capitolo 6 problemi di °usso su grafo - uniroma2.it · capitolo 6 problemi di °usso su grafo in...

Capitolo 6

Problemi di flusso su grafo

In questo capitolo introdurremo ed analizzeremo il seguente problema: si vuole trasferire,

a minimo costo, un flusso di beni attraverso una rete in modo da soddisfare la domanda

di certi nodi sulla base di quanto procurato da parte di altri nodi.

Sia G = (V, E) un grafo orientato al quale considereremo associato ad ogni arco e ad

ogni nodo un insieme di grandezze che li caratterizzano. In particolare, assoceremo ad ogni

arco (i, j) ∈ E un costo cij che definisce il costo per unita di flusso nell’arco stesso e che

varia linearmente con il flusso; una capacita uij che indichi la massima quantita di flusso

che puo scorrere lungo l’arco; infine, un limite inferiore lij che indica la minima quantita

di flusso che deve scorrere nell’arco medesimo. Ad ogni nodo i ∈ V , invece, assoceremo una

grandezza b(i) che indichera se il nodo e un punto di rifornimento del flusso oppure e un

punto di domanda del flusso; se b(i) > 0 allora il nodo i sara un nodo di rifornimento del

flusso, se b(i) < 0 allora il nodo i sara un nodo di domanda del flusso e se b(i) = 0 allora il

nodo i sara un nodo di trasferimento del flusso. In generale, considereremo∑

∀i∈V b(i) = 0

e che non ci sia dispersione del flusso lungo gli archi.

Per formulare il nostro problema in termini di modello di ottimizzazione, introduciamo

la variabile decisionale xij che rappresenta la quantita di flusso che scorre nell’arco (i, j).

Il Problema di flusso a costo minimo si puo formulare nel seguente modo:

81

82 CAPITOLO 6. PROBLEMI DI FLUSSO SU GRAFO

min∑

(i,j)∈E

cijxij

soggetto ai vincoli:

∑

j:(i,j)∈E

xij −∑

j:(j,i)∈E

xji = b(i) ∀i ∈ V (6.1)

lij ≤ xij ≤ uij ∀(i, j) ∈ E (6.2)

I vincoli 6.1 impongono sia soddisfatto il bilancio di massa ad ogni nodo. Infatti, essi

indicano che in un nodo la quantita di flusso entrante meno la quantita di flusso uscente

deve eguagliare la quantita di flusso rifornita o richiesta. I vincoli 6.2 impongono invece

che siano rispettati i limiti inferiori e superiori della capacita di ogni arco, cioe che il flusso

che scorre rispetti lo spettro di valori di capacita ammessi. In molte applicazioni si ha

per ogni arco che lij = 0, quindi nel seguito considereremo tale valore, se non altrimenti

specificato.

Ogni vettore X di componenti xij, (i, j) ∈ E e chiamato flusso, ogni vettore che soddisfa

gli insiemi di vincoli 6.1 e 6.2 e detto flusso ammissibile.

6.1 Algoritmi di ricerca del cammino minimo su di un

grafo

Gli algoritmi di ricerca del cammino minimo su un grafo costituiscono uno degli argomenti

principali dello studio delle reti di flusso. Le ragioni risiedono nel gran numero di appli-

cazioni reali che possono essere risolte mediante questo modello, nella grande semplicita

nell’ottenere soluzioni in modo molto efficiente, nel fatto che, nonostante la loro semplicita,

catturano alcuni aspetti teorici che sono alla base delle reti di flusso e della teoria dei grafi

e nel fatto che compaiono come sottoproblemi in molte applicazioni.

6.1. ALGORITMI DI RICERCA DEL CAMMINO MINIMO SU DI UN GRAFO 83

Consideriamo un grafo orientato G = (V, E) al quale associamo ad ogni arco (i, j) ∈ E

una lunghezza cij. Il grafo ha un nodo particolare che chiameremo sorgente s. Definiamo

la lunghezza di un cammino orientato nel grafo come la somma delle lunghezze degli archi

nel cammino. Il problema del cammino minimo in un grafo G = (V, E) (in inglese,

shortest path problem, SPP) consiste nel determinare i cammini di lunghezza minima dalla

sorgente s verso ogni altro nodo in V . In termini di flusso, possiamo modellare il problema

supponendo di inviare, a costo minimo, una unita di flusso verso ogni nodo i ∈ V −{s} in

un grafo senza vincoli di capacita. In termini di formulazione matematica, il modello e il

seguente:

min∑

(i,j)∈E

cijxij


∑

j:(i,j)∈E

xij −∑

j:(j,i)∈E

xji = n− 1 i = s (6.3)

∑

j:(i,j)∈E

xij −∑

j:(j,i)∈E

xji = −1 ∀i ∈ V − {s} (6.4)

xij ≥ 0 ∀(i, j) ∈ E (6.5)

Nello studio del cammino minimo dobbiamo fare alcune assunzioni:

• Gli archi devono avere lunghezza intera. Questa assunzione non e restrittiva perche

nella rappresentazione nei computer i numeri irrazionali sono convertiti in numeri

razionali e qualunque numero razionale puo essere trasformato in un numero intero

moltiplicandolo per un numero sufficientemente grande.

