capitulo 12 diseño en el espacio de estados discretos
TRANSCRIPT
-
7/23/2019 Capitulo 12 Diseo en El Espacio de Estados Discretos
1/36
c ta en la ta bla 12 .
1
.
uya
defini
c
ion d
e
l
as
va r
ia
b
l
es se
p
r
esen '
12
l)
12 .2 Con t ro l ab i l i dad
l {) f ( . 111 L SL l1 1
ara
u n sistema l ineal
1
nvanan re n tic
1 1
x(k
+
r 1 1
(
k
)
y (k):::: e . , ~ - .: (k ) +
E n _
e
l presente capftulo presencamos dos c o
n
c ep
t
os
b
asi
c
o
s en el es rudio d
e
s is
t
ernas des c riros en
vari
abl es
d
e estado
la
controlab
ilid a d y l a
o b
se
r
va bilida
d
. L a prirnera propi
e
dad se relac i o ri a con
l a po sib i
l
idad de poder lleva r el estad o d e s
i
s tem a de un pun to
e
n
es
pa
c
io
a o
tro
p
o r
med
ic de
a c c
i o
n
es
d
e
la
serial
de contro
l
; l
a
se g
und
a
se rel
ac
io n a
con la
pos
ibil idad
d
e
co
n
ocer los
esr.i
dos
d e s i s tema a partir
d
e la observaci6n
d
e l as sa li das y la s
e
ntrada
s mis
m o
. Se ver.i
qu
e arnb.is
pro pie
d
ades son
inhere
n tes s ist en 1a,
i
ndep
e
n d ienrem
e
n t
e
de l as
e
n rr
a
da s q ue i
nr
e
r.ic tucu en e l .
T am b ien e studiare
n
1os
c 6
n1 d i
sef\a
r u n d
e
s i s
c
e
nta de s criro en
vari-it'lc
s d
e
es r.ido
con
el
fin
d
e
qu
e
s
u
s
valo
r
c s
c a
rac tc
ri
s
ti
cos
(
o po
lo
s)
d _ c
la
zo c
errado rcng :
~ n r
icrt.i
s
pr
_
,,pic J.
i,
lt
,
r
e s
p
ec ro I lJa
sc en
e s
tc cnloque,
s c
desarrnlLir
a n
I . t s
,
cu.1,
"1 n
e ~ n. ir
a su respue s ta rern po a
.
. ,
, . . .
.'
d
I . J J
1
5 1 1 1 1
b na ln1 L
' l l C t ' vercmo
s c'Otn,1
discnar uu ourraf ;do ,
serurtrto ' c
1 l l s L
t
mt ar al con rro l
a
dor PI para c
l c a
so etc
va n : 1
12 1
l
n t r o d u c c i n
b
OBJETIVOS
J
E s ta
b
l e c er las d .
1 c o
n p a
D i s e n ar
L 1 r 1
re g L 1 l
a
do ..
p o r m e d i a d e a s r
~
t 1 l 1
zan
d
o v a r ia b l
es de
es
tad
o
ig n
a c 1 o
n d e p o lo s
d
I
L i n o b s ervad .
4 D i s -
n a r un c o nt ro l a d or par
a u n s ist
e m a d is cre
t
o d e
u n a e n t r a d a
y
u n a s al ida u
t i l i
z
an
d
o v ar ia
b l e s
d e
e s t a d o
-
7/23/2019 Capitulo 12 Diseo en El Espacio de Estados Discretos
2/36
E l
s
eparador
u s a d
o
e
n
l
.
1 .
.
.
a
m 1 t
r1z
de
co11trol
b
1
d
.
as matrices tnvolucradas s
i
l
a t t St)lo indca c, .
, mp
e
rncn
re , . < ) n 1
0 s ,
se trene una . . c
o
rn1a
esra m
.
N . ~Ae
n1 ac r1 z
a
umencad
a
, . . atrt
z, o es
runguna~
en
s
us colun1na
s .
K
1 1
.,
1
{
l,)
. \"
.,(
A ~ )
/
-
,
1
n
r.
0
. x -
1 1
)
J
. x ,
(
.
2 (
Ii
-
( }
0
.
x
3 (
-
( )
( )
\
..
. \
(
{ ,
-
r
( )
..
II
-
( )
)
(
11 .14 ) : enrar con u r11
. . .
acuerdo con
l
a
e
cuac
i o
n
(
1 2 . 3 ) .
t>
matriz
e
ontro]
r-
la rnatriz se con oce
re
parti
:
de
estas ecuaciones
podernos
/er q
ue se
n ar
d d
bl
lt .
.
~
e
u
ccion esta ecernos el siguiente
resultado:
Trayecto
ri
as
d
e
esr.id
o
rr
a
contro l
ab
ilidad
,\
.,
\
( ,
,
)
.- x( O
)
11 . x - ( O ) 1~
J
D
e s r a e c u a
i
o n
t
1 1 c : : 1 11os qt
Je hay
ecuaciones )' inc6gni[as. Para
t ~ o l L 1 c i6 1 1
qu
e
I a
rnarriz tensa ran . , , .
: 1 . e,
d
e
ir ,
qu
haya columnas o
renglones
linealrnenre
independieu
1a,1go(\~
' l ' r)
ra,1go
1 I < J ) " - r
3
1, 0)
X
Matriz de estados x
Marriz de entradas n x m
Matriz de salidas o
c
y
Vector de estados
Vector de entradas m
Vector de salidas
u
T A B L A 1 2 . 1
Surge
una pregunta mu
y
im
portance
en el
contexto l a
control moderno:
,b
ajo
qu
e co
nd
iciones es
p
osible llevar al
sisterna
estado
1
ini
c ial
a
otr
o e s
tado
final
2 , por medio
de
un conjunro flnitod
accion
es
d
e contr
ol
?
(
figura
12.1
) .
La respuesra
esta Jigada co
to
de de un
sisrema dinarnico y
s u c a l c u lo
consisr- en I
s
i
g
uien
t
e
estad
o lo
alcanzamo
s
en
n
p
asos
,
d
e
cal
rnan
era que
x
= =
x
(
n
)
.
soluc i 6
n ge
n
eral de la ecuaci6n de
es cado
s para
e
sta
d
ada
po r:
x(
n
)
=
< P
" x
(
O
) + < P "- ru(
O
) + < l>
11-ru(
l
)
+
< l>
ru(n-
2 )
-
r
u (n)
I)
2 )
S X
JZ
de medic
i
6n
Matriz de
pre
a
ime
nt
ac
i
6n
-
7/23/2019 Capitulo 12 Diseo en El Espacio de Estados Discretos
3/36
1
IJZtl?
C
S
l C S . .
cst'
1
c . i
o
ptic , 1
..
control u
( k )
de
cal man
era qu e
estado en u 1
n u
mero
fl
n iro de pasos
una se c u
e
nc
ia {
,, ( 1 ) ,
...
