Diseño de resortes

Introducción

Casi cualquier pieza con material elástico conserva cierta propiedad de “resorte”. El termino resorte en el contexto de este capítulo se refiere a piezas fabricadas con configuraciones particulares que proporcionan un rango de esfuerzos a lo largo de una deflexión significativa y para almacenar energía potencial. Los resortes se diseñan para dar una fuerza de empujar, tirar o torcer, o para almacenar energía. Los resortes se fabrican de alambre redondo o rectangular doblado según una forma adecuada de espira, o fabricados con material plano, cargado con una viga. La tabla 13-0 define las variables manejadas en este capítulo, haciendo referencia a las secciones p ecuaciones en las cuales aparecen.

Tasa de resorte

Aparte de su configuración, el resorte tendrá una tasa (o constante) del resorte K, definido como la pendiente de su curva fuerza deflexión. Si la pendiente es constante podrá definirse como:

k=Fy

(13.1)

Donde F es la fuerza aplicada y y es la deflexión. Dado que la función deflexión siempre es posible determinarla para cualquier geometría y cargas conocidas, y puesto que la función deflexión expresa una razón entre la carga aplicada y la deflexión, es posible reorganizar algebraicamente y expresa k como la ecuación 13.1

La tasa de resorte podría ser un valor constante (resorte lineal) o variar con la deflexión resorte lineal o no lineal). Ambos tienen su aplicación, pero se suele recurrir al resorte lineal para controlar cargas. Muchas configuraciones con tasas de resorte constantes, y unas cuantas tienen tasa igual a cero (fuerza constante).

Cuando intervienen varios resortes, la tasa resultante dependerá de si la combinación se realiza en serie o en paralelo. En las combinaciones en serie la misma fuerza pasa a través de todos los resortes y y cada uno contribuye con una parte de la deflexión total, según se observa en la figura 13-1a. Los resortes en paralelo todos sufren la misma deflexión, la fuerza total se divide entre cada uno de ellos, según se observa en la figura 13-1b. En el caso de resortes en paralelo, las tasas individuales del resorte se suman directamente:

k total=k1+k 2+k3…+kn(13.2a)

Para resortes en serie, las tasas o constantes de resortes se agregan en forma reciproca:

1k total

= 1k1

+ 1k2

+ 1k3…+ 1

k n(13.2b)

13.2 Configuración de resortes

Los resortes se clasifican de diferentes formas. Los cuatro tipos de carga mencionados en la sección 13.0 es una de ellas. Otra es en función a la configuración típica del resorte. Manejaremos este último procedimiento. La figura 13-2 muestra una sección de configuraciones de resortes. Los resortes de alambre vienen en forma helicoidal de compresión, helicoidal de tensión, helicoidal de torsión y especiales. Los resortes planos son vigas en voladizo o simplemente apoyadas, y son de muchas formas. Las roldanas de resorte vienen en una de estilos: curvas, onduladas, de dedos o Belleville. Los resortes de bobina planos sirven como motores, de voluta o de fuerza constante. Analizaremos todas estas configuraciones de manera general y algunos de ellos se diseño en particular.

La figura 13-2ª muestra cinco formas de un resorte helicoidal de compresion. Todas ellas proporcionan fuerzas de empuje y realizan deflexiones grandes. La aplicasion comun es como resortes de retorno para valvulas en motores, los

resortes para troqueles, etcetera. La forma estandar tiene espiras de diametro constante, paso constante y tasa o constante del resorte. Es la configuracion de reosrte mas comun, y hay en existencia muchos tamaños. La mayor parte estan fabricados de alambre redonde, pero tambien se fabrican de alambre rectangular. Es posible cambiar el paso y crear un resorte de paso variable. Las espiras de tasa baja se cerraran primero, con lo que se incrementa la tasa eficaz cuando se tocan una y otra, es decir, cuando “toquen fondo”.

Los resortes conicos se fabrican yas sea con tasa constante o una en incremento. Su tasa de resorte por lo general no es lineal, incrementandose con la deflexion, ya que las espiras de diamtro mas pequeño tieen una resistencia mayor a la deflexion, y las espiras mayores se flexionan primero. Variando el paso de las espiras es posible lograr una tasa de resorte casi constate. Su principal ventaja es su capacidad de cerrarse a una altura tan reducida como un diametro de alambre, si las espiras se anidan unas dentro de otras. Los resortes de barril y de reloj de arena suelen considerarse como si fueran dos resortes conicos ligados, ambos con tasa de resortes alineal. Las formas de barril y reloj de arena sirven en articular para modificar la frecuencia natural del resorte en relacion con la forma estandar.

La figura 13.2b muestra un resprte helicoidal de extension con grandes ganchos en ambos extremos. Proporciona fuerza de traccion y es capaz de deflexiones grandes. Estos resortes se emplean en cierrapuertas y contrapesos. El gancho queda mas esforzado que las espiras y, por lo general. Falla primero. Cualquier cosa suspendida del gancho caera al romperse el resorte de extension, haciendo que su diseño sea poco segurp. Las figura 13-2c muestra un resorte de barra de extension, que resuelve este problema mediante un resorte helicoidal de compresion en modo de traccon. Las barras de extension comprimen el resorte, y si este se rompe, aun su soportara la carga con seguridad

La figura 13-2d muestra un resorte helicoidal de torsión, enrollado de manera similar el resorte helicoidal de extensión, pero cargado a torsión. Aplicaciones comunes para ellos son contrapesos para puertas de garaje, tatoneras, etc. Hay muchas formas y detalles diferentes posibles en sus terminales o “extremidades”.

La figura 13.2e muestra cinco variables comunes de la arandela o roldana de resorte. Todas proporcionan una fuerza de compresión y sirven por lo general para cargar algo axialmente, como por ejemplo para eliminar el juego axial en un cojinete. Por lo general, tienen pequeñas deflexiones y, a excepción del Belleville, solo aceptan cargas ligeras.

El resorte en voluta en la figura 13-2f proporcionan una fuerza de empuje pero tiene una fricción e histéresis importantes.

La figura 13.2g muestra tres variedades de resorte en viga. Cualquier tipo de viga servirá como resorte. Los más comunes son las vigas en voladizo y las vigas simplemente apoyadas. Un resorte en vigas suele tener un ancho constante o tener alguna y forma, como el trapezoidal que se muestra. Con controlables la tasa de resorte y la distribución de esfuerzos mediante cambios en el ancho o profundidad de la viga en su longitud. Las cargas llegan a ser elevadas, pero las deflexiones son limitadas.

La figura 13-2h muestra un tipo de resorte de potencia, también conocido como resorte motor o de reloj. Sirve principalmente para almacenar energía y proporcionar torsión. Los relojes y los juguetes de cuerda son impulsados con esta clase de resorte.

La figura 13-2i muestra un resorte de fuerza constante para cargas de contrapesos que sirve para lograr el entorno de los carro de las maquinas de escribir, así como para la fabricación de resortes motor de par de torsión constante. Proporcionan carreras de deflexión muy grandes con una fuerza de tracción casi constante. Analizaremos el diseño de algunos de estos tipos de resortes.

13.3 materiales para resortes

Hay un numero limitado de materiales y aleaciones adecuadas para servir como resortes. El material ideal para un resorte tendra una resistencia maxima elevada, un elevado punto de fluencia, y un modulo de elasticidad bajjo, a fin de proporcionar el maximo almacenamiento de energia.

En el caso de resortes dinamicos cargados, las propiedades de sistencias a la fatigas del material son de primordial importancia. Has en el comercio resistencas y puntos de fluencia elevadas con acero de medio y alto carbono y de aleacion, y estps son los materiales mas comunes para resortes, a pesar de su elevado modulo de elasticidad. Unas cuantas aleaciones de acero inoxidable son adecuaas para fabricar resrtes, igual que, entre las aleaciones de cobre, el cobre al berilio y el bronce fosforado.

La mayor parte de los resortes para servicio ligero se fabrican de alambre estirado en frio, redondo o rectangular, o de cinta delgada rolada en frio y olana. Los rsortes para servicio pesado, como las piezas de suspension de los vehiculos, suelen fabricarse de formas laminadas en caliente o forjadas. A fin de obtener la resistencia requerida, los materiales para resortes se somenten a un proceso de endurecimiento. Las piezas de seccion transversañ reducida se endurecen por trabajo durante el proceso de estirado o formado en frio. Secciones mayores suelen sujetarse a tratamientos termicos. A fin de liberar esfuerzos residuales y estabilizar las dmensiones incluso en piezas de seccion reducida, se aplican tratamientos termicos a baja temperatura. Para endurecer resortes mas grandes,

que deban formarse todavia reconocidos, se recurre a templados y revenidos de alta temperatura.

Alambre para resorte

El alambre redondo es, por mucho, el material mas comun para resortes. Lo hay en una variedad de aleaciones y en una gama de tamaños. El alabre rectangular solo esta disponible en unos cuantos tamaños.