• Il grafo contiene un cammino orientato dalla sorgente s verso qualunque altro nodo

nel grafo.

• Il grafo non contiene cicli di lunghezza negativa. Per la formulazione vista, l’esistenza

di un ciclo W a costo negativo implicherebbe una soluzione non limitata inferiormente

perche potremmo inviare una quantita infinita di flusso lungo W .


s

P1 P3

P2

p k

Figura 6.1: Cammini da s a k.

Dato che esiste un cammino orientato dalla sorgente ad ogni altro nodo del grafo, allora

possiamo dire che esiste un albero dei cammini minimi che dalla sorgente si emana verso

tutti gli altri nodi i cui archi sono gli archi dei diversi cammini. L’esistenza di tale albero

e sostenuta dalla seguente proprieta:

Proprieta 6.1.1 Se il cammino s = n1, n2, . . . , nk = k e un cammino minimo dalla sor-

gente s al nodo k, allora per ogni p = 2, 3, . . . , k − 1, il sottocammino s = n1, n2, . . . , np e

il cammino minimo dalla sorgente s al nodo p.

Dimostrazione: Questa proprieta e facile da dimostrare. Infatti, se prendiamo in Figu-

ra 6.1 il cammino minimo P1-P3 da s a k che passa attraverso un certo nodo p, allora il

cammino P2 non e il cammino minimo da s a p. Se P2 fosse il cammino minimo, allora

sarebbe sufficiente prendere il cammino P2-P3 da s a k per avere un cammino piu corto di

P1-P3, contraddicendo la sua ottimalita.

Indichiamo ora con d(i) la distanza del nodo i ∈ V da s. La Proprieta 6.1.1 implica

che se P e un cammino minimo da s a k, allora d(j) = d(i) + cij, ∀(i, j) ∈ P ; anche il

viceversa e vero, infatti:

Proprieta 6.1.2 Se d(j) = d(i)+cij, ∀(i, j) ∈ P , allora P deve essere il cammino minimo

tra s e k.

Dimostrazione: Per dimostrare questa affermazione, supponiamo che s =

n1, n2, . . . , nk = k sia la successione di nodi nel cammino P . Allora, prendendo la distanza

d(k) ed aggiungendo e togliendo la distanza di ogni nodo in P otteniamo, manipolando

algebricamente l’espressione, che:

d(k) = d(nk) = (d(nk)− d(nk−1)) + (d(nk−1)− d(nk−2)) + . . . + (d(n2)− d(n1))


Considerando che d(n1) = d(s) = 0 e che per assunzione d(j)−d(i) = cij, abbiamo che:

d(k) = cnk−1nk+ cnk−1nk−2

+ . . . + cn1n2 =∑

∀(i,j)∈P

cij

Di conseguenza, P e un cammino diretto dalla sorgente s a k di lunghezza d(k) e dato

che per assunzione d(k) e la distanza del cammino minimo del nodo k, allora P deve essere

il cammino minimo del nodo k.

Quanto detto si puo riassumere nel seguente risultato:

Proprieta 6.1.3 Un cammino diretto P dalla sorgente s al nodo k e un cammino di

lunghezza minima se e solo se d(j) = d(i) + cij, ∀(i, j) ∈ P .

6.1.1 L’algoritmo di Dijkstra

L’algoritmo di Dijkstra e un algoritmo in grado di risolvere il problema della ricerca del

cammino minimo dalla sorgente s a tutti i nodi. L’algoritmo mantiene una etichetta d(i)

ai nodi che rappresentano un upper bound sulla lunghezza del cammino minimo del nodo i.

Ad ogni passo l’algoritmo partiziona i nodi in V in due insiemi: l’insieme dei nodi etichet-

tati permanentemente e l’insieme dei nodi che sono ancora etichettati temporaneamente.

La distanza dei nodi etichettati permanentemente rappresenta la distanza del cammino

minimo dalla sorgente a tali nodi, mentre le etichette temporanee contengono un valore

che puo essere maggiore o uguale alla lunghezza del cammino minimo.

L’idea di base dell’algoritmo e quella di partire dalla sorgente e cercare di etichettare

permanentemente i nodi successori. All’inizio, l’algoritmo pone il valore della distanza

della sorgente a zero ed inizializza le altre distanze ad un valore arbitrariamente alto (per

convenzione, porremo come valore iniziale delle distanze d(i) = +∞, ∀i ∈ V ). Ad ogni

iterazione, l’etichetta del nodo i e il valore della distanza minima lungo un cammino dal-

la sorgente che contiene, a parte i, solo nodi etichettati permanentemente. L’algoritmo

seleziona il nodo la cui etichetta ha il valore piu basso tra quelli etichettati temporanea-

mente, lo etichetta permanentemente ed aggiorna tutte le etichette dei nodi a lui adiacenti.

L’algoritmo termina quando tutti i nodi sono stati etichettati permanentemente.