-1 }
par
l ir
d e l c
s tado ini
cial
x(
0
) X
o
a l estado final
1 1
-
' en
(
ha
c ia
el
origen) .
sisterna < P , e a ec
u a c 1 o
n .
.
l
(
k )
d
1
e l espac io de estado p
u
eda ser a lcanzado desde cua lqwer
c
ontra
et
manera
que e or1gen en
punto
e
n
u n
nurner
o
fln
ito
d
e
pa
so s .
e c e s 1 t a n p a s o ~
i,
k ) .
C o n e s r a
d e l
s i~
Pe
r
o
debid
o a qu
e
se
desc
omp
o
n
e e
n u n a
c ornb
i
nac
ion l ineal d
e
pote
ncias
d e ,
< t >
" -
. . .
,< P ,
l, c o m a
c o
n s ec uenci a d
e
l
teorerna d
e Ca y l
ey
- Hamil ton (vea el a
p
endi
ce
B ) , regresamos
a
l a matriz d e c ontrola
bi
lidad
a
n
ter
ior, po i lo que
la
c ontro la b illd ad n o se rnodifica
c o
n mayores
acciones de control , es
una p
ro
p i
edad es
tru
c tural d e l
s
istema
Si
u n sistema no es contr
olable
debemos
modific ar
su
escructura para pod
e
r controlarlo E n
el
c on
texto
de la T eor ia mod erna
0
de control
ha
y varias definicio
n
es de c ontrolabilidad
(
Rosenbrock, 1970; Astrorn y Wittenmark
1 9 9
7 )
. A
c
ontinua
cion present
amos las siguientes
d
o s def l
n
ic i
ones
.
: : :
l
l {
1 2
. J )
2)
.
t n c 6
g n
, r a s
P a r
a
r
a n g o
p
e
n d i e n
t e s :1
'~
u ( O
)
x(n 1 )
=
x(
O )
< 1 > 1 1
r
< I > 1 1
-1 r
e
r
I r
para
el caso d e 3, la m
atri
z d
e c
onrrolabilidad
esta dada por.
2
W
1
-
c
= = 0 I
1
0 0 1
E
l
d
e
c
e
r
m
i
nante de
esta
m
a
tr
i
z
es
b
por l
o
qu
e e
l .
r
a z 6 n
de n o m rar s1 stema descrito s 1 stema
es
controlable De , l
, . o r a
ec
u
ac
i6n aqu1 vemos a
Si
u n
sisterna
no pudiera lograr l leva
I
.
b a
s 1 s t
e m a a l estad a l
s a r po n a o tener agregando
mas
o in
e
n n
pases,
podr iamos pe n
-
p a s os
. au m e
nt
am ,
ecuaci6n: u n pa s o m as, te n em o s la siguiente
-
7/23/2019 Capitulo 12 Diseo en El Espacio de Estados Discretos
4/36
L
A
.
N,
c
e(
(
.
Q
C
-
0
(
1
C
'
d
c
.
.
.
{
~
C
c
:
-
0
-
0
-
0
c
.
0
,
o
C
'
d
0
i
.
c
:
z
0
O
-
0
N
,
J
0
8
(
.
0
.
-v
.
.
o
-
01
0
C0
.
s
0
q0
C
0
c
(
-
0
V
o
q
U
.
0
+
0
.
.
0
_
C
c
d
.
C
(
.
c
f
0
0
o
e
~
'
U
r
c
Q
)
C
0
N.
Q
)
C
0
sU
J
.U
J
N
J
c
.
_
,
8
1
4
0
\
D
.
0
o
0
C
C
J
Q
)
L
C
J
C
J
C
J
Q
)
Q
)
Q
C
J
Q
)
+
0
.
0
0
0
-
7/23/2019 Capitulo 12 Diseo en El Espacio de Estados Discretos
5/36
\
\
~
0
0
0
0
0
.
(
f
t
I
.
_
_
_
_
.
'
i
C
Q
"
"
'
.
c
-
V
V
-
C
'
d
p (
)
1
1
1
1
p
11
Calcul
amos el
po
linomio caracte
r
is
ti
co P(z)
d
e la matriz
= z" + + + ... +
ca lculan
l as
c
ompon
e
ntes d
el
vector
b)
Metodo
de Ackerman. S i comparamos
la
estructu d
l
. l
iz e r n ..
.
,
. ra e a rnatnz L
C
con a ma tr1
pl
eada e
n
la
s
eccion
anterior
para el calculo del
cont d . . / d
tados:
ro a
or por
retroalim
enra
c
ion e es
u (k) -Kx(k)
L
--- . ;;
(
k
C l > ,
J xk
< t> ,
. . . _ _ _ _ _ _ _ ,
y k ) S
i
stema c. 2
13
la
tc
ndr
ernos un
a
aproxima
c
i6n estado
x(k)
. E n
la 11gura
1 .
se ustra
impl
ernen
t
a c i
o
n d
e e
s
te
observador En la
practi
ca
es dese
able que
la dinamica
d
e
c
onocer e l
es
tado en
un
intervalo
r
elativamente corto , es
decir
, los valores
caracterfsti
c
o s d
e la
ma
triz
deben tener una parte
real
mis
pequena
qu
e
lo s v
alor
es
caracterf stic o s d
e
l
a
matri
z
7
Impl
e
rncntac
ion
d
e
l Para c a lc
ul
ar el
v
alor de
vector L
L
L . . .
L
podemos
proce
-
o
b
se rvador corn
o
s
i
st
erna
dinarni
c o.
der de
las s
iguientes
dos
foimas:
1
2
n
a) Calculo
directo.
A
part
ir de
un polinom
io P d (z
) que tenga
las raices
deseadas
del
observador
lIm x(k
)
=
l im
[ x(
k )
-
x(k)
] =
/. .
~ o o
t
a
rio
, entonces es te s
i
s
t
e
m
a es a
s
intoticarnente esra
bl
e y :
S i
definimo
s
qu
e
F
< I > ,
entonc
e s:
x ( k 4 > - L
C
] x(
k
x(k x(k
x ( k
Como los estados deben c
o
i
n
er
i
r in e
u
sando la ecuaci6n de salida
tenemos que
< P x ( k
)-Fx(
k) LCx(k)
re 1 c 1 1
1
t)S
qu
e
IJOl IllC
C
10
t
e l 1 r i empo y
d
e ,
1
s
1g u 1
ente
manera:
supon-
) . t11 1 1 1
e
r 1 l
L
.. 1i11 (
.
a,,
a 1 1
z a
" l ni
cjor
1nc con
. .
diode
l
a s i
gui
ente
1 n
am 1 ca
.. 11
,rt)xi111 1l
1 < . ) t 1
1~..
io {
(k)
se 1 1 ge
po
t
m
e
i 1 1 1 ~ 1 L f
l
1r
c c
e
s
t ..
l
C ., A
1
)
e it
5
k)
=
k)
.
. .
, . .
. ,
mo se explica a
connnuac io
n.
defi1 1 1 m o s
. e
dete 1 n11na1an
c o
J
v so n
11 1,1tr1 ces qt1 e s
C
l O
1
1 L
l"
'
1
.. .J "
,
.: ' O 1 11 0
:
eapitulo 12
-
7/23/2019 Capitulo 12 Diseo en El Espacio de Estados Discretos
23/36
de observador para
el
ejemplo
12.12.
, a
P
(
z) det(
2 1
-l
81873 1
-
, . atri
z
son
{ l,
0 .81 873 } , por lo q u e
L o
s
valor
es
caract
e r1 s t
1 cos de la rn , . d e
la m
a t
riz
L
C
se a
n
d
al
caract
e r1
s
c 1 c
o
s
p o e
rno,
supon
er
que los v ores , ti c o d e
se a
d o :
1
. io
caracter1
s
Z ; Z2
= =
0.2,
generando un po
morn
P . (z)= = (z-
0.2 _z
debe cump co .
Pe
r
lo tanto
,
el vector de ganancia
-0.4=l
1-l.8lS?
3
f
+0.818
73
l
o
q u e da
por
resultado:
S
u
polinomio caracteristico e
s :
E jemplo
Ob
sc rvador del
e e l
c a
l
c u l
o
direc r
o
J ) r
g
1
1 1
N ew P ro
b
L oc
al fi. c .
l
ob
s.p d z
.p
o l
z
L oc al
l
ob
.ec , e c 2 , fi
[[ l , O ] ] -c
[ [ l
x l
] [
lx 2] ]
>lob
fi -
l o
b ~ c
de c (z
" '
i de 1 1 tity (2 )- fi m od ) > po lz
D is
p
fi-
L
C
"
,
fi
m
od
Di
s
p "
d
et(z
*
I
-( fi
-L C) )11 ,p o lz
ex pand(( z - .
2)"2
) -pdz
Disp
"p
o
linorni
o
des ead o Pd" .p d
z
Obt
e
n
c ion
s
i
sr
em a d e ec u ac io n e
s
polz-pd
z
d i~ z = O -ecl
'( dif,z ) l z = O > e c 2
solve
(
ec l
= 0
and
ec2=0 , { I x , lx2J)
~lobs
Disp "Vector L " , lobs
E n d P r g m
0
. 0906
3
0 .81 8
7
3
P
-LC
u e so t .11(1
-
X
. . . .
t : : > ~
E -
.. . .
z 2 .J ,
( l
xl - 1 . 81873(
)
) - : : -
81:3
. 73
-
3
( 1 xl - 1
1 tlOf 1 do ? . . : .e. : 1 c l
Pd
?
-:.._ - -r \: Jtl~ E .. ~
v
.
1 x 1
.
4 18
7
3 E
l: .I
and
l
x
2
4. 224
(
63
El:l.
o
P rimera
resolveremos e ste e
jemp
lo con el rnetodo
dir
ecto, utilizando la ca l-
culadora
TI
Voyage
200, y despue
s us
are
mos Matlab para resolver el rnismo
e je mplo
agregando
la simulaci6 n de los errores de la estimac ion
e
xpr
es
ados
p o r la ecuaci6n (12.50 ) . L a
matriz
esta d
a
da po1 :
I I ,- f
:
" l"
F - I
O
., . . .
I ttll af ~ II .. '. of .. 't . ::. , .
;C
1 O ]
0 .009365
0.181269
0 .09063
0 .81873
P = =
C . i l c u l e
observador para el sistema
c
onsti i d
1
por
e
mo
to r
d
e
c o rri
ente directa, presentado
e
1
e apen ice
.
..
-rt
. , , . . . f ~l
L
,.
1\.
1
,
: : : : : : > /J (
\
.
\
1
: : : : : : : >
p odtn1os cmplear
la f O
rn
1
til a de A ck .
, o
s S t
o
u c 1 1 res
roa
1
n1
e1
1 1 1 c
c c
sta
-
O
ca
1
1 1 ios :
1 ,
= = w-1p
d
L = = P
d
< t >
)w-
nz.ss:
o e , 1
1 - -
Esta matriz tiene la forma de
C b
_ . ~
l f ~
(
matrices: 1 1 ~ 111c1
~ 1
l}ti . . .
l
SI
l
ll
l'lll()
S l t si, . .
L' l l t1 1 ,
, ,1lt11
c
i,1 ( i t
-
7/23/2019 Capitulo 12 Diseo en El Espacio de Estados Discretos
24/36
- -
. . . . . . . . . . . . .
- -
Calcu
e
la matriz p a
r
a un
observ
ad d
A )
o
r
e
s 1
st
ema de
ape11 ice ' ap
icando
la
f 6 1 m u l
a
d
e
A
k tre s tanques en s .
d
I
d (
I
erman. ene
esac
op a vea e
o
El modclo de este
s
i
ste
rn a es ta
dad
o po r:
-
-
:
,,-
-
Calculo d e l estimado d
b
r Y e o s erro1es de . ,
o servador del ejemplo 1 2 1 2
b )
R
e s t 1 m a c 1 o n . a) C6digo en M 1
b
.
.
espuesta de
los
e
rror
e
s
de
. .
'
at a
para
el
e
st1mac1on del o
b
servador
Irlst
a 1 1 tes, k
0
-
-
5
- - -
:. . . .
4
3
-
.,
..-.
-
. , _ -
-
-
, . . _ . _ .
- -
-
erro
r
i.....
0
L..
L..
O
1
~ : ; , _ . . - :
- ; . . ; . e : . -
~
= =
; ; : : J i t :
--_.,.
_
; - - - c o - - - i j > - ~ e a - - - - 1 i , - - - - c : o ~ - - ? ~ - - o - -
~
1
Errores en la es timaci
6
n de es tados.
Obs
ervado
r c o n fo rm ul a de
Ac
k
e
rman
d es de
l
as in ic ia
le s
1 , l :
l
: 1 ' 5 ;
n
=
l e 1 1
grh
(
1
- : . ) ;
cl= l 0 ] ;
e
rx
=
d i1
1
1p u ls
e (fir,xci,c
1
,0,
1
.n
)
:
c 2
=
[0 1];
e
1 x 2 =dimpulse(fi1,x c
i
, c
2,0, 1
< Y o graf icac i o 1 1
p l ot(lc,e1-x l , 'o', k.erx
' Z , '
*
'
),
grid
axis
( 0 11 - 5 5 I
.
