in
% del VaR stimato
Parametrico (media
semplice) 11 109%
Parametrico (l=94%) 9 115%
Parametrico (l=97%) 10 110%
Storico 11 119%
-
Rischio e valore nelle banche La valutazione dei modelli VaR
11
Nello studio empirico condotto da Hendricks sono stati confrontati:
Sono stati creati 1.000 diversi portafogli valutari, ciascuno composto con pesi casuali da 8 valute diverse.
Il VaR giornaliero di ciascuno di questi 1.000 portafogli stato calcolato con ciascuno dei 12 diversi modelli per circa 12 anni (3.000 osservazioni giornaliere, dal gennaio 1993 al dicembre 1995)
Livelli di confidenza 95% e 99%
La valutazione dei modelli VaR Hendricks 1996
Resti e Sironi, 2008
4 modelli di VaR storico (orizzonte
temporale di 125, 250, 500 e 1.250 giorni)
8 modelli VaR varianza/covarianza del tipo a
medie mobili semplici (calcolate su 50, 125, 250, 500 e 1250 gg) ed esponenziali (con l pari a
0.94, 0.97 e 0.99)
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Rischio e valore nelle banche La valutazione dei modelli VaR
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Risultati:
La valutazione dei modelli VaR Hendricks 1996
Resti e Sironi, 2008
Metodologia Rapporto % tra numero di eccezioni
e totale giorni
Rapporto medio tra perdita in
eccesso al VaR e VaR
VaR al 95% VaR al 99% VaR al 95% VaR al 99%
Media mobile semplice 50 gg. 94,8 98,3 1,41 1,46
Media mobile semplice 125 gg. 95,1 98,4 1,38 1,44
Media mobile semplice 250 gg. 95,3 98,4 1,37 1,44
Media mobile semplice 500 gg. 95,4 98,4 1,38 1,46
Media mobile semplice 1.250 gg. 95,4 98,5 1,36 1,44
Media mobile esponenziale (l=0,94) 94,7 98,2 1,41 1,44
Media mobile esponenziale (l=0,97) 95,0 98,4 1,38 1,42
Media mobile esponenziale (l=0,99) 95,4 98,5 1,35 1,40
Simulazione storica 125 gg. 94,4 98,3 1,48 1,48
Simulazione storica 250 gg 94,9 98,7 1,43 1,37
Simulazione storica 500 gg 94,8 98,8 1,44 1,37
Simulazione storica 1.250 gg 95,1 99,0 1,41 1,30
Valore di riferimento distribuzione normale 1,254 1,145
valore teorico che il rapporto medio tra perdita effettiva e VaR dovrebbe assumere se la distribuzione dei rendimenti dei fattori di mercato fosse normale e se il VaR fosse corretto
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Rischio e valore nelle banche La valutazione dei modelli VaR
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Per quanto riguarda il rapporto % tra numero di eccezioni e totale giorni:
Lesame del rapporto medio tra perdita in eccesso al VaR e VaR mostra come le perdite superiori al VaR siano mediamente molto maggiori della perdita attesa in ipotesi di normalit
La differenza tra la distribuzione normale e la vera distribuzione dei dati particolarmente sensibile oltre il VaR, cio nelle code estreme della distribuzione
La valutazione dei modelli VaR Hendriks 1996
Resti e Sironi, 2008
i modelli offrono una buona performance, avvicinandosi considerevolmente al valore teorico indicato dal livello di confidenza
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Rischio e valore nelle banche La valutazione dei modelli VaR
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Una corretta valutazione della qualit di un modello VaR andrebbe fondata su due diversi aspetti:
La metodologia di backtesting proposta dal Comitato di Basilea si fonda sul primo criterio
La valutazione dei modelli VaR
Resti e Sironi, 2008
la coerenza del numero di eccezioni (numero di giorni in cui le perdite superano la stima del VaR)
la dimensione delle eccezioni (valore della perdita in eccesso rispetto al VaR)
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Rischio e valore nelle banche La valutazione dei modelli VaR
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Come stimare il risultato economico giornaliero con la quale confrontare il VaR?
