cấp tốc chinh phục đề thi trắc nghiệm môn toán - chuyên đề đại số - phần...

24

CẤP TỐC CHINH PHỤC ĐỀ THI TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN - CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ

PHẦN3

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM THEO CHUYÊN ĐỀ

CHUYÊN ĐỀ 1: HÀM SỐ

A - LÝ THUYẾT:I. HÀM BẬC 3: y = ax3 + bx2 + cx + d

a > 0 a < 0

y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt⇔ ∆’ = b2 – 3ac > 0

y

x 0

I

y

x 0 I

y’ = 0 có nghiệm kép⇔ ∆’ = b2 – 3ac = 0

y’ = 0 vô nghiệm⇔ ∆’ = b2 – 3ac < 0

y

x 0

I

y

x 0

I

• Hàm số có cực trị khi 03' 2 >−=∆ acb . • Hàm số không có cực trị khi 03' 2 ≤−=∆ acb .

25

TKBooks - chuyên sách tham khảo cho học sinh

• Hàm số đạt cực trị tại (x0;y0) thì

==

00

0

)(0)('yxy

xy

• Hàm số đạt cực đại tại x0 thì

<=

0)("0)('

0

0

xyxy

• Hàm số đạt cực tiểu tại x0 thì

>=

0)("0)('

0

0

xyxy

• Hàm số có cực trị nằm về 2 phía của trục tung:

• Hàm số có cực trị nằm về 2 phía của trục hoành:

• Hàm số có cực trị nằm phía trên trục hoành:

• Hàm số có cực trị nằm phía dưới trục hoành:

• Đường thẳng qua cực trị có dạng a

bcdxabcy

9.

92

32 2

−+

−=

−=

2'".9.

91 yyaya

• Hàm số luôn đồng biến khi

≤∆>

0'0

ya

; luôn nghịch biến khi

≤∆<

0'0

ya

• Hàm số đồng biến/nghịch biến trên đoạn có độ dài là d:

( ) 221

221 .4 dxxxx =−+

• Hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn điều kiện cho trước:

+ ( ) 221

22121 .4 mxxxxmxx =−+⇒=−

+ 0)(.21 <⇒<< αα faxx

+

=

−=+

=±

acxx

abxx

mxnx

21

21

21

.

.

26


+

<

>⇒<<

α

αα

2

0)(.21 S

faxx

+

>

>⇒<<

α

αα

2

0)(.21 S

faxx

• Đồ thị hàm bậc 3 luôn cắt trục hoành tại ít nhất 1 điểm.

• Đồ thị hàm bậc 3 nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

• Đồ thị hàm số có điểm uốn tại (x0;y0) thì

==

00

0

)(0)("

yxyxy

• Đồ thị hàm số lồi trên (a;b) thì 0)(" 0 <xy ; lõm trên (a;b) thì 0)(" 0 >xy

• Chứng minh hàm bậc 3 là hàm lẻ, đặt

−=−=

byYaxX

, trong đó (a;b) là tọa độ

điểm uốn.• Qua điểm uốn kẻ được duy nhất 1 tiếp tuyến.• Tiếp tuyến tại điểm uốn có: + Hệ số góc lớn nhất nếu a > 0

+ Hệ số góc nhỏ nhất nếu a < 0• Đồ thị hàm bậc 3 cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành cấp số cộng khi

• Đồ thị hàm bậc 3 cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành cấp số nhân khi

• Phương trình tiếp tuyến có dạng: 000 )).((' yxxxfy +−= (1)

+ Tại tiếp điểm (x0;y0) thay vào PT (1) (Thay vào x0 , y0)

+ Đi qua điểm (x;y) thay vào PT (1) tìm x0

adx

adxxx

xxx−

=⇒

−=

=32

321

2231

..

.

=>∆

00'

uonyy

27


+ Song song với đường thẳng d có

−==⇒=++

==⇒+=

BAxfkCByAx

axfkbaxy

)('0

)('

0

0

+ Vuông góc với đường thẳng d: k

xf 1)(' 0−

=

+ Tạo với trục Ox góc α: αTanxf ±=)(' 0

+ Tạo với đường thẳng d góc α: kxf

kxfTan

).('1)('

0

0

+−

=α

• Tìm điểm để từ đó kẻ được n tiếp tuyến với hàm số:

+ Giả sử điểm cần tìm là M(xM;yM)

→ Phương trình đường thẳng ∆ qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM

+ ∆ tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:

( ) ( ) (1)'( ) (2)

M Mf x k x x yf x k

= − + =

+ Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – xM).f′(x) + yM (3) + Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3)