5
] )
hold on
plot(k,e
rxl
,
' -
,k,e
rx
2,'-
)
hold
off
title ( ' Error
es
en la est imacion de estados. Observador c o n F o
r
m u la
d e
Acke
rman.
')
xlab
e l( ' in
s
ta
nc
es' )
yl
a
be l('
err
or x
1 (
k)
y
err
o
r
x2(k) )
t
ex
t
(26-
l.
25,'o-
- encl
')
text(26-1. 75, erx2
'
)
o
1 )l,sl'l"
\ tlf
l,t'
l'\ l{l
t'S
l
,llil)
1 e 1 1 , p
o - -
1
. l
t l
r
c l l 'l
) ll\ ltll\ll 1 ~ 1
{\)r 1
1 t1
.1
l
,;.tr1
1
1
~ 1 1 1
-: .
1t
"1 '-
Oo
o ,, 1
,1 . t c r i ' - ' -
, '-lllsi\ll lll,l
O.t)l}\lll(l.3:l) 18-_\ ] ;
g.\111.l : : : : {
().()()C).)());().
2(:,l)) ~
= . t) )
;l\
= { l ) } ;
\\t
1 1
1 c > l , l s " l e la z o
-
" r r . 1 d 1 . ) t i t l
1 . 1 l , s c r ,
. l c . { o r
11 = i
0.2
().2 }
:
11\31\tll) direcro de
l\1 ~
1 t l . 1 l ) i us an d o 1 ~ 1 (orrnula
de Ackerman
l.
=
a
s i rnu lac i
o
u de error en
e s r i 1 1 1 a c i o 1 1
de
los estados
t ir=fi-
l c;
l'
" ondicio ncs
inic ialcs
xci=
l ;- 1
O
~ 1 a r
~
1
ver los
e rr
ores en
los
esrados,
se
cambia la
rnatri
z c
O
o 1)ar~
1
error t11 x l , c =
0 ]
; para error en x2=, c
l=
[ 0 1 ]
0o
in i
c
io del
riernp
o discrero
desd
e
-1 para que
la f igur
i 1
2 . 1
5
anarece e l cbdigo en Matlab para calcular el observado
'\c onttnuac 1on,
e n
,
ry
J '
I
l
.
u
s
r 1 de lo s l' l"l" ()l "CS tit' lS(lll1
~
1L " l011.
1 1 t.. ,
-
7/23/2019 Capitulo 12 Diseo en El Espacio de Estados Discretos
25/36
d Q n d
d
d
e
J ''
2 11
e
es la rnarriz
idt 1 1 ttl~
1
-
(
< I >
t; )
I
,
(
(I)
I
( )
-< J J
1
/, )
A I ,
( (l
< l >
-
ltS valores
~ 1 1
:lL ' lt ~ r 1 ~ t os
P o r e l
det 1
111i11j;it :
0
Fi g t1ra 12.16
C ;.1
11.l11 in ti
1
'-
-n 1 l '
. . . .
. a 1
1 c
io
e J sisre m
a
q t1
e
n.1
3
0
I I ..._) O
~
,l 1\ ' '
l
l t u r a de c o
l'
,
t
1 I .. .
.: ,
, '
.
'
11
1
2
.
S))
I
~ ,. .
LI l
a se
r, I
o
.
.
,
. 6 1 2 .
e r i
d
e
l
de
.- ( 1
~ )
f
6 r 1 1 1 t t l
a
de
l ,e r1 1 1 r u 1
,dz l z
=
fi)
,,
o A (
-1 ).[ [
0
] [
0 } [l..
D i
s
p "Vector l . " . l
E
nd
= = -Kx(k
)
~ l
la r e g l
a
de
rerroalirn
1 1 c a
ci611
d
e escados
:
e s r a b l ec e 1 - 1 1 0 . . ,
el
obs
e
rvador
X(k 1 ) < ) _ f(k)
ru ( k ) L
[
C
<
(k )
-CX(k)]
>
E
n e l caso
e: 11
< .
]ti
e se requi era diseu r
r
1
t1l id
1 er
o los
es rado
s
no sc a n accc ibl e direcrarn
n
re s
i 1 1 0
< )
1
~ de
u n
ob
servad or,
se
pl1
-de enron
t: in
r
~l'r~ t1
~
1 1
1bo .
pro
c
l
e 1 ~ 1
sizui nre ra.
[
ad
e l si s
t
ema dinamico:
0
1
C a
s 1
0
c o mb i
o b s e r vad r
l lllC'i Cl
\
\CJ 1 l:
fii
m u l a c l e
A ~ I< 11
11:tr1
,
,
~
o{2, i ]
cfi2[
> ,,,
o[.,,i
]
(
1 2
.56)
) < 1 > . x (~)
;1(k
)
tjl.21.,()
[cmplo ()l,,c11. de
1 in ' i . i i 5 * i .ic'
po
l ino r 1 io
de -
se.sdo
P
d
3- 1 .4t
0
:z 2
748
. 136
c-
"l
9 . 3697
1 2 0
L
Pd
(
c p
)
0
9.369566
4
.
902573
1.247492
E n
la flgura 1 2
. 1
6
aparecen
los
rcsultados oh1enidos
on
la c a l c u
l
a d o r a T T Voyage 200.
y(k)
0
O
I
(k)
+
0.88250
.1 21
0 .006895
x
, ,
(k+I)
. . .
x
(k+1)
0
0
.8 8
25(J
0 . 1 1 0 3 1 2 1
X
1 (k )
X 2 (k )
x
(
k
)
A J a
pl i
car la d e
/ . 1 1
para
a
v
.
. ) .50.
l
12.5
40
0 . 094
0
.
005 75 q ] (k )
0 . 00024
0
0 .
88250
-
7/23/2019 Capitulo 12 Diseo en El Espacio de Estados Discretos
26/36
x(k) +C o(k)
l>-~K
LC
C
x(k
+
-
x(
k
+ 1
)
-
c 1
. . .
) ,
3 9
= = . _ ._
l. l 0()
Para
graflc
ar los
re sulrado, sc urilizaia ~ I
e
c o n 1
~ 1 1 1 d c . ) di
L
.
,
rorrnar un nuevo ststerna c on los e stados . ) . :
(
k ) I . , , , p , ,
. . .
e
Marlab,
y p
ar
a ello debemos
os e
stttn
ido
A(k) .
s
e
ra e error en est1mac1on
, e
)
x
(
k
)- (k)
.
res . ' . :
,
)' la
salid
a d e esre
s1sren1a
I
. . -
Ju
1 1
to con l
-
1
orma con as s1gu1entes matrices : a sena de
control
u (k) . Esre sistema se
Z1 0 . 818
73
L 8 .
6
o 0.8095 0.122
3 5 j
K=b
P d
c t J
)=
-3 . 4625 1 2 . 83 77 .
