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de 25- Interpolação Polinomial

CAP. IV – INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL

INTRODUÇÃO

Muitas funções são conhecidas apenas num conjunto finito e discreto de

pontos de um intervalo [a,b].

Exemplo:

A tabela seguinte relaciona calor específico da água e temperatura:

temperatura (ºC) 20 25 30 35

calor específico 0.99907 0.9985 0.9982 0.9918

Suponhamos que queremos calcular:

a) calor específico da água a 27.5ºC;

b) a temperatura para a qual o calor específico é 0.9983.

INTERPOLAÇÃO

quando são conhecidos somente

os valores numéricos da função

para um conjunto de pontos e é

necessário calcular o valor da

função num ponto não tabelado

quando a função em estudo tem

uma expressão gera complexa,

tornando operações como a

integração e diferenciação difíceis


Como esta função é dada apenas num conjunto finito de pontos sem se

dispôr da sua forma analítica, substitui-se esta por outra função. Esta nova

função é uma aproximação à função dada, deduzida a partir dos pontos

conhecidos.

FUNÇÃO APROXIMANTE

Estas funções podem ser de vários tipos tais como exponencial,

logarítmica, trigonométrica e polinomial.

Aqui vamos estudar apenas as funções polinomiais.

CONCEITO DE INTERPOLAÇÃO

Consideremos n+1 pontos distintos, x0, x1, ..., xn, no intervalo [a, b] e os

valores da função f(x) nesses pontos, f(x0), f(x1), ... , f(xn).

Uma das formas de interpolação de f(x) que iremos ver consiste em

determinar uma função g(x), a função interpoladora, tal que:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

==

)f(x)g(x......

)f(x)g(x)f(x)g(x

nn

11

00

GRAFICAMENTE:

Função aproximante → polinómio → interpolação polinomial


Conhecidos os pontos (suporte da interpolação)

(x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ... , (xn, f(xn)) com xi <xi+1, i=0,...,n e x0=a e xn=b,

pretende-se aproximar f(x), por um polinómio

pn(x) = anxn + an-1xn-1 + … +a2x2 + a1x1 + a0 = ∑=

n

0i

ii xa

tal que

pn(xi) = f(xi), i= 0, …,n.

Os coeficientes a0, a1, ...., an são determinados à custa da resolução do

seguinte sistema:


⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⇔

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=+++++

=+++++

=+++++

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

==

−

−

−

)f(x....

)f(x)f(x

aaa....aa

.

1 x x..... xx

..........1 x x...... xx

1 x x...... xx

)f(xaxaxa ... xaxa

......)f(xaxa xa ... xa xa

)f(xaxaxa ... xaxa

)f(x )(xp.......

)f(x )(xp)f(x )(xp

n

1

0

0

1

2

1-n

n

n2

n1-n

nn

n

12

11-n

1n

1

02

01-n

0n

0

nnn12

n21n

n1-nn

nn

11112

121n

11-nn

1n

00012

021n

01-nn

0n

nnn

11n

00n

A solução do sistema anterior é única se o determinante da matriz for

diferente de zero, o que acontece se os n+1 pontos, x0, x1, ..., xn forem

todos distintos.

Demonstra-se o seguinte teorema:

TEOREMA 1:

Sejam dados n+1 pontos distintos (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ... , (xn, f(xn)).

Então existe um único polinómio pn(x) de grau inferior ou igual a n que

satisfaz pn(xi) = f(xi) , i=0, ... ,n.


FORMAS DE OBTER O POLINÓMIO:

resolução do sistema linear obtido anteriormente;

interpolação de Lagrange;

interpolação de Newton com diferenças divididas;

interpolação de Newton com diferenças finitas.

