5.

Circuite liniare în regim armonic permanent

5.1 Mărimi sinusoidale Regimul armonic permanent al unui circuit electric se obţine daca mărimile

electrice (tensiuni, curenti) variaza periodic in raport cu timpul. Fie y(t) o funcţie de timp t reprezentând o mărime variabila tensiune, curent, tensiune electromotoare etc. Valoarea instantanee este valoarea mărimii la un moment oarecare t, notata cu litera mica a simbolului stabilit pentru mărimea respectiva (i, u, v, p ). Numim semnal periodic un semnal variabil în timp care la intervale egale de timp trece prin aceleaşi valori luate în acelaşi sens. Un astfel de semnal satisface relaţia:y(t)=y(t+kT), k=0,1,2...unde: - T - este perioada si reprezintă intervalul de timp între două treceri

consecutive, ale semnalului considerat, prin aceeaşi valoare luata în acelaşi sens.

Inversa perioadei poartă denumirea de frecvenţă şi reprezintă numărul de treceri efectuate în unitatea de timp. Unitatea de măsură în Sistemul Internaţional

este Hertz-ul: [Hz]

Fig. 5.1Valoarea medie a unui semnal in intervalul t2-t1 este egală cu media aritmetică

a valorilor instantanee pe o perioadă şi este exprimată matematic prin relaţia:

Valoarea medie este dreptunghiului de latime t2-t1 si inaltime Ymed avand aria egala cu aria cuprinsa intre curba y(t) si axa timpului , in intervalul considerat. Un semnal periodic a cărui valoare medie pe o perioadă este nulă poartă denumirea de semnal alternativ (fig. 5.2).

Fig. 5.2

83

Valoarea efectivă sau eficace in intervalul t2-t1 a unui semnal alternativ este radacina patrata a mediei patratelor valorilor instantanee fiind dată de relaţia:

Sensul fizic al valorii efective a curentului variabil in timp i(t) este intensitatea curentului continuu care ar dezvolta aceeaşi cantitate de căldură într-un rezistor liniar în intervalul de timp considerat (de obicei pe o perioadă).Identificand expresiile cantitatilor de caldura dezvoltate de curentul continuu si curentul variabil in timp in rezistorul R se obtine:

relatie din care rezulta definitia valorii efective

.

Dacă t2-t1=T atunci

Mărimea sinusoidală sau armonica este o mărime alternativă a cărei expresie analitică poate fi pusă sub forma de “sinus”: y(t)=Ymsin(t+)unde: - Ym – este valoarea maximă sau amplitudinea semnalului;

- t+ -unghiul variabil in timp sau argument; - - faza iniţială ce reprezintă valoarea argumentului la t=0.

5.1.1 Valori caracteristice mărimilor sinusoidale- valoarea medie pe o perioadă prin definiţie este nulă:

- valoarea medie pe o semialternanţă:

; cu

conduce la

- valoarea efectivă:

in care conduce la

Deoarece voltmetrele si ampermetrele uzuale masoara valorile efective ale tensiunii si curentului , se prefera ca valoarea efectiva Y sa apara direct in expresia analitica a marimii sinusoidale y(t)= Ysin(t+). Expresia se numeste forma normala in sinus a marimii armonice .

În regim sinusoidal se definesc următorii factori:

84

- de amplitudine definit ca raport intre valoarea maxima si valoarea efectiva a

marimii sinusoidale :

- de formă definit ca raport intre valoarea efectiva si valoarea medie pe o

semialternanţa a mărimii sinusoidale:

5.1.2 Relaţii de fază (numai pentru semnalele ce au aceeaşi frecvenţă)Două mărimi sinusoidale y1(t)=Y1msin(t+1) şi y2(t)=Y2msin(t+2)

de aceeaşi frecvenţă, se numesc defazate dacă, diferenţa fazelor lor, egală cu diferenţa fazelor iniţiale, este nenulă.t+1-(t+2)= 1 - 2 0 Diferenţa fazelor iniţiale se numeşte defazaj notat = 1 - 2 şi se măsoară în radiani. Faza iniţială se măsoară de la ultima trecere zero în sens crescător până la originea sistemului de coordonate. Faza iniţială este pozitivă (1 > 0), dacă la t=0 mărimea sinusoidală are valoarea instantanee pozitivă y1(t)=Y1msin1>0 si este negativa daca la t=0 mărimea sinusoidală are valoarea instantanee negativa y2(t)=Y2msin2<0. Faza iniţială este funcţie de momentul alegerii sistemului de coordonate (t=0) .

Fig. 5.3 Fig. 5.4După valorile defazajului se definesc următoarele relaţii de faza:

Fig. 5.5

= 1 - 2 >0marimea y1 este defazata înaintea marimii y2 (semnalul y1trece prin zero înaintea

semnalului y2 ).

= 1 - 2 < 0

85

marimea y1 este defazata în urma marimii y2 (semnalul y1trece prin zero în urma semnalului y2 ).

= 1 - 2=0marimile y1 si y2 sunt în fază sau sinfazice. Ambele marimi trec simultan prin zero si maxim pozitiv, respectiv negativ prin valori crescatoare sau descrescatoare.

= 1 - 2 =

marimea y1 este defazata în cuadratură inaintea/in urma marimii y2 (semnale în cuadratură);

=1 - 2 = - semnale în opoziţie de fază.Ambele marimi trec prin zero simultan , dar cand una trece prin maxim pozitiv , cealalta trece prin maxim negativ.

O marime sinusoidala este complet determinata de valoarea efectiva , frecventa si faza initiala . In regim permanent sinusoidal , frecventa tensiunilor si curenţilor este frecventa surselor de alimentare si in acest caz mărimile sunt caracterizate numai de valoarea efectiva si faza iniţiala.

5.1.3 Operaţii cu mărimi sinusoidale:Operatiile cu marimi sinusoidale de aceeasi frecventa care intervin in

rezolvarea circuitelor electrice sunt: multiplicarea cu scalari (rezistor si surse dependente), adunarea respectiv scaderea ( legi de repartizare ale tensiunilor si curentilor), derivarea si integrarea in raport cu timpul (elemente reactive de circuit).

a .multiplicarea cu un scalar λ a mărimii sinusoidale y(t)= Ysin(t+) determina o mărimea sinusoidala , λ y(t)= λ Ysin(t+) a carei valoare efectiva este de λ ori mai mare si are aceeaşi faza iniţiala. Marimile y(t) si λ y(t) sunt sinfazice.

b.adunarea marimilor sinusoidale Fie y1(t)= Y1sin(t+1) şi y2(t)= Y2sin(t+2) doua marimi sinusoidale atunci y(t)= y1(t)+ y2(t) este o marime sinusoidala y(t)= Ysin(t+) avand aceeasi frecventa , cu valoarea efectiva si faza initiala determinate din prelucrarea relatiilor

.Dupa descompunerea in sinus si cosinus a acestor relatii si

gruparea lor dupa sinus si cosinus , obtinem

Valoarea efectiva se determina din relatia :

obtinand Faza initiala a marimii este :

c .derivata in raport cu timpul a mărimii sinusoidale y(t)= Ysin(t+) este o mărime sinusoidala avand aceeasi frecventa ,

valoarea efectiva de ω ori mai mare si defazata in cuadratura inainte,

86

d .integrala in raport cu timpul a marimii sinusoidale y(t)= Ysin(t+) este o marime sinusoidala avand aceeasi frecventa ,

valoarea efectiva de ω ori mai mica si defazata in cuadratura in urma,

Deoarece regimul este permanent integrala este nedefinita .

