capitolul iii funcŢii continuecapitolul iii funcŢii continue 1. funcţii de o variabilă reală...
TRANSCRIPT
-
CAPITOLUL III
FUNCŢII CONTINUE
1. Funcţii de o variabilă reală
Funcţiile definite pe mulţimi abstracte , cu :X Y f X Y→ au în
general puţine proprietăţi şi din acest motiv, puţine aplicaţii în rezolvarea
unor probleme concrete. Proprietăţile generale şi operaţiile cu funcţii
depind în primul rând de structura algebrică a mulţimilor X şi Y.
În cazul , :R,X Y f X⊂ Y→ se numeşte funcţie reală de o
variabilă reală şi această funcţie este destul de generală; de aceea în liceu
s-au studiat funcţiile reale concrete de o variabilă reală, adică funcţii
pentru care legea de asociere a lui x∈X cu y∈Y este dată printr-o expresie
analitică precizată şi graficul lui f, Gf ={(x, y)∈R2| x∈X, y∈Y; y = f (x)} cu
X ×Y ⊂ R2 =R × R. Clasa funcţiilor de la R la R cuprinde următoarele
funcţii reale concrete: funcţii polinomiale, funcţii trigonometrice
directe, funcţii trigonometrice inverse, funcţia putere, funcţia
exponenţială, funcţia logaritmică, funcţiile etajate ş.a.
Vom nota cu “trig” una dintre funcţiile trigonometrice: sinus,
cosinus, tangentă, cotangentă şi cu “arctrig” una dintre funcţiile
trigonometrice inverse: arcsinus, arccosinus, arctangentă, arccotangentă.
Considerăm următoarea clasa de funcţii reale de o variabilă reală:
(III.1) E0 ( ){ }const;1 ; exp ; ; log ; trig; arctrigR aa a= ⋅ unde sunt incluse: funcţiile constante, funcţia identitate pe R şi pe X⊂ R,
funcţia exponenţială de baza a (a > 0; a ≠ 1); funcţia logaritmică de bază
158
-
a (a > 0; a ≠ 1); funcţia putere de exponent a (∀a∈R) funcţiile
trigonometrice directe şi funcţiile trigonometrice inverse.
Mulţimea R fiind un corp comutativ ordonat şi complet ne permite
să definim operaţii algebrice cu funcţii reale de o variabilă reală şi alte
proprietăţi.
159
⊆ Definiţia III.1. 1] O funcţie se numeşte
funcţie elementară dacă f poate fi obţintă din E
: cu , Rf X Y X Y→
0 aplicând de un număr
finit de ori cele patru operaţii aritmetice: adunarea, scăderea, înmulţirea,
împărţirea, cât şi operaţia de compunere a două funcţii. Notăm cu E
mulţimea funcţiilor elementare.
2] Funcţiile f ∈ E0 se numesc funcţii elementare de bază.
Observaţii:
1. Exemple: 1° ( ): , cuR R Nnf f x x n f→ = ∈ ⇒ ∈ E
. ( ) ( )( ) ( )n ori
1 1 1 cu 1 ,R R R R Rdef
nf x x x x x x= = ⋅ ⋅ ⋅ = ∀ ∈L1 44 2 4 43
2o ( ) ( ) [ ]: cu şiR R P P Rn nf f x x X f→ = ∈ ⇒ ∈ E
funcţia polinomială.
3o ( ) , 0nf x n x f= ≥ ⇒ ∈ E (funcţia radical de ordin n).
4o shsh , ch , th2 2 ch
x x x x x xdef
x
e e e e x e ex x x xx e e
− − −
−
− += = = =
+−
)
⊆
∈E
( 2 2ch sh 1x x− = funcţiile trigonometrice hiperbolice 2. Orice funcţie elementară poate fi dată printr-o formulă, adică printr-un
număr finit de simboluri matematice aplicate funcţiilor elementare de bază
din E0.
3. O funcţie elementară se notează şi prin: : cu , Rf X Y X Y→
-
“y = f(x) cu x ∈ X în loc de f : X → Y”
4. Dacă mulţimea de definiţie a lui f nu este precizată se subînţelege că ea
este mulţimea Df ={x ∈ R | f(x) ∈ R}, a punctelor x din R pentru care are
sens f(x) în R. Mulţimea Df se numeşte împropriu domeniu maxim de
definiţie al funcţiei f.
5. Dacă avem relaţia , atunci există o mulţime maximă
a.î. relaţia
2RX Xρ ⊂ × ⊂
A X⊆ RAρ ⊆ × este o funcţie f care se numeşte funcţia
naturală asociată relaţiei binare ρ. Când se spune “fie funcţia elementară
” este vorba de funcţia naturală asociată relaţiei binare ρ de la R
la R.
( )y f x=
Definiţia III.2. Fie , cu : , :Rf g f A g B R∈ →E → , atunci
definim:
( )
( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )
( ){ }
( ) ( )( )
0 0
0
: cu ;
: cu ;
III.2 : şi | 0 cu
;
R
R
R
f g A B f g x f x g x x A B
f g A B f g x f x g x x A Bf A B B t B g t Bg
f xf x x A Bg g x
⎧ ± ∩ → ± = ± ∀ ∈ ∩⎪
∩ → = ∀ ∈ ∩⎪⎪⎪ ∩ → = ∈ ≠ ⊆⎨⎪⎪⎛ ⎞⎪ = ∀ ∈ ∩⎜ ⎟⎪⎝ ⎠⎩
g g g
numite: suma algebrică, produsul şi câtul funcţiilor f şi g.
