Exerccios de Calculo Infinitesimal I

Captulo 3

1. Sabendo que 10f(x) dx = 6,

20f(x) dx = 4 e

52f(x) dx = 1 determine:

a) 50f(x) dx; b)

21f(x) dx; c)

51f(x) dx;

d) 00f(x) dx; e)

02f(x) dx.

2. Derive em ordem a x as seguintes funcoes:

a) F (x) = x2

t3 + 3tg t2

dt; b) F (x) = 1x2+1

t log t dt;

c) F (x) = log x3

et

3t2 + 1dt; d) F (x) =

x2x

(2t+ t2) dt.

3. Considere a funcao F : R R definida por F (x) = 0x

t2 + 1 dt. Determine F (0) e

F (0).

4. Seja f uma funcao contnua em R e suponha que x0f(t) dt =

2x4 + x2

, x R.

a) Calcule f(0).

b) Determine os zeros de f .

5. Seja f : R R uma funcao contnua e considere a funcao F : R R definida porF (x) =

x0

(x t)f(t) dt. Calcule F (x).

6. Seja f : R R uma funcao contnua e considere a funcao F : R R definida por

F (x) =

1x

x0f(t) dt, se x 6= 0

f(0), se x = 0.

a) Mostre que F e contnua em R e diferenciavel em R \ {0}.b) Que condicao devemos impor a f de modo a garantir a diferenciabilidade de F em

x = 0? Nesse caso qual o valor de F (0)?

7. Calcule os seguintes integrais:

a) 10

2x 3 dx; b) pi

2

0cosx dx;

c) 10ex dx; d)

21

1x

+ 3x2 dx.

1

8. Determine a primitiva da funcao f(x) = 2x+ 1

a) que para x = 2 toma o valor 5;b) cujo grafico contem o ponto (3, 8).

9. Determine, se existir, um polinomio de segundo grau p tal que p(0) = 1, p(3) = 2 e 30p(t) dt = 2.

10. Calcule as primitivas das seguintes funcoes (num intervalo contido nos respectivos dom-nios):

a) 3x2 4x; b) x3 + 2ex; c) 2x

+1x2 3 5x2;

d)2x 4x

; e)3ex + xe2x

x ex; f) x3 (x2 + 1)2;

g)2x

+ cosx; h) tg 2(x); i)2

cos2 x 3

sin2 x.

11. Determine as primitivas das seguintes funcoes (num intervalo contido nos respectivosdomnios):

a) x (x2 1)2; b) 5 (x3 + 7)x2; c) sin2 x;d) cos2 x; e)

11 x ; f) cosx sin

2 x;

g)log3 xx

; h)arctg x1 + x2

; i)1

(1 + x2) arctg x;

j)1

x log x; k)

x3

1 + x8; l)

2 sin(log x)x

;

m)1

ex + ex; n)

ex1 e2x ; o)

14 9x2 ;

p) x ex2; q) e2 cos(3x) sin(3x); r) (secx tg x)2;

s) ex

1 + ex; t)x2 cos(x3)

8; u)

1 log xx

;

v) cosx (2 + sinx); w)2 sin(arctg x)

3 + 3x2; x) tg x;

y)sinxcos3 x

; z) e2x sec2(e2x); )x3

sin2(x4 + 2).

12. Seja F a primitiva da funcao sin3 x cujo valor em x = 0 e 1. Calcule F (pi).

13. Considere a funcao definida em ]0,+[ por

F (x) = x1

log tet

dt.

a) Mostre que F (x) 0, x ]0,+[.b) Calcule F (x) e determine os extremos locais e os intervalos de monotonia de F .

2

c) Utilizando a relacao et > t, mostre que F (e) 0 se tem x1

11 + t2

dt = 1

1x

11 + t2

dt.

Conclua que arctg x+ arctg(

1x

)=pi

2, se x > 0.

24. Seja f : R R uma funcao duas vezes diferenciavel tal que f e contnua.

a) Determine o valor de n N tal que n 10xf (2x) dx =

20tf (t) dt.

b) Sabendo que f(0) = 1, f(2) = e e f (2) = 5 calcule 10xf (2x) dx.

25. Calcule as areas das regioes limitadas pelas curvas de equacoes:

a) y = 0, y = x3, x = 2 e x = 1;b) x = 0, x = 1, y = 2x x2 e y = ex;c) y = 0 e y = 4x x2;d) y = x 2 e y = x2;e) y = 2x 2 e y2 = 2x;f) y = 1, y = 1 x e y = log x;g) y = 2 x2 e y = |x|.

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