5.2 Reprezentări simbolice ale semnalelor sinusoidaleMetodele de reprezentare simbolică a mărimilor sinusoidale consistă în stabilirea unor reguli ce asociază fiecărei mărimi sinusoidale o imagine în următoarele condiţii:

- reprezentarea să fie biunivocă fiecărei mărimi sinusoidale sa-i corespunda o singură imagine şi invers fiecarei imagini sa-i corespunda o singura marime sinusoidala;

- operaţiilor de derivare şi integrare să le corespundă operaţii simple cu imagini;

- transformarea să fie cât mai simplă în ambele sensuri.La o frecvenţă dată orice semnal sinusoidal este complet determinat de două

mărimi scalare:- amplitudine (sau valoare efectivă)- fază iniţială.Prin reprezentarile simbolice urmarim ca semnalul sa fie caracterizat prin

doua marimi una corespunzatoare amplitudinii(valorii efective ) iar a doua corespunzatoare argumentului(fazei initiale).Pentru rezolvarea ecuatiilor circuitelor electrice in regim armonic permanent se utilizeaza doua metode de reprezentare simbolica,fiecare avand doua variante:reprezentarea geometrica prin vectori in plan si reprezentartea analitica prin marimi complexe.

Reprezentarea geometrica prin vectori in plan se aplica fie ca reprezentare cinematica prin vectori rotitori in plan , fie ca reprezentare polara prin vectori ficsi. Prima se numeste si reprezentare geometrica nesimplificata , iar vectorii imagini-fazori cinematici, sau fazori geometrici nesimplificati iar a doua, se numeste reprezentare geometrica simplificata , iar vectorii imagini, -fazori polari sau fazori geometrici simplificaţi.

Reprezentarea analitica prin marimi complexe se aplica fie ca reprezentare a marimilor sinusoidale prin marimi complexe de argument variabil in timp, fie ca marimi complexe de argument constant. Prima, se numeste reprezentare ijn complex nesimplificat, iar imaginile –fazori complecsi nesimplificati iar a doua , se numeste reprezentarea in complex siumplificata , iar imaginile –fazori complecsi simplificari.

5.3. Reprezentarea geometrică Cuprinde două aspecte: reprezentarea cinematica si reprezentarea polara,

imaginile marimilor sinusoidale fiind fazori geometrici sau fazori polari .5.3.1 Reprezentarea cinematică (nesimplificată)În această reprezentare, unei mărimi sinusoidale:

87

y(t)= Y sin (t+)îi corespunde un vector de modul egal cu amplitudinea A care se roteşte în plan în sens trigonometric cu viteza unghiulară egală cu pulsaţia şi formează în fiecare moment t cu o axă de referinţă Oxo (fixa) un unghi egal cu argumentul (t+).Axa care se roteste cu viteza ω in acelasi sens cu vectorul si formeaza cu aceasta unghiul constant se numeste axa origine de faza Ox. Unghiul de faza initiala se masoara de la axa origine de faza Ox si este pozitiv in sens trigonometric si negativ in sens orar.

Fig. 5.6Vectorul rotitor numit fazor cinematic , respectiv fazor geometric

nesimplificat, are proiecţia pe axa Oyo egală cu mărimea sinusoidala. Notăm fazor cinematic al mărimii y(t) ( notaţia Kennelly):

Operaţii cu fazoria) amplificarea cu un scalar a unui fazor este un fazor cu modulul mărit de

ori:

Fig. 5.7b) adunarea a doi fazori este tot un fazor :

Fig. 5.8Rezultatul adunării este o mărime sinusoidală de amplitudine:

iar argumentul este:

c) operaţiei de derivare a mărimilor sinusoidale

88

ii corespunde următorul

fazor geometric:

Fig. 5.9Similar integrării îi corespunde un fazor geometric:

.

5.3.2 Reprezentarea polarăÎn reprezentarea cinematică vectorul cinematic se roteşte cu viteza faţă de

axa fixă Oxo (vectorul rotitor se numeşte fazor). Axa origine de fază se roteşte cu aceeaşi viteza (axa Ox) fata de axa fixa Oxo. Rezulta astfel ca fazorul cinematic fata de axa origine de faza este in repaous relativ.Reprezentarea marimii sinusoidale faţă de axa origine de fază conduce la asocierea unui vector fix de argument egal cu faza iniţială şi modul egal cu valoarea efectivă , vector numit fazor polar.Notand formal rezulta urmatoarea corespondenta biunivoca

Operatiilor de derivare respectiv de integrare le corespund reprezentarile :

5.3.3. Aplicarea metodei reprezentării polare in analiza circuitelor dipolare simple

Se considera circuitele continand un rezistor, o bobina , respectiv un condensator sub tensiune sinusoidala , considerata origine de faza, si se determina cu valoarea efectiva I si defazajul φ al curentului

a Răspunsul în c.a. al rezistenţeia.1 Răspunsul în domeniul timpPentru circuitul cu rezistor a carui ecuatie caracteristica este putem

determina curentul prin rezistenţă:

Identificând obţinem: , φ=0 ceea ce conduce la

raportul dintre valoarea efectiva a tensiunii si a curentului este

Defazajul φ ca diferenta de faza a tensiunii si a curentului este nul .

89

In concluzie pentru orice rezistenţă relatia intre valoarea efectiva a tensiunii si a curentului este relaţia lui Ohm ( ) şi întotdeauna curentul şi tensiunea sunt în fază(sunt sinfazice).

Fig. 5.10

a.2 Analiza prin reprezentări simboliceUtilizând reprezentarea polara tensiunii i se poate asocia

urmatorul fazor polar

In baza relaţiei de dependenta dintre curent si tensiune rezulta fazorul polar al

curentului ceea ce arata ca fazorul polar al curentului

se obtine amplificand fazorul de tensiune cu 1/R

Fig. 5.11Curentul prin rezistor are valoarea efectiva egala cu raportul dintre valoarea efectiva a tensiunii si rezistenta R si este in faza cu tensiunea

b Răspunsul condensatorului în c.a.b.1 Analiza în domeniul timpPresupunând aceeaşi tensiune ce excită un condensator liniar,

răspunsul în curent este dat de relaţia

.

Identificand membrii relatiei rezulta si ceea ce arata ca

raportul dintre valoarea efectiva a tensiunii si a curentului si se

numeste reactanta capacitiva care este dependenta de frecventa.

Defazajul φ ca diferenta de faza a tensiunii si a curentului

ceea ce indica defazarea cu 90o a tensiunii in urma curentului . In concluzie pentru orice condensator relatia intre valoarea efectiva a tensiunii si a curentului este relaţia lui Ohm ( ) şi curentul este defazat inaintea tensiunii cu 90o

b.2 Analiza prin reprezentări simboliceAplicand formula reprezentarii polare relatiei de dependenta dintre curent si

tensiune:

rezulta fazorul polar al curentului :

90

ceea ce arata ca fazorul polar al curentului se obtine amplificand fazorul de

tensiune cu ωC si rotind in sens trigonometric cu

Fig. 5.12c. Răspunsul bobinei în c.a.c.1 Analiza în domeniul timp

Pentru circuitul cu bobina a carei ecuatie caracteristica este

dependenta curent in functie de tensiune este ceea ce conduce la

Identificand membrii relatiei cu relatia generala a curentului rezulta si

ceea ce indica ca:

raportul dintre valoarea efectiva a tensiunii si a curentului si se

numeste reactanta inductiva care este dependenta de frecventa .