1.Effettivo risultato economico derivante dalle vendita delle posizioni in portafoglio realmente liquidate dalla banca
2.Il risultato economico che si ottiene rivalutando alle nuove condizioni di mercato,
a fine giornata, il portafoglio effettivamente detenuto dalla banca in quel momento
3.Il risultato economico che si ottiene rivalutando alle nuove condizioni di mercato
di fine giornata il portafoglio detenuto dalla banca la sera del giorno precedente
La valutazione dei modelli VaR
Resti e Sironi, 2008
Inadeguato in quanto contrario a mark-to-market
Impreciso a causa delle modifiche nella composizione del portafoglio della banca, intervenute durante la giornata
Risultato economico statico o static profit & loss pi appropriato, confronta il VaR con una misura di perdita
ad esso omogenea
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Rischio e valore nelle banche La valutazione dei modelli VaR
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Nellesempio delle slide 4-10 si concluso che un numero di eccezioni giornaliere pari a 9, 10 o 11 (su 257 giorni di negoziazione) fosse coerente con il livello di confidenza del 95%
1.Qual la percentuale massima di eccezioni coerente con il livello di confidenza del modello?
2.Qual la percentuale minima di eccezioni oltre la quale si deve concludere che il modello non valido (e in particolare, che la banca esposta a rischi superiori a quanto indicato dal VaR)?
Se si considera un modello VaR con livello di confidenza pari al 99% e nel backtesting si ottengono 2 eccezioni (2%)
Tecniche alternative di backtesting
Resti e Sironi, 2008
E una questione di significativit statistica
La percentuale di eccezioni il doppio di quella attesa (2% anzich 1%), ma lerrore esiguo
difficile concludere se il modello corretto o scorretto
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Rischio e valore nelle banche La valutazione dei modelli VaR
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Numerosi test statistici sono stati proposti nel corso della seconda met degli anni novanta
I test possono essere suddivisi in 3 categorie:
1. Test basati sulla frequenza delle eccezioni
2.Test basati su una funzione di perdita
3.Test basati sullintera distribuzione di profitti e perdite
Tecniche alternative di backtesting
Resti e Sironi, 2008
Si basano sul confronto fra il numero di giorni in cui la perdita ha superato il VaR e il relativo livello di confidenza
Considerano oltre alla frequenza, anche la dimensione delle perdite (excess losses)
Si confronta lintera distribuzione delle variazioni di valore previste dal modello VaR con i profitti e le perdite effettivamente realizzati
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Rischio e valore nelle banche La valutazione dei modelli VaR
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In tutti i casi, lipotesi oggetto di test (ipotesi nulla, o H0) che il modello VaR della banca sia corretto
Se H0 viene rigettata, si deve concludere che il modello VaR non sia sufficientemente accurato
I test sono esposti a due tipi di errori:
Per finalit di risk-management si interessati alla capacit del test di minimizzare lerrore del secondo tipo (potenza del test), incorrendo in un errore del primo tipo elevato
Tecniche alternative di backtesting
Resti e Sironi, 2008
accettare lipotesi nulla quando falsa
Esiste un trade-off tra i due tipi di errori
rigettare lipotesi nulla quando corretta
Primo tipo Secondo tipo
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Rischio e valore nelle banche La valutazione dei modelli VaR
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il proportion of failures test proposto da Kupiec nel 1995
IPOTESI H0: la frequenza delle eccezioni empiricamente rilevate, , coerente con quella teorica desiderata, (tasso di eccezioni implicito nei valori osservati= )
Tale verifica non condizionata a ulteriori ipotesi, perci il test unconditional
Se lipotesi nulla corretta allora la probabilit di osservare x eccezioni in un campione di N osservazioni (tasso di eccezioni pari a p x/N) data da una distribuzione binomiale con media N :
Considerando un campione di 250 osservazioni giornaliere e un livello di
confidenza del 99%, la probabilit di ottenere x eccezioni :
Il test dellunconditional coverage
Resti e Sironi, 2008
xNx
x
NNxpr
)1(),(
!!!