FÓRMULA DO ERRO (TRUNCATURA)

Os cálculos anteriores estão afectados de dois tipos de erros:

a) erros de arredondamento;

b) erros de truncatura - quando decidimos aproximar f por um

polinómio de grau n.

conduzem ao mesmo

polinómio

] [n0

1)(n

n10T x,x algum para , 1)!(n

)(f). x-.(x ... ). x-).(x x-(x (x) E ∈+

=+

ξξ


4.1 RESOLUÇÃO DO SISTEMA LINEAR

EXEMPLO 1 (INTERPOLAÇÃO LINEAR) :

Determinar o polinómio interpolador para a função f conhecida pelos

seguintes pontos e calcular o valor de f(1.5).

xi 1 2 yi 0.84 0.91

EXEMPLO 2 (INTERPOLAÇÃO QUADRÁTICA):

Determinar o polinómio interpolador para a função conhecida pelos pontos:

xi -1 0 2 yi 4 1 -1


(1) )x(x(x)Ln

ij0j

ji ∏≠=

−=

4.2 INTERPOLAÇÃO DE LAGRANGE

Sejam n+1 pontos distintos (xi, f(xi)), i=0, ... ,n tal que f(xi)=yi.

Consideremos os seguintes (n+1) polinómios de grau n, denominados

polinómios de Lagrange:

De forma abreviada, os polinómios de Lagrange escrevem-se da seguinte

forma:

Os polinómios Li têm a propriedade seguinte tais que:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=≠

≠=

ji se 0

ji se 0 )(xL ji

Como o polinómio pn é de grau n e contém os pontos (xi, f(xi)), i=0, ..., n,

podemos escrever pn como combinação linear dos polinómios de Lagrange,

Li (x) , i=0, ...,n, ou seja:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−=

−−=−−=

− )x(x ..... )x-).(xx-(x (x)L

.......)x(x ..... )x).(xx-(x(x)L)x(x ..... )xx).(x-(x )x(L

1n10n

n201

n210

∑=

=+++=n

0iiinn1100n (2) (x).Lb(x).Lb ... (x).Lb(x).Lb(x)p


Assim, para determinar pn (x) basta calcular o valor de bi, i = 0, ... ,n, já

que os polinómios Li(x) são facilmente calculáveis.

pn(xi) = b0.L0 (xi) + b1.L1(xi) + .... +bi.Li (xi) + .... +bn.Ln(xi)

Li (xi)≠0

Lk (xi) = 0 para k = 0, ... , i-1, i+1, ...., n obtém-se:

Substituindo o valor de bi em (2), obtém-se:

Tendo em atenção (1) concluímos que:

EXEMPLO:

Determinar o polinómio interpolador de Lagrange para a função conhecida

pelos pontos:

xi 0 0.2 0.4 0.5 yi 0 2.008 4.064 5.125

n 0,...,i , )(xL

y )(xL)(xpb )(x.Lb)(xp

ii

i

ii

iniiiiin ===⇔=

∑=

=n

0i ii

iin

)(xL(x)L. y (x)p

∑ ∏=

≠= −

−=

n

0i

n

ij0j ji

jin

)x(x)x(x

y (x)p Polinómio Interpolador de Lagrange

Como


[ ] [ ] [ ]ini

1-ni ini1ini1iiy

n

xx x..., ,xf x, ... ,xf

x,..., x,xfi −−

==∇+

+++++

[ ] [ ] [ ]i1i

y0

y0

i1i

i1i1iiy xx

xx

xfxf x,xf i1ii −

∇−∇=

−−

==∇++

++

+

[ ] iiiy0 y)f(xxfi ===∇

ini

y1-n

y1-n

yn

xxi1 i

i −

∇−∇=∇

+

+

4.3 INTERPOLAÇÃO COM DIFERENÇAS DIVIDIDAS

Diferença Dividida

A 1ª derivada de f(x) no ponto x0 é por definição:

0

0

xx0'

x-x )f(x - f(x)lim )(xf

0→= .