P
ara este caso st1pondre
mo
s
qu
e los
es caracc
que lo s del regulador paia ello s up ond l eri
sticos
el observ .. idor
sc
.1 1 1 ru
.rs
rapt
,
r
em
os tie
Para
el
s i
s
t
e
m a de tanques aco plad o s , anal izado en e
l
eje
mpl
o
1 2 .
9, obte
n
ga un observador de
estados
par
a
uti l iz
arlo en
el d i
sefio del regulador con retro
a l
ime
n
ta
c i
6n de
es r a
d
o s
.
S u
ponga
c u e
los m is m o
s
p
o
lo s d
e
la z
o c er
rad
o
se
va
n a usar en el disefio de l
re
gulador
. ~ .
Para el regulador
c
on r
e
troalimentac
i
6
d
d d
.
1
n
e
esta se esea
qu
e los polos
d
e
l
azo
cer
r
. s
c . 1 :
1
~
1
~
rrusrnos que
o
s
u
sados en el e j
e
rnplo 12 .
9
:
P a ra implementar este esquema en un procesador di
g
ital debemos
seg
u
ir
los pasos que se presentan en la t
ab l
a 1 2 .
3
.
Regrese
al
pa so
5
Ma nda r
el v
alor de
- (-rK -LC) LY(z)
G
e
(z)Y(z)
Calcular la le
y de control
1 ,(
k)
-Kx
(
k
)
co m o
s1gu e
:
ncremente e l
instant
e d e oper
a c
io n
De esta ecu acion, vemos
qu
e para e l estimador x(k
)
la salida del
sisre
-
m a y(k) hace e l papel de entrada y la serial de control
u(
k ) que se in ~ ~ cta a
este es la salida d
e
l estimador
por lo que podemos calcular
la func ion de
t
ransferencia
del
estimador (z)
par
a e l c as o d
e
una entrada una s
alid a
,
Ca l
c
ular
el e
s timador
x (k = [ LC ]x(k) ru(k) Ly(k)
0
P
. l tar u n
esq
ue m a de observador-regulador se u ti liza ran l a s
ara imp e
m
en
e c u a c iones (1 2 .
5 7 )
Y (1 2 . 58
) :
x
( k +I)=
[
cI>-LC
]x
( k)
+ ru
( k ) + L
y(
k)
Esrablecer
0
,x(O )
0
,
Leer
las m at r ic e s
Leer el valor de la
salid a d e
l s
i
sterna
q
ue Ios valores caracteristicos del
conjunto rcgnf:: d
.
,
o
ernos ver
-.
los valores caracter1 . . .
1
isos
anter1 ores . es
a
, , l
a c ue rdo c on os i nc , ticos
del es
timador
s
ean
mas
rap os que os del r egu lador
. da que los valores caracter1s
Se recom1en
co n
u n
factor
de a
5 veces.
-
7/23/2019 Capitulo 12 Diseo en El Espacio de Estados Discretos
27/36
P
a
n
e l
fr
o
ntal d
e l
r
e
gulador
por
r
e
tr
oalim
e
nt
ac
i
6
n
d
e
e sr
a
do
s
u sa
ndo
obs
e
rvadores.
11
IJIIO
--
-
1 ..
1 1 1 1 1
41
g.jL)
..-
0 . . . . ' W
..
-
r.
-
-
pot
Obseiwdores
.. - - -- -- -- - - - ..J
21bis
12 d r e duc ido
Obse r vado r
d e
o r
e n
d
dir
ecrame
nr
e a
d
rne
i
r
E . n d
ue se
p
ue en o s
a
e
sc
a
bl
ec e
r
arias ocasiones hay esta os secci
6
n varn
~ E n es
ta
de instrumentos de carnP
-
d
L
bVIE W
se
vi
i
eali
z a
o
e
n
a
.
~ E
l programs d
e apo
yo 12
do
o b
serva
do res, apli -
~ o ulador
u
san . ,
utiliza para constr
ui
r
u
n i eg m
re
la simu
l
acron e
.
0
er .
o s d
u
ndo or
en
' d
e es
te
e s
ra o
s
para un
si
stema e seg l de i
n
reracc
i
o
n
. , ane
rogra
rn a
.
.
,
y
o bserva
d
or
d
e
esta
dos
m
e
ntac1
0
R
e
gul
a
dor
c o
n r
e
tro
- 3
-2.S
. M l b
par
a si
n
u lac i 6n d e l
ej e
mplo 1 2 . 1 4
a)
C6d1 go
e
n
a
t a
o/ o graficac io
n
erroreyl
.
,
u=y(: ,2) ;
plor(k
,
x ( :
,
1
),'
o', k
, x (
:
,2),'
.k. error, u
,
grid
;
axis([
O
n -4 1
.
5])
hod on
plot
(k,x ( :, 1 ), '-' .k .x ] : ,2),
-,
k.error, '
- '
)
hold off
tirle( '
Reg
ul
ad
o
r c on
r
etroalimenrac ion de e
srado s ,
usando obser-
vad
ores
.
')
x lab e l
(' i 1 1 s
tan
res
')
y
lab e
l
(' s
al id
a
s
')
rext( 25 . 3 ,- 1 .25, 'o-- x l
)
; text( 25 .3 , - 1 .6 5, *-- x.2'
)
cext(25 .3,-2. 15, 'x-- error ;texr(25
.3 , -2
.65, u')
-2-
1,
(/)
. . . . . .
~
-
.S
C/)
-i- -1--
0
-1-
e,
k)
--4~-
_ . u k)
_
_
J . _
------+-------
- - - -
- - - - - - - - - - -
- f -
- -
i---i------+-----_j __ --- - ---~ -
-,---
40~ : ~ l 1 1 _l 1__J
5
10
l
', 20 25 30
Instances
b ) R espuesra s del s istema concrolado u
sa n
d
o observado
r
es
0 .5
.
0
-3.S
I
0
o 0
n 1 ~ 1trices del sisterna
f i : : :
[
0.91272
0
. 0 7368;0.14
7
36
0 .
5 9 3 4 5 ]
;
tr . 1 n 1 a = [
0
.
0 4 7 72 l
;0 .004082]
)
c= [ O 1
] ;d = [
O
] ;
~ o polos de lazo cerrado
p = = [ 0 .
8 095+ 0
.12235i 0.8095-0 l 2235i] ;
~ o Calculo ganancia
del
regulador
K = = a c k e r
( fi,gama, p) ;
polos del observador
pobs=
[ 0 .
2
+
0
.2i
0
.