Vom preciza în continuare unele funcţii particulare remarcabile
care se folosesc în studiul unor probleme teoretice şi în aplicaţii.
(F1) Fie A⊂ R, cu proprietatea că există
, prin definiţie f este funcţia constantă şi o
notăm f = c. Pentru c = 0, funcţia f este funcţia identic nulă pe A sau
funcţia nulă pe A, notată f =0.
: Rf A →
( )a.î. ,c f x c x∈ = ∀R A∈
160
-
(F2) Fie ( ); 0
: ,0 ; 0
R Rx xxf f x
x
⎧ ≠⎪→ = ⎨⎪ =⎩
y
x O y=-1
y=1
funcţia signum, notată sign ( )x f x= .
(F3) Fie f: R→R funcţie definită astfel: f(x) este cel mai mare
întreg n cu proprietatea n ≤ x, adică y
0 x -3 -2 -1 2 3 1
( ) { }sup |f x n n= ∈ ≤Z x numită funcţia
partea întreagă notată prin [ ⋅] sau [⋅]* sau E
sau * şi numarul [x] = f (x), x∈R se numeşte
partea întreagă a lui x. Funcţia
( ) [ ]: ,g g x x→ = −R R x se numeşte y
0 x
funcţia partea zecimală şi numărul
[ ],x x x− ∈R se numeşte partea zecimală a lui x.
161
(F4) Fie
cu f(x) distanţa de la
x la cel mai apropiat
întreg, adică
:f →R R y
0 x
y= 12
(2, 0) (1, 0) ,0) ( 12 ,0) 12(-
(-1,0)
{ }( ) inf ( , ) | | | ;f x d x n x n n x= = − ∈Z R∈ .
(F5) Funcţia f : R → {0, 1} dată prin se numeşte
funcţia lui Dirichlet.
1;( )
0;QR - Q
xf x
x∈⎧
= ⎨ ∈⎩
-
(F6) Funcţia f : R → (-1, 1) cu ( ) 1xf x
x=
+ se numeşte funcţia lui
Hahn.
(F7) Funcţia f : R →R cu
1 ; dacă cu şi
( ) ( , ) 1; 10; dacă
*
*
Q
R - Q
px xq q
f x p q qx
⎧ ∈ =⎪⎪⎪= = ≥⎨⎪ ∈⎪⎪⎩
se
numeşte funcţia lui Riemann.
(F8) Fie A⊆ R o mulţime nevidă y=1
O
y
ϕA
y=0
A=[-1, 3] 3-1
y=0 şi f :R→{0, 1} definită prin:
1; A
( )0; AR -
xf x
x∈⎧
= ⎨ ∈⎩
se numeşte funcţia caracteristică a mulţimii A notată prin ϕA sau cA sau
1A.
Funcţia caracteristică a mulţimii A = ⊂ R *+R y
162
O
se numeşte funcţia lui Heaviside y=1 y=0 notată cu H = *
+Rϕ .
x
(F9) Fie I ⊂ R interval şi f : I→ R. Prin definiţie, f este o funcţie
etajată sau în scară dacă există o partiţie finită ( ) 1,Ik k n= a intervalului I şi
{λ1, λ2, ..., λn} ⊆R astfel încât I1
k
n
kk
f=
= λ ϕ∑ unde Ikϕ este funcţia
caracterisită a intervalului Ik, cu k =1, ...n.
-
Din definiţia
funcţiei etajate şi a
funcţiei caracteristice
a unei submulţimi ( ) ( )
( ) ( )
O
A ⊂ R se deduc
următoarele condiţii
de caracterizare
pentru funcţii etajate:
(i) f : I→ R este funcţie etajată (în scară)⇔ ∃ ( ) 1,Ik k n= o partiţie
finită a lui I a.î. f este constantă pe fiecare interval Ik cu 1,k n= .
(ii) f : I→ R este funcţie etajată (în scară)⇔ exista o diviziune ∆ a
lui I a. î. f este constantă pe interiorul fiecărui interval parţial al diviziunii
∆.
Conceptul de funcţie etajată (în scară) poate fi generalizat astfel:
Fie X≠∅ o mulţime oarecare şi s: X → [0, ∞) se numeşte funcţie simplă
dacă s(X) ⊂ [0, ∞) este o mulţime finită, adică s are doar un număr finit de
valori pozitive; notăm s(X) = {α1, ..., αn} cu αk ∈ R+ pentru 1,k = n . În
aceste condiţii, avem A1
k
n
kk
s=
= α ϕ∑ unde Ak = {x∈X | s(x) = αk}şi este
funcţia caracteristică a lui A
Akϕ
k ( ). 1
X An
kk=
=U
(F10) I] Fie f : A → R cu A ⊆ R. Funcţia f este izometrică sau f
este o izometrie pe A, dacă:
(III.3) [ ] ( )( ), ( ) ( ) ( ) , , , Ad f x f y f x f y d x y x y x y= − = = − ∀ ∈
II] Dacă există λ > 0 a. î.
