TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

CAPÍTULO 4

CONDUCTORES Y DIELÉCTRICOS

4.1 Pérdida tangencial.

La pérdida tangencial es un concepto, basado en un término matemático, que indica si es mayor la corriente de conducción o la corriente de desplazamiento cuando un campo EM se propaga a través de cierto material. El término en el que se basa es , al cual se le conoce como pérdida tangencial y es una función de la frecuencia. Existen manuales donde se pueden obtener valores de la pérdida tangencial para varios materiales, a diferentes frecuencias. El origen del nombre pérdida tangencial se relaciona con la siguiente observación:

Nótese que la ley de Ampere se puede igualar a la corriente total, y esta a su vez descomponerse en la densidad de corriente de conducción (Jc) y la densidad de corriente de desplazamiento(Jd), como se puede notar en las siguientes ecuaciones, 4.1, 4.2 y 4.3:

 

    Ecuación 4.1

 

Donde el segundo término, la derivada del fasor del vector D, con respecto del tiempo, es la densidad de corriente de desplazamiento:

    Ecuación 4.2

La corriente de conducción representa una mecanismo de de pérdida de energía (potencia gastada al desplazara los electrones para formar la corriente) y la corriente de desplazamiento representa el almacenamiento de energía. La razón de estas dos corrientes es una manera medida de la naturaleza disipadora (de pérdidas) de cualquier material. La ley de Ampere se puede escribir como:

    Ecuación 4.3

Nótese que los vectores están en su forma fasorial y como ya se comentó derivar en fasores, equivale a multiplicar por j

   Ecuación 4.4

Los fasores de la corriente de conducción y de la corriente de desplazamiento están desfasados, entre sí, por 90o, uno es puramente real y el otro puramente imaginario.

El fasor de la densidad de corriente de conducción es:

   Ecuación 4.5a

El fasor de la densidad de corriente de desplazamiento es:

 

   Ecuación 4.5b

Si se grafican estos dos vectores fasoriales en el plano complejo:

 

La tangente  del ángulo formado por los fasores es la pérdida tangencial:

 

Figura 4.1 Gráfica de las dos densidades de corriente en el plano complejo, se muestra el ángulo entre ellas dos, .

 

   Ecuación 4.6

 

Donde es el ángulo que se muestra en la figura 4.1, de ahí el término tangencial. Este concepto de pérdida tangencial como la razón de la densidad de corriente de conducción a la densidad de corriente de desplazamiento provee una manera de distinguir entre conductores y dieléctricos. Se van clasificar los materiales de acuerdo a si la corriente de desplazamiento es mayor que la corriente de conducción (buen conductor, ecuación 4.7a) o si la corriente de conducción es mayor que la corriente de desplazamiento (buen dieléctrico, ecuación 4.7b):

  Buen conductor   Ecuación 4.7a

   Buen dieléctrico  Ecuación 4.7b

 

 

 

 

 

4.2 Buenos dieléctricos ( << ).

En este caso << ya que tiende a cero. La constante de propagación se puede escribir como

= + jEcuación 4.8

=    Ecuación 4.9

= Ecuación 4.10

 

 

Utilizando la expresión binomial:

 Ecuación 4.11

 

La cual se cumple siempre que de 4.4 y 4.3 podemos escribir:

   Ecuación 4.12

 

Entonces, rearreglando 4.12

    Ecuación 4.13

 

 Ecuación 4.14

 

De  4.14 podemos identificar la parte real de , la constante de propagación, y también a su parte imaginaria. Recuérdese que la parte imaginaria es , la constante de fase :

 rad/m   Ecuación 4.15

 

La parte real de es la constante de atenuación, :

 Np/m   Ecuación 4.16

La velocidad de propagación se vuelve:

m/seg   Ecuación 4.17

 m/seg Ecuación 4.18

De aquí podemos observar que la velocidad de propagación de la onda se reduce ligeramente por las pérdidas en el medio. La impedancia intrínseca es

 Ecuación 4.19

 Ecuación 4.20

 Ecuación 4.21

  Ecuación 4.22

 

En conclusión, para buenos dieléctricos podemos decir que las siguientes aproximaciones son buenas:

 Np/m Ecuación 4.23a

 Rad/m Ecuación 4.23b

 m/seg Ecuación 4.23c

Ecuación 4.23d

Podemos decir que , V y son esencialmente las mismas que para el caso sin pérdidas.

 

 

 

 

 

4.3 Buenos conductores( >> ).

Para un buen conductor, , y , entonces la constante de propagación queda de la siguiente manera

   Ecuación 4.24

   Ecuación 4.25

Si:

     Ecuación 4.26

entonces:

 Ecuación 4.27

Así que la constante de atenuación y la constante de propagación son:

 Ecuación 4.28

La velocidad de propagación es

 m/seg   Ecuación 4.29

 m/seg    Ecuación 4.30

La impedancia intrínseca se vuelve

 Ecuación 4.31

 Ecuación 4.32

 Ecuación 4.33

  (4.12)  Ecuación 4.34

Se debe hacer notar que los materiales generalmente clasificados como dieléctricos, en términos de la ausencia de carga libre (o carga libre, pero en muy pequeñas cantidades), también muestran un tipo adicional de mecanismo de pérdida. Este mecanismo de pérdida, aunque es diferente del que ocurre en los materiales clasificados como conductores, porque éstos tienen grandes cantidades de carga libre, puede manejarse en forma similar al de los materiales conductores.

En la presencia de un campo eléctrico variante de forma senoidal, los dipolos permanentes de un material diélectrico tienden a rotar para alinearse con la dirección cambiante del campo. En los materiales que no tienen dipolos permanentes, podrían ocurrir "dipolos inducidos" creados por una rotación neta de la nube de electrones, con respecto de los núcleos positivos de los atómos o por un movimiento de los iones positivos y negativos del material, cuando se aplica un campo eléctrico. Conforme aumenta la frecuencia del campo aplicado, hay una tendencia para la formación o el alineamiento de estos dipolos, después de los cambios en la dirección del campo senoidal. Ya sea para los dipolos permanentes o para los dipolos inducidos, la polarización del material está en fase en el tiempo con el campo eléctrico aplicado. Conforme aumenta la frecuencia este efecto se acentúa más. Este fenómeno de pérdida también se puede explicar atribuyendo una permitividad compleja del medio:

  Ecuación 4.35

Si este material tiene una conductividad cero, la ley de Ampere en el material se vuelve

 Ecuación 4.36

De esta manera, estas propiedades del material (de pérdidas) se pueden tratar exactamente de la misma manera que las pérdidas conductivas:

     Ecuación 4.37

reemplazando por y por , la pérdida tangencial se vuelve:

 Ecuación 4.38

Aunque este fenómeno ocurre generalmente a frecuencias muy altas (Gigahertz), podemos incluir el efecto de las misma manera que para los materiales conductivos. De hecho, aún si un material dieléctrico tiene una conductividad diferente de cero (pero muy pequeña), podemos escribir la ley de Ampere como

  Ecuación 4.39

=    Ecuación 4.40

Aquí se utiliza una conductividad efectiva igual a y una permitividad efectiva ‘. Es importante notar que la conductividad efectiva y la permitividad efectiva ‘ van a variar, generalmente, con la frecuencia. Por ejemplo, el PVC tiene a 10khz, pero disminuye a a 100 Mhz donde . Por otro lado, el poliestireno tiene

desde corriente directa (frecuencia = 0) hasta 1010 Hz (10 Ghz). Sin embargo, el poliestireno tiene una pérdida tangencial

   Ecuación 4.41

de 0.7 X 104 a 1 Mhz y de 4.3 X 104 a 10 Ghz. Por lo tanto, vamos a suponer que los valores de la conductividad (efectiva) y la permitividad (efectiva) son los de una frecuencia específica y no los valores de corriente directa.

 

 

 

 

 

4.4 Efecto pelicular (Skin Depth).

Consideremos una onda que se desplaza hacia el frente en un material que tiene las siguientes constantes, , y . El campo eléctrico se puede escribir como

   Ecuación 4.42

Donde Em es la magnitud del campo. Conforme viaja la onda a través del material, su amplitud se va a atenuar por un factor e-Z, sobre una distancia, en mteros:

 metros   Ecuación 4.43

La magnitud de la onda se va a reducir a , o 37 %, de su valor original. La cantidad se llama efecto pelicular o profundidad de penetración o profundidad de piel del material (Skin Depth).

Substituyendo la relación para en un buen conductor en la ecuación 4.43

metros    Ecuación 4.44

metros    Ecuación 4.45

Por ejemplo, los valores del efecto pelicular para el cobre son

 

FrecuenciaSkin Depth

60 Hz8.53 mm

100 Mhz 0.0066

mm

10 Ghz 6.61 X 10-7 m

Para buenos conductores, el efecto pelicular se vuelve extremadamente pequeño conforme aumenta la frecuencia. El aislamiento electromagnético efectivo, tanto en los dispositivos electrónicos, como en las habitaciones, de campos externos que pudieran causar interferencia, se puede obtener con rellenos conductivos para los muros, cuyo grosor sea varias veces mayor que varias veces .

Una onda incidente que entre en el muro será atenuada rápidamente antes de que salga, y así se reducen los efectos de interferencia de la misma.

Para buenos conductores la ecuación de onda en forma fasorial es:

 ( >> )    Ecuación 4.46

 Ecuación 4.47

 

( >> )    Ecuación 4.48

=  Ecuación 4.49

La densidad de corriente y el campo eléctrico están relacionados por la conductividad, así que:

 ( >> )  Ecuación 4.50a

Ecuación 4.50b

Estas ecuaciones se conocen como las ecuaciones de difusión. En los buenos conductores, como los metales, los campos sufren una atenuación significativa. Podemos pensar que estos campos se "dispersan" en el material.