En la tabla 13-1 aparecen algunas aleaciones comunes de alambre y sus descripciones, identificadas por la designacion ASTM y la SAE. Los tamaños de alambre comunes aparecen en la tabla 13-2, junto con una indicacion de los ragos de tamaños disponibles para aleaciones comunes de acero, identificados por su

neumero ASTM. El diseñador debera probar esos tamaños por si menor costo y su disponibilidad, aunque tambien se fabrican en otros tamaños, que no aparecen. La tabla 13-3 muestra los costos relativos de una selección de materias comunes de alamnbres para resortes de acero redondo.

Resistencia a tension

La resistencia entre tamaño del alambre y resistencia a la tension que aparecen en la figura 13-3 es una situacion afortunada. Según se analizo en la seccion 2.7 y en la figura 13-3 es una situacion afortunada.Las resistencias a tension del alambre de acero fino se vuelven bastante elevadas. Un mismo acero, que se rompe a 200 000 psi en un especimen de pruebas de 0.3 in de diametro, llega a alcanzar casi el doble de esta resistencia una vez estrado en frio hasta 0.010 in. El proceso de estirado en frio es el causante del endurecimiento y el refuerzo del material, a expensas, en gran medida, de su ductivilidad.

La figura 13-3 es un trazo semilogaritmico de la resistencia del alambre en funcion del diametro, con base en extras pruebas efectuadas por la Associated Spring, Barnes Group Inc. Los datos correspondientes a cinco de los materiales mostrados en la figura podrian coincidir bastante con una funcion exponencial de la forma:

Sut=A db(13.3)

Donde A y b se definen en la tabla 13-4 para estos materiales de alambre sobre los rangos especificados de diametros. Estas funciones empiricas proporcionan un medio comodo para calcular dentro de un programa de computo de diseño de resortes la resistencia a tension del alambre de acero, lo que permite iteraciones rapidas hacia una solucion de diseño adecuada. La figura 13-4 traza estas funciones de resistencia emporicas, a fin de mostrar, sobre ejes lineales, el cambio en resistencia en funcion a la reduccion en el diametro.

Resistencia al corte

Amplias pruebas han determinado que una estimacion razonable de la resistencia maxima a la torsion de materiales comunes para resortes es 67% de la resistencia maxima a tension.

Sus=0.67 Sut(13.4)

Material plano para resorte

El material comercial en cinta de acero al medio o alto carbono es el material que mas se emplea para resortes, volutas, resortes de reloj y motor, roldanas o arandelas de resorte, etc. Cuando es necesario resistencia a la corrosion, tambien sirven para los resortes planos aleaciones de acero inoxidable 302, 302 y 17-7 ph, cobre al berilio o fosfato.

Los aceros AISI 1050, 1065, 1074 y 1095 rolados en frio son aleaciones de material que mas se utilizan. Estan disponibles en estado recocido o prerrvenido, que se conocen como ¼ de duro, ½ de duro, ¾ de duro y totalmente duro. Los dos revenidos mas blando se conforman con facilidad, pero los revenidos mas duros se conforman con mayor dificultad. El acero totalmente duro se puede formar con contornos suaves, pero no es posible doblarlo en radios pequeños. La ventaja de formar una tira de acero preendurecido es evitar la distorsion por tratamiento termico de la pieza formada. Se se requieren dobleces agudos, tendra que recurrirse a un material recocido y luego endurecerlo despues de formar.

El proceso de rolado en frio crea un “grano” en el material analogo a el grano de la madera. De la misma forma que la madera se rompera con facilidad si se dobla a lo largo del grano, el metal no permitira, sin romperse, debleces a radios pequeños a lo largo de su grano. El grano ocurre en direccion del rolado, que en el caso de

material en tiras es en su eje largo. Por lo tanto, las piezas formadas de lamina de metal con contornos bruscos deberan ser dobladas a traves del grano. Si se requieren dobleces ortogonales, el grano debera orientarse a 45º con los dobleces. Un factor no dimensional de doblez 2r/t sirve para definir la conformabilidad. La cinta de aceri duro y ¾ de duro se fracturara si se tuerce o dobla a lo largo del grano.

La cinta de acero para resorte se produce a una dureza especificada relacionada con su resistencia a la tension. La figura 13-5 muestra un trazo de la resistencia a la tension en funcion de la dureza para aceros templados y revenidos.

Cualquiera de los niveles de carbono anotados en los aceros para resorte AISI arriba mencionados se endurecen a valores en el rango que se muestra en la figura 13-5, lo que significa que la dureza final, mas que el contenido de carbono, es el factor que define la resistencia a tension.

La tabla 13-5 muestra las resistencias, durezas y factores al doblado de algunos materiales comunes para resortes planos.

La figura 13-6 muestra los radios minimos de doblez que llegan a resistir un resorte para acero plano transversalmente al grano. Aparecen tres rangos de resistencias de acero, que se muestran como bandas y que dependen del espesor y grueso del material. Estas corresponden a tres puntos tomados del rango superior de la figura 13-5. Las lineas representan radios minimos de dobles para el acero de la resistencia que cruzan. Es posible efecturar interpolacion entre lineas o bandas.

13.4 Resortes helicoidales de compresion

El resorte helicoidal de compresion mas comun es el de diametro de espiras constante, de paso constante, de alambre redonde, según se observa en la figura 13-2a. Nos referimos a este resorte como el resorte helicoidal a compresion estandar (HCS). Son posibles otros diseños, como el conico, el de barril, el de reloj de arena y el de paso variable, que tambien se muestra en la figura 13-2a. Todos proporcionan fuerzas de compresion. Los reosrtes helicoidales se enrollan a la izquierda o ala derecha.

En la figura13-7 aparecen de muestra y parametros dimencionales para un resorte helicoidal de compresion estandar. El diametro del alambre es d, el diametro medio de la espira es D y estas dos dimenciones, junto con la longitud libre Lf y el numeor de espiras Nt o el paso de espiras p, sirven para definir la geometria del resorte, para efectos de calculo y fabricacion. El diaetro exterior De y el diametro interior Di son de interes especial para definir la perforacion minima en la cual deben acoplarse, o la espira maxima sobre la cual se colocarian. Se determinan sumando o restando el diametro del alambre d a o del diametro medio de la espira D. Las tolerancias diametrales minimas entre De y una perforacion o entre Di y una espiga es 0.10D para D<0.5 in o 0.05D para D>0.5 in.

Longitud de los resortes

Los resortes de compresion tienen varias dimenciones y deflexiones de interes, según se observan en la figura 13-8 la longitud libre Lf es la longitud general del resorte en su estado no cargado, es decir como se fabrican. La longitud ensamblada La es su longitud despues de instalarse a su deflexion inicial yinicial. Esta deflexion inicial, en combinaicon con la tasa de resorte k, determina la cantidad de fuerzas de precarga en el ensamble. La carga de trabajo es la que aplica para comprimir aun mas el resorte en su deflexion de trabajo ytrabajo. La longitud minima de trabajo Lm es la dimension es la dimension mas corta a la cual se comprimira durante el servicio. La altura de cierre o altura solida ls es su longitud cuadno se haya comprimido de forma que todas las espiras estan en contacto. La holgadura de golpeo ygolpeo es la diferencia entre la longitud minima de trabajo y la altura de cierre, expresado como uun porcentaje de la delfexion de trabajo. Se recomienda, para evitar llegar a la altura de cierre en servicio, una holgadira de golpeo minima de 10-15%, con resortes fuera de tolerancia o con deflexiones excesivas.

Detalles de terminacion

Hay cua tipos de detalles de los extremos o de terminacion disponibles en resortes helicoidales de compresion: sencillo, sencillo rectificado, cuadrado y cuadrado rectificado, según se observa en la figura 13-9. Los extreos sencillos resultan del simple cortar las espiras, dejando los extremos con el mmismo paso que el del resorte. Se trata del detalle del terminacion menos costoso, pero no permite buena alineacion con la superficie contra la cual se prime el resorte. Las espiras

terminales se rectifican planas y perpendiculares en el eje del resorte para conseguir superficies normales para la aplicasion de carga. Cuadrar los extrmos implica doblar las espiras terminales, y aplastarlas para eliminar su paso. Con eso se mejora la alineacion. Para una operación cprrecta se recomienda una superficie plana en la espira terminal de por lo menos 270º. Al combinar el aplanado con el rectificado se consigue una superficie-aplicasion de la carga. Es eñ tratamiento de extremo de mayor costo, pero es el recomendado, sin embargo, para resortes de maquinaria, a menos de que el diametro del alambre sea muy pequeño, en cuyo caso se doblan sin rectificar.

Espiras activas

El número total de espiras Nt podrías o no contribuir de manera activa a la deflexión del resorte, dependiendo del tratamiento dado a los extremos. Se necesita el número de espiras activas Na para efectos de cálculo. Los extremos cuadrados eliminando dos espiras de una deflexión activa. El rectificado por si mismo elimina una espira activa. La figura 13-9 muestra las relaciones entre las espiras totales Nt y las espiras activas Na para cada una de las cuatro formas de

terminación de espiras. El número calculado de espiras activas por lo general se redondea al ¼ de espiras más cercano, ya que el proceso de manufactura no siempre logra una precisión mejor.

Índice del resorte

El índice del resorte C es la razón del diámetro de espira D al diámetro de alambre d.

C=Dd

(13.5)

El rango preferido para C es de 4 a 12. En C<4, el resorte es difícil de fabricar, y si C>12, esta propenso a pandearse y también se engancha con facilidad cuando se maneja en volumen.

