cap iv - functii derivabile

Clasa a XI-a ANALIZA - 1 Cap. IV : Functii Derivabile

Important introducere in notiunea de derivataintroducere in notiunea de derivata :

Are sens sa punem problema derivatei sau derivabilitatii unei functii intr-un punct daca si numai daca acel punct face parte din domeniul de definitie al functiei studiate .

Inainte de a incepe studiul derivatei vom fixa urmatoarele entitati :

a). O functie reala , ;

b). Domeniul de definitie fiind reprezentat printr-un interval sau o reuniune de intervale ;

c). Un punct x0 care apartine lui .

Definitia derivatei unei functii intr-un punctderivatei unei functii intr-un punct :

- Se spune ca functia f are derivata in daca limita :

xx

xfxfxx 0

0lim

0

exista in .

- In acest caz aceasta limita se noteaza cu si se numeste derivata functiei in .

- Deci :

= .

Derivabilitate


Definitia derivabilitatii unei functii intr-un punctderivabilitatii unei functii intr-un punct :

- Se spune ca functia f este derivabila in daca limita :

exista in si este finita

- In acest caz aceasta limita se noteaza cu si se numeste derivata functiei in .

- Deci :

= .

Observatii :

- Observam ca daca are derivata intr-un punct aceasta poate fi un numar real finit , caz

in care este derivabila in , dar poate fi sau cand spunem ca are derivata infinita in

( cand un este derivabila in ! ) .

Intoducere in studiul derivatelor , derivabilitatii , lateralein studiul derivatelor , derivabilitatii , laterale :

- Fie o functie si un punct ;

- Daca sau atunci are sens sa studiem existenta

derivatei, respectiv a derivabilitatii , laterale a functiei in .

Definitia derivatei , derivabilitatii , la stangaderivatei , derivabilitatii , la stanga :

Derivabilitate


- Se spune ca functia are derivata la stanga in daca limita :

exista in .

- In acest caz se noteaza limita prin : sau .

- Se spune ca functia este derivabila la stanga in daca limita :

= exista in ,

cu alte cuvinte limita exista si este finita .

Definitia derivatei , derivabilitatii , la dreaptaderivatei , derivabilitatii , la dreapta :

- Se spune ca functia are derivata la dreapta in daca limita :

exista in .

- In acest caz se noteaza limita prin : sau .

- Se spune ca functia este derivabila la dreapta in daca limita :

= exista in ,

cu alte cuvinte limita exista si este finita .

Derivabilitate


Fie functia si , un interval sau reuniune de intervale , unde nu

este extremitate de interval .

Se poate da o caracterizare a faptului ca are derivata ( este derivabila ) in cu

ajutorul derivatelor laterale in , mai precis are loc urmatoarea teorema :

Teorema :

1). Functia are derivata in are derivate laterale in si :

.

2). Functia este derivabila in este derivabila bilateral in si :

.

Exercitiul nr. 1 :

Sa se studieze derivabilitatea functiilor in punctele indicate :

a). ;

b). ;

c). ;

d). ;

e). ;

f). ;

g). ;

h). ;

Derivabilitate


i). 1 , 1

0 xx

xf ;

j). ;

k). ;

l). ;

m). ;

n). ;

o). .

Exercitiul nr. 2 :

Sa se stabileasca daca functiile urmatoare au derivate la stanga si la dreapta in punctele indicate :

a). , , ;

b). RRf : , ;

c). , ;

d). , ;

e). , ;

f). RRf : , ;

g). , .

Exercitiul nr. 3 :

Sa se studieze derivabilitatea functiilor de mai jos ( ) , in punctele indicate :

a). ;

b). ;

Derivabilitate


c). ;

d). 0 , 0 x ,

0 , 0

0

0

xx

xxxxf ;

e). 1 , 1 ,

1

1

1 , 1

0

3

x

xx

x

xxxf ;

f). ;

g). ;

h). .

Exercitiul nr. 4 :

Fie functia definita prin oricare ar fi Rx .

a). Sa se arate ca functia are derivata in punctul .

b). Sa se calculeze .

c). Este functia derivabila in punctul ?

