cap5 codurile walsh

Cap. 4 CODURI WALSH I

UTILIZAREA ACESTORA

Sisteme CDMASisteme CDMASisteme CDMA

4.1. Introducere

Codurile Walsh de ordin N=2k = un set de funcii (semnale) ortogonaleutilizate n IS-95:

pentru a elimina sau reduce interferena ntre utilizatori i ntre canale; pentru a realiza identificarea acestora.

Teoretic, dac setul de semnale folosite ntr-un sistem de acces multiplusunt mutual ortogonale, interferena dintre canale i respectiv dintreutilizatori este nul.

n realitate, datorit semnalelor ce sosesc pe ci multiple de propagare,precum i a celor provenite din celulele adiacente, care nu sunt aliniate dinpunct de vedere temporal cu cele din celula de baz i pentru care condiiade ortogonalitate nu este asigurat, apare o interferen nenul.

4.2. Definirea i proprietile funciilor Walsh

Definiie: Un set de funcii Walsh de ordinul N=2k reprezint un set de Nfuncii temporale cu perioada T:

(4.1)care au urmtoarele proprieti:WN, j(t) pot lua numai valorile {-1,1} cu excepia unui numr finit de puncte dediscontinuitate n care iau valoarea 0;WN, j (0)=0, pentru orice valoare a lui j;WN, j (t) are exact j schimbri de semn ntr-o perioad [0,T] (sunt indexate dupnumrul de treceri prin zero);proprietatea de ortogonalitate

(4.2)proprietile de simetrie: au o simetrie par sau impar fa de punctele T/2j, j={K, K-1, , 1} (adic fa de punctele T/2, T/4 T/2k), n funcie de indexul secveneiWalsh.

[ ]{ } kjN NNjTttW 2,,....1,0,,0);(, ==

( ) ( )

=

==

T

jkkNjN kjTkj

TtWtW0

,,

,

,0


Terminologie: funcii Walsh {WN, j(t)} n cazul n care acestea sunt reprezentate folosind

valori binare {-1,1} (n special n cazul n care acestea sunt utilizate pentrumodulaia secvenelor binare),

secvene Walsh {WN, j} n cazul n care ele sunt reprezentate folosind valorilogice {0,1}.

ntre cele dou reprezentri exist o echivalen n sensul c funciile Walshformeaz o structur de grup n raport cu operaia de nmulire, n timp cesecvenele Walsh formeaz o structur de grup n raport cu operaia deadunare modulo 2.

(4.3)Corespondena funcii secvene Walsh este imediat: de exemplu sepoate folosi regula +1 binar 0 logic i 1 binar 1 logic

( ){ } { } 12...,1,0,;;,,

== kjNjN NjtW W


Definiie: Un grup reprezint un ansamblu format dintr-o mulime deelemente i o operaie matematic *, care satisface urmtoareleproprieti:

proprietatea de nchidere: (4.4)

asociativitatea: (4.5)

elementul unitate: (4.6)

elementul invers: (4.7)

Pentru setul funciilor Walsh, elementul neutru este iarelementul invers al oricrei funcii este funcia nsi.Pentru setul secvenelor Walsh de ordinul N elementul neutru este secvenanul, iar elementul invers al oricrei secvene este secvena nsi.

( ) GggGgg nmnm ,( ) ( ) ( )pnmpnmpnm ggggggGggg = **,,

( ) ( ) kkk gggGgiaGg = *..( ) ( ) gggiaGgGg mmmm = 11 *..,

( ) ( )1...,1,10, =tWN


Exemplul 4.1. Fie setul de secvene Walsh de ordinul 24=16. Generarea lorse poate face din aproape n aproape, pe baza proprietilor de simetrie.Setul complet este dat n tabelul 4.1. Dac x =[x1,x2,x3,x4] este indexulfunciei atunci :

x1=1 simetrie impar fa de T/16 x2=1 simetrie impar fa de T/8 x3=1 simetrie impar fa de T/4 x4=1 simetrie impar fa de T/2