A diferença dividida de 1ª ordem é definida como uma aproximação da 1ª

derivada: [ ]x-0x

f(x)-)0f(x

0 x-x )0f(x - f(x)

0xx,f == (1)

Se fizer x=x1 em (1), tem-se a diferença dividida de 1ª ordem em relação aos

argumentos x0 e x1 : [ ] 1 x- 0x1y - 0y

1 x- 0x)1f(x - )0f(x

0x,1xf 0y ===∇

4.3.1 OPERADOR DE DIFERENÇAS DIVIDIDAS

Ordem

0

1

...

n


TABELA DE DIFERENÇAS DIVIDIDAS:

xi ∇0yi ∇1yi ∇2yi .... ∇nyi x0 f[x0]

f[x0,x1] x1 f[x1] f[x0,x1,x2]

f[x1,x2] x2 f[x2] f[x1,x2,x3] f[x0,x1,...,xn] f[x2,x3]

.... ... ... ... f[xn-2,xn-1,xn] f[xn-1,xn]

xn f[xn]

EXEMPLO:

Determinar as diferenças divididas de f definida pelos seguintes pontos:

xi 0.3 1.5 2.1 yi 3.09 17.25 25.41

Resolução: Começamos por construir a tabela das diferenças divididas

xi f(xi)= 0iy∇ 1

iy∇ 2iy∇

0.3 3.09 1.5 17.25 2.1 25.41


4.3.2 POLINÓMIO INTERPOLADOR DE NEWTON PARA DIFERENÇAS

DIVIDIDAS

Consideremos os n+1 pontos (xi, f(xi)), i=0 ,..., n e pn(x) o polinómio de

grau n que contém esses pontos.

Pela definição de diferença dividida de 1ª ordem, tem-se que:

Pela definição de diferença dividida de 2ª ordem, tem-se que:

Substituindo pn [x, x0] em (1), obtém-se:

[ ] [ ]10n1010n00nn x, xx,).px(x.)x(xx,xp).xx()(xp (x)p −−+−+=

[ ] [ ] [ ]

[ ] (1) xx,p).xx()(xp (x)p

xx)(xp)(xp

xx

xpxp xx,p

0n00nn

0

n0n

0

n0n0n

−+=⇔

⇔−−

=−−

=

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]10n110n0n

1

0n10n10n

x, xx,).px(xx,xp xx,p

xx

xx,px,xpx, xx,p

−+=⇔

−−

=


Continuando assim sucessivamente, obtemos:

[ ] [ ]

[ ] [ ]nx..., ,1x,0 xx,n).pnx)...(x1x(x.)0x(xnx..., ,1 x,0xn).p1-nx)...(x1x(x.)0x(x

....2x,1 x,0xn).p1x(x.)0x(x1x,0xnp).0xx()0(xnp (x)np

−−−+−−−+

++−−+−+=

Como

pn(x) é de grau n,

[ ] 0x..., , x,xx,).px)...(xx(x)x(x n10nn10 =−−− .

pn (x0) = y0

pn [x0, …, xi] = ∇i y0

podemos escrever:

000 yn

1-n10y2

10y1

00n ).x)...(xx(x.)x(x....).x(x.)x(x).xx(y(x)p ∇−−−++∇−−+∇−+=

Ou ainda,

EXEMPLO:

Determinar o polinómio interpolador de Newton para a função f definida

pelos seguintes pontos:

xi 0.3 1.5 2.1 yi 3.09 17.25 25.41

∑ ∏= =∇+=

n

1i

1-i

0jj0

i0n )x-(x y y(x)P

Polinómio Interpolador de Newton


hxx

z 0−=

PONTOS IGUALMENTE ESPAÇADOS:

Admitamos que os pontos xi são igualmente espaçados, isto é:

xi = xi-1 + h, i=1, ...,n, sendo h uma constante denominada passo.

Consideremos a variável auxiliar, z, dada por .

Tem-se que:

x-x0 = h.z

x-x1 = x-(x0+h) = x-x0-h = h.z-h = h.(z-1)

x-x2 = x-(x1+h) = x-x1-h = h.(z-1)-h = h.(z-2) ..... x-xn-1= x-(xn-2 +h) = x- xn-2-h = h.(z-(n-2))-h = h.(z-(n-1))

Substituindo os valores anteriores no polinómio interpolador de Newton

para diferenças divididas

000 yn

1-n10y2

10y1

00n ).x)...(xx(x.)x(x....).x(x.)x(x).xx(y(x)p ∇−−−++∇−−+∇−+=

obtém-se:

