cap7 parte i - rootlocus
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1/Cap.7
ROOT LOCUS
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INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2007/2008
Transparências de apoio às aulas teóricas
Cap. 7 - Parte I Root Locus
Maria Isabel RibeiroAntónio Pascoal
Maio de 2008
Todos os direitos reservadosEstas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram
elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores
CONTROLO
2º semestre – 2007/2008
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ROOT LOCUS
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Root Locus: O que é?
• Root Locus = Lugar das Raízes
• Root Locus – método do Lugar Geométrico das Raízes – diagrama de Evans (Evans –1948, 1950)
• Que raízes?
– Do polinómio denominador da função de transferência em cadeia fechada
• Como função dos pólos e dos zeros da função de transferência em cadeia aberta.
• Sem factorizar o polinómio denominador da função de transferência em cadeia fechada.
• O que é?
– Representação gráfica da localização dos pólos de um sistema em cadeia fechada como função de um parâmetro do sistema
• Usualmente, este parâmetro é um ganho da cadeia aberta
• Para que serve ?
– Para apoio à síntese de controladores
– Suporte à avaliação das características da resposta no tempo do sistema em cadeia fechada como função da variação de parâmetros
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Exemplo Motivadorsistema de controlo de temperatura de uma sala
1Kcr +
_e
1s1+
m
sKK)s(G 2
1c += controlador proporcional integral
s/K2
+
+
sKsK)s(G 21
c+
= 1 pólo na origem e 1 zero
com controlador I
com controlador PI
com controlador P
Exemplo visto a propósito de errosem regimeestacionário
• Como dimensionar o valor dos ganhos por forma a satisfazerespecificações:
• relativas ao erro em regime estacionário• e à resposta no tempo do sistema em cadeia fechada?
pólos do sistema em c.fQual é a localização dos pólos da f.t.c.f como função do valor dos ganhos?
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Root Locus: Formulação
Como variam os pólos do sistema em cadeia fechada como função do ganho K ?
K )s(G
)s(H
+
_
)s(R )s(C
f.t.cadeia aberta (f.t.c.a.) = )s(H)s(KG
f.t.cadeia fechada (f.t.c.f.) =)s(H)s(KG1
)s(KG+
• Hipótese 1: Calcular explicitamente a f.t.c.f e factorizar o polinómio denominador
• Hipótese 2: a partir do conhecimento da f.t.c.a. usando o Root Locus
resposta
Dados
Pólos e zeros da f.t.c.a Pólos da f.t.c.fRoot Locus
Sem factorização do polinómio denominador da f.t.c.f
E os zeros da f.t.c.f ?
f.t.cadeia de retroacção
f.t.cadeia de acção
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Pólos e Zeros da f.t.c.f
K )s(G
)s(H
+
_
)s(R )s(C
)s(D)s(N)s(G
G
G=
)s(D)s(N)s(H
H
H=
)s(D)s(D)s(N)s(NK1
)s(D)s(NK
)s(H)s(KG1)s(KG
)s(R)s(C
HG
HG
G
G
+=
+=
)s(N)s(KN)s(D)s(D)s(D)s(KN
)s(R)s(C
HGHG
HG
+=
{ } { } { })s(H de ólosp)s(G de zerosf.c.t.f da zeros ∪=
não variam com K
.f.c.t.f da pólos • variam com K
• não podem ser conhecidos imediatamente
• O Root Locus é um método gráfico que permite avaliar a localização dos pólos da f.t.c.f. sem factorizar o polinómio denominador dessa f.t.
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Exemplo
CameraMan Presenter Camera System
Faz o seguimento automático de objectos
Con
trol S
yste
ms
Eng
inee
ring
Nor
man
Nis
e
1K+
_
)s(R )s(C)10s(s
K2
+
amplificadorMotor e camâra
sensores
posição da
câmara
posição do
objecto
Ks10sK
2 ++
)s(R )s(C
21KKK =0Ks10s)s(D 2 =++=
pólos da f.t.c.f
K255s 2,1 −±−=
xxσ
jw
<>10−
K=0 K=0
5s ,5s 25K 21 −=−==
K=2525Kj5s 25K 2,1 −±−=>
10s ,0s 0K 21 −===
O root-locus é sempre simétrico relativamente ao eixo realComo varia a resposta do sistema em c.f. a uma entrada escalão para valores crescente de K, com K>25?