Astfel pentru W16,11 indicele este 11=1011=( x11,1, x11,2, x11,3, x11,4): x11,1=1 simetrie impar fa de T/16 0|1 x11,2=0 simetrie par fa de T/8 01|10 x11,3=1 simetrie impar fa de T/4 0110|1001 x11,4=1 simetrie impar fa de T/2 01101001|01101001Secvena rezultat coincide cu secvena W16,11 din tabelul 4.1


Index j Index binar Secvena Walsh-ordin 24=160 0000 W16,0= [0000000000000000]1 0001 W16,1 = [0000000011111111]2 0010 W16,2 = [0000111111110000]3 0011 W16,3 = [0000111100001111]4 0100 W16,4 = [0011110000111100]5 0101 W16,5 = [0011110011000011]6 0110 W16,6 = [0011001111001100]7 0111 W16,7 = [0011001100110011]8 1000 W16,8 = [0110011001100110]9 1001 W16,9 = [0110011010011001]10 1010 W16,10= [0110100110010110]11 1011 W16,11= [0110100101101001]12 1100 W16,12= [0101101001011010]13 1101 W16,13= [0101101010100101]14 1110 W16,14= [0101010110101010]15 1111 W16,15= [0101010101010101]

4.3.1. Generarea funciilor Walsh folosind matricile Hadamard

Matricile Hadamard sunt matrici ptrate ale cror rnduri i coloane suntmutual ortogonale. Dac prima coloan este format numai din 1 se spunec matricea este sub form normal . Matricea Hadamard de ordinul 2 este:

matricile Hadamard se pot determina prin recuren astfel:

=

+

++=

1000

1111

2H

[ ] [ ]

=

=

+

++=

=+=

NN

NNN HH

HHH

H

H

2

2

1

......

1000

1111

;01


Proprieti ale matricilor Hadamard:

dac HN este o matrice Hadamard de dimensiune NxN , atunci (4.9)

unde IN este matricea identitate de ordinul N;

dac N1 este ordinul unei matrici Hadamard, atunci N poate lua valorile1,2, ..., 2k, kN;

dac Ha, Hb sunt matrici Hadamard de ordinul a, respectiv b, produsul loreste o matrice de ordinul axb,

(4.10)unde produsul HaxHb se determin nlocuind valorile +1 (0 logic) cumatricea Hb, respectiv -1 (1 logic) cu - Hb;

NTNN N IHH =

abba HHH =


Exemplul 4.2. Matricea Hadamard de ordinul 16 se determin conform regulii derecuren astfel:

=

1000

2H(4.2a)

==

0110110010100000

224 HHH (4.2b)

==

1001011000111100010110101111000001100110110011001010101000000000

428 HHH (4.2c)


fiecare rnd al unei matrici Hadamard de ordinul N este o secven binar {HN,i} dedimensiune N, unde indicele i reprezint numrul rndului.

Toate rndurile sunt secvene Walsh dac ordinul N=2p, pN se pot generafuncii (secvene) Walsh, dar indicele rezultat astfel nu corespunde indexrii date denumrul schimbrilor de semn.

==

1110100110010110110000110011110010100101010110100000111111110000100110010110011000110011110011000101010110101010111111110000000010010110100101100011110000111100010110100101101011110000111100000110011001100110110011001100110010101010101010100000000000000000

8216 HHH


Exemplul 4.3. Fie matricea Hadamard de ordinul 16 dat de (4.2d). Rndurile salepot fi exprimate ca secvene ca n tabelul 4.2.

Relaia de trecere de la indicele rezultat folosind rndurile matricii Hadamard la celdat de numrul de schimbri de semn se poate face folosind o relaie de recuren[AR-72].

