capitolo 2 idrostatica - università degli studi della ... · • spinta idrostatica • centro di...
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Capitolo 2 Idrostatica
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Stato tensionale di un fluido in quiete
• Equilibrio di un cilindro infinitesimo di
fluido
x1
F1
F2
F3
dx1
a
z
13
2
1
1
1
F
F
F
xA
Ap
Axx
pp
dd
d
dd
0cos11
1
addddd xAAx
x
ppAp
01
1
zx
x
pdd
01
1
1
1
x
x
zx
x
pdd
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La legge di Stevino
• d(z + p/) = 0
• z + p/ = cost.
• zA+pA/=zB+pB/
• …
Attenzione alle ipotesi !!!Simone Stevino, noto anche
come Simon Stevin o Simone
di Bruges
(Bruges, 1548 – L'Aia, 1620)
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Under pressure :-)
• Piani orizzontali isobari
• Pressioni assolute, pressioni relative
• Unità di misura della pressione nel SI
• Unità di misura comuni per la pressione
atmosferica (mH2O, mmHg, atm )
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Applicazione: l’esperienza di Torricelli
Calcolare il valore della pressione
atmosferica sapendo che:
• hHg=0.76 m
• rHg=13595 kg/m3
• che nel tubo è stato fatto il vuoto
Se si ripetesse l’esperimento con
acqua invece di mercurio, quanto
varrebbe hH2O ?
Evangelista Torricelli
(Faenza 1608 – Firenze 1647)
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Pressione atmosferica
1 atm =
= 101325 Pa = 101325 N/m² = 1013.25 hPa = 1013.25 mbar
= 760 mm di mercurio (mmHg)
= 10.33 mH2O
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Applicazione: serbatoio aperto
Tracciare (in scala !) il
diagramma delle
pressioni relative lungo
la parete e il fondo del
serbatoio.
Tracciare inoltre il
diagramma delle altezze
piezometriche.
h
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Spinta idrostatica e centro di spinta:
pareti piane
• Spinta idrostatica
• Centro di spinta
• Calcolo mediante la geometria delle masse
• Proprietà della spinta e del centro di spinta
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Spinta idrostatica su pareti piane
“Il modulo della spinta è pari al prodotto della
pressione nel baricentro della parete bagnata per
l’area della parete stessa”
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Centro di spinta su pareti piane
“La coordinata x (distanza dalla retta di sponda) è data dal rapporto tra i momenti d’inerzia e statico rispetto alla retta di sponda.
La coordinata h (distanza dall’asse x) è data dal rapporto tra i momenti centrifugo xy e statico rispetto alla retta di sponda.”
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Baricentri e Momenti d’inerzia
G
y
x
b
h
Origine degli assi nell’intersezione
delle diagonali
• xG = 0
• yG = 0
• Ix = bh3/12
• Iy = hb3/12
• Ixy = 0
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Baricentri e Momenti d’inerzia
G
y
xb
h
Origine degli assi nell’intersezione
della base e dell’altezza
• xG = 0
• yG = h/3
• Ix = bh3/36
• Iy = hb3/48
• Ixy = 0
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Baricentri e Momenti d’inerzia
G
y
x
r
Origine degli assi nel centro del
cerchio
• xG = 0
• yG = 4/3 r sen3a/(2a-2sena)
• Ix = I’+ Ae2
• I’ = r4 (2a/8-1/4 sen 2a cos32a)
• A =1/2 r2 (2a-sen2a)
• Iy = r4/8 (4a-sen 2a)
• Ixy = 0
2a
e
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Baricentri e Momenti d’inerzia
G
y
x
r
Origine degli assi nel centro del
cerchio
• xG = 0
• yG =2/3 r sena/a
2a
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Esercizio
Nella figura sottostante è rappresentata una paratoia piana
verticale sulla quale si esercita la spinta di un liquido
omogeneo (r = 1000 kg/m3). Sulla base dei dati riportati si
tracci, in scale grafiche a scelta, il diagramma delle pressioni
e si calcoli la spinta per unità di lunghezza della paratoia,
nonché la posizione del centro di spinta.