Deflexión del resorte

La figura 13-10 muestra una proporción de un resorte espiral helicoidal con cargas axiales a la compresión aplicadas. Adviértase que aun cuando la carga sobre el resorte es a la compresión, el alambre del resorte esta a la torsión, ya que la carga en cualquiera de las espiras tiene tendencia a torcer el alambre en relación con su eje. Un modelo simplificado de esta carga, despreciando la curvatura del alambre, es una barra de torsión. Un resorte helicoidal de compresión es de hecho una barra de torsión enrollada de forma helicoidal, lo que la hace más compacta. La deflexión en un resorte helicoidal de compresión de alambre redondo es:

y=8 F D3 Na

d4G(13.6)

Donde F es la carga axial aplicada sobre el resorte, D es el diámetro medio de las espiras, d es el diámetro del alambre, Na es el numero de espiras activas y G es el modulo de corte del material.

Tasa de constante de resort

La ecuación para la tasa o constante del resorte se obtiene reorganizando la ecuación de deflexión:

k=Fy= d4G8F D3N a

(13.7)

El resorte helicoidal estándar de compresión tiene una tasa de resorte k que es lineal en la mayor parte de su rango de operación, según se aprecia en la figura 13-11. Los primeros y últimos porcentajes de su deflexión sufren una tasa no lineal. Cuando alcanzan su altura de cierre Ls, todas las espiras entran en contacto y la tasa de resorte de acerca al modulo de elasticidad del material. La tasa del resorte deberá definirse entre 15 y 18% de su deflexión total, y su rango de deflexión de trabajo La-Lm debe mantenerse en dicha región.

Esfuerzos en las espiras de resortes helicoidales de compresión

El diagrama de cuerpo libre de la figura 13-10 muestra que en cualquier sección transversal de una espira habrá dos componentes de esfuerzo, uno cortante a la torsión proveniente del par de torsión T, y otro cortante directo debido a la fuerza F. Estos dos esfuerzos cortantes tienen distribución a través de la sección que aparece en la figura 13-12a. y 13-12b. Ambos esfuerzos se suman directamente y el esfuerzo cortante máximo τ màx ocurre en la figura interior de la sección transversal del alambre, según se observa en la figura 13-12c.

τ màx=TrJ

+ FA

=F (D /2 ) (d /2 )π d4/32

+ F

π d2/4=8 FDπ d3

+ 4 Fπd2

(13.8a)

Esta manipulación ha colocado el término correspondiente al cortante directo de la ecuación 13.8a convirtiéndolo en un factor de cortante directo ks. Las dos ecuaciones tienen idéntico valor, que la proferida es la segunda versión (ecuación 13.8b).

Si el alambre fuera recto sujeto a la combinacion de una fuerza constante F y de un par de torsion T,como se muestra en la figura en la figura 13-10, la ecuacion 13.8 seria su solucion exacta. Sin embargo, este alambre es curvo, en forma de espira. Wahl define el termino de concentracion de esfuerzos para esta aplicación y un factor Kw, que incluye tanto los esfuerzos de corte directo como la concentracion de esfuerzos de cortantre directo como la concentracion de esfuerzos por curvatura.

Kw=4C−14C−4

+ 0.615C

(13.9a )

τ max=K w8 FD

π d3(13.9b )

Este esfuerzo combinado aparece en la figura 13-12d.

En vista que el factor Kw de Wahl incluye ambos efectos, podemos separarlos en un factor de curvatura Kc y el factor de cortante directo ks, mediante

Kw=K s K c ; K c=Kw

K s

(13.10)

Si un resorte está cargando estáticamente, entonces el criterio de falla es la fluencia. Si el material fluye, eliminara la concentración local de esfuerzos por factor de curvatura Kc, y podrá aplicarse la ecuación 13.8b para tomar solo en consideración el cortante directo. Pero, si el resorte está cargado dinámicamente, entonces la falla será por fatiga, a esfuerzos bien por debajo del punto de fluencia, y deberá aplicarse la ecuación 19.9b para incorporar tanto los efectos del cortante directo como por curvatura. En un caso de carga a la fatiga con cargas tanto medias como alternantes, es aplicable la ecuación 13.8b para calcular el componente de esfuerzo medio y la ecuación 13.9b para calcular el componente de esfuerzo alternante

Esfuerzos residuales

Cuando se enrolla un alambre en forma de hélice, se ejercen esfuerzos residuales a la tensión en se superficie interna y ocurren esfuerzos residuales a la compresión en su superficie externa. Ninguno de estos esfuerzos residuales es benéfico y se suele eliminarlos por liberación de esfuerzos del resorte.

Asentamiento se introducen esfuerzos residuales beneficos mediante un proceso identificado por las fabricantes de manera confusa a la vez como “eliminacion de asentamiento” y “asentamiento del resorte”. El asentamiento suele incrementar la capacidad de carga estatica en 45-65% y doblar la capacidad de almacenamiento de energia del resorte por cada libra del material. El asentamiento se lleva a cabo comprimiendo el resorte a su altura de cierre y haciendo fluir el material, para introducir esfuerzos residuales beneficos. El resorte asentado pierde algo de longitud libre, pero obtiene los beneficios arriba decritos. Para tener las ventajas del asentamiento, la longitud libre inicial debe fabricarse mayor a la deseada y debera deseñarse para dar un esfuerzo a la altura de cierre de 10 a 30% superior al limite elastico del material. Menos de esta sobrecarga no creara un esfurzo

residual suficiente. Mas de 30% de sobre-esfuerzo agrega poco beneficio, incrementando la distorsiòn.

El esfuerzo permisible de un resorte que ha sido “asentado” es muy superior al de un resorte, como fue enrollado. Además, para calcular el esfuerzo en un resorte “asentado” se aplica la ecuación 13.8b con un factor Ks menor, en vez de la ecuación 13.9b dado que, para cargas estáticas, la fluencia durante el asentamiento libera la concentración de esfuerzos en la curvatura. El asentamiento llega a su valor máximo en resortes cargados estáticamente, pero tiene también valor para cargas cíclicas.

Inversión de carga. Asentados o no, los resortes en espiral llegan a tener algunos esfuerzos residuales. Por esta razón no es aceptable la aplicación de cargas invertidas. Suponiendo que se han organizado esfuerzos residuales para que resulten benéficos contra la dirección esperada de la carga, una carga invertida obviamente aumentara los esfuerzos residuales, causando una falla temprana. Un resorte a la compresión nunca deberá cargarse a la tensión, y un resorte a la tensión a la compresión.

Granallado. Es otra manera de obtener esfuerzos residuales beneficos en resortes, y es muy eficaz contra la carga ciclica en fatiga. Tien pocas ventajas para resortes con cargas estaticas. En el caso de los resortes de alambre, se suelen emplear diametros de granalla desde 0.008 in hasta 0.055 in. Los resortes de alambre muy pequeños mp se beneficiaran del granallado tanto como aquellos de alambre de diametro mayor.

Pandeo de los resortes de compresion

Un resorte de compresion se carga como una columna y se pandea si es demasiado esbelto. Se crea un factor similar de esbeltez como una razon de aspecto, de la lonngitud libre al diametro externo de la espira Lf/D. si este factor es >4, el resorte se puede pandear. Es posible evitar un pandeo exagerado mediante la colocación del resorte en una perforación o alrededor de una varilla. Sin embargo, el rozamiento de las espiras sobre estas guías enviará hacia tierra parte de la fuerza del resorte a través de la fricción, reduciendo la carga entregada en el extremo del resorte. De la misma manera que en las columnas sólidas, las limitaciones en los extremos del resorte afectarán su tendencia a pandear. Si uno de los extremos está libre para inclinarse, según se muestra en la Figura 13-l3a, el resorte se pandeará con una razón de aspecto más pequeña que si está sujeto en cada extremo entre placas paralelas, como se muestra en la Figura 13-13b.

La razón de la deflexión del resorte a su longitud libre también afecta su tendencia a pandear. La Figura 13-14 muestra un trazo de dos líneas, que ilustra la estabilidad de los dos casos de restricción de extremos que aparecen en la Figura 13-13. Aquellos resortes que tengan combinaciones de razón de aspecto a razón deflexión a la izquierda de estas líneas serán estables contra el pandeo.

Oscilación del resorte a la compresión

Cualquier dispositivo que tenga a la vez masa y elasticidad tendrá una o más frecuencias naturales, como fue visto en el Capítulo 9, en relación con las vibraciones en flechas. Los resortes no son excepción a esta regla, y vibran tanto lateral como longitudinalmente al ser excitados dinámicamente cerca de sus frecuencias naturales. Si se permite que entren en resonancia, las ondas de vibraciones longitudinales, llamadas oscilaciones, harán que las espiras golpeen una contra otra. Las importantes fuerzas provenientes tanto de las deflexiones excesivas de las espiras, como de los impactos, harán que el resorte falle. A fin de evitar esta situación, el resorte no deberá ser ciclado a una frecuencia cercana a su frecuencia natural. En teoría, la frecuencia natural del resorte deberá ser superior a 13 veces la correspondiente a cualquier frecuencia aplicada impuesta.

