capitolul_2- metode de studiu ale ciberneticii economice. modelarea si simularea sistemelor...
TRANSCRIPT
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
1/142
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
2/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 2
complexe. &ele mai multe metode de acest tip sunt cele care au la
bază teoria ecuaţiilor diferenţiale sau cu diferenţe nite !în primul caz
sistemele sunt considerate continue în timp, iar în al doilea caz ele
sunt considetate în timp discret". (xistă astăzi o multitudine de modele
de acest tip precum şi metode de rezolvare a acestora deosebit de
perfecţionate, toate acestea încerc%nd să surprindă c%t mai multe
dintre proprietăţile dinamice ale sistemelor modelate.
Modelarea bazată pe aenţi este o metodă mai recentă,
dezvoltată în ultimii douăzeci de ani, care porneşte de la proprietăţile
sistemelor adaptive complexe, în special de la cele datorate alcătuirii
acestora din aenţi individuali, ecare dintre aceştia acţion%nd
autonom şi raţional, într-un context denit de alţi aenţi sau de alte
sisteme a)ate în mediul încon#urător. Modelele bazate pe aenţi sunt
din ce în ce mai evoluate, reuşind să surprindă mult mai multe dintre
proprietăţile importante pe care la au sistemele adaptive complexe.
Modelarea inspirată de natură reprezintă cea mai recentă
tendinţă de modelare dezvoltată în cibernetică şi ea porneşte de la
anumite proprietăţi şi comportamente observate în sistemele din
natură, mai ales la Metoda modelării este completată frecvent de simularea
sistemelor adaptive complexe care utilizează metode specice pentru
a produce anumite sc$imbări în sistem sau în mediul său încon#urător
în vederea studierii modicărilor ce se produc ca urmare a acestora în
structura sau comportamentul întreului sistem adaptiv complex. *n
cadrul ciberneticii este frecvent utilizată ca metodă de simulare
+inamica istemelor, introdusă de a /orrester pornind de la
perceptele de bază ale ciberneticii de ordinul înt%i.
2.1 Modelarea – metoda de bază a ciberneticii
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
3/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 3
Modelarea, sau abilitatea de a descrie o situaţie sau o stare cu
care se confruntă un observator uman, reprezintă o activitate
intelectuală conştientă sau inconştientă care precede cvasitotalitatea
deciziilor luate, formularea unei opinii sau comunicarea acesteia. Nu ne
temem să armăm că modelarea, prezentă în toate acţiunile şi
raţionamentele umane, reprezintă una dintre cele mai sosticate forme
de activitate intelectuală umană, comparabilă doar cu activitatea de
creaţie artistică, fără de care însăşi viaţa şi comportamentul uman nu
ar posibile.
Modelarea, la o primă aproximare, are drept rezultat elaborarea
unui model cu ajutorul căruia se descrie, se înţelege sau se percepe o
situaţie din lumea înconjurătoare care nu este altfel accesibilă
observatorului uma. Wilson !""#$ spune că% 01n model este o
interpretare explicită a unei situaţii sau c$iar a unei idei despre
această situaţie. (l poate exprimat matematic, simbolic sau în
cuvinte. +ar este în esenţă o descriere a entităţilor !elemente,
subsisteme", proceselor sau atributelor şi a relaţiilor dintre ele. (l
poate prescriptiv sau ilustrativ, dar înainte de toate trebuie să e
util2.&t't procesul de modelare c't şi modelul pot reprezentate în
mod abstract utiliz'nd conceptele teoriei sistemelor. &stfel, e ( un
sistem denit ca o mulţime de subsisteme elemente, agenţi$ ( i, i∈N şi
de relaţii ) * N jir ij ∈,, . +n mulţimea ( sunt incluse, de regulă, at't
sistemul modelat c't şi mediul său înconjurător sisteme descise$ +n
caz contrar vorbim despre sisteme încise. (istemele reale, indiferent
de natura lor, sunt percepute şi descrise de către oameni, pe care îivom denumi observatori, - aceştia av'nd un anumit nivel de
cunoaştere relativ la sistemele respective. Mulţimea acestor descrieri
cunoscută de către observatori se numeşte universul reprezentărilor
posibile şi o vom nota cu /. 0entru a putea comunica aceste
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
4/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 4
reprezentări observatorii cunosc şi utilizează anumite instrumente
matematice, grace, gurative, limbaje etc.$ ce vor reprezenta
tenicile de modelare, 1. +n afara observatorilor, în procesul de
modelare pot interveni şi destinatarii beneciarii$ modelelor, 2 care
pot decidenţi, diferiţi utilizatori sau ciar oameni obişnuiţi.
&tunci, modelul M al unui sistem S poate denit ca ind
cvintuplul%
M = { } DT U H S ,,,, .
0rocesul de modelare are drept scop şi rezultat nal obţinerea
unui model M al unui sistem dat, S. &cest lucru nu înseamnă însă
cunoaşterea tuturor elementelor încorporate în deniţia modelului M,
lucru de altfel imposibil datorită at't volumului foarte mare de
informaţie cuprinsă în unele dintre aceste mulţimi, dar mai ales
datorită evoluţiei permanente a cunoaşterii care este încorporată
mulţimilor respective. 2e aceea, procesul de modelare presupune
extragerea informaţiei relevante din mulţimile respective şi obţinerea
unei reprezentări a sistemului sub forma unui model care satisface într3un anumit grad cerinţele exprimate de destinatarii beneciarii$
modelelor. 4xtragerea informaţiei se face printr3o tenică de modelare
aleasă din mulţimea de tenici cunoscute, 1. Modelul astfel obţinut
trebuie să satisfacă nu numaiu exigenţele observatorului -, dar şi pe
ale destinatarului beneciarului$ său 2, care are anumite informaţii
iniţia5le de spre S, notate 6(. 4vident că 6M diferă de 6(, procesul de
modelare put'nd interpretat şi ca încercarea de a minimiza diferenţadintre informaţiile deţinute de observator şi informaţiile deţinute de
destinatar.
0rocesul de modelare poate atunci reprezentat ca în gura 7.!.
Observator
IS
IM
IS’
8igura 7.!
T
M
Sistem modelat
Destinatar
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
5/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 5
<fel spus, modelul reprezintă o relaţie între observator şi
destinatar prin care primul comunică celuilalt reprezentarea sa despre
un sistem real. 2estinatarul poate folosi reprezentarea astfel obţinută
pentru a exercita o anumită in9uenţă asupra sistemului real. 2esigur
că o astfel de denire a modelului este foarte generală. 0entru
operaţionalizarea acesteia, putem introduce următoarea deniţie%
M este un model al lui S dacă şi numai dacă%
i$ M şi S sunt am'ndouă sisteme:
ii$ 0entru orice element subsistem$ Si∈S, exista cel mult unelement submodel$ Mi∈M;
iii$ 0entru orice relaţie rij∈) dintre elemntele lui S există cel multo relaţie corespunzătoare mij∈M între elementele subsistemele$componente: şi
iv$ 0entru orice mulţime de elemente submodele$ legate printr3orelaţie mij în M este adevărat că există o mulţime corespunzătoare de
elemente subsisteme$ din S, legată printr3o relaţie corespunzătoare rij.
;ondiţia i$ asigură ca at't sistemul c't şi modelul acestuia au
elemente, conexiuni între acestea , precum şi scopuri. ;ondiţia ii$ arată
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
6/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 6
că M are cel mult acelaşi număr de elemente ca şi S. ;ondiţia iii$
asigură că modelul M este mai simplu dec't sistemul S în ceea ce
priveşte relaţiile dintre elemente. +n sf'rşit, condiţia iv$ asigură ca
modelul M să e util, în sensul că orice se spune despre model este
adevărat şi pentru sistemul modelat. +n gura 7.7 se reprezintă
scematic această deniţie operaţională.
+n cibernetică, informaţia reprezintă nucleul oricărui model
operaţional, modelul încerc'nd să aducă un plus de informaţie
utilizatorului în ceea ce priveşte cunoaşterea sistemului modelat.
0entru a putea utilizat de destinatar, modelul trebuie să
îndeplinească o serie de proprietăţi generale, dintre care cele mai
importante sunt următoarele%
a) Non-simetria: dacă & modelează < atunci < poate să nu
modeleze &:
b) Refei!itatea : orice sistem este un model al lui însuşi:
c) "ranziti!itatea: dacă & este un model al lui < şi < este un
model al lui ; atunci & este un model al lui ;:
d) Non-trans#erabilitatea: două modele ale aceluiaşi sistem
nu sunt în mod necesar ecivalente. <fel spus, putem reprezenta un
Sistem modelat
Model
S1
Figura 22
S3
S2
S4
M13 M
24
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
7/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea !
sistem în mai multe moduri, asociindu3le modele care nu au relaţii între
ele:
e) Red$cerea com%leită&ii: dacă & modelează < atunci &
este cel mult la fel de complicat ca
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
8/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea "
% este ecare element relevant din sistem reprezentat printr3un
element din model> 2acă nu, sunt elementele absente într3adevăr
relevante> ;are este relevanţa modelului fără aceste elemente> 4tc.
*aliditatea model$l$i reprezintă criteriul cel mai important de
apreciere a valorii unui model. /n model care nu este valid poate
genera implicaţii şi concluzii incorecte privind sistemul modelat.