000 yn

y2

y1

0n 1)).(n2)...h(zh(z 1).h(z hz.....1).-h(z hz.hz.y(x)p ∇−−−−++∇+∇+=

Ou ainda:

∑ ∏∇+== =

n

1i

1-i

0j0

ii0n j)-(z y.h y(x)p

Polinómio Interpolador de Newton

para pontos igualmente espaçados


4.4 INTERPOLAÇÃO COM DIFERENÇAS FINITAS

Seja f uma função da qual se conhecem os n+1 pontos (xi, f(xi)), i=0 ,..., n,

onde os pontos xi são igualmente espaçados:

xi = xi-1 + h, i=1, ...,n

4.4.1 OPERADOR DE DIFERENÇAS FINITAS

Ordem

0

1

...

n

EXEMPLO:

Determinar a tabela das diferenças finitas da função f definida pelos

seguintes pontos:

xi 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 yi 9.82 10.84 12.88 13.98 16.99

Resolução: Começamos por construir a tabela das diferenças finitas

xi f(xi)= 0iy∆ 1

iy∆ 2iy∆ 3

iy∆ 4iy∆

3.5 9.82 1.02 1.02 -1.96 4.81 4.0 10.84 2.04 -0.94 2.85 4.5 12.88 1.10 1.91 5.0 13.98 3.01 5.5 16.99

iiy0 y)f(xi ==∆

i1ii y0

y0

i1iy1 yy ∆−∆=−=∆ ++

i1ii y1-n

y1-n

yn ∆−∆=∆ +


4.4.2 POLINÓMIO INTERPOLADOR DE NEWTON PARA DIFERENÇAS FINITAS

Nesta secção vamos considerar que os n+1 pontos xi são igualmente

espaçados: xi = xi-1 + h, i=1, ...,n.

Segue-se um teorema que relaciona as diferenças divididas com as

diferenças finitas.

TEOREMA 2:

Seja f uma função definida nos pontos (xi, yi), i=0, ... ,n tais que,

xi+1 - xi = h, i=0, ..., n-1.

Tem-se que:

Considere-se o polinómio interpolador de Newton para pontos igualmente

espaçados: ∑ ∏∇+== =

n

1i

1-i

0j0

ii0n j)-(z y.h y(x)p

Substituindo n ..., 1,i ,i!.h

ypor y i0

i

0i =

∆∇ , obtém-se:

kiy

k

iyk

k!.h∆

=∇

∑ =∏∆

+== =

n

1i

j1-i

0j

0i

0n hx-x

j-z com j)-(z i!y y(x)p

Polinómio Interpolador

Gregory-Newton

para diferenças finitas


EXEMPLO:

Dada a função f, conhecida nos pontos abaixo tabelados, calcule f(0.25).

xi 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 yi 0.125 0.064 0.027 0.008 0.001

Resolução: Começamos por construir a tabela das diferenças finitas

xi 0yi∆ 1

yi∆ 2yi∆ 3

yi∆ 4yi∆

0.1 0.125 -0.061 0.024 -0.006 0 0.2 0.064 -0.037 0.018 -0.006 0.3 0.027 -0.019 0.012 0.4 0.008 -0.007 0.5 0.001


4.5 ESTUDO DO ERRO NA INTERPOLAÇÃO

Como já observamos, ao aproximar-se a função f(x) por um polinómio

pn(x), comete-se um erro (erro de truncatura), ou seja,

[ ] x,x xo todopara (x),pf(x) (x)E n0nT ∈= -

EXEMPLO:

Temos que:

p1(x) interpola f1(x) e f2(x) em x0 e x1;

E1=f1(x)-p1(x) > E2=f2(x)-p2(x), para todo o x∈(x0,x1).


Uma medida para o erro de truncatura é dada pelo seguinte teorema:

TEOREMA 3:

Sejam f, f ', f '',..., f (n) definidas e contínuas no intervalo [x0, xn] e a derivada

f (n+1)definida em (x0, xn).

Seja pn(x) o polinómio interpolador de f(x) nos pontos, x0, x1, ..., xn.

Então, em qualquer ponto x pertencente ao intervalo [ ]n0 x,x , o erro é dado

por

Para algum ξ ∈ (x0,xn).