Điều kiện tiếp xúc của 2 đồ thị: ( ) ( )'( ) '( )

f x g xf x g x

= =

hoặc PT bậc 2 có nghiệm kép

• Tìm điểm để từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến với hàm số vuông góc với nhau:+ Giả sử điểm cần tìm là M(xM;yM) → Phương trình đường thẳng ∆ qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM

+ tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:

( ) ( ) (1)'( ) (2)

M Mf x k x x yf x k

= − + = + Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – xM).f′(x) + yM (3)+ Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) ⇔ (3) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.

tan

tan

28


+ Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau ⇔ f′ (x1).f′ (x2) = –1. Từ đó tìm được M.

• Điểm cố định của đồ thị hàm số:+ Gọi M(x0; y0) là điểm cố định (nếu có) của họ (Cm).+ M(x0; y0) ∈ (Cm), ∀m ⇔ y0 = f(x0, m), ∀m (1) + Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:+ Dạng 1: (1) ⇔ Am + B = 0, ∀m

+ Dạng 2: (1) ⇔ 2 0Am Bm C+ + = , ∀m

⇔ 00

AB

= =

(2a) ⇔ 000

ABC

==

= (2b)

+ Giải hệ (2a) hoặc (2b) ta tìm được toạ độ (x0; y0) của điểm cố định.

• Điểm mà đồ thị hàm số không bao giờ đi qua:+ Gọi M(x0; y0) là điểm cố định (nếu có) của họ (Cm).+ M(x0; y0) ∉ (Cm), ∀m ⇔ y0 = f(x0, m) vô nghiệm ∀m (1) + Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:

+ Dạng 1: (1) ⇔ Am + B = 0 vô nghiệm ∀m ⇔ 00

AB

= ≠

(2a)

+ Dạng 2: (1) ⇔ 2 0Am Bm C+ + = vô nghiệm ∀m ⇔ 2

0004 0

A BCAB AC

= = ≠ ≠ − <

(2b)

+ Giải hệ (2a) hoặc (2b) ta tìm được toạ độ (x0; y0) của điểm mà đồ thị không bao giờ đi qua.

• Khoảng cách:+ Khoảng cách giữa hai điểm (độ dài đoạn thẳng):

( ) ( )2 2B A B AAB x x y y= − + − .

29


+ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho đường thẳng

: 0Ax By C∆ + + = và điểm M(x0;y0) khi đó ( ) 0 0

2 2,.

Ax By Cd M

A B

+ +∆ =

+.

• Đồ thị hàm trị tuyệt đối: )(xfy =

+ Giữ phần đồ thị trên Ox

+ Bỏ phần đồ thị dưới Ox

+ Lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới lên trên

• Đồ thị hàm trị tuyệt đối: )( xfy = + Giữ phần đồ thị phía bên phải Oy+ Bỏ phần đồ thị phía bên trái Oy+ Lấy đối xứng phần đồ thị phía bên phải qua bên trái

• Tìm các cặp điểm đối xứng trên đồ thị:

+ A, B đối xứng qua gốc toạ độ O ⇔ A B

A B

x xy y

= = −

30


+ A, B đối xứng nhau qua trục hoành ⇔ A B

A B

x xy y

= = −

+ A, B đối xứng nhau qua trục tung ⇔ A B

A B

x xy y

= − =

+ A, B đối xứng nhau qua đường thẳng y = b ⇔ 2

A B

A B

x xy y b

= + =

+ A, B đối xứng nhau qua đường thẳng x = a ⇔ 2A B

A B

x x ay y

+ = =

• Biện luận số nghiệm của phương trình F(x;m) = 0.Chuyển phương trình đã cho về dạng f(x) = m, khảo sát hàm số y = f(x) từ đó biện luận số nghiệm của phương trình theo m.

y

c.

x

m

c.

A

c.

(C)

c. (d) : y = m

c. yCĐ

yCT xA

c.

+ PT bậc 3 chỉ có 1 nghiệm:

(h.1a) (h.1b)

31


+ PT bậc 3 chỉ có đúng 2 nghiệm:

+ PT bậc 3 chỉ có 3 nghiệm:

+ PT bậc 3 chỉ có 3 nghiệm dương phân biệt:

f có 2 cực trị (h.2)yCĐ. y CT = 0

f có 2 cực trị (h.3)yCĐ. y CT < 0

f có 2 cực trị yCĐ. y CT < 0xCĐ > 0, xCT > 0a f(0) < 0 (hay ad < 0

32


+ PT bậc 3 chỉ có 3 nghiệm âm phân biệt:

• Ứng dụng GTLN, GTNN trong giải phương trình (PT) và bất phương trình (BPT)Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên miền D và có

. Khi đó:

+ Hệ phương trình ( )f xx D

= ∈

α có nghiệm ⇔ m ≤ α ≤ M.