6nferenţele logice privind performanţele sistemului, bazate pe modele
invalide, vor ele însele neadevărate. Aaliditatea modelelor se poate
determina prin întrebări de forma% rezultatele obţinute prin utilizarea
modelului corespund rezultatelor observate în sistemul real> 2acă nu,
abaterile observate sunt de natură să conducă la invalidarea
modelului> 2acă da, ce scimbări sunt necesare în model pentru a
elimina aceste diferenţe>
0entru a asigura îndeplinirea acestor criterii privind valoarea
modelelor, %roces$l de modelare cibernetică se desfăşoară în mai
multe etape, aşa cum se reprezintă în gura 7.B.
8igura
VALIDAREAMODELULUI
ELABORAREAMODELULUI
ANALIZA
SISTEMULUI
SISTEMMODELAT
ANALIZA
INFORMAŢIEIOBSERVAREASISTEMULUI
TEORIE
MEDIUL
EXTERN
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
9/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea #
+rinci%alele eta%e ale %roces$l$i de modelare sunt deci
următoarele:
,1) bser!area sistem$l$i este, de regulă, etapa iniţială a
procesului de modelare. +n cadrul acestei etape, pornind de la o teorie
sau metodologie elaborată anterior, se culeg date şi informaţii despresistemul care urmează a modelat şi=sau mediul său înconjurător.
,2) naliza /i inter%retarea in#orma&iei urmează imediat
după etape de observare. 6nformaţiile culese pot , de multe ori, foarte
diverse sau într3un volum extrem de mare. &ceste informaţii sunt
clasicate, ordonate, separate de informaţiile irelevante sau
redundante, răm'n'nd în nal doar informaţia relevantă, care va
utilizată efectiv în elaborarea modelului. 2e regulă, această etaspăutilizează diferite metode statistice, econometrice sau de data mining
care cresc ecienţa şi precizia informaţiilor astfel obţinute.
,0) naliza sistem$l$i are drept obiectiv principal obţinerea de
informaţii relevante despre sistem prin studiul proprietăţuilor acestuia
care pot evidenţiate fără utilizarea unui anumit model. &naliza de
sistem se face pe baza unor percepte teoretice şi practice riguroase şi
a unor metodologii de analiză de sistem. (e stasbilesc în cadrul acestei
etape principalele subsisteme ale sistemului analizat, variabilele şi
parametrii care denesc sistemul respectiv, interdependenţele dintre
acestea, factorii care determină scimbări de comportament în sistem
şi modul în care mediul înconjurător in9uenţează sistemul modelat.
Metodele de analiză de sistem utilizate în cibernetică sunt foarte
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
10/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 1$
diverse şi multe dintre ele se efectuează cu ajutorul calculatoarelor şi a
unor softuer3uri foarte dezvoltate.
,) laborarea %ro%ri$-zisă a model$l$i reprezintă etapa
centrală a întregului proces de modelare. 4a are drept principal
obiectiv obţinerea unui model al sistemului într3o formă anterior
stabilită matematică, gracă, etc,$. +n cadrul acestei etaspe sunt
stabilite principalele relaţii dintre variabilele şi parametrii sistemului,
sunt structurate principalele blocuri ale modelului şi conexiunile dintre
acestea. +n cadrul modelului elaborat se specică datele şi informaţiile
necesare pentru ca el să poată rezolvat utiliz'nd o anumită metodă
de rezolvare.
,3) *alidarea model$l$i reprezintă etapa nală a procesului de
modelare în cadrul căreia modelul obţinut este testat iar soluţia
acestuia este comparată cu proprietăţile sistemului modelat. Aalidarea
modelului poate conduce la anumite modicări ale acestuia, astfel
înc't să răspundă mai bine obiectivelor urmărite. /neori validarea
poate conduce la concluzia că întregul procers de modelare trebuie
reluat, astfel înc't să se îmbunătăţească în mod semnicativ
performanţele modelului elaborat. 4xistă, de asemenea, diferitemetode de validare care depind de tipul de model elaborat, de
dimensiunile acestuia sau de precizia datelor şi informaţiilor dorite.
2e regulă, modelare sistemelor cibernetice se clasică în raport
cu mai multe criterii, cum ar tenica de modelare utilizată sau
domeniul de aplicare al modelului realizat.
+n ceea ce priveşte tenica de modelare utilizată, se pot distinge
patru categorii principale de tenici de modelare cibernetică%
!$ Modelarea bazată pe ecuaţii:
7$ Modelarea bazată pe agenţi:
B$ Modelarea inspirată de natură: şi
C$ (imularea sistemelor cibernetice.
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
11/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 11
8iecare dintre aceste procese de modelare utilizează o tenică
specică pentru a surprinde caraceristicile esenţiale ale sistemelor
modelate, produsul lor ind un model cibernetic ce este apoi utilizat în
procesele informaţionale şi=sau decizionale din sistemele respective.
Modelele obţinute sunt denumite, uneori, în funcţie de tenica de
modelare utilizată cu precădere în obţinerea lor, modele bazate pe
ecuaţii modele matematice$, modele bazate pe agenţi, modele
inspirate de natură sau modele de simulare. +n continuarea acestui
capitol vom prezenta doar modelele bazate pe ecuaţii şi modelele
bazate pe agenţi şi vom introduce unele elemente de simulare a
sistemelor cibernetice, modelle inspirate de natură ind abordate mai
t'rziu.
2.2 Modelarea bazată %e ec$a&ii 4n economie
+ncă de la apariţia ei ca ştiinţă, cibernetica a promovat ca
metodă de bază în studierea diferitelor tipuri de sisteme abordate
metoda modelării matematice.
Modelarea matematică este utilizată nu numai în cibernetică dar şi înmulte alte discipline ştiinţice cum ar zica, astronomia, mecanica,
biologia, genetica etc. +n esenţă, modelarea matematică înseamnă
asocierea unui sistem sau unei proprietăti esenţiale a acestuia cu un
model matematic, adică un obiect formal scris într3un anumit limbaj
propriu unei anumite teorii matematice. 2e exemplu, în mecanică sunt
utilizate cu precădere meodelele dinamice continue datorită faptului că
ele reuşesc să surprindă proprietatea esenţială a sistemelor mecanicede a se deplasa în timp. (istemele zice sunt descrise de o largă
varietate de modele matematice, discrete sau continue, deterministe
sau probabiliste, clasice sau cuantice, după cum vrem să evidenţiem
unele sau altele dintre proprietăţile acestor sisteme. (istemele
planetare pot modelate utiliz'nd modele diferenţiale sau cu derivate
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
12/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 12
parţiale, ale căror soluţii descriu evoluţia corpurilor cereşti într3o
anumită perioadă de timp aleasă arbitrar. 6mportantă pentru aceste
modele nu este numai traiectoria de rotaţie şi cea de revoluţie descrise
de corpurile respective dar şi stabilitatea acesteia de exemplu
problema celor trei corpuri rezolvată de -. 0oincarD$.
2.2.1 Modele dinamice contin$e
(ă denim, mai înt'i, modelul dinamic diferenţial al unui sistem
cibernetic, după care să dăm o modalitate de reprezentare a scemei
de reprezentare a unui astfel de sistem.
5e6ni&ia 2.1 Modelul dinamic liniar al unui sistem cibernetic estesistemul { }η ϕ ,,,,,,, Γ Ω= Y U X T S ale cărui elemente îndeplinesc
condiţiile%
%1& Z T ⊆ model dinamic discret$ sau T ⊆ model dinamic
contin$$$:%2& Mulţimile Γ Ω ,,,, Y U X sunt spaţii liniare:%3& 7$nc&ia de trans#er a stării X X T T →Ω×××'ϕ dată de%
&(,),*%() $$ ω ϕ t !t t t ! = este liniară pe mulţimea Ω× X deci
&,$,*%&$,,*%&(,),*% $$$$ ω ϕ ϕ ω ϕ t t !t t t !t t +=%4& 7$nc&ia de ie/ire Y X T →×'η dată de relaţia (&)*%() t !t t " η = este
liniară pe mulţimea X , deci% ()()() t !t ct " =
0entru a concretiza această deniţie, vom considera că pe spaţiul
liniar X este denită o bază şi că m X =(dim) . 2e asemenea, spaţiul
funcţiilor de intrare admisibile Ω are dimensiunea m p ≤
(tarea sistemului cibernetic la un moment dat de timp se va deni
ca un vector X ! ∈
. &tunci diferenţiala acestui vector,dt d! +
va tot unvector care poate descom%$s după coordonatele bazei în m
componente% +,,+,+ 21 dt d!dt d!dt d! m
;oform condiţiei EBF din deniţia de mai sus, ecuaţia%
(&),*%+ t u !t # dt d! = este liniară pe mulţimea Ω× X , deci ea poate
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
13/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 13
scrisă ca o combinaţie liniară de vectorii x şi u. +n consecinţă, vectorul
introdus dt d! + poate scris%
++++++=
++++++=
++++++=
pmpmmmmmm
p pmm
p pmm
ubub !a !adt
d!
ubub !a !adt
d!
ubub !a !adt
d!
1111
212121212
111111111
unde a şi b sunt coordonatele vectorilor x şi p.