Nota:

Para pontos igualmente espaçados, ET(x) é equivalente a:

1)!(n

)(fn)-(z .... 3)-2).(z-1).(z-z.(zh(z)E1)(n

1)(nT

+=

++ ξ

Na maior parte das vezes não se conhece o valor exacto de ξ.

Assim, consideramo-lo igual ao valor que maximiza |f (n+1)(x)| em (x0, xn),

isto é,

)x( f max 1)(n

x 0

+

<<=

nxxξ

1)!(n)(f)x-(x .... )x-).(xx-).(xx-(x(x)E

1)(n

n210T +=

+ ξ


4.6 OUTRAS FORMAS DE INTERPOLAÇÃO

4.6.1 INTERPOLAÇÃO DE HERMITE

O objectivo da interpolação de Hermite é representar uma função por um

polinómio que interpole a função e a sua 1ª derivada.

Procuramos um polinómio interpolador Hk(x) de uma função f e da sua

primeira derivada f ’ em n+1 pontos distintos .x,...,x,x n10

Seja f uma função da qual se conhecem os n pontos (xi, f(xi)), i=0 ,..., n,

com xi ≠ xj para i ≠ j e os valores f ´(x0), f ´(x1), ..., f ´(xn).

Pretendemos aproximar f(x), por um polinómio H2n+1(x) que verifica:

H2n+1(xi) = f(xi), i = 0, …,n (n+1 condições)

H´2n+1(xi)= f ´(xi), i = 0, …,n (n+1 condições)

Temos 2n+2 condições, ou seja, 2n+2 equações

H2n+1 é polinómio de grau inferior ou igual a (2n+1)

H2n+1(x) = a2n+1x2n+1 + a2nx2n + … +a2x2 + a1x1 + a0 = ∑+

=

12n

0i

iixa

CONSTRUÇÃO DO POLINÓMIO: (GENERALIZAÇÃO DO POLINÓMIO INTERPOLADOR DE NEWTON NAS DIFERENÇAS

DIVIDIDAS):

Consideremos os 2n+2 pontos z0, z1, ..., z2n+1 e o polinómio interpolador de

Newton:


[ ] [ ]

[ ]12nz ... ,1z ,0z).f2nz)...(x1z).(x0z(x

...2z,1z,0z).f1z).(x0z(x1z,0z).f0z(x)0f(z (x)12nH

+−−−+

++−−+−+=+

Considerando

z0 = z1 = x0

z2 = z3 = x1

...

z2n = z2n+1 = xn

obtemos

[ ] [ ] [ ]

[ ]nn00n2

1-n2

12

0

110012

01002

0000012n

xx..., , x,x).fx(x)x...(x)x(x)x(x

xx, x,x).fx(x)x(xx, x,x.f)x(xx,xf)x(x)f(x (x)H

,.

...,.

−−−−+

++−−+−+−+=+

Generalizando a definição de diferenças divididas,

Para o polinómio cúbico de Hermite (n=1) podemos construir a seguinte tabela:

[ ] [ ] )x(fxx

)f(xf(x)limxxf(x))f(xlimxx,flimx,xf i

'

i

i

ixxi

i

ixxi

ixxii =

−−

=−−

==→→→

[ ] [ ] [ ] [ ]01

0'

10

01

0010100 xx

)(xfx,xfxx

x,xfx,xfx,x,xf−−

=−−

=

[ ] [ ] [ ]

....

01

1001101100 xx

x,x,xfx,x,xfx,x,x,xf−−

=


X f 1as. Difs (D) 2as. Difs (D2) 3as. Difs (D3)

z0 = x0 f(x0) f ´(x0)=f[x0,x0]

z1 = x0 f(x0) f[x0,x0,x1] f[x0,x1] f[x0,x0,x1,x1]

z2 = x1 f(x1) f[x0,x1,x1] f ´(x1)=f[x1,x1]

z3 = x1 f(x1)

H3(x)=f(x0)+ f[x0,x0].(x-x0)+ f[x0,x0,x1].(x-x0)2+ f[x0,x0,x1,x1].(x-x0)2.(x-x1)2