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Princípio subjacente
)s(H)s(KG1)s(KG)s(T
+=
Se s é pólo de T(s)
0)s(H)s(KG1 =+ 1)s(H)s(KG −=
Zk ,º180)1k2())s(H)s(KGarg(1)s(H)s(KG
∈+=
=
ℜ∈K
Root-Locus = conjunto dos valores de s que satisfazemsimultaneamente
1)s(H)s(KG =
Zk ,º180)1k2())s(H)s(KGarg( ∈+=
• condição de módulo
•condição de argumento
equação característica
Comando MATLABrlocus
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Princípio subjacente
∏
∏
=
=
+
+= n
1ii
m
1ii
)p(s
)z(sKKG(s)H(s)
• condição de argumento
+= )Karg())s(H)s(KGarg(π+=+−++ ∑∑
==
)1k2()psarg()zsarg(n
1ii
m
1ii
K>0
π+=+−+= ∑∑==
)1k2()psarg()zsarg())s(H)s(KGarg(n
1ii
m
1ii
π=+−+= ∑∑==
)k2()psarg()zsarg())s(H)s(KGarg(n
1ii
m
1ii
K<0
A condição de argumento permite determinar os
pontos do plano que pertencem ao root-locus
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Princípio subjacente
∏
∏
=
=
+
+= n
1ii
m
1ii
)p(s
)z(sKKG(s)H(s)
• condição de módulo
1ps
zsK n
1ii
m
1ii
=+
+
∏
∏
=
=
∏
∏
=
=
+
+= m
1ii
n
1ii
zs
psK
A condição de módulo permite calcular o valor de K
correspondente a cada localização particular das
raízes sobre o lugar geométrico
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Root Locus - exemplo
O ponto s1=–2+j3 pertence ao root-locus?
Se pertencer satisfaz as condições do módulo e de argumento
condição de argumento
−++++= )]4sarg()3s[arg()Karg())s(H)s(KGarg( 1111
)]2sarg()1s[arg( 11 +++−
][][)Karg())s(H)s(KGarg( 341211 θ+θ−θ+θ+=
º90º43.108º31.56º57.71)Karg())s(H)s(KGarg( 11 −−++=
º55.70)Karg())s(H)s(KGarg( 11 −= Nunca pode ser um múltiplo impar de 180º
s1=–2+j3 NÃO é pólo do sistema em c.f.
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Root Locus - exemplo
)5s](4)2s[(s)3s(K
2 +++++
-
O ponto s1=-1 pertence ao root-locus?
xx
x
x
o-5
-2-3
j2
-j2
s1
arg(KG(s1))=(2k+1)π ?
K > 0
1θ2θ
3θ
4θ
5θ
)())1(KGarg( 54321 θ+θ+θ+θ−θ=−
Soma = zero
0º0º 180º
º180))s(KGarg( 1 = 1s1 −= pertence ao root-locus
Qual é o valor do ganho K para o qual o sistema em c.f. tem um pólo em -1?
Para s = -1 a condição de módulotem que ser verificada
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Root Locus - exemplo
)5s](4)2s[(s)3s(K
2 +++++
-
xx
x
x
o-5
-2-3
j2
-j2
s1
K > 0
3θ
1)1(KG =−
condição de módulo
aplicada em s = -1
1M2M
3M
4M
45 MM =
( ) 121x1x4
2KMMMM
MK)1(GK 2225432
1 =+
==−
10K =
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Regras para a construção
REGRA 1 – Número de ramos
)s(D)s(NK)s(H)s(KG = grau de N(s) = m
grau de D(s) = n
assume-se n ≥ m
Ramo = lugar geométrico definido por um pólo do sistema em c.f. quando K varia
Nº de Ramos = n = número de pólos do sistema em cadeia fechada
0)s(H)s(KG1 =+ 0)s(KN)s(D =+
• REGRA 2 – Simetria
Os pólos de sistemas realizáveis (sistemas físicos) são,Reais, ou
Complexos – ocorrendo aos pares complexos
conjugados
O root-locus é simétrico relativamente ao eixo real
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Regras para a construção
REGRA 3 – Troços sobre o eixo real
São troços do root-locus os pontos do eixo real que tenham à sua direita um número ímpar depólos e/ou zeros da f.t.c.a.