In Figura 6.2 e riportata la descrizione dell’Algoritmo di Dijkstra. Le operazioni com-

piute dall’algoritmo sono fondamentalmente due: una operazione di selezione del nodo ed

una operazione di aggiornamento delle distanze. La prima seleziona ad ogni passo il nodo

con il valore dell’etichetta piu basso, l’altra verifica la condizione d(j) > d(i) + cij e, in

caso positivo, aggiorna il valore dell’etichetta ponendo d(j) = d(i) + cij.

algorithm DIJKSTRA;

beginS = ∅;S = V ;

∀i ∈ V , d(i) = ∞;

d(s) = 0;pred(s) = 0;while |S| < n dobegin

sia i ∈ S un nodo per cui d(i) = min{d(j) : j ∈ S};S = S ∪ {i};S = S − {i};for ∀(i, j) ∈ A(i) do

if d(j) > d(i) + cij thenbegin

d(j) = d(i) + cij;

pred(j) = i;end;

end;end;

Figura 6.2: L’algoritmo di Dijkstra

Vediamo un esempio per analizzare i passi effettuati dall’algoritmo.

Esempio 6.1.1 Dato il grafo G in Figura 6.3, calcolare i cammini minimi del nodo sorgen-

te {1} verso gli altri nodi utilizzando l’algoritmo di Dijkstra. Usare le tabelle di Etichetta

nodo, Archi e Predecessore per indicare rispettivamente l’aggiornamento delle etichette dei

nodi, gli archi candidati per ogni nodo ed i predecessori lungo il cammino minimo.

All’inizio, l’algoritmo partiziona i nodi in due insiemi S (nodi etichettati permanentemen-

te) e S (nodi etichettati temporaneamente), pone l’etichetta della sorgente uguale a zero e


2

1

2

2

4

2

1

4

3

1

5

2

2

1

4

3

3 8

4 7

6

5

Figura 6.3: Grafo per l’Esempio 6.1.1 e corrispondente tabella degli archi.

le etichette degli altri nodi uguali a ∞. Successivamente entra nel ciclo while ed esegue i

seguenti passi:

• seleziona il primo nodo ad etichetta minima, cioe la sorgente s; quindi, per ogni suo

nodo adiacente ad esso, verifica se d(2) > d(1) + c12, d(3) > d(1) + c13 e d(4) >

d(1) + c14; dato che ∞ > 0 + 2 = 2, ∞ > 0 + 4 = 4 e ∞ > 0 + 2 = 2, tutte e tre le

condizioni sono verificate e quindi aggiorno le etichette ed i predecessori nel seguente

modo: d(2) = d(1) + c12 = 0 + 2 = 2 e pred(2) = 1, d(3) = d(1) + c13 = 0 + 4 = 4 e

pred(3) = 1 ed infine d(4) = d(1) + c14 = 0 + 2 = 2 e pred(4) = 1.

• al secondo passo, l’etichetta con il valore piu basso e d(2) e quindi seleziono il nodo 2

che diventa etichettato permanentemente. Per i suoi nodi adiacenti si deve verificare

se d(3) > d(2) + c23 e d(5) > d(2) + c25; dato che solo la seconda viene verificata

(perche d(3) = 4 > d(2) + c23 = 2 + 2 = 4 non e verificata, mentre e vero che

d(5) = ∞ > d(2) + c25 = 2 + 4 = 6), aggiorno la sua etichetta ponendo d(5) =

d(2) + c25 = 2 + 4 = 6 e pred(5) = 2.

• al terzo passo, l’etichetta di valore piu basso e d(4) e quindi seleziono il nodo 4 che

diventa etichettato permanentemente. Per i suoi nodi adiacenti si deve verificare se

d(3) > d(4) + c43 e d(7) > d(4) + c47; dato che entrambe sono verificate (perche

d(3) = 4 > d(4) + c43 = 2 + 1 = 3 e d(7) = ∞ > d(4) + c47 = 2 + 5 = 7), aggiorno le

etichette ed ottengo d(3) = 3 e pred(3) = 4, e d(7) = 7 e pred(7) = 4.


• al quarto passo, l’etichetta di valore piu basso e d(3) e quindi seleziono il nodo 3 che


d(5) > d(3) + c35 e d(6) > d(3) + c36; dato che e verificata solo la seconda, aggiorno

l’etichetta corrispondente ed ottengo d(6) = 4 e pred(6) = 3.

• al quinto passo, l’etichetta di valore piu basso e d(6) e quindi seleziono il nodo 6 che


d(7) > d(6) + c68 e d(8) > d(6) + c68; dato che entrambe sono verificate, aggiorno le

due etichette ed ottengo d(7) = 6 e pred(7) = 6, e d(8) = 8 e pred(8) = 6.

• al sesto passo, l’etichetta di valore piu basso e d(5) e quindi seleziono il nodo 5 che


d(6) > d(5) + c56 e d(8) > d(5) + c58; dato che solo la seconda e verificata, aggiorno

l’etichetta corrispondente ed ottengo d(8) = 7 e pred(8) = 5.

• al settimo passo, l’etichetta di valore piu basso e d(7) e quindi seleziono il nodo 7

che diventa etichettato permanentemente. Per i suoi nodi adiacenti si deve verifi-

care se d(8) > d(7) + c78; dato che la relazione non e verificata non effettuo alcun

aggiornamento.

• all’ottavo ed ultimo passo, l’etichetta di valore piu basso e d(8) e quindi seleziono il

nodo 8 che diventa etichettato permanentemente. Il nodo non ha nessun adiacente,

quindi l’algoritmo termina.