+ Hệ bất phương trình ( )f xx D

≤ ∈

β có nghiệm ⇔ M ≥ α.

+ Hệ bất phương trình ( )f xx D

≤ ∈

β có nghiệm ⇔ m ≤ β.

+ Bất phương trình f(x) ≥ α đúng với mọi x ⇔ m ≥ α.

+ Bất phương trình f(x) ≤ β đúng với mọi x ⇔ M ≤ β.

f có 2 cực trị yCĐ. y CT < 0xCĐ < 0, xCT < 0a f(0) > 0 (hay ad > 0)

33


II. HÀM BẬC 4: y = ax4 + bx2 + c

a > 0 a < 0

y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt

⇔ ab < 0

y

x 0

y

0

y’ = 0 chỉ có 1 nghiệm ⇔ ab > 0

y

x 0

y

0

• Hàm bậc 4 trùng phương luôn có 1 hoặc 3 cực trị.

• Để hàm số có 3 cực trị thì 02

>−

ab

• Hàm số đạt cực đại tại x0 thì

<=

0)("0)('

0

0

xyxy

• Hàm số đạt cực tiểu tại x0 thì

>=

0)("0)('

0

0

xyxy

• Đồ thị hàm bậc 4 trùng phương nhận trục tung làm trục đối xứng.

• 3 cực trị của hàm bậc 4 trùng phương luôn tạo thành 1 tam giác cân tại đỉnh thuộc trục tung.

34


+ Tam giác vuông cân: B

BA

xyy

Tan−

=045 hoặc

2

BCAH =

+ Tam giác đều: B

BA

xyy

Tan−

=060 hoặc BCAH

23

=

+ Diện tích tam giác: B

BA

xyy

RcbarpS

.44...

−=== hoặc BCAHS ..

21

=

Chú ý: Cách làm khác là quy đổi mọi hàm bậc 4 về dạng y = x4 - 2a2.x2 (a > 0) khi đó cực trị có tọa độ A(0;0), B(-a;-a4), C(a;-a4). Cạnh đáy BC = 2xB

= 2a, đường cao 4ayyAH BA =−=

• Đồ thị hàm bậc 4 trùng phương cắt trục hoành tại 4 điểm lập thành cấp số

cộng:

=

<>

acb

abac

9100

0;0

2

• Từ 1 điểm thuộc trục tung hoặc từ 1 điểm trên đồ thị kẻ được 3 tiếp tuyến với đồ thị thì điểm đó là điểm cực trị (0;c) nằm trên trục tung (trong 3 tiếp tuyến có 1 tiếp tuyến nằm ngang y = c)

• Đồ thị hàm số có điểm uốn tại (x0;y0) thì

==

00

0

)(0)("

yxyxy

• Đồ thị hàm bậc 4 trùng phương luôn lồi khi

≥>

00

ba

; luôn lõm khi

≥>

00

ba

• Đồ thị hàm số lồi trên (a;b) thì 0)(" 0 <xy ; lõm trên (a;b) thì 0)(" 0 >xy

tan

tan

35


III. HÀM PHÂN THỨC BẬC NHẤT TRÊN BẬC NHẤT:

dcxbaxy

++

= →

0

ad – bc > 0

x

y

0

ad – bc < 0

x

y

• Hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên các khoảng

−

∞−cd; và

+∞

− ;cd

• Hàm số không có cực trị và điểm uốn.

• Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng: cdx −

= ;

• Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang: cay =

• Đồ thị hàm số nhận giao điểm

−

ca

cdI ; của 2 đường tiệm cận là tâm đối

xứng. Không có tiếp tuyến đi qua I.