Defazajul φ ca diferenta de faza a tensiunii si a curentului

In concluzie pentru orice bobina relatia intre valoarea efectiva a tensiunii si a curentului este relaţia lui Ohm ( ) şi curentul este defazat in urma tensiunii cu 90o

c.2 Analiza prin reprezentări simboliceAplicand relatiei de dependenta curent-tensiune formula fazorului polar

rezulta ,

Prin urmare in diagrama polara , fazorul curentului se obtine amplificand modulul fazorului tensiunii cu 1/L , impartindu-l cu ω si rotind in sens invers

trigonometric cu . Reprezentarea polară şi reprezentarea în complex simplificat

conduc la următoarele diagrame:

Fig. 5.13

Cazuri limită de funcţionare ale bobinei si condensatorului

91

a)

b)

Concluzii:1. La frecvenţe joase (sau in curent continuu) condensatorul se comportă ca un

circuit deschis iar la frecvenţa înalte ca un scurtcircuit.2. Bobina în c.a. la frecvenţe joase se comportă ca un scurtcircuit iar la

frecvenţe înalte ca un circuit deschis.

d. Răspunsul circuitului serie RLC în c.a.Analiza in domeniul timp a dipolilor echivalenti ce contin combinatii de elemente simple ne conduce la rezolvarea unor sisteme de ecuatii trigomometrice din acest motiv preferam determinarea raspunsului dipolului prin reprezentari simbolice.Pentru circuitul serie RLC a carei ecuatie caracteristica este:

Ecuatia cu fazori are forma urmatoare:

Deoarece prin fiecare dintre elementele circuitului curentul este acelasi, se alege curentul origine de faza,

si rezulta pentru tensiune expresia:

Fazorul polar al tensiunii este suma fazorilor polari ai tensiunii pe rezistor, bobina si condensator . Alegand arbitrar o valoare I a modulului fazorului de curent , atunci fazorul polar al tensiunii se obtine compunand grafic fazori polari conform relatiei:

Fig. 5.14Valoarea efectiva U si defazajul φ au expresiile:

, .

In curent alternativ sinusoidal urmarim sa caracteriza raspunsul u(t) in functie de excitatie i(t) , practic sa comparam doua semnale sinusoidale . Aceasta comparatie

92

se poate realiza in functie de cele doua marimi caracteristice ale semnalelor sinusoidale –valoare efectiva- si faza. In acest sens definim :

Impedanta dipolului ca raport dintre valoarea efectiva a tensiunii si a

curentului conform relatiei

Defazajul φ ca diferenta de faza a tensiunii si a curentului Impedanta circuitului serie RLC este

Marimea X egala cu diferenta dintre reactanta inductiva XL si capacitiva XC X= XL- XC

este reactanta echivalenta sau totala a circuitului RLC serie.Expresia impedantei Z pusa sub forma

sugereaza diagrama trasata in figura , in care rezistenta si reactanta sunt catetele , iar impedanta Z e ipotenuza triunghiului dreptunghic

Daca in expresia impedantei L=0 si C=∞ circuitul contine numai numai rezistor si Z=R R=0 si C=∞ circuitul contine numai numai bobina si Z=ωL=XL.

R=0 si L=0 circuitul contine numai numai condensator si Z=1/ωC=XC.

Daca in expresia impedantei C=∞ circuitul contine un rezistor in serie cu o bobina in care impedanta

echivalenta a circuitului este iar defazajul cu

0<φ<π/2. L=0 circuitul contine rezistor inseriat cu un condensator in care

impedanta echivalenta a circuitului este iar defazajul

cu -π/2<φ<0.

R=0 circuitul contine o bobina inseriata cu un condensator in care

impedanta echivalenta a circuitului este iar defazajul

Din analiza circuitelor Rl, RC, LC rezulta ca defazajul curentului in circuitul RLC serie este cuprins in intervalul

-π/2<φ< π/2.

e. Răspunsul circuitului RLC paralel în c.a.Pentru circuitul paralel RLC a carei ecuatie caracteristica este:

Ecuatia cu fazori are forma urmatoare:

93

Deoarece pentru fiecare dintre elementele circuitului tensiunea este aceeasi, se alege tensiunea origine de faza,

si rezulta pentru curent expresia:

Fazorul polar al curentului este suma fazorilor polari ai curentilor pe rezistor, bobina si condensator . Alegand arbitrar o valoare U a modulului fazorului de tensiune , atunci fazorul polar al curentului se obtine compunand grafic fazori polari conform relatiei:

Fig. 5.15

Valoarea efectiva I si defazajul φp au expresiile:

, .

In curent alternativ sinusoidal urmarim sa caracteriza raspunsul i(t) in functie de excitatie u(t) , practic sa comparam doua semnale sinusoidale . Aceasta comparatie se poate realiza in functie de cele doua marimi caracteristice ale semnalelor sinusoidale –valoare efectiva- si faza. In acest sens definim :

Admitanţa dipolului ca raport dintre valoarea efectiva a curentului si a

tensiunii conform relaţiei

Defazajul φp ca diferenta de faza a curentului(raspunsul) si a tensiunii(excitatia)

Admitanta circuitului paralel RLC este

si se masoara in siemensi

Marimea B egala cu diferenta

B=

se numeste susceptanta echivalenta sau totala a circuitului RLC paralel si este egala

cu diferenta dintre susceptanta capacitiva BC = susceptanta inductiva .

Expresia admitantei Y pusa sub forma

94

sugereaza diagrama trasata in figura , in care conductanta si susceptanta sunt catetele , iar admitanta Y e ipotenuza triunghiului dreptunghic.

Daca in expresia admitanteiC=0 si L=∞ circuitul contine numai numai rezistor si Y=G G=0 si C= 0 circuitul contine numai numai bobina si Y=1/ωL=BL.

G=0 si L=∞ circuitul contine numai numai condensator si Y=ωC=BC.

Daca in expresia admitantei C=0 circuitul conţine un rezistor in paralel cu o bobina in care

admitanta echivalenta a circuitului este iar defazajul

cu -π/2<φp<0.

L=∞ circuitul contine rezistor in paralel cu un condensator in care admitanta echivalenta a circuitului este iar defazajul

cu. 0<φp<π/2

G=0 circuitul contine o bobina in paralel cu un condensator in care

admitanta echivalenta a circuitului este iar defazajul

5.3.4 Generalizarea caracterizarii circuitelor dipolare in ca.Fie o retea electrica constituita exclusiv din elemente pasive si reactive si

doua borne accesibile (retea dipolara). Intre cele doua borne se aplica retelei tensiunea sinusoidala

Daca intreseaza sa se calculeze curentul absorbit de retea pe la cele doua borne, reteaua poate fi inlocuita cu un dipol echivalent parcurs de curentul

Dipolul e caracterizat in regim permanent de doi parametrii : Impedanta echivalenta Z si defazaj φ definite cum urmeaza :

si sau

Admitanta echivalentaY si defazaj φ definite cum urmeaza :

si

Din diagrama impedantelor rezulta caracterizarea dipolului prin: Rezistenta echivalenta R si reactanta echivalenta X definite prin relatiile :

si in care este componenta activa

a tensiunii in faza cu curentul si este exprimata ca proiectia tensiunii pe axa curentului si care este componenta reactiva a tensiunii in cuadratura cu curentul si este exprimata ca proiecţie pe o axa perpendiculara pe a curentului .