Nelle due tabelle in Figura 6.4 sono riassunti rispettivamente l’andamento delle etichette

lungo i singoli passi dell’algoritmo e i predecessori dei singoli nodi per ricostruire i cammini

minimi.

Correttezza dell’algoritmo di Dijkstra

Per dimostrare la correttezza dell’algoritmo di Dijkstra facciamo due ipotesi induttive. La

prima e che le etichette di distanza dei nodi in S sono ottime, la seconda che le etichette di

distanza dei nodi sono la lunghezza del cammino minimo dalla sorgente s che contengono


Figura 6.4: Evoluzione delle etichette dei nodi e lista di adiacenza per il grafo di Figura 6.3.

solo nodi in S. Per dimostrare la prima ipotesi, ricordiamoci che ad ogni passo l’algoritmo

trasferisce un nodo i con l’etichetta piu piccola da S a S; quindi, occorre dimostrare che

d(i) e ottima. Ma per le ipotesi induttive poste, d(i) e la lunghezza del cammino minimo

del nodo i tra tutti i cammini che non contengono un nodo di S. Supponiamo allora, per

assurdo, di considerare un cammino P che contiene almeno un nodo k ∈ S, come mostrato

in Figura 6.5 e di decomporre il cammino P nei due sottocammini P1-P2: il sottocammino

P1 non contiene un nodo di S, ma termina in un nodo in S; quindi, per ipotesi induttiva

la lunghezza e d(k) e dato che i ha la distanza minima in S, deve risultare che d(k) ≥ d(i)

e quindi il sottocammino P1 deve avere lunghezza almeno d(i). Dato che ogni arco ha

lunghezza non negativa, la lunghezza del sottocammino P2 e non negativa e quindi la

lunghezza del cammino P e almeno d(i).

Per dimostrare che l’algoritmo verifica la seconda ipotesi induttiva, osserviamo che dopo

che e stata effettuata l’etichettatura permanente del nodo i, le etichette di alcuni nodi in

S − {i} decrescono, perche questo e interno al cammino minimo che si sta cercando per

tali nodi. Ma dopo aver permanentemente etichettato un nodo i, l’algoritmo esamina ogni

arco (i, j) ∈ A(i) e se d(j) > d(i) + cij, allora avviene l’aggiornamento d(j) = d(i) + cij,

pred(j) = i. Quindi, dopo l’aggiornamento, per le ipotesi induttive, il cammino dalla

sorgente al nodo j definito dal vettore dei predecessori soddisfa la Proprieta 6.1.3 e quindi

le etichette di distanza di ogni nodo in S − {i} sono la lunghezza del cammino minimo


P1

SS

i

s

k

pred(i)P2

Figura 6.5: Disegno per la correttezza di Dijkstra

soggette alla restrizione che ogni nodo del cammino deve appartenere ad S ∪ {i}.

Per quanto riguarda la complessita computazionale dell’algoritmo di Dijkstra partiamo

dalle due operazioni di base che l’algoritmo esegue. In particolare, l’operazione di selezione

dei nodi viene eseguita n volte ed ad ogni passo scandisce ogni nodo etichettato tempora-

neamente, quindi esegue n + (n− 1) + (n− 2) + . . . + 1 = O(n2) iterazioni. L’operazione

di aggiornamento delle etichette viene eseguita |A(i)| volte per ogni nodo i, quindi lungo

tutta l’esecuzione dell’algoritmo viene eseguita∑

∀i∈V |A(i)| = m; dato che ogni opera-

zione di aggiornamento richiede O(1), ne segue che l’algoritmo impiega O(m) per aggior-

nare le etichette. Riassumendo, dato che O(m) < O(n2), la complessita computazionale

dell’algoritmo di Dijkstra e O(n2).

Il valore di complessita trovato e il migliore che si puo ottenere per grafi molto densi,

mentre puo essere migliorato nel caso di grafi sparsi. Infatti, la complessita della ope-

razione di selezione dei nodi pesa considerevolmente di piu rispetto alla complessita del-

l’aggiornamento delle etichette. Di conseguenza sono stati effettuati molti sforzi diretti al

miglioramento dell’efficienza di tale operazione e, in particolare, implementando strutture

dati piu elaborate, si e riuscito a diminuire la complessita sino a O(m + n log n) nel caso

di liste di nodi memorizzate come liste di Fibonacci. Rimandiamo il lettore a [10] per una

trattazione completa sulle diverse implementazioni.

6.2. PROBLEMI DI MASSIMO FLUSSO SU GRAFO 91

6.2 Problemi di massimo flusso su grafo

Il problema della ricerca del massimo flusso su di un grafo e un problema complementare a

quello della ricerca del cammino minimo. Infatti, alcuni aspetti del problema del flusso a

costo minimo sono catturati dal problema del cammino minimo nel quale sono considerati

i costi ma non le capacita; il problema del massimo flusso, invece, considera le capacita, ma

non i costi. L’unione dei problemi del cammino minimo e del flusso massimo rappresenta

la combinazione di tutti gli ingredienti di base dell’ottimizzazione delle reti di flusso.

Consideriamo un grafo orientato G = (V, E) nel quale ad ogni arco (i, j) ∈ E sia

assegnata una capacita uij ≥ 0 e sia U = max{uij : uij < ∞,∀(i, j) ∈ E}. Il Problema

del massimo flusso su di un grafo si puo enunciare nel seguente modo: in un grafo

orientato con capacita, determinare il massimo flusso che puo essere inviato da un nodo

s chiamato sorgente ad un nodo t chiamato pozzo, senza eccedere le capacita dei singoli

archi. Il problema puo essere formulato matematicamente nel seguente modo:

max v


∑

j:(i,j)∈E

xij −∑

j:(j,i)∈E

xji = v i = s (6.6)

∑

j:(i,j)∈E

xij −∑

j:(j,i)∈E

xji = 0 ∀i ∈ V − {s} − {t} (6.7)

∑

j:(i,j)∈E

xij −∑

j:(j,i)∈E

xji = −v i = t (6.8)

0 ≤ xij ≤ uij ∀(i, j) ∈ E (6.9)

Il vettore x = {xij} che soddisfa le equazioni scritte conterra il valore del flusso per

ogni arco (i, j) e la variabile v conterra il valore totale del flusso. Nell’analisi del problema

del massimo flusso poniamo le seguenti assunzioni:

• Tutte le capacita sono interi non negativi.


• Il grafo non contiene un cammino diretto dal nodo s al nodo t composto solo da archi

di capacita infinita. Questa assunzione impedisce che una quantita di flusso infinita

possa scorrere lungo un cammino, rendendo il problema illimitato.

• Se il grafo contiene l’arco (i, j) allora contiene anche l’arco (j, i). Questa assunzione

non e restrittiva perche possiamo sempre aggiungere archi a capacita nulla.

• Il grafo non contiene archi multipli.

Per poter sviluppare l’algoritmo necessario per risolvere il nostro problema, abbiamo

bisogno di definire il concetto di grafo residuo G(x) corrispondente ad un flusso assegnato

x. Supponiamo che un arco (i, j) trasporti xij quantita di flusso. Quindi possiamo ancora

inviare sull’arco uij − xij unita di flusso dal nodo i al nodo j; analogamente, potremmo

inviare xij unita di flusso da j ad i per annullare il flusso che scorre in (i, j). Sulla base

di questa osservazione possiamo definire un grafo residuo, rispetto ad un dato flusso x,

sostituendo ogni arco (i, j) con una coppia di archi: un arco (i, j) con capacita residua

rij = uij − xij e un arco (j, i) con capacita residua rji = xji, come si puo notare in

Figura 6.6. Il grafo residuo consiste solo negli archi con capacita residua positiva. Dalla

uij − xij

i i j

rij

i jj

(xij, uij)

⇒xji

Figura 6.6: Costruzione del grafo residuo.

definizione di grafo residuo che abbiamo dato, ne segue che la capacita residua e composta

da due componenti: una componente che indica la capacita non utilizzata uij − xij ed

una componente xji che indica il flusso corrente. Quindi, possiamo scrivere che rij =

uij − xij + xji.

Nella Sezione 5.3 abbiamo dato la definizione di taglio in un grafo come la partizione

dei suoi nodi in due insiemi, S e S = V − S, usando la notazione [S, S]. Nel seguito di

questo capitolo faremo riferimento ai tagli di tipo s-t, ovvero quei tagli nei quali s ∈ S


G(x)

1

2

3

4

5

61

2

3

4

6

5

11

1

1

1

11

1

1

22

2(1,2)

(1,3)

(1,2)

(1,2)

(2,2)

(2,2)

(1,2)

G

Figura 6.7: Un grafo G con un flusso assegnato x ed il corrispondente grafo residuo G(x).

e t ∈ S. Inoltre, definiremo come archi diretti del taglio [S, S] gli archi (i, j) tali per cui

i ∈ S e j ∈ S e con archi inversi del taglio [S, S] gli archi (i, j) tali per cui i ∈ S e j ∈ S;

indicheremo con (S, S) l’insieme degli archi diretti del taglio [S, S] e con (S, S) l’insieme

degli archi inversi del taglio [S, S]. Per esempio, in Figura 6.8 e riportato un taglio s-t

per il grafo G di Figura 6.7, dove [S, S] = {(1, 3), (3, 4), (4, 6)}, (S, S) = {(1, 3), (4, 6)} e

(S, S) = {(3, 4)}.

1

2

3

4

6

5

Figura 6.8: Un taglio s-t per il grafo di Figura 6.7.

Definizione 6.2.1 Si definisce capacita u[S, S] di un taglio s-t la somma delle capacita

degli archi diretti del taglio, ovvero:

u[S, S] =∑

(i,j)∈(S,S)

uij (6.10)


Si definisce taglio minimo il taglio s-t che tra tutti i possibili tagli s-t ha capacita

minima.

Chiaramente, la capacita di un taglio e un limite superiore della quantita massima di

flusso che possiamo inviare dai nodi in S ai nodi in S rispettando i vincoli di capacita

imposti.

Definizione 6.2.2 Si definisce capacita residua r[S, S] di un taglio s-t la somma delle

capacita residue degli archi diretti del taglio, ovvero:

r[S, S] =∑

(i,j)∈(S,S)

rij (6.11)

Dato un flusso x su di un grafo, per calcolare il flusso attraverso un taglio s-t possiamo

utilizzare il vincolo di bilancio di massa della formulazione, per cui:

v =∑

∀i∈S

[ ∑

j:(i,j)∈E

xij −∑

j:(j,i)∈E

xji

]

Questa espressione si puo semplificare notando che se (p, q) ∈ E e p ∈ S e q ∈ S,

allora comparira un xpq nella prima sommatoria all’interno delle parentesi quadre (quando

i = p), ed un −xpq nella seconda (quando j = q). Considerando che nella sommatoria non

compaiono neanche le componenti di x che fanno riferimento ad archi che hanno solo nodi

in S, possiamo scrivere che:

v =∑

(i,j)∈(S,S)

xij −∑

(i,j)∈(S,S)

xij (6.12)

Questa relazione indica che il flusso dai nodi in S ai nodi in S e uguale al flusso che

da S va in S, meno il flusso che da S va a S e, dato che il primo membro dell’equazione e

esattamente il valore del flusso, abbiamo che esso eguaglia esattamente il valore del flusso

nel taglio. Considerando che xij ≤ uij e che xij ≥ 0, possiamo scrivere che:

v ≤∑

(i,j)∈(S,S)

uij (6.13)


Questo risultato ci indica che il valore di un qualunque flusso sul grafo e minore o al piu

uguale alla capacita di un su qualunque taglio s-t. Tale risultato e abbastanza intuitivo

perche ogni flusso che scorre da s a t deve attraversare ogni taglio s-t e, quindi, non ne puo

eccedere la capacita.

6.2.1 L’algoritmo di Ford e Fulkerson

Per risolvere il problema del massimo flusso in un grafo attraverso l’algoritmo che stiamo

per introdurre abbiamo bisogno di alcune definizioni sul grafo residuo:

Definizione 6.2.3 Si definisce cammino aumentante nel grafo residuo un cammino

diretto dalla sorgente al pozzo e capacita residua δ la minima capacita residua di ogni

arco nel cammino aumentante.

Nel grafo in Figura 6.7, un cammino aumentante nel grafo G(x) e costituito dagli

archi {(1, 2), (2, 4), (4, 3), (3, 5), (5, 6)} e la capacita residua δ = min{r12, r24, r43, r35, r56} =

min{1, 1, 1, 2, 1} = 1. Come si puo notare, la capacita residua e sempre maggiore di zero;

quindi, non appena un grafo contiene un cammino aumentante, possiamo inviare ulteriore

flusso dalla sorgente al pozzo.

Quest’ultima osservazione ci suggerisce l’algoritmo per risolvere il problema della ricerca

del massimo flusso. Infatti, potremmo iniziare utilizzando le tecniche di ricerca viste nella

Sezione 5.1 per identificare un cammino da s a t nel grafo G(x) partizionando i nodi del

grafo in due insiemi: nodi etichettati (quelli raggiungibili da s) e nodi non etichettati

(quelli non raggiungibili da s). Se alla fine del processo t e etichettato, allora invio la

massima quantita di flusso, pari alla capacita residua sul cammino aumentante trovato;

quindi, cancello tutte le etichette e ripeto la procedura iterativamente. L’algoritmo termina

quando non riesco ad etichettare t, cioe quando non esiste un cammino aumentante dalla

sorgente al pozzo.

Prima di esporre l’algoritmo, si vuole sottolineare che la ricerca di un cammino aumen-

tante nel grafo residuo G(x) corrisponde alla ricerca in G di un cammino dalla sorgente al

pozzo, non necessariamente orientato, con xij < uij per ogni arco diretto nel verso del cam-

mino e con xij > 0 per ogni arco inverso rispetto al verso del cammino ed esiste un cammino


aumentante rispetto ad un certo flusso x se e soltanto se esiste un cammino diretto da s a t

in G(x). Se ad un certo passo dell’algoritmo si aggiorna il flusso con un flusso addizionale

δ, allora xij variera rispettando la definizione di capacita residua (rij = uij − xij + xji) o

aumentando xij di δ unita o diminuendo xji di δ unita, oppure si avra una combinazione

convessa delle due possibilita precedenti.

algorithm FORD&FULKERSON;

beginetichetta il nodo t;while t e etichettato dobegin

cancella le etichette di tutte i nodi i ∈ V ;

pred(j) = 0, ∀i ∈ V ;

etichetta s e poni LISTA= {s};while LISTA 6= ∅ e t e non etichettato dobegin

rimuovi un nodo i da LISTA;

for (i, j) ∈ G(x) doif nodo j e non etichettato then;begin

pred(j) = i;etichetta j;aggiungi j a LISTA;

end;end;if t e etichettato thenbegin

usa le etichette dei predecessori per trovare all’indietro

il cammino aumentante P da s a t;δ = min{rij, (i, j) ∈ P};aumenta di δ unita di flusso lungo P e aggiorna G(x);

end;end;

end;

Figura 6.9: L’algoritmo di Ford e Fulkerson

Le osservazioni fatte fin qui possono essere formalizzate nell’algoritmo di Ford e Fulker-

son descritto in Figura 6.9. La correttezza dell’algoritmo segue dal fatto che sono possibili

due casi: o l’algoritmo trova un cammino aumentante dalla sorgente al pozzo, oppure non


riesce a trovare alcun cammino. Se si verifica il secondo caso dobbiamo dimostrare che

allora il flusso e ottimo. Supponiamo quindi che ad un certo passo, S sia l’insieme dei nodi

etichettati e S = V −S l’insieme dei nodi non etichettati, con s ∈ S e t ∈ S. Se l’algoritmo

non puo etichettare i nodi in S a partire dai nodi in S, allora rij = 0, ∀(i, j) ∈ (S, S);

inoltre, dato che rij = uij − xij + xji, xij ≤ uij e xji ≥ 0, allora la condizione rij = 0

implica che xij = uij per ogni arco (i, j) ∈ (S, S) e xij = 0 per ogni arco (i, j) ∈ (S, S).

