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Centro de Gravedad yCentroide99
Estática
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Objetivos
• Concepto de centro de gravedad, centro de masas ycentroide
• Determinar la localización del centro de gravedad y del
centroide para un sistema de partículas discretas ypara un cuerpo de forma arbitraria
• Teoremas de Pappus y Guldinus
• Mtodo para encontrar la resultante de una carga
distribuida de manera general
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Índice
!" Centro de Gravedad y Centro de Masas par un#istema de Partículas
$" Cuerpos compuestos
%" Teoremas de Pappus y Guldinus&" 'esultantes de cargas distribuidas
(" Presión de un fluido
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9.1 Centro de Gravedad y Centro deMasas para un Sistema de Partícuas
Centro de Gravedad
• )ocaliza el peso resultante de un sistema departículas
• Consideramos un sistema de n partículas fi*o dentrode una región del espacio
• )os pesos de las partículas pueden reempazarse poruna +nica e-uivalente. resultante con un punto de
aplicación G bien definido
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9.1 Centro de Gravedad y Centro deMasas para un Sistema de Partícuas
Centro de Gracedad
• Peso resultante / peso total de las n partículas
• #uma de los momentos de los pesos de todas laspartículas respecto a los e*es 0, y, z a0es / momentodel peso resultante respecto a esos e*es
• #uma de momentos respecto al e*e 0,
• #uma de momentos respecto al e*e y,
W R=∑W
̄x W R=̃ x1W 1+̃ x2W 2+. ..+̃ xn W n
̄y W R= ̃ y
1W
1+ ̃ y
2W
2+.. .+ ̃ y n W n
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9.1 Centro de Gravedad y Centro deMasas para un Sistema de Partícuas
Centro de Gravedad
• 1un-ue los pesos no producen momento sobre el e*ez, podemos rotar el sistema de coordenadas 234
respecto al e*e x o y . con las partículas fi*as y sumarlos momentos respecto al e*e x o y .,
• De manera general, si g es constante,
̄z W R=̃ z
1W
1+̃ z
2W
2+. . .+̃ z
nW
n
̄x=∑ ̃x m∑m;̄ y=∑ ̃ y m∑ m
,̄ z=∑ ̃z m∑ m
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9.1 Centro de Gravedad y Centro deMasas para un Sistema de Partícuas
Centro de Masas
• 5a -ue el peso es 6 / mg
• 7sto implica -ue el centro de gravedad coincide conel centro de masas
• )as partículas tienen peso solo ba*o la influencia de
una atracción gravitatoria, mientras -ue el centro demasas es independiente de la gravedad"
̄x=∑ ̃ x m
∑ m;̄ y=
∑ ̃ y m
∑ m,̄ z=
∑ ̃ z m
∑ m
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9.1 Centro de Gravedad y Centro deMasas para un Sistema de Partícuas
Centro de Masas
• 8n cuerpo rídigo est9 compuesto por un n+meroinfinito de partículas
• #i consideramos una partícula arbitraria de peso d6
̄x=
∫ ̃x dW
∫ dW ;̄ y=∫ ̃y dW
∫dW ;̄ z=∫ ̃z dW
∫dW
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9.1 Centro de Gravedad y Centro deMasas para un Sistema de Partícuas
Centroide de un :olumen
• Consideremos un ob*eto subdivididos en elementosde volumen d:" Para la localización del centroide,
̄x=
∫V
̃x dV
∫V
dV ;̄ y=
∫V
̃y dV
∫V
dV ;̄ z=
∫V
̃z dV
∫V
dV
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9.1 Centro de Gravedad y Centro deMasas para un Sistema de Partícuas
Centroide de un ;rea
• Para el centroide de la superficie de un ob*eto, talcomo una placa o un disco, subdividimos el 9rea en
elementos diferenciales dA
̄x=
∫ A
̃x dA
∫ A
dA;̄ y=
∫ A
̃ydA
∫ A
dA;̄ z=
∫ A
̃z dA
∫ A
dA
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9.1 Centro de Gravedad y Centro deMasas para un Sistema de Partícuas
Centroide de una )ínea
• #i la geometría de un ob*eto toma la forma de unalinea, el balance de los momentos de cada elemento
diferencial dL respecto a cada e*e, resulta
̄x=
∫ L
̃x dL
∫ L dL;̄ y=
∫ L
̃y dL
∫ L dL;̄ z=
∫ L
̃zdL
∫ L dL
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Ejempo
)ocalice el centroide de la barra doblada formando unarco parabólico
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Souci!n
7lemento diferencial
)ocalizado sobre la curva en un punto arbitrario 0, y.
;rea y
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Souci!n
>ntegrando
̄x=∫ L
̃x dL
∫ L dL=∫ x √ 4y2+1 dy
∫√ 4y2
+1 dy
=∫ y 2√ 4y2+1 dy
∫ √ 4y2
+1 dy0.6063
1.479 =0.410 m
̄y=
∫ L
̃y dL
∫ L
dL =∫ y √ 4y2+1 dy
∫ √ 4y2+1 dy
0.8484
1.479=0.574m
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9." Cuerpos compuestos
• Consisten en una serie de cuerpos ?m9s simples@ e*"rectangulares, triangulares o semicirculares.conectados entre sí
• 8n cuerpo puede ser seccionado en sus partescomponentes
• Para un n+mero finito de pesos tenemos
̄x=∑ ̃x W
∑W ̄y=∑ ̃y W
∑W ̄z=∑ ̃z W
∑W
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9." Cuerpos compuestos
Procedimiento de 1n9lisis
#umas
• Determinar las coordinadas del centro de gravedad
aplicando las ecuaciones del centro de gravedad• #i un ob*eto es simtrico respecto a un e*e" 7l
centroide est9 localizado en ese e*e
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Ejempo
)ocalizar el centroide de la placa"
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Souci!n
Partes
Dividimos la placa en % segmentos"
7l 9rea del rect9gulo pe-ueBo se puede considerar
?negativa@"
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Souci!n
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9.# $eoremas de Pappus y Gudinus
• 8na superficie de revolución se genera rotando unacurva plana alrededor de un e*e fi*o en el plano de lacurva
•8n volumen de revolución se genera rotando un 9reaplana alrededor de un e*e fi*o en el plano del 9rea
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9.# $eoremas de Pappus y Gudinus
• #e usan los teoremas de Pappus y Guldinus paraencontrar las superficies y los volumenes de cual-uierob*eto de revolución siempre -ue las curvas y 9reasgeneradoras no crucen el e*e respecto al cual sonrotadas
;rea de una #uperficie
• 7l 9rea de una superficie de revolución / producto dela longitud de la curva por la distancia -ue recorre elcentroide al generar la superficie
A=θ ̄r L
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9.# $eoremas de Pappus y Gudinus
:olumen
• :olumen de un cuerpo de revolución / producto del9rea generadora por la distancia via*ada por el
centroide al generar el volumenV=θ ̄r A
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Ejempo
Demuestre -ue el 9rea de la superficie de una esfera es1 / &'$ y su volumen : / &=% '%"
Souci!n;rea de la superficie
Generada por el semicírculo rotando alrededor del e*e 0
Para el centroide,
Para la superficie 9rea,̄r =2R /π
A=θ ̃r L;
A=2π
(2R
π
) πR= 4πR
2
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Souci!n
:olumen
Generado por la rotación de un 9rea semicircularalrededor del e*e 0
Para el centroide,
Para el volumen,̄r=4R /3π
V=θ ̃r A;
V=2π (4R3π ) (
12
πR2)=43
πR 3
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9.% &esutante de una car'a distribuida
Distribución de la presión sobre una superficie
• Consideramos una superficie plana sometida a unacarga por unidad de superficie p / p0, y. Pa
• Determinamos la fuerza d -ue act+a sobre elelemento de 9rea d1 m$ de la placa, localizado en elpunto 0, y.
d / Ep0, y. F=m$d1 m$.