163
-
(III.4) ( ) ( ) , , Af x f y x y x y− ≤ λ − ∀ ∈
fucţia f satisface condiţia lui Lipschitz sau f este o funcţie λ -
lipschitziană.
III] O f funcţie λ - lipschitziană cu 0 < λ < 1 se numeşte contracţie
sau λ - contracţie.
IV] O funcţie f : A → R este o funcţie local lipschitziană dacă
∀x∈A există V ∈V(x) astfel încât A V
f∩
să fie o funcţie lipschitziană.
V] O funcţie f : A → R pentru care există p∈(0,1) şi există M >0
astfel încât:
(III.5) ( ) ( ) M , , Apf x f y x y x y− ≤ − ∀ ∈
se spune că f satisface condiţia Hölder sau că f este funcţie p –
hölderiană.
Observaţii:
1. Orice funcţie izometrică este funcţie lipschitziană (λ = 1). Reciproca nu
este numaidecât adevărată. Exemplu: f(x) = sinx, x∈R este 1 –
lipschitziană, dar nu este izometrică, avem:
( )
sin sin sin cos 2 12 2 2
sin , cos 1R;
x y x y x yx y x
t t t t
− − − y− = ≤ ⋅
≤ ∀ ∈ ≤
= −
2. Orice funcţie lipschitziană este local lipschitziană. Reciproca nu este în
general adevărată.
Definiţia III.3. Fie f : A → R cu A ⊆ R.
1] Funcţia f este monoton crescătoare pe A, dacă ∀x1, x2 ∈ A, cu x1 ≠ x2,
avem 1 21 2
( ) ( ) 0f x f xx x−
≥−
⇔ ∀x1, x2 ∈ A, cu x1 ≠ x2, avem:
164
-
(III.6) [ ]( )1 2 1 2( ) ( ) 0f x f x x x− − ≥ .
Funcţia f este monoton strict crescătoare pe A, dacă ∀x1, x2 ∈ A, cu x1 ≠
x2, avem:
(III.6') 1 21 2
( ) ( ) 0f x f xx x−
>−
.
2] Funcţia f este monoton descrescătoare pe A, dacă ∀x1, x2 ∈ A, cu
x1 ≠ x2, avem 1 21 2
( ) ( ) 0f x f xx x−
≤−
⇔ ∀x1, x2 ∈ A, cu x1 ≠ x2, avem:
(III.7) [ ]( )1 2 1 2( ) ( ) 0f x f x x x− − ≤ .
Funcţia f este monoton strict descrescătoare pe A, dacă ∀x1, x2 ∈ A, cu
x1 ≠ x2, avem:
(III.7') 1 21 2
( ) ( ) 0f x f xx x−
<−
.
3] Funcţia f este monotonă pe A dacă f este, fie monoton crescătoare, fie
monoton descrescătoare pe A.
Funcţia f este strict monotonă pe A dacă f este, fie monoton strict
crescătoare, fie monoton strict descrescătoare pe A.
Exemple: 1) f (x) = [x], x∈R este monoton crescătoare.
2) sin: R → R, cos: R → R nu sunt monotone dar admit restricţii sin|A cu
A = ,2 2π π⎡−⎢⎣ ⎦
⎤⎥ şi cos|A cu A = [ ]0,π care sunt strict monotone.
3) Funcţia Dirichlet nu este monotonă pe nici un interval I ⊆ R
nedegenerat.
Definiţia III.4. Fie I ⊂ R şi f: I → R. Funcţia f are proprietatea
Darboux pe I (notat P.D.) dacă ∀a, b∈ I cu a < b şi oricare ar fi λ cuprins
între f(a) şi f(b) există c ∈ (a, b) astfel încât f(c) = λ.
165
-
Se va nota Da(I) mulţimea funcţiilor f: I → R care au proprietatea
Darboux pe I.
Observaţii:
1] Se pot da formulări echivalente ale acestei definiţii:
I. f: I → R are proprietatea Darboux ⇔ ∀a, b∈ I cu a < b,
mulţimea valorilor funcţiei f pe [a, b] adică mulţimea f([a, b]), conţine
toate numerele reale cuprinse între f(a) şi f(b).
II. f: I → R are proprietatea Darboux ⇔∀a, b∈ I cu a < b şi oricare
ar fi λ∈(0,1) există c ∈ (a, b) astfel încât f(c) = (1- λ) f(a) + λ f(b).
III. 1] f: I → R are proprietatea Darboux ⇔∀a, b∈ I cu a < b şi
oricare ar fi λ cuprins între f(a) şi f(b), paralela la axa Ox care trece prin
punctul (0, λ) intersectează graficul lui f într-un punct (x, f(x)) cu x∈[a, b].
2] Fie I ⊂R interval, f: I → R o funcţie cu proprietatea: ∀a, b∈ I cu a < b
şi oricare ar fi λ cuprins între f(a) şi f(b) există c ∈I astfel încât f(c) = λ, nu
rezultă că f are proprietatea Darboux ci doar faptul că f(I) este interval.
3] Punctul c din definiţia lui f cu proprietatea Darboux nu este totdeauna
unic determinat; pot exista o infinitate de puncte c din (a, b) astfel încât
f(c) = λ.
Exemple: 1°. f(x) = sign x, x∈R nu are proprietatea Darboux.
2°. f nu are proprietatea Darboux. ;
( );
QR - Q
x xf x
x x∈⎧
= ⎨− ∈⎩
3°. ( ) sin ( ) cos
,R R
f x x f xx x
= =⎧ ⎧⎨ ⎨∈ ∈⎩ ⎩
x au proprietatea Darboux.
166
-
Teorema III.1. Fie I⊂ R interval, f: I → R o funcţie, atunci
următoarele afirmaţii sunt echivalente:
(i) f are proprietatea lui Darboux;
(ii) ∀ J ⊆ I interval f(J) este interval;
(iii) ∀a, b∈ I cu a < b⇒ f([a, b]) este interval;
(iv) ∀A ⊆ I mulţime convexă ⇒ f(A) este convexă.
Demonstraţie: (i)⇒ (ii) Fie J ⊂ I interval; se consideră f(J) şi
∀y1, y2 ∈f(J) cu y1< y2, iar λ ∈ R cu y1
-
Definiţia III.5. 1] O mulţime A ⊆ R se numeşte mulţime
simetrică în raport cu originea sau mulţime simetrică dacă ∀ x∈ A ⇒
-x∈ A echivalent cu A = - A.
2] Fie A ⊆ R o mulţime simetrică şi f: A → R. Funcţia f este funcţie pară
dacă: f (- x) = f(x), ∀x∈A. Funcţia f este funcţie impară dacă: f (- x) =
= - f(x), ∀x∈A..
Exemple: 1° Funcţiile trigonometrice cos şi ctg sunt pare, iar sin şi
tg sunt impare.
2° Funcţia Dirichlet este pară. Funcţia Hahn este impară.
Teorema III.3. Fie A, B ⊂ R cu A mulţime simetrică şi f :A → B
o funcţie impară bijectivă, atunci B este mulţime simetrică şi 1f − :B → A
este funcţie impară.
Demonstraţie: Fie B = 1f − (A) şi să arătăm că B este mulţime
simetrică, adică B = - B şi 1f − impară, adică 1f − (-y) = - 1f − (y), ∀y∈B.
Pentru ∀y∈B fixat, există x∈A a. î. f(x) = y şi deci: - y =- f(x)= f(-x)∈f(A) =
= f(A) = B şi 1f − (-y)= f [ 1f − (-x)] = - x = - 1f − (y).
Exemplu. Funcţiile arcsin şi arctg sunt impare deoarece sin şi tg
sunt impare (conform teoremei III.3).
Definiţia III.6. Fie A ⊂ R şi f :A →R. Funcţia f este periodică pe
A, dacă există T > 0 astfel încât: x + T ∈A şi f( x+ T) = f(x), ∀x∈A.
Numărul T se numeşte perioadă a funcţiei f; cel mai mic numar pozitiv
care este perioadă pentru f se numeşte perioadă minimă.
Exemple: 1° Funcţiile trigonomerice sin şi cos au perioada 2 π
(minimă).
2° Funcţie f(x) = [x] are perioadă minimă 1.
168
-
3° Funcţia Dirichlet are perioadă orice r∈ , dar nu are o perioadă
minimă.
*+Q
Definiţia III.7. 1] O funcţie f :A →R cu A ⊂ R este funcţie
mărginită pe A dacă mulţimea f(A) ⊂ R este mărginită. O funcţie care nu
este mărginită se numeşte funcţie nemărginită.
2] Dacă f este mărginită pe A, prin definiţie marginea superioară a mulţimii
f(A), sup f(A), se numeşte marginea superioară a funcţiei f pe A, notată
prin A
sup ( )x
f x∈
; marginea inferioară a mulţimii f(A), inf f(A), se numeşte
marginea inferioară a funcţiei f pe A, notată prin A
inf ( )x
f x∈
.
3] Funcţia f este majorată pe A, dacă mulţimea f(A) este majorată; funcţia
f minorată pe A dacă mulţimea f(A) este minorată.
Definiţia III.8. Fie A ⊆ R şi f: A → R.
1] Funcţia f îşi atinge maximul pe A, dacă multimea f(A) admite maxim,
adică există x0∈A a. î. f(x0) ≥ f(x), ∀x∈A. Funcţia f îşi atinge minimul pe
A, dacă multimea f(A) admite un minim, adică există x0∈A a. î. f(x0) ≤ f(x),
∀x∈A.
2] Elementul f(x0) se numeşte maximul global şi se notează A
max ( )x
f x∈
sau
max f(x), respectiv f(x0) se numeşte minimul global şi se notează
Amin ( )x
f x∈
sau min f(x).
3] Punctul x0∈A se numeşte punct de maxim global, respectiv de minim
global şi maximul, minimul lui f în x0 se numesc extreme globale ale lui f
pe A.
Observaţii:
1. Funcţia f: A → R este mărginită ⇔ |f | este mărginită ⇔ |f | este
majorată (|f | ≥ 0 pe A). 169
-
2. Fie f: A → R, f atinge marginea superioară, respectiv f atinge
marginea inferioară, dacă sup f(A)∈ f(A), respectiv inf f(A) ∈ f(A).