• Đường thẳng y = mx + n cắt đồ thị hàm số

dcxbaxy

++

= tại 2 điểm phân biệt M,

N và cắt 2 tiệm cận của hàm số đó tại A, B thì ta có MA = NB.


dcxbaxy

++


N sao cho:

36


+ M, N thuộc cùng 1 nhánh của đồ thị: 0)(.. >−adfcm ( baxxf +=)( )

+ M, N thuộc 2 nhánh của đồ thị: 0)(.. <−adfcm


dcxbaxy

++


N sao cho độ dài đoạn MN ngắn nhất. (Tâm đối xứng I thuộc đường thẳng

y = mx + n) + Lập phương trình hoành độ giao điểm → );( 11 nmxxM + ; );( 22 nmxxN +

+ Độ dài đoạn MN: min22

2

.1∆

+=

cmm

+ Thay vi-ét vào (1) rồi tách thành hằng đẳng thức để tìm MNmin

• Tích 2 khoảng cách từ 1 điểm M bất kì thuộc đồ thị hàm số

dcxbaxy

++

= đến 2

đường tiệm cận là 1 số không đổi và bằng 2cbcad −

• Đồ thị hàm trị tuyệt đối: dcxbax

y+

+=

(hoặc

dcxbaxy

++

= )

+ Giữ phần đồ thị ứng với abx −

≥ (hoặc abx −

< )

+ Bỏ phần đồ thị ứng với abx −

< (hoặc cdx −

< ) + Lấy đối xứng phần đồ thị phía bên đã bỏ qua trục Ox.

• Tìm điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số:

+ Phân tích ( )( )

P xyQ x

= thành dạng ( )( )ay A x

Q x= + , với A(x) là đa thức, a là số

nguyên.

37


+ Khi đó

∈∈

ZyZx

⇔ Q(x) là ước số của a. Từ đó ta tìm các giá trị x nguyên để

Q(x) là ước số của a.

IV. HÀM PHÂN THỨC BẬC HAI TRÊN BẬC NHẤT:

→

A.a′ > 0 A.a′ < 0

y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt

y′ = 0 vô nghiệm

0 x

y

0 x

y

• Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng: ''

abx −

= ; tiệm cận xiên: 2'''

' aabbax

aay −

+=

[ ]( )lim ; lim ( )x x

f xa b f x axx→+∞ →+∞

= = − hoặc

[ ]( )lim ; lim ( )x x

f xa b f x axx→−∞ →−∞

= = −

38


• Đồ thị hàm số nhận giao điểm

−−

2''2';

''

aabba

abI của 2 đường tiệm cận là

tâm đối xứng. Không có tiếp tuyến đi qua I.

• Đường thẳng đi qua cực trị của đồ thị hàm số là '

2a

baxy +=

• Đường thẳng y = mx + n cắt đồ thị hàm số ''

2

bxacbxaxy

+++

= tại 2 điểm phân biệt M, N sao cho:

+ M, N thuộc cùng 1 nhánh của đồ thị:

0)''().'( >

−−

abfmaa ( cbxaxxf ++= 2)( )

+ M, N thuộc 2 nhánh của đồ thị: 0)''().'( <

−−

abfmaa

• Đường thẳng y = mx + n cắt đồ thị hàm số ''

2

bxacbxaxy

+++

= tại 2 điểm phân

biệt M, N sao cho độ dài đoạn MN ngắn nhất. (Tâm đối xứng I thuộc đường

thẳng y = mx + n) + Lập phương trình hoành độ giao điểm → );( 11 nmxxM + ; );( 22 nmxxN +

+ Độ dài đoạn MN:

+ Thay vi-ét vào (1) rồi tách thành hằng đẳng thức để tìm MNmin

• Tích 2 khoảng cách từ 1 điểm M bất kì thuộc đồ thị hàm số

dcxbaxy

++

= đến 2

đường tiệm cận là 1 số không đổi và bằng 222 '.'

'''.(aaaabbab

+

−

• Đồ thị hàm trị tuyệt đối: ''

2

bxacbxaxy

+++

=

+ Giữ phần đồ thị ứng với ''

abx −

<

39


+ Bỏ phần đồ thị ứng với ''

abx −

< + Lấy đối xứng phần đồ thị phía bên đã bỏ qua trục Ox.

V. DIỆN TÍCH - THỂ TÍCH:

• Diện tích: Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) có đồ thị (C1), (C2).

• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C1), (C2) và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bởi công thức:

( ) ( )b

a

S f x g x dx= −∫ x

y

O

f(x

) g(x)

ba

40


• Thể tích:+ Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi{(C): y = f(x),y=0,x = a,x = b} quay

quanh Ox được tính bởi công thức:

+ Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi{(C): x = x(y), x = 0, y = c, y = d} quay

quanh Oy được tính bởi công thức:

+ Thể tích tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = f(x), y= g(x)

quay quanh Ox (f(x) ≥ g(x), Ɣ “x [a;b])

y

O

f(x)

bax

x

(x)

y

c

d

O

cấp tốc chinh phục đề thi trắc nghiệm môn toán - chuyên đề đại số - phần...

Education