La frecuencia natural ωn, o lo que es lo mismo fn de un resorte helicoidal de compresión, depende de sus condiciones de frontera. La disposición más común y más deseable es mantener ambos extremos fijos, ya que su f será el doble al correspondiente a un resorte con un extremo fijo y otro libre. En el caso fijo-fijo:

ωn=π √ KgW a

radseg

f n=12 √ KgW a

Hz (13.11a)

donde k es la lasa de resorte, Wn es el peso de las espiras activas del resorte y g es la constante de la gravedad. Se puede expresar como una frecuencia angular ωn, o como una frecuencia lineal f. El peso de las espiras activas se determina a

partir de:

W a=π2d2DN a γ

4(13.11b)

donde γ es la densidad de peso del material. Para el peso total del resorte sustituya Na, en lugar de Na. Reemplazando las ecuaciones 13.7 y 13.lla en la ecuación 13.llb nos da

f n=2π Na

d

D2 √ ¿32 γ

Hz (13.11c )

para la frecuencia natural de un resorte helicoidal de espiras fijo-fijo. Si un extremo del resorte está fijo y el otro libre, actúa como un resorte fijo-fijo del doble de su longitud. Se determina su frecuencia natural mediante la ecuación 13.1 1 e un

número para Na que sea el doble del número real de espiras activas presentes en el resorte fijo-libre.

Resistencias permisibles para los resortes a la compresión

Hay disponible gran cantidad de datos de prueba sobre las resistencias a la falla de los resortes helicoidales de compresión de alambre redondo, tanto cargados estáticamente como dinámicamente. En la sección 13.3 se analizaron las relaciones de resistencia máxima a la tensión al diámetro del alambre. Para el diseño del resorte, se necesitan datos adicionales de resistencia para resistencias a la fatiga y límite elástico.

LÍMITE ELÁSTICO A LA TORSIÓN

Los límites elásticos a la torsión del alambre para el resorte varían en función del material, o si el resorte ha sido asentado o no. La Tabla 13-6 muestra factores recomendados de límites elásticos a la torsión, para varios alambres comunes para resorte, como un porcentaje de la resistencia máxima a la tensión del alambre. Estos factores deberán servir para determinar una resistencia para un resorte helicoidal de compresión con carga estática.

RESISTENCIA A LA FATIGA POR TORSIÓN

A lo largo de los 103≤N ≤105 ciclos varía según el material, dependiendo también si ha sido granallado o no. La Tabla 13-7 muestra valores recomendados de varios materiales de alambre en estado granallado o sin granallar, en tres puntos de sus diagramas S-N, 105, 106 y 107 ciclos. Advierta que se trata de resistencias a la fatiga por torsión y se determinan a partir de resortes de prueba cargados con iguales componentes medio y alternante de esfuerzos (razón de esfuerzo R = τmin,/τmax= 0). Por lo que no son directamente comparables con ninguna de las resistencias a la fatiga totalmente alternantes generadas a partir de los especímenes a flexión y en rotación analizadas en el Capítulo 6, debido tanto a la carga torsional como a la presencia de un componente de esfuerzo medio. Aplicaremos la designación Sfw. para estas resistencias a la fatiga del alambre, a fin de diferenciarlas de la resistencias a la fatiga totalmente alternantes del Capítulo 6. Esta resistencia a la fatiga es sin embargo muy útil en el hecho que representan una situación de carga a la fatiga del resorte actual (y típico) y se

generan a partir de muestras de resortes, y no de especímenes de prueba, por lo que tanto geometría como tamaño son correctos. Observe que las resistencias a la fatiga de la Tabla 13-7 van reduciéndose con números más elevados de ciclos, incluso por encima de 106 ciclos, donde los aceros por lo general despliegan un límite de resistencia a la fatiga.

LÍMITE DE RESISTENCIA A LA FATIGA POR TORSIÓN

El acero tiene un límite de resistencia a la fatiga para vida infinita. Los materiales de alta resistencia tienen tendencia a mostrar un “tope” en sus límites de resistencia a la fatiga, ante una resistencia máxima creciente. Las Figuras 6-9 y 6-11 muestran esa tendencia, y la ecuación 6.5 define un límite de resistencia a la fatiga por tensión, sin corregir para flexión totalmente alternante, en aceros con un Sut> 200 kpsi que se conserva constante con resistencias a la tensión crecientes por encima de este valor. Advierta en la Figura 13-3 que la mayor parte de los alambres de resorte menores de un diámetro de 10 mm aparecen al último en esta categoría de resistencia máxima. Esto implicaría que estos materiales para alambre de resorte deberán tener un límite de resistencia a la fatiga por torsión independiente del tamaño o de su panicular composición de aleación. Otras investigación es apoyan lo anterior. Zimmerli reporta que todo el alambre de acero para resorte de menos de 10 mm de diámetro muestra un límite de resistencia a la fatiga por torsión para vida infinita, con una razón de esfuerzo R = 0 (el cual, para diferenciarlo del límite de resistencia a la fatiga totalmente alternante, identificaremos como Sew.

Sew≅ 45.0kpsi (310MPa ) pararesortes sin granallar

Sew≅ 67.5kpsi (465MPa ) pararesortes granallados (13.12)

En este caso no es necesario aplicar factores de corrección superficiales de tamaño o de carga, para ya sea Sfw’ o Sew’, ya que los datos de prueba se desarrollaron con condiciones reales, para estos aspectos de los materiales del alambre. La Tabla 13-7 indica que los datos de resistencia a la fatiga se toman a temperatura ambiente, en entorno no corrosivo, sin oscilaciones presentes. Esto también es cierto en lo que se refiere a los datos de Zimmerli. Si el resorte va a operar a una temperatura elevada o en un entorno Corrosivo, es posible reducir la resistencia a la fatiga o el límite de resistencia a la fatiga según corresponda. Se puede aplicar una temperatura Ktemperatura y/o un factor de confiabilidad Kconfiabilidad Véase el Capítulo 6, ecuaciones 6.7f y 6.8. La Figura 6-30 da información en relación con entornos corrosivos. En nuestro análisis de aquí aplicaremos los valores sin corregir de en lugar de Sfw’ y Sew’ en lugar de Sew’, suponiendo temperatura ambiente sin corrosión y una confiabilidad del 50 por ciento.

Diagrama S-N de cortante por torsión del alambre para resorte

Se traza un diagrarna S-N de cortante a torsión para un material y un tamaño de alambre particular, de acuerdo con la información de las Tablas 13-4 y 13-7, según el método que se describe en la sección 6.6 para la creación de diagramas S-N estimados. La región de interés para fatiga por alto ciclaje es de N = 1 000 ciclos

hasta N = 1 E7 ciclos y más allá. En la ecuación 13.12 se define el límite de resistencia a la fatiga para vida infinita del alambre para resorte. La resistencia a la tensión Sm a 1 000 ciclos suele tomarse como 90% de la resistencia máxima Sut a 1 ciclo (resistencia estática). Dado que se trata de una situación de carga por torsión, las resistencias a la tensión del alambre que se muestran en la Figura 13-3, y que se definen mediante la ecuación 13.3 y la Tabla 13-4, deben convertirse a resistencias a la torsión mediante la ecuación 13.4. Esto hace que la resistencia a la torsión Sms a 1 000 ciclos sea igual a

Sms≅ 0.9 SUS≅ 0.9 (0.67 Sut )≅ 0.6 Sut(13.13)

El diagrama Goodman modificado para el alambre de resorte

Se traza un diagrama Goodman modificado para cualquier situación de carga del resorte. En la sección 6.13 del Capítulo 6 presentamos un procedimiento de tipo general para el diseño a la fatiga que implicaba encontrar los esfuerzos efectivos de Von Mises para cualquier caso combinado de carga, a fin de simplificar el procedimiento. Se hizo notar entonces que una situación de carga puramente a la torsión se resuelve de esa forma, convirtiendo los esfuerzos cortantes a esfuerzos Von Mises y comparándolos con las resistencias del material. Sin embargo, en el caso del diseño de un resorte helicoidal de compresión, tiene poco sentido recurrir al procedimiento Von Mises, porque las resistencias a la fatiga calculadas de manera empírica para el alambre se expresan como resistencias a la torsión. Por lo tanto resultará más sencillo trazar un diagrama Goodman de acuerdo con las resistencias a la torsión, y aplicando los esfuerzos torsionales calculados directamente al mismo. Los resultados serán los mismos, sin importar el procedimiento que se utilice.

DISEÑO DE RESORTES HELICOIDALES A LA COMPRESIÓN PARA CARGAS ESTÁTICAS

Los requisitos funcionales para un diseño de resorte llegan a ser bastantes diversos. Pudiera existir un requisito para una fuerza en particular a cierta deflexión o se define la tasa de resorte a un rango de deflexión. En algunos casos hay limitaciones de diámetro exterior, diámetro interior o longitud de trabajo. El procedimiento para el diseño variará dependiendo de estos requisitos. En cualquier caso, el diseño de resortes es en sí un problema iterativo. Deberán efectuarse ciertas suposiciones o hipótesis para establecer los valores de suficientes variables a fin de calcular esfuerzos, deflexiones y tasa de resorte. Dado que en las ecuaciones de esfuerzo y de deflexiones el tamaño del alambre aparece a la tercera o cuarta potencia, y en vista que la resistencia del material depende del tamaño del alambre, la seguridad del diseño se torna muy sensible a este parámetro.

