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CAPÍTULO 1
TENSIÓN
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Hoy trataremos algún aspecto del diseño de una vasija o depósito de pared delgada (t/r<10) sometida a presión interna
¿Qué conceptos necesitamos manejar?
Básicamente dos: el de tensión y el de resistencia a tracción
Vasija esférica Vasija cilíndrica
rr
t
t
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F 0=∑
M 0=∑
F3
F1 ∆S
∆fn
S
dSfd
Sf
s
rrr
==→ ∆
∆∆ 0limσ
CONCEPTO DE VECTOR TENSIÓN
Unidades: N/m2=Pa
Como en la práctica 1 Pa es de pequeña magnitud, utilizaremos, en general, MPa
F3
F2F1
π
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s lim =normal tensión
0s ∆∆
∆
nsobrefproyn
rr
→=σ
s lim =l tangenciatensión
0s ∆∆
∆
πτ sobrefproyr
→=
σn
τdf
COMPONENTES INTRÍNSECAS DEL VECTOR TENSIÓN
222 στσ =+n
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Area= A/cosθ
θ
A
P
Area= A/cosθ
θ
A
P
Tensiones en una barra sometida a una carga de tracción
P PP P
G
Demos un corte a la barra por una sección que forma un ánguloθ con el plano vertical
La resultante de la distribución de tensiones debe ser horizontaly pasar por el c.d.g. de la sección transversal de la barra
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Area= A/cosθ
θ
A
P
Area= A/cosθ
θ
A
P
x
y
x
y
θP N
V
( )
0sincos
090coscos0
=++−
=−++−
=∑
θθ
θθ
VNPor
VNPFx
( )
0cossin
090sinsin
0
=−
=−−
=∑
θθ
θθ
VNor
VN
Fy
En realidad, las fuerzas N y V serán las resultantes de una distribución detensiones, las cuales las supondremos uniformes sobre la sección de corte
Planteando el equilibrio:
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θP N
Vθ
P N
V θθ
sincos
PVPN
==
Área de la sección de corte:θcosAArea =
Como, por definición, latensión es fuerza divididapor área:
( )θθσ 2cos12
cos2 +==AP
AP
θθθτ 2sin2
cossinAP
AP
==
θP
θP σ
τ
Por tanto:
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σ es máxima cuando θ es 0° ó 180°τ es máxima cuando θ es 45° ó 135° maxmax 2
1 στ =
AP
=maxσ
AP
2max =τ
-1
-0.5
0
0.5
1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
Angle
Stre
ss/(P
/A)
σ
τ
Tens
ión
(/σ0)
Ángulo θ
AP
=maxσ 0
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El signo de la tensión tangencial τ cambia cuando el ánguloθ es mayor de 90°
Nótese que: τ (θ )= -τ (90 ° +θ )
θP
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VASIJAS ESFÉRICAS A PRESIÓN
σπ rt2
tpr2
=σ
pr 2πFuerza ejercida por la presión interna:
Fuerza ejercida por la tensión actuante:
De la igualdad entreambas, resulta:
r
r
t
σ
σ
p
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σ
σσ
σ
Estado tensional en un punto de la vasija
Puntoelástico
tpr2
=σ
¡ σ es mucho mayor que p !
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VASIJAS CILINDRICAS A PRESIÓN
Dirección longitudinal
Dirección circunferencial
r
t
σh
σhσa
σa
Punto elástico
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Cálculo de la tensión longitudinal:
artσπ2
Fuerza ejercida por la presión interna:
pr 2πFuerza ejercida por la tensión actuante:
De la igualdad entreambas, resulta:
tpr
a 2=σ
r
t
Punto elástico
p
σa
σa
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Cálculo de la tensión circunferencial:
rlp2
Fuerza ejercida por la presión interna:
Fuerza ejercida por la tensión actuante:
hltσ2De la igualdad entreambas, resulta:
tpr
h =σ
r
t
l l
p
σh
σh
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Estado tensional en los puntos de la vasija cilíndrica:
¡ σh es mayor que σa, y ambas son mucho mayores que p !
tpr
h =σ
tpr
a 2=σ
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aa
σh=2σa
Forma de rotura másprobable
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Ejemplo: Determinar el espesor t de la vasija de la figura, realizada con acero inoxidable austenítico, sabiendo que su radio es r y que contiene un gas a una presión p. Considérese un coeficiente de seguridad γ.