2-0.2i
];
~ o
calculo de
la ganancia
del
o bservador
L =
acker( fi' .c' .pobs
)',
q ' < >
s imulacion
del regulador observa
dor se
u
saran condicion
es
~ ' < > iniciales para
s
i
mular
la operacion de l sistema nuevo
q ' c ) con la instruccion dim pul se
~ l o
formacion
del nue
vo sistema
regulador-ob
servador
finueva= [
fi -gamaK;
L * c fi -g a m a * K-L
* c ]
;
q ' c ) l a
nueva
g a m a
se susti
tuy e por la s
cond
iciones
0 / o iniciales
de
los es
t
a
do
s
hl
y
h
2
y
sus
e s
timado
s
e
n c e
ro
x ci
=
[
l ; l ;O;O]; d=[ O; O
]
;
cs
a l
=[
O -1 0
1;
0 0
~ o csal saca el
e
rror de estimacion
e
n
x2A
-x2, en e l prim
e
r r
en
g lon
o / o
Y se obti
e
ne la s e f i a l de control con el
s
egundo reng lon
o / o = [ x " 2 -x2;u]=error;u]
% i n icio d e
l
tiempo discrete desde para qt1e
~ o
gr
afique des
d
e
l a s condic
i
ones
inic
i
ales
xci
n = = length( k) ;
[ )'
,
x ]=dimpulse(finueva,xci,csal,d
,
,n);
l\.)
E j c
n 1 p
lo
1 2 .14 Rerro
alim
en rac
ioi d
e
estado
s c
n 0
b
se r,
~ 1 d
o r
es. n
u so d e
o ( ) 'l~ 1
1 1 q t 1
es
acopla
d
os
1
0
x
2k
)
- - - - : - - : - - ~ - - - - - - - - -
~
~
R
eg u l
a
d
or c on retr
o a
limenra c i
6
n
d
e es rado s
,
u sa
ndo
observa
dores
i
.
s 1_1---,----r---~~=---,----...--
- - -
. . -
-
-
-
..
-
J
t - ~
0
A
cod1 go en M a tl ab
a s1m L 1
acion,
-
7/23/2019 Capitulo 12 Diseo en El Espacio de Estados Discretos
28/36
T o m a n d o el caso del
motor
de corriente
dire
(
1
ta vea e a '
d
1 al pen ice A)
re uci o para estimar e v or de la velocidad d . , tsene
un observador
de orden
. . ,
d 1
f l h e giro de la fle
h
d 1
pos 1 c1on e a ec a se puede medir. c a e mismo, suponiendo
que
la
o
E l
m
o
de
lo
d
e
es
te siscema es ta
dado por:
ten
e
mos q tie
e
ste error
tie
ne el
siguie
n
e
comport
am e
nto dinamico:
q) -
de man era q ue los val
or
es caracterist. d 1
.
A
k
. .
ico
s e est1mador d
c erman vista antenormenre. se pue
e
n
ca
l
c
ular
con
Ia fo rm
u l
a
d
e
,
Al c ombinar las ecuaciones ( 1 2 . 6 5 )
y
(
1
2
.
66) tenemos que el estimador de orden reducido
es t
a
d
a
d
o
p
o
--
:
t
e
rmin
os de la entr
ada esti
mador
-
7/23/2019 Capitulo 12 Diseo en El Espacio de Estados Discretos
29/36
-
0 .
1
-
-
,
0
0
[n
st
untcs
b)
R
cs uh
a< l
L > dd
error
en l a t
'S l ima
c io n dt l a "dod
-
7/23/2019 Capitulo 12 Diseo en El Espacio de Estados Discretos
30/36
C O
G
-
I
c12.1s,
gu1ente comb . ,
inacion para
el
calculo
de u(k):
==-Kx(k)+ KG+G
P
r(k) c12.11J
(
I - < P ) x
0
)Gr== rG
P
r (12.75)
C
G
=
t
e
ne
n
os
e
l sigtLi
e
nte
s
is
t
erna de ecuaciones
:
< D X
00
rz.t
00
Combinando estas ecu
a c
iones te
n
ernos
qu
e :
(12.73
)
t
G
r
00
= =
d_onde.
e
s
~
l valor de la sefial de
con
t
r
ol en estado
estaciona
rio. L
a
s
condiciones
en estado esta-
cionano d
e l s
isterna
completo
est
a
n
dad
as por
x(k x( k) x
( 1 2
. 72)
(
k )
= K[ Gr(k)- x(k)]
La
le
y de
c
ontrol que usaremos es de la
fo rma
:
Figur a 12.20
Esquema de control
par
a seguimiento de e
nt
r
a
d
a
.
y(
k
)
c
(
k )
K
Pla
n ta
c t >
,
1
(k)
El e
s
quema
d
e control que se
e
mplea en este enfoque es e l mostrado en la figura
12.20.
(12.71)
00 00
Ahora supongainos que deseamos re
s
olver el
problema
de
que
la salida del sisrerna siga una entrada
especfflca, usando rerroalimenra
c
icn de estados
(problema
servo).
En
el
presente
analisis (Frankl
1998; Jacquot, 1995) vamos a considerar que nuestro sisterna tiene el mismo nllmero ~ n
enrradas que
d
e salidas,
per1nitie
ndo esro que podarnos
c
onsiderar sistemas multivariables. Para e~
caso del
servo se tiene que
si
la entrada
r(
k
)
es
un
escal6n, entonces:
1
~
(k)
A
12
Disetio en
el
D i s e f i o d e con t ro l adores
-
7/23/2019 Capitulo 12 Diseo en El Espacio de Estados Discretos
31/36
X ( k +
= = < t > X ( k )
+
ons1
eran o
re caso, c
u(k)
= =
-J
-
7/23/2019 Capitulo 12 Diseo en El Espacio de Estados Discretos
32/36
E 1
t1ot
i
ra 2
p
le a
do p .
l
di - - _ se presenta el c6digo en Matlab em-
ar
a e iseno 1 .
l
. , ,
a strnu a c 1 0
1
1 de esre ejern
plo,
Calcu lo
d
e
u
n controlado
r con
r
e
troal
i
me
nt
a c io
n
d
e
estad o s .
G
1
= =
) Result
a d
o
d
e l error en l a es tirnaci
o
n d e 1
~
vtl(lci d
~
t < . f
'- - .,J_ -- .. -- - - ... J
5
10 15 ~
Mues tras (s)
.
'()
G
,
{).")l,
L a
soluci
on a c s
re s is
r
erna d
r
-
. . . . . . - . .
o . s
~
0. 6
;
o .
4
0. 2
~
-
00
-0
.
4
0 . 4
0.0:'
0
.
0
.
09
-
.
2
0 .
2
.
-
0
l:J p
l )
- 1.
r
- - - -
-
-
-
-
I
G
0
---------
-
.. _
Re
spu
es ra a un e sca l6n unira r
i
o c on retroalime i
ita
ci 6 11
de estados
E
l
sisterna
de ecuaciones
para enconrr
ar las
g - an
ai
,ci ( ' .