Aom introduce matricele%
,
()
()
()
2
1
=
t !
t !
t !
!
m
,
()
()
()
2
1
=
t u
t u
t u
u
p
,
21
22221
11211
=
mmmm
m
m
aaa
aaa
aaa
$
=
mpmm
p
p
bbb
bbb
bbb
%
21
22221
11211
(e observă că vectorul de stare ()t ! are dimensiunea 1×m ,
vectorul de comandă ()t u dimensiunea 1× p , matricea de stare ()t $
dimensiunea mm× , iar matricea de comadă ()t % dimensiunea pm ×
0utem atunci scrie%
()()()()()()
t ut %t !t $t !dt
t d!+==
;onsider'nd acum spaţiul liniar al mărimilor de ieşire G av'nd
dimensiunea n, şi pornind de la proprietatea ECF din deniţia 7.!, relaţia
()()() t !t ct " = poate reprezentată sub forma unei combinaţii liniare de
vectori x şi coordonatele vactorilor H%
+++=
+++=
+++=
mnmnnn
mm
mm
!c !c !ct "
!c !c !ct "
!c !c !ct "
2211
22221212
12121111
()
()
()
(criind matricial%
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
14/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 14
,
()
()
()
()2
1
=
t "
t "
t "
t "
n
=
nmnn
m
m
ccc
ccc
ccc
t C
21
22221
11211
()
obţinem%
()()() t !t C t " =
0utem da acum următoarea deniţie%
5e6ni&ia 2.2. (istemul cibernetic este descris de următorul
model dinamic liniar nit şi cu timp continuu$%
=
+=
()()
()()()
t C!t "
t %ut $!dt
t d!
0rimele ecuaţie a modelului se numeşte ec$a&ia de dinamică a
,stării) sistemului, iar a doua, ec$a&ia de ie/ire.
+n unele cazuri, model$l dinamic liniar poate şi sub forma%
(()(,)(,)) t C t %t $S = , respectiv% (,,) C % $S =
2.2.2 Re%rezentarea modelelor cibernetice c$ a8$tor$l
sc9emelor str$ct$rale
(cema structurală a unui model cibernetic este reprezentarea
gracă a intercaţiunii dintre elementele şi3sau subsistemele alcătuind
sistemul cibernetic respectiv.
(e pot utiliza, pentru aceasta, o serie de simboluri grace simple
cum sunt cele din gura 7.C.
+n gura, 7.C a$ se reprezintă simbolul inte'rator, asociat
operaţiei de integrare a intrării. 2eci, dacă la intrare avem variablia()t ! , la ieşire vom avea mărimea ∫ () dt t ! (e observă că avem
integratorul unidimensional, cu o intrare şi cu o ieşire şi integratorul
multidimensional, av'nd mai multe intrări şi mai multe ieşiri.
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
15/142
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
16/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 16
0entru a detalia această scemă structurală, se observă mai înt'ică blocul matricial ;t$ transformă starea xt$ în iesirea Ht$.
;onsider'nd forma analitică a ecuaţiei matriciale de ieşire%
()()() t !t C t " = se poate construi scema structurală din gura 7.J.
+n ceea ce priveşte scema structurală corespunzătoare ecuaţiei
matriciale de dinamică a stării%
()()() t %ut $!t ! +=
pornind de la forma lor analitică şi introduc'nd notaţiile%
.)t(
B(t) Σ C(t)
A(t)
u)t( ./)t( 0)t( )t(
8igura 7.I
-12
-1m
-11
-21
-22
-2m
-n1
-n2
-nm
Σ
Σ
Σ
1
2
3
8igura 7.J
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
17/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 1!
+++=
+++++=
+++++++=+++++++=
−−−−−−−
+
pmpmmm
p pmmmmmmm
p pmm
p pnn
ububub &
ubub !a !a &
ububub !aua !a !a &
ububub !a !a !a &
2211
,111,111,111,11
222212124242221212
121211113131111
putem scrie%
++++=
+=
+=
+=
−−−
mmmmmmm
mmmmm
& !a !a !adt
d!
& !a
dt
d!
& !adt
d!
& !adt
d!
2211
1,11
23232
12121
;onsider'nd acum% $ 121 ==== −m & & & obţinem
1 ,12312 ==== − mmaaa
Notăm 112$1 *** −−=−=−= mmmmm aaaaaa şi obţinem%
+−−−−=
=
=
− mmmm & !a !a !a
dt
d!
!dt
d!
!
dt
d!
1211$
32
21
+nlocuind prima ecuaţie în cea de3a doua, a doua în a treia
ş.a.m.d., obţinem, în nal, ecuaţia diferenţială de ordinul m%
m
m
m
m
& !adt
d!
adt
!d
adt
!d
=++++
−
− 1$1
11
1
11
(cema structurală a aceste ecuaţii este reprezentată în gura
7.K.
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
18/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 1"
2.2.0 Rezol!area modelelor dinamice di#eren&iale
) az$l modelelor sistemelor nesta&ionare
(ă considerăm modelul nestaţionar%
=+=
()()()
()()()()()
t !t C t "
t ut %t !t $t !
în care notaţiile sunt cele obişnuite, dimensiunile sunt aceleaşi, iar
matricele &, < şi ; depind de timp.
8ie dată o stare iniţială a sistemului sub forma unui vector
(()(,,)(,))() $$2$1$$ t !t !t ! !t ! m==
Sol$&ia model$l$i sistem$l$i nesta&ionar xt$ va atunci deforma% (,,*)() $$ u !t t t ! ϕ = unde se includ între argumentele funcţiei de
dinamică a stării )(ϕ , condiţia iniţială şi efectele comenzii u.
)ezolvarea ecuaţiei diferenţiale matriceale%
()()()()() t ut %t !t $t ! += care reprezintă dinamica variabilelor de stare
am1
a1
a$
+++---
… …
8igura 7.K
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
19/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 1#
xt$ necesită determinarea, într3o primă etapă, a unei matrice
fundamentale de soluţii ()t Ψ , după care, prin normalizarea acesteia,
a matricei de transfer a stării, (,) $t t ϕ în raport cu care se poate apoi
scrie frma generală a soluţiei ecuaţiei matriceale date.
(ă parcurgem, în continuare, principalele eta%e de rezol!are a
model$l$i dinamic nesta&ionar.
[1] 5eterminarea matricei #$ndamentale de sol$&ii ()t Ψ
Matricea ()t Ψ reprezintă o matrice nesingulară de dimensiuni
mxm ale cărei coloane reprezintă, ecare, un vector de soluţii
particulare ale sistemului liniar omogen%
()()()
t !t $t ! =
obţinut, deci, prin $≡u
2eoarece, în determinarea matricei fundamentale de soluţii,
putem utiliza condiţii iniţiale diferite, există o innitate de astfel de
matrice, obţinute ecare prin scimbarea condiţiilor iniţiale.
4vident că ecare dintre ele satisface ecuaţia omogenă%
()()()
t t $t Ψ=Ψ
em%l$l 2.1.% 4cuaţia omogenă% ()$
$1()
t !t
t !
−= este
ecivalentă cu sistemul de ecuaţii%
=
−=
()()
()()
12
11
t t!t !
t !t !
(oluţia primei ecuaţii este de forma% t e !t ! −= 1$1 () , unde x!# este o
constantă de integrare dependentă de condiţiile iniţiale.
+nlocuind în a doua ecuaţie, obţinem%
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
20/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 2$
2$1$1
1$2
!e !te ! ! t ++= −− , e unde, prin integrare, avem%
2$1$1$2 () !e !te !t ! t t ++−= −−
unde x7# este o constantă de integrare dependentă de condiţiile
iniţiale.
0entru a obţine vectorii de soluţii particulare necesari matricei
fundamentale de soluţii, alegem un sistem de două condiţii iniţiale, de
exemplu%
1,$ 2$1$ == ! ! pentru care% (,1$)() 21122 =ΨΨ=Ψ respectiv
$,1 2$1$ == ! ! pentru care% ((1))() 21122 t ee t t +−=ΨΨ=Ψ −−
&tunci matricea ()t Ψ se va scrie%
+−=
ΨΨ
=Ψ −−
(1)1
$()
2
1
t e
et
t
t T
care este singulară şi, în consecinţă, este o matrice #$ndamentală de
sol$&ii.
(e poate arăta uşor că această matrice satisface ecuaţia%
()()()
t t $t Ψ=Ψ
[2] b&inerea matricei de trans#er a stării
/tilizarea matricei fundamentale ()t Ψ introduce o
nedeterminare, deoarece există un număr innit de astfel de matrice.
0entru înlăturarea acestei nedeterminări, vom utiliza o matrice
fundamentală normată, numită matrice de trans#er a stării (,) $t t φ
care satisface, deci, relaţia%
()()(,) $1$ t t t t −ΨΨ=φ pentu toţi (,), $ ∞−∞∈t t .
2eoarece ()t Ψ este nesingulară, avem, pentru toţi t, matricea
inversă ()1 t −Ψ .