95

Fig. 5.16

Din diagrama admitantelor rezulta caracterizarea dipolului prin Conductanta echivalenta G si susceptanta echivalenta B definite prin

relatiile si in care este componenta

activa a curentului in faza cu tensiunea si este exprimata ca proiectia curentului pe axa tensiunii si care este componenta reactiva a curentului in cuadratura cu tensiunea si este exprimata ca proiectie pe o axa perpendiculara pe a tensiunii .Dupa valorile pe care le au parametrii echivalenti ai dipolului se disting:

Circuite rezistive , in care :Z=R, Y=G) , X=0 (B=0) φ=0; Circuite reactive , in care : , ( ) ,

5.4 Puteri în circuite liniare de c.a. monofazat5.4.1 Puterea instantanee a dipolului echivalentConsiderăm un dipol liniar căruia i se aplică tensiunea sinusoidală

şi prin care trece curentul .Daca sensurile tensiunii si curentului sunt asociate dupa regula de la receptoare , puterea instantanee este primita de dipol iar daca regula este de la generatoare puterea instantanee este produsa sau cedata de dipol

Fig. 5.17

Expresia puterii instantanee la bornele dipolului este:.

Utilizând relaţia trigonometrică:

Rezultă ca produsul sinusurilor este : ceea ce

conduce la urmatoarea expresie a puterii instantanee .Expresia puterii instantanee conţine doi termeni:- un termen constant in timp - termen denumit putere activă;

96

- un termen sinusoidal de frecventa dubla denumit

putere oscilantă.

Fig. 5.18

5.4.2 Puterea activa .Energia W(nT) calculata pe un interval de timp egal cu un numar intreg de perioade, capabilă a se transforma în altă formă de energie inclusiv în lucrul mecanic are expresia :

si prin urmare puterea

activa este egala cu valoarea medie a puterii instantanee intr-un numar intreg de perioade:

Unitatea de putere activa in sistemul international de unitati SI este Wattul (W ) . Puterea activa pozitiva e primita iar cea negativa e cedata de dipol, daca sensurile de referinta ale tensiunii si curentului sunt asociate după regula de la receptoare. Putere activa pozitiva e cedata , iar cea negativa e primita de dipol daca sensurile de referinta ale tensiunii si curentului sunt asociate dupa regula de la generatoare.

Fig. 5.19

5.4.3 Puterea aparentă. Valoarea maximă a puterii active reprezintă puterea aparentă şi este egală cu produsul valorilor efective ale tensiunii şi curentului :

S=UI > 0.Cu unitatea de masura in SI volt-amper(VA). Puterea aparentă caracterizează

limitele de funcţionare ale maşinilor şi aparatelor electrice.

Ţinând cont de definiţia impedanţei sau a admitantei Y=

rezultă următoarele expresii de calcul ale puterii aparente ,

Se defineste factorul de putere raportul dintre puterea activă şi puterea aparentă:

; ( în regim sinusoidal)

5.4.4 Puterea reactivă. Puterea reactiva a unui dipol notata Q este marimea definita de relatia:

97

cu unitatea de masura volt-amper-reactiv (VAR)Relatiile de definitie ale puterilor activa P, reactiva Q si aparenta S sugereaza diagrama triunghiului puterilor in care S2=P2+Q2. cu P=Scosφ respectiv Q= Ssinφ. Spre deosebire de puterile active si treactive care depind de defazaj , puterea reactiva nu depinde de defazaj si este egala cu maximul puterii active sdau cu puterea reactiva maxima in valoare absoluta.

Să analizăm ce reprezintă această putere reactivă pornind de la expresia puterii instantanee: în care din relaţia defazajului

înlocuim faza tensiunii . Se obţine relaţia :

ce prin dezvoltarea cosinusului : identificam puterea instantanee ca

suma a doua puteri instantanee :

O putere instantanee de pulsatie sau echivalenta unde: -

- valoarea instantanee a curentului, O putere instantanee de oscilaţie

a cărei amplitudine este puterea reactiva

În baza demonstraţiei de mai sus se poate defini puterea activă P, ca valoarea

medie a puterii instantanee de pulsaţie :

Fig. 5.20

Fizic, în dipol pe lângă puterea instantanee de pulsaţie a cărui valoare medie este o măsură a puterii electromagnetice ce se transformă în alte forme de energie (căldură, lucru mecanic, etc.) există şi o putere de oscilaţie (ce oscilează neamortizat în dipol) ce blochează încărcarea dipolului cu putere activă maximă. Amplitudinea de oscilaţie a acestei puterii reprezintă puterea reactivă.

5.4.5 Expresiile puterilor in circuite dipolare simpleSe considera circuitele continand un rezistor ,o bobina respectiv un

condensator sub tensiune sinusoidala .Puterile definite au expresiile: pentru circuitul cu rezistor puterea activă ; aparentă

; reactivă . factorul de putere

98

pentru circuitul cu bobina puterea activă , aparentă reactivă , factorul de putere:

.Puterea instantanee la bornele bobinei ideale conţine numai componenta de oscilaţie in care puterea reactiva este amplitudinea puterii instantanee.

Fig. 5.21

Energia magnetica intr-un interval (0,t) se calculeaza cu relatia

si are valoarea medie pe o perioada

sau

- energia magnetică medie a bobinei sub tensiunea sinusoidală este egală cu valoarea energiei magnetice a bobinei parcursă de c.c. de intensitate egală cu valoarea efectivă a curentului sinusoidal.

- puterea reactivă este proporţională cu energia magnetică a bobinei.(puterea de magnetizare a bobinei)

pentru circuitul cu condensator puterea activa , aparenta , reactiva , factorul de

putere al condensatorului: .Condensatorul absoarbe putere reactiva negativa, prin urmare produce putere reactiva.

Fig. 5.22

Daca se alege tensiunea origine de faza puterea instantanee la bornele unui condensator conţine numai componenta de oscilaţie adică amplitudinea puterii instantanee este puterea reactiva. Energia electrica in

intervalul(0,t) se calculeaza cu relatia

Energia electrică medie a condensatorului sub tensiune sinusoidală

este egală cu energia electrică a

condensatorului sub tensiune continuă egală cu valoarea efectivă a tensiunii

99

sinusoidale. Putere reactivă este egală proporţională cu energia condensatorului (puterea de încărcare a condensatorului).

5.5 Reprezentarea analitică prin marimi complexeIn reprezentarile geometrice -cinematica sau polara- se stabileste o

corespondenta biunivoca intre marimile sinusoidale si vectori in plan , rotitori sau ficsi. Planului reprezenatarii geometrice i se poate asocia planul complex, punand in corespondenta axa de rotatie Oxo , respectiv axa origine de faza Ox , cu axa reala si axele transversale cu axa imaginara. Varful A al vectorului rotitor , respectiv B al vectorului fix , ii va corespunde un punct in planul complex ,-afixul unei marimi complexe si prin urmare vectorilor din planele cinematic si polar, le vor corespunde vectori complecsi. Se obtine astfel, reprezentarea marimilor sinusoidale prin marimi complexe, respectiv prin fazori complecsi in variantele nesimplificata sau simplificata, dupa corespondenta cu reprezentarile cinematica sau polara .

Marimile complexe se noteaza prin subliniere in acord cu recomandarile Comitetului Electrotehnic International CEI : u, i, pentru reprezentarea in complex nesimplificat si U I pentru reprezentarea in complex simplificat.Un numar complex c se reprezinta cartezian (prin proiectii pe doua axe ortogonale) prin masura pe care o are pe cele doua axe :

unde 1 este versorul axei reale si j= este versorul axei imaginare

a este partea reala masurata dupa axa reala si b e partea imaginara masurata dupa axa imaginara

iar Acelasi numar complex poate fi reprezentat polar in forma deoarece

prin doua puncte pot trasa o singura dreapta ce face unghiul φ cu axa reala si are versorul , măsura numărului complex pe acea dreapta fiind c. Corespondenta intre reprezentarea carteziana si polara a numarului complex este redata conform figurii de relatiile :

Fig.5.23Un numar complex e nul daca in reprezentarea careziana partea reala si

imaginara este nula a=0, b=0 iar in reprezentarea polara modulul este nul c=0

Doua numere complexe c1=a1+jb1 si c2 =a2+jb2 sunt egale , daca in reprezentarea carteziana au partile reale egale a1=a2 , respectiv imaginare egale b1=b2 sau daca in reprezentarea polara modulele sunt egale c1=c2 si apartin aceleaşi drepte = .