5
ecuac i6n es : . . .
)
C6
d ig o
en Matla
b
para calc
u lar u n
controlador e
j
ernpl
o
1 2 .1
6
1 .
0192
1 .3471
E
l
vecto
r
d
e gananc
i
aK
pa 1
a
r
et
roalimentacion d
e
esrad
o s
es
:
se dcsea
ap
li
car
tin
controlador
con
rerr
oalirnentacion
de
csrados, d
e
mane
ra
que los polo
s
de
lazo
cerrado esren u
b
i -
cados
e
1 1 zd
0
.
6 02
j}
y
e l error
en
es tado es ra
c io
na r i
o
,
c u a n d o una
entrada sea
de tipo
esc
alon unirario, s ea
cero ,
Diserie
el c
ontrol
ador qu
e
c u
mpla
con e sra
s es
pe c
i
f i c a c io
-
nes , usand
o la es c
ructu
ra
mos
tr
a
da en la
figur
a
1 2 2 0 .
x(k
0 .
0
3 u(
k
)
0
.
2
k
I)
0
. 6 0 . 4
0.09
0
.
8
y(k)
]x(k)
Para
e
l
siguie
n re
si
st
e
m
a discre
ro:
O
/o
o /
o
Eje mplo
1 2
.16 . .
o;0Disefio
d
e controlador c o n
rerro
al1m entac 1 on de estados
o /
o
elf
o/o s isrema a controlar
fi = [ 0 .6
0 .4
;0.0 9 0 .8 ]; ga m
a
=0 .0 3 ; 0
. 2 ]
; c=[ l
O ]
;d=
O
] ;
O/polos de seados y gana.t1c
i
a d e l reg ula
do
r
z d =
[ 0 . 6 + 0 .2 i 0
.
6 -0 .2 i ];
K = a c k e r(
f i ,gam
a, z
d
) ;
o/o c alculo de la s
gananc
ias G
y
Gp de l
c o n
rro l
a
dor
l=ey e (s iz e (fi)) ;
[ i , j]
=s iz
e(c);
m g a n = [ fi- 1 g a m a ;
c
ze
ros ( i , i
)]
;
ind=[zeros (j , i) ; e y e ( i
)]
;
ga.t1=inv
(
m g a n ) *
ind;
G=gan
(
l:j,:) ;
Gp
=
g an
( j+
:j+i ,:
);
finueva=.fi-
ga m
a
g arn an ueva=garn a * (G p+K * G ) ;
ds t ep
(f inu eva,g am an u eva,c ,d
1 )
title ('Res
pues
ta a un e
s
c
al
6n uni
tar
i
o,
c
on retroa lirnentac ion
de
esrado s
')
x labe l
(' mue
stras '
)
ylabe l('y (k) ')
grid
Para el caso de
una entrada
una salida, el vector
L se
calcula
con
la
ecuaci6n (1 2
.
5 5 )
.
por lo qu
e
el
e
rror de es timaci6n X(k)
r
esulta se
r:
X(k +I) = [
LC].
=
(k)
+ [
rG - M]r(k) c 1 2 . a s ,
M
G
1
O r
d
e estimaci
6n x(k)
es
i
ndepe
ndiente
de la
e
ntrada
r(
k)
Si = entonc e s
e err
.
x
(
k
-
7/23/2019 Capitulo 12 Diseo en El Espacio de Estados Discretos
33/36
)l,st
'
f\:.
l\.it
1ft'S
lit
ordcn
fl
'lj
ucid
o
'll'\.l{
~\.1
'
. , ..
\
'-
..
..
~
,
,l
'
{l,
l . t
..
tlt'
~ ' \
\ le ro do
\ . i i
F ig u ra 12.22
Cancelaci6n
de
p
olos y ceros
l
t 1
(
o
(
i l l'l
({)
,;,'
>
f'J\\li
l.l d
e
c
r, 11.1 1
1
pu
ed c
provot
'ar
l" ll
1 1 1 tern
n
d e
l
s isu-
rn a
E s
tr 1c
tt
1r
~
t
b a s ~
1dos en
I
[ c
,c .
l el t1
n: i 1 1 1
ic o
-
Di
se
n
o por
o
al i1
1 e
r1rac
ic ,n
re r
r
,
de csr~ 1 do s
-
. t .
'i
llltl,i
tl
.
llll{l
l
r e ;
, ,
l1l.ttl, 1 r v
l, ,st'
l" \
". lli ,) r
outempla
M
e
t
odos
d
e
cont
roladores
Diseno de
-
12.7
Resumen
requier
e de
ti
enen
ambos
Ob s~r , ~a b i l i d ad
del
i s c ema
_~
-
-
C
onrr
o
labilid
ad
d
e l s isterna
_ _
co
rnpre
nd
e
Discn
o
(. '11 c l
cspac
i
o de
cstados d sc rcto
---. requiere /
d
e se
real iza
con
Disefio de
o b s
erv
ad
o
res
E n e s r e capftul~ presentamo
s
las h~~ramientas bisicas para
el disefio
de sisremas de control
espe-
c i f i c a d o s
en variables de estado, utd1zando la retroalimenraci6n de
esrados,
tanto
para el caso
regulador
c o m o
p a
r
a
e
l
c as
o
de
u n
c
ontrolador
( s
ervo ) c
uando
s e re
quiere
qu e l a salida siga
na
entrada
especi f ic a. Ana l izamos e l
c aso de
introdu c ir e l efecco analogo a l
controlador
clasico
lanteamos el c a lc
ulo d
e
los
o b servad
o
res
o
est i n 1 ado r c s de es rado para c l
c a s e en e
l
qu e
estos
no
p ueden rnedir, discut i mos su i rn p
l en
1 e n tu
c
ion e n fo
rrn
a
a i
s
lada
cornbiuada c
on
lo
s
ca
s o
s
m a p a conc
e
ptual
del capitulo
.
uesea d e
la sal ida
y k),
la cual
1 1
. . ega
al
valor
cuenta la
enr
d r(k)
ra a ,
es el
siguiente:
x(k+l)==[
-
7/23/2019 Capitulo 12 Diseo en El Espacio de Estados Discretos
34/36
P
=-.Q
m m
m ( J J
.
J
=
-
P + K,
Control de una torreta de canon de
orreta e un canon d a 1 d
despreciando perturbacione , e un tanque e guerra, en forma line
iza a ,
externas,
esta
dado por
0 .0 47721
0
.
004082
0 . 9 1 2 72 0 .0 7368
0
.
14
7
36 0.59345
x
(
k
)
+
y(k
0
1 x(k)
x( k
=
-
.
lz-056
a
)
Proporc
i
one la forma can6nica
control
able del sistema,
y deter
mine si
e
l s isterna e
s
controlable y / u observable.
b ) Pro
porc
ione la
forma canonica
observable
del
sisterna, y dete
rm
i
ne
si
e
l sistema e s
contr
o
l a
b l
e y /u
o
bse rvable.
c )
O b c
e
n ga
l os p
o
l os ceros de
G(z)
y explique el porque de l os re s
ult
a
d
os obtenidos e
n
los in
c
isos
a)
b )
.
P12 5 Disefie un
i
e ulad
o
r ara el
u 1 q uen en
e at a . '
calcule
a
)
condic iones se
d
eben
cum
plir para que el
sis
tema sea
co
ntro
l
ab
le
?
b ) co
n
diciones se d
eben cumplir para que
el
sistema
sea
obse
rvabl
e
?
P12.4
Par
a
e l si
gui
en
te s
i
stema
:
y(k)
d
x
( k )
+ f
u (
k )
x
(k)
x
(k 1
) a
c
determine las c ond ic
io n
es
para
es rablec e
r la
control
abilidad
d
e la salida, es
decir,
si
e s po-
sible, por mcdio d e una s
ec u
e
n
c ia
d
e
n
pa sos
d
e l c ontrol pued e ll~var a la sal ida de u n
punro inicial a
otro final y
(n),
donde t
e
n
e
mo
s m
entradas y
v
salidas. (Nora: proceda
de
la
m sma
manera
que se obtuvo la c ondici6n ara la controlabi l idad de los estados.)
Respuesca :
Cr
C < t > r
C
< 1 > 2
r C
< 1 > 11-
r
Para
el si
z u i e n
te sistema descri to en variabl
e
s de estado:
P12
.
3
1 )
-
7/23/2019 Capitulo 12 Diseo en El Espacio de Estados Discretos
35/36
sit'ttic 1
1tc : ~i~C'.t't
l\
.l.
' - i (
11 1
.l1 1 "
r
.
l l\l
~
1 1 1
)
l >
l )
po
los d c
l
o b
serva sc
ubq n
d
I
1 1 .
I
" ' ( '
l (
J
\
1 :
t l l . , l ) .
en J l ~ lllXI I .Ill (J:-;
0.' )
0.0
7
.
'( ,S . ,
( / . : )
x
k
+ 4 7
1
,;
(
I,) -
() k)
.
l
J''
"
-
I
J , 1 r u s
1ndo
est11nauorc:s para
1 > 1 ~ 7 . I
tilt" Llll
1 ,:
gt
2.9 l
.
l
.. ) bl
cnia P I
2. , c .i
.
1
rc,,ul id,,r )'
para el observador
a r a e c i t . : { )
t.
~
- -
i c ) t l
~ l
., A
isn1as
1 '-
.
~
'rte oresenra os en e apen
1 1 . e ,
p esta o s
,
supo111en
-
7/23/2019 Capitulo 12 Diseo en El Espacio de Estados Discretos
36/36
MA
c
EJOWSKI, J . NI. (1989
) .
Reading, MA., U S A : Addison-Wesley P u
b l
is-
h i 1 1 g Co
mp
any Inc .
NIE
\
ES
,
A .
y
DOMINGUE
Z F c ( ) ,I(.,
) . 2003
2a
.
ed
M e x i
co, CECSA
G rupo E
dito
ria
l Cultural .
OGATA, K .
(2003).
4a. ed.
M a d r i d
,
E spana:
Pear
so n
Educ ac i
6
n
, S
.A
OGATA, (1996). d . .. l .
2 d M
.
a.
e
. exico, D.F.: P re
nti
c e
Hall
Hispa
.
cana,
S.A. n
oarneri-
RosENBROCK (r )
1
> 970 . ~A
it
.
:
d
y. on
res, Inglaterra.
Tho
N l
d
Sons, Ltd. mas e son an
TAKAHASHI, Y . ,
M.J.
llABINS
y D M A
USLANDER ( I
970)
.
A d
.
J
Read in M A U S A
d1son-Wesley Publ. hi o' . , .
is ing Company Inc.
0
AsTROM,
K . J . YB.
W1TTENMARK
(1997) . 011 -
3a. ed.
U
ppe
r
Sa-
River, N.J. , USA: Prentice Hal l , In
c
.
DOMINGUEZ,
S.,
CAMPOY, P., SEBASTIAN, J.M. y
JIME
-
NEZ, A. (2002) .
M a
-
drid, Pearson Educaci6n.
G.F., J.D. M.L . 1 99
8).
3a. ed.
Menlo
Park, CA, Addison-Wesley Longman,
I11c.
B . (1987). Ne w
York,
USA :
McGraw-Hill Int. Edition.
GROSSMAN, S.I.
(1996). 2a. ed. Mexic
o,
McGravv-Hill/I11teramericana de M exico,
S.A.
de
.KAILATH,
(1980) .
Englewood Cliffs,
N J. , U SA: Prentice Hall, Inc.
.KALMAN,
R.E. (1963). "Mathematical Description of
near Dynamical Systems". Ser. A,
1 , nurn.
pp. 152-192.
B i b l i o g r a f f
a
laci rras.
, .
S
, .
do que se ptiede
medir
el nivel
en
el
ultimo tanque,
calcule
un
obse d
b)
upon1en rva
or
de orden reducido para los orros dos n1ve~es.
.
.
C le le un regulador con retroalimentacion de estados urilizando los estados est
.a cu
. .
1 m a -
. dos por el caso
a).
Discuta d611de se
pudieran
t1~1car os
po
os de lazo cerrado y utilice
sus conclusiones para definir esos polos en el calculo del regulador.
Sirnule los coinportamientos de los errores en estimaci6n para los casos a) y b ) .
Pl
2
. 11
Para
el
caso del motor de
CD
presentado en el
apendice
A, diserie
un
controlador
de
posici6tl de la Hecha de manera que responda a tin comando de entrada de tipo escalOn
de ainplitud radianes. Pruebe su
disefio
con
simulaci6n
en
Matlab.
Pl2.12
Disene un regulador con
retroalimentaci6n
de estados
para
el sistema de levitaci6n
magnenca expuesto en el
apendice
A, de
manera
que
ambos
polos del regulador
se
ubiquen
en
zd
0.7, bajo las condiciones siguientes:
a) T odos los estados son accesibles.
b) Se use un observador de los estados.
Para ambos casos, suponga
qu
e ambos
p
olos del observ
ado
r se localicen en
z
d =
0.2.
Pl2.13 Repitael problema P12.1 2 para el caso del sistema
balanc
ln
y bola
, descrito en el apendice
P12.14 Para el sistema del
probl
ema Pl2
5,
implemente un controla
do
r que incluya una acci6n
integral
y
realice una
s
imul
ac io n para e
l caso
en que la entrada
sea
un
escal6n unitario.
Suponga que todos
l
os esta
d
os son accesibles.
pa
12