CAPÍTULO 1 - TENSÃO

EQUILÍBRIO DE UM CORPO DEFORMÁVEL

TENSÃO

TENSÃO NORMAL MÉDIA EM UMA BARRA COM CARGA AXIAL

MATERIAL HOMOGÊNEO E ISOTRÓPICO

A

P

AP

dAdFA

EXEMPLOS

1) A barra da figura tem largura constante de 35mm e espessura de 10mm. Determine a tensão normal média máxima da barra quando submetida ao carregamento mostrado.

2) A luminária pesa 784,8N e é suportada por duas hastes AB e BC como mostra a figura. Se AB tem diâmetro de 10mm e BC tem diâmetro de 8mm, determine a tensão normal média em cada haste.

3) O elemento AC mostrado na figura está submetido a uma força vertical de 3kN. Determine a posição ‘x’ de aplicação da força de modo que o esforço de compressão médio no apoio C seja igual ao esforço de tração no tirante AB. A haste tem uma área de seção transversal de 400mm2 e a área de contato em C é de 650mm2

TENSÃO DE CISALHAMENTO MÉDIA

cA

V

CISALHAMENTO SIMPLES

CISALHAMENTO DUPLO

EXEMPLOS

1) A barra mostrada na figura tem seção transversal quadrada de 40mm. Supondo que seja aplicada uma força axial de 800N ao longo do eixo do centróide da área da seção transversal da barra, determinar a tensão normal média e a tensão de cisalhamento média que atuam sobre o material em: (a) no plano da seção a-a e (b) no plano da seção b-b.

2) A escora de madeira mostrada na figura está suportada por uma haste de aço de 10mm de diâmetro presa na parede. Se a escora suporta uma carga vertical de 5kN, calcular a tensão de cisalhamento média da haste na parede e ao longo das duas áreas sombreadas da escora.

3) O elemento inclinado da figura está submetido a uma força de compressão de 2668,8N. Determinar a tensão de compressão média ao longo das áreas de contato planas definidas por AB e BC e a tensão de cisalhamento média ao longo do plano definido por EDB.

TENSÃO ADMISSÍVEL

ADM

RUP

F

FSF ..

RUP

RUP

ADM

RUP

SF

SF

..

..

EXEMPLO

1) O tirante está apoiado em sua extremidade por um disco fixo como mostrado na figura. Se a haste passa por um furo de 40mm de diâmetro, determinar o diâmetro mínimo requerido da haste e a espessura mínima do disco necessários para suportar uma força de 20kN. A tensão normal admissível da haste é 60MPa e a tensão de cisalhamento admissível do disco é 35MPa.

EXERCÍCIOS - TENSÃO

1) Uma carga axial no eixo mostrado na figura é resistida pelo colar em C, queestá preso ao eixo e localizado à direita do mancal em B. Determinar o maiorvalor de P para as duas forças axiais em E e F de modo que a tensão no colarnão exceda uma tensão de apoio admissível em C de ( b)adm=75MPa e que atensão normal média no eixo não exceda um esforço de tração admissível de( t)adm=55MPa.

2) A barra rígida AB é suportada por uma haste de aço AC que tem diâmetro de20mm e um bloco de alumínio que tem área de seção transversal de 1800mm2.Os pinos de 18mm de diâmetro em A e C estão submetidos a cisalhamentosimples. Se a tensão de ruptura do aço e do alumínio forem ( aço)rup=680MPa e( al)rup=70MPa, respectivamente, e a tensão de cisalhamento de ruptura decada pino for rup=900MPa, determinar a maior carga P que pode ser aplicada àbarra. Aplicar F.S.=2.

CAPÍTULO 2 – TENSÃO E DEFORMAÇÃO

EXEMPLOS

1) O diagrama tensão-deformação abaixo é representativo de uma liga de alumínio. Supondo que um corpo-de-prova deste material seja tracionado com 600MPa, determinar a deformação permanente que ficará no corpo-de-prova quando a força for removida.

2) A haste da figura abaixo tem seção transversal circular e está submetida a uma carga axial de 10kN. A partir do diagrama tensão-deformação, determinar o alongamento aproximado da haste quando a carga á aplicada. Se a carga for removida, qual será o alongamento permanente da haste? Adotar E=70GPa.

COEFICIENTE DE POISSON

EXEMPLO

1) Uma barra de aço apresenta as dimensões mostradas na figura abaixo. Supondo que uma força axial P=80kN seja aplicada à barra, determinar as mudanças em seu comprimento e nas dimensões de sua seção transversal. O material comporta-se elasticamente.

ALONGAMENTO E ENCURTAMENTO

APLICAÇÃO

EXEMPLOS

1) O conjunto mostrado na figura consiste de um tubo de alumínio AB com área da seção transversal de 400 mm2. Uma haste de aço de 10mm de diâmetro está acoplada a um colar rígido que passa através do tubo. Se for aplicada uma carga de tração de 80kN à ahaste qual será o deslocamento da extremidade C? Adotar Eaço=200GPa e Eal=70GPa.

2) Uma viga rígida AB apoia-se sobre dois postes curtos como mostrado nafigura. AC é feito de aço e tem diâmetro de 20mm; BD é feito de alumínio e temdiâmetro de 40mm. Determinar o deslocamento do ponto F em AB para ocarregamento aplicado. Adotar Eaço=200GPa e Eal=70GPa.