K>0
condição de argumento
∏
∏
=
=
+
+= n
1ii
m
1ii
)ps(
)zs(K)s(H)s(KG K>0
π+=+−+= ∑∑==
)1k2()psarg()zsarg())s(H)s(KGarg(n
1ii
m
1ii
Locus Roots Se ∈
-zi -zi
0º180º
-pi -pi
0º180ºx x
1θ
2θ
021 =θ+θ
1θ
2θ
021 =θ+θ
para pólos é idêntico
para pólos é idêntico
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Regras para a construção
• REGRA 3 – Troços sobre o eixo realcontinuação
Locus Roots 1 ∈
• Pólos e zeros (f.t.c.a.) à esquerda de s1 contribuem com 0º
• Pólos e zeros (f.t.c.a.) à direita de s1 contribuem com 180º
• A contribuição de um par de pólos e ou de zeros complexos conjugados é nula
Exemplos troços do eixo real
xxsó estão indicados os troços do eixo real
x
xsó estão indicados os troços do eixo real
x
xNão tem troços noeixo real
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Regras para a construção
• REGRA 4 – Ponto de partida dos ramos
• onde se inicia cada ramo do root-locus (K=0) ?
)s(N)s(KN)s(D)s(D)s(D)s(KN
)s(H)s(KG1)s(KG)s(T
HGHG
HG
+=
+=
)s(D)s(N)s(G
G
G=)s(D)s(N)s(H
H
H=
{ }0)s(N)s(KN)s(D)s(D:s.f.c.t.f da pólos HGHG =+=
)s(D)s(D)s(N)s(NK)s(H)s(KG
HG
HG=f.t.c.a.
f.t.c.f.
grau(NG(s)NH(s))=m
grau(DG(s)DH(s)+KNG(s)NH(s))=n m≥
{ }0)s(D)s(D:s.f.c.t.f da pólos lim HG0K
==+→
pólos da f.t.c.a.
os pontos de partida (K=0) dos ramos do root-locus coincidem com os pólos da f.t.c.a.
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Regras para a construção
• REGRA 5 – Ponto de chegada dos ramos
)s(N)s(KN)s(D)s(D)s(D)s(KN
)s(H)s(KG1)s(KG)s(T
HGHG
HG
+=
+=
• n ramos• onde termina cada ramo do root-locus (K=∞) ?
• m ramos tendem para os zeros da f.t.c.a.• n-m ramos tendem para infinito
Estes n-m ramos tendem para infinito segundo assímptotasRegra 8 – ângulo que as assímptotas fazem com o eixo real
0)s(H)s(KG1 =+
∞→K Quando 0)s(H)s(G →
para ser satisfeita a condição
0)s(D)s(D)s(N)s(N)s(H)s(G
HG
HG →= { })s(N)s(N de zeross HG→
• m zeros• m ramos do root-locus tendem
para os zeros da f.t.c.a.
∞→sn-m ramos do root-locus tendem para infinito
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Regras para a construção
Exemplos)2s)(1s(s
K)s(H)s(KG++
=
Algumas conclusões:
• Para o sistema em cadeia fechada tem todos os seus pólos reais
• Qual é o valor de K1?
• Para o sistema em cadeia fechada é estável
• Para K=K2 o sistema é marginalmente estável
• Qual é o valor de K2 ?
• Para K>K1 o sistema apresenta uma sobreelevação na
resposta ao escalão.
• Qual é o valor aproximado de K que conduz a uma sobreelevação de 20% ?