100

Numarul compex de modul unitate si argument φ se numeste opertor de rotatie sau de defazare

Pentru φ=0 se obtine versorul axei reale, pentru φ=π/2 se obtine versorul axei imaginare, pentru φ=π se obtine versorul axei reale negative iar pentru φ=-π/2 se obtine versorul axei imaginare negative.Practic multiplicarea versorului 1 al axei reale cu j sau –j roteste acest versor cu π/2 respectiv - π/2 .

5.5.1 Reprezentarea în complex nesimplificatIn aceasta reprezentare , se asociaza marimii sinusoidale y(t)= Ysin(t+) o

marime complexa notata y si numita imagine in complex nesimplificat avand modul egal cu amplitudinea Y si argumentul egal cu faza (t+) , marime definita prin relatia = Yej(t+).

Fig. 5.24Deoarece marimea sinusoidala y(t) este partea imaginara a marimii complexe

y (proiecţia pe axa imaginară) , rezulta urmatoarea regula de trecere inversa de la marimea imagine la marimea original.

Dacă marimea sinusoidala a fost redata prin scrierea in cosinus ,atunci in planul complex i se asociaza marimea

iar trecerea inversă implică: .

101

Daca se compara reprezentarea in complex nesimplificat cu reprezentarea cinematica si se pune in corespondenta axa de referinta Oxo cu axa reala si axa transversala Oyo cu axa imaginara , fazorului cinematic ii corespunde vectorul de poziţie al afixului mărimii complexe y numit fazor complex nesimplificat

5.5.2 Operaţii cu mărimi complexeOperatiile cu marimi sinusoidale care intervin in rezolvarea circuitelor

electrice precum multiplicarea cu scalari (rezistor si surse dependente), adunarea respectiv scaderea ( legi de repartizare ale tensiunilor si curentilor), derivarea si integrarea in raport cu timpul (elemente reactive de circuit) urmarim sa le exprimam cu ajutorul imaginilor in complex.

a.multiplicarea cu un scalar λ a marimii complexe y corespunde amplificarii cu λ a modulului fazorului complex nesimplificat y , argumentul fiind nemodificat

b.suma y(t) a doua marimi sinusoidale y1(t) si y2(t) corespunde sumei y a

marimilor complexe y1 si y2 data de relatia y = y1+ y2 adica fazorul complex y este suma fazorilor complecsi y1 si y2.

c.derivatei in raport cu timpul ii corespunde

inmultirea cu jω a marimii complexe y . Prin urmare operatorului de derivare in raport cu timpul aplicat marimii sinusoidale y , ii corespunde biunivoc multiplicarea cu jω a imaginii in complex y.

Utilizand operatorul unitar de rotatie j , fazorul se obtine amplificand

fazorul y cu ω si rotindu-l cu π/2 in sens trigonometric.

102

d.integralei in raport cu timpula marimii sinusoidale ii corespunde produsul dintre marimea complexa y si 1/jω

Prin urmare operatorului de integrare in raport cu timpul aplicat marimii sinusoidale y ii corespunde biunivoc impartirea cu jω a imaginii in complex y.

5.5.3 Reprezentarea în complex simplificatÎntrucât în teoria circuitelor avem mărimi de aceeaşi pulsaţie, utilizăm

reprezentarea în complex simplificat - ce renunţă la în reprezentarea vectorului complex şi la operatorul de miscare . Fazorii complecşi sunt în repaus relativ faţă de axa origine de fază Ox . O astfel de reprezentare se obţine identificând planul complex cu planul abstract al fazorilor polari (axa reală ataşată axei origine de fază).

În concluzie oricărui semnal de forma: y(t)= Ysin(t+) îi corespunde în planul complex mărimea =Yej

Mărimea complexă are modulul egal în valoare efectivă şi argument egal cu faza iniţială . Între valoarea instantanee complexă şi valoarea efectivă complexă

există relaţia = e jt

Trecerea de la valoarea efectivă complexă la semnalul sinusoidal (reprezentarea în domeniul timp) se face utilizând relaţiile: daca mărimea sinusoidala era redata prin functia cosinus sau

daca marimea sinusoidala era redata prin functia sinus .

5.5.4. Caracterizarea circuitelor dipolare in complexExcitând un dipol liniar pasiv cu un semnal sinusoidal răspunsul acestuia

depinde de parametrii dipolului. Raspunsul dipolului are aceeaşi formă de variaţie cu excitatia adica sinusoidală. Fie o retea liniara constituita exclusiv din elemente pasive liniare -rezistiare si surse dependente, si elemente reactive liniare-bobine si condensatoare. Elementele dipolare au doua borne accesibile intre care presupunem ca aplicam o tensiune sinusoidala de forma u(t)= U sin . Daca intereseaza curentul absorbit pe la cele doua borne , reteaua poate fi inlocuita cu un dipol echivalent parcurs de curentul i(t) )= I sin .

In curent alternativ sinusoidal urmărim sa caracteriza raspunsul i(t) in functie de excitatie u(t) , practic sa comparam doua semnale sinusoidale , comparatie care se poate realiza in functie de cele doua marimi caracteristice ale semnalelor sinusoidale –valoare efectiva(amplitudine)- si faza. In acest sens definim :

Impedanta dipolului ca raport dintre valoarea efectiva a tensiunii si a

curentului conform relatiei

Defazajul φ ca diferenta de faza a tensiunii si a curentului 5.5.4.1 Formele in complex ale elementelor simple de circuitSa presupunem un dipol caruia i se aplica tensiunea iar prin

dipol trece curentul .Imaginea in complex simplificat a tensiunii este respectiv imagine complexa a curentului este

103

Analiza unui circuit şi implicit caracterizarea lui în reprezentarea polară implică caracterizarea dipolului prin doi parametrii impedanta Z şi defazajul sau admitanta Y si defazajul .

Numim impedanţă complexă raportul dintre tensiunea complexă şi curentul complex:

- cu modulul egal cu raportul valorii efective ale semnalelor;- - defazajul între semnale.Reprezentarea mărimilor sinusoidale în complex simplificat permite asocierea

unor semnale continue marimilor sinusoidale iar parametrul dipolului (impedanţă complexă), este dependent de frecvenţă.

Impedanţa complexă reprezintă o generalizare în formă fazorială a relaţiei Ohm.

Pentru elementele simple de circuit impedanţa complexă are forma:- pentru dipol rezistiv: ;- pentru dipol pur inductiv: ;

- pentru dipol pur capacitiv: .

Pentru rezistenţă impedanţa este un numar real şi independent de frecvenţă, iar pentru condensator şi bobină impedanţa indică dependenţa de frecvenţă prin sau

iar prin j sau -j defazajul între curent şi tensiune.

a. Impedanţă complexa a dipolului echivalent RLC seriePentru un dipol echivalent RLC serie analizăm modul de obţinere al

impedanţei complexe.