/ Ep0, y. d1 F• )a carga entera se representa
como un infinito n+mero de
fuerzas paralelas actuando
sobre cada diferencial de 9rea
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9.% &esutante de una car'a distribuida
Distribución de la presión sobre una superficie"• 7l sistema se puede simplificar a una fuerza resultante
(' actuando sobre un punto +nico de la placa
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9.% &esutante de una car'a distribuida
Magnitud de la fuerza resultante
• Para determinar la magnitud de (', sumamos lasfuerzas diferenciales d( actuando sobre cada
elemento de 9rea• Magnitud de la fuerza resultante / volumen total eldiagrama distribuido de cargas
• )a localización de la fuerza resultante es
̄x=∫ xρ ( x,y)dA∫ ρ( x,y)dA=∫ xdV ∫ dV
̄ y=
∫ yρ( x,y )dA
∫ ρ( x,y )dA=∫ ydV
∫dV
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9.) Presi!n en *uidos
• De acuerdo a la ley de Pascal, un fluido en reposo creauna presión p en un punto siendo la misma en todaslas direcciones"
• )a magnitud de p
depende del peso específico H o dela densidad m9sica I del fluido, y de la profundidad zdesde la superficie a la -ue se encuentra el puntoconsiderado
p / Hz / Igz
• 7sto solo es v9lido para fluidos incompresibles
• 8n gas es un fluido compresible y la anterior ecuaciónno puede usarse
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9.) Presi!n en *uidos
Placa plana de ancAura constante
• Considere una placa rectangular de espesor constantesumergida en un lí-uido de peso específico H
• 7l plano de la placa forma un 9ngulo con la Aorizontalseg+n se muestra
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9.) Presi!n en *uidos
Placa plana de ancAura constante
• Como la presión varía linealmente con la profundidad,la presión sobre la placa se representa por un volumentrapezoidal, teniendo una intensidad de p
!
/ Hz!
en z!
, y
p$ / Hz
$en z
$
• Magnitud de la fuerza resultante ('
/ volumen del diagrama de cargas
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9.) Presi!n en *uidos
Placa plana curvada de ancAura constante
• Cuando la placa sumergida est9 curvada, la presión-ue act+a normal a la placa cambia continuamente dedirección
• #e puede determinar ', la localización del centroide C,
y del centro de presiones P, por integración
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9.) Presi!n en *uidos
Placa plana de ancAura variable
• Consideramos la distribución de carga -ue act+a sobrela superficie de una placa sumergida de espesorvariable
• )a presión uniforme p / Hz fuerza=9rea. actu9 sobred1, la magnitud del elemento de fuerza d(
d / d: / p d1 / Hz0dyJ.
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9.) Presi!n en *uidos
Placa plana de espesor variable
• 7l centroide CK define el punto en el -ue (' act+a
• 7l centro de presión P -ue se encuentra en lasuperficie de la placa *usto deba*o del centroide delvolumen del diagrama de presiones de C viene dado
por
• 7ste punto no coincide con el centroide de la superficie
de la placa
F R=
∫ ρdA=
∫dV =V
̄x=∫̃ x dV ∫dV
̄y '=∫ ̃y 'dV ∫dV
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Ejempo
Determine la magnitud y localización de la fuerzaAidrost9tica resultante sobre la placa sumergida 1
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Souci!n
)a presión del agua a las profundidades 1 y < son
Para las intensidades de las cargas en 1 y
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Souci!n
Para la magnitud de la fuerza resultante (' creada por la
carga distribuida"
7sta fuerza act+a TAis force act+a sobre el centroide del9rea, a una altura
medida desde <
F R
=ar!a "# $ra%!z"&d
12 (3 )(29.4+73.6 )=154.5N
'= 13 (
2(29.43 )+73.5829. 43+73.58 )(3 )=1.29m
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Soution
7l mismo resultado se puede optener considernado doscomponentes de (
' definidas por el triangulo y rect9ngle"
Cada fuerza act+a a travs de su centroide asociado y
tiene una magnitud de
5 resulta
F Re=(29.43k /m )(3m )=88.3k
F $ =(44.15k /m)(3m )=66.2k
F R
=F R!
(F R=88.3k(66.2k=154.5 k
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!"7l OOOOOOOOO es el punto -ue define el centrogeomtrico de un ob*eto"
1.Centro de gravedad
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%" #i una banda vertical se elige como el elementodiferencial, entonces, todas las variables, incluido loslímites de integración deben de estar en función de OOO "
1. 0
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(" 8n cuerpo compuesto se refiere en este tema a uncuerpo AecAo de OOOO"
1. ibra de carbón y resina
ntegración
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+,-
R" 8nsando la información del centroide, Scu9l es elmínimo n+mero de piezas -ue Aay -ue considerar paradeterminar el 9rea -ue se muestra a la derecAa
1.! t is tilted up by pulling tAe Aandle C, itA edge1 remaining on tAe ground" 6Aat is tAe ma0imum angleof tilt measured beteen bottom 1< and tAe ground.possible before tAe bo0 tips over
1. %34
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R" SCu9l es el mín numero de piezas -ue
Vay -ue considerar para determinar elcentroide de la superficie
1.!
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+,-
2" or determining tAe centroid, Aat is tAe min number of pieces you can use
1. To