Sostituendo questi valori nell’Equazione 6.12 otteniamo:

v =∑

(i,j)∈(S,S)

xij −∑

(i,j)∈(S,S)

xij =∑

(i,j)∈(S,S)

uij = u[S, S] (6.14)

Questa relazione mostra che il valore del flusso corrente x eguaglia la capacita del taglio

[S, S] e dato che l’Equazione 6.13 implica che x e il flusso massimo e [S, S] e il taglio minimo,

allora abbiamo dimostrato il seguente risultato:

Teorema 6.2.1 Il valore massimo del flusso dalla sorgente s al pozzo t in un grafo con

capacita eguaglia la capacita del minimo taglio s-t.

Il teorema precedente, che chiameremo Teorema del massimo flusso e del mini-

mo taglio ci dice anche che quando l’algoritmo di Ford e Fulkerson termina con il massimo

flusso, contemporaneamente ci fornisce anche il taglio minimo.

Esempio 6.2.1 Dato il grafo in Figura 6.10, calcolare il flusso massimo dalla sorgente

{1} al pozzo {8} utilizzando l’algoritmo di Ford e Fulkerson, disegnando la successione dei

grafi residui. Indicare il taglio minimo corrispondente al flusso trovato.

Nel grafo in Figura 6.10 il flusso e posto inizialmente a xij = 0 per ogni arco; quindi, il

primo grafo residuo coincide con il grafo di partenza.

• Nella prima iterazione l’algoritmo trova il cammino aumentante {(1, 2), (2, 5), (5, 8)},con δ = min{r12, r25, r58} = min{4, 2, 4} = 2. L’algoritmo esegue l’aumento del flusso

pari a δ = 2 unita ed aggiorna il grafo residuo, disegnato in Figura 6.11.


4

1 3 8

4 7

6

52

3

2

3

3

5

4

6

3 2

2

2

4

Figura 6.10: Grafo per l’Esempio 6.2.1.

2

1 3 8

4 7

6

52

3

2

3

3

56

3 2

2

2

4

22 2

Figura 6.11: Il grafo residuo dopo la prima iterazione.


• Nella seconda iterazione l’algoritmo trova il cammino aumentante

{(1, 2), (2, 4), (4, 7), (7, 8)} con δ = min{r12, r24, r47, r78} = 2. L’algoritmo ese-

gue l’aumento del flusso pari a δ = 2 unita ed aggiorna il grafo residuo, disegnato in

Figura 6.12.

2

1 3 8

4 7

6

52

2

3

3

56

3 2

2

2

24

2

2

1

2

Figura 6.12: Il grafo residuo dopo la seconda iterazione.

• Nella terza iterazione l’algoritmo trova il cammino aumentante {(1, 3), (3, 5), (5, 8)}con δ = min{r13, r35, r58} = 2. L’algoritmo esegue l’aumento del flusso pari a δ = 2

unita ed aggiorna il grafo residuo, disegnato in Figura 6.13.

21 3 8

4 7

6

52

2

3

5

3 2

2

4

2

2

1

2 2

3

4

4

Figura 6.13: Il grafo residuo dopo la terza iterazione.

• Nella quarta iterazione l’algoritmo trova il cammino aumentante {(1, 3), (3, 6), (6, 8)}con δ = min{r13, r36, r68} = 3. L’algoritmo esegue l’aumento del flusso pari a δ = 3

unita ed aggiorna il grafo residuo, disegnato in Figura 6.14.

• Nella quinta iterazione, l’algoritmo non riesce ad etichettare il pozzo e quindi termina.


51 3 8

4 7

6

52

2

33 2

2

4

2

2

1

2 2

4

3

3

21

Figura 6.14: Il grafo residuo dopo la quarta iterazione.

Il flusso massimo e pari alla somma degli incrementi eseguiti nei singoli passi, cioe

v? = 2 + 2 + 2 + 3 = 9. Il taglio minimo e riportato in Figura 6.15.

4

1 3 8

4 7

6

52

3

2

3

3

5

4

6

3 2

2

2

4

Figura 6.15: Il taglio minimo del grafo di Figura 6.10.

Complessita computazionale dell’algoritmo di Ford e Fulkerson

Per calcolare la complessita computazionale osserviamo che l’algoritmo esegue una ricerca

per trovare un cammino dalla sorgente al pozzo (che sappiamo essere eseguibile, dalla

Sezione 5.1, in O(m) passi) tante volte quanto e possibile eseguire degli aumenti di flusso.

Per tali aumenti, se le capacita sono intere e limitate da U , allora la capacita di un taglio

(s,N − {s}) e al piu nU . Di conseguenza, siccome l’algoritmo aumenta il flusso di almeno

una unita ogni iterazione, ne segue che globalmente l’algoritmo esegue O(nmU) iterazioni.


