Exercıcios de Calculo Infinitesimal I

Capıtulo 1

1. Considere a funcao f(x) =√

3− x+ esinx

x log(x+ 1).

a) Determine o domınio D de f .

b) Determine o interior, a fronteira e o exterior do conjunto D.

2. Determine, caso existam, os seguintes limites:

a) limx→−3

(|x| − 2); b) limx→3+

x− 3x2 − 6x+ 9

; c) limx→0−

(x+

1x

);

d) limx→1

√x2 + 1−

√2

x− 1; e) lim

x→0

x

|x|; f) lim

x→1+

√x− 1x

;

g) limx→1

x2 − 2x+ 1x2 − 1

; h) limx→+∞

3x4 − 2x+ 54x4 + x3 − x2

; i) limx→9

√x− 3x− 9

.

3. Seja f(x) = x3. Calcule, caso existam, os seguintes limites:

a) limx→2

f(x)− f(2)x− 2

; b) limx→2

f(x)− f(1)x− 2

; c) limx→2

f(x)− f(2)x− 1

.

4. Determine, caso existam, os seguintes limites:

a) limx→2+

f(x) onde f(x) ={

2x− 1, se x ≤ 2x2 − x, se x > 2;

b) limx→−1−

f(x) onde f(x) ={

1, se x ≤ −1x+ 2, se x > −1;

c) limx→3

f(x) onde f(x) =

x2, se x < 37, se x = 32x+ 3, se x > 3;

d) limx→√

2f(x) onde f(x) =

{3, se x e inteiro1, se caso contrario.

5. De exemplos de funcoes f e g tais que:

a) existe limx→c

[f(x) + g(x)] mas nao existe limx→c

f(x) nem limx→c

g(x);

b) existe limx→c

[f(x)g(x)] mas nao existe limx→c

f(x) nem limx→c

g(x).

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6. Diga se sao monotonas e/ou limitadas as seguintes sucessoes:

a) xn =n+ (−1)n

n; b) un = (−1)2n+1 (1−

√n); c) vn = sin

(πn+1

).

7. Quando possıvel, de exemplo de uma sucessao que satisfaca as condicoes seguintes:

a) un e monotona mas nao limitada;

b) un e limitada mas nao monotona;

c) un e convergente mas nao limitada;

d) un > 0, ∀n ∈ N, e limun = 0;

e) limun = 0 e limun sinn nao existe;

f)1n2≤ un ≤

1n

, ∀n ∈ N, e limun = 1;

g) un e monotona, limitada e divergente.

8. Determine o limite das seguintes sucessoes, indicando quais sao convergentes:

a)(2n+ 1)2

3n2 − 1; b)

(−1)n

n; c)

(n!)2

(n+ 1)!(n− 1)!; d)

4n

2n + 106;

e)(n+ 1) cos

√n

n(1 +√n)

; f)√n sin(enπ)n+ 1

; g)(

1− 3n+ 2

)n; h) n2 sin

(πn

).

9. Utilizando o teorema das sucessoes enquadradas, calcule o limite da sucessao cujo termogeral e

un =1

n+ 1+ · · ·+ 1

n+√n

=n∑i=1

1n+√i.

10. Determine se as seguintes funcoes sao ou nao contınuas nos pontos indicados. No caso deserem descontınuas classifique o tipo de descontinuidade.

a) f(x) =

x2 + 5, se x < 210, se x = 21 + x3, se x > 2,

em x = 1 e x = 2;

b) f(x) =

x2 − 1x+ 1

, se x 6= −1

−2, se x = −1,em x = −1;

c) f(x) ={−x2, se x < 01−√x, se x ≥ 0,

em x = 0.

11. De exemplos de funcoes f : R→ R tais que:

a) f tenha uma descontinuidade por salto em x = 0 e seja contınua a esquerda de x = 0;

b) f seja contınua em R \ {0, 1}, contınua a direita de x = 0, descontınua a esquerda dex = 1;

c) f seja descontınua a esquerda e a direita de x = 0;

d) f seja contınua a esquerda de x = 0 e limx→0+

f(x) = +∞.