1KK0 ≤≤
2KK0 <≤
Regra – pontos de entrada e saída do eixo real
• Usar o root-locus• Usar o critério de Routh-Hurwitz
num=[0 0 0 1];den=[1 3 2 0];sys=tf(num,den);rlocus(sys)
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Exemplos)2s)(1s(s
K)s(H)s(KG++
=
β= js2
2K
• seja s2 o ponto de cruzamento com o eixo imaginário
x x x
π+= )1k2())s(H)s(KGarg( 22
( )32122 ))s(H)s(KGarg( θ+θ+θ−=
s2 pertence ao root-locusa condição de argumento é satisfeita para s2
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ β+β+−= )2(arctg)(arctgº90
π+= )1k2(
1θ2θ
3θ
2=β
a condição de módulo é satisfeita para s2
1)j(H)j(KG =ββ
22
22
2 41
4111
)2()2(1 βββ
βββ
++=
++
==jHjG
K
2js2 =
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Exemplos
)2s)(1s()4s)(3s(K)s(H)s(KG
++++
=
x xoo
K1=?K2=?
num=[1 7 12];den=[1 3 2];rlocus(num,den);axis([-5 1 -1.5 1.5]);
)4s)(2s)(1s(s)3s(K)s(H)s(KG
++++
=
o xxx x
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Regras para a construção
• REGRA 6 – Pontos de entrada e de saída do eixo real
Ponto de entrada no eixo real = break-in pointPonto de saída do eixo real = breakaway point
breakaway pointbreak-in point
oo ox x x xxx
• O ponto de saída do eixo real ocorre para um máximo relativo do ganho
• O ponto de entrada no eixo real ocorre para um mínimo relativo do ganho
maior valor de K que ainda conduz a pólos reaismenor valor de K que já
conduz a pólos reais
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• REGRA 6 – Pontos de entrada e de saída do eixo real
)1s(sK)s(H)s(KG+
=
xx >
>
>
> 1KK =
relativo máximo?KK 1 ==
0)1s(s
1K1 =+
+
)1s(sK +−=
01s2dsdK
=−−= 21s −=
todos os do root-locus satisfazem
41K =
cálculo do máximo relativo
ℜ∈s
breakaway point valor do ganho correspondente ao breakaway point
-1
• equidistante dos dois pólos da f.t.c.a.• analogia com um sistema de cargas eléctricas
• repulsão pelos pólos• atracção pelos zeros
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• REGRA 6 – Pontos de entrada e de saída do eixo real
0)s(H)s(KG1 =+
0)(H)(KG1 =σσ+
)(H)(G1K
σσ−=
0ddK
=σ
equação característica
LocusRoots e s Para −∈ℜ∈σ=
cáculo de máximos e mínimos relativos
Valores (do eixo real) dos pontos do root-locus que são breakaway e break-in points
Os valores correspondentes de K
condição necessária mas não suficiente
todos os pontos de saída/entrada no eixo real satisfazem esta relação
nem todas as soluções desta equação são sempre pontos de saída ou de entrada no eixo real
é preciso confirmar se as soluções encontradas estão sobre troços que pertencem ao root-locus
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Regras para a construção• REGRA 6 – Pontos de entrada e de saída do eixo real
Exemplos)2s)(1s()5s)(3s(K)s(H)s(KG
++−−
=
o oxx
0)2s)(1s()5s)(3s(K1)s(H)s(KG1 =
++−−
+=+
0)5s)(3s(K)2s)(1s( =−−+++
)5s)(3s()2s)(1s(K
−−++
−=
0)15s8s(
)61s26s11(dsdK
2
2
=+−
−−=
81.3s1 =
45.1s2 −=
?K1 =
?K2 =
break-in point
breakaway point
1s2s
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Regras para a construção
• O ângulo entre dois ramos adjacentes que se aproximam (ou que se afastam) do mesmo ponto do eixo real é dado por:
• O ângulo entre dois ramos adjacentes, um chegando e outro partindo do mesmo ponto do eixo real é dado por:
• REGRA 7 – Ângulos de partida e de chegada ao eixo real
α = nº de ramos que se cruzam num ponto do eixo real
α±=λ
º360
α±=θ
º180
Exemplos
oo ox x x xxx
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• REGRA 7 – Ângulos de partida e de chegada ao eixo real
Exemplos
x
xx >
>>
>
x
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Regras para a construção
• REGRA 8 – Comportamento assimptótico
ângulo das assímptotas com o eixo realcentro assimptótico
• Quando n-m ramos tendem para infinito∞→K
ao longo de assímptotasn-m assímptotas
• As assímptotas cruzam-se num ponto do eixo real (centro assimptótico)
mn
)s(H)s(G de zeros)s(H)s(G de pólosn
1i
m
1ia −
−=σ
∑ ∑= =
• O ângulo das assímptotas com o eixo real é dado por
1mn,...,2 ,1 ,0k ,mn
)1k2(a −−=
−π+±
=φ
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Regras para a construção
• REGRA 8 – Comportamento assimptótico
ângulo das assímptotas com o eixo real - demonstração
• O ângulo das assímptotas com o eixo real é dado por
1mn,...,2 ,1 ,0k ,mn
)1k2(a −−=
−π+±
=φ
Demonstração:
∏
∏
=
=
+
+= n
1ii
m
1ii
1
)ps(
)zs(KK)s(H)s(KG
mn1
sK K)s(H)s(KG −≅∞→s
Como s pertence ao Root-Locus 1s
K K)s(H)s(KG mn1 −=≅ −
condição de módulomn
1 sKK −=−
condição de argumento )sarg()KKarg( mn1
−=−
)sarg()mn()KKarg( 1 −=−
)sarg()mn()1k2( −=π+
)mn()1k2()sarg(
−π+
=
Para K>0 e K1>0
Para referência. Leitura opcional
29/Cap.7
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Regras para a construção
• REGRA 8 – Comportamento assimptótico
ângulo das assímptotas com o eixo realcentro assimptótico
Exemplos)2s)(1s(s
K)s(H)s(KG++
=
3 ramos, todos a terminar em infinito
3 assímptotas
ângulos das assímptotas com o eixo real
1mn,...,2 ,1 ,0k ,mn
)1k2(a −−=
−π+±
=φ º60,º180,º60 −
centro assímptótico
1mn
)s(H)s(G de zeros)s(H)s(G de pólosn
1i
m
1ia −=
−
−=σ
∑ ∑= =
x x x60º
30/Cap.7
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Root-Locus - Exemplo
)6s)(1s(s)1s(K)s(H)s(KG+−
+=
• 3 ramos• 2 ramos a terminar no infinito = 2 assímptotas• Ângulo das assímptotas com o eixo real= 90º, -90º• Centro assimptótico
213
)1()610(a −=
−−−−+
=σ
xxx o
• Ponto de saída do eixo real
1s6)1)(s-s(s-K 0)s(H)s(KG1
++
=⇒=+
0)1s(
6s10s8s2dsdK
2
23
=+
−++−=
?
?
31/Cap.7
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Root-Locus – Exemplo (cont)
• Ponto de saída do eixo real
1s6)1)(s-s(s-K 0)s(H)s(KG1
++
=⇒=+
0)1s(
6s10s8s2dsdK
2
23
=+
−++−= 42.1j22.2s 2,1 ±−=
43.0s3 =
Não pertencem ao root-locusNão podem ser pontos de
saída de ramos do eixo real
breakaway point
• Ponto de cruzamento com o eixo imaginário e ganho correspondente
• Método 1 – critério de Routh-Hurwitz• Método 2 – Root-Locus
• Ponto de cruzamento - Condição de ângulo• Ganho correspondente – Condição de módulo
Calcule o ganho correspondente
0)1s(K)6s)(1s(s =+++− 0Ks)6K(s5s 23 =+−++eq.característica
Ks
0as
K5s
6K1s
0
1
2
3 −5
)6K(5Ka −−−=
0a =⇐=4
30K linha de zeros
04
30s5)s(Q 2 =+=23js ±=
32/Cap.7
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Root-Locus – Exemplo (cont)
• Ponto de cruzamento com o eixo imaginário e ganho correspondente
• Método 1 – critério de Routh-Hurwitz• Método 2 – Root-Locus
• Ponto de cruzamento - Condição de ângulo• Ganho correspondente – Condição de módulo
xxx o
)6s)(1s(s)1s(K)s(H)s(KG+−
+=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ α++α−−α= )6(arctgº90)(arctg180)(arctg))s(H)s(Garg( 1
1111
11 js α=
23
1 =α 23js1 =
condição de módulo
?K =
condição de argumento
E para este valor de K qual é o pólo real em cadeia fechada?
βαβαtgtgtgtgβ)tg(α.1−
+=+
33/Cap.7
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Regras para a construção• REGRA 9 – Soma dos pólos
)s(D)s(N)s(H)s(G = grau N(s) = m
grau D(s) = n
Se n-m ≥ 2 K ,f.c.t.f da pólosa.c.t.f da pólosn
1i
n
1i∀= ∑∑
==
Demonstração:
n2n
21n
1n r....srsrs
)s(N)s(D)s(N)s(H)s(G
++++== −−
cadeia aberta
∏=
−− λ+=++++n
1iin
2n2
1n1
n )s(r....srsrs
∑=
λ=n
1ii1r
cadeia fechada
0)s(H)s(KG1 =+ 0r....srsrs
)s(NK1n
2n2
1n1
n =++++
+ −−
0)s(N Kr....srsrs n2n
21n
1n =+++++ −−
)ps(0d....sdsdsn
1iin
2n2
1n1
n ∏=
−− +==++++
iλ− pólo da f.t.c.a.
ip− pólo da f.t.c.f.∑=
=n
1ii1 pd
Se n-m ≥ 2 11 rd = ∑∑==
λ=n
1ii
n
1iip
Para referência. Leitura Opcional
Soma dos pólos em cadeia aberta = Soma dos pólos em cadeia fechadaSe n-m ≥ 2
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Regras para a construção
• REGRA 9 – Soma dos pólos
Exemplos
)6s)(1s(s)1s(K)s(H)s(KG+−
+=
xxx o
5.7K2
3js
=
=
Para K=7.5 onde está o outro pólo da f.t.c.f ?
K ,f.c.t.f da pólosa.c.t.f da pólos3
1i
3
1i∀= ∑∑
==
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−=−+ 3p2
3j23j)610(
5p3 −=
x?
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Regras para a construção
REGRA 10 – Ângulo de partida de um pólo e de chegada a um zero
Exemplos
]4)4s)[(4s(s)2s(K)s(H)s(KG 22 +++
+=
x
x
x
xo
310
14)2()j44j4440(
a −=−
−−+−−−−=σ
centro assimptótico
ângulos das assimptotas com o eixo real = 60º, 180º,-60º
Como saem os ramos dos pólos complexos conjugados?
usar a condição de argumento
só troços do eixo real
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Regras para a construção
REGRA 10 – Ângulo de partida de um pólo e de chegada a um zero
Exemplos
]4)4s)[(4s(s)2s(K)s(H)s(KG 22 +++
+=
x
x
x
xo
Circunferência de raio εε 0
1θ 2θ3θ
4θ
5θ
)())s(H)s(Garg( 5432111 θ+θ+θ+θ−θ=
s1 – que se admite pertencente ao root-locus
π+=θ+++−−= )1k2()º90º90º135()2arctg180())s(H)s(Garg( 511
incógnitaº4.185 −=θ
só troços do eixo real
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Regras para a construção
REGRA 10 – Ângulo de partida de um pólo e de chegada a um zero
Exemplos
]4)4s)[(4s(s)2s(K)s(H)s(KG 22 +++
+=
-18.5º
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x x
x
x
Root-Locus – Exemplo 1
]4)1s)[(2s(sK)s(H)s(KG 2 +++
=
centro assimptótico
14
j21j2120a −=
+−−−−=σ
ângulo das assímptotas com o eixo real
4)1k2(
assπ+±
=φ º45,º225,º135,º45ass −=φ
breakaway points
)s10s9s4s(K 234 +++−=
0)10s18s12s4(dsdK 23 =+++−=
25.1j1s25.1j1s
1s
−−=+−=
−=
>
>
>
>>
>
breakaway point
?K =
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Root-Locus – Exemplo 1
]4)1s)[(2s(sK)s(H)s(KG 2 +++
=
breakaway points
)s10s9s4s(K 234 +++−=
0)10s18s12s4(dsdK 23 =+++−=
25.1j1s25.1j1s
1s
−−=+−=
−=
breakaway point
K=4
K=4
K=?