Es posible recurrir a muchos procedimientos para el diseño de un resorte y más de una combinación de parámetros de resortes llegan a satisfacer cualquier conjunto de requisitos funcionales. Es posible optimar parámetros como el peso del resorte

para un conjunto dado de especificaciones de rendimiento. A fin de minimizar peso y costo, los niveles de esfuerzos deberán diseñarse tan elevados como posible, sin causar fluencia estática durante el servicio. Deberá suponerse un diámetro de alambre de prueba d y un índice razonable de resorte C a partir de los cuales se calcula el diámetro de la espira D con la ecuación 13.5. Se escogerá un material de prueba para el resorte y se calcularán las resistencias importantes del material para el diámetro del alambre de prueba. Resulta conveniente calcular el esfuerzo antes de calcular la deflexión dado que, aunque ambos implican d y D, sólo la deflexión depende de Na. Si está definida una fuerza requerida F, el esfuerzo a esa fuerza se calcula con la ecuación 13.8 o 13.9, según resulte apropiado. Si se definen dos fuerzas de operación con una deflexión especificada entre ambas, ellas definirán la tasa de resorte. El estado del esfuerzo se compara con el límite elástico para cargas estáticas. El factor de seguridad para una carga estática es

N s=S ysτ

(13.14)

Si el esfuerzo calculado resulta demasiado elevado en comparación con la resistencia del material, para mejorar el resultado se modifica el diámetro, la tasa de resorte o el material del alambre. Cuando parezcan razonables los esfuerzos calculados y la fuerza requerida de operación, en comparación con la resistencia del material, es posible suponer un número de espiras y de holgura de golpeo de prueba, y efectuar cálculos pos- tenores para la tasa de resorte o la deflexión y la longitud libre usando las ecuaciones 13.6 y 13.7. Valores fuera de lo razonable de cualquiera de estos parámetros requerirá una iteración adicional con hipótesis modificadas. Después de varias iteraciones, por lo general se podrá encontrar una combinación razonable de parámetros. Algunas de las cosas que necesitan verificarse antes de pensar que el diseño está completo será el esfuerzo a la altura de cierre, el Di, el Do,, y la longitud libre de la espira, respecto a consideraciones volumétricas. Además, es necesario verificar la posibilidad de pandeo.

Si todo el proceso arriba mencionado parece complicado, el lector apreciará el valor que tiene una computadora para hacer todo el “trabajo sucio”. El diseño de resort es, como cualquier procedimiento de diseño iterativo, es tarea obvia para una solución por computadora. Los solucionadores de ecuaciones que permiten una iteración automática están muy bien adecuados para este tipo de tareas, ya que resuelven todos los aspectos de manera simultánea. Ahora presentaremos algunos ejemplos de problemas de diseño de resortes, y mostraremos cómo se utiliza un solucionador de ecuaciones para expeditar sus soluciones.

13.6 DISEÑO DE RESORTES HELICOIDALES A LA COMPRESIÓN PARA CARGAS A LA FATIGA

Cuando las cargas del resorte son dinámicas (que varían con el tiempo), hay en el resorte una situación de esfuerzo por fatiga. El proceso de diseño para la carga dinámica es similar al de la carga estática, con algunas diferencias importantes. Un resorte cargado dinámicamente operará en dos niveles de fuerzas, Fmjn y Fmax. Para estos valores, los componentes de fuerza alternante y medio se calculan a partir de

Fa=Fmax−Fmin

2

Fm=Fmax+Fmin

2(13.15a)

También se define una razón de fuerzas RF de la forma:

RF=FminFmax

(13.15b)

En los casos más comunes de carga de resortes tanto Fmin como Fmax son positivos, estando la razón de fuerzas alrededor de 0 <RF < 0.8. Según fue

descrito en un análisis anterior de esfuerzos residuales, deben evitarse cargas bidireccionales en los resortes helicoidales, ya que ello causa una falla temprana. El procedimiento de diseño a la fatiga es en esencia como se muestra en la sección anterior respecto a la carga estática. Sigue siendo un problema iterativo. Deberá suponerse un diámetro de alambre de prueba d y escogerse un índice del resorte razonable C, a partir del cual se calcule el diámetro de la espira D, mediante la ecuación 13.5. Se escogerá un material de prueba para el resorte y se calcularán las resistencias de importancia del material a partir del diámetro del alambre de prueba. La resistencia máxima al cortante, el límite elástico al cortante y el límite de resistencia a la fatiga (o a la resistencia a la fatiga en cierto número de ciclos) todos ellos son necesarios. El enunciado del problema por lo general contiene suficiente información para estimar el número de ciclos de vida requeridos. Para cargas dinámicas, los esfuerzos alternante y medio se calculan por separado (mediante Fmjn y Fmax de la ecuación 13.1 5a).

Las cargas unidirecciona1s, que también se conocen como cargas fluctuantes o repetidas del Capítulo 6, tienen un esfuerzo medio distinto de cero y, por lo tanto, requieren un análisis de falta por diagrama de Goodman. En vista que todos los esfuerzos significativos en este resorte son esfuerzos cortantes a la torsión y la mayor parte de los datos de resistencia de los materiales de alambre para resorte son para cargas a la torsión, aplicaremos el diagrama Goodman a la torsión, como se analizó anteriormente. El diagrama Goodman modificado se construye según se muestra en las Figuras 13-16 y 13-17 definiendo la resistencia a la fatiga del alambre a la torsión Sfw la resistencia a la fatiga del alambre Sew a lo largo de una línea a 45° con el origen para representar los datos de prueba generados en RF =0. La Figura 13-17 maneja el valor del límite de resistencia a la fatiga del alambre a la torsión S. para vida infinita de alambre de acero granallado, en combinación con la resistencia máxima a la torsión Sus, para crear la línea Goodman a la torsión.

La línea de carga que representa el estado de esfuerzos aplicado, en este caso no se dibuja a partir del origen, sino más bien a partir de un punto sobre el eje τm que representa el esfuerzo inicial τi en las espiras durante el ensamble, según se muestra en la Figura 13-17. Esto supone que se aplica cierta precarga al resorte, lo que es por lo general el caso. No deseamos que Fmin = 0 en una situación de carga dinámica, ya que esto creará cargas por impacto sobre las espiras (véase la sección 3.8). Si Fmin = 0 la línea de carga se iniciaría en el origen. El factor de seguridad para la fatiga por torsión Nfs se puede expresar como la razón de la resistencia alternante Sa en la intersección de la línea de carga y de la línea Goodman (punto D) con el esfuerzo alternante aplicado τa en el punto E.

N fs=Sa/τa(13.16 a)

Esta razón se deduce de la geometría de ambas líneas. Hagamos que x represente la variable independiente sobre el eje de los esfuerzos medios, que m represente la pendiente de una línea y b su intersección sobre el eje de las y. Hagamos que el valor de la línea de carga para cualquier x sea ycarga. La ecuación de la línea de carga será

ycarga=mcargax+bcarga

De la geometría

mcarga=τ a

τm−τ iybcarga=−mcarga τ i

ycarga=τa

τm−τ i(x−τ i) (a)

Hagamos que el valor sobre la línea Goodman para cualquier x sea yGood. Entonces su ecuación será;

yGood=mGood x+bGood

De la geometría

mGood=−SesSus

ybGood=Ses

yGood=−SesSus

x+Ses=Ses(1− xSus )(b)

En el punto de falla, ycarga = yGood. Igualando (a) y (b) y resolviendo en función de x nos da

Ses (1− xSus )=

τaτm−τ i

(x−τ i )

x=Sus [Ses (τ i−τm )−τa τ i ]Ses ( τ i−τm )−Sus τa

(c )

Sustituyendo (b) en la ecuación 13.16a:

N fs=Saτ a

=yGoodτa

=mGood x+Sse

τa(d )

Sustituyendo (c) en (d) y simplifique para obtener el factor de seguridad como sigue

N fs=Ses (Sus−τ i )

Ses ( τm−τ i )+Sus τa(13.16b)

Donde el límite de resistencia a la fatiga totalmente alternante (punto C) del ejemplo 13-3 es

Ses=0.707SewSus

Sus−0.707 Sew(13.16c )

Este procedimiento supone que la precarga inicial no variará de manera significativa a lo largo de la vida de la pieza y también que cualquier incremento en la carga será tal que mantendrá una relación constante entre los componentes alternante y medio de los esfuerzos. Éste corresponde al caso 3 de la sección 6.11. De no ser así la situación, entonces deberá aplicarse en alguno de los demás pasos de la sección 6.11 para determinar el factor de seguridad. Deberá seguirse tomando en consideración el esfuerzo de la carga y de la precarga inicial, y éste varía bajo las condiciones de servicio. Si el factor de seguridad es demasiado bajo, es posible modificar el diámetro del alambre, la tasa de resorte o el material, a fin de mejorar resultados. Cuando el factor de seguridad por fatiga sea aceptable, es posible suponer un número de espiras de prueba y una holgura de golpeo y se pueden efectuar cálculos adicionales para la tasa de resorte, la deflexión y la longitud libre, mediante las ecuaciones 13.6 y 13.7. Valores no razonables de cualquiera de estos parámetros requerirán de iteración adicional, cambiando las hipótesis.