Exercitiul nr. 5 :

Fie RRf : functia definita prin oricare ar fi Rx .

a). Sa se arate ca functia are derivata in punctul .

b). Sa se calculeze .

c). Este functia derivabila in punctul 00 x ?

Exercitiul nr. 6 :

Utilizand definitia , sa se arate ca urmatoarele functii sunt derivabile in punctele

Derivabilitate


specificate . Sa se calculeze derivata in fiecare caz in parte :

a). RRf : , oricare ar fi Rx , 20 x ;

b). Rf 1;0: , oricare ar fi , 2

10 x ;

c). , oricare ar fi Rx , ;

d). Rf ;1: , oricare ar fi ,

e). , oricare ar fi Rx , 00 x ;

f). , ,

g). , , .

Exercitiul nr. 7 : Fie RRf : functia definita prin oricare ar fi Rx .

a). Sa se arate ca functia are derivate laterale in punctul ;

b). Sa se calculeze si ;

c). Este functia derivabila la stanga , la dreapta , in punctul ? ;

d). Are functia derivata in punctul ? ;

e). Este functia derivabila in punctul ? .

Exercitiul nr. 8 :

Fie RRf : functia definita prin .



c). Este functia derivabila la stanga si la dreapta in punctul ? ;



Derivabilitate


Exercitiul nr. 9 :

Fie functia definita prin .



c). Este functia derivabila la stanga si la dreapta in punctul ? ;



Exercitiul nr. 10 :

Fie RRf : functia definita prin .


b). Are functia derivata in punctul ? ;

c). Este functia derivabila in punctul ? .

Fie o functie derivabila intr-un punct .

Definitia ecuatiei tangentei la graficecuatiei tangentei la grafic :

- Graficul functiei are tangenta in , sau mai corect in punctul , anume

dreapta de ecuatie :

unde

sau

Derivabilitate


.

Definitie coeficient unghiular al tangenteicoeficient unghiular al tangentei :

- Derivata este coeficientul unghiular al tangentei la graficul lui , in punctul

.

- Daca sau atunci tangenta in este paralela cu axa .

Definitie punct de intoarcere punct de intoarcere :

- Daca , intr-un punct , este continua si avem :

si sau invers

atunci punctul x0 se numeste punct de intoarcere al graficului lui f .

Definitie punct unghiular punct unghiular :

- Fie functia continua intr-un punct ;

- Daca exista ambele derivate laterale , cel putin una dintre ele fiind finita , dar functia un este

derivabila in x0 , atunci se spune ca este punct unghiular al graficului lui .

- Intr-un punct unghiular cele doua semitangente , la stanga si la dreapta , formeaza un unghi .

Problema 1 1 :

- Fie si ;

- Graficul functiei admite tangenta in punctul ( neparalela cu axa

) a carei ecuatie este :

.

Derivabilitate


- Daca , atunci tangenta este paralela cu axa . In acest caz .

- Dreapta poate fi tangenta la si in cel putin un punct

, !

Problema 2 2 :

- Pentru a determina ecuatiile tangentelor la graficul unei functii REf : paralela cu o directie data , se procedeaza astfel :

se rezolva ecuatia , unde Dx f' ;

daca nkxk ,1 , ' sunt radacinile ecuatiei precedente , atunci ecuatiile tangentelor

la G f , paralele cu directia data , sunt :

, nk ,1 .

Problema 3 3 :

- Pentru a determina ecuatiile tangentelor duse dintr-un punct GP f , la graficul functiei , se procedeaza astfel :

se rezolva ecuatia , ;

daca nkxk ,1 , ' sunt zerourile ecuatiei precedente , atunci ecuatiile tangentelor la

, duse din punctul , sunt :

, .

Problema 4 4 :

- Graficele a doua functii sunt tangente daca exista astfel

incat si , ceea ce inseamna ca functia :

, are proprietatea ca :

functia are cel putin un zero multiplu .

Derivabilitate


- Daca exista pentru care si functiile si au derivata in punctul

si acestea sunt infinite si egale ( ) , atunci si in acest caz si sunt

tangente in punctul , insa tangenta comuna este paralela cu axa : .