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Root-Locus – Exemplo 2
]1)4s)[(8s(sK)s(H)s(KG 2 +++
=
centro assimptótico
44
j4j480a −=
+−−−−=σ
ângulo das assímptotas com o eixo real
4)1k2(
assπ+±
=φ º45,º225,º135,º45ass −=φ
breakaway points
)s136s81s16s(K 234 +++−=
0)136s162s48s4(dsdK 23 =+++−=
26.1s4s
74.6s
−=−=−=
16K =
?K =
?K =
< <<< < <
41/Cap.7
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Root-Locus – Exemplo 2
]1)4s)[(8s(sK)s(H)s(KG 2 +++
=
breakaway points
)s136s81s16s(K 234 +++−=
0)136s162s48s4(dsdK 23 =+++−=
26.1s4s
74.6s
−=−=−=
16K =
?K =
?K =
break-in pointbreakaway pointbreakaway point
42/Cap.7
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Root-Locus – Exemplo 3
)9s)(8s)(5.0s(s]1)5.1s[(K)s(H)s(KG 2
22
+++++
=
centro assimptótico
83.425
)j5.1j5.1()985.00(a −=
−−−+−−−−−
=σ
ângulo das assímptotas com o eixo real
3)1k2(
assπ+±
=φ º60,º180,º60ass −=φ
x x xo
o
K2
estabilidade
xx
instável KK0 1 →<<estável ntemarginalme KK ,KK 21 →==
K1
estável KKK 21 →<<
instável KK 2 →>
43/Cap.7
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Root-Locus vs qualquer parâmetro
K1s
1+ s
1
2k
+-
Pergunta: Para K fixo, como é que os pólos da f.t.c.f. variam com k2 ?
Pergunta: Pode usar-se o Root-Locus ?
5K =
)s(R )s(C
)sk1()1s(s
51
)1s(s5
)s(R)s(C
2++
+
+=5)k51(ss
5)s(R)s(C
22 +++
=
05)k51(ss 22 =+++
0s5k)5ss( 22 =+++
05ss
s5k1 22 =++
+
o
x
x
Root-locus como função de k2
++
44/Cap.7
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Root-Locus para Ganhos Negativos
K )s(G
)s(H
+
_
)s(R )s(C
0K <
Equação característica
Condição de módulo
Condição de argumento
Regras que são alteradas
• troços do eixo real pertencem ao root-locus se tiverem à direita um número par de pólos e/ou zeros da f.t.c.a.
• ângulo das assímptotas com eixo real=
• os ângulos de partida e chegada satisfazem a nova condição de argumento e diferem, portanto, de 180º dos calculados para K positivo.
0)s(H)s(KG1 =+ 1)s(H)s(KG −=
1)s(H)s(KG =é independente do sinal de K
Zk ,k2))s(H)s(Garg( ∈π=
Apenas são alteradas as regras nas quais intervém a condição de argumento
1,...,1,0,2−−=
−±
=Φ mnkmnk
a π
45/Cap.7
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Root-Locus para K negativo
)2s2s(sK
2 ++
+
_
)s(R )s(C
Exemplo
retroacção negativa
Root-locus• retroacção negativa• K>0
Root-locus• retroacção positiva• K<0
x
x
x
K>0
K<0
>
>
>
>
46/Cap.7
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Cancelamento pólo-zero no Root-Locus
K1s2s
++
s1
α
+-
)s(R )s(C
++
Root-Locus como função de K
K1s2s
++
s1+
-)s(R )s(C
α+ s1
G(s)
H(s)
)1s()1s(s
2sK)s(H)s(KG +α+
+=
1 Para =α H(s) tem um zero igual a um pólo de G(s)
Pode cancelar-se ?
s2sK)s(H)s(KG +
=Se houver cancelamento
Root-Locus tem um único ramo
xo
47/Cap.7
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Cancelamento pólo-zero no Root-Locus
)1s()1s(s
2sK)s(H)s(KG +α+
+=
)1s()1s(s
2sK1
)1s(s2sK
)s(H)s(KG1)s(KG
)s(R)s(C
++
++
++
=+
=
f.t.c.a.
f.t.c.f.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+++
++=
++++
=
K1K2s)1s(
)2s(K1
K
]K2s)K1)[(1s()2s(K
)s(R)s(C
Pólo fixo independente de K
xo-2
x
Pólo da f.t.c.f. independente de K
xo
x Pólo da f.t.c.f.
não é zero da f.t.c.f
1 Para =α H(s) tem um zero igual a um pólo de G(s)
Pode cancelar-se ? NÃO