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12. As seguintes funcoes estao definidas em R\{1}. Prolongue-as, se possıvel, por continuidadea x = 1:

a)(x− 1)2

|x− 1|; b)

x− 1|x− 1|

; c)x2 − 1x− 1

.

13. Seja

f(x) ={x2, se x < 1ax− 3, se x ≥ 1.

Diga, justificando, se f e contınua a direita de x = 1. Determine a de forma a que f sejacontınua em R.

14. De condicoes necessarias e suficientes sobre a e b de forma a que a funcao

f(x) =

ax− b, se x ≤ 13x, se 1 < x < 2bx2 − a, se x ≥ 2

seja contınua em x = 1 e descontınua em x = 2.

15. Seja f uma funcao contınua em R tal que f(− 1n

)= 1− f

(1n

), ∀n ∈ N. Calcule f(0).

16. Seja xn uma sucessao monotona tal que xn ∈ [0, 1], ∀n ∈ N e seja f : [0, 1] → R umafuncao contınua tal que lim f(xn) = 0. Mostre que existe pelo menos um zero de f em[0, 1].

17. Determine, se existirem, os seguintes limites:

a) limx→0

4xsin(5x)

; b) limx→0

sin2(2x)x

; c) limx→+∞

x sin1x

;

d) limx→0

x2

1− cos(2x); e) lim

x→1(x2 − 1)3 sin

(1

x− 1

)3

;

f) limx→+∞

(√x2 + x− x

); g) lim

x→+∞

x2(1 + sin2 x)(x+ sinx)2

;

h) limx→+∞

x(1 + sin2 x); i) limx→+∞

x sin2 x; j) limx→0

x(1− cosx)sin2 x

;

k) limx→+∞

[log x− log(x+ 1)]; l) limx→+∞

[2 log(3x)− log(x2 + 1)];

m) limx→0

tg(3x)2x2 + 5x

; n) limx→+∞

x6 + x4(2 + sinx) + log x1 + 3x3 + 6x6

.

18. Em cada uma das seguintes alıneas esboce, se possıvel, o grafico de uma funcao f definidaem [0, 1] que obedeca as condicoes dadas:

a) f e contınua em ]0, 1[, toma os valores 0 e 1 mas nao o valor 1/2;

b) f e contınua em [0, 1] e toma apenas os valores 0 e 1;

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c) f e contınua em ]0, 1[ sendo o seu contradomınio um intervalo ilimitado;

d) f nao e contınua em ]0, 1[ sendo o seu contradomınio um intervalo aberto e limitado;

e) f e contınua em [0, 1] sendo o seu contradomınio um intervalo ilimitado.

19. Aplique o teorema de Bolzano para mostrar que existe uma solucao de cada uma dasseguintes equacoes no intervalo indicado:

a) 2 cosx− x2 = 0, em [0, 2]; b)x2

x− 1+x2 + 1x− 4

= 0, em ]1, 4[.

20. Mostre que se f : [0, 1]→ [0, 1] e contınua entao existe pelo menos um ponto c ∈ [0, 1] talque f(c) = c. (Sugestao: aplique o teorema de Bolzano).

21. Seja f uma funcao contınua em R tal que existem e sao finitos os limites limx→+∞

f(x) e

limx→−∞

f(x). Supondo que o produto dos referidos limites e negativo determine, justificando,

o maximo da funcao g(x) =1

1 + (f(x))2.

22. Seja f : [0,+∞[→ R uma funcao contınua no seu domınio e considere a funcao dada porg(x) = f(1− x2).

a) Determine o domınio de g.

b) Mostre que g tem maximo e mınimo.

c) Diga, justificando, se a conclusao da alınea b) continua a ser valida no caso em quef : ]0,+∞[→ R e contınua em ]0,+∞[.

23. Seja f : R→ R uma funcao contınua tal que limx→±∞

f(x) = +∞ e f(1) = 2. Mostre que f

tem mınimo em R e que minRf ≤ 2. (Sugestao: use o teorema de Weierstrass).

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