Después de varias iteraciones, por lo general se encontrará una combinación de parámetros razonable. Alguna de las cosas que necesitan verificarse, antes de considerar completo el diseño será el esfuerzo a la altura de cierre, en comparación con el esfuerzo de fluencia, y el Di, D0 y la longitud libre de la espira respecto a consideraciones de espacio. Además, debe verificarse la posibilidad de pandeo, y en el caso de cargas dinámicas, deberá compararse la frecuencia natural de resorte con cualquier frecuencia impuesta o forzada del sistema, para salvaguardarse contra oscilaciones.

El diseño de resortes para cargas por fatiga se beneficia de manera importante por soluciones por computadora. Los solucionadores de ecuaciones que permiten una iteración automática están del todo adecuados a este tipo de tareas, ya que

resuelven todos los aspectos del problema de manera simultánea. Presentaremos ahora un ejemplo de un diseño de resorte para carga a la fatiga.

13.7 RESORTES HELICOIDALES A LA EXTENSIÓN

Los resortes helicoidales a la extensión son similares a los resortes helicoidales a la compresión, pero se cargan a la tensión, según se observa en la Figura 13-2b. La Figura 13-20 muestra las dimensiones de importancia de cualquier resorte a la extensión. Se incluyen ganchos u orejas para permitir que se aplique una fuerza de extensión. La figura muestra una oreja y un gancho estándar, pero son posibles muchas variantes. Los extremos estándar se forman doblando la última espira a 90° en relación con el cuerpo de la espira. Los ganchos y los aros u orejas suelen estar esforzados de manera más severa que el cuerpo de las espiras, y esto pudiera limitar la seguridad del diseño. En resortes de extensión no se efectúa asentamiento de espiras y el granallado no es práctico, ya que las bobinas enrolladas de manera muy apretada se protegen unas a las otras de la granalla.

Espiras activas en resortes de extensión

Todas las espiras en el cuerpo se consideran como espiras activas, pero, para obtener la longitud de cuerpo Lb, se suele agregar una espira al numero de espiras activas.

N t=Na+1(13.18)

Lb=d N t (13.19)

La longitud libre se mide desde el interior de una oreja (o gancho de extremo) hasta la otra, y al variar puede modificar la configuración de los extremos, sin cambiar el número de espiras.

Tasa de resorte de los resortes de extensión

Las espiras de los resortes de extensión están enrolladas de manera muy apretada, y el alambre es retorcido al mismo tiempo que enrollado, creando una precarga en las espiras que debe ser vencida para separarlas. La Figura 13-21 muestra una curva típica de carga de flexión para un resorte helicoidal de extensión. La tasa de resorte k es lineal, excepto en su porción inicial. La precarga Fi se mide extrapolando la porción lineal de la curva de regreso al eje de las fuerzas. La tasa de resorte se expresa de la forma

k=F−F iy

= d 4G8D3Na

(13.20)

Advierta que no ocurrirá deflexión hasta que la fuerza aplicada exceda a la fuerza de precarga Fi incorporada en el resorte.

Índice del resorte de los resortes de extensión

El índice del resorte se determina a partir de la ecuación 13.5 y deberá ser mantenido en el mismo rango de entre 4 a 12, como se recomienda en el caso de los resortes de compresión.

Precarga de las espiras de los resortes de compresión

La precarga Fi se llega a controlar hasta cierto punto en el proceso de manufactura, y deberá diseñarse para mantener el esfuerzo inicial de la espira dentro del rango preferido que se muestra en la Figura l3-22. Esta figura muestra rangos deseados para el esfuerzo inicial de la espira como una función del índice del resorte. Valores por fuera del rango son posibles pero difíciles de fabricar. Se han ajustado funciones cúbicas a las curvas de la Figura 13-22 a fin de permitir su

uso en un programa de cómputo. Las expresiones cúbicas aproximadas aparecen en la figura y son

τ i≅−4.23C3+181.5C2−3387C+28640 (13.21a )

τ i≅−2.987C3+139.7C2−3427C+38404 (13.21b )

Donde τi esta en psi. El promedio de los dos valores calculados de estas funciones se toman como un valor bueno de inicio para el esfuerzo inicial de la espira.

Deflexión de los resortes de extensión

La deflexión de las espiras se determina a partir de la misma ecuación aplicada para un resorte de compresión con una modificación para la precarga.

y=8 (F−F i )D3 Na

d4G(13.22)

Esfuerzos en las espiras de los resortes de extensión

Los esfuerzos en las espiras se determinan partiendo las mismas fórmulas que se aplicaron para los resortes de compresión. Véanse las ecuaciones 13.8 y 139. Los factores Ks y Kw se aplican como antes.

Esfuerzos en los extremos de los resortes de extensión

Los ganchos o aros estándar tienen dos posiciones de elevado esfuerzo, según se observa en la Figura 13-23. El esfuerzo torsional máximo ocurre en el punto B, donde el radio de curvatura es el menor. También hay un esfuerzo a flexión en el gancho o en el aro en el punto A dado que el extremo está cargado como una viga curva. Wahl también define un factor de concentración de esfuerzos Kb para flexión en un alambre curvo.

El esfuerzo a flexión en el punto A se determina a partir de

σ A=K b16DF

π d3+ 4 Fπ d2

(13.23a)

Donde

Kb=4C1

2−C1−14C1 (C1−1 )

(13.23b)

Y

C1=2 R1d

(13.23c)

R1 es el radio medio del aro, según se observa en la figura 13-23. Advierta que para un extremo estándar, el radio medio del aro es el mismo que el radio de la espira.

El esfuerzo a la torsión en el punto B se determina a partir de:

τ B=K w28DF

π d3(13.24 a)

Donde

Kw 2=4C2−14C2−4

(13.24 b)

Y

C2=2 R2d

(13.24 c )

R2 es el radio de doblez lateral, según se observa en la figura 13-23. C2 debe ser superior a 4.

Oscilaciones en los resortes de extensión

La frecuencia natural de un resorte helicoidal de extensión con ambos extremos fijos, contra una deflexión axial, es la misma que el de un resorte helicoidal de compresión.

f n=2π Na

d

D2 √ ¿23 γ

Hz(13.23)

Resistencias del material para resortes de extensión

Se utilizan los mismos materiales de alambre tanto para resortes de extensión como de compresión. Algunos de los datos de resistencia para resortes de compresión son aplicables también a los resortes de extensión. La Tabla 13-10 muestra algunas resistencias recomendadas para la fluencia estática del cuerpo de las espiras y de los extremos tanto a la tensión como a flexión. Advierta que la resistencia a torsión del alambre es la misma que la de los resortes de compresión de las Tablas 13-6 y 13-7. La Tabla 13-1 1 muestra resistencia a la fatiga recomendadas para dos materiales para varios ciclos de vida, dando datos por separado para las espiras del cuerpo y de los extremos. Los límites de resistencia a la fatiga de la ecuación 13.12 son válidos para los resortes de extensión y deben convertirse a valores totalmente alternantes, aplicando la ecuación 13.1 6c para emplearlos en la expresión del factor de seguridad de la línea de Goodman de la ecuación 13.1 6b.

Diseño de resortes helicoidales de extensión

El procedimiento de diseño de los resortes de extensión es en esencia el mismo

que los resortes de compresión con la complicación adicional de los detalles de los extremos.

Deben hacerse suposiciones para tener suficientes parámetros de diseño que permitan un cálculo de prueba. Los valores supuestos se ajustan con base en el resultado y el diseño se hará mediante una iteración hacia una solución aceptable.

A menudo resulta práctico en problemas de diseño de resortes de extensión suponer un índice del resorte y un diámetro de alambre como se hizo en los resortes de compresión. El diámetro medio de espiras se determina entonces a partir de la ecuación 13.5. El índice supuesto de resorte se aplica con las ecuaciones 13.2 1 para obtener un esfuerzo inicial de enrollado de la espira. Con este valor de esfuerzo inicial, se calcula la precarga F1 de la espira a partir de la ecuación de esfuerzos 13.8. A continuación se determinan los esfuerzos en las espiras y en los esfuerzos en los extremos y efectuar los ajustes apropiados a los valores supuestos a fin de obtener el factor de seguridad aceptable.

La deflexión o el número de espiras se determinan a partir de la ecuación 13.22 manteniendo el otro o supuesto o especificado. Entonces se halla la tasa del resorte mediante la fuerza máxima de diseño y la precarga combinadas con la deflexión supuesta calculada mediante la ecuación 13.20. El pandeo no es un problema en los resortes de extensión, pero la frecuencia natural deberá compararse con la frecuencia impuesta en situaciones dinámicas.