3. Orice funcţie f: A → R care are un număr finit de valori este o funcţie
mărginită.
Definiţia III.9. Fie A ⊆ R şi f: A → R.
1] Punctul x0∈A este punct de maxim local pentru f, dacă există V∈V(x0)
a. î. f(x0) ≥ f(x), ∀ x∈A ∩ V – { x0}. Punctul x0∈A este punct de minim
local pentru f, dacă există V∈V(x0) a. î. f(x0) ≤ f(x), ∀ x∈(V – { x0}) ∩ A.
2] Punctele de maxim local şi minim local se numesc puncte de extrem
local ale lui f.
3] Avem: x0 punct de maxim local în sens strict def
⇔ ∃V∈V(x0) a. î.
f(x0) > f(x), ∀ x∈A ∩ V – { x0} şi respectiv x0 este punct de minim local
în sens strict ⇔ ∃V∈V(x0) a. î. f(x0) < f(x), ∀ x∈A ∩V – {x0}. În aceste
cazuri x0 este punct de extrem local în sens strict al lui f.
Observaţie:
Un punct de maxim global, respectiv de minim global este şi punct de
maxim local, respectiv punct de minim local. Reciproca, în general, nu este
adevărată.
Exemple: 1°. sin : R → R este mărginită: |sin x| ≤ 1, ∀x∈R.
Punctele 22
kπ + π sunt puncte de maxim absolut şi punctele 3 22
kπ + π
sunt puncte de minim absolut.
2°. Funcţia tg nu este marginită şi nu are puncte de extrem local; pentru
f(x) = tg x, avem A
inf ( )x
f x∈
= - ∞ şi A
sup ( )x
f x∈
= + ∞ unde A = ,2 2π π⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠⊂ R.
170
-
3°. Funcţia lui Dirichlet este mărginită, dar nu admite puncte de extrem
local, fiecare x0∈Q este este punct de maxim global şi fiecare x0∈R - Q
este punct de minim local.
4°. Funcţia lui Hahn, ( )1
xf xx
=+
, x∈R şi f(R) = (-1, 1) este mărginită, nu
are extreme locale şi nu-şi atinge marginile pe R.
5°. Orice funcţie monotonă f: A → R este mărginită dacă A este
submulţime mărginită a lui R care îşi conţine marginile.
Teorema III.4. Fie A ⊂ R şi f: A → R o funcţie, următoarele
afirmaţii sunt echivalente:
(i) f este mărginită;
(ii) există α, β ∈R a. î. α ≤ f(x)≤ β, ∀x∈A;
(iii) ∃M > 0 a. î. | f(x)| ≤ M, ∀x∈A;
(iv) A
sup ( )x
f x∈
< + ∞.
Demonstraţia este directă folosind definiţiile precedente care se
aplică mulţimii f(A)⊂ R.
Teorema III.5. Fie A ⊂ R şi f, g: A → R două funcţii mărginite,
atunci f ± g, fg sunt funcţii mărginite.
Demonstraţie: Funcţiile f şi g fiind mărginite după (iii) din
teorema precedentă există M1, M2 > 0 a. î. | f(x)| ≤ M1 şi | g(x)| ≤ M2. ∀x∈A
şi atunci | f(x) ± g(x)| ≤ M1 + M2, ∀x∈A ⇒ f ± g mărginită.
La fel | f(x) g(x)| = | f(x) | ⋅ |g(x)| ≤ M1 ⋅ M2, ∀x∈A ⇒ fg este
mărginită.
Teorema III.6. Fie A ⊂ R o mulţime mărginită şi f: A → R o
funcţie lipschtziană, atunci f este mărginită.
171
-
Demonstraţie: Mulţime A ⊂ R mărginită ⇔ ∃ M >0 a. î. |x| ≤ M,
∀x∈A şi f funcţie lipschitziană, deci există λ >0 a. î. | f(x) - g(x)| ≤ λ | x- y|,
∀x, y∈A. Fixăm x0∈A şi avem:
| f(x) | ≤ | f(x) - f(x0)| + | f(x0)| ≤ λ | x- x0| + | f(x0)| ≤ λ|x| + λ | x0| + | f(x0)| ≤
≤ 2λM + | f(x0)|, ∀x∈A ⇒ A
sup ( )x
f x∈
≤2λM + | f(x0)| < + ∞ ⇒ f este
mărginită pe A.