Matricea de transfer a stării (,) $t t φ satisface următoarele relaţii%
• ' t t t t =ΨΨ= −
()()(,) 1φ
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
21/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 21
• (,)()()(,) $1
$$1 t t t t t t φ φ =ΨΨ= −−
• (,)(,)()()()()()()(,) $112$1
111
2$1
2$2 t t t t t t t t t t t t φ φ φ =ΨΨΨΨ=ΨΨ= −−−
(ă arătăm, utiliz'nd aceste proprietăţi, că matricea de transfer a
stării (,) $t t φ este unic denită şi satisface şi ea ecuaţia diferenţială
omogenă $! ! = .
&stfel, în cazul unicităţii, presupunem că s3au construit două
matrice fundamentale de soluţii Ψ şi −Ψ . 2eoarece coloanele acestor
matrice sunt vectori liniar independenţi matricele ind nesingulare$
ele pot construi baze. &tunci există o matrice de transformare
nesingulară 0 astfel înc't% ( Ψ=Ψ− .
2ar
(,)()()&()%()()$)(,) $$11
$$
1
$ t t t (( t ( t ( t t t t t φ φ =ΨΨ=ΨΨ=ΨΨ= −−
−−−−
deci matricea de trans#er a stării (,) $t t φ este unică.
(ă arătăm acum, că acestă matrice (,) $t t φ satisface ecuaţia%
()()()
t !t $t ! = .
&stfel, dacă diferenţiem relaţia% ()()(,) $1
$ t t t t −ΨΨ=φ , obţinem
()()(,) $1
$
t t t t −ΨΨ=Φ .
2ar% ()()()
t t $t Ψ=Ψ , deci ()()()()(,) $1
$
t $t t t $t t =ΨΨ=Φ − cu
condiţia iniţială% ' t t t t =ΨΨ= − ()()(,) $1
$φ .
[] Scrierea sol$&iei model$l$i dinamic di#eren&ial
$tiliz4nd matricea de trans#er a stării (,) $t t φ
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
22/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 22
(oluţia modelului dinammic diferenţial constă în determinarea
unei expresii care să arate dependenţa stării xt$ de matricea (,) $t t φ şi,
eventual, de condiţiile iniţiale.
&ceastă expresie este de forma%
∫ Φ+== # t
t
d u %t !t t u !t t t !
$
()()(,)(,)(,,*)() $$$$ τ τ τ τ φ ϕ sau, ceea ce este
acelaşi lucru cu% ∫ Φ+= # t
t
d u %t !t t t !
$
&()()(,)(%,)() $$ τ τ τ τ φ
(ă demonstrăm, în continuare, că este într3adev'r aşa. 0entru
aceasta, trebuie să arătăm că relaţia dată este satisface ecuaţia de
dinamică a stării%
()()()()()
t ut %t !t $t ! +=
Aom diferenţia mai înt'i pe xt$ şi apoi vom înlocui în ecuaţia de
mai sus.
+ntruc't xt$ este dat de o ecuaţie integrală, să utilizăm regula de
diferenţiere a integralelor%
dt d t #
dt d t # d
t t # d t #
dt d 11
22 (,#(,)(,)(,)
2
1
2
1
τ τ τ τ τ τ τ τ
τ
τ
τ
τ
−+∂∂== ∫ ∫
(e observă că, în cazul nostru, $1 t =τ deci $1 =dt
d τ iar t =2τ deci
12 =dt
d τ .
0utem acum scrie%
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
23/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 23
∫
∫ ∫
∫
∫ ∫
+Φ+Φ=
Φ+Φ=+Φ+Φ=
=Φ+∂
Φ∂+Φ=
=Φ+Φ=Φ+Φ=
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t ut %d u %t !t t t $
du %t t $ !t t t $t ut %d u %t !t t
t ut %t t d u %t
t !t t
d u %t dt
d !t t
dt
d d u %t !t t
dt
d t !
$
$ $
$
$$
()()&()()(,)(,)(%)
()()(,)()(,)()()()()()(,)(,)
()()(,)()()(,)
(,)
()()(,)(,()&()()(,)(,)%()
$$
$$$$
$$
$$$$
τ τ τ τ
τ τ τ τ τ τ τ
τ τ τ τ
τ τ τ τ τ τ τ τ
+n paranteza dreaptă se observă că avem tocmai xt$, deci am
obţinut că% ()()()()()
t ut %t !t $t ! += .
[!] Sol$&ia com%letă a model$l$i dinamic di#eren&ial
Φ+Φ==
Φ+Φ=
∫
∫ t
t
t
t
d u %t !t t t C t !t C t "
d u %t !t t t !
$
$
&()()(,)(,)(%)()()()
()()(,)(,)()
$$
$$
τ τ τ τ
τ τ τ τ
) az$l modelelor sistemelor dinamice sta&ionareModelele sistemelor dinamice staţionare sunt caracterizate de
faptul că matricele de stare comandă respectiv de ie/ire sunt
constante, deci%
=+=
()()
()()()
t C!t "
t %ut $!t !
(ă determinăm soluţia acestui model staţionar. 0entru aceasta,
vom considera, mai înt'i, sistemul omogen ()()
t $!t ! = , cu condiţia
iniţială dată, $$() !t ! = .
2ezvoltăm funcţia xt$ în serie MacLauren în jurul punctului x*#
pentru condiţia iniţială dată $$ () !t ! = .
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
24/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 24
,4342
()32
$ ++++= t
!t
!t ! !t ! unde%$$
2
2
$
$
*
t t t t dt
!d !
dt
d! !
==
== ş.a.m.d.
2iferenţiind ecuaţia omogenă ()()
t $!t ! = , obţinem succesiv%
32
2
3
3
22
2
! $dt
!d $
dt
!d
! $dt d! $
dt !d
==
==
i, înlocuind în expresia obţinută a lui xt$ prin dezvoltarea în serie
MacLauren difeneţialele de mai sus, avem%
$2
2
$2
2
$$ (42
)42
() ! $t
t$ ' ! $t
t$! !t ! +++=+++=
+n paranteză avem o funcţie matriceală de & şi, prin analogie cu
dezvoltarea în serie a funcţiei exponenţiale, o putem nota cu $t e .
&şadar% 42
22
+++= $t
t$ ' e $t intervine în soluţia sistemului
staţionar omogen ()()()
t !t $t ! =
(e poate arăta că matricea fundamentală de soluţii a acestui
sistem este tocmai $t et =Ψ () în timp ce matricea de transfer a stării
(,) $t t Φ se determină uşor ca ind%
∫
∫ ∫
−+=
=−+=−+=
−
−−−
t
t
t t $
t
t
t
t
t t $t t $t t $
d %ut $ !e
%ut $e !ed %ut $ !et !
$
$
$$
$$$
&()()%
()()()()()
$$()
$()
$()
$()
τ τ τ
τ τ τ τ τ
∫ −+= −t
t
t t $ d %ut $ !Cet "
$
$ &()()%() $$() τ τ τ
2.2. %roimarea #$nc&iei matriceale $t e
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
25/142
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
26/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 26
(,)
()
()
()()1
11
1
1
1*
m
i* *
m
i
i*
m
i
i
m # ( ) λ
λ λ
λ λ
λ λ ∑∏
∏+
≠=+
=
+
=
−
−==
iar polimoanele (Hlvester sunt%
,()
()
()
1
11
1
1
1 t
m
i* *
m
i
i*
m
i
i
m * e
' $
$ ( λ
λ λ
λ
∑∏
∏+
≠=+
=
+
=
−
−
=
2.2.3 Modele dinamice discrete
8orma generală a modelelor dinamice discrete ale sistemelor
cibernetice este următoarea%
=
+=+t t t
t t t t t
!C "
u % ! $ ! 1
unde t*#,!,7,.., sau, mai general, t∈ G.+n cazul sistemelor staţionare avem%
=+=+t t
t t t
C! "
u % ! $ ! 1
Modelele dinamice discrete au proprietatea importantă că
variabilele de stare, comandă şi ieşire iau valori la momante de timp
discret, astfel că traiectoria de stare, de exemplu, se va scrie%
{ }T t ! ! ! ! ! ,,,,,, 21$ , unde " este moment$l 6nal de tim% dacă
este dat$, iar x# este starea iniţială, în general cunoscută.
%eratorii de 4nt
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
27/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 2!
aplicăm operatorul de înt'rziere de ordinul n, Ln, unui şir de stări
{ } −∞=∞
t t ! obţinem un nou şir de stări { } −∞=∞
− t nt ! .
Aom inroduce, în continuare, polinoame cu operatori de înt'rziere
de forma% ∑=
=+++=n
j
j j +c +a +aa + Z
$
221$ () , b j, c j ind constante.
;el mai simplu exemplu de polinom raţional în L este%
+ + Z
λ −=
1
1()
tiim că, dacă 1
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
28/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 2"
+n acest caz avem%
1
1
22
1 (1
)(1
)1
1
1+
∞
=++ ∑=−−−=− t
i
i
t t t ! ! ! ! + λ λ λ λ
unde 1>λ .