Astfel, dac WN,i este secvena Walsh cu indicele xi=( xi1, xi2 .... xiK), n matriceaHadamard i corespunde indicele ci=( ci1, ci2 .... ciK), care se poate determinafolosind relaia:

, ,1

, , , 1

n K n

n K i n i n i

c x

c x x +

=

= (4.3)


Rndurile matricii H16 ca secvene Walsh

H16, 0= [0000000000000000]H16,1= [0101010101010101]H16,2= [0011001100110011]H16,3= [0110011001100110]H16,4= [0000111100001111]H16,5= [0101101001011010]H16,6= [0011110000111100]H16,7= [0110100101101001]H16,8= [0000000011111111]H16,9= [0101010110101010]H16,10=[0011001111001100]H16,11=[0110011010011001]H16,12=[0000111111110000]H16,13=[0101101010100101]H16,14=[0011110011000011]H16,15=[0110100110010110]


Exemplul 4.4. Fie secvena Walsh de ordinul N=16=24. Determinai rndul dinmatricea Hadamard H16 care corespunde lui W16,7.Indicele secvenei Walsh este x7=(x7,1, x7,2, x7,3, x7,4)=(0 1 1 1). Conform relaiei(4.13) se determin indicele c7=( c7,1, c7,2 , c7,3, c7,4), astfel

deci c7=(c7,1, c7,2, c7,3, c7,4)=(0, 0, 1, 0) ceea ce arat c secvenei Walsh W7 icorespunde al 2 lea rnd din H16, anume H16,2=[0011001100110011], ceea ce sepoate verifica imediat cu ajutorul tabelului 4.1.

011011110

0

4,73,71,7

3,72,72,7

2,71,73,7

1,74,7

=========

==

xxc

xxc

xxc

xc

4.3.1. Generarea funciilor Walsh cu ajutorul funciilor Rademacher

Funciile Rademacher reprezint un set de (1+log2N) funcii ortogonale[SW-69], formate din impulsuri dreptunghiulare care iau valori alternativede {-1,1} n intervalul [0,T], cu excepia unui numr finit de puncte dediscontinuitate n care iau valoarea 0.

Ele sunt definite cu ajutorul relaiilor :

( ) ( )[ ] ( )( ) ( )

( )

>

=


Funciile Rademacher pot fi construite astfel:1. se definete acea funcie care ia valoarea 1 pe tot intervalul (0,T);2. se determin din mprind intervalul (0,T) n jumtate i dndu-i

valoarea 1 pe prima jumtate, respectiv 1 pe cea de-a doua

3. se determin mprind fiecare subinterval al lui n pri egale idndu-i lui valoarea 1 pe prima jumtate, respectiv 1 pe cea de-a doua jumtatea fiecruia.

4. se repet paii precedeni de log2N ori.

( )tRN 0,( )tRN 1, ( )tRN 0,

( )( ){ }( )

=

=

.,2/,1;,2/,0,0

;2/,0,1

1,

TTtTTt

TttRN

( )tRN 2, ( )tRN 1,

( )( ) ( ){ }( ) ( )

=

=

.,4/32/,4/,1;4/3,2/,4/,0,0

;4/3,2/4/,0,1

2,

TTTTtTTTt

TTTttRN


Exemplul 4.5. Aplicnd algoritmul anterior menionat se pot construi funciileRademacher de ordinul N=24=16.

R16,0 [1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ]R16,1 [1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ]R16,2 [1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 ]R16,3 [1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 ]R16,4 [1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 ]

t

R16,0(t)

t

R16,1(t)

t

R16,2(t)

t

R16,3(t)

t

R16,4(t)


Funciile (secvenele) Walsh se pot determina ca produse de funcii(secvene) Rademacher, dar trebuie efectuat n prealabil de o conversie aindicelui secvenei Walsh n conformitate cu codul Gray.

Aceast conversie se face cu ajutorul urmtoarelor relaii:

Secvena codat Gray are proprietatea c prin trecerea de la o secvenindex la urmatoarea diferena este de un singur bit.

