capitolo 7 la crescita economica, i
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Capitolo 7 La crescita economica, I. Il modello (neoclassico) di Solow (1956) La funzione di produzione. Funzione aggregata di produzione (neoclassica): Y = F ( K,L ) Rendimenti di scala costanti ( RSC ) : zY = F ( zK , zL ). - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Capitolo 7: La crescita economica, I
Mankiw, MACROECONOMIA, Zanichelli editore © 2004
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Capitolo 7La crescita economica, I
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Il modello (neoclassico) di Solow (1956) La funzione di produzione
Funzione aggregata di produzione (neoclassica):
Y = F(K,L)
Rendimenti di scala costanti (RSC):
zY = F(zK, zL)
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Tutte le variabili sono espresse in termini pro capite (denotate con lettere minuscole)
k = K/Ly = Y/Lc = C/Li = I/L
Il modello (neoclassico) di Solow (1956) La funzione di produzione pro capite
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Poiché F(K,L) è a RSC abbiamo:
y = Y/L = F(K, L)/L
= F(K/L, L/L)
y = F(k, 1) = f(k)
La produttività marginale del capitale pro capite:
PMK = f(k + 1) – f(k)
è decrescente
Il modello (neoclassico) di Solow (1956) La funzione di produzione pro capite
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Prodotto per lavoratore, y
Capitale per lavoratore, k
La PMK è decrescente e la pendenza della funzione di produzione cala con l’aumento dello stock di capitale impiegato
1
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PMK
PMK
Il modello (neoclassico) di Solow (1956) La funzione di produzione pro capite
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La crescita in condizioni di equilibrio macroeconomico permanente implica che:
Investimento = Risparmio i = sy
Utilizzando la funzione di produzione pro capite abbiamo:
i = sf(k)
Il cui grafico è uguale a quello della funzione di produzione “riscalato” di un coefficiente tra zero e uno (il tasso di risparmio).
Il modello (neoclassico) di Solow (1956) Le funzione di consumo e investimenti
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Prodotto per lavoratore, y
Capitale per lavoratore, k
Il reddito y è diviso tra consumi e investimenti
Prodotto, f(k)
Risparmio, sf(k) = Investimenti
y
c
sy=i
Nota: Variazioni di s spostano la funzione sf(k) in alto e in basso.
Se s = 1 tutta la produzione è risparmiata e c = 0
La funzione di produzione pro capiteConsumi e investimenti
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Lo stock di capitaleL’ammortamento
Prodotto per lavoratore, y
Capitale per lavoratore, k
Ammortamento del capitale, kIl capitale si
deprezza al tasso costante
che rappresenta la frazione percentuale di capitale installato che viene perso in ogni periodo perché non più produttivo
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La variazione netta dello stock di capitale k è data dalla differenza tra investimenti in nuovo capitale e logoramento di quello installato (ammortamento):
k = i – k
E poiché gli investimenti sono permanentemente uguali ai risparmi
k = s f(k) – k
La variazione dello stock di capitaleInvestimenti e ammortamento
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Lo stock di capitale La funzione di risparmio e gli investimenti
Prodotto per lavoratore, y
Capitale per lavoratore, k
Prodotto, f(k)
Risparmio, sf(k) = Investimenti
Ammortamento del
capitale, k
k
Gli investimenti AUMENTANO lo stock di
capitale installato del periodo successivo
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Lo stock di capitaleIl deprezzamento
Prodotto per lavoratore, y
Capitale per lavoratore, k
Prodotto, f(k)
Risparmio, sf(k) = Investimenti
k
Il deprezzamento RIDUCE lo stock di capitale
disponibile nel periodo successivo
k
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Analisi dinamicaL’accumulazione del capitale
Prodotto per lavoratore, y
Prodotto, f(k)
Risparmio, sf(k) = Investimenti
La DIFFERENZA tra investimenti e ammortamento misura la variazione dello stock di capitale:
Può essere positiva…k
k0 k1 k
k
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Prodotto per lavoratore, y
Prodotto, f(k)
Risparmio, sf(k) = Investimenti
…o può essere negativa se l’ammortamento è superiore all’investimento
k0k1k
Analisi dinamicaL’accumulazione del capitale
k
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Analisi dinamicaLa convergenza verso lo stato stazionario
Prodotto per lavoratore, y
k
f(k)
sf(k)
Fino a quando l’investimento è superiore al deprezzamento il capitale installato aumenta k0
k0 k1
k
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Prodotto per lavoratore, y
k
f(k)
sf(k)
k
k1
k2
La produttività marginale del capitale è decrescente e gli aumenti di produzione si riducono con l’aumentare di k
k0 k1
Analisi dinamicaLa convergenza verso lo stato stazionario
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Prodotto per lavoratore, y
k
f(k)
sf(k)
k
Fino a quando sf(k) > k
lo stock di capitale continua a crescere
k2
k3k0 k1 k2
Analisi dinamicaLa convergenza verso lo stato stazionario
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Quando gli investimenti sono uguali all’ammortamento, lo stock di capitale pro capite k* non cambia: i nuovi investimenti compensano esattamente l’ammortamento.
Nel lungo periodo l’economia è caratterizzata da un
equilibrio di stato stazionario in cui la variabile endogena k* non varia.Questo implica che anche il reddito e il consumo di stato
stazionario non variano:
y* = f(k*)c* = f(k*)-k*
Lo stato stazionario
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Dinamica del modelloLo stato stazionario
y
k
f(k)
sf(k)
kIn stato stazionario gli investimenti (risparmi) sono uguali all’ammortamento
Il capitale pro capite smette di crescere
i* = k*
k*
Y* = f(k*)
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Prodotto per lavoratore, y
k
f(k)
sf(k)
k
k1k0 k2 k3k*
Analisi dinamicaLa convergenza verso lo stato stazionario
Se k0 è inferiore a k* lo stock di capitale tende a crescere nel tempo
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Prodotto per lavoratore, y
k
f(k)
sf(k)
k
k1 k0k2k*
Analisi dinamicaLa convergenza verso lo stato stazionario
Se k0 è superiore a k* lo stock di capitale tende a calare nel tempo
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Lo stato stazionario è caratterizzato da k = 0Poiché l’accumulazione del capitale è data da:
k = sf(k) – kAvremo:
0 = sf(k*) – k*
Riordinando i termini si ottiene:
k*/f(k*) = s/
Lo stato stazionarioLa matematica
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In stato stazionario ammortamenti e investimenti sono uguali sicché lo stock di capitale smette di crescere.
Quindi anche la produzione pro capite smette di crescere e in stato stazionario è pari a:
y* = f(k*)
Lo stato stazionarioLa matematica
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Le funzioni di produzione totale e pro capite sono date da:
2/12/1),( LKLKFY kkL
Yy 2/1
La convergenza allo stato stazionarioLa funzione Cobb-Douglas
Se il tasso di risparmio è pari a s = 0,3 e il capitale si deprezza del 10% all’anno = 0,10.
Prendendo un capitale iniziale pari a 4 possiamo calcolare l’andamento dinamico dell’economia:
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Come visto lo stato stazionario è identificato dal livello di capitale tale per cui:
0)( *** kksfk
Lo stato stazionarioLa funzione Cobb-Douglas
Poiché s = 0,3 e = 0,10
ovveros
kf
k)( *
*
1,0
3,0*
*
k
kE risolvendo otteniamo: k* = 9
Analisi di un caso: Lo stock di capitale e la crescita di Giappone e Germania dopo la seconda guerra mondiale.
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Una variazione del tasso di risparmio comporta una modifica del livello degli investimenti.
Se il tasso di risparmio s aumenta,
la curva sf(k)si sposta verso l’alto. Per ogni livello di capitale
una parte maggiore di produzione viene destinata ai risparmi e investita.
Il tasso di risparmioGli effetti di lungo periodo
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La statica comparataUna variazione del tasso di risparmio
Prodotto per lavoratore, y
k
f(k)
s1f(k)
kUn aumento del tasso di risparmio:
da s1 a s2
sposta la curva
sf(k)
verso l’alto
s2f(k)
k*1 k*2
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Il capitale di stato stazionario k* cresce al crescere del tasso di risparmio.
Anche la produzione pro capite è positivamente correlata con il tasso di risparmio e y = f(k*) cresce con s.
Il modello di Solow predice che paesi con tassi di risparmio (e investimenti conseguenti) superiori abbiano (in stato stazionario) un livello di reddito superiore
Il tasso di risparmioGli effetti di lungo periodo
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Evidenza empiricaTassi di investimento e reddito pro capite
Egitto
Chad
Pakistan
Indonesia
ZimbabweKenya
India
CameroonUganda
Messico
CostaD’Avorio
Brasile
Peru
U.K.
U.S.ACanada
Francia
Israele
GermaniaDanimarca
ItaliaSingapore
Giappone
Finlandia10,000
1,000
100
Reddito pro capite nel 1992
(scala log)
0
5 10 15Investimento come percentuale del prodotto (media 1960–1992)
20 25 30 35 40
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Domanda:
Possiamo quindi concludere che il benessere degli individui è massimo quando il tasso di risparmio è massimo (tendente a 1)?
Il tasso di risparmioGli effetti di lungo periodo
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Quale tasso di risparmio è desiderabile?La regola aurea: “golden rule”
Prodotto per lavoratore, y
k
f(k)
k
Per rispondere alla domanda fissiamo per esempio un tasso di risparmio s1
s1f(k)
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La massimizzazione dei consumiLa golden rule
Prodotto per lavoratore, y
k
f(k)
k
s1f(k)Il consumo di stato stazionario è dato dalla distanza verticale tra f(k)
e k
In stato stazionario gli investimenti sono pari all’ammortamento
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Prodotto per lavoratore, y
k
f(k)
kIl benessere della popolazione dipende dal consumo aggregato di beni e servizi.