) Modele dinamice discrete de ordin$l 4nt
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
29/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 2#
1,11
1(1)
11
(1)
1
$ $
$$
$
$
1
$
1
$ $$
1
$
≥
++
−++
−−=
=+++−
+−−
=
=++++=
∑ ∑
∑∑
∑ ∑∑∑
−
=
∞
=−−
∞
=−−
−
=
−
=
∞
=−−
∞
=
−
=
t cububa
eububaa
cububaa !
t
i i
iit
it i
t
i
t i
it it
t
i
it t
t
i i
t it
iit i
i
it
i
it
λ λ λ
λ λ λ λ
λ λ λ λ λ
λ
λ
λ
λ λ λ λ λ
(e observă că termenul dintre acolade este tocmai x # conform
soluţiei generale, deci%
∑−
=− ++−
−=
1
$
$1
(1) t
i
t it
it
t !uba
! λ λ λ
λ
sau
∑−
=−+−−−−=
1
$
$ (1)1
t
i
it it
t ub
a
!
a
! λ λ λ λ
care reprezintă forma generală a soluţiei ecuaţiei cu diferenţe de
ordinul înt'i.
2acă ut*# atunci%
(1
)1
$λ
λ λ −
−−−
= a
!a
! t
t
care este soluţia ecuaţiei cu diferenţe nite a ! ! t t += −1λ în condiţiile
iniţiale x#*#.
(e observă că dacăλ −
=1
$
a ! atunci xt*x# pentru toţi t, deci
λ −1
a
este un punct staţionar sau de ecilibru pe termen lung al lui x.
&celaşi lucru se obţine dacă presupunem că 1
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
30/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 3$
+n cazul în care sistemul cibernetic este descris de ec$a&ii c$
di#eren&e 6nite de ordinul doi de forma%
,2211 t t t t bua !t !t ! +++= −−
utiliz'nd operatorul de înt'rziere, obţinem%
t t bua ! +t +t +=−− (1)22
11
&sociem polinomului operatorial ecuaţia caracteristică%
$112
2 =−+ λ λ t t
şi notăm cu 21,λ λ rădăcinile valorile proprii$ acestuia.
2acă 21 λ λ ≠ şi 11 ≠λ , atunci ecuaţia cu diferenţele nite de
ordinul doi se mai poate scrie%
t t bua ! + + +=−− (1()1) 21 λ λ care are soluţia generală de forma%
t t t ccu
+ +
b
+ +
a ! 22111
2121 (1()1)(1()1)λ λ
λ λ λ λ ++
−−+
−−=
unde c! şi c7sunt constante de integrare.
(e verică uşor că această soluţie verică ecuaţia cu diferenţe
înmulţind în ambele părţi cu (1()1) 21 + + λ λ −− %
t t t t c + +c + +bua ! + + 2221112121 (1()1)(1()1)(1()1) λ λ λ λ λ λ λ λ −−+−−++=−−
(e observă că ultimii doi termeni din partea dreaptă a acestei
egalităţi sunt zero deoarece 21,λ λ sunt rădăcinile caracteristice.
0entru a determina o soluţie particulară a ecuaţiei cu diferenţe
nite de ordinul doi trebuie să avem două condiţii asupra traiectoriei lui
xt
. 2e exemplu, dacă se dau valorile lui xt
pentru t*# şi t*!, ele sunt
suciente pentru a determina c! şi c7.
(oluţia generală se poate scrie şi în aşa fel înc't să nu depindă
de operatorul de înt'rziere L.
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
31/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 31
0entru aceasta, c'nd 21 λ λ ≠ ,
(11
)1
(1()1)
1
2
2
1
1
121 + + + + λ
λ
λ
λ
λ λ λ λ −−
−−=
−−
pe care, dacă o utilizăm în expresia soluţiei generale, obţinem%
∑ ∑∑ ∑ ∞
=
∞
=−−
∞
=
∞
=
++−
−−
+=
=++−−
−−−
+−−
=
$ $
2211221
21
$ $ 21
121
2211221
21
121
1
21 1
1
1
1
(1()1)
i i
t t it
iit
i
i i
ji
t t t t
ccub
ub
a
ccu +
bu
+
ba !
λ λ λ λ λ
λ λ
λ λ
λ λ λ
λ λ λ λ λ
λ
λ λ λ
λ
λ λ
unde s3a utilizat faptul că pentru o constantă a%
(1)()
$ $
aH ,aa +,a + H
i i
ii
i === ∑ ∑∞
=
∞
=
(e observă că%
∑ ∑∞
=
∞
=
=−
•− $ $
2121 1
1
1
1
i i
iiii + +
+ +λ λ
λ λ
astfel înc't suma ∑ ∑∞
=
∞
=$ $
21
i i
ii λ λ este nită şi egală cu(1()1)
1
21 + + λ λ −−
presupun'nd că 11
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
32/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 32
unde
i
i
i ub
c −
∞
=∑−+= $$ 121
11$ λ
λ λ
λ θ
i
i
i ub
c −
∞
=∑−−= $
$
2
21
22$ λ
λ λ
λ η
în cazul în care ut
*#.
0entru 1≥t soluţia generală se scrie% 1$2$1 ≥+= t ! t t t η λ θ λ în raport
cu valorle posibile ale valorilor proprii, traiectoria de stare a
sistem$l$i { }t ! poate avea diferite forme, deci sistemul cibernetic are
componente distincte.
Mai înt'i, indiferent de valorile lui 1λ şi 2λ , dacă $$$ ==η θ pentru
toţi 1≥t $=t ! deci sistemul este într3un %$nct sta&ionar.
2acă ∈21,λ λ , atunci% $lim =∞→ t t ! dacă şi numai dacă 11
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
33/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 33
2eoarece variabila de stare trebuie să e reală, rezultă că $$ η θ +
trebuie să e reală, iar $$ η θ − trebuie să e imaginară. <el spus, $θ şi
$η sunt complexe conjugate. să spunem θ θ i pe=$ şiθ η i pe−=$ .
0arametrii p şi θ sunt aleşi în aşa fel înc't să satisfacă condiţiileiniţiale asupra lui xt.
"raiectoria l$i t în acest caz, este oscilantă, cu o frecvenţă
determinată de . factorul de amortizare r t depine de amplitudinea r a
rădăcinilor complexe.
Aaloarea staţionară xt*# se obţine pentru rP!. 2acă rQ! atunci
xt oscileză exploziv, indiferent de condiţiile iniţiale. 2acă rP! sistemul
oscilează amortizat. 2acă r*! oscilaţiile sistemului sunt de amplitudineconstantă.
0'nă acum am presupus că 21 λ λ ≠ . +n cazul în care ∈= 21 λ λ
avem%
∑∞
=
+=− $
2(1)
(1)
1
i
ii +i +
λ λ
, deci polinomul asociat ecuaţiei cu diferenţe
nite de ordinul doi se scrie% t i bua ! + +=−2(1) λ .
Sol$&ia 'enereală în acest caz este%
t t
i i
t ii
t t ccuibia ! λ λ λ λ 21$ $
1(1)(1) +++++= ∑ ∑∞
=
∞
=−
unde c! şi c7 sunt constante reale care depind de condiţiile iniţiale.
0resupun'nd că a*# soluţia de mai sus o mai putem scrie%
t t t
i t '
t i
it i
t t ccuibuib ! λ λ λ λ 21
1
$
1(1)(1) +++++= ∑ ∑−
=
∞
=−− sau
$$
1
$
(1) η λ θ λ λ t t t
i
it i
t t uib ! +++= ∑−
=
−
unde
∑∞
=−++=
$
$1$ (1) j
j ju jbc λ θ
∑∞
=−+=
$
$2$
j
j jubc λ η
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
34/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 34
&ceastă soluţie o putem analiza, în funcţie de valorile rădăcinii λ
, la fel ca mai sus.
) Modele dinamice discrete de ordin$l n
(ă considerăm un %olinom ra&ional de dimensiunea n%
,(1()1()1)
()
()
()()
21
1
2
1
+ + +
+ Z
+ Z
+ Z + Z
nλ λ λ −−−==
unde nλ λ λ ,,, 21 sunt valorile proprii ale ecuaţiei caracteristice asociate
ecuaţiei cu diferenţe de ordinul n. dacă rădăcinile nii ,1, =λ sunt toate
distincte, atunci%
,1
11(1()1()1)
()
2
2
1
1
21
1
+
.
+
.
+
.
+ + +
+ Z
n
n
n λ λ λ λ λ λ −++
−+
−=
−−−
unde z!, z7, ..., zn sunt constante care trebuie determinate.
0entru a le determina, înmulţim egalitatea de mai sus în ambele
părţi cu (1()1) 1 + + nλ λ −− şi obţinem%
1()1)(1()1()1)(1()1)() 1312211 + . + + + . + + . + Z nnn −−++−−−+−−= λλ λ λ λ λ λ
0un'nd% 11
λ = +
obţinem%
(1()1)
(1)
11
2
11
1
λ
λ
λ
λ
λ
n
Z
.
−−=
+n general, pentru zi avem%
(1()1()1()1)
(1
)
112
11
1
i
n
i
i
i
i
i
Z
.
λ λ
λ λ
λ λ
λ λ
λ
−−−−=
+−
0resupunem, acum, că avem ecuaţia cu diferenţe de ordinul n%
t t n bu ! + + + =−−− (1()1()1) 21 λ λ λ
care are soluţia generală%
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
35/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 35
,(1()1()1)
1121
t nn
t t
nt ccu
+ + +
b ! λ λ
λ λ λ +++
−−−=
unde c!, c7, ..., cn sunt constante de integrare.
2acă valorile proprii jλ sunt toate distincte, mai putem scrie%
t j j
n
j
t r
r n
r
t cu +
. b ! λ
λ ∑∑
==
+−
=11
((1)
)
care arată că xt poate scrisă ca suma ponderată a n înt'rzieri
distribuite geometric cu coecienţii de înt'rziere nλ λ λ ,,, 21 .
2'ndu3se n valori iniţiale lui x t şi presupun'nd că u j*#, obşinem
o soluţie de forma%
nt n
t t t ! η λ η λ η λ +++= 2211
unde nη η η ,,, 21 sunt constante alese pentru a satisface cele n valori
iniţiale.
+n cazul în care avem n valori proprii egale, deci ecuaţia cu
diferenţe de ordin n se scrie%
t t n
bu ! + =− (1) λ
sol$&ia 'enerală este%
t nn
t t t nt t ct ccu +
b ! λ λ λ λ
121 (1)
−
++++−=
2ar%
ii
in
+i
in
+λ
λ ∑
∞
=
−+=
− $
1
(1)
1
unde(41)4
(41)1
−−+
≡
−+ni
in
i
in
/tiliz'nd această expresie. putem obţine soluţia 'enerală a
ec$a&iei c$ di#eren&e independent de L%t n
nt t
it i
i
t t ct ccui
inb ! λ λ λ λ 121
$
1 −
−
∞
=
++++
−+= ∑
2.2. em%le de modele bazate %e ec$a&ii
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
36/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 36
1) Model$l (S – >M dinamic contin$$
+ntr3o economie, celtuielile reale se formează ca sumă a
cetuielilor pentru consum, celtuielilor pentru investiţii şi celtuielilor
guvernamentale. ;eltuielile reale sunt date atunci de ecuaţia%
e,t ) = a ? b,1 @ t 1)y ,t ) @ hr ,t ) a > A , A < b < 1 ,
A < t 1 < 1 , h > A
unde e * celtuielile reale
a * celtuieli guvernamentale autonome$
b * propensitatea marginală pentru consumt! * rata marginală a taxelor
H * venitul real
* coecientul de investiţii în raport cu r
r * rata nominală a dob'nzii.
;ererea de balanţe nominale reale este dată de relaţia%
md
,t ) = y ,t ) @ !r ,t ) , ! > A
deci depinde pozitiv de nivelului venitului real şi negativ de rata
nominală a dob'nzii. ferta nominală de bani Ms * M# iar nivelul
preţurilor 0 este presupus constant nu există in9aţie$. 2e aici avem că
balanţele monetare reale sunt date exogen de relaţia m# * M#=0.
4conomia are două pieţe principale, piaţa bunurilor şi serviciilor
şi piaţa banilor. 8iecare dintre aceste pieţe încearcă să se ajusteze
către ecilibru, lucru care este descris de următoarele relaţii de
dinamică%
" * y",t ) = #,e,t ) @ y ,t )) 3 4 #
r * r",t ) = $,md ,t ) @ mA) 5 4 #
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
37/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 3!
0rima relaţie arată că ajustarea pieţei bunurilor se face astfel
înc't să se realizeze ecilibrul dintre cererea pentru consum şi oferta
de produse existentă pe piaţă, cele două mărimi et$ şi Ht$ exprim'nd
mărimea cererii şi, respectiv, a ofertei la momentul de timp t.
& doua relaţie exprimă ajustarea pieţei banilor în raport cu
cererea de bani, mdt$ şi oferta de bani m# care, după cum ne amintim,
este dată exogen.
2acă înlocuim în cele două relaţii mărimile cunoscute, obţinem%
" = #Bb,1 @ t 1) @ 1Cy @ #hr ? #a
r = $y @ $!r @ $mA
care reprezintă un sistem de două ecuaţii diferenţiale neomogene cu
coecienţi constanţi.
Matriceal, sistemul de mai sus se mai scrie%
−+
−−−−
=
$
1
&1(1)%
m
a
r
"
u*
a,t ba
r
"
β
α
β β
2reptele de ecilibru în planul de fază H,r$ se determină simplu
pun'nd condiţiile ca
" % & şi
r % &. 0entru prima condiţie obţinem%
R3E! R b! R t !$F R 3$r S 3a * #
de unde
,
"t bar
(&1)1% 1−−−=
care se mai numeşte c$rba (S.
(imilar, pentru a doua condiţie, obţinem
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
38/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 3"
*
mur " $
+= sau
u
m "r r $
−=
care se numeşte c$rba >M.
)eprezentarea în spaţiul fazelor H,r$ a celor cele două drepte
este dată în gura 7.T. ;ele două curbe se intersectează într3un punct
de coordonate%
+−−+−−−
+−−+
=(+)(1)1
(+)((1)1()+)
(+)(1)1
(+)(,)
1
1$
1
$55
u*,t b
au* t bum
u*,t b
mu,ar "
care în gură este notat cu 4# şi reprezintă punctul de ecilibru general
al economiei.
8igura 7.T
+n gură sunt reprezentate şi forţele dinamice care acţionează
atunci c'nd economia nu se a9ă la ecilibru. &ceste forţe sunt
reprezentate de săgeţile care sunt incluse în ecare dintre cele patru
cadrane ale spaţiului de fază.
0entru a determina orientarea forţelor respective, considerăm pe
r'nd piaţa bunurilor şi apoi piaţa banilor. &stfel, pentru piaţă bunurilor,
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
39/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 3#
curba 6( reprezintă locul geometric al punctelor în care această piaţă
este la ecilibru, adică cererea de bunuri este egală cu oferta de
bunuri. 2acă ne situăm la dreapta acestei curbe, atunci%
,
"t ba
r
(&1)1% 1−−−>
de unde obţinem%
",r "t ba −−−+> (1)$ 1
ceea ce implică
" < #. 2eci, la dreapta curbei 6( venitul este
descrescător. +n acelaşi mod, stabilim că la st'nga curbei 6(, venitul
este crescător
;onsider'nd apoi piaţa banilor, pentru punctele a9ate la dreapta
curbei LM avem%
u
m*"r $−>
ceea ce implică %
$$ mur *" −−>
de unde obţinem r Q #, deci rata dob'nzii este crescătoare. (imilar,
pentru punctele a9ate la st'nga curbei LM, rata dob'nzii este
descrescătoare. 0unctele a9ate ciar pe curba LM sunt cele care
asigură ecilibrul pieţei banilor, deci în care cererea de bani este egală
cu oferta de bani dată exogen$.
/tiliz'nd acest model, putem să facem analize cantitative şi
calitative asupra evoluţiei economiei ca urmare a apariţiei unor şocuri
şi perturbaţii. &stfel, dacă considerăm că economia este iniţial la
ecilibru în punctul 4# şi ea suferă ulterior o '()dere a *+erte
-*m-ae de ba- , aceasta scăzînd de la M# la M! atunci, evident,
curba LM de ecilibru a pieţei banilor se va deplasa într3o nouă poziţie,
aşa cum arată gura 7.".
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
40/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 4$
8igura 7."
(e formează un nou punct de ecilibru, 4! către care economia
începe să se îndrepte. 4xistă, pentru aceasta, mai multe traiectorii
posibile, notate în gură cu 1!, 17, 1B şi 1C. &stfel, traiectoria 1!
corespunde ipotezei extreme conform căreia ajustarea pieţei banilor
are loc instantaneu, deci rata dob'nzii va creşte sucient de mult
pentru a menţine ecilibrul pe piaţă banilor. 0e 1! economia se va
deplasa de la 4# mai înt'i vertical în punctul &, deoarece venitul nu se
modică încă, el răm'n'nd la nivelul H#. 2ar, datorită creşterii
puternice a ratei dob'nzii, investiţiile vor scădea şi, prin efectul
multiplicator al acestora asupra venitului, acesta din urmă va începe şi
el să scadă. 0e măsură ce venitul scade, cererea de bani scade şi la fel
rata dob'nzii. &ceasta va continua să scadă p'nă c'nd se restabileşte
ecilibrul pe piaţa banilor. &cest lucru înseamnă că ajustarea are loc
de3a lungul curbei LM, cum arată de fapt şi traiectoria 1 !. 0e măsură cerata dob'nzii scade, venitul continuă şi el să scadă, p'nă c'nd se
restabileşte un nou ecilibru în punctul 4!.
1raiectoria 17 corespunde cazului în care am'ndouă pieţe se
ajustează simultan şi imperfect, pe măsură ce economia trece din
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
41/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 41
punctul de ecilibru 4# în noul punct de ecilibru 4!. &stfel, rata
dob'nzii creşte gradual p'nă c'nd atinge un nivel r !, în timp ce venitul
scade gradual p'nă c'nd atinge un nivel H!. 2acă economia evoluează
pe o astfel de traiectorie, atunci ea va atinge noul punct de ecilibru
fără să se manifeste anumite efecte negative legate de creşteri
exagerate ale ratei dob'nzii, sau descreşteri dramatice ale venitului.
2ar nimeni nu ne spune că economia nu poate intra şi pe alte
traiectorii, cum ar 1B sau 1C. 2e exemplu, în cazul traiectoriei 1B,
observăm că are loc o evoluţie în spirală a ratei dob'nzii şi a venitului.
La fel, în cazul traiectoriei 1C, avem creşteri mari ale ratei dob'nzii,
urmate de descreşteri rapide ale acesteia, ceea ce poate crea
probleme pe piaţă banilor.
analiză similară se poate face în cazul unei creşteri a masei
monetare. +n gura 7.!# se reprezintă acest caz.
8igura 7.!#
(e observă că, acum, curba LM se deplasează spre dreapta jos,
form'nd un nou punct de ecilibru 4! cu curba 6(. (e pot, de
asemenea, analiza traiectoriile posibile ale economiei între cele două
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
42/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 42
puncte de ecilibru şi consecinţele pe care ecare dintre aceste
traiectorii le are asupra pieţei bunurilor, respectiv pieţei banilor.
2) Model$l 5-S dinamic discret
0entru a obţine modelul &23&( dinamic în formă discretă, vom
face la început două ipoteze de bază care vor permite deducerea
ecuaţiilor acestuia.
+rima i%oteză este aceea că, în economie, preţurile p sunt
9exibile şi, deci, există in9aţie. 0e termen lung, rata in9aţiei curente π
tinde către o valoare constantă, în timp ce, pe termen scurt, există un
raport invers proporţional între in9aţia curentă π şi in9aţia aşteptată
πe.
0e baza acestei ipoteze, ec$a&ia o#ertei a're'ate S poate
scrisă în modul următor%
t t t
e
t t S Y Y # (1)() α α π π −+−+= !$
&ici 11 +() −−−= t t t t p p pπ reprezintă rata in9aţiei curente,e
t π 3 rata
anticipată a in9aţiei, Ut 3 outputul curent, Yt 3 outputul potenţial, (t 3şocul ofertei, α şi f ind parametri pozitivi.
4cuaţia !$ explicitează factorii care in9uenţează rata in9aţiei. /n
prim factor este reprezentat de condiţiile pieţei, a căror in9uenţă este
dată de α fY Yt t( )− . 2acă Y Yt t> , atunci avem un decalaj in9aţionist,
iar dacă Y Yt t< , un decalaj recesionist.
&l doilea factor îl reprezintă aşteptările agenţilor economici.
&ceştia se aşteaptă ca preţurile să crească, să scadă sau să răm'nă
constante. +n raport cu aceste aşteptări, se determină o in9aţie
aşteptată, et π mai mare sau mai mică.
4xistă mai multe modalităţi de formare a aşteptărilor. &stfel,
a/te%tările de etra%olare se formează prin extrapolarea
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
43/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 43
comportamentelor trecute ale agenţilor economici, variabilele
economice implicate rspunz'nd lent la ce se înt'mpl în prezent cu
in9a7ia.
/te%tările ada%ti!e depind de eroarea de predicţie făcută
asupra in9aţiei curente. 4vident că in9aţia anticipată, π et
este cu at't
mai mare cu c't in9aţia curentă, π t este mai mare. +n acest caz,
există mai multe relaţii de legătură între cele două rate, cum ar %
∑ =∑=
+=
=
−=
−−
−
n
18ii
1
21
1
1a * ()
5$5$ ()
()
it
n
ii
e
t
t t et
t
e
t
aiii
ii
i
π π
π π π
π π
&l treilea factor de in9uenţă îl reprezintă şocurile aleatoare,
introduse prin termenul !3α$(t, unde (t reprezintă mărimea şocului
ofertei, iar !3α$ un factor de corecţie. 0entru simplitate, putem
presupune, în continuare, că α*!, deci nu se ia în considerare şoculofertei.
do$a i%oteză, pe care o vom utiliza pentru a obţine curba
cererii agregate, &2 este aceea că economia este desc9isă, deci
există un sector extern pentru explicitarea conceptului de economie
descisă vezi şi partea a 6A Oa$$. +n acest caz, cererea agregată din
anul t, 2t este dată de relaţia%
t t t t
t t t t t t
NX / ' C
M X / ' C D
+++=
=−+++=
7$
unde NVt este exportul net soldul contului curent$, celelalte variabile
sunt cu relaţiile obişnuite.
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
44/142
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
45/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 45
Rata de sc9imb reală exprimă efectul contului curent asupra
cererii agregate. +ntre rata de scimb reală, e şi exportul net, NV există
un raport invers proporţional. ;u c't rata de scimb reală este mai
mare, cu at't exportul net este mai mic şi invers gura 7.!!$.
0entru a determina ecuaţia cererii agregate, &2 vom utilizaecuaţiile modelului pieţei bunurilor şi serviciilor%
=+= +=
>+=
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
46/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 46
t e
t c
et c
N $
t cY
1(9
1)1(9
1)1
1
−+
−−+
−−=
!B$
unde 6 * S 7# S 8# S 9t 3 c7# reprezintă c9elt$ielile a$tonome.
Not'nd cu $(
91)1
1 >−−
=t c
* multiplicatorul celtuielilor autonome,
obţinem ec$a&ia cererii a're'ate &2 de forma%
() t r t et r ' e N $* Y ++= !C$
4cuaţia !$ a ofertei agregate, &( şi ecuaţia !C$ a cererii
agregate, &2 descriu, în cadrul modelului &23&( dinamic, funcţionarea
pieţei bunurilor şi serviciilor. (ă descriem, în continuare, funcţionareapieţei nanciare. 0entru aceasta, vom introduce rata reală a
dob
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
47/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 4!
unde M este coecientul de senzitivitate a cererii de bani la mărimea
outputului, iar Mi coecientul de senzitivitate a cererii de bani la
mărimea ratei nominale a dob'nzii.
;ondiţia de ecilibru a pieţei nanciare este%
d
i
7
t mm = !T$
+nlocuind în !T$ relaţiile !J$ şi !K$ obţinem%
t it "
t
t i M Y M p
M +=
!"$
care descrie funcţionarea la ecilibru a pieţei nanciare. 2e regulă, se
presupune că valoarea de ecilibru pe termen lung a ratei reale a
dob'nzii, reste zero, deci rata reală a dob'nzii, r t → r c'nd t→∞.
Not'nd cu µt rata de cre/tere a masei monetare, avem%
(1)1
t t
t t p
M
p
M π µ −+
=
− 7#$
care este ecuaţia de dinamică a ofertei de bani reală.
4cuaţiile C$ şi 7#$ reprezintă relaţiile de dinamică ale modelului
&23&(. 4le sunt ecuaţii cu diferenţe nite de ordinul înt'i omogene.
Modelul dinamic discret &23&( se poate atunci rescrie în
întregime sub forma următoare%
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
48/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 4"
=
=
+++
=
=−
=
+=−=
++=
∑ ∑ ==
−++−=
−
−
= −
7
t
t
d
t
t
t t t
7
t t
t t
t it "
d
t
et t t
t r t et
n
iit i
e
t
t
e
t t t
m
p
M m
ee
m p
M
p
M
i M Y M m
ir
r ' e N $* Y
S Y Y #
1
(1()1)
()1
()
1,
(1)()
5
1
t
1
1
n
18ii
π
π ε
π µ
π
α π α π
α π α π 7!$
77$
7B$
7C$
7I$
7J$
7K$
7T$
+n cadrul modelului dinamic discret &23&( se pot pune în
evidenţă trei sectoare% sector$l economiei reale, descris de ecuaţiile
7!$ 3 7B$ şi care are drept variabile endogene U t, πt şi πet, sector$l
economiei monetare, descris de ecuaţiile 7C$, 7I$ şi 7J$, av'nd
drept variabile endogene d t m şi rt şi $n bloc al ec$a&iilor de
dinamică descris de ecuaţiile 7K$ şi 7T$, care furnizează modelului
variabilele endogene et şi M:p"t .Aariabilele exogene sunt Y , (t, it, µt, εt ;i πW, celelalte elemente
ale modelului ind constante ;i parametri. Legturile care se stabilesc
între cele trei sectoare ale modelului &23&( se reprezint în gura J.J.
/0!ra 2.12 Le0)t!re -ter'e(t*rae ae m*de!! AD AS
E"#$%&& ' '&$*&"
et 1
S"t,#. *,t$
r t
S"t,#. $.
8 t
Y t
A S t
Y
et +1
t π r
t
Y t
i t
1+
t p
M
d t m
t π
t
t
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
49/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 4#
;omportamentul modelului dinamic discret &23&( poate
analizat în starea sta7ionar ;i pe termen scurt, deci în perioada în care
economia se deplaseaz între dou ecilibre succesive. &ceast analiz
se poate face în dou situa7ii diferite ;i anume % !$ c'nd rata de scimb
nominal, (t este xat rigid$, deci între cele dou puncte de ecilibru
ea nu se modic: ;i 7$ c'nd rata de scimb nominal, (t este 9exibil,
deci aceasta nu se modic în trecerea de la un punct de ecilibru la
altul.
2.0 Modelarea bazată %e a'en&i 4n economie
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
50/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 5$
&genţii şi sistemele multiagent reprezintă o modalitate
alternativă de analiză, modelare şi implementare a sistemelor
complexe. Aiziunea bazată pe agenţi oferă astăzi o gamă largă de
instrumente, tenici şi paradigme cu un uriaş potenţial de a îmbunătăţi
modul în care oamenii concep şi utilizează tenologia informaţională.
&genţii sunt şi vor utilizaţi tot mai mult într3o mare varietate de
aplicaţii, merg'nd de la sisteme de dimensiuni mici, cum ar ltrele
personalizate pentru e3mail sau agenţii pentru cumpărături sopbot$
şi p'nă la sisteme mari, deosebit de complexe, cum sunt organizaţiile
şi sistemele economice virtuale. La o primă vedere, ar putea apărea că
aceste tipuri de sisteme sunt extrem de diferite şi că nu au nimic în
comun unele cu altele. 2ar, în toate aceste cazuri, poate utilizat
conceptul de agent şi metodele care derivă din acesta. 4ste remarcabil
c't de mare este varietatea de aplicaţii ce poate caracterizată în
termenii teoriei agenţilor şi sistemelor multiagent.
2atorită gradului mare de interes şi nivelului ridicat de activitate
din acest domeniu, la început teoriile şi metodele referitoare la agenţi
pot apărea aotice şi incoerente. Ne propunem ca, în acest capitol, să
introducem o mai mare coerenţă şi ordine, fără a dezvolta prea multacest domeniu multidisciplinar deosebit de vast.
+nainte de a trece la descrierea unor aplicaţii economice ale
acestei teorii, să denim ce se înţelege prin termeni ca ,,agent@,
,,sistem bazat pe agenţi@ sau ,,sistem multiagent@. 4xistă astăzi o
literatură deosebit de bogată din acest domeniu, care conţine o
mulţime de deniţii date acestor concepte ceie, fără să se manifeste,
totuşi, o încercare de unicare a diferitelor sensuri. 2esigur că acest
lucru nu constituie un obstacol în progresul rapid, at't teoretic c't şi în
ce priveşte aplicaţiile practice ale domeniului, dar noile cunoştinţe
acumulate, noile paradigme introduse necesită, din timp în timp,
reevaluarea termenilor ceie prin reluarea efortului de redenire a
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
51/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 51
conceptelor, astfel înc't să putem înţelege mai bine implicaţiile şi
interdependenţele ecărui termen în parte.
&cest lucru îl vom face şi noi în continuare, pornind de la o
bibliograe cuprinzătoare. Mai înt'i vom încerca să răspundem la
întrebarea esenţială% ,,;e este un agent >@ dată introdus conceptul de
bază de agent, putem merge mai departe pentru a deni sistemul
bazat pe agenţi. &cesta, desigur, este un sistem în care elementul
principal este cel de agent. +n principiu, un sistem bazat pe agenţi ar
putea conceptualizat în termenii specici agenţilor, dar implementat
fără ca structurile sale să includă vreo referire la agenţi. 4ste cazul
multor aplicaţii practice actuale care, deşi se subsumează teoriilor
referitoare la agenţi, nu menţionează acest lucru în mod explicit.
2esigur că o astfel de abordare este mai puţin productivă, astfel că ne
vom aştepta ca sistemele proiectate ca sisteme bazate pe agenţi să e
şi implementate în continuare ţin'nd cont de conceptul de agent.
+n continuare, în acest paragraf, vom introduce sistemele
multiagent, formate din mai mulţi agenţi interconectaţi. (istemele
multiagent reprezintă mijlocul ideal de a aborda probleme care au mai
multe metode de rezolvare, mai multe modalităţi de structurare şi=saumai multe entităţi care le rezolvă ca în cazul sistemelor distribuite$.
&stfel de sisteme au, deci, avantajul natural al rezolvării distribuite şi
concurente a problemelor dar, în acelaşi timp, au şi avantajul
suplimentar al reprezentării modalităţilor complexe de interacţiune.
1ipurile principale de interacţiuni cum sunt cooperarea lucrul
împreună pentru atingerea unui scop comun$, coordonarea
organizarea activităţii de rezolvare a problemelor astfel înc't
interacţiunile dăunătoare sunt eliminate iar cele favorabile sunt
utilizate$ şi negocierea ajungerea la un acord care este acceptabil
pentru toate părţile implicate$ reprezintă aspecte esenţiale ale utilizării
în practică a metodelor bazate pe agenţi.
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
52/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 52
2.0.1 e este $n a'ent D
;onceptul de agent a devenit, în anii "# ai secolului VV şi în
primii ani ai secolului VV6, un concept central în c'teva dintre
disciplinele ştiinţice cu o dezvoltare de3a dreptul explozivă. 6nteligenţa
articială 6&$ şi subdomeniul acesteia, inteligenţa articială distribuită,
ştiinţele complexităţii, cibernetica de ordinul trei, ştiinţa
calculatoarelor, economia computaţională ş.a. fac apel din ce în ce mai
frecvent la conceptul de agent şi la metodele derivate din acesta. (e
vorbeşte deja despre o teorie a agenţilor şi a sistemelor multiagent ca
un domeniu relativ autonom al 6&, deşi există şi alte discipline care
revendică acest lucru.
8ără să existe încă o unitate de vederi în ceea ce priveşte
denirea agenţilor, cercetările în această direcţie avansează at't de
rapid înc't se poate spune că se conturează deja o concepţie unitară şi
unicată asupra agenţilor, astfel înc't ei să poată deja obiect de
standardizare internaţională.
+n continuare, vom trece în revistă c'teva deniţii date agenţilor,
vom introduce principalele proprietăţi ale acestora şi vom arăta
impactul pe care utilizarea acestui concept îl are asupra diferitelor
discipline ştiinţice, tenici şi metodologii care sunt astăzi utilizate în
diferite ştiinţe.
2eşi noţiunea de agent a devenit centrală în cele mai diferite
domenii ştiinţice, există diferenţe mari între sensurile date acestui
concept precum şi diferitelor utilizări ale sale în aceste domenii.+n dicţionare, agentul este denit ca ,,cineva care, sau prin care
se exercită putere sau produce un efect@!$. 1otuşi, o astfel de deniţie
este prea generală pentru a putea considerată operaţională: cel puţin
ea indică faptul că agentul exercită o acţiune, scimbă ceva în mediul1( Tord Di-tionar, o> =urrent ?nglisord @niversit Aress, 1#""
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
53/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 53
înconjurător. Mai precis, (ardlo arată că ,,6enţii fac lucruri, ei
acţionează' de aceea ei se numesc aenţi2 (ardlo, !""#$.
&genţii au deci un rol activ, iniţiind acţiuni prin care este afectat
mediul lor mai degrabă, dec't ca ei să e afectaţi de acest mediu. 2oi
termeni pot utilizaţi pentru a descrie această acţiune a agenţilor%
autonomia şi raţionalitatea aşa cum armă Xooldridge şi Yennings
!""I$. 6utonomia presupune, în general, că un agent funcţionează
fără intervenţia directă a omului sau a altor agenţi. aţionalitatea
presupune că agenţii iniţiază orice acţiune în scopul maximizării
performanţei lor în raport cu o funcţie de evaluare.
1otuşi, acţiunea raţională autonomă, aşa cum este denită,
reprezintă un criteriu prea general pentru agenţi, ceea ce face ca în
această categorie să se regăsească o clasă prea largă de obiecte. 2e
exemplu, conform acestei deniţii, şi un tranzistor care, în esenţă,
reprezintă un dispozitiv electronic simplu, poate considerat ca ind
agent.
0oate mai multă precizie în acest domeniu este introdusă de
deniţia dată de Yennings, (Hcara şi Xooldridge !""T$ pentru care ,,un
aent este un sistem de calcul situat într-un anumit mediu, care estecapabil de acţiune autonomă )exibilă pentru a realiza obiectivele sale
proiectate2 Yenings, (H5ara, Xoldridge, !""T, p.T$.
(e observă că acum se folosesc trei concepte ceie pentru a
deni un agent% poziţionarea în raport cu mediul, autonomia şi
9exibilitatea. 0oziţionarea, în acest context, înseamnă că agentul
primeşte inputuri de la mediul său şi că el poate executa acţiuni care
scimbă acest mediu într3un anumit fel. &stfel, 6nternetul reprezintă un
mediu în care poate situat un astfel de agent dar, tot aşa de bine,
acest mediu poate şi realitatea zică. 0oziţionarea reprezintă o
proprietate fundamentală a agenţilor, care3i deosebesc de alte
sisteme, de exemplu de sistemele expert. &cestea din urmă nu
interacţionează direct cu mediul, primind informaţia şi cunoştinţele prin
-
8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice
54/142
Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 54
intermediul inginerului de cunoştinţe, care este un om. +n acest mod,
sistemul expert nu acţionează direct asupra mediului, ci prin
intermediul factorului uman.
&utonomia este înţeleasă aici ca absenţa intervenţiei umane sau
a altor agenţi, deci un agent îşi poate controla complet propriile acţiuni
şi starea sa internă. /neori autonomia este înţeleasă, într3un sens mai
strict, ca şi capacitatea pe care o are agentul de a învăţa din propria sa
experienţă de exemplu, în )ussell, Norvig, !""I$$.
8lexibilitatea presupune, în esenţă, că agentul este% responsiv
deci percepe mediul şi răspunde la timp la scimbările ce apar în el$:
proactiv adică acţiunile sale nu reprezintă simple reacţii la mediu, ci
este capabil să exercite un comportament orientat către un anumit
scop şi să iniţieze acţiuni c