Los factores de seguridad se determinan a partir de las ecuaciones 13.14 y 13.16 teniendo cuidado de manejar la resistencia de material apropiada para la torsión en las espiras y para flexión o al cortante en los extremos. Es necesario un análisis de línea Goodman para resortes cargados cíclicamente, mismo que está encapsulado en la ecuación 13.16. Es necesario un análisis por fatiga para los extremos así como para las espiras. Advierta que para los esfuerzos a flexión, el límite de resistencia a la fatiga por tensión y los límites elásticos a la tensión serán necesarios. Se aplica la razón de Von Mises entre la torsión y la tensión para convertir los datos disponibles de fatiga por torsión a resistencia a la tensión. Divida los datos a la tensión entre 0.577 para obtener resistencias a tensión.

13.8 RESORTES HELICOIDALES A LA TORSIÓN

Un resorte de espiras helicoidales se carga a torsión en vez de a compresión y a tensión; entonces se conoce como un resorte de torsión. Los extremos de las espiras se extienden de manera tangencial, para servir de brazos de palanca sobre los cuales aplicar la carga del momento de fuerzas, según se muestra en la Figura 13-25. Estos extremos de espira llegan a tener una diversidad de formas, para adecuarse a cada aplicación. Por lo general las espiras son enrolladas de manera apretada como un resorte de extensión, pero no tienen ninguna tensión inicial. Las espiras también se pueden enrollar con espaciado igual que un resorte de compresión y esto evitaría fricción entre espiras. Sin embargo la mayor parte de los resortes de torsión son enrollados de manera apretada.

El momento aplicado sobre las espiras coloca al alambre a flexión como una viga curva como se observa en la Figura 13-26. El momento aplicado deberá siempre disponerse de manera que las espiras se cierren, en vez de abrirlas, ya que los esfuerzos residuales provenientes del enrollado de espiras es favorable contra un momento de cierre. El momento aplicado jamás deberá ser invertido durante el servicio. La carga dinámica deberá ser repetida o fluctuante con una razón de esfuerzos R ≥0.

Para absorber las fuerzas de reacción debe preverse un soporte radial en tres o más puntos alrededor del diámetro de las espiras. Este soporte por lo general se consigue mediante una varilla colocada en el interior de la espira. La varilla no debe ser mayor en su diámetro de más o menos 90% del diámetro interior más pequeño de las espiras cuando estén “bajo carga”, a fin de evitar que se traben.

Las especificaciones de fabricación de un resorte de torsión deben definir los parámetros que se indican en la Figura 13-26 así como el diámetro del alambre, el diámetro exterior de la espira, el número de espiras y el índice del resorte. La carga deber á definirse en un ángulo a entre los extremos tangentes en la posición cargada en vez de como una deflexión a partir de la posición libre.

Dado que la carga es a flexión, el alambre rectangular es más eficiente en términos de rigidez por volumen unitario (un I más elevado para las mismas dimensiones). Sin embargo, la mayor parte de los resortes de torsión helicoidales se fabrican con alambre redondo, en razón de su menor costo y de la mayor variedad de tamaños y material es disponibles.

Terminología para los resortes de torsión

Los siguientes parámetros tienen el mismo significado para los resortes de torsión

que para los resortes helicoidales de compresión: diámetro medio de la espira D,

diámetro del alambre d, índice del resorte C, diámetro exterior D0, diámetro interior D1 y número de espiras activas Na. La tasa de resorte k se expresa como un momento por unidad de deflexión angular.

Número de espiras en los resortes de torsión

Las espiras activas son iguales al número de vueltas en el cuerpo Nb además de alguna contribución correspondiente de las extremidades, que también se flexiona. En el caso de extremos rectos, la contribución se expresa como un número equivalente de espiras Ne:

N e=L1+L23πD

(13.26a)

Donde L1 y L2 son las longitudes respectivas de los extremos tangentes de la espira. E numero de espiras activas es entonces

Na=Nb+N e (13.26b)

Donde Nb es el número de espiras en el cuerpo del resorte.

Deflexión de los resortes de torsión La deflexión angular en el extremo de la espira se suele expresar en radianes, pero a menudo se convierte a revoluciones. Utilizaremos revoluciones. Dado que se trata de una viga a flexión, la deflexión (angular) se expresa de la forma

θrev=12πθ rad=

12π

M LwEI

(13.27a)

donde M es el momento aplicado, Lw es la longitud de alambre, E es el módulo de Young para el material, e I es el segundo momento de área de la sección

transversal del alambre con relación al eje neutro. Para resortes de torsión de alambre redondo, podemos reemplazar la geometría

apropiada a fin de obtener

θrev=M LwEI

= 12π

M (πD Na )E (πd4/64 )

= 642π

MD Na

d4E(13.27b)

θrev≅ 10.2MDNa

d4E

El factor 10.2 por lo general se aumenta hasta 10.8 para tomar en consideración la fricción entre espiras, con base en la experiencia, convirtiéndose en la ecuación

θrev≅ 10.8MDMDN a

d4 E(13.27 c )

Tasa de resorte de los resortes de torsión

La tasa de resorte se podrá siempre obtener a partir de la formula de deflexión.

k= Mθ rev

≅ d2 E10.8D Na

(13.28)

Cierre de espiras

Cuando el resorte de torsión se carga para cerrar las espiras, el diámetro de la espira se reduce y su longitud se incrementa al “darle cuerda” a la espira. El diámetro interior mínimo de la espira a deflexión completa es

Dimin=DN b

Nb+θ rev−d (13.29)

donde D es el diámetro medio de la espira sin cargar. Cualquier espira sobre la cual funcione la espira deberá estar limitada a 90% de este diámetro interior mínimo. La longitud máxima del cuerpo de espiras a “plena carga” es:

Lmax=d (Nb+1+θ )(13.30)

Esfuerzos en las espiras de los resortes de torsión

Los esfuerzos en la fibra exterior de una viga recta son M c/I, pero como se trata de una viga curva, y aprendimos en la sección 4.10 que los esfuerzos se concentran en el interior de una viga curva. WahP31 dedujo el factor de concentración de esfuerzos para el interior de un alambre redondo enrollado a flexión de la forma

Kbi=4C2−C−14C (C−1)

(13.31a)

Y en la parte exterior de la espira

Kbo=4C2+C−14C (C+1)

(13.31b)

Donde C es el índice del resorte.

El esfuerzo máximo a flexión por compresión el diámetro interior de la espira de un resorte helicoidal de torsión de alambre redondo es entonces

σ imax=Kbi

MmaxcI

=Kbi

Mmax( d2 )π d4

64

=Kbi

32Mmax

π d3(13.32a)

Y los componentes de esfuerzo a flexión por tensión en el diámetro de la espira son

σ 0min=K b0

32Mmin

π d3;σ 0max=K b0

32Mmax

π d3(13.32b)

σ 0medio=σ0max+σ 0min

2; σ0alt=

σ 0max+σ0min2

(13.32c)

Advierta que para la falla estática (fluencia) de un resorte de torsión cargado para que sus espiras se cierren, lo que tiene mayor importancia es el esfuerzo a la compresión de magnitud más elevada σlmax en el interior de la espiga, pero en el caso de la falla por fatiga, es un fenómeno de esfuerzo a la tensión, la preocupación corresponde al esfuerzo máximo a la tensión ligeramente inferior de la parte exterior de las espiras. Por lo tanto los componentes alternante y medio de esfuerzos se calculan en la parte exterior de la espira. Si el resorte ha sido cargado para abrir las espiras (lo que no es recomendado), deberá ser liberado de esfuerzos a fin de eliminar los esfuerzos residuales debidos al enrollado y entonces deberá recurrirse al esfuerzo interior de la espira para calcular los componentes para el cálculo del factor de seguridad a la fatiga.

Parámetros del material para resortes de torsión

En este caso, lo que se necesita, son límites elásticos y límites de resistencia a la fatiga por flexión. La Tabla 13-13 muestra límites elásticos sugeridos para varios materiales para alambre como un porcentaje de su resistencia máxima a la tensión. Advierta que esfuerzos residuales favorables permiten que se utilice la resistencia máxima del material como un criterio de fluencia en algunos casos. La Tabla 13-14 muestra porcentajes de flexión, fatiga, resistencia para varios alambres a 105 y 106 ciclos tanto granallados como no granallados. Las mismas limitaciones sobre un granallado eficaz son aplicables a los resortes de torsión enrollados muy de manera muy apretada que se aplica a los resortes de extensión, ya que las espiras apretadas impiden que la granalla impacte el diámetro interior de la espira. El granallado pudiera no ser efectivo en muchos resortes de torsión.

Los datos de límite de resistencia a la fatiga por torsión de resortes helicoidales de compresión mostrados en la ecuación 13.12 pueden adaptarse para flexión, de acuerdo con la razón de Von Mises entre cargas de torsión y de tensión.

Sewb ≅Sew0.577

(13.33a)

Que da

Sewb ≅450.577

=78kpsi (537MPa ) para resortes singranallar

Sewb ≅67.50.577

=117 kpsi (806MPa ) pararesortes granallados (13.33b)

Factores de seguridad para resortes de torsión

Se espera la falla por fluencia en la superficie interior de la espira, y el factor de seguridad se determina a partir de

N y=S yσ imax

(13.34 a)

Advierta que los datos disponibles de fatiga y de resistencia a la fatiga son para una situación de esfuerzo repetido (iguales componentes medio y alternante) y por lo tanto deberán ser convertidos a valores totalmente alternantes, antes de calcular el factor de seguridad a la fatiga mediante las ecuaciones 13.16. Dado que la notación a flexión es un tanto distinta, repetiremos las ecuaciones 13.16 aquí con las sustituciones apropiad as de variables para el caso del resorte de torsión.

