CAPASITORS AND INDUCTORS

Outline

• Capasitors• Inductors

Introduction• Pada dasarnya, sebuah kapasitor merupakan

dua keping konduktor yang dipisahkan oleh suatu insulator (udara, hampa udara atau suatu material tertentu). Secara skematis sebuah kapasitor keping sejajar dapat digambarkan seperti pada gambar berikut

Kapasitor keping sejajar

• Misalkan tegangan DC dikenakan pada kedua keping seperti ditunjukkan pada gambar di atas. Karena kedua keping tersebut dipisahkan oleh suatu insulator, pada dasarnya tidak ada elektron yang dapat menyeberang celah di antara kedua keping. Pada saat baterai belum terhubung, kedua keping akan bersifat netral (belum temuati).

• Saat baterai terhubung, titik dimana kawat pada ujung kutub negatif dihubungkan akan menolak elektron, sedangkan titik dimana kutub positif terhubungkan menarik elektron. Elektron-elektron tersebut akan tersebar ke seluruh keping kapasitor. Sesaat, elektron mengalir ke dalam keping sebelah kanan dan elektron mengalir keluar dari keping sebelah kiri; pada kondisi ini arus mengalir melalui kapasitor walaupun sebenamya tidak ada elektron yang mengalir melalui celah kedua keping tersebut.

• Setelah bagian luar dari keping termuati, berangsur-angsur akan menolak muatan baru dari baterai. Karenanya arus pada keping tersebut akan menurun besarnya terhadap waktu sampai kedua keping tersebut berada pada tegangan yang dimiliki baterai. Keping sebelah kanan akan memiliki kelebihan elektron yang terukur dengan muatan -Q dan pada keping sebelah kiri temuati sebesar +Q. Besarnya muatan Q ini karenanya proporsional dengan V atau

Q ∞V

• Konstanta proporsionalitas tersebut dinyatakan sebagai kapasitansi atau C

Q = C V

dimana satuan kapasitansi ini dinyatakan dengan farad (F)

• Secara umum hubungan antara muatan dan tegangan untuk sebuah kapasitor dapat dituliskan sebagaiq = C v ………………………………………………….(1)dengan demikian arus i yang mengalir diberikan olehi = dq / dt = C dv / dt ……………………………….(2)

• Although the capacitance C of a capacitor is the ratio of the charge q per plate to the applied voltage v, it does not depend on q or v. It depends on the physical dimensions of the capacitor. For example, for the parallel-plate capacitor shown in figure below

The capacitance is given by

where A is the surface area of each plate, d is the distance between the plates, and is the permittivity of the dielectric material between the plates.

…………………..(4)

• In general, three factors determine the value of the capacitance:1. The surface area of the plates—the larger the area, the greater the capacitance.2. The spacing between the plates—the smaller the spacing, the greater the capacitance.3. The permittivity of the material—the higher the permittivity,the greater the capacitance.

• where v(t0) = q(t0)/C is the voltage across the capacitor at time t0.

• Equation (6) shows that capacitor voltage depends on the past history of the capacitor current

The voltage-current relation of the capacitor can be obtained byintegrating both sides from equation (2)

………………………………………………..(6)

………………………………………………..(5)

• The instantaneous power delivered to the capacitor is

• The energy stored in the capacitor is

• Atau dari persamaan (1), bisa ditulis menjadi

…………………………………………………………………………………..…..(7)

……………………………….(8)

…………………………………………………………………………………………………(9)

……………………………………………………………………………………………………(10)

• the word capacitor is derived from this element’s capacity to store energy in an electric field.

We should note the following important properties of a capacitor:1. Note from Eq. (4) that when the voltage across a capacitor is

not changing with time (i.e., dc voltage), the current through the capacitor is zero. Thus

2. The voltage on the capacitor must be continuous

Example:

1. (a) Hitung muatan yang tersimpan pada sebuah kapasitor 3-pF, dengan tegangan 20 V yang melewatinya(b) Tentukan energi yang tersimpan dalam kapasitor tersebut

(a) Muatan dalam kapasitor q = Cv,q = 3 × × 20 = 60 pC

(b) Energi yang tersimpan

2. Tegangan yang melewati kapasitor 5-μF adalah v(t) = 10 cos 6000t VTentukan arus yang terdapat pada kapasitor tersebut

• Arus yang melewati kapasitor adalah

3. Untuk rangkaian di bawah ini, tentukan energi yang tersimpan pada masing-masing kapasitor untuk masukan DC

• Dalam kondisi dc, kita ganti setiap kapasitor dengan rangkaian terbuka (open circuit)

• Arus yang melewati resistor 2-kΩ and 4-kΩ

• Tegangan v1 dan v2 yang melewati kapasitor adalah

• v1 = 2000i = 4 V ; v2 = 4000i = 8 V

• Energi yang tersimpan adalah

PARALLEL CAPACITORS

• Note that the capacitors have the same voltage v across them.