Kkxxgxg

kikiki

ii

...,3,2,,1,,

1,1,

===


Exemplul 4.6. S se determine secvena Gray G11=(g11,1, g11,2, g11,3, g11,4)corespunztoare indicelui X11=(x11,1, x11,2, x11,3, x11,4) = (1011).

deci G11=(1110).

n tabelul 4.4. sunt dai indicii codai Gray pentru secvenele Walsh delungime N=24.

011110101

1

4,113,114,11

3,112,113,11

2,111,112,11

1,111,11

=========

==

xxgxxgxxg

xg

4.3.2. Generarea funciilor Walsh cu ajutorulfunciilor Rademacher


Pentru generarea funciilor (secvenelor) Walsh de ordin N=2k ca produs defuncii (secvene) Rademacher trebuie parcuri urmtorii pai:

1. se scriu toi indicii i asociai secvenelor Walsh WN,i n form binar ca vectoride dimensiune K, Xi=( xi1, xi2 .... xiK), xi,j{0,1};

2. se codeaz Gray Xi n conformitate cu relaia (4.20), Xi Gi;3. fiecrui indice codat Gray i se asociaz o secven Rademacher, dup regula

4. secvenele Walsh corespunztoare se formeaz ca sume modulo 2 dintresecvena R0 i secvenele Rademacher corespunztoare elementelor nenule alevectorului indice codat Gray Gi

{ }1,,1,2,,1,1,, ...,, NKiKNiKNijKNji gggg RRRR +

[ ] [ ] [ ]1|...1|1|,1,2,1,1,,0,

1;1,0,,

,

====

==

=

+

KiNiKNiKNN

gjiKNNiN

gggji

RRRR

RRW


Exemplul 4.7. S se determine secvena Walsh W16,11 de ordin N=16 ca produs de funcii Rademacher.

1. reprezentarea binar a indicelui lui W16,11 este X11=(1011);2. din tabelul 4.4. se determin X11=(1011) G11=(1110);3. secvenele Walsh de ordinul N=16 sunt date n tabelul 4.1;4. folosind relaia (4.22) se determin

2,163,164,160,1611,16 RRRRW =

[ ][ ][ ][ ][ ]100101101001011011,16W

00001111000011112,16R11001100110011003,16R10101010101010104,16R11111111111111110,16R

=

=

=

=

=

4.3.3. Generarea funciilor Walsh cu ajutorul vectorilor bazei

Fie V4 un spaiu vectorial de dimensiune 4. Se spune c vectorii c1 c2 c3 c4, lineari independeni, formeaz o baz n

spaiul vectorial V4 dac

unde C este o matrice 4x4 ale crei rnduri sunt formate din vectorii bazeispaiului vectorial. Ea se numete matrice generatoare.

Secvenele Walsh de ordin N=2K formeaz un spaiu vectorial Kdimensional n spaiul cmpurilor Galois GF(2). Astfel toate secvenele dinacest spaiu pot fi generate cu un set de K vectori ai bazei folosind omatrice generatoare de dimensiune KxN, cu vectorii indici ai secvenelor:

()u V4, (a1, a2, a3, a4) coeficieni scalari u=a1c1+ a2c2+ a3c3+ a4c4 C=[c1, c2 ,c3 ,c4]T, a=[a1, a2 ,a3 ,a4]T u=aC


unde Xj este indicele secvenei Walsh generate de dimensiune (1xK), iarreprezint matricea generatoare de dimensiune (KxN).

Pentru determinarea matricii generatoare trebuie determinai vectorii bazei.Aceasta se poate face folosind acele secvene Walsh al cror vector indiceare un singur 1. Vectorii indici sunt lineari independeni secveneleWalsh corespunztoare vor fi linear independente, deci pot forma o baz aspaiului vectorial GF(2).

Matricea generatoare se construiete folosind ca rnduri secvenele Walshastfel alese.

NWG

[ ]NWjjN

ikiii xxx

GXWX

=

=

,

21 ....,,


Exemplul 4.8. n cazul secvenelor Walsh de dimensiune N=24=16, vectorii indicicare au un singur 1 n componena lor sunt X8 =(1000), X4 = (0100), X2 =(0010) iX1 =(0001).