N fb=Se (Sut−σomin )

Se (σ0medio−σomin)+Sut σ0alt(13.34b)

Se=0.707Sewb Sut

Sut−0.707Sewb(13.34 c)

Diseño de los resortes helicoidales de torsión

El proceso para el diseño de los resortes helicoidales de torsión es muy similar al correspondiente a los resortes helicoidales de compresión. La mejor manera para ilustrarlo es mediante un ejemplo.

13.9 ROLDANAS DE RESORTE BELLEVILLE

Las arandelas o roldanas de resorte Belleville, patentadas en Francia por 3. F. Belleville en 1867, tienen una característica fuerza-deflexión no lineal, que las hace muy útiles en ciertas aplicaciones. En la Figura 13-28 aparece una selección de roldanas de resorte Belleville comerciales. Su sección transversal tiene una

forma cónica con un espesor de material t y una altura interior de cono h, según se observa en la Figura 13-29. Son en extremo compactas y son capaces de grandes fuerzas de empuje, pero sus deflexiones son limitadas. Si se colocan sobre una superficie plana, su deflexión máxima es h, lo que las coloca en una situación “plana” y deberán emplearse sólo entre 15 y 85% de la deflexión para llegar a plana.

Mostraremos después como es posible flexionarlas más allá de la posición plana para obtener algunos efectos interesantes. Estos resortes son prácticos cuando se requieren cargas elevadas, con deflexiones pequeñas en espacios compactos, como en las espigas separadoras de troqueles para metal laminado, en los mecanismos de rebote de armas de fuego, etcétera. En su forma de cero tasa de resorte (fuerza constante), sirven para cargar embragues y sellos, que necesitan una carga uniforme con una pequeña deflexión.

La razón de D0 a Di, identificada como Rd, afecta a su comportamiento. Aun a Rd = 2 el resorte tiene una capacidad máxima de almacenamiento de energía. Dependiendo de la razón h/t, la tasa de resorte puede ser en esencia lineal, incrementarse o reducirse con deflexiones crecientes, o quedar más o menos constante en un tramo de la deflexión.

La Figura 13-30 muestra las curvas fuerza deflexión de roldanas Belleville con relaciones h/t que van desde 0.4 hasta 2.8. Estas curvas están normalizadas en ambos ejes en relación con el estado del resorte al estar comprimido totalmente en plano. La deflexión y fuerza cero se toma en la posición libre según se observa

en la Figura 13-29. Una deflexión del 100% representa la condición plana, y una fuerza del 100% representa la fuerza de ese resorte en condición plana. Los valores absolutos de fuerzas y de deflexión variarán en función de la razón h/t, del espesor t y del material.

En h/t = 0.4, la tasa de resorte es cerca de lineal y se parece a la curva de un resorte helicoidal. Conforme se incrementa h/t por encima de 0.4, la tasa se hace más alineal, y a h/t = 1.414, la curva tiene una torsión de un valor casi constante, centrada alrededor de la posición plana. Su fuerza se desvía en menos de ±1 % del valor de fuerza a una deflexión de 100% sobre el rango del 80 al 120% de deflexión a piano y está dentro de un ±10% sobre del 55 al 145% de deflexión a plano, según se observa en la Figura 13-31.

A relaciones h/t por encima de 1.414, la curva se convierte en bimodal. Una fuerza aplicada dada corresponde a más de una posible deflexión. Si se monta este tipo de resortes para permitir que vaya más allá de la condición plana, según se observa en la Figura 13-32, será biestable, requiriendo una fuerza en cualquiera de las direcciones para hacerlo disparar más allá del centro. La técnica de montaje que se muestra en la Figura 13-32 también resulta útil para resortes de relaciones h/t menores, ya que permite dos veces la deflexión potencial y llega a abarcar la totalidad de la sección de fuerza constante de un resorte de razón h/t 1.414.

Función carga deflexión de las roldanas Belleville

La relación carga-deflexión no es lineal, por lo que no podemos enunciarla como una tasa de resorte. Se calcula a partir de

F= 4 Ey

K1D02 (1−v2 ) [(h− y)(h− y

2 ) t+t 3](13.35a)Donde

K1=6

π lnRd [ (Rd−1 )2

Rd2 −1] y Rd=D 0

D i

(13.35b)

La carga en la posición plana (y=h) es

F plana=4 Eht3

K 1D02 (1−v2 )

(13.35c )

Las curvas en la figura 13-30 fueron generadas mediante estas ecuaciones.

Esfuerzos en la roldana Belleville

Los esfuerzos no están distribuidos de manera uniforme en la roldana, sino que están concentrados en los bordes de los diámetros interior y exterior, según se

observa en la Figura 13-33. El esfuerzo más grande σc ocurre en el radio inferior del lado convexo y es a la compresión. Los bordes del lado cóncavo tienen esfuerzos a la tensión, siendo el esfuerzo del borde exterior σt0 por lo general más elevado que el esfuerzo del borde interior σti. Las expresiones para los esfuerzos en las posiciones definidas en la Figura 13-33 son

σ c=−4 Ey

K1D02 (1−v2 ) [K2(h− y

2 )+K3 t](13.36 a)σ ti=

4 Ey

K1D02 (1−v2 ) [−K2(h− y

2 )+K3 t](13.36b)σ t0=

4 Ey

K1D 02 (1−v2 ) [K 4(h− y

2 )+K5 t](13.36c)Donde

K2=6

π lnRd [ Rd−1lnRd−1] y Rd=D 0

Di

(13.36d )

K3=6

π ln Rd [ Rd−12 ](13.36 e)

K4=[ Rd ln Rd−(Rd−1 )ln Rd ] [ Rd

(Rd−1 )2 ](13.36 f )K5=

Rd2 (Rd−1 )

(13.36 g)

Carga estática de roldanas Belleville

El esfuerzo a la compresión σc por lo general es el que controla el diseño en cargas estáticas, pero dado que el esfuerzo está muy concentrado en los bordes, ocurrirá fluencia local para su alivio y el esfuerzo en todo el resorte será menor. Dado que el σc local es más elevado que el esfuerzo promedio, se puede comparar con un valor de resistencia superior a la resistencia máxima a la compresión Suc. Dado que para los resortes suelen utilizarse materiales uniformes, Suc = Sut. La Tabla 13-15 muestra algunos porcentajes recomendados de Sut, para

comparación con a, en carga estática. Reconozca que en general el material no resiste estos niveles de esfuerzo. Son sólo una manera de predecir la falla en base del esfuerzo localizado σc. El asentamiento (la eliminación del asentamiento) se aplica para introducir esfuerzos residuales favorables, y el esfuerzo permisible se incrementa de manera sustancial, según se aprecia en la Tabla 13-15.

Carga dinámica

Si el resorte está cargado dinámicamente, los esfuerzos máximo y mínimo a la tensión σti y σt0, en los extremos de su rango de deflexión deberán calcularse a partir de las ecuaciones 13.36 y determinarse a partir de esto los componentes alternante y medio. A continuación se lleva a cabo un análisis del diagrama

Goodman y se determina el factor de seguridad a partir de la ecuación 13.34a. Se determina el límite de resistencia a la fatiga del material según los métodos del Capítulo 6. Se puede aplicar el granallado para incrementar la vida a la fatiga.

Resortes apilados

La deflexión máxima de un resorte Belleville tiene tendencia a ser pequeño. A fin de obtener más deflexión, se apilan en serie según se muestra en la Figura 1 3-35b. La fuerza total será la misma que para un solo resorte, pero se agregarán o sumarán las deflexiones. También se pueden apilar en paralelo, como se muestra en la Figura 13-35a, en cuyo caso la deflexión total será la misma que en un solo resorte, pero se sumarán las fuerzas. También son posibles combinaciones en serie y paralelo. Observe sin embargo, que las pilas serie o serie-paralelo son inherentemente inestables, y deben ser guiadas sobre una espiga o en una perforación, en cuyo caso, la fricción reducirá la carga permisible. La fricción entre hojas también suele ser importante en pilas en paralelo.

Diseño de los resortes Belleville

El diseño de los resortes Belleville requiere de iteración. Deberán escogerse valores de prueba de la relación de diámetros Rd y de la razón h/t. El tipo de la curva de deflexión fuerza deseada sugerirá una razón apropiada h/t (véase la Figura 13-30). Si se especif ica una fuerza o un rango de fuerzas, la deflexión asociada se calcula a partir de las ecuaciones 13.35 una vez que se supongan un diámetro exterior y un espesor. Es posible estimar el espesor requerido para tener una fuerza específica en la posición plana a partir de

t=4√ F plano

132.4

D02

h/ t¿

t= 110

4√ F p l ano

132.4

D 02

h / t(13.37 si)

Este valor, en combinación con otros valores supuestos se maneja en las ecuaciones 13.35 y 13.36 para determinar las deflexiones y esfuerzos. La mejor forma de ilustrar este proceso es mediante un ejemplo.