L’algoritmo visto e sicuramente uno dei piu semplici per risolvere il problema del mas-

simo flusso, ma il valore di complessita computazionale e legato al valore di U e questo

potrebbe portare a casi nei quali l’algoritmo non risulta essere efficiente (per esempio, se

U = 2n). Inoltre, in alcuni casi puo eseguire tante iterazioni quante indicate dal caso

peggiore. Per esempio, se si considera l’istanza della Figura 6.16, l’algoritmo potrebbe

selezionare i cammini aumentanti 1− 3− 2− 4 e 1− 2− 3− 4, alternativamente, 106 volte,

ogni volta aumentando il flusso di una unita.

106-1

1

3

2

1

3

2

1

3

2

4 44

106

106

106

106

1

106

106

1 11

106-1 106-1

11

1

106-1106-1

1

106-1

1

Figura 6.16: Istanza patologica per l’algoritmo di Ford e Fulkerson.

Un altro difetto dell’algoritmo risiede nel fatto che ad ogni passo deve essere rieseguito il

processo di etichettatura e, quindi, le informazioni che si generano sui cammini aumentanti

vengono perse ad ogni passo e si devono ricalcolare di nuovo.

In [10] sono riportati diversi algoritmi efficienti per la risoluzione del problema del

massimo flusso che non risentono dei limiti dell’algoritmo di Ford e Fulkerson.

Indice analitico

Albero, 45

Ricoprente, 46

Minimo, 70

Algoritmo, 18

di Kruskal, 74

di ordinamento topologico, 68

di Prim, 76

di Dijkstra, 85

di Ford e Fulkerson, 95

di ricerca su grafo, 61

in ampiezza, 64

in profondita, 66

di ricerca su stringa, 20

Archi, 3

Multipli, 3

Bridge, 41

Ciclo, 14

Clique, 6

Componenti connesse, 40

Connessione, 16

Crescita di funzioni, 22

Combinazione di, 24

Cut-vertex, 41

Densita, 6

Distanza, 42

Embedding planare, 53

Faccia, 54

Flusso, 81

Foresta, 45

Formula di Eulero, 58

Grafo, 3

Aciclico, 43

Bipartito, 11, 44

Complemento, 9

Completo, 6

Denso, 6

Dimensione di un, 5

Disegno di un, 53

Duale, 55

Euleriano, 46

k-regolare, 8

Ordine di un, 5

Orientato, 33

Piano, 53

Planare, 53

Semplice, 3

102

INDICE ANALITICO 103

Sparso, 6

Insieme indipendente, 9

Isomorfismo, 37

Classi di equivalenza, 40

K-Fattorizzazione, 8

Lemma Handshaking, 7

Lista di adiacenza, 37

Loop, 3

Matching, 11

Matrice di adiacenza, 35

Matrice di incidenza, 34

Nodi, 3

Notazione Big-O, 23

Numero cromatico, 13

Ordinamento topologico, 67

Path, 14, 15

Problema

decisionale, 17

del cammino minimo, 83

del flusso massimo, 91

dell’albero ricoprente minimo, 70

di flusso a costo minimo, 81

Regione, 54

Sottografo, 4

Indotto, 4

Ricoprente, 4

Taglio, 71

Teorema

del massimo flusso e minimo taglio, 97

di Eulero, 46

di Kuratowski, 59

Trail, 15

Euleriano, 46

Hamiltoniano, 48

Vertex covering, 10

Vicinato, 7

Walk, 15

104 INDICE ANALITICO

Bibliografia

[1] AA.VV. Kaliningrad Business Guide. http://guide.kaliningrad.net.

[2] B. Bollobas. Modern graph theory. Springer-Verlag, 1998.

[3] K. Steiglitz C. H. Papadimitriou. Combinatorial optimization: algorithms and

complexity. Prentice Hall, 1982.

[4] N. Christofides. Graph theory, an algorithmic approach. Academic Press, 1975.

[5] R. Diestel. Graph Theory. Springer-Verlag, 2005.

[6] S. Fortin. The graph isomorphism problem. Technical Report TR96-20, Department

of Computer Science, The University of Alberta, Canada, July 1996.

[7] D. Jungnickel. Graphs, network and algorithms. Springer-Verlag, 1999.

[8] F. Maffioli. Elementi di programmazione matematica. Casa Editrice Ambrosiana,

2000.

[9] R. J. Wilson N. L. Biggs, E. K. Lloyd. Graph Theory 1736-1936. Oxford University

Press, 1999.

[10] J. B. Orlin R. K. Ahuja, T. L. Magnanti. Network Flows. Pearson Education, 1993.

[11] K. H. Rosen. Discrete mathematics and its applications. McGraw Hill Text, 1998.

[12] P. Serafini. Ottimizzazione. Zanichelli, 2000.

[13] A. Ventre. Introduzione ai grafi planari. Zanichelli Editore, 1983.

105

106 BIBLIOGRAFIA

[14] D. B. West. Introduction to graph theory. Prentice Hall, 2000.

capitolo 6 problemi di °usso su grafo - uniroma2.it · capitolo 6 problemi di °usso su grafo in...

Documents