xxN
N
xx
xxpr
25099,001,0
250)250%,1;(
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Rischio e valore nelle banche La valutazione dei modelli VaR
20
possibile calcolare la probabilit associata a qualsiasi numero di eccezioni:
Il test dellunconditional coverage
Resti e Sironi, 2008
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Fre
qu
en
za
Numero di eccezioni
x
(1)
pr(x)
2
S[pr(x)]
3
1S[pr(x)]
0 8,1% 8,1% 91,9%
1 20,5% 28,6% 71,4%
2 25,7% 54,3% 45,7%
3 21,5% 75,8% 24,2%
4 13,4% 89,2% 10,8%
5 6,7% 95,9% 4,1%
6 2,7% 98,6% 1,4%
7 1,0% 99,6% 0,4%
8 0,3% 99,9% 0,1%
9 0,1% 100,0% 0,0%
10 0,0% 100,0% 0,0%
-
Rischio e valore nelle banche La valutazione dei modelli VaR
21
Se il modello corretto, la probabilit che si verifichi un numero di eccezioni pari o inferiore a 4 89,2% (seconda colonna tabella precedente), quindi la probabilit di avere pi di 4 eccezioni 10,8 (terza colonna) se si desse come regola quella di rifiutare lipotesi nulla ogni volta che si verificano pi di 4 eccezioni, lerrore del primo tipo (rifiutare un modello corretto) sarebbe pari a 10,8%.
Se si rifiutasse il modello solo se le eccezioni sono pi di 6, il rischio di rifiutare un modello corretto sarebbe molto basso (1,4%)
Poich lerrore che pi preoccupa nellottica del risk management non rifiutare un modello corretto, ma fidarsi di un modello sbagliato (errore secondo tipo)
Ad una logica di questo tipo si ispira il Comitato di Basilea: fino a 4 eccezioni il
modello viene considerato di buona qualit, fino a 9 parzialmente adeguato e da 10 eccezioni non accurato.
Il test dellunconditional coverage
Resti e Sironi, 2008
preferibile la prima delle due regole
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Rischio e valore nelle banche La valutazione dei modelli VaR
22
TEST INFERENZIALE: possibile valutare la rispondenza tra il tasso di eccezioni registrato durante il backtesting ( x/N) e il tasso di eccezioni atteso se il modello corretto () con un classico test di tipo likelihood ratio
Il test dellunconditional coverage
Resti e Sironi, 2008
Il test si basa sul rapporto tra due funzioni di verosimiglianza
Una non vincolata, la probabilit di osservare un determinato fenomeno viene posta pari alla probabilit osservata nel campione.
La seconda funzione di verosimiglianza invece vincolata al rispetto dellipotesi nulla (probabilit che si verifichi un errore = )
xNxxL 1 probabilit non vincolata di osservare x eccezioni, basata sul tasso di errore campionario
xNxxL 1
xNx
xNx
ucLR
1
)1(ln2)(
Test: se significativamente diverso da assumer valori positivi ed elevati, se invece sono vicini la statistica tender a zero
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Rischio e valore nelle banche La valutazione dei modelli VaR
23
Riprendiamo il caso visto in precedenza (VaR con =1% e sottoposto a backtesting con N=250 giorni)
Ipotizziamo che le eccezioni siano 4 x/N = 4/250 1,6%
Il valore della statistica LRuc sar:
quindi possibile:
Il test dellunconditional coverage
Resti e Sironi, 2008
77,0
%6,11%6,1
%)11(%1ln2
42504
42504
ucLR
se lipotesi nulla corretta la statistica LRuc si distribuisce secondo una distribuzione chi quadrato con 1 grado di libert
2
1ucLR
stabilire un valore soglia che comporti un errore del primo tipo sufficientemente elevato (ad esempio 2,7055 corrispondente al 90% della funzione di ripartizione)
respingere lipotesi nulla (modello inadeguato) se LRuc si colloca al di sopra della soglia
-
50%
0,770,45
10%
0,77 2,70
38%
0,77
Rischio e valore nelle banche La valutazione dei modelli VaR
24
Riferendoci allesempio in esame: poich 0,77 non supera 2,7055, il modello VaR da considerarsi accettabile
Se il valore della statistica LRuc fosse maggiore di 2,7055, allora il modello potrebbe essere rifiutato
Il test dellunconditional coverage
Resti e Sironi, 2008
Se si accetta un errore del primo tipo pi elevato la soglia fissata sarebbe pi bassa: una soglia pari a 0,4549
genererebbe un errore del primo tipo nel 50% dei casi, e in questo caso il
modello VaR sarebbe rigettato. Se la soglia fosse 0,77 il modello
comporterebbe un rischio di errore (tuttaltro che modesto) del 38%
-
Rischio e valore nelle banche La valutazione dei modelli VaR
25
Il p-value del test definito come la probabilit, nel caso in cui lipotesi nulla sia corretta, di ottenere valori di LRuc superiori a quello osservato
Minore il p-value, meno affidabile il modello
Un punto cruciale nellambito del backtesting rappresentato dalla scelta del
valore-soglia, cio la significativit del test. Questa scelta dipende fondamentalmente dal costo associato ai due tipi di errori
Gli errori del secondo tipo (considerare corretto un modello che non lo ) sono i pi costosi.