Fig. 5.25

Sa presupunem ca dipolului serie se aplica tensiunea iar prin dipol trece curentul Aplicând teorema Kirchhoff II rezultă:

Asociind tensiunii, imaginea in complex simplificat respectiv curentului, imagine complexa , imaginea complexa a teoremei II Kirchhoff este:

;

Impedanta complexa a circuitului devine :

104

unde: reactanţa echivalenta a circuitului iar reprezentarea in planul

complex este :

Fig. 5.26

Proiectia pe axa reala respectiv pe axa inmaginara a impedantei este egala cu rezistenta echivalenta, respectiv reactanta echivalenta a circuitului:

Identificând,rezultă:

, respectiv

defazajul

Concluzii:1) Rezistenţa în c.a. reprezintă partea reală a impedanţei complexe Z, rezistenţă ce

poate fi sau nu dependentă de frecvenţă. Nu întotdeauna ea coincide cu rezistenţa ohmică a circuitului. Rezistenţa în c.a. reprezintă raportul dintre proiecţia tensiunii pe axa curentului si valoarea curentul din circuit.

2) Reactanţa X reprezintă partea imaginară a impedanţei complexe şi este dependentă întotdeauna de frecvenţă, indicând prezenţa în circuit elementului de stocare a energiei. Pentru acest aspect inductivitatea şi capacitatea se numesc elemente reactive. Ea reprezintă raportul dintre proiecţia tensiunii pe o axă perpendiculară pe a curentului si valoarea curentului din circuit.

3) Din punct de vedere al reactanţei, mai precis al rotirii ei cu j sau -j locul geometric al impedantei in planul Re-Im poate fi (fig.5.27):

a) in cadranul I daca , defazajul este ier impedanţa este de tip inductiv şi curentul este defazat în urma tensiunii.

b) in cadranul IV daca , defazajul este impedanţa este de tip capacitiv şi curentul este defazat înaintea tensiunii.

c) circuitul este pur rezistiv defazajul este

Fig. 5.274) Dipolul RLC serie este caracterizat de impedanţa complexă careia i se poate asocia o schemă echivalentă serie

105

Fig. 5.28

b admitanţa complexa a dipolului echivalent RLC paralelAplicând dipolului echivalent paralel aceeaşi tensiune sinusoidala

prin dipol trece curentul .Ecuaţia caracteristica pe mărimi instantanee a dipolului paralel se obţine din aplicarea teoremei I Kirchhoff:

Fig. 5.29

Trecând în complex simplificat marimile tensiune si curent forma in complex a teoremei I Kirchhoff conduce la ecuatia complexa :

sau

Raportul se numeşte admitanţă complexă de modul

şi defazaj , unde:

- partea reala a admitanţei complexe se numeşte

conductanţă;

iar este susceptanţa echivalenta a circuitului.

Fig.5.30Concluzie: 1) Dipolul RLC paralel este caracterizat de admitanţa complexă

căreia i se poate asocia o schemă echivalentă paralel:

106

Fig. 5.31

c. Echivalenţa unui dipol în schema serie cu un dipol in schema paralel Relaţia de echivalenţă a unui dipol serie cu unul paralel presupune impunerea

condiţiei de egalitate a tensiunilor de la bornele dipolului şi a curenţilor absorbiţi de dipoli. Ecuaţiile complexe ale dipolului serie respectiv paralel , prin impunerea condiţiilor de echivalenta conduc la următoarele relaţii

echivalenta cu sau Deoarece impedanţa circuitului serie este

iar admitanţa circuitului paralel este , impunerea condiţiei de echivalenta conduce la următoarea relaţii de dependenta intre parametrii dipolului serie respectiv paralel .

5.5.4.2. Conexiuni ale dipolilor echivalenţi a Conexiunea serie. Dipolii echivalenţi, liniari, pasivi si necuplati magnetic

avand impedantele complexe Zk pot fi conectaţi in serie si fie Uk si Ik tensiunea complexa si curentul complex ,intre care exista relatia Uk= Zk Ik .

Tensiunea complexa U la bornele dipolului echivalent este egala cu suma algebrica a tensiunilor complexe Uk.

de unde rezulta impedanţa complexa a dipolului

Fig. 5.45

Separand partile reala si si imaginara , se obţine rezistenta echivalenta

si reactanţa echivalenta .

b Conexiunea paralel. Se considera n dipolii echivalenţi, liniari, pasivi si necuplati magnetic avand admitantele complexe Yk conectaţi in paralel si fie Ik si Uk

curentul complex si tensiunea complexa, intre care exista relatia Ik= Yk Uk .

Curentul complex I al dipolului echivalent este egal cu suma algebrica a curentilor complecşi Ik.

107

de unde rezulta admitanta complexa a dipolului

Separand partile reala si si imaginara , se obţine conductanta echivalenta

si susceptanta echivalenta .

5.5.5 Reprezentarea în complex a puterii (puterea complexă)Puterea instantanee nefiind o mărime sinusoidală de aceeaşi

pulsaţie cu tensiunea şi curentul din circuit, nu se poate reprezenta în acelaşi plan complex.

Este însă posibil să se definească o mărime complexă ce înglobează într-o expresie unică puterea activă, reactivă şi aparentă numită puterea complexă. Mărimile tensiune şi curent admit imaginile in complex nesimplificat respectiv

Mărimea putere complexă se defineşte pornind de la expresia in care intervine defazajul dintre tensiune şi curent ( ). Produsul a două mărimi complexe ce conţine diferenţa de fază iniţială poate fi scris în complex numai prin înmulţirea unei mărimii cu a doua compex conjugată. In acest sens se defineste în complex nesimplificat, puterea aparentă complexă prin semiprodusul intre dintre tensiunea complexa si curentul complex conjugat conform relatiei :

echivalenta cu relatia

.respectiv in complex simplificat produsul intre dintre tensiunea complexa si curentul complex conjugat conform relatiei :

echivalenta cu

Fig. 5.32Pentru dipol echivalent serie, expresia puterii este:

iar pentru dipolul echivalent paralel:

108

Partea reala a puterii complexe S este puterea activa P , partea imaginara este puterea reactiva Q , modulul este puterea aparenta S si argumentul este egal cu defazajul circuitului.

In planul complex, puterii complexe ii corespunde un afix ale carui proiectii pe axa reala si imaginara sunt puterile activa si reactiva .Daca dipolul este activ si sensurile de referinta ale tensiunii si curentului sunt asociate dupa regula de la generatoare , afixul puterii complexe situat in semiplanul drept P>0 corespunde puterii active produse iar cel situat in semiplanul stâng P<0 corespunde puterii active primite, puterea reactiva pozitiva Q>0 fiind produsa si Q<0 fiind primita. Daca sensurile de referinţa ale tensiunii si curentului sunt asociate după regula de la receptoare , afixul puterii complexe situat in semiplanul drept corespunde puterii active primite P>0 si situat in semiplanul stâng corespunde puterii active cedate, puterea reactiva pozitiva Q>0 fiind primita de dipol iar putere reactiva negativa Q<0, cedata de dipol.

5.6 Circuite dipolare rezonanteSe consideră un dipol liniar pasiv, având inclus în structura sa atât bobine cât

şi condensatoare. Dipolul este excitat de un semnal sinusoidal iar răspunsul acestuia are amplitudinea şi faza iniţială dependentă de frecvenţa semnalului de excitaţie. Dacă frecvenţa semnalului de excitaţie şi / sau parametrii dipolului variază, atunci defazajul dintre semnalul răspuns şi de excitaţie este nul. Regimul de funcţionare al dipolului în care defazajul este nul poartă denumirea de regim de rezonanţă.