Exercitiul nr. 1 :

Sa se scrie ecuatiile tangentei la graficele functiilor indicate in punctele

respective :

a). ; b). ;

Derivabilitate


c). ; d). ;

e). ; f). .

Exercitiul nr. 2 :

Sa se determine punctele unghiulare sau punctele de intoarcere pt. functiile :

a). ; b). ;

c). ; d). .

Exercitiul nr. 3 :

Fie , . Sa se studieze derivabilitatea lui

si sa se determine punctele unde tangenta la grafic trece prin origine .

Exercitiul nr. 4 :

Sa se determine tangentele la graficul de ecuatie care trec prin origine .

Idem pentru .

Exercitiul nr. 5 :

Sa se determine a.i. tangenta la graficul functiei in punctul sa

formeze cu directia pozitiva a axei un unghi de .

Exercitiul nr. 6 :

Sa se determine tangentele la graficul functiei , care trece prin

punctul .

Exercitiul nr. 7 :

Derivabilitate


Fie , . Sa se determine parametrul real astfel incat tangenta la

grafic in punctul de abscisa sa fie paralela cu a doua bisectoare ( dreapta este cunoscuta sub numele de a doua bisectoare ).

Exercitiul nr. 8 :

Fie functiile , . Sa se determine astfel incat

graficele celor doua functii sa admita tangenta comuna in punctul de abscisa .

Exercitiul nr. 9 :

Fie , , astfel incat graficele

functiilor si sa admita o tangenta comuna intr-un punct comun .

Exercitiul nr. 10 :

Scrieti ecuatiile tangentelor la graficul functiilor urmatoare in :

a). ; b). ;

c). ; d). .

Exercitiul nr. 11 :

Sa se determine un punct apartinand graficului functiei , in care tangenta la graficul acesteia este paralela cu prima bisectoare a axelor de coordonate .

Exercitiul nr. 12 :

Sa se scrie ecuatia tangentei dusa din originea axelor de coordonate , la curba de ecuatie

.

Exercitiul nr. 13 :

Sa se scrie ecuatiile tangentelor la curbele de ecuatii

si in punctele comune acestora .

Derivabilitate


Legat de functiile derivabile are loc urmatorul rezultat important dat de :

Teorema :

Orice functie derivabila intr-un punct este continua in acel punct .

Observatii ( importantimportant ) :

1). Functie derivabila intr-un punct functie continua in acel punct .

2). Functie continua nu neaparat derivabila in acel punct .

3). Functie discontinua functie nederivabila .

Concluzie privind derivabilitatea privind derivabilitatea :

Se poate pune problema derivabilitatii unei functii intr-un punct daca si numai daca :

1). Functia este definita in acel punct .

2). Functia este continua in acel punct .

3). Functia este derivabila daca :

exista in si este finita .

Exercitiul nr. 1 :

Derivabilitate


Sa se determine parametrii reali astfel incat functiile urmatoare sa fie derivabile in punctele indicate :

1). , ;

2). , ;

3). , ;

4). , ;

5). , ;

6). , .

Exercitiul nr. 2 :

Sa se arate ca functia , este continua in dar

un este derivabila in .

Exercitiul nr. 3 :

Sa se determine punctele de derivabilitate ale functiei ,

.

Fie si un interval din .

Definitie :

Se spune ca functia este derivabila pe intervalul daca este derivabila in fiecare punct al intevalului .

Observatii :

1). Daca este derivabila pe tot domeniul sau de definitie , vom spune mai simplu , ca este

Derivabilitate


derivabila , fara alta explicatie legata de multime .

2). Daca notam cu submultimea lui formata din toate punctele cu proprietatea

ca este derivabila in punctul , daca atunci se

poate

defini pe cu valori reale , care asociaza fiecarui punct Dx f' numarul real ,

Dx f' ,

Aceasta functie se noteaza cu f ' si se numeste functia derivata a lui sau simplu derivata lui

.

Procedeul prin care se obtine f ' din se numeste derivare .

3). Este clar ca . Nu are sens sa se vorbeasca de derivabilitatea unei functii in puncte

care nu se afla in domeniul de definitie al functiei .

Derivabilitate

cap iv - functii derivabile

Documents