Tensión máxima:
tpr
máx =σ
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¿Y la resistencia a tracción del material?
Volveremos a ello en el capítulo 3
Deformación
Tens
ión
Hormigón Acero
DeformaciónTe
nsió
n
uσyσ
uσ
ε ε
σ σ
εy
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Los elementos estructurales, o los componentes de máquinas deben ser diseñados de manera tal que las tensiones que se producen en su seno sean menores que la resistencia del material.
El factor de seguridad tiene en cuenta, principalmente:•Las incertidumbres de los valores de las propiedades del material•La incertidunbre del valor de las cargas actuantes•La incertidumbre del análisis•El comportamiento a largo plazo del elemento estructural•La importancia del elemento considerado en la integridad de la estructura de la que forma parte
Lógicamente el factor de seguridaddebe ser una cantidad mayor que launidad
COEFICIENTE DE SEGURIDAD
admisibletensión resistencia
Coeficiente de seguridad
adm
R ==
=
σσγ
γ
En vasijas a presión, γ suele oscilar entre 4 y 8
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γσσσ R
admmáx tpr
=≤=
R
prtσ
γ≥
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PERO, EN LA REALIDAD, NOS ENCONTRAREMOSCON ESTRUCTURAS DE MAYOR COMPLEJIDAD,TANTO DE FORMA COMO DE ESTADO TENSIONAL
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TENSOR DE TENSIONES
x
y
z
P
x
y
z
P
x
y
z
P
σz
τzy
τzx
x
y
z
P
σz
τzy
τzx
σ
σy
x
y
z
P
τyz
τyx
x
y
z
P
σx
τxz
τxy
σy
x
y
z
P
τyz
τyx
σy
x
y
z
P
τyz
τyx
x
y
z
P
σx
τxz
τxy
x
y
z
P
σx
τxz
τxy
σ’σ’’
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P
z
y
x
0 τzx
τzy
τxzτxy
τyx
τyzτzx
τzy
σz
σy
σx
dx
dz
dy
σzdy
PUNTO ELÁSTICO TRIDIMENSIONAL
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xeje caras lasen opuestasy iguales tensiones0 x ⊥⇒=∑ σxF
y eje caras lasen opuestasy iguales tensiones0 y ⊥⇒=∑ σyF
z eje caras lasen opuestasy iguales tensiones0 ⊥⇒=∑ zzF σ
zyzyyzx dzdxdydydxdzM ττττ =⇒=⋅−⋅=∑ yz 0 0
xzxzzxy dxdydzdzdxdyM ττττ =⇒=⋅−⋅=∑ zx 00
yxyxxyz dydxdzdxdydzM ττττ =⇒=⋅−⋅=∑ xy 00
P
z
y
x
0 τzx
τzy
τxzτxy
τyx
τyzτzx
τzy
σz
σy
σx
dx
dz
dy
σzdy
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La igualdad entre las tensiones tangenciales,actuando sobre planos ortogonales entre sí, puede demostrarse, por ejemplo, estableciendo el equilibrio de un pequeño paralelepípedo de espesor dz. Apliquemos la fuerza Vx:
Vx=τyxdxdz
x
y
dx
dy
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El equilibrio requiere que,
sobre la cara inferior, actúe
una fuerza igual y de signo
contrario, lo que producirá
un par:
Este par debe estar equilibrado por
otro (antihorario) consecuencia de
dos fuerzas verticales Vy actuando
sobre las caras verticales:
Vx=τyxdxdz
x
y
Vy=τxydydz
Vx=τyxdxdz
x
y
Vx=τyxdxdz
Mz=Vxdy=τyxdxdydz
dy
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( ) ( )xyyx
xyyx dxdydzdydxdz
ττ
ττ
=
=
Utilizando: ∑ = 0zM
obtenemos:
Conclusión:Si sobre un plano en las proximidades de un punto, existe una tensión tangencial, sobre un plano ortogonal al anterior debe existir una tensión tangencial del mismo valor.