PROBLEMAS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS

=

EXEMPLO

1) A haste da figura tem diâmetro de 5mm e é presa À parede fixa em A e, antes de ser carregada, mantém uma folga de 1mm em relação à parede B’. Determinar as reações em A e B’ se a haste for submetida a uma força axial de P=20kN. Desprezar o tamanho do colar e adotar E=200GPa.

CAPÍTULO 3 – TORÇÃO

FÓRMULA DA TORÇÃO

cJ

Tmáx

MOMENTO POLAR DE INÉRCIA

EIXO SÓLIDO: EIXO TUBULAR:

4

2cJ )(

2

44ie ccJ

DISTRIBUIÇÃO DA TENSÃO

EXEMPLOS

1) A distribuição de tensão em um eixo maciço foi esquematizada graficamenteao longo de três retas radiais arbitrárias como mostrado na figura abaixo.Determinar o torque interno resultante na seção.

1ksi = 6,895MPa1 pol = 2,54 cm

2) O eixo mostrado na figura é suportado por dois mancais e está sujeito a trêstorques. Determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos A( =c=0,75”) e B ( =0,15”), localizados na seção a-a do eixo.

1kip = 4,4487kN1” = 2,54cm

3) O tubo mostrado na figura tem diâmetro interno de 80mm e diâmetroexterno de 100mm. Supondo que sua extremidade seja apertada contra o apoioem A por meio de um torquímetro em B, determinar a tensão de cisalhamentodesenvolvida no material nas paredes interna e externa ao longo da partecentral do tubo quando são aplicadas forças de 80N ao torquímetro.

ÂNGULO DE TORÇÃO

JG

TL

CONVENÇÃO DE SINAIS

EXEMPLO

1) As engrenagens acopladas ao eixo de aço com uma das extremidades fixaestão sujeitas aos torques mostrados na figura. Supondo G=80GPa e que o eixotenha diâmetro de 14mm, determinar o deslocamento do dente P daengrenagem A. O eixo gira livremente no mancal em B.

ELEMENTOS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS

BA

x

TTT

M

0

0/

GJ

LT

GJ

LT BCBACA

BA

EXEMPLO

1) O eixo de aço mostrado na figura tem diâmetro de 20mm. Se for submetidoaos dois torques, quais serão as reações nos apoios fixos A e B?

CAPÍTULO 4 – FLEXÃO

EXEMPLOS

DEFORMAÇÃO POR FLEXÃO

FÓRMULA DA FLEXÃO

VALE A LEI DE HOOKEVARIAÇÃO LINEAR DA DEFORMAÇÃO NORMALVARIAÇÃO LINEAR DA TENSÃO NORMAL

E

yI

M

cI

M

c

y

máx

máx)(

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOSORIENTAÇÃO DOS EIXOSATENÇÃO AOS SINAIS

EXEMPLOS

1) Para a viga, determinar a tensão de flexão máxima absoluta na viga edesenhar a distribuição de tensão na seção transversal.

2) A viga abaixo tem área da seção transversal com perfil em U. Determinar atensão de flexão máxima que ocorre na seção a-a da viga.

3) O elemento de seção transversal retangular foi projetado para resistir a ummomento de 40 N.m. A fim de aumentar sua resistência e rigidez, propõe-seacrescentar duas pequenas nervuras na sua parte inferior. Determinar a tensãonormal máxima no elemento para ambos os casos.

FLEXÃO ASSIMÉTRICA

ATÉ O MOMENTO:

NOVA SITUAÇÃO:Momento fletor não aplicado no eixo neutro

zI

My

I

M

y

y

z

z

ORIENTAÇÃO DO EIXO NEUTRO

=? =0

tgI

Itg

z

ytgComo

ztgI

Iy

senMMeMMComozIM

IMy

y

z

y

z

yz

yz

zy

)(

cos

EXEMPLOS

1) A seção transversal retangular mostrada na figura está sujeita a um momentofletor M=12 kN.m. Determine a tensão normal desenvolvida em cada canto daseção e especifique a orientação do eixo neutro.

2) Uma viga em T está sujeita a um momento fletor de 15kN.m, como mostra afigura. Determine a tensão normal máxima na viga e a orientação do eixoneutro.

CISALHAMENTO NA FLEXÃO

A FÓRMULA DO CISALHAMENTO

Ib

VQ

DISTRIBUIÇÃO DAS TENSÕES

EXEMPLOS

1) A viga mostrada na figura é feita de madeira e está sujeita a uma forçacortante (cisalhamento) resultante V=3kN. Determine (a) a tensão decisalhamento na viga no ponto P e (b) a tensão de cisalhamento máxima naviga.

2) Uma viga I de aço tem as dimensões mostradas na figura. Se for submetida auma força de cisalhamento V=80kN, (a) trace uma curva da distribuição datensão de cisalhamento que age na área da seção transversal da viga.

CARGAS COMBINADAS

EXEMPLO

1) Uma força de 15.000 N é aplicada à borda do elemento mostrado na figura.Despreze o peso do elemento e determine o estado de tensão nos pontos B e C.

2) O bloco retangular de peso desprezível mostrado na figura está sujeito a umaforça vertical de 40kN aplicada em seu canto. Determine a distribuição datensão normal que age sobre uma seção que passa por ABCD.