Il test dellunconditional coverage
Resti e Sironi, 2008
ucLRFp 21
1
nel risk management si utilizzano frequentemente livelli di significativit statistica relativamente elevati, non inferiori al 10%.
funzione di densit cumulata di una chi-quadro con un grado di libert
-
Rischio e valore nelle banche La valutazione dei modelli VaR
26
possibile dimostrare che la potenza statistica del test di Kupiec (definita come il complemento a uno dellerrore del secondo tipo) piuttosto bassa
In generale il test di Kupiec richiede un campione composto da un numero elevato di dati (circa 10 anni di dati giornalieri) per poter generare risultati veramente affidabili.
Il test dellunconditional coverage
Resti e Sironi, 2008
Vi sempre unalta probabilit di accettare lipotesi nulla quando essa falsa.
Questa probabilit tanto maggiore:
Quanto pi il valore dellipotesi nulla diminuisce
Quanto maggiore il livello di confidenza del modello
Quanto pi piccola la dimensione del campione
-
Rischio e valore nelle banche La valutazione dei modelli VaR
27
Il test di Kupiec si focalizza unicamente sul numero di eccezioni e non considera la loro distribuzione temporale
Il test non condizionato: la qualit di un modello valutata in modo
indipendente dalla capacit di reagire prontamente a nuove condizioni di mercato
Se un modello in grado di reagire correttamente alle nuove informazioni, allora la probabilit che si verifichi uneccezione nel giorno t dovrebbe essere indipendente da eventuali eccezioni registrate il giorno t-1
Se le eccezioni sono serialmente concentrate (clustered), verosimile attendersi che se il giorno t-1 si verificata uneccezione la probabilit (condizionata) di avere unaltra eccezione il giorno t sia superiore alla media
Il test della conditional coverage
Resti e Sironi, 2008
Un modello che alterna periodi in cui il VaR sottostimato (numero di eccezioni elevato)
a periodi in cui il VaR sovrastimato (numero di eccezioni basso) potrebbe risultare accettabile
-
Rischio e valore nelle banche La valutazione dei modelli VaR
28
preferibile che le eccezioni siano indipendenti:
Un test rivolto a valutare la conditional coverage di un modello VaR quello
proposto da Christoffersen nel 1998
Vengono definite:
Il test della conditional coverage
Resti e Sironi, 2008
se cos non fosse, allindomani delleccezione, il risk manager dovrebbe aumentare il VaR su livelli superiori in modo che la probabilit condizionale di uneccezione rimanga in linea con il valore desiderato.
La statistica LRuc viene estesa per verificare che le eccezioni siano serialmente indipendenti
1,1probabilit che uneccezione in t-1 sia seguita da unaltra
eccezione in t
0,1probabilit che uneccezione in t-1 sia seguita da una non
eccezione in t
1,0probabilit che in t si verifichi uneccezione senza che questa
si sia verificata in t-1
0,0probabilit che non vi siano eccezioni in
t-1 e in t
-
Rischio e valore nelle banche La valutazione dei modelli VaR
29
C INDIPENDENZA SERIALE se:
Si consideri un campione N di osservazioni:
Il test della conditional coverage
Resti e Sironi, 2008
1,01,1
10,10,0 la probabilit di avere o meno uneccezione in t indipendente dal fatto che in t-1 si sia o meno verificata uneccezione
x1,1 = numero di eccezioni che sono state precedute da unaltra eccezione
x0,1 = numero di eccezioni che non sono state precedute da unaltra eccezione (si noti che, per definizione, avremo x0,1 + x1,1 x)
x1,0 = numero di eccezioni che non sono state seguite da unaltra eccezione
x0,0 = numero di mancate eccezioni precedute da altre mancate eccezioni (per definizione, x1,0 + x0,0 = N - x)
-
Rischio e valore nelle banche La valutazione dei modelli VaR
30
possibile ora stimare le probabilit attraverso le relative frequenze campionarie
Funzione di verosimiglianza non vincolata delle N osservazioni del campione:
Funzione di verosimiglianza vincolata (stimare con la relativa frequenza
campionaria ):
Il test della conditional coverage
Resti e Sironi, 2008
1,00,0
1,0
1,0xx
x
1,10,1
1,1
1,1xx
x
0,0
0,0 0,1
0,0 0,1
1x
x x
1,0
1,0 1,1
1,0 1,1
1x
x x
N
x
N
xx
1,11,0
1,10,11,00,0 1,10,11,00,01,11,00,10,0 ,,,xxxx
xL
xxNxxxxxL 111 1,10,11,00,0
-
Rischio e valore nelle banche La valutazione dei modelli VaR
31
Likelihood ratio:
La statistica LRind si distribuisce asintoticamente come una chi-quadro con un grado di libert.
Lipotesi nulla di indipendenza seriale va dunque rifiutata quando LRind maggiore del valore-soglia prescelto
Il test della conditional coverage
Resti e Sironi, 2008
1,11,00,10,0 ,,,
)(ln2
xL
xLLRind
la probabilit (verosimiglianza) di
ottenere x eccezioni sotto lipotesi che le eccezioni
siano serialmente indipendenti
la verosimiglianza massima (non vincolata) per il campione di dati osservati
-
Rischio e valore nelle banche La valutazione dei modelli VaR
32
Non sono stati in realt testati
e
ma le loro grandezze equivalenti basate sulle frequenze campionarie
Il test non ci fornisce dunque alcuna informazione sulla correttezza del parametro
Mediante questa statistica possibile testare unicamente lindipendenza delle eccezioni, non la correttezza del modello (cio il fatto che = )
Per ottenere un test completo di copertura condizionale occorre dunque combinare fra loro:
Il test della conditional coverage
Resti e Sironi, 2008
1,01,1 10,10,0
1,01,1 10,10,0
Il test di unconditional coverage Il test di indipendenza
-
Rischio e valore nelle banche La valutazione dei modelli VaR
33
Il test dato da:
LRcc si distribuisce asintoticamente come una chi-quadro con due gradi di libert
Per le propriet dei logaritmi inoltre vale che:
La metodologia di backtesting proposta da Christoffersen pi completa ed efficiente di quella analizzata in precedenza.
Il test della conditional coverage
Resti e Sironi, 2008
1,11,00,10,0 ,,,ln2
L
xLLRcc
indLR
induccc LRLRLR
tiene conto del problema dellindipendenza
la scomposizione in 2 componenti evidenzia le cause che conducono al rifiuto del modello
funzione di verosimiglianza non vincolata
coincide con il numeratore del test di unconditional coverage
(ottenuto dal numeratore
di imponendo = )
-
Rischio e valore nelle banche La valutazione dei modelli VaR
34
I test precedenti presentano due principali problemi:
Unalternativa alla valutazione di un modello VaR tramite test statistici quella proposta da Lopez nel 1999
Il test di Lopez basato su una funzione di perdita
Resti e Sironi, 2008
sono caratterizzati da una bassa
potenza statistica
trascurano la dimensione delle perdite
Non rilevante se leccezione sia stata determinata da una perdita pari al 110% o al 300% del VaR.
Il modello si basa sulla minimizzazione di una funzione di perdita costruita in modo da tenere in considerazione gli interessi del risk manager o dellorgano di vigilanza
-
Rischio e valore nelle banche La valutazione dei modelli VaR
35
La perdita (costo) associata al giorno t+1 assume la seguente forma:
con
Ottenuti i valori di per gli N giorni che compongono il campione di
backtesting, la perdita totale :
Lopez propone di utilizzare questa perdita totale per confrontare modelli di istituzioni diverse o per la stessa istituzione in periodi diversi
possibile costruire un benchmark di riferimento, C*, con cui giudicare la qualit
di un modello (inadeguato se ).
Il test di Lopez basato su una funzione di perdita
Resti e Sironi, 2008
yxyxgyxf ,,,
1tC
N
i
itM CC1
*CCM
tttt
tttt
tVaRseVaRg
VaRseVaRfC
11
11
1,
,
rendimento del portafoglio
stima del VaR elaborata allistante t e riferita al periodo t+1, espressa in termini percentuali
-
Rischio e valore nelle banche La valutazione dei modelli VaR
36
:
Lautore descrive tre funzioni di perdita alternative:
Il test di Lopez basato su una funzione di perdita
Resti e Sironi, 2008
1. una funzione binaria, che assume valore 1 quando si verifica uneccezione e 0 in caso contrario
2. una funzione di perdita a zone, che rispecchia lattuale schema di backtesting proposto dal Comitato di Basilea
3. una funzione di perdita crescente rispetto allerrore
tt
tt
tVaRse
VaRseC
1
1
10
1
cumulando le perdite relative a pi periodi si ottiene una misura di performance relativa che pu essere impiegata in un confronto :
fra diversi periodi temporali fra diverse istituzioni
rispetto a un valore di riferimento
-
Rischio e valore nelle banche La valutazione dei modelli VaR
37
:
Nel caso della terza forma funzionale invece:
Lapproccio di Lopez apprezzabile in quanto valuta anche lentit delle eccezioni
In questo modo si valuta per la qualit di un modello VaR sulla base di una caratteristica estranea alla sua logica
Il test di Lopez basato su una funzione di perdita
Resti e Sironi, 2008
tt
ttttt
VaRse
VaRseVaRC
1
1
2
11
0
1
La funzione assegna punteggi maggiori alle eccezioni di maggior dimensione
i modelli VaR sono costruiti senza alcuna attenzione alla dimensione delle perdite
la correttezza di un modello VaR dovrebbe essere valutata solo sulla base della frequenza delle excess losses
-
Rischio e valore nelle banche La valutazione dei modelli VaR
38
:
Questo approccio diverso, denominato distribution forecast method, stato proposto da Crnkovic e Drachman nel 1996 e ripreso da Diebold, Gunther e Tay nel 1998 e da Berkowitz nel 2001.
Le tecniche di backtesting finora presentate si sono focalizzate sulla coda della distribuzione dei profitti e delle perdite
Lapproccio proposto da questi autori prevede di considerare la distribuzione di probabilit utilizzata la sera del giorno t per calcolare il VaR e di trovare il percentile pt corrispondente al rendimento t+1 effettivamente osservato il giorno dopo
Se le distribuzioni osservate per derivare il VaR e la distribuzione empirica dei rendimenti sono coerenti tra loro, i valori di pt dovrebbero seguire una distribuzione uniforme ed essere serialmente incorrelati
I test basati sullintera distribuzione
Resti e Sironi, 2008
-
Rischio e valore nelle banche La valutazione dei modelli VaR
39
:
Crnkovic e Drachman propongono il test di Kupier basato sulla distanza fra la distribuzione di probabilit prevista e la distribuzione effettiva dei rendimenti del portafoglio
Diebold, Gunther e Tay sottolineano che i test inferenziali sono spesso di scarsa utilit pratica perch possono condurre al rifiuto dellipotesi nulla senza dare indicazioni su quale sia la vera distribuzione dei dati
Essi privilegiano quindi unanalisi grafica della distribuzione dei percentili associati ai rendimenti osservati, calcolati in base alla funzione di densit di probabilit del modello utilizzato per il calcolo del VaR
I test basati sullintera distribuzione
Resti e Sironi, 2008
Se gli istogrammi assumono tutti unaltezza grosso modo identica, allora la distribuzione dei percentili uniforme ed il modello pu essere giudicato accurato
-
Rischio e valore nelle banche La valutazione dei modelli VaR
40
:
Se la distribuzione dei percentili non uniforme e il modello non accurato