EXEMPLO: Determinar o valor aproximado de ln(1.5) sabendo que:

x 1 2 ln(x) 0 0.6931 1/x 1 0.5

Resolução: Começamos por construir a tabela das diferenças divididas para a interpolação de Hermite

x f D D2 D3

Z0=1=x0 0 Z1=1=x0 0 Z2=2=x1 0.6931 Z3=2=x1 0.6931


ERRO DE TRUNCATURA:

Então, em qualquer ponto x pertencente ao intervalo [ ]n0 xx , , o erro é

dado por

4.6.2 INTERPOLAÇÃO COM SPLINES

Há casos em que o polinómio interpolador de grau elevado conduz

a resultados erróneos. Uma aproximação alternativa consiste em

ajustar polinómios de ordem mais baixa a subconjuntos dos dados.

Tais polinómios chamam-se funções splines.

EXEMPLO :

Consideremos uma função f(x) tabelada nos pontos a =x0 < x1 < ... < xn= b.

DEFINIÇÃO (FUNÇÃO SPLINE)

Uma função s(x) é denominada spline de grau m com nós nos pontos xi, se

satisfaz as seguintes condições:

i) em cada subintervalo [xi-1, xi], i=1, ..., n, si(x) é um polinómio de grau m;

ii) s(x) é contínua e tem derivada contínua até à ordem (m-1) em [a,b]

).x,(x 2)!(2n

)(f)x-(x .... )x-.(x)x-(x(x)E n0

2)(2n2

n2

12

0T ∈+

=+

ξξ ,


DEFINIÇÃO ( FUNÇÃO SPLINE INTERPOLADORA)

Função spline que verifica: s(xi) = f(xi), i=0, ..., n

SSPPLLIINNEESS LLIINNEEAARREESS::

A função spline linear interpolante de f(x) pode ser escrita em cada

subintervalo [xi-1, xi], i=1, ..., n como

EXEMPLO:

Calcule a função spline linear que interpola a função tabelada.

xi 1 2 5 7 yi 1 2 3 2.5

[ ]i1-i1ii

1ii

1ii

i1ii x,x x,

xxxx)f(x

xxxx)f(x(x)s ∈

−−

+−−

=−

−

−−

[ ]

[ ] [ ]5,7 x8.5),0.5x(21 ;2,5 x4),(x

31

2 1, x x, xxxx)f(x

xxxx)f(x

01

01

01

10

∈+−=∈+=

∈=−−

+−−

=

(x)s (x)s

(x)s

32

1


Desvantagem: primeira derivada descontínua nos nós xi

⇓⇓ SPLINES DE ORDEM SUPERIOR ( QUADRÁTICOS E CÚBICOS )

SSPPLLIINNEESS QQUUAADDRRÁÁTTIICCOOSS

A função spline quadrática interpolante de f(x) pode ser escrita em cada

subintervalo como

(n+1) pontos ⇒ n subintervalos ⇒ 3n constantes desconhecidas

As 3n equações para determinar as 3n constantes são:

O valor das splines quadráticas tem que ser igual nos nós interiores,

i.e., ⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

=

+ )f(x )(xs1-n ..., 1,i ,

)f(x )(xs

ii1i

iii

A primeira e a última spline têm que passar nos nós finais,

s1(x0)=f(x0) e sn(xn)=f(xn)

A primeira derivada nos nós interiores tem de ser igual,

si´(xi) = si+1´(xi), i=1, ..., n-1

Escolha arbitrária num conjunto de opções.

Consideremos que a segunda derivada é nula no primeiro ponto:

s1´´(x0)=0 ⇔ a1=0

n ..., 1,i ,cxbxa (x)s ii2

ii =++=

(2n-2) condições

2 condições

(n-1) condições


EXEMPLO:

Calcular splines quadráticos que interpolam a função tabelada.

xi 3 4.5 7 9 yi 2.5 1 2.5 0.5

cap. iv – interpolaÇÃo p...página 1 de 25- interpolação polinomial cap.iv – interpolaÇÃo...

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