Applying KCL to Fig. (a),i = i1 + i2 + i3 +· · ·+iN ………………………..…………………………(11)

But ik = Ck dv/dt . Hence

…………………………………………………(12)

………………………………………………………..(13)

SERIES CAPACITORS

• We now obtain Ceq of N capacitors connected in series by comparing the circuit in Fig. (a) with the equivalent circuit in Fig. (b).Note that the same current i flows (and consequently the same charge) through the capacitors. Applying KVL to the loop in Fig. (a),

………………………………………………………………(14)

• The initial voltage v(t0) across Ceq is required by KVL to be the sum of the capacitor voltages at t0. Or according to Eq. (15),

• v(t0) = v1(t0) + v2(t0)+· · ·+vN(t0)

……………………………………(15)

…………………………………………………………………..(16)

• Note that capacitors in series combine in the same manner as resistors in parallel. For N = 2 (i.e., two capacitors in series), Eq. (16) becomes

…………………………………………………….(17)

Example

• Find the equivalent capacitance seen between terminals a and b of the circuit in Fig. below

• The 20-μF and 5-μF capacitors are in series

• This 4-μF capacitor is in parallel with the 6-μF and 20-μF capacitors;their combined capacitance is4 + 6 + 20 = 30 μF

• This 30-μF capacitor is in series with the 60-μF capacitor. Hence, the equivalent capacitance for the entire circuit is

INDUCTORS

• Telah diketahui bahwa elektron yang bergerak atau arus listrik yang mengalir akan menghasilkan medan magnet. Namun kebalikannya untuk menghasilkan arus listrik (arus induksi) perlu dilakukan perubahan medan magnet.

• Percobaan yang sangat sederhana dapat dilakukan seperti diskemakan pada gambar di atas. Saat saklar (switch) ditutup dan arus mengalir secara tetap pada kumparan di bagian bawah, maka tidak ada arus induksi yang mengalir pada kumparan bagian atas. Namun sesaat saklar ditutup (atau dibuka) sehingga medan magnet yang dihasilkan berubah, maka voltmeter akan menunjukkan adanya perubahan tegangan induksi. Besamya tegangan yang dihasilkan adalah sebanding dengan perubaban arus induksi, dapat dituliskan sebagai:

v = L di / dt ………………………………………………………………………………………………………………..(18)

dimana harga proporsinalitas L disebut induksi diri atau induktansi dengan satuan henry (H).

If current is allowed to pass through an inductor, it is found that the voltageacross the inductor is directly proportional to the time rate of change of the current. Using the passive sign convention

• The inductance of an inductor depends on its physical dimension and construction

• where N is the number of turns, is the length, A is the cross-sectional area, and μ is the permeability of the core

…………………………………………………………………………………..(19)

• Equation (18) is the voltage-current relationship for an inductor.

• The current-voltage relationship is obtained from Eq. (18) as

• Integrating gives …………………………………………………………………….……………(20)

atau

…………………………………………………………………………..(21)

where i(t0) is the total current for −∞ < t < t0 and i(−∞) = 0. Theidea of making i(−∞) = 0 is practical and reasonable, because theremust be a time in the past when there was no current in the inductor.

• The inductor is designed to store energy in its magnetic field. The energy stored can be obtained from Eqs. (18) and (20). The power delivered to the inductor is

……………………………………………………(22)

The energy stored is

Since i(−∞) = 0,……………………………………………(23)

……………………………………………………………………………………(24)

We should note the following important properties of an inductor

1. Note from Eq. (18) that the voltage across an inductor is zero when the current is constant. Thus,

2. An important property of the inductor is its opposition to the change in current flowing through it.

Example

1. Arus yang melalui induktor 0.1 H adalah . Tentukan tegangan yang melalui

induktor dan energi yang tersimpan

• v= Ldi/dt and L = 0.1 H

• Energi yang tersimpan adalah

2. (a)Untuk rangkaian berikut, tentukan i, vc dan iL pada kondisi DC (b) energi yang tersimpan dalam kapasitor dan induktor

• (a)Untuk gambar kanan

• Vc = teganagn yg melewati 5ΩvC = 5i = 10 V

• saf

(b) Energi yang tersimpan dalam kapasitor

Energi yang tersimpan dalam induktor

SERIES INDUCTORS

• Consider a series connection of N inductors, as shown in Fig. (a), with the equivalent circuit shown in Fig. (b). The inductors have the same current through them. Applying KVL to the loop,v = v1 + v2 + v3 +· · ·+vN …………………………………..(25)

• Substituting vk = Lk di/dt results in

• where

…………………………………..(26)

…………………………………………………………………..(27)

PARALLEL INDUCTORS

• We now consider a parallel connection of N inductors, as shown in Fig.(a), with the equivalent circuit in Fig. (b). The inductors have the same voltage across them. Using KCL,i = i1 + i2 + i3 +· · ·+iN …………………………………………(28)

• But

………………………………..(29)

• Where

• The initial current i(t0) through Leq at t = t0 is expected by KCL to be the sum of the inductor currents at t0. Thus, according to Eq. (29),i(t0) = i1(t0) + i2(t0)+· · ·+iN(t0)

…………………………………………………………..(30)

• For two inductors in parallel (N = 2), Eq. (30) becomes

…………………………………………….(31)

Example

1. Tentukan induktansi ekuivalen untuk rangkaian berikut

• 10H + 12H + 20 H = 42H• 42H || 7H • Leq = 4 + 6 + 8 = 18 H