Vx=τyxdxdz
x
y
Vy=τxydydzdy
dx
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Teniendo en cuenta que, sobre cada una de las caras del paralelepípedo infinitesimal considerado (punto elástico), actúan tres componentes del vector tensión correspondiente, se obtendrían, en total, 18 valores de los que sólo hay 6 valores diferentes entre sí, a saber:
x y z yz zx xy, , , , , σ σ σ τ τ τ
En un sólido, estas componentes, serán funciones continuasde las coordenadas cartesianas del punto x,y,z.
( ) ( ) .......,,,,, zyxzyx xyxyxx ττσσ ==
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ΩΩΩ=Ω∗ d + d + : zxxy nmdldxEje xx ττσσ
ΩΩΩ=Ω∗ d + d + : yzy nmdldyEje xyy τστσ
ΩΩΩ=Ω∗ d + d + : zyz nmdldzEje zxz σττσ
TENSIONES ACTUANDO EN UN PLANO CUALQUIERAz
y
x
τzxτzy
τxz
τxyτyx
τyz
σ∗z
σy
σx
σz
σ∗yσ∗x
C
B
A
P
π
u = l i + m j + n k
kji *z
*y
*x
*rrrr σσσσ ++=
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TENSOR DE TENSIONES(o Tensor de Cauchy)
Augustin-Louis CAUCHY(1789-1857)
σx∗
σy∗
σz∗
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
′ σ [ ]
=σx τxy τzx
τxy σy τyz
τxz τyz σz
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
T[ ]1 2 4 4 3 4 4
lmn
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
r n [ ]
[ ] [ ] [ ] nT rr=∗σ
u
u
*
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( ) k)z,y,x(Zj)z,y,x(Yi)z,y,x(Xz,y,xfvrrrr
++=
FUERZAS INTERNAS POR UNIDAD DE VOLUMEN
y
x
z
dVfFd V ⋅=rr
intdV
Fuerza interna, por unidad de volumen
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Ejemplo 2: sólido en movimiento (fuerzas de inercia)
( )kzjyixadVadmfvr
&&r&&
r&&
rrr++−=×−=×−= ρρ/
zzyxZyzyxYxzyxX &&&&&& ρρρ −=−=−= ),,(,),,(,),,(
Ejemplo 1: sólido sometido a la acción de la gravedad segúnel eje y
X(x,y,z) y Z(x,y,z) serían nulas y la función Y(x,y,z)= - ρg
( ) jgzyxfv
rrρ−=,,
y
x
z
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ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO
xx x dx
x∂σ′σ = σ +∂
xyxy xy
zxzx zx
dxx
dxx
∂τ′τ = τ +
∂∂τ′τ = τ +∂
dx
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τyxσy
τyz
σy
τyx
τyz
´´
´
σz
τzxτzy
σz
τzx τzy
´
´´
X +∂σx
∂x+
∂τxy
∂y+
∂τzx
∂z= 0
Y +∂τxy
∂x+
∂σy
∂y+
∂τyz
∂z= 0
Z +∂τzx
∂x+
∂τyz
∂y+
∂σz
∂z= 0
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ECUACIONES DE EQUILIBRIO EN EL CONTORNO
Sobre la superficie exterior del sólido (contorno) pueden, o no,actuar tensiones que, directamente, se apliquen al sólido
ΩΩ dfFd contorno ⋅=rrz
y
x
dΩ
Fuerza, por unidadde superficie, en elcontorno
FUERZA, POR UNIDAD DE SUPERFICIE, QUEACTÚA SOBRE EL CONTORNO
( ) ( ) ( ) kz,y,xZjz,y,xYiz,y,xXfrrrr
++=Ω
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σ
σ
PQ
x
y
P
σ
jfrr
σΩ =
Q 0frr
=Ω
EJEMPLO:
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Y, sin embargo, en los puntos muy próximos a la superficie del sólidopueden existir tensiones internas.