Il benessere è massimo quando i consumi sono massimi
La massimizzazione dei consumiLa golden rule
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Prodotto per lavoratore, y
k
f(k)
kSe il tasso di risparmio aumenta a s2
s2f(k)
Il consumo di stato
stazionario cresce
La massimizzazione dei consumiLa golden rule
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Prodotto per lavoratore, y
k
f(k)
kMa se il tasso di risparmio fosse ancora superiore: s3
s3f(k)
Il consumo di stato stazionario sarebbe inferiore
La massimizzazione dei consumiLa golden rule
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Quale tasso di risparmio permette di raggiungere il livello di capitale pro capite di stato stazionario che permette di massimizzare il benessere (consumi)?
Il tasso di risparmioGli effetti di lungo periodo
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Prodotto per lavoratore, y
k
f(k)
k
Partendo con bassi tassi di risparmio il consumo di stato stazionario prima cresce e poi cala
La massimizzazione dei consumiLa golden rule
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Prodotto per lavoratore, y
k
f(k)
k
La massimizzazione dei consumiLa golden rule
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Prodotto per lavoratore, y
K
f(k)
kIl tasso di risparmio di golden rule è
sgold
ed è l’unico che massimizza i consumi di stato stazionario
sgold f(k)
La massimizzazione dei consumiLa golden rule
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Prodotto per lavoratore, y
k
f(k)
k
Nello stato stazionario di golden rule abbiamo un livello di capitale
k*gold
k*gold
La massimizzazione dei consumiLa golden rule
sgoldf(k)
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Prodotto per lavoratore, y
k
f(k)
kGraficamente nello stato stazionario di golden rule la pendenza della funzione di produzione è uguale a quella della retta di ammortamento:
k*gold
MPK =
La massimizzazione dei consumiLa golden rule
sgold f(k)
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Un aumento di c* è ottenibile con una riduzione di s.
Il consumo è superiore a quello iniziale durante tutta la transizione all’equilibrio
Idea: il troppo capitale installato viene consumato
t0
c
i
y
Tempo
Se il capitale iniziale è troppo elevato: k* > k*gold
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Se il capitale iniziale è troppo basso: k* < k*gold
Un aumento di c* è ottenibile con un aumento di s.
Il consumo è superiore a quello iniziale nel lungo periodo (per definizione di regola aurea)
Ma nel breve periodo diminuisce per permettere l’accumulazione di capitale. t0
c
i
y
Tempo
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La popolazione e la forza lavoro totale crescono a un tasso esogeno e costante n che rappresenta la variazione percentuale di L:
Esempio: Se L = 100 nell’anno 2004 e la popolazione cresce del 5% all’anno allora n = 0,05 e L = nL = 0,05 100 = 5
Quindi nell’anno 2005 avremo L = 105
La popolazione nel modello di Solow
L
Ln
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Se la popolazione cresce, al fine di mantenere k costante, l’investimento non solo deve rimpiazzare lo stock di capitale che si logora (ammortamento) ma anche deve far crescere questo stock di una percentuale pari a quella con cui aumenta la popolazione.
Il capitale pro capite con crescita della popolazione
Quindi:
( + n)k = livello di investimento necessario per mantenere k costante
n k tasso di crescita della popolazione x capitale pro capite k ammortamento pro capite
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Lo stato stazionario è sempre definito dal fatto che il capitale pro capite non cambia
Lo stato stazionario con crescita della popolazione
Quindi in equilibrio di stato stazionario:
k = sf(k) – ( + n)k = 0
Ovvero l’investimento è pari alla riduzione del capitale pro capite:
s f(k) = ( + n)k
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Graficamente: Solow con crescita della popolazione
Prodotto per lavoratore, y
k
sf(k)
(+ n)kL’unica differenza è che in equilibrio la pendenza della retta di ammortamento (cioè l’investimento necessario per mantenere invariato
k) dipende anche dalla crescita della popolazione
f(k)
k*
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L’aumento del tasso di crescita della popolazione
Prodotto per lavoratore, y
k
sf(k)
(+ n0)k
Se n aumenta, il livello di investimento necessario per mantenere k invariato cresce
E la produzione pro capite di equilibrio è inferiore
f(k)
(+ n1)k
k*0k*1
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Quanto maggiore è il tasso di crescita della popolazione tanto minore è, a parità di investimento, il capitale pro-capite e il reddito pro capite
La popolazione nel modello di Solow
Più grande è n più piccolo è k*
Dato che y = f(k), un minore k* implica un minore y*
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Analisi di un casoCrescita della popolazione e reddito pro capite
Chad
Kenya
Zimbabwe
Camerun
Pakistan
Uganda
India
Indonesia
IsraeleMessico
Brasile
Peru
Egitto
Singapore
U.S.
U.K.
Canada
FranciaFinlandiaGiappone
Danimarca
CostaD’avorio
Germania
Italia
10 000
1000
1001 2 3 40
Reddito pro capite nel 1992
(scala log)
Crescita della popolazione (percentuale annua) (media
1960–1992)
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La massimizzazione dei consumiLa regola aurea con crescita della popolazione
Prodotto per lavoratore, y
k
f(k)
(+ n)k
sgoldf(k)
k*gold
MPK = + n
Il consumo è massimo quando la produttività marginale eguaglia il tasso di ammortamento più il tasso di crescita della popolazione: