capitulo 15 spanish
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15.
EL ANLISIS DINMICO UTILIZANDO CARGAS
SSMICAS DEL ESPECTRO DE RESPUESTA
Antes de que Existieran las Computadoras Personales
De Costo Accesible, el Mtodo de Espectro
De Respuesta Constitua el Enfoque Estndar para el
Anlisis Ssmico Lineal
15.1 INTRODUCCIN
El mtodo bsico de superposicin de modo, que est limitado al anlisis
elstico linealmente, produce la respuesta completa histrica de
desplazamientos de uniones y de fuerzas de elemento. En el pasado, ha habido
dos grandes desventajas en el uso de este enfoque. En primer lugar, el mtodo
produce una gran cantidad de informacin que puede requerir una cantidad
importante de esfuerzo de computacin para realizar todos los chequeos de
diseo posible como funcin de tiempo. En segundo lugar, el anlisis debe ser
repetido para varios movimientos ssmicos diferentes para garantizar que todas
las frecuencias fueran excitadas, porque el espectro de respuesta para un ssmo
en una direccin especfica no constituye una funcin uniforme.
Existen ventajas de computacin en el uso del mtodo de espectro de respuesta
del anlisis ssmico para predecir los desplazamientos y las fuerzas de
elemento en sistemas estructurales. El mtodo implica el clculo de solamente
los valores mximos de los desplazamientos y fuerzas de elemento en cada
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modo utilizando espectros de diseo uniforme que sean el promedio de varios
movimientos ssmicos.
El objetivo de este captulo es resumir las ecuaciones fundamentales que se
usan en el mtodo de espectro de respuesta, y sealar las muchas
aproximaciones y limitaciones del mtodo. Por ejemplo, no se puede usar el
mtodo de espectro de respuesta para aproximar la respuesta no-lineal de un
sistema estructural tri-dimensional complejo.
El reciente aumento de la velocidad de computadoras ha hecho que sea practico
correr muchos anlisis histricos de tiempo en un perodo corto. Adems,
ahora es posible efectuar chequeos de diseo como funcin de tiempo, lo que
produce resultados superiores, porque cada elemento no est diseado para
valores pico mximos tal como requiere el mtodo de espectro de respuesta.
15.2 DEFINICION DE UN ESPECTRO DE RESPUESTA
Para el movimiento ssmico tri-dimensional, se expresa la Ecuacin modal
tpica (13.6) de la siguiente manera:
gznzgynygxnxn2nnnnn (t)up + (t)up + (t)up = y(t) + (t)y2 + (t)y (15.1)
donde los tres Factores de Participacin de Modo son definidos por
MinT
ni- = p donde i es igual a x, y o z. Se deben solucionar dos problemas
importantes para obtener la solucin de espectro de respuesta aproximada para
esta ecuacin. En primer lugar, para cada direccin de movimiento del suelo,
hay que estimar las fuerzas pico mximas y los desplazamientos mximos. En
segundo lugar, despus de solucionar la respuesta de las tres direcciones
ortogonales, es necesario estimar la respuesta mxima en base a los tres
componentes de movimiento ssmico que actan al mismo tiempo. Esta
seccin aborda el problema de combinacin modal de solamente un
componente de movimiento. El separado problema de combinar los resultados
del movimiento en tres direcciones ortogonales ser abordado ms tarde en este
captulo.
Para aportes en una direccin solamente, la Ecuacin (15.1) se escribe as:
gnin2nnnnn (t)up = y(t) + (t)y2 + (t)y (15.2)
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Dado un movimiento especfico de suelo g(t)u , un valor de amortiguacin y
asumiendo 0.1nip , es posible solucionar la Ecuacin (15.2) para varios
valores de y graficar una curva de la respuesta mxima pico MAXy )( . Para este aporte de aceleracin, por definicin la curva es el espectro de
respuesta de desplazamiento para el movimiento ssmico. Habr una curva
diferente para cada valor diferente de amortiguamiento.
Una grfica de MAXy )( se define como el espectro de pseudo-velocidad, y
una grfica de MAXy )(2 se define como el espectro de pseudo-
aceleracin.
Las tres curvas - el espectro de respuesta de desplazamiento, el espectro de
pseudo-velocidad, y el espectro de pseudo-aceleracin normalmente son
graficadas como una curva en papel especial de registro. Sin embargo, los
pseudo-valores tienen un significado fsico mnimo, y no constituyen una parte
imprescindible de un anlisis de espectro de respuesta. Los valores correctos
de velocidad y aceleracin mximas deben ser calculados en base a la solucin
de la Ecuacin (15.2).
Sin embargo, existe una relacin matemtica entre el espectro de pseudo-
aceleracin y el espectro de aceleracin total. La aceleracin total de la masa
unitaria con un sistema de grado de libertad simple, regida por la Ecuacin
(15.2), se expresa as:
gT tutytu )()()( (15.3)
La Ecuacin (15.2) puede ser solucionada para )(ty y ser sustituida en la
Ecuacin (15.3) para producir lo siguiente:
)(2)()( 2 tytytu T (15.4)
Por tanto, para el caso especial de cero amortiguamiento, la aceleracin total
del sistema es igual a )(2 ty . Por esta razn, normalmente no se grafica la
curva del espectro de respuesta de desplazamiento como un desplazamiento
modal MAXy )( versus . Es costumbre presentar la curva en trminos de
S( ) versus un perodo T en segundos, donde:
MAXa yS )()(2 y
2T (15.5a y 15.5b)
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La curva del espectro de pseudo-aceleracin, a)(S , tiene las unidades de
aceleracin versus perodo que tiene alguna importancia fsica para el cero
amortiguamiento solamente. Es evidente que todas las curvas del espectro de
respuesta representan las propiedades del sismo en un sitio especfico, y no son
funcin de las propiedades del sistema estructural. Despus de hacer un
estimado de las propiedades del amortiguamiento viscoso lineal de la
estructura, se selecciona una curva especfica del espectro de respuesta.
15.3 CALCULO DE RESPUESTA MODAL
Ahora se puede calcular el desplazamiento modal mximo de un modelo
estructural con un modo tpico n con perodo Tn y un correspondiente valor
de respuesta de espectro de S n( ) . La mxima respuesta modal asociada al perodo Tn se expresa as:
2
)()(
n
nMAXn
STy
(15.6)
La mxima respuesta de desplazamiento modal del modelo estructural se
calcula en base a:
nMAXnn Ty )(u (15.7)
Las correspondientes fuerzas modales internas, knf , se calculan en base al
anlisis estructural de matriz estndar, utilizando las mismas ecuaciones que se
requieren para el anlisis esttico.
15.4 CURVAS TPICAS DEL ESPECTRO DE RESPUESTA
La Figura 15.1 presenta un segmento de diez segundos de los movimientos
ssmicos de Loma Prieta registrados en un sitio uniforme en el Area de la Baha
de San Francisco. El registro ha sido corregido utilizando un algoritmo
iterativo para cero desplazamiento, cero velocidad y cero aceleracin al inicio y
al final del registro de diez segundos. Para los movimientos ssmicos
presentados en la Figura 15.1a, las curvas del espectro de respuesta para el
desplazamiento y para la pseudo-aceleracin se resumen en las Figuras 15.2a y
15.2b.
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168
Las curvas de velocidad han sido omitidas de manera intencional porque no
forman parte imprescindible del mtodo de espectro de respuesta. Adems, se
necesitara mucho espacio para definir claramente los trminos tales como
velocidad pico de suelo, espectro de pseudo-velocidad, espectro de velocidad
relativa, y espectro de velocidad absoluta.
Figura 15.1a Tpica Aceleracin Ssmica de Suelo Porciento de Gravedad
Figura 15.1b Tpicos Desplazamientos Ssmicos de Suelo Pulgadas
TIME - seconds
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
TIME - seconds
- 12
- 10
- 8
- 6
- 4
- 2
0
2
-
169
Figure 15.2a Espectro de Desplazamiento Relativo MAXy )( -
Pulgadas
Figure 15.2b Espectro de Pseudo-Aceleracin, MAXa yS )(2
- Porciento de Gravedad
0 1 2 3 4 5
PERIOD - Seconds
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1.0 Percent Damping
5.0 Percent Damping
0 1 2 3 4 5
PERIOD - Seconds
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
1.0 Percent Damping
5.0 Percent Damping
-
170
La mxima aceleracin de suelo para el sismo que define la Figura 15.1a es el
20.01 porciento de gravedad a 2.92 segundos. Es importante notar que el
espectro de pseudo-aceleracin que se presenta en la Figura 15.2b tiene el
mismo valor para un sistema de perodo muy corto. Esto as por el hecho fsico
de que una estructura muy rgida se mueve como una masa rgida, y los
desplazamientos relativos dentro de la estructura son iguales a cero, segn lo
indica la Figura 15.2a. Tambin, el comportamiento de una estructura rgida
no es una funcin del valor del amortiguamiento viscoso.
El mximo desplazamiento de suelo indicado en la Figura 15.1b es de -11.62
pulgadas a 1.97 segundos. Para sistemas de perodo largo, la masa de la
estructura de un grado de libertad no se mueve de manera significativa, y posee
un desplazamiento absoluto de aproximadamente cero. Por lo tanto, las curvas
del espectro de desplazamiento relativo que se indican en la Figura 15.2a
convergen a 11.62 pulgadas durante largos perodos, y para todos los valores
del amortiguamiento. Este tipo de comportamiento fsico real es fundamental
para el diseo de estructuras de base aislada.
El espectro de desplazamiento relativo, Figura 15.2a, y el espectro de
aceleracin absoluta, Figura 15.2b, son fsicamente significativos. Sin
embargo, el mximo desplazamiento relativo es directamente proporcional a
las fuerzas mximas desarrolladas en la estructura. Para ese sismo, el mximo
desplazamiento relativo es de 18.9 pulgadas a un perodo de 1.6 segundos para
el 1 porciento de amortiguacin y 16.0 pulgadas a un perodo de 4 segundos
para una amortiguacin del 5 porciento. Es importante notar la diferencia
significativa entre el amortiguamiento del 1 y del 5 porciento para este tipo de
sitio blando tpico.
Figura 15.2b, el espectro de aceleracin absoluta, indica valores mximos a un
perodo de 0.64 segundos para ambos valores de amortiguamiento. Tambin,
la multiplicacin por 2 tiende a eliminar completamente la informacin que
contiene en el rango del perodo largo. Ya que la mayora de las fallas
estructurales durante sismos recientes han sido asociadas con sitios blandos, tal
vez deberamos considerar el uso del espectro de desplazamiento relativo
como la forma fundamental de seleccionar un sismo de diseo. La parte de la
curva de alta frecuencia y corto perodo siempre debe ser definida por lo
siguiente:
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2/)( MAXgMAX uy 2
2
4)(
TuTy MAXgMAX (15.8)
donde MAXgu es la aceleracin pico del suelo.
15.5 EL MTODO CQC DE COMBINACIN MODAL
El mtodo ms conservador que se usa para estimar un valor pico de
desplazamiento fuerza dentro de una estructura es usar la suma de los valores
absoluto de respuesta modal. Este enfoque asume que los valores mximos
modales para todos los modos ocurren en el mismo punto en el tiempo.
Otro enfoque muy comn es el uso de la Raz Cuadrada de la Suma de los
Cuadrados, SRSS, sobre los valores mximos modales para estimar los valores
de los desplazamientos o de las fuerzas. El mtodo SRSS asume que todos los
valores mximos modales son estadsticamente independientes. Para
estructuras tri-dimensionales donde un gran nmero de frecuencias son casi
idnticas, no se justifica esta suposicin.
El mtodo relativamente nuevo de combinacin modal es la Combinacin
Cuadrtica Completa, CQC, un mtodo [1] que fue publicado por primera vez
en el ao 1981. Se basa en terias de vibracin al azar, logrando gran
aceptacin entre la mayora de los ingenieros, y siendo integrado como opcin
en la mayora de los programas modernos de computadora para el anlisis
ssmico. Debido a que muchos ingenieros y cdigos de construccin no
requieren el uso del mtodo CQC, uno de los propsitos de este captulo es
explicar mediante ejemplo las ventajas del uso del mtodo CQC, e ilustrar los
potenciales problemas del uso del mtodo SRSS de combinacin modal.
El valor pico de una fuerza tpica ahora puede ser estimado en base a los
valores mximos modales, utilizando el mtodo CQC con la aplicacin de la
siguiente ecuacin de suma doble:
n m
mmnn ffF (15.9)
donde nf es la fuerza modal asociada con el modo n. La duplicacin de
suma se realiza sobre todos los modos. Se pueden aplicar ecuaciones similares
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172
a los desplazamientos de nodos, los desplazamientos relativos, y cortantes de
base y momentos de vuelco.
Los coeficientes de modales transversales, nm , para el mtodo CQC con
amortiguacin constante, son como sigue:
2222
2/32
)1(4)1(
)1(8
rrr
rrnm
(15.10)
donde r n m / y debe ser igual a o menor de 1.0. Es importante notar
que el arreglo de coeficientes de modo transversal es simtrico, y que todos los
trminos son positivos.
15.6 EJEMPLO NUMRICO DE COMBINACIN MODAL
Los problemas asociados con el uso de la suma absoluta y el SRSS de la
combinacin modal pueden ser ilustrados mediante su aplicacin al edificio de
cuatro pisos que se presenta en la Figura 15.3. El edificio es simtrico; sin
embargo, el centro de masa de todos los pisos est ubicada a unas 25 pulgadas
desde el centro geomtrico del edificio.
Figura15.3 Un Ejemplo Sencillo de Edificio Tri- Dimensional
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173
La Figura 15.4 resume la direccin del movimiento ssmico aplicado, una tabla de
las frecuencias naturales, y la direccin principal de la forma de modo.
Figura 15.4 Frecuencias y Direcciones Aproximadas de las Formas de Modo
Se nota la cercana de las frecuencias que es tpico de la mayora de las
estructuras de edificios tri-dimensionales que estn diseados para resistir
sismos desde ambas direcciones por igual. Debido a la pequea excentricidad
de masa, lo cual es normal en estructuras reales, la forma de modo fundamental
posee x, y, adems de componentes de torsin. Por lo tanto, el modelo
representa un sistema muy comn de edificio tri-dimensional. Tambin, Note
que no existe una forma de modo en una direccin particular dada, tal como
se implica en muchos cdigos de construccin y en algunos textos sobre la
dinmica elemental.
El edificio estuvo sometido a un componente del sismo Taft del 1952. Se
realiz un anlisis histrico de tiempo preciso utilizando los 12 modos y un
anlisis de espectro de respuesta. La Figura 15.5 presenta las mximas
cortantes de base modal en los cuatro prticos para los primeros cinco modos.
La Figura 15.6 resume los mximos cortantes de base en cada uno de los cuatro
prticos, utilizando mtodos diferentes. Son exactas las cortantes de base en
historia de tiempo, que se presentan en la Figura 15.6a. El mtodo SRSS, de
la Figura 15.6b, produce cortantes de base que subestiman los valores exactos
en la direccin de las cargas en aproximadamente un 30 porciento, y
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174
sobreestiman las cortantes de base normales a las cargas por un factor de 10. La
suma de los valores absolutos, Figura 15.6c, sobreestima de manera exagerada
todos los resultados. El mtodo CQC , Figura 15.6d, produce valores muy
realistas que se acercan a la solucin exacta de historia de tiempo.
Fig 15.5 Cortante de Base en cada Prtico para los Primeros Cinco Modos
Fig 15.6 Comparacin de Mtodos de Combinacin Modal
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175
La Tabla 15.1 resume los coeficientes de correlacin transversal modal para
este edificio. Es importante notar la existencia de trminos relativamente
grandes fuera de la diagonal, que indican cules modos estn acoplados.
Tabla 15.1 Coeficientes de Correlacin Transversal Modal 0 05.
Mode 1 2 3 4 5 n
(rad/sec)
1 1.000 0.998 0.006 0.006 0.004 13.87
2 0.998 1.000 0.006 0.006 0.004 13.93
3 0.006 0.006 1.000 0.998 0.180 43.99
4 0.006 0.006 0.998 1.000 0.186 44.19
5 0.004 0.004 0.180 0.186 1.000 54.42
Si se notan las seales de los cortantes de base modales que se presentan en la
Figura 15.3, es evidente cmo la aplicacin del mtodo CQC permite que la
suma de las cortantes de base en la direccin del movimiento externo sea
agregada directamente. Adems, la suma de los cortantes de base, normales al
movimiento externo, tienden a cancelarse. La capacidad del mtodo CQC de
reconocer el signo relativo de los trminos en la respuesta modal representa la
clave para la eliminacin de errores en el mtodo SRSS.
15.7 ESPECTROS DE DISEO
Los espectros de diseo no son curvas irregulares tal como se indica en la
Figura 15.2, porque estn dirigidos a constituir el promedio de muchos sismos.
En la actualidad, muchos cdigos de construccin especifican espectros de
diseo en la forma mostrada en la Figura 15.7.
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176
Figura 15.7 Espectro de Diseo Tpico
El Cdigo Uniforme de la Construccin define ecuaciones especficas para
cada rango de la curva del espectro para cuatro tipos de suelo diferentes. Para
estructuras grandes, en la actualidad es comn desarrollar un espectro de
diseo dependiente del sitio que incluya el efecto de las condiciones locales del
suelo y la distancia a las fallas ms cercanas.
15.8 EFECTOS ORTOGONALES EN EL ANLISIS DE ESPECTRO
Una estructura bien diseada debe ser capaz de resistir igualmente
movimientos ssmicos desde toda direccin posible. Una opcin en los cdigos
de diseo existentes para edificios y puentes requiere que los elementos sean
diseados para el 100 porciento de las fuerzas ssmicas prescritos en una
direccin, ms el 30 porciento de las fuerzas prescritas en la direccin
perpendicular. Otros cdigos y otras organizaciones requieren el uso de un 40
porciento en vez del 30 porciento. Sin embargo, no dan ninguna indicacin de
la manera de determinar las direcciones para estructuras complejas. Para
estructuras rectangulares con direcciones principales claramente definidas,
estas reglas de porcentaje producen aproximadamente los mismos resultados
que el mtodo SRSS.
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177
Para estructuras complejas tri-dimensionales, tales como edificios no-
rectangulares, puentes arqueados, presas arqueadas o sistemas de tubera, no es
aparente la direccin del sismo que produce los esfuerzos mximos en un
elemento particular o en un punto especfico. Para datos de historia de tiempo,
es posible realizar un gran nmero de anlisis dinmicos en varios ngulos de
aