Exerccios de Calculo Infinitesimal I

Captulo 4

1. Estude a convergencia das seguintes series, calculando, se possvel, a sua soma:

a)n3

(1

n+ 1 1n+ 2

); b)

n2

(1)n5n

; c)n0

1 2n3n

;

d)n1

enpi2n; e)n2

1n2 1; f)

n1

(1n! 1

(n+ 1)!

);

g)n1

3n + (1)n4n

; h)n1

log(

n

n+ 1

).

2. Escreva as seguintes dzimas como soma de uma serie geometrica e exprima essa somacomo quociente de dois numeros inteiros:

a) 0, 777... = 0, 7; b) 0, 242424... = 0, 24; c) 0, 6111... = 0, 61.

3. Determine a natureza das series cujos termos gerais sao:

a)n

n3 + 3; b)

n2 13n2 + 5

; c)1n+ 1

;

d)1 + 2n

1 2n ; e)2 + sinn

n2; f)

logn

n.

4. Determine a natureza das series cujos termos gerais sao:

a)10n

(2n)!; b)

1n2n

; c)n2

en; d)

log nen

; e)(

1 1n

)2;

f)(

1 +2n

)n2; g)

2n+ 13n(n2 1) ; h)

n1000

1, 001n; i)

(nn 1)n;

j)1

n(log n)3; k)

(2n+ 1)2n

(5n2 + 1)n; l)

n log nn2 + 1

; m) sin(

1n

);

n) arcsin(

n

n+ 1

); o)

arctgnn2 + 1

; p)nn2

n!; q)

n!(2n)!(3n)!

; r)n!

(n+ 2)!.

5. Sendo (an) uma sucessao de termos positivos indique, justificando, a natureza das series(1 + an);

1n2 + an

.

6. Seja (an) uma sucessao de termos positivos e (bn) uma sucessao limitada.

a) Mostre que sean converge, entao

anbn tambem converge.

b) Use o resultado anterior para provar que se a seriean converge, entao a serie

a2n

tambem converge.

c) Mostre, por meio de um contra-exemplo, que o recproco da proposicao anterior efalso.

1

7. Diga, justificando, se sao absolutamente convergentes, simplesmente convergentes ou di-vergentes as series cujos termos gerais sao:

a) sin(npi

2

); b) sin

(npi2

) 1nn

; c) (1)n (n!)2

(2n)!; d) (1)n n

n2 + 1;

e) (1)n (n+ 1n); f) (1)nn log n

; g) (1)nn3000

3n; h) (1)ntg

(1n

).

8. Determine com erro inferior a 0,01 a soma das series:

+n=0

(1)n(2n+ 1)!

;+n=0

(1)n5n + 1

.

9. Diga, justificando, se sao verdadeiras ou falsas as seguintes afirmacoes:

a) Se an > 0, n N, ean e convergente, entao

a2n tambem e convergente.

b) Sean e convergente, entao

a2n tambem e convergente.

c) Sean e absolutamente convergente, entao

an1 + |an| tambem e convergente.

10. Determine o intervalo de convergencia das series de potencias cujos termos gerais sao:

a)xn

n(n+ 1); b)

(2x 1)n4n

; c) n12nxn; d)(x+ 3)n

2n;

e)2nn!x2n+1

(2n+ 1)!; f) (n!x)n; g)

(1)n(1 4x)nn(n+ 2)

; h)x2n1

2n 1.

11. a) Para cada uma das seguintes funcoes, determine o polinomio de Taylor da ordemindicada, no ponto x0 dado:

i) f(x) = sinx, x0 =pi

2, ordem 6;

ii) f(x) = ex2, x0 = 0, ordem 2;

iii) f(x) = log(cosx), x0 = 0, ordem 2;iv) f(x) = ex sinx, x0 = 0, ordem 3.

b) No caso iv) prove que o valor absoluto da diferenca entre f(x) e P3(x) e inferior ae

6x4 para x ]0, 1[.

12. Escreva o polinomio P (x) = 6x3 2x2 + 10x 5 como soma de potencias de x 1.13. Para cada uma das seguintes funcoes mostre que f (1) = 0 e diga, justificando, se f(1) e

extremo local de f :

a) f(x) = x5 5x4 + 9x3 7x2 + 2x;b) f(x) = e(x1)2 ;

c) f(x) = x5 + 3x4 2x3 2x2 + 3x 1.14. a) Calcule o polinomio de Taylor de primeira ordem de f(x) = x15 em x0 = 1.

b) Usando o resto de Lagrange, mostre esse polinomio, calculado em x = 0, 98, forneceum valor aproximado de (0, 98)15 com erro inferior a 0, 05.

2

15. Use polinomios de Taylor para estimar o valor de

a)e; b) sin 1;

com erro inferior a 0,01.

16. Desenvolva as seguintes funcoes em serie de Taylor nos pontos dados, indicando para cadauma delas o intervalo de validade do desenvolvimento:

a) f(x) = sin(x2), x0 = 0;

b) f(x) = e2x3, x0 = 0;

c) f(x) =1

1 x + ex, x0 = 0;

d) f(x) =1x

, x0 = 1;

e) f(x) =3

2 + 3x, x0 = 0 e x0 = 13 ;

f) f(x) = e1x, x0 = 0 e x0 = 1;

g) f(x) =1

x(x 2) , x0 = 1;h) f(x) = arctg(2x), x0 = 0;

i) f(x) =1

(1 + x)2, x0 = 0;

j) f(x) = log(2 + x), x0 = 0.

17. Calcule a soma das seguintes series:

a)n=0

1n!x4n; b)

n=1

3nn!x3n1;

c)n=0

(1)nxn+12n+1

n+ 1; d)

n=0

x2n+1

2n+ 1.

18. a) Represente por uma serie de potencias de x a funcao f(x) = x0et

2dt, indicando os

valores de x para os quais e valido o desenvolvimento obtido.b) Observando que se obtem uma serie alternada em a), calcule o valor de f(1) com erro

inferior a 0, 1.

19. Considere as funcoes f(x) = xex, g(x) =x3

1 x2 e h(x) = x2 sinx.

a) Desenvolva-as em serie de potencias de x, indicando o intervalo de validade dos de-senvolvimentos obtidos.

b) Calcule h(9)(0), g(12)(0) e f (20)(0).

c) Calcule 10f(x) dx para mostrar que

n=1

1n!(n+ 2)

=12

.

20. Calcule a funcao soma da serie de potenciasn=0

(n+1)xn e use esse resultado para calcular

a soma da serien=0

n+ 12n

.

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