Berkowitz infine introduce uninnovazione basata su una trasformazione dei dati tale da ottenere una nuova variabile casuale distribuita normalmente e da poter successivamente ricorrere ai classici test statistici associati alla gaussiana
I test basati sullintera distribuzione
Resti e Sironi, 2008
La forma degli istogrammi aiuta a comprendere da dove nasca linaccuratezza del modello:
Ad esempio se gli istogrammi centrali e quelli estremi risultano pi alti della
media, probabile che la vera distribuzione dei rendimenti sia
leptocurtica, per esempio una t di Student
-
Rischio e valore nelle banche I modelli per la stima della volatilit
41 Resti e Sironi, 2008
Esercizi/1 1. Una banca sta effettuando il backtesting del suo modello VaR
usando un campione di 400 rendimenti giornalieri passati. In 12 giorni su 400, le perdite hanno superato il VaR al 99% di confidenza. Usando una distribuzione binomiale, calcolate la probabilit associata ad un simile risultato se il modello VaR corretto. Inoltre, calcolate il test di copertura non condizionale (usando lequazione [4] in questo capitolo) e (usando la tabella semplificata riportata qui di seguito, oppure la funzione DISTRIB.CHI(.) in Excel) stimate lerrore del primo tipo (p-value). Dite infine in cosa consiste il significato pratico di questo valore di errore.
-
Rischio e valore nelle banche I modelli per la stima della volatilit
42 Resti e Sironi, 2008
Esercizi/1
Distribuzione di probabilit cumulata di x distribuito secondo una chi-quadrato con m gradi di libert
x 0.25 0.5 1 2.5 5 10 20 40 80 160
m
1
38.29
%
52.05
%
68.27
% 88.62% 97.47% 99.84% 100.00% 100.0% 100.0% 100.0%
12 0.00% 0.00% 0.00% 0.18% 4.20% 38.40% 93.29% 99.99% 100.0% 100.0%
100 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 7.03% 99.99%
-
Rischio e valore nelle banche I modelli per la stima della volatilit
43 Resti e Sironi, 2008
Esercizi/2 2.Considerate le seguenti affermazioni: il backtesting di un
modello VaR per i rischi di mercato consiste nel
I. calcolare il VaR associato a differenti scenari, corrispondenti a shock estremi nei rendimenti dei fattori di mercato gi accaduti in passato;
II. calcolare il VaR associato a differenti scenari, corrispondenti a shock estremi nei rendimenti dei fattori di mercato mai accaduti in passato;
III. calcolare il VaR associato a differenti scenari, corrispondenti a shock medi nei rendimenti dei fattori di mercato accaduti in passato;
-
Rischio e valore nelle banche I modelli per la stima della volatilit
44 Resti e Sironi, 2008
Esercizi/2
IV. calcolare il VaR associato ai singoli sottoperiodi passati e confrontarlo con le perdite o i profitti che si sono effettivamente verificati.
Quali di esse sono corrette? a) solo la II; b) la I e la II; c) la IV; d) la II e la IV.
-
Rischio e valore nelle banche I modelli per la stima della volatilit
45 Resti e Sironi, 2008
Esercizi/3 3. Una banca ha effettuato il backtesting del suo modello VaR su
un insieme di 500 osservazioni, trovando 7 eccezioni (cio valori superiori al VaR) consecutive. Calcolate il test di copertura non condizionale, il test di indipendenza seriale e il test di copertura condizionale. Usando la funzione DISTRIB.CHI(.) in Excel o la tabella qui di seguito, calcolate i p-values dei tre test. Commentate i risultati.
x 0.2 0.5 0.7 5 6.2 6.9 7.5 10 15 20
m
1 34.53% 52.05% 59.72% 97.47% 98.72% 99.14% 99.38% 99.84% 99.99% 100.00%
2 9.52% 22.12% 29.53% 91.79% 95.50% 96.83% 97.65% 99.33% 99.94% 100.00%
7 0.00% 0.06% 0.17% 34.00% 48.34% 56.06% 62.13% 81.14% 96.40% 99.44%
Distribuzione di probabilit cumulata di x distribuito secondo una chi-quadrato con m gradi di libert