5.4 m
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Esercizio
Si consideri l’autoclave in figura a cui è collegato un manometro a
mercurio (rHg = 13546 kg/m3) e un manometro metallico (M).
a) si determini la spinta per unità di larghezza
sulla parete A’M essendo h = 3 m e ∆ = 0,10 m;
b) si determini il nuovo valore di ∆ nel caso
l’apertura del rubinetto R faccia abbassare di 1
m il livello dell’acqua (h=2 m) e il manometro
metallico segni una pressione (assoluta) pari a
pM = 90 kN/m2.
c) con riferimento alle due condizioni di
funzionamento descritte ai punti precedenti, si
tracci nelle opportune scale grafiche il
diagramma delle pressioni relativo ad una
verticale interna all’autoclave.
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Equazione globale dell’idrostatica
Equilibrio di un volume
infinitesimo|V
Legge di Stevino
x1
F1
F2
F3
dx1
a
z
Equilibrio di un volume
finito|V
Equazione globale
W
s=(W)
FTOT = FMASSA+FSUPERFICIE = 0
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Equazione globale dell’idrostatica
Forze di massa (G):
– In generale f = (fx,fy,fz)
– Se agisce il solo peso f = (0,0,-g)
W
s=(W)
dG = f dM = f r dW
G = fW f r dW
dW
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Equazione globale dell’idrostatica
Forze di superficie (P):
– Dipendenti dallo stato tensionale
dP = fn ds = p n ds
P = fs p n ds
p = p(z) (legge di Stevino)
W
s=(W)
ds
n
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Spinta su pareti curve
• Differenze rispetto al caso di
parete piana
• Tre componenti della spinta
(in generale)
• Il caso piano
• Scelta del volume di
controllo
• Applicazione dell’equazione
globale per il calcolo delle
singole componenti
W
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Esercizio
Si determini il modulo della spinta complessiva e la sua retta di
azione sulla parete di lunghezza unitaria di profilo ABC. Si
rappresentino i risultati ottenuti anche in forma grafica.
A
r
r
r
r=1020 Kg/m3
C
B
r = 2.50 m
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Esercizio
Si determini il modulo e la retta d’azione della spinta
dell’acqua sulla paratoia a settore circolare AB lunga L = 5 m
rappresentata in figura. Si rappresentino anche in forma
grafica i risultati dei calcoli svolti.
h1= 3 m
h2 = 4 m
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Esercizio
Sia dato un serbatoio a base quadrata, con una
coppia di pareti opposte inclinate sulla orizzontale
dell’angolo a, pieno di acqua per una altezza h. Si
tracci il diagramma delle pressioni e delle altezze
piezometriche lungo le pareti del serbatoio. Si
calcoli, inoltre, la pressione vigente nel baricentro
delle pareti a contatto con il liquido.
Per il tirante h=3.00 m fare i calcoli adottando per
l’angolo a i seguenti valori: a = 30°, a = 45°, a =
60°. Per l’angolo a = 60° effettuare i calcoli
adottando il tirante h=3.00 m, h=5.00 m, h=10.00 m.
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Esercizio
Sia dato il serbatoio in figura, alto
10.00 m, riempito nello strato
inferiore con olio di densità r = 850
kg/m3 per una altezza h = 7.00 m.
Tracciare il diagramma delle altezze
piezometriche lungo la parete
verticale nelle ipotesi che il gas che
sovrasta l’olio presenti in un caso la
pressione po=2000 N/m2 e in un
secondo caso la pressione po = patm.
h
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Esercizio
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Esercizio
E’ dato un serbatoio con pianta
rettangolare di dimensioni: BC = 2.5
m, BL = 3.5 m ed altezza 3.0 m.
Sul fondo della parete lunga è
inserito uno sportello alto CE = 0.40
m e largo CM = 0.50 m. Detto
sportello è incernierato in E ed è
contrastato da un dente in C.
Calcolare la forza agente sul dente C
quando il serbatoio è pieno di acqua
per una altezza AB di 3.20 m.
Variante…lo sportello CE ha forma
circolare …
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Obiettivi formativi essenziali
• Il concetto di pressione
• Definizione di quota piezometrica
• Saper applicare la legge di Stevino
• Calcolare la spinta idrostatica ed il centro di
spinta su una parete piana
• Saper applicare l’equazione globale al
calcolo della spinta su una parete curva