En un punto P próximo al contorno del sólido, deberá existir equilibrio entre las tensiones y las fuerzas, por unidad de superficie, aplicadas.
x
y
zknjmilurrrr
++=
Ωfr
τyxσy
τyz
σz
τzx
τzy
σxτxy
τzx
nmlX zxxyx ττσ ++=
nmlY yzyxy τστ ++=
nmlZ zyzzx σττ ++=
Ecuaciones de equilibrioen el contorno:
Contorno delsólido
P
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CAMBIO DEL SISTEMA DE REFERENCIA
[ ][ ][ ][ ][ ]
T tensor de tensiones en P referido al sistema x, y,z
T tensor de tensiones en P referido al sistema x , y ,z
R matriz del cambio de ejes
u = componentes de un vector unitario respecto al sistema x, y,z
u c
=
′ ′ ′ ′=
=
′ =
r
romponentes de un vertor unitario respecto al sistema x ,y ,z′ ′ ′
[ ] [ ][ ][ ][ ] [ ] [ ][ ]RTRT
RTRTT
T
=′
′=
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x
y
x
y
x’
y’
θ
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
θθθθ
Rcossensencos
CASO BIDIMENSIONAL:
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σx’σy’ τx’y’
σx
σyτxy
x
y
x’y’
θ
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
′′
′
′
xy
y
x
22
22
22
yx
y
x
sencoscossencossencossen2cossencossen2sencos
τσσ
θθθθθθθθθθ
θθθθ
τσσ
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TENSIONES Y DIRECCIONES PRINCIPALESSea un sólido sometido a un sistema de cargas, P un punto cualquiera del sólido (punto genérico) y [T] el correspondiente tensor de tensiones afecto a dicho punto.¿existirá algún plano, que pase por las proximidades (a distancia infinitesimal) del punto P, tal que el vector tensión correspondiente, sea ortogonal a dicho plano (es decir, que el vector tensión no tenga componente según el plano o, lo que es lo mismo, que sobre dicho plano no actúa ninguna tensión tangencial)?
n
dfσ
u
dfσ
τ=0
, ,
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[ ] [ ] [ ]T u′σ =rr
[ ] [ ]u′σ = σrr
[ ] [ ] [ ]0 I- =uT rσ
Vector tensión en una dirección cualquiera:
Vector tensión en la dirección que buscamos:
knjmilurrrr
++=
( )( )
( ) ⎪⎭
⎪⎬
⎫
−−
=++−
0=n +m +l 0=n +m +l 0
zyz
yzy
σστττσστττσσ
zx
xy
zxxyx nml
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0= σσττ
τσστττσσ
−−
−
zyzzx
yzyxy
zxxyx
( )( )
( ) ⎪⎭
⎪⎬
⎫
−−
=++−
0=n +m +l 0=n +m +l 0
zyz
yzy
σστττσστττσσ
zx
xy
zxxyx nml
Para que este sistema tenga solución distinta de la trivial:
σ3 − I1 σ2 + I2 σ − I3 = 0
1 x y z
2 2 22 x y y z z x yz zx xy
3
I
I
I T
= σ + σ + σ
= σ σ + σ σ + σ σ − τ − τ − τ
=
Ecuación característica: Invariantes:
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Tensiones principales
max int minσ σ σ≥ ≥
321 σσσ ≥≥
σmax
σmax
σmin
σmin
σint σint
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Direcciones y tensiones principales:
σ1 0 00 σ2 00 0 σ3
⎛
⎝
⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟
Tensor de tensiones:
I1 = σ1 + σ2 + σ3
I2 = σ1σ2 + σ2σ3 + σ3σ1
I3 = σ1σ2σ3
Invariantes:
1
2 2 22
2 2 23 2
x y z
x y x z y z xy xz yz
x y z xy xz yz x yz y xz z xy
I
I
I
σ σ σ
σ σ σ σ σ σ τ τ τ
σ σ σ τ τ τ σ τ σ τ σ τ
= + +
= + + − − −
= + − − −
Las tensiones tangencialessobre los planos principalesson nulas
σ1
z
y
x
σ2
σ3
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TENSIÓN HIDROSTATICA Y TENSIONES DESVIADORAS
3331321
cahidrostatiI
p zyx =++
=++
==σσσσσσ
σ
444 3444 214342144 344 21desviadora comp.