Teorema III.7. Fie A ⊂ R şi f, g: A → R două funcţii atunci au
loc afirmaţiile:
(i) dacă f ≤ g pe A ⇒ A A
A A
1 sup ( ) sup ( )
2 inf ( ) inf ( )x x
x x
f x g x
f x g∈ ∈
∈ ∈
⎧ ≤⎪⎨
≤⎪⎩
o
o x
Ax
(ii) ( )
[ ]
[ ]A A A A A
A A AA
A A A
A
3 inf ( ) sup ( ) sup ( ) ( ) sup ( ) sup ( )
4 inf ( ) sup ( ) inf ( ) ( ) inf ( ) inf ( )
III.8 5 sup ( ) ( ) sup ( ) sup ( ) dacă 0, 0
16 sup
x x x x x
x x xx
x x x
x
f x g x f x g x f x g x
f x g x f x g x f x g
f x g x f x g x f g
f
∈ ∈ ∈ ∈ ∈
∈ ∈ ∈∈
∈ ∈ ∈
∈
+ ≤ + ≤ +
+ ≥ + ≥ +
⎡ ⎤ ⎡ ⎤≤ ⋅ ≥ ≥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
o
o
o
o
x∈
AA
A AA
1 dacă inf ( ) 0 şi ( ) 0,( ) inf ( )
1 17 inf dacă sup ( ) 0 şi ( ) 0,( ) sup ( )
xx
x xx
f x f x x Ax f x
f x f x x Af x f x
∈∈
∈ ∈∈
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪
= > ≠⎪⎪⎪⎪ = > ≠⎪⎩
o
∈
∈
Demonstraţiile relaţiilor 1° - 7 ° sunt directe aplicând definiţiile şi
teoremele deja demonstrate.
Definiţia III.10. Fie A ⊂ R mulţime arbitrară şi funcţia f: A → R.
Numărul A
sup ( )x
f x∈
∈ R ∪ {+ ∞} se numeşte norma uniformă a funcţiei
f notată prin:
172
-
(III.9.)A
sup ( )not not
ux
f x f f∞
∈= = .
Teorema III.8. Fie A⊂R mulţime oarecare şi f, g: A→ R funcţii,
atunci au loc următoarele proprietăţi ale normei uniforme:
I. 0 ( ) 0,f f x x∞= ⇔ = ∀ ∈A, adică f = 0 (funcţia nulă);
II. M ( ) M, f f x x∞≤ ⇔ ≤ ∀ ∈A;
III. f∞< +∞⇔ f mărginită pe A;
IV. dacă R, f f f∞ ∞ ∞
∀λ∈ λ = λ < +∞ ;
V. f g f g∞ ∞
+ ≤ +∞
.
Demonstraţiile pentru afirmaţiile I, II şi IV sunt evidente; III
rezultă din II. Pentru a dovedi V, considerăm:
( )( ) ( ) ( ) ,f g x f x g x f g x∞ ∞+ ≤ + ≤ + ∀ ∈A, deci:
( )( )A
supx
f g f g x f∞ ∞
∈+ = + ≤ + g
∞.
Definiţia III.11. O funcţie f: R → R se numeşte:
- aditivă dacă ( ) ( ) ( ); , Rf x y f x f y x y+ = + ∀ ∈ ;
- subaditivă dacă ( ) ( ) ( ); , Rf x y f x f y x y+ ≤ + ∀ ∈ ;
- omogenă dacă ( ) ( ),f x f xλ = λ ∀λ∈R şi ∀x∈R;
- liniară dacă f este aditivă şi omogenă;
- multiplicativă dacă ( ) ( ) ( ); , Rf x y f x f y x y⋅ = ⋅ ∀ ∈ ;
- submultiplicativă dacă ( ) ( ) ( ); , Rf x y f x f y x y⋅ ≤ ⋅ ∀ ∈ ;
- afină dacă există I ⊆ R interval şi f: I → R pentru care există a, b∈R a. î.
. ( ) ,f x ax b x I= + ∀ ∈
- convexă (concavă), şi f: I → R dacă 1 2,x x I∀ ∈ şi λ∈(0, 1):
173
-
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 21 1f x x f x f xλ λ λ λ− + ≤ − +⎡ ⎤⎣ ⎦ respectiv
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 21 1f x x f x f xλ λ λ λ− + ≥ − +⎡ ⎤⎣ ⎦
Exemple: 1° f: R → R cu ( )( ) *Rf x ax a= ∈ este funcţie liniară.
2° f: R → R cu ( )1
xf x
x=
+ este subaditivă.
3° f: R → R cu ( )f x ax b= + afină este aditivă ⇔ b = 0 şi este omogenă
⇔ b = 0 ⇔ f este funcţie liniară pentru b = 0.
4° Funcţiile modul, signum, identitate pe R sunt funcţii multiplicative.
5° Funcţia modul şi funcţiile etajate sunt afine pe porţiuni pe R.
6° este strict convexă pe R( ) 3,f x x x= ∈R + şi strict concavă pe R - .
Teorema III.9. O funcţie f: R → R este funcţie liniară, dacă şi
numai dacă există c ∈ R a. î. f(x) = cx, ∀x∈R.
Demonstraţie: Avem f(x) = f(x⋅ 1) = x f(1), ∀x∈R şi c = f(1), deci
f(x) = cx, ∀x∈R .
Teorema III.10. Orice funcţie aditivă f: R → R este Q – omogenă.
Demonstraţia se face prin inducţie ([41] pag. 126; [30]).
Consecinţa III.2. O funcţie f: R → R aditivă şi monotonă este
funcţie liniară.
Demonstraţia în bibliografie ([41] pag. 126; [30]).
Teorema III.11. Fie I ⊂ R şi f: I → R o funcţie, atunci următoarele
afirmaţii sunt echivalente:
(i) f este funcţie afină;
(ii) f – f(0) este restricţia la I a unei funcţii liniare;
(iii) f[(1- λ)x + y] = (1- λ) f(x) + λ f(x) ; ∀x, y∈I şi ∀λ∈[0, 1].
174
-
Demonstraţie: (i)⇒ (ii) f este afină deci ∃ a, b∈R a. î. f(x) = ax+b;
∀x∈I ⇒ f(x) + f(0) = ax, ∀x∈I adică f - f(0) este restricţia la I a unei funcţii
liniare: x→ax cu x∈R.
(ii)⇒ (iii) este evidentă.
(iii)⇒(i) Fie a, b∈I fixaţi cu a < b şi să demonstrăm că are loc
egalitatea: (III.10) ( )( ) ( )( ) ( ) ,f b f af x f a x a xb a−
= + −−
∀ ∈I.
I. Dacă x∈[a, b], avem x = (1 - λ)a + λb cu λ = x ab a−−
şi din (ii)
rezultă: f(x) = f(a) (1- λ) + f(b)λ = f(a) + [f(b) - f(a)] λ ⇒ (III.10),
∀x∈[a, b].
II. Dacă x∈ I - [a, b] şi presupunem x > b, avem b∈[a, x], deci
aplicând (III.10) pentru b = x şi x = b rezultă:
(( ) ( )( ) ( ) f x f a )f b f a b ax a−
= + −−
⇒ (III.10) şi deci f este funcţie afină.
Consecinţa III.3. Au loc următoarele afirmaţii pentru f: R→R:
(α) f este funcţie afină ⇔ f – f(0) este funcţie liniară;
(β) dacă f este aditivă şi multiplicativă ⇒ f = 0 sau f = 1R;
(γ) f este izomorfism de la R la R ⇔ f = 1R.
Definiţia III.12. Fie A ⊆ R o mulţime arbitrară. Funcţia f: A → A
are x0∈ A punct fix dacă f(x0) = x0.
Observaţii:
1. O funcţie f poate să nu aibă puncte fixe, poate avea un singur punct fix,
poate avea un număr finit de puncte fixe, poate avea o infinitate de pumcte
fixe.
2. Fie A ⊆ R şi f: A → A; f are cel puţin un punct fix, dacă şi numai dacă
graficul lui f intersectează prima bisectoare. 175
-
3.Exemple: 1° Funcţiile sin şi cos au fiecare un singur punct fix.
2°. Funcţiile tg şi ctg au fiecare câte o infinitate de puncte fixe.
3° 2( )f x ax bx c= + + cu x∈R, a ≠ 0 şi a, b∈ R are cel puţin un punct fix,
dacă şi numai dacă, . ( )21 4b a− ≥ c
Teorema III.12. (Teorema lui Knaster) Fie A ⊆ R o mulţime cu
proprietatea că orice submulţime a lui A are margini care aparţin lui A şi
f: A → A o funcţie monotonă, atunci există x0∈ A a. î. f(x0) = x0.
Demonstraţie: Presupunem f monoton crescătoare şi fie a = minA,
b = maxA şi B = {x∈A| f(x) ≥ x}. Cum f(a) ∈ A, avem f(a) ≥a, deci a∈B şi
B ≠ ∅. Fie c = sup B, deoarece c ≥ x, ∀x∈B şi f monoton crescătoare,
rezultă f(c) ≥ f(x), ∀x∈B, deci f(c) ≥ x ∀x∈B şi atunci f(c) ≥ sup B = c. În
aceste condiţii din f(x) ≥ c ⇒ f[f(c)] ≥ f(c) şi f(c) ∈B, deci f(c) ≤ c. În
consecinţă, avem f(c) = c şi x0 = c = sup B.
Consecinta III.4. Fie f : [a, b] → [a, b] o funcţie monotonă, atunci
există x0∈[a, b] a. î. f(x0) = x0.
Definiţia III.13. Fie P∈R[X] un polinom de grad n, P =
= ( )0
0n
kk n
k
a X a=
≠∑ .
1] Funcţia p: R→ R cu p(x) = se numeşte funcţie polinomială
asociată polinomului P ∈ R[X].
0
nk
kk
a x=∑
2] Un element x0∈R se numeşte rădăcină sau soluţie a lui P dacă P(x0)=0
şi rădăcina de ordin p dacă există P1∈ R[X] a. î. P(x) = (x - x0)p⋅ P1(x),
∀x∈R şi P1(x0) ≠ 0.
176
-
3] Elementul x0∈R se numeşte număr algebric, dacă x0 este rădăcina unui
polinom cu coeficienţi întregi de grad nenul şi număr transcendent dacă
nu este algebric.
Teorema III.13. Fie P, Q∈R[X] cu Q ≠ 0 (polinomul nul), atunci
au loc următoarele afirmaţii ([17], [30], [41]):
(i) Există C, R∈R[X] a. î. P = C⋅Q + R şi grad R < grad Q;
(ii) Fie a∈R, atunci există C∈R[X] unic şi există r∈R unic a. î.
P = (X - a) C + r.
(iii) Elementul a∈R este rădăcină a lui P, dacă şi numai dacă, P se
divide exact la X - a.
(iv) Fie P∈R[X], elementul a + ib∈C este o rădăcină a lui P, dacă
şi numai dacă, a - ib este rădăcină a lui P.