Secvenele Walsh corespunztoare sunt:

deci matricea generatoare este:

[ ][ ][ ][ ]1111111100000000

111100001111000011000011110000110110011001100110

1,161

2,162

4,164

8,168

=

=

=

=

WXWXWXWX

=

1111111100000000111100001111000011000011110000110110011001100110

16WG


De exemplu W16,11 este

Avantaj: implementare hardware facil.

[ ] [ ]10010110100101101111111100000000111100001111000011000011110000110110011001100110

101111,16 =

=W

xi,K x i,K-1 ..... x i,1

wi,N wi,N-1 ..... wi,1

Xi

WN,i

4.4.1. Funciile Walsh folosite n IS-95; legtura descendent

n cazul legturii descendente codurile Walsh de lungime 64 sunt folosite attpentru ortogonalizare ct i pentru identificarea canalului. canalul pilot: H0=W64,0 care are toate simbolurile 0 canalul de sincronizare: H32 = W64,32 care corespunde unei secvene

dreptunghiulare cu 32 de simboluri 1 i 32 simboluri 0) ceea ce faciliteazrecepia semnalului i demodularea datelor transmise de ctre toate staiilemobile din zona de acoperire.

canalele de date: codurile Walsh au i rolul de identificare a canalului,realiznd totodat i mprtierea datelor.

Fie di,k simbolul k transmis de utilizatorului i i

( ) ( ) ( ) ( ) ssiSikii TktkTtWEtWdts 1,64,64, +==si,k(t) este simbolul k transmis de staia mobil i; ES reprezint energia pe simbol;W64,i(t) este funcia Walsh 64 cu indice i asociat;TS = perioada de simbol a datelor, egal cu perioada de simbol a secvenei Walsh dac rata datelor este de 19,2 kbps.


semnalul total n BB asociat legturii descendente este (n absenamprtierii PN i filtrrii):

La staia mobil i, receptorul este sincronizat pentru a corela semnalulrecepionat stot(t) cu codul Walsh alocat W64,i(t). Avnd n vedere faptul csecvenele Walsh sunt mutual ortogonale:

Toate celelalte semnale sunt eliminate datorit ortogonalitii

( ) ( ) ( ) ( )==

+==M

issiki

M

iitot TktkTtWdtsts

1,64,

11

( ) ( )( )

( ) ( )( )

ijSjk

Tk

kTijjk

Tk

kTij TddttWtWddttWts

S

S

S

S

== ++ 1

,64,64

1

,64

( ) ( ) ( ) ( )( )

=

+

=

=

=+====

N

j ikss

iksssikijsjk

Tk

kT

N

jkjjkitot

ddacaTE

ddacaTETdTdtWtWddttWts

s

s1

1

1,64,64,64

1

0


receptorul cu corelator este ilustrat n figur:

( ) ( )( )

+ s

s

Tk

kTitot dttWts

1

,64

W64,i(t)

stot(t) di.kTs

Fig. 4.3. Recepia semnalului prin corelare cu funcia Walsh aferent

4.4.2. Funciile Walsh folosite n IS-95; legtura ascendent

Codarea Walsh se folosete numai pentru asigurarea ortogonalitiiutilizatorilor, identificarea acestora fcndu-se cu ajutorul offsetului de fazal codului PN lung.

Att pentru canalul de acces, ct i pentru cel de trafic codarea se face cuajutorul unui modulator ortogonal de dimensiune 64, care este de fapt uncodor bloc.

datele de la intrarea codorului, codate i ntreesute, cu rata de 28,8kbps sunt prelucrate n blocuri de cte 64 simboluri, rezultnd la ieireaacestuia un bloc de 6 simboluri codate.

rata corespunztoare la ieire este de 28,8 x (64/6) = 307,2 kbps.

4.4.2. Funciile Walsh folosite n IS-95; legtura ascendent

S-a ales acest tip de codare este acela de a oferi staiei de baz o msur decoeren pe durata a 6 simboluri codate, care corespunde unei durate de 2bii informaionali datorit faptului c semnalul a fost n prealabil codatconvoluional cu rata 1/3.

Spre deosebire de legtura descendent, n care exist un canal pilot careofer acea referin a timingului i fazei purttoarei, necesare demodulriicoerente, n cazul legturii ascendente nu exist nici un astfel de canal, ceeace face necesar demodularea necoerent. Cu toate acestea referin detimp poate fi extras dintr-un bloc de 64 de simboluri codate.

Regula de selecie folosit n IS-95 este aceea care determin indicelesecvenei generate cu ajutorul matricii Hadamard n conformitate cu regula:

543210 3216842 cccccci +++++=

4.5. Funciile Walsh folosite n CDMA2000

Sistemele de generaia a III-a utilizeaz rate de date mult mai largi dectsistemul IS-95, ceea ce permite o gam mai larg de aplicaii, de la simpletransmisii vocale la transmisii multimedia sau de date, continuu sau subform de pachete, cu rate ridicate i cu cerine de QoS diverse.

Din acest motiv ele folosesc coduri Walsh cu lungime variabil, pentru a seadapta la ratele datelor de intrare; dac rata datelor crete, perioada desimbol a datelor scade, i, cum rata final a datelor trebuie s fie constant,lungimea codurilor Walsh variaz:

n cazul datelor cu rate ridicate se folosesc coduri Walsh mai scurte;

n cazul datelor cu rate sczute se pot folosi coduri Walsh mai lungi, obinndu-se factori de mprtiere (FI) diferii. n tabelul 4.7 sunt ilustrate lungimilecodurilor Walsh folosite pentru diferite rate de date i n diferite configuraiiradio, n funcie de tipul de canal.

4.4.2. Funciile Walsh folosite n CDMA2000; legtura ascendent

FI

Lungimea codului Walsh

Walsh 27(128 bii)

Walsh 26(64 bii)

Walsh 25(32 bii)

Walsh 24(16 bii)

Walsh 23(8 bii)

Walsh 22(4 bii)

1 N/A 9,6 kbps N/A N/A N/A N/A

2 N/A 14,4 kbps N/A N/A N/A N/A

3 N/A 9,6 kbps 19,2 kbps 38,4 kbps 76,8 kbps 153,6 kbps

4 9,6 kbps 19,2 kbps 38,4 kbps 76,8 kbps 153,5 kbps 307,2 kbps

5 N/A 14,4 kbps 28,8 kbps 57,6 kbps 115,2 kbps 230,4 kbps


Dac se folosesc codurile Walsh cu rat variabil, codurile cu lungime mare derivdin cele cu lungime mic. n aceast situaie utilizarea unui cod de lungime mic vaexclude utilizarea tuturor acelor coduri de lungime mai mare derivate din acesta,deoarece nu se mai pstreaz proprietile de ortogonalitate.

De exemplu, dac pentru transmisia unor date cu rat ridicat se folosete codulWalsh W4,2 corespunztor secvenei Hadamard H4,2=[1,1,0,0], toate codurile delungime mai mare derivate din acesta (care ncep cu secventa [1,1,0,0] nu mai pot fifolosite.

n cazul sistemelor derivate din IS-95 (CDMA2000, etc) codurile Walsh seidentific n acest caz prin rndul din matricea Hadamard prin intermediul crora aufost generate.

Dac s-a folosit secvena de lungime 4 cu indicele 2=[1,0], vor fi blocate secveneleal cror indice se termin cu [1,0] (pentru secvenele de lungime 8 indicii[0,1,0]=2; [1,1,0]=6; pentru secvenele de lungime 16 indicii [0,0,1,0]=2;[0,1,1,0]=6; [1,0,1,0]=10; [1,1,1,0]=14, .a.m.d.)

cap5 codurile walsh

Documents