Modelagem Matemtica de Sistemas Dinmicos

3.1 INTRODUO

No estudo de sistemas de controle, o leitor deve ser capaz de modelar sistemas

dinmicos e analisar caractersticas dinmicas. O modelo matemtico de um

sistema dinmico definido como um conjunto de equaes que representa com

preciso ou, pelo menos, razoavelmente bem a dinmica do sistema. Note que um

modelo matemtico no nico para determinado sistema. Um sistema

representado de muitas maneiras diferentes e, portanto, pode ter vrios modelos

matemticos, dependendo da perspectiva a ser considerada.

A dinmica de muitos sistemas mecnicos, eltricos, trmicos, econmicos,

biolgicos ou outros, descrita em termos de equaes diferenciais. Essas

equaes diferenciais so obtidas pelas leis fsicas que regem determinado sistema,

por exemplo, as leis de Newton para sistemas mecnicos e as leis de Kirchhoff

para sistemas eltricos. Devemos ter em mente que construir modelos matemticos

adequados a parte mais importante da anlise de sistemas de controle como um

todo.

Neste livro, assumiremos que o princpio de causalidade se aplica aos sistemas

considerados. Isso significa que a atual sada do sistema (no instante t = 0) depende

da entrada anterior (a entrada em um instante t < 0), mas no depende da entrada

futura (as entradas nos instantes t > 0).

Modelos matemticos. Os modelos matemticos podem assumir diferentes

formas. Dependendo do sistema considerado e das circunstncias particulares, um

modelo matemtico pode ser mais adequado do que outros. Por exemplo, nos

sistemas de controle timo, vantajoso utilizar representaes do modelo de

estado. Por outro lado, para a anlise da resposta transitria ou da resposta em

freqncia de um sistema linear, invariante no tempo, de entrada e sada nicas, a

representao pela funo de transferncia pode ser mais conveniente do que

qualquer outra. Uma vez obtido o modelo matemtico de um sistema, podem ser

utilizadas vrias ferramentas analticas e de computao para efeito de anlise e

sntese.

Simplicidade versus preciso. Na obteno de um modelo matemtico devemos

estabelecer uma conciliao entre a simplicidade do modelo e a preciso dos

resultados da anlise. Na obteno de um modelo matemtico relativamente

simplificado, com freqncia, torna-se necessrio ignorar certas propriedades

fsicas inerentes ao sistema. Em particular, se for desejvel um modelo matemtico

linear de parmetros concentrados (isto , se quisermos empregar equaes

diferenciais ordinrias), sempre necessrio ignorar certas no-linearidades e os

parmetros distribudos que podem estar presentes no sistema fsico. Se os efeitos

que essas propriedades ignoradas tm na resposta forem pequenos, pode-se obter

boa aproximao entre os resultados da anlise de um modelo matemtico e os

resultados do estudo experimental do sistema fsico.

Em geral, na soluo de um novo problema, conveniente construir um modelo

simplificado para que possamos ter uma percepo geral em relao soluo. Um

modelo matemtico mais completo pode, ento, ser construdo e utilizado para que

sejam obtidas anlises mais precisas.

Devemos estar bastante atentos para o fato de que um modelo linear de parmetros

concentrados, vlido em operaes de baixa freqncia, pode no ser vlido para

freqncias suficientemente altas, uma vez que a propriedade de parmetros

distribudos no considerada pode se tornar um fator importante no comportamento

dinmico do sistema. Por exemplo, a massa de uma mola pode ser desprezada em

operaes de baixa freqncia, mas se torna uma propriedade importante do

sistema em freqncias elevadas. (Para o caso em que um modelo matemtico

envolve erros considerveis, a teoria de controle robusto pode ser aplicada.)

Sistemas lineares. Um sistema dito linear se o princpio da superposio se

aplicar a ele. O princpio da superposio afirma que a resposta produzida pela

aplicao simultnea de duas funes diversas a soma das duas respostas

individuais. Ento, para um sistema linear, a resposta a diversas entradas pode ser

calculada tratando uma entrada de cada vez e somando os resultados. Esse o

princpio que permite construir solues complicadas para equaes diferenciais

lineares a partir de solues simples.

Na pesquisa experimental de um sistema dinmico, se causa e efeito forem

proporcionais, significando assim que vlida a aplicao do princpio da

superposio, ento o sistema pode ser considerado linear.

Sistemas lineares invariantes no tempo e sistemas lineares variantes no tempo.

Uma equao diferencial linear se os coeficientes forem constantes ou somente

funes da varivel independente. Os sistemas dinmicos compostos por

componentes lineares de parmetros concentrados invariantes no tempo podem ser

descritos por equaes diferenciais lineares invariantes no tempo (de coeficientes

constantes). Esses sistemas so denominados sistemas lineares invariantes no

tempo (ou lineares de coeficientes constantes). Os sistemas representados por

equaes diferenciais, cujos coeficientes so funes de tempo so chamados de

sistemas lineares variantes no tempo. Um exemplo de sistema de controle variante

no tempo um sistema de controle de veculo espacial. (A massa de um veculo

espacial muda devido ao consumo do combustvel.)

3.2 FUNO DE TRANSFERNCIA E DE RESPOSTA IMPULSIVA

Na teoria de controle, as funes de transferncia so comumente utilizadas para

caracterizar as relaes de entrada e sada de componentes ou de sistemas, que

podem ser descritos por equaes diferenciais lineares invariantes no tempo.

Comeamos pela definio de funo de transferncia e seguimos com a deduo

da funo de transferncia de um sistema mecnico. Em seguida, discutimos a

funo de resposta impulsiva.

Funo de transferncia. A funo de transferncia de um sistema representado

por uma equao diferencial linear invariante no tempo definida como a relao

entre a transformada de Laplace da sada (funo de resposta response function) e a

transformada de Laplace da entrada (funo de excitao driving function),

admitindo-se todas as condies iniciais nulas.

Considere o sistema linear invariante no tempo, definido pela seguinte equao

diferencial:

onde y a sada do sistema e x a entrada. A funo de transferncia desse sistema

a relao entre a transformada de Laplace da sada e a transformada de Laplace

da entrada, quando todas as condies iniciais so zero ou

Utilizando o conceito de funo de transferncia, possvel representar a dinmica

de um sistema por meio de uma equao algbrica em s. Se a maior potncia de s

no denominador da funo de transferncia for igual a n, o sistema ser

denominado sistema de ordem n.

Comentrios sobre a funo de transferncia. A aplicabilidade do conceito de

funo de transferncia limitada a sistemas de equaes diferenciais lineares

invariantes no tempo. O mtodo da funo de transferncia, entretanto,

amplamente utilizado na anlise e no projeto desses sistemas. A seguir,

mostraremos importantes comentrios a respeito da funo de transferncia. (Note

que o sistema ao qual a lista se refere descrito por uma equao diferencial linear

invariante no tempo.)

1. A funo de transferncia de um sistema um modelo matemtico que constitui

um mtodo operacional para expressar a equao diferencial que relaciona a

varivel de sada varivel de entrada.

2. A funo de transferncia uma propriedade inerente ao sistema,

independentemente da magnitude e da natureza da funo de entrada ou de

excitao.

3. A funo de transferncia inclui as unidades necessrias para relacionar a

entrada sada: entretanto, no fornece nenhuma informao relativa estrutura

fsica do sistema. (As funes de transferncia de diversos sistemas fisicamente

diferentes podem ser idnticas.)

4. Se a funo de transferncia de um sistema for conhecida, a sada ou resposta

poder ser estudada para vrias maneiras de entrada, visando ao entendimento da

natureza do sistema.

5. Se a funo de transferncia de um sistema no for conhecida, ela pode ser

determinada experimentalmente com o auxlio de entradas conhecidas e do estudo

das respectivas respostas do sistema. Uma vez determinada, a funo de

transferncia fornece uma descrio completa das caractersticas dinmica do

sistema, independentemente de sua descrio fsica.

EXEMPLO 3.1 Considere o sistema de controle de posio, de um satlite,

indicado na Figura 3.1. O diagrama mostra o controle apenas do ngulo de desvio

. (No sistema real existem controles relativos aos trs eixos.) Pequenos jatos aplicam foras de reao para girar o corpo do satlite conforme a posio

desejada. Os dois jatos posicionados de forma anti-simtrica, denotados por A e B,

operam em pares. Suponha que o empuxo de cada jato seja F/2 e o torque T = Fl

seja aplicado ao sistema. Os jatos so aplicados por certo tempo e, assim, o torque

pode ser escrito como T(t). O momento de inrcia em relao ao eixo de rotao no

centro da massa J.

Vamos obter a funo de transferncia desse sistema admitindo que o torque T(t)

a entrada e que o deslocamento angular (t) do satlite a sada. (Vamos considerar o movimento somente no plano da pgina.) Para deduzir a funo de

transferncia, procedemos de acordo com as seguintes etapas:

1. Escreva a equao diferencial do sistema.

2. Aplique a transformada de Laplace da equao diferencial, supondo que todas as

condies iniciais so nulas.

3. Estabelea a relao entre a sada (s) e a entrada T(s). Essa relao a funo de transferncia.

Figura 3.1 Diagrama esquemtico do sistema de controle de posio de um

satlite.

Aplicando a segunda lei de Newton ao presente sistema e observando que no

existe atrito no ambiente em que o satlite se encontra, temos:

Aplicando a transformada de Laplace a ambos os lados dessa ltima equao e

supondo que todas as condies iniciais sejam nulas, resulta que:

onde . Assim, a funo de transferncia do

sistema obtida como:

Integral de convoluo. Para um sistema linear, invariante no tempo, a funo de

transferncia G(s) :

onde X(s) a transformada de Laplace da entrada e Y(s) a transformada de

Laplace da sada, considerando que todas as condies iniciais envolvidas so

nulas. Segue-se que a sada Y(s) pode ser escrita como o produto de G(s) e X(s)

Y(s) = G(s) X(s) (3.1)

Note que a multiplicao no domnio complexo equivalente convoluo no

domnio de tempo, de modo que a transformada inversa de Laplace da Equao

(3.1) dada pela seguinte integral de convoluo:

onde g(t) e x(t) so ambos 0 para t < 0.

Funo de resposta impulsiva. Considere a sada (resposta) de um sistema a um

impulso unitrio de entrada quando as condies iniciais so nulas. Como a

transformada de Laplace da funo impulso unitrio igual unidade, a

transformada de Laplace da sada do sistema :

Y(s) = G(s) (3.2)

A transformada inversa de Laplace da sada, dada pela Equao (3.2), a resposta

impulsiva do sistema. A transformada inversa de Laplace de G(s) ou

chamada de funo de resposta impulsiva. Essa funo g(t) tambm chamada

de funo caracterstica do sistema.

A funo de resposta impulsiva g(t) , portanto, a resposta de um sistema linear a

um impulso unitrio de entrada, quando as condies iniciais do sistema so nulas.

A transformada de Laplace dessa funo fornece a funo de transferncia. Assim,

a funo de transferncia e a funo de resposta impulsiva de um sistema linear

invariante no tempo contm as mesmas informaes sobre a dinmica do sistema.

Dessa maneira, possvel obter informaes completas sobre as caractersticas

dinmicas de um sistema, por meio da excitao por um impulso de entrada e

medindo a resposta. (Na prtica, um pulso de entrada de durao muito pequena,

comparado com constantes de tempo dominantes do sistema, pode ser considerado

um impulso.)

Figura 3.2 Elemento de um diagrama de blocos.

3.4 MODELAGEM NO ESPAO DE ESTADOS

Sistemas complexos podem ter entradas e sadas mltiplas e ser variantes no

tempo.

Em razo da necessidade de atender s crescentes e rigorosas exigncias de

desempenho dos sistemas de controle, ao aumento da complexidade dos sistemas e

ao acesso fcil e em larga escala aos computadores, a teoria de controle moderno,

que uma nova abordagem para a anlise e o projeto de sistemas de controle

complexos, tem sido desenvolvida desde aproximadamente 1960.

Essa nova teoria tem como base o conceito de estado. O conceito de estado

propriamente dito no novo, pois existe h bastante tempo, no campo da

dinmica clssica e em outras reas.

Estado. O estado de um sistema dinmico o menor conjunto de variveis

(chamadas de variveis de estado), tais que o conhecimento dessas variveis em

t=t0, juntamente com o conhecimento da entrada para t t0, determina completamente o comportamento do sistema para qualquer instante t t0.

Note que o conceito de estado no limitado ao caso dos sistemas fsicos, ele

aplicvel tambm a sistemas biolgicos, econmicos, sociais e outros.

Variveis de estado. As variveis de estado de um sistema dinmico so aquelas

que constituem o menor conjunto de variveis capaz de determinar o estado desse

sistema dinmico. Se pelo menos n variveis x1, x2, ... , xn so necessrias para

descrever todo o comportamento de um sistema dinmico (de tal modo que, sendo

dada a entrada para t t0 e especificado o estado inicial em t = t0, o estado futuro do sistema fique completamente determinado), ento essas n variveis formam um

conjunto de variveis de estado.

Note que as variveis de estado no necessitam ser quantidades fisicamente

mensurveis ou observveis. As variveis que no representam grandezas fsicas e

aquelas que no so nem mensurveis nem observveis podem ser escolhidas como

variveis de estado. Essa liberdade de escolha das variveis de estado uma

vantagem dos mtodos de espao de estados. Na prtica, entretanto, conveniente

escolher para variveis de estado grandezas que sejam facilmente mensurveis, se

isso for possvel, porque as leis do controle timo requerem a realimentao de

todas as variveis de estado com ponderao adequada.

Vetor de estado. Se forem necessrias n variveis de estado para descrever

completamente o comportamento de um dado sistema, ento essas n variveis de

estado podero ser consideradas os n componentes de um vetor x. Esse vetor

chamado de vetor de estado. Assim, um vetor de estado aquele que determina

univocamente o estado do sistema x(t) para qualquer instante t t0, uma vez dado o estado em t = t0 e especificada a entrada u(t) para t t0.

Espao de estados. O espao n-dimensional, cujos eixos coordenados so

formados pelos eixos de x1, x2, ... , xn onde x1, x2, ... , xn so as variveis de estado,

chamado de espao de estados. Qualquer estado pode ser representado por um

ponto no espao de estados.

Equaes no espao de estados. A anlise no espao de estados envolve trs tipos

de variveis que esto presentes na modelagem de sistemas dinmicos: variveis de

entrada, variveis de sada e variveis de estado. Como veremos na Seo 3.5, a

representao de um dado sistema no espao de estados no nica, mas o nmero

de variveis de estado o mesmo para qualquer uma das diferentes representaes

do mesmo sistema, no espao de estados.

O sistema dinmico deve conter elementos que memorizem os valores de entrada

para t t1 . Uma vez que os integradores, em um sistema de controle de tempo contnuo, servem como dispositivos de memria, as sadas desses integradores

podem ser consideradas variveis que definem o estado interno do sistema

dinmico. Assim, as sadas dos integradores podem ser escolhidas como variveis

de estado. O nmero de variveis de estado que definem completamente a

dinmica de um sistema igual ao nmero de integradores existentes no sistema.

Suponha que um sistema com mltiplas entradas e mltiplas sadas envolva n

integradores. Considere tambm que existam r entradas u1(t), u2(t), ..., ur(t) e m

sadas y1(t), y2(t), ... , ym(t). Defina as n sadas dos integradores como variveis de

estado: x1(t), x2(t), ... , xn(t). Ento o sistema pode ser descrito como:

(3.8)

As sadas y1(t), y2(t),..., ym(t) do sistema podem ser dadas por:

(3.9)

Se definirmos

as equaes (3.8) e (3.9) tornam-se:

onde a Equao (3.10) a equao de estado e a Equao (3.11) a equao de

sada. Se as funes vetoriais f e/ou g envolverem explicitamente o tempo t, ento

o sistema ser chamado de sistema variante no tempo.

Se as equaes (3.10) e (3.1 1) forem linearizadas em torno de um ponto de

operao, ento teremos as seguintes equaes de estado e de sada linearizadas:

onde A(t) chamada de matriz de estado, B(t), de matriz de entrada, C(t), de

matriz de sada, e D(t), de matriz de transmisso direta. (Os detalhes da

linearizao de sistemas no-lineares em torno de um estado de operao sero

discutidos na Seo 3.10.) Uma representao do diagrama de blocos das equaes

(3.12) e (3.13) mostrada na Figura 3.15.

Se as funes vetoriais f e g no envolverem o tempo t explicitamente, ento o

sistema ser chamado de sistema invariante no tempo. Nesse caso, as equaes

(3.12) e (3.13) podem ser simplificadas para:

Figura 3.15 Diagrama de blocos de um sistema de controle linear de tempo

contnuo, representado no espao de estados.

A Equao (3.14) a equao de estado de um sistema linear invariante no tempo.

A Equao (3.15) a equao de sada para o mesmo sistema. Neste livro, vamo-

nos referir principalmente aos sistemas descritos pelas equaes (3.14) e (3.15).

A seguir, apresentamos um exemplo que mostra como se obtm a equao de

estado e a equao de sada de um sistema.

EXEMPLO 3.3 Considere o sistema mecnico indicado na Figura 3.16.

Admitamos que o sistema linear. A fora externa u(t) a entrada do sistema e o

deslocamento y(t) da massa a sada. O deslocamento y(t) medido a partir da

posio de equilbrio, na ausncia da fora externa. Esse sistema um sistema de

entrada e sada nicas.

Figura 3.16 Sistema mecnico.

De acordo com o diagrama, a equao do sistema :

(3.16)

Esse sistema de segunda ordem. Isso significa que ele contm dois integradores.

Vamos definir as variveis de estado x1(t) e x2(t) como:

Ento, obtemos:

ou

A equao de sada :

Sob a forma vetorial-matricial, as equaes (3.17) e (3.18) podem ser escritas

como:

A equao de sada, Equao (3.19), pode ser escrita como:

A Equao (3.20) uma equao de estado e a Equao (3.21) uma equao de

sada para o sistema. As equaes (3.20) e (3.21) esto escritas na forma padro:

onde

A Figura 3.17 um diagrama de blocos do sistema. Note que as sadas dos

integradores so variveis de estado.

Figura 3.17 Diagrama de blocos do sistema mecnico da Figura 3.16.

Correlao entre funes de transferncia e equaes no espao de estados.

A seguir mostraremos como obter uma funo de transferncia de um sistema de

entrada e sada nicas a partir das equaes no espao de estados.

Consideremos o sistema cuja funo de transferncia dada por:

Y(s) / U(s) = G(s) (3.22)

Esse sistema pode ser representado no espao de estados pelas seguintes equaes:

onde x o vetor de estado, u a entrada e y a sada. A transformada de Laplace

das equaes (3.23) e (3.24) dada por:

sX(s) - x(0) = AX(s) + BU(s) (3.25)

Y(s) = CX(s) + DU(s) (3.26)

Uma vez que a funo de transferncia foi previamente definida como a relao

entre a transformada de Laplace da sada e a transformada de Laplace da entrada

quando as condies iniciais so nulas, estabelecemos x(0) igual a zero na Equao

(3.25). Ento,

sX(s) - AX(s) = BU(s)

ou

(sI - A)X(s) = BU(s)

Multiplicando esquerda ambos os lados dessa ltima equao por (sI - A)-1

,

obtemos:

X(s) = (sI - A)-1

BU(s) (3.27)

Substituindo a Equao (3.27) na Equao (3.26), temos:

Y(s) = [C(sI - A)-1

B + D]U(s) (3.28)

Comparando a Equao (3.28) com a Equao (3.22), vemos que:

G(s) = C(sI - A)-1

B + D (3.29)

Essa a expresso da funo de transferncia do sistema em termos de A, B, C e

D.

Note que o lado direito da Equao (3.29) contm a matriz (sI-A)-1

. Em

conseqncia, G(s) pode ser escrito da seguinte maneira:

onde Q(s) um polinmio em s. Assim, sI-A igual ao polinmio caracterstico de G(s). Em outras palavras, os autovalores de A so idnticos aos

plos de G(s).

EXEMPLO 3.4 Considere novamente o sistema mecnico mostrado na Figura

3.16. As equaes de espao de estados para o sistema so dadas pelas equaes

(3.20) e (3.21). Vamos obter a funo de transferncia do sistema a partir das

equaes do espao de estados.

Pela substituio de A, B, C e D na Equao (3.29), obtemos:

Como

tem-se:

que a funo de transferncia do sistema. A mesma funo de transferncia pode

ser obtida a partir da Equao (3.16).

Matriz de transferncia. A seguir, considere um sistema de mltiplas entradas e

mltiplas sadas. Suponha que existam r entradas u1 , u2 , .... ,ur e m sadas y1 , y2 ,

... , ym . Defina

A matriz de transferncia G(s) relaciona a sada Y(s) com a entrada U(s), ou seja.

Y(s) = G(s)U(s)

onde G(s) dado por:

G(s) = C(sI - A)-1

B + D

[ A deduo dessa equao a mesma que a da Equao (3.29).].Como o vetor de

entrada u de dimenso r e o vetor de sada y de dimenso m, a matriz de

transferncia G(s) uma matriz de m x r.

3.5 REPRESENTAO DE SISTEMAS DINMICOS NO ESPAO DE

ESTADOS

Um sistema dinmico que consiste em um nmero finito de elementos

concentrados pode ser descrito por equaes diferenciais ordinrias, nas quais o

tempo a varivel independente. Utilizando-se a notao vetorial-matricial, uma

equao diferencial de ordem n pode ser representada por uma equao diferencial

vetorial-matricial de primeira ordem. Se n elementos do vetor formam um conjunto

de variveis de estado, ento a equao diferencial vetorial-matricial uma

equao de estado. Nesta seo, apresentaremos mtodos para obter as

representaes no espao de estados de sistemas de tempo contnuo.

Representao no espao de estados de sistemas de equaes diferenciais

lineares de ordem n, cuja funo de entrada no possui derivadas. Considere o

seguinte sistema de ordem n:

Observando-se que o conhecimento de , junto com a entrada

u(t) para t0,determina completamente o comportamento futuro do sistema, pode-

se considerar como um conjunto de n variveis de estado.

(matematicamente, essa escolha das variveis de estado bastante satisfatria. Na

prtica, entretanto, em virtude dos rudos inerentes a qualquer situao prtica e da

impreciso causada pelos termos com derivadas de ordem elevada, a escolha

dessas variveis de estado pode no ser desejvel.)

Definindo

a Equao (3.30) pode ser escrita do seguinte modo:

ou

onde

A sada pode ser dada por:

ou

y = Cx (3.32)

onde

C=[1 0 ... 0]

[Note que D na Equao (3.24) zero.] A equao diferencial de primeira ordem,

Equao (3.31), a equao de estado e a equao algbrica, Equao (3.32), a

equao de sada.

Veja que a representao no espao de estados de um sistema cuja funo de

transferncia

dada tambm pelas equaes (3.31) e (3.32).

Representao no espao de estados de um sistema de equaes diferenciais

lineares de ordem n, cuja funo de entrada possui derivadas. Considere o

sistema de equaes diferenciais que possui derivadas na funo de entrada, como:

O principal problema na definio das variveis de estado para esse caso ocorre

nos termos com derivadas. As variveis de estado devem ser tais que eliminem as

derivadas de u na equao de estado.

Uma maneira de obter a equao de estado e a equao de sada definir as

seguintes n variveis como um conjunto de n variveis de estado:

onde 0 , 1 , 2 , ... , n, so determinadas a partir de

Com essa escolha de variveis de estado, a existncia e a unicidade da soluo da

equao de estado esto garantidas. (Note que essa no a nica escolha de um

conjunto de variveis de estado.) Com essa escolha obtemos:

[Para deduzir a Equao (3.36), veja o Problema A.3.6.] Em termos de equaes

vetorial-matriciais, a Equao (3.36) e a equao de sada podem ser escritas

como:

ou

onde

Com essa representao no espao de estados, as matrizes A e C so exatamente as

mesmas do sistema da Equao (3.30). As derivadas do termo direita da Equao

(3.33) afetam somente os elementos da matriz B.

Note que a representao no espao de estados para a funo de transferncia

dada pelas equaes (3.37) e (3.38).

Existem diversas maneiras de obter a representao de sistemas no espao de

estados. Algumas delas so representadas neste captulo. Os mtodos para a

obteno das representaes cannicas de sistemas no espao de estados (como a

forma cannica controlvel, forma cannica observvel, forma cannica diagonal e

forma cannica de Jordan) so apresentados no Captulo 11 de Ogata.

O MATLAB pode ser utilizado para a obteno de representaes de sistemas no

espao de estados a partir da funo de transferncia e vice-versa. Esse assunto

ser apresentado na Seo 3.6.

EXEMPLO 3.5 Considere o sistema massa-mola-amortecedor montado em um

carro de massa desprezvel, como mostra a Figura 3.18. Um amortecedor um

dispositivo que produz um atrito ou amortecimento hidrulico. Ele consiste em um

pisto e um cilindro preenchido com leo. Qualquer movimento relativo entre a

barra do pisto e o cilindro sofre a resistncia oferecida pelo leo, porque o leo

deve fluir em torno do pisto (ou pelos orifcios existentes no pisto), de um lado

para o outro. O amortecedor, essencialmente, absorve energia. Essa energia

absorvida dissipada sob a forma de calor e o amortecedor no armazena energia

cintica nem potencial. O amortecedor hidrulico (dashpot) tambm

simplesmente chamado de amortecedor.

Vamos obter modelos matemticos para esse sistema, supondo que o carro est

parado para t < 0 e o sistema massa-mola-amortecedor no carro tambm est em

repouso para t < 0. Nesse sistema, u(t) o deslocamento do carro e a entrada do

sistema. Em t = 0, o carro se move a uma velocidade constante ou u = constante. O

deslocamento y(t) da massa a sada. (O deslocamento relativo ao solo.) Nesse

sistema, m representa a massa, b o coeficiente de atrito viscoso, e k, seja a

constante da mola. Vamos supor que a fora de atrito do amortecedor seja

proporcional a uy e que a mola seja linear, isto , a fora da mola seja

proporcional a y-u.

Figura 3.18 Sistema massa-mola-amortecedor montado em um carro.

Para sistemas de translao, a segunda lei de Newton estabelece que:

ma= F

onde m a massa, a a acelerao da massa e F a soma das foras atuantes na massa, na mesma direo da acelerao a. Aplicando a segunda lei de Newton para

o presente sistema e considerando que o carro no possui massa, obtemos:

ou

Essa equao representa o modelo matemtico do sistema considerado. Obtendo a

transformada de Laplace dessa ltima equao e supondo que as condies iniciais

sejam nulas, resulta que:

(ms2 + bs + k)Y(s) = (bs + k)U(s)

Pela relao entre Y(s) e U(s), encontramos a funo de transferncia do sistema

como:

Essa representao de um modelo matemtico por funo de transferncia

utilizada com muita freqncia na engenharia de controle.

A seguir, obtemos um modelo no espao de estados desse sistema. Primeiramente,

vamos comparar a equao diferencial desse sistema

com a forma padronizada

e identificar a1 , a2, b0, b1 e b2, como se segue:

Com referncia Equao (3.35), temos:

Ento, com base na Equao (3.34), define-se:

A partir da Equao (3.36), temos:

e a equao de sada torna-se:

y = x1

ou

e

As equaes (3.39) e (3.40) constituem uma representao do sistema no espao de

estados. (Note que essa no a nica representao no espao de estados. Existe

uma infinidade de representaes para o sistema.)

3.6 TRANSFORMAO DE MODELOS MATEMTICOS COM MATLAB

O MATLAB amplamente utilizado para transformar o modelo do sistema de

funo de transferncia para o espao de estados e vice-versa. Vamos comear

nossa discusso com a transformao a partir da funo de transferncia para o

modelo no espao de estados.

Seja a funo de transferncia escrita do seguinte modo:

Uma vez obtida a expresso da funo de transferncia, o comando MATLAB, a

seguir,

[A, B, C, D] = tf2ss(num,den)

vai fornecer a representao no espao de estados. importante notar que a

representao no espao de estados para um dado sistema no nica. Existem

diversas (infinitas) representaes no espao de estados para um mesmo sistema. O

comando MATLAB fornece uma dessas possveis representaes.

Transformao da funo de transferncia para o espao de estados.

Considere a funo de transferncia do sistema

Existem vrias (infinitas) representaes no espao de estados possveis para esse

sistema. Uma delas :

Outra representao (entre vrias alternativas possveis) :

O MATLAB transforma a funo de transferncia dada pela Equao (3.41) em

uma representao no espao de estados dada pelas equaes (3.42) e (3.43). Para

o exemplo de sistema considerado aqui, o Programa 3.2 em MATLAB vai produzir

as matrizes A, B, C e D.

Transformao do espao de estados para funo de transferncia. Para obter

a funo de transferncia a partir das equaes no espao de estados, utilize o

seguinte comando:

[num,den] = ss2tf(A,B,C,D,iu)

onde iu deve ser especificado para sistemas com mais de uma entrada. Por

exemplo, se o sistema tiver trs entradas (u1, u2, u3), ento iu dever ser 1, 2 ou 3,

onde 1 representa u1, 2 representa u2 e 3 representa u3.

Se o sistema tiver somente uma entrada, os comandos

[num,den] = ss2tf(A,B,C,D)

ou

[num,den] = ss2tf(A,B,C,D,1)

podero ser utilizados. Para os casos em que o sistema tenha mltiplas entradas e

sadas, veja o Problema A.3.13.

EXEMPLO 3.6 Obtenha a funo de transferncia de um sistema definido pelas

seguintes equaes no espao de estados:

O Programa 3.3 em MATLAB vai fornecer a funo de transferncia para o

sistema em questo. A funo de transferncia obtida dada por:

3.7 SISTEMAS MECNICOS

Discutiremos, nesta seo, a modelagem matemtica de sistemas mecnicos. A lei

fundamental que governa os sistemas mecnicos a segunda lei de Newton. Ela

pode ser aplicada a qualquer sistema mecnico. Nesta seo, vamos deduzir

modelos matemticos de trs sistemas mecnicos. (Os modelos matemticos de

outros sistemas sero deduzidos e analisados nos demais captulos.)

EXEMPLO 3.7 Obtenha as funes de transferncia X(s)/U(s) e X(s)/U(s) do

sistema mecnico mostrado na Figura 3.19.

Figura 3.19 Sistema mecnico.

As equaes de movimento para o sistema mostrado na Figura 3.19 so:

Simplificando, obtemos:

Transformando por Laplace essas duas equaes, admitindo condies iniciais

nulas, obtemos:

Resolvendo a Equao (3.45) para X2(s), substituindo-a na Equao (3.44) e

simplificando, temos:

a partir da qual obtemos:

A partir das equaes (3.45) e (3.46) temos:

As equaes (3.46) e (3.47) so as funes de transferncia X1(s)/U(s) e X2(s)/U(s).

respectivamente.

EXEMPLO 3.8 Um pndulo invertido montado em um carro motorizado

mostrado na Figura 3.20(a). Esse um modelo de controle de posio de um

foguete na fase de lanamento. (O objetivo do problema de controle de posio

manter o foguete na posio vertical.) O pndulo invertido instvel, pois pode

cair a qualquer instante, para qualquer direo, a menos que uma fora adequada

de controle seja aplicada a ele. Vamos considerar aqui somente o problema

bidimensional, em que o movimento do pndulo fica restrito s ao plano da pgina.

A fora de controle u aplicada ao carro. Considere que o centro de gravidade da

haste do pndulo esteja situado no centro geomtrico dele. Obtenha um modelo

matemtico para esse sistema.

Figura 3.20 (a) Sistema de pndulo invertido; (b) diagrama do corpo livre.

Defina o ngulo da haste a partir da linha vertical como . Defina tambm as coordenadas (x, y) do centro de gravidade da haste como (xG, yG). Ento,

Para deduzir as equaes de movimento do sistema, considere o diagrama do corpo

livre, mostrado na Figura 3.20(b). O movimento rotacional da haste do pndulo em

torno de seu centro de gravidade pode ser descrito por:

onde I o momento de inrcia da haste em relao ao centro de gravidade.

O movimento horizontal do centro de gravidade da haste do pndulo dado por:

O movimento vertical do centro de gravidade da haste do pndulo :

O movimento horizontal do carro descrito por:

Como devemos manter o pndulo invertido na posio vertical, podemos admitir

que (t) e )(t sejam grandezas suficientemente pequenas para que se possa fazer

sen=, cos=1 e 02 . Ento, as equaes de (3.48) a (3.50) podem ser linearizadas como se segue:

Com o auxlio das equaes (3.51) e (3.53), obtemos:

e a partir das equaes (3.52), (3.53) e (3.54) obtemos:

ou

As equaes (3.55) e (3.56) descrevem o movimento do sistema de pndulo

invertido sobre o carro. Elas constituem o modelo matemtico do sistema.

EXEMPLO 3.9 Considere o sistema de pndulo invertido mostrado na Figura

3.21. Como nesse sistema a massa est concentrada no topo da haste, o centro de

gravidade o centro da bola do pndulo.

Figura 3.21 Sistema de pndulo invertido.

Para esse caso, o momento de inrcia do pndulo sobre seu centro de gravidade

pequeno e vamos supor que t = 0 na Equao (3.56). Ento, o modelo matemtico

para esse sistema passa a ser:

As equaes (3.57) e (3.58) podem ser modificadas para

A Equao (3.59) foi obtida pela eliminao de x das equaes (3.57) e (3.58). A

Equao (3.60) foi obtida pela eliminao de das equaes (3.57) e (3.58).

Utilizando a Equao (3.59), obtemos a funo de transferncia da planta como:

O sistema de pndulo invertido tem um plo no semi-eixo negativo do eixo real

e outro no semi-eixo positivo do eixo real

. Ento, a planta instvel em malha aberta.

Defina as variveis de estado x1 , x2, x3 e x4 como:

Note que o ngulo indica a rotao da haste do pndulo em torno do ponto P e x a localizao do carro. Se considerarmos e x como sadas do sistema, ento

(Note que tanto como x so quantidades facilmente mensurveis.) Ento, a partir da definio das variveis de estado pelas equaes (3.59) e (3.60), obtemos:

Em termos de equaes vetorial-matriciais, temos:

As equaes (3.61) e (3.62) so uma representao do sistema de pndulo invertido

no espao de estados. (Note que a representao no espao de estados do sistema

no nica. Existe uma infinidade de representaes possveis para esse sistema.)

3.10 LINEARIZAO DE MODELOS

Sistemas no-lineares. Um sistema no-linear se o princpio da superposio

no se aplicar a ele. Assim, para um sistema no-linear, no se pode obter a

resposta a duas entradas simultneas considerando as entradas individualmente e

somando os resultados.

Embora muitas relaes de grandezas fsicas sejam representadas por equaes

lineares, na maioria dos casos a relao entre elas no efetivamente linear. De

fato, um estudo cuidadoso dos sistemas fsicos revela que mesmo os chamados

sistemas lineares so realmente lineares somente para intervalos limitados de operao. Na prtica, muitos sistemas eletromecnicos, hidrulicos e outros

envolvem relaes no-lineares entre as variveis. Por exemplo, a sada de um

componente pode ser saturada para sinais de entrada de grande amplitude. Pode

haver um espao morto que afeta pequenos sinais. (O espao morto de um

componente uma pequena gama de variaes de entrada s quais o componente

insensvel.) No-linearidades quadrticas podem ocorrer em alguns componentes.

Por exemplo, amortecedores utilizados em sistemas fsicos podem ser lineares para

operaes de baixa velocidade, mas podem tornar-se no-lineares para velocidades

elevadas e a ao de amortecimento pode se tornar proporcional ao quadrado da

velocidade de operao.

Linearizao de sistemas no-lineares. Em dinmica, uma operao normal do

sistema pode ser em torno do ponto de equilbrio, e os sinais podem ser

considerados pequenos sinais em torno do equilbrio. (Deve-se notar que existem

vrias excees para esse caso.) Entretanto, se o sistema operar em torno de um

ponto de equilbrio e se os sinais envolvidos forem pequenos, ento possvel

aproximar o sistema no-linear por um sistema linear. Esse sistema linear

equivalente ao sistema no-linear considerado dentro de um conjunto limitado de

operaes. Esse modelo linearizado (modelo linear, invariante no tempo) muito

importante na engenharia de controle.

O processo de linearizao apresentado a seguir tem como base o desenvolvimento

da funo no-linear em uma srie de Taylor em torno do ponto de operao e a

reteno somente do termo linear. Em virtude de desprezarmos os termos de ordem

elevada da expanso da srie de Taylor, esses termos desprezados devem ser

suficientemente pequenos; isto , as variveis devem se desviar apenas

ligeiramente das condies de operao.

Aproximao linear de modelos matemticos no-lineares. Para obter um

modelo matemtico linear de um sistema no-linear, admitimos que as variveis

desviem apenas ligeiramente de alguma condio de operao. Considere um

sistema em que a entrada x(t) e a sada y(t). A relao entre y(t) e x(t) dada

por:

y = f(x) (3.83)

Se a condio de operao normal corresponde a x , y , ento a Equao (3.83)

pode ser expandida em uma srie de Taylor em torno desse ponto, como se segue:

y=f(x)

onde as derivadas df/dx, d2f/dx

2, ... so avaliadas em x = x . Se a variao de x- x

for pequena, podemos desprezar os termos de ordem mais elevada em x- x . Ento,

a Equao (3.84) pode ser escrita como:

onde

A Equao (3.85) pode ser reescrita como:

que indica que y- y proporcional a x- x . A Equao (3.86) fornece um modelo

matemtico linear para o sistema no-linear dado pela Equao (3.83), prximo do

ponto de operao x- x , y- y . A seguir, considere o sistema no-linear cuja sada y

uma funo de duas entradas, x1 e x2, tal que

y = f(x1,x2) (3.87)

Para obter uma aproximao linear desse sistema no-linear, podemos expandir a

Equao (3.87) em uma srie de Taylor em torno do ponto normal de operao 1x ,

2x . A Equao (3.87) torna-se:

onde as derivadas parciais so calculadas em x1= 1x , x2= 2x . Nas proximidades do

ponto normal de operao, os termos de ordem mais elevada podem ser

desprezados. O modelo matemtico linear desse sistema no-linear, nas

proximidades das condies normais de operao, ento dado por:

onde

A tcnica de linearizao apresentada aqui vlida nas proximidades das

condies de operao. Se as condies de operao variam muito, entretanto,

essas equaes linearizadas no so adequadas, e as equaes no-lineares devem

ser utilizadas. importante lembrar que um modelo matemtico particular,

utilizado para fins de anlise e projeto, pode representar com preciso a dinmica

de um sistema real para certas condies de operao, mas pode no ser preciso

para outras condies de operao.

EXEMPLO 3.15 Linearize a equao no-linear

na regio 5x7, 10y12. Encontre o erro para o caso em que a equao linearizada seja utilizada para calcular o valor de z quando x=5 e y=10.

Como a regio considerada dada por 5x7, 10y12, selecione x =6, y =11.

Ento, 66yxz . Vamos obter a equao linearizada para a equao no-linear

nas proximidades do ponto x =6, y =11.

Expandindo a equao no-linear em uma srie de Taylor prxima do ponto x= x ,

y= y e desprezando os termos de ordem mais elevada, temos:

onde

Ento, a equao linearizada :

ou

Quando x=5, y=10, o valor de z dado pela equao linearizada :

o valor exato de z z=xy=50. Assim, o erro 50-49=1. Em termos de

porcentagem, o erro de 2%.