(ivv) Fie P∈R[X] cu grad P = n (n∈ N*) şi a∈R, atunci are loc
formula lui Taylor pentru polinoame:
( ) ( )P( ) P( ) P ( ) ... P ( ),1! !
Rn
nx ax ax a x x xn−− ′= + + + ∀ ∈ .
Definiţia III.14. Se numeşte funcţie raţională cu coeficienţi în R,
câtul a două polinoame cu coficenţi în R, adică există P, Q∈R[X] a. î.
R = PQ
. Dacă P şi Q nu au rădăcini comune, avem P( )R( )Q( )
xxx
= ,
∀x∈R-ZQ unde ZQ este mulţimea rădăcinilor (zerourilor) lui Q. Dacă P şi
Q au o rădăcină comună x = a, atunci R = PQ
se identifică cu 11
PQ
unde, P1,
Q1∈R[X] şi P = (X - a) P1, Q = (X - a)Q1.
177
-
Teorema III.14. ([41] pag. 130 - 132)
Fie R = PQ
cu P, Q ∈R[X] o funcţie raţională cu R: DR ⊆ R→R,
atunci au loc afirmaţiile:
1] R este funcţie pară, dacă şi numai dacă, există o funcţie
raţională R1 a. î. R(x) = R1(x2), ∀x∈DR. R este funcţie impară, dacă şi
numai dacă, există o funcţie raţională R2 a. î. R(x) = xR2(x2), ∀x∈DR.
2] Fie x0∈R fixat, R este o funcţie pară în raport cu x0, dacă şi
numai dacă, există R1 funcţie raţionlă a. î. R(x) = R1[(x - x0)2], ∀x∈DR. R
este funcţie impară în raport cu x0, dacă şi numai dacă, există R2 funcţie
raţională a. î. R(x) = (x - x0)R2[(x - x0)2], ∀x∈DR.
3] Fie R = PQ
funcţie raţională cu grad P < grad Q.
I] Dacă Q are numai rădăcini reale distincte, adică:
Q = ( )( ) ( ) ( )1 2 .... , 1,Rn jc x x x x x x x j n− − − ∈ = atunci R admite o descompunere unică în fracţii simple de forma:
(III.11) ( )1 21 2
AA AP( ) ... A , 1,Q( )
Rn jn
x j nx x x x x x x
= + + + ∈ =− − −
.
II] Dacă Q are rădăcini reale distincte şi multiple, adică:
Q = ( ) ( ) ( ) ( )1 21 2 .... , , 1,R Nkk i ic x x x x x x x i kα α α ∗− − − ∈ α ∈ = atunci R admite o descompunere unică în fracţii simple de forma:
(III.12) ( ) ( )
( ) ( )
1
1 1
1 21
11 1
1 21
A AP( ) ... ...Q( )
L... k
k kkk k
Axx xx x x x
L Lx xx x x x
αα α −
αα α −
⎧x
= + + +⎪ −− −⎪⎨⎪+ + + +⎪ −− −⎩
+ +
.
III] Dacă Q are rădăcini complexe simple şi multiple, adică:
178
-
( ) ( ) ( )12 2 21 1 1 .... , , , , 4 0R Nkk k k i i i i i i iQ a x b x c a x b x c a b c b a cα α ∗= + + + + ∈ α ∈ − <
atunci R admite o descompunere unică în fracţii simple de forma:
( )
( )( )
1 1
1
1 122
1 1 11 1 1
1 122
A BA BP( ) ...Q( )
(III.13)L ML M... ... A ,B ,...,L ,M ; 1,k k
k i i i i kk k kk k k
xxxx a x b x ca x b x c
xx ia x b x ca x b x c
α αα
α αα
+⎧ += + + +⎪ + ++ +⎪⎪
⎨ ++⎪ + + +⎪ + ++ +⎪⎩= α
IV] Dacă Q are rădăcini reale şi rădăcini complexe simple şi multiple,
atunci R admite o descompunere în fracţii simple unică de forma (III.12)
plus de forma (III.13).
4] Fie R o funcţie raţională oarecare cu P( )R( )Q( )
xxx
= , P, Q ∈R[X].
Funcţia R admite descompunere unică într-un număr finit de fracţii
simple de forma:
( ) ( )2
20
A L M(III.14)A ; ; unde , , , A, L,M , , 4 0R Nn xx a b cx x ax bx c
α α b ac+
∈ α∈ − <− + +
Exemple: 1° 3 21 1( ) ;
1 1 1 3A Lx MR x A L M
x x x x+ ⎛ ⎞= = + = − = =⎜ ⎟+ + − + ⎝ ⎠
23
3 2
1 1 1 1 21 3 1 3 1
xx x x x
−= ⋅ + ⋅
+ + − +.
1 1 2 21 2 1 24 2 2
2 2
1 1( ) ;1 22 1 2 1 2 2
21 2 1 2( )
2 2 2 1 2 2 2 1
L x M L x MR x L L M Mx x x x x
x xR xx x x x
⎧ + + −⎛ ⎞= = + = − = = =⎪ ⎜ ⎟+ − + + + ⎝ ⎠⎪⎨
− +⎪ = − +⎪ − + + +⎩
o
1
179