Deoarece in circuitele serie defazajul este sau in circuitele

derivatie , anularea lui implică anularea reactanţei echivalente Xe=0,

sau a susceptanţei echivalente Be=0, relaţii ce reprezintă condiţiile de rezonanţă a unui dipol.

5.6.1 Rezonanţa serie (rezonanţa tensiunilor)Se considera circuitul RLC serie sub tensiune sinusoidala la borne. Aplicând

teorema II Kirchhoff pe imaginea in complex a circuitului se obtine : . Impedanta complexa a circuitului este

sau in forma polara

Fig. 4.80

In functie de frecventa sursei de alimentare obtinem trei posibilitati de functionare ale circuitului:

109

Capacitiva daca Xe<0 sau

Inductiva daca Xe>0 sau

Rezistiva =0 daca Xe=0 sau .In aceast caz tensiunea si curentul

sursei sunt in faza, factorul de putere este unitar cos=1 iar regimul de functionare este rezonant. Frecventa sursei de alimentare la care este satisfacuta conditia de rezonanta =0 se numeste frecventa de rezonanta

si se determina din anularea reactantei echivalente a circuitului

ceea ce implica unde

Din analiza relatiei rezulta următoarele posibilităţi de obţinere a

rezonanţei :- variaţia frecvenţei sursei de alimentare;- modificarea inductivităţii sau capacităţii.

Diagrama de fazori la rezonanţă este:

Fig. 4.81Parametrii circuitului la rezonanta

Impedanţa circuitului la rezonanta este minima si este egala cu rezistenta circuitului

Curentul din circuit la rezonanţă are valoare maximă fiind limitat numai de

rezistenţa circuitului.

La rezonanţă tensiunea pe bobina este egala si opusa tensiunii condensatorului . Valoarea efectiva ale tensiuni pe bobina sau condensator este limitata de impedanţa caracteristica a circuitului. Impedanţă caracteristică reprezintă raportul dintre tensiunea pe elementul reactiv şi

curentul din circuit la rezonanţă .

Tensiunile pe elementele reactive pot fi mult mai mari decât valoarea efectiva a tensiunii sursei de alimentare, si pot conduce la apariţia supratensiunilor. Din acest motiv rezonanta serie se numeşte rezonanta tensiunilor.Condiţia de existenţă a supratensiunilor este:

; sau

110

Înlocuind pulsaţia de rezonanta si utilizând definiţia impedanţei caracteristice a circuitului condiţia de apariţie a supratensiunilor poate fi exprimată şi prin

inegalitatea: , sau .

In circuitele de curenţi slabi proprietatea de a obţine tensiuni mari pe elementele reactive este utilizata pentru amplificarea semnalelor ce au frecventa egala cu frecventa de rezonanta. Amplificarea este indicata prin factorul de calitate al circuitului rezonant definit ca raport intre tensiunea pe elementul reactiv şi tensiunea de alimentare:

.

In circuitele de curenţi slabi comportamentul in frecventa al circuitului RLC este analizat prin factorul de calitate si pulsaţia la rezonanta . Din combinarea

relatiilor si se poate exprima inductivitatea si capacitatea

in funcţie de cei doi parametrii obtinand

respectiv

Înlocuind reactanţa bobinei si a condensatorului in

expresia impedanţei complexe a circuitului se obţine:

Imaginea in complex a curentului :

are modulul dependent de frecventa

Daca =0 (la rezonanta) curentul are valoarea maxima iar puterea disipata

este maxima având valoarea .

Reprezentarea grafica in funcţie de frecventa a modului curentului este indica reducerea acestuia la frecvente mai mici sau mai mari fata de frecventa de rezonanta. Rezulta ca si puterea disipata in rezistor se reduce Injumatatirea puterii maxime

disipate se realizează la valoarea curentului caruia ii

corespund doua frecvente una inferioara i iar a doua superioara s .Banda de trecere a semnalelor amplificate la rezonanta este BW=s-i. Din egalitatea

relaţiilor si rezulta :

111

Din cazul rezulta următoarea ecuaţie ce admite

din punct de vedere matematic solutiile . Din punct de vedere

fizic se retine numai solutia pozitiva deoarece pulsatia trebuie sa

fie mai mare ca zero.

Din cazul rezulta ecuaţia ce admite din punct de

vedere matematic solutiile . Din punct de vedere fizic se

retine numai solutia pozitiva . Diferenta celor doua pulsaţii

determina banda de trecere .

Oscilaţii de energie la rezonanţa tensiunilorValorile instantanee ale energiei înmagazinate în câmpul electric al

condensatorului respectiv in câmpul magnetic al bobinei sunt:

,

La rezonanţă presupunând curentul instantaneu de forma

iar inductivitatea , energia înmagazinată in

bobina are expresia

La rezonanţă pentru curentul instantaneu de forma

tensiunea la bornele condensatorului este .

Tinand cont de expresia capacitatii , energia înmagazinată in condensator

are expresia:

Energia maxima stocata în circuitul serie este suma energiei din condensator şi

bobină care este un invariant.

Fizic la rezonanţă au loc oscilaţii neamortizate ale energiei între bobina şi condensator. Sursele furnizează energie numai rezistoarelor în care se produc efecte

Joule-Lentz. Energia disipata pe un ciclu (perioada) este:

Din aceste relaţii putem sa definim energetic factorul de calitate al circuitului serie

112

ca raport intre energia stocata si cea disipata sau raport intre reactanţa

si rezistenta circuitului .

5.6.2 Rezonanţa paralel (a curenţilor)

Acest regim poate fi realizat la bornele unui circuit format din gruparea paralel R, L, C alimentată de la o sursă sinusoidală de tensiune sau de curent (fig.4.83).

fig. 4.83

Din teorema I Kirchhoff se determina curentul absorbit de dipol in

funcţie de tensiunea aplicata

Trecând în complex relaţia de mai sus obţinem din care

identificam admitanta complexa a circuitului

Condiţia de defazaj nul intre curentul absorbit de dipol si tensiunea de la bornele dipolului implica anularea susceptanţei echivalente Be=Im(Y)=0. Se

determina astfel pulsaţia de rezonanta a circuitului si posibilităţile

practice de obţinere a rezonanţei (modificarea frecventei sursei, a capacitatii sau a inductivitatii).

Admitanţa circuitului la rezonanţă are valoare minima ,circuitul având un comportament pur rezistiv. Reprezentarea funcţie de frecvenţă a admitanţei şi susceptanţelor si regimul de functionare al circuitului este redată în fig.4.84.

Fig. 4.84

La rezonanţă curentul din bobina este egal si opus celui din condensator iar curentul absorbit de la sursă, , - are valoare minima daca

113

alimentarea dipolului se face de la o sursa de tensiune. In cazul alimentarii dipolului de la o sursa de curent tensiunea la bornele dipolului se maximizeaza.

In cazul rezonanţei paralel posibil ca valoarea efectivă a curentului prin elementul reactiv să fie mult mai mare decât valoarea curentul absorbit de la reţea

relatie echivalenta cu Inlocuind pulsatia de rezonanta

se obtine . Satisfacerea acestei condiţii conduce la apariţia supracurenţilor .

Admitanta caracteristica a circuitului la rezonanta limiteaza curentul prin elementele reactive si este definita ca raport intre curentul prin elementul reactiv si

tensiunea de la bornele dipolului .

In circuitele de curenţi slabi proprietatea de a obţine curenti mari prin elementele reactive este utilizata pentru amplificarea curentilor ce au frecventa egala cu frecventa de rezonanta. Amplificarea este indicata prin factorul de calitate al circuitului rezonant definit ca raport intre curentul pe elementul reactiv şi curentul sursei:

.

In circuitele de curenţi slabi comportamentul in frecventa al circuitului RLC este analizat prin factorul de calitate Qp si pulsaţia la rezonanta . Din combinarea relatiilor factorului de calitate si pulsatiei de rezonanta se poate exprima inductivitatea si capacitatea in funcţie de cei doi parametrii obtinand

respectiv

Înlocuind susceptanţa bobinei si a condensatorului in

expresia admitanţei complexe a circuitului se obţine:

Presupunând alimentarea dipolului de la o sursa de curent, tensiunea la bornele dipolului poate fi exprimata prin relaţia:

tensiune ce are modulul dependent de frecventa

Daca =0 (la rezonanta) tensiunea are valoarea maxima iar puterea disipata este maxima având valoarea .Reprezentarea grafica in funcţie de frecventa a modului tensiunii indica reducerea acesteia la frecvente mai mici sau mai mari fata de frecventa de rezonanta. Rezulta ca si puterea disipata in rezistor se reduce. Injumatatirea puterii maxime disipate

se realizează la valoarea tensiunii careia ii corespund

114

doua frecvente una inferioara i iar a doua superioara s .Banda de trecere a semnalelor amplificate la rezonanta este BW=s-i.

Din egalitatea relaţiilor si rezulta

Oscilaţiile de energie la rezonanta curenţilor.Valorile instantanee ale energiei înmagazinate în câmpul electric al condensatorului respectiv in câmpul magnetic al bobinei sunt:

,

Presupunând alimentarea circuitului de la o sursa de curent de forma , la rezonanţă admitanţa circuitului este egala cu conductanta iar

tensiunea la bornele condensatorului este . Energia înmagazinată in condensator are expresia:

Curentul prin bobina este defazat cu 900 in urma tensiunii având expresia Energia stocata în bobina este circuitul

este .Energia totala este suma energiei din

condensator şi bobină care este un invariant.

Energia disipata pe un ciclu (perioada) este:

Din aceste relaţii putem sa definim energetic factorul de calitate al circuitului paralel

ca raport intre energia stocata si cea disipata

sau raport intre rezistenta si reactanţa circuitului paralel.Observaţie. Definiţia energetica a factorului de calitate este aceeaşi indiferent de tipul rezonantei serie sau paralel. Exprimarea acestuia in funcţie de rezistenta si reactanţa circuitului serie sau paralel diferă

Circuite practice rezonante Orice bobina utilizata in circuite electrice nu este ideala , ea are si o rezistenta

conectata in serie cu inductivitatea .Circuitul paralel pe care se studiaza practic rezonanta este cel din figura si este utilizat in oscilatoarele radio.

Sa consideram bobina reala reprezentata in schema echivalenta serie. Admitanta circuitului este suma a trei admitante

Rationalizand ultimul termen al admitantei si regrupand expresia admitantei se obtine

115

Pulsatia de rezonanta se obtine din anularea susceptantei echivalente a circuitului

obtinand

La limita daca Rs=0 se obtine pulsatia de rezonanta a circuitului paralel .

Deoarece pulsatia de rezonanta a circuitului real este mai

mica decat a celui ideal iar efectul rezistentei finite a bobinei conduce la

deplasarea rezonantei spre frecvente mai reduse.

Da2ca se defineste un factor de calitate al bobinei atunci putem exprima

rezistenta serie a bobinei prin relatia iar pulsatia de rezonanta devine:

Pentru a analiza efectul rezistentei bobinei asupra benzii de trecere a semnalelor echivalam circuitul serie al bobinei cu unul paralel

Din egalitatea admitantelor rezulta

respectiv .

Aceste relaţii pot fi exprimate in funcţie de factorul de calitate al bobinei

respectiv .

Banda de trecere a semnalului este iar frecventa de

rezonanta se obţine din anularea susceptanţei echivalente

a circuitului din figura rezultând

5.6.3 Rezonanţa curenţilor în circuitele cu elemente reale

Se consideră circuitul paralel format dintr-o bobină reală (R1 şi L) şi condensator real (R2 şi C) cărora li se ataşează schema echivalentă serie:

116

Fig. 4.84

Ecuaţiile în complex ale circuitului sunt:

Admitanţa complexă echivalentă a circuitului este :

Impunând condiţia de rezonanţă rezultă pulsatia

de rezonanta Din aceasta relatie se pot deduce posibilităţile de

obţinere a rezonanţei (modificarea: L, C, R1, R2, - frecvenţa reţelei).Cazuri de obţinere a rezonanţei:

a) şi atunci r este o mărime reală;

b) şi atunci r este o mărime reală;

c) dacă atunci rezonanţa are loc la orice frecvenţă a semnalului de

excitaţie. Diagrama fazorilor la rezonanţă poate fi una din variantele expuse în fig.4.85:

117

Fig. 4.85

Din diagrama de fazori rezultă componentele reactive ale curenţilor egale şi opuse (curenţii I1 şi I2 pot fi diferiţi).

Este posibil ca ambii curenţi (I1 şi I2) sau unul din curenţi să depăşească curentul total Ir la rezonanţă ceea ce conduce la aparitia supracurenţilor.

În cazul rezulta , admitanţa echivalentă este

, curentul este independent de frecvenţă, având valoarea: iar

circuitul este complet aperiodic. Defazajul dintre I1 şi I2 în orice moment şi la orice frecvenţă este de 90o.

Fig. 4.86

Din diagrama de fazori rezultă că tensiunea pe condensator şi curentul prin bobină sunt în fază iar energiile înmagazinate în elementele reactive oscilează în fază.Dacă uC şi i1 cresc, atunci sursele (generatoarele) furnizează energie atât rezistoarelor cât şi câmpul electromagnetic al circuitului, când uC şi i1 descresc energia înmagazinată în câmp se transformă în efect electrocaloric.

5.6.4 Rezonanţa în circuite cuplate magnetic

Independent de natura cuplajului a două circuite, este posibil ca prin variaţia fie a frecvenţei semnalului de excitaţie, fie a parametrilor să se realizeze rezonanţa în circuitul primar sau în cel secundar sau simultan în ambele circuite.

Să considerăm circuitul cuplat magnetic din figura 4.87:

Fig. 4.87

Ecuaţiile în complex ale celor două ochiuri furnizează relaţiile:

sau

118

Din a doua ecuaţie exprimând curentul secundar in funcţie de cel primar

si înlocuind in prima ecuaţie obţinem o dependenta intre tensiunea

si curentul din primar

sau

Impedanţa echivalentă a porţii de intrare este:

unde: - - reprezintă reactanţa echivalentă a porţii de intrare.

Pentru a obţine rezonanţa prin variaţia frecvenţei la poarta de acces a circuitului primar este necesar şi suficient ca reactanta echivalenta a circuitului sa se anuleze Xe=0 , relaţie echivalenta cu

Făcând aproximaţia , rezultă sau

Înmulţind relaţia de mai sus cu rezultă

Notând coeficient de dispersie ecuaţia de mai sus poate fi scrisă în forma: .

Rădăcinile reale şi pozitive ale acestei ecuaţii

reprezintă valorile pulsaţiilor la care are loc rezonanţa tensiunilor.Dacă cuplajul este slab soluţiile tind la valorile proprii de rezonanţă ale

circuitului primar respectiv secundar . Între pulsaţii există inegalităţile:

În consecinţă în astfel de circuite există mai multe frecvenţe de rezonanţă. Rezonanţele de tensiune şi de curent se succed astfel, după o rezonanţă a tensiunilor următoarea rezonanţă la creşterea frecvenţei este de curent.

119