zyzzx
yzyxy
zxxyx
cahidrostati comp. tensionesdetensor
''
' +
000000
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
στττστττσ
στττστττσ
pp
p
zyzzx
yzyxy
zxxyx
ppp zzyyxx −=−=−= σσσσσσ ' ; ' ; '
( )27
27923
0
32131
3
21
22
1
IIIIJ
IIJ
J
+−=
−=
=Invariantes del tensor desviador:
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ELIPSOIDE DE TENSIONES
P
σ1
σ2σ2
σ1
P
σ1
σ2σ2
σ1
P
σ1
σ2σ2
σ1
A
AθP
σ1
σ2σ2
σ1
P
σ1
σ2σ2
σ1
A
Aθ
A
AθP
σ1
σ1
Pσ2σ2
ESTADO I ESTADO II
P
σ1
σ1
Pσ2σ2
ESTADO I ESTADO II
= +
P
σ∗
nσ∗∗
P
σ∗σ∗
nnσ∗∗σ∗∗ θσσ cos* 1=
rEstado I:
θσσ sen** 2 ⋅=r
Estado II:P
n σ∗ σ∗∗+
P
nn σ∗ σ∗∗+σ∗σ∗ σ∗∗σ∗∗+
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P
n σ∗ σ∗∗+
x
y
P
n σ∗ σ∗∗+
P
nn σ∗ σ∗∗+σ∗σ∗ σ∗∗σ∗∗+
x
y¿Cuál es el lugar geométrico del extremo del vector tensión total, correspondiente a dicho punto, cuando variemos el ángulo θ ?
θσθσ
cossen
1
2⋅=⋅=
yx
11
2
2
2=+
σσyx
Coordenadas del extremo del vector tensión:
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xyz
⎛
⎝
⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟ =
σ1 0 00 σ2 00 0 σ3
⎛
⎝
⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ l
mn
⎛
⎝
⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟ →
x = σ1 ly = σ2 mz = σ3 n
⎫
⎬ ⎪
⎭ ⎪
x2
σ12 +
y2
σ22 +
z2
σ32 = 1
CASO TRIDIMENSIONAL:
I1=Suma de las longitudes de los tres semiejes del elipsoideI2 =proporcional a la suma de las áreas de las tres elipses que intercepta el elipsoide con los planos principales
I3 =proporcional al volumen del elipsoide
σ1σ2
σ3
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Otto MOHR(1835-1918)
EL CIRCULO DE MOHR: APLICACION A SITUACIONES BIDIMENSIONALES
-Tensiones normales: positivas si son de tracción -(negativas si fueran de compresión)- Tensiones tangenciales:
+ -
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σyτxy
σxτθ
θ
u
y
x
σn
Signos a considerar para la construccióndel círculo de Mohr:- La tensión normal será positiva si es de tracción- La tensión tangencial es positiva si, desde el centro del punto elástico,produjera un giro en sentido horario
τ > 0τ
σn >0 TRACCION
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x x xy
y xy y
cossen
∗
∗
⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ σ τ θ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟σ τ σ θ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
θu
2 2n x xy y
yxxy
cos sen2 sen
sen2 sen2 cos22 2
σ = σ θ + τ θ + σ θ
σστ = θ − θ − τ θ
σyτxy
σxτθ
θ
u
y
x
σn
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x y x yn xy
x yxy
cos2 sen22 2
sen2 cos22
⎡ ⎤σ + σ σ − σσ − = θ + τ θ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦σ − σ
τ = θ − τ θ
que corresponden a la ecuación de una circunferencia(en un plano cuyos ejes fueran σ y τ (Plano de Mohr) de centro:
(σx +σy )/2y radio:
14(σ x−σy )2 +τ xy2
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Existe una correspondencia biunívoca entre cada dirección que consideremos en el punto elástico en estudio y un punto del círculo de Mohr correspondiente a ese punto elástico: a cada dirección que pasa por las proximidades del punto P le corresponde un punto del círculo de Mohrcuya abcisa es la componente normal del vector tensión que actúa sobre la dirección considerada y cuya ordenada es la componente tangencial de dicho vector tensión
Una vez dibujado el círculo de Mohr, pueden obtenerse, por ejemplo, los valores de las tensiones principales así como las direcciones sobre las que actúan.
σ
τ
C
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +0
2,yx σσ
( )xyx τσ −,
( )xyy τσ ,
( )τσ −,2θ
( )maxτ
( )maxτ
σ1
σ2
![Page 56: CAPITULO 1 (Tensión)ocw.uc3m.es/cursos-archivados/elasticidad-y-resistencia-i...= R = = σ γ σ γ En vasijas a presión, γsuele oscilar entre 4 y 8 γ σ σ σ R máx t adm pr](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041009/5eb580b815882957b5717526/html5/thumbnails/56.jpg)
PASOS PARA EL DIBUJO DEL CÍRCULO DE MOHR
A
B
A
B
C
A
B
C
AB
![Page 57: CAPITULO 1 (Tensión)ocw.uc3m.es/cursos-archivados/elasticidad-y-resistencia-i...= R = = σ γ σ γ En vasijas a presión, γsuele oscilar entre 4 y 8 γ σ σ σ R máx t adm pr](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041009/5eb580b815882957b5717526/html5/thumbnails/57.jpg)
OBTENCIÓN DE LAS TENSIONES Y DIRECCIONES PRINCIPALES
Direcciónprincipal 1
Direcciónprincipal 2
Planoprincipal 1
Planoprincipal 2
x
y
σ1
σ2
σxσx
σy
σy
τxy
y
x
σ
τ
σ1σ2
σx
σy
2yx σσ +
ε
τxy
τxy
τmax
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PROPIEDADES CIRCULO DE MOHR:
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Obtención del Polo del Círculo de Mohr:
x
y
(σx,-τxy)
(σy,τxy)
σ
τ
POLO
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Otros aspectos del círculo de Mohr.
A (σ,τ)
B
Cσ
A
σ τθ
στ
σθ
Direcciones en las que elángulo del vector tensióncon la normal al plano sobreel que actúa es máximo
σ
τ
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(σx,-τxy)
(σy,τxy)
σ
τ
POLO
¿A qué dirección representa el POLO del círculo de Mohr?
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SOFTWARE DISPONIBLE EN LA RED
http://www.tecgraf.puc-rio.br/etools/mohr/mohreng.html
http://www.eng.usf.edu/~kaw/software/
http://www.umoncton.ca/turk/CdeMohr.xls
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TENSIONES TANGENCIALES MÁXIMAS(Problemas bidimensionales)
σΙΙΙ=0
σΙΙ
σΙ
x
y
z
σΙΙΙ=0
σΙΙ
σΙ
σΙΙΙ=0
σΙΙ
σΙ
x
y
z
σΙ
σΙΙ
σΙ
σΙΙ
σΙ
σΙΙ
σ
τ
σΙσΙΙ
τmax
σ
τ
σΙσΙΙ
τmax 2maxIII σσ
τ−
=
σΙ
Dirección de σIII
σΙ
Dirección de σIII
σ
τ
σΙ
σΙΙΙ=0
τmaxσ
τ
σΙ
σΙΙΙ=0σ
τ
σΙ
σΙΙΙ=0
τmax
2maxIσ
τ =
σ
τ
σΙ
σΙΙΙ=0σΙΙ
τmax
σ
τ
σΙ
σΙΙΙ=0σΙΙ
τmax
2maxIIσ
τ =
I II I IImax Máximo de , ,
2 2 2⎛ σ − σ σ σ ⎞
τ = ⎜ ⎟⎝ ⎠
σΙΙ
Dirección de σIII
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⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−−=
2,
2,
2deMáximo 323121
max
σσσσσστ
TENSIONES TANGENCIALES MÁXIMAS(Problemas tridimensionales)
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http://www.engin.umich.edu/students/support/mepo/ELRC/me211/mohr.html
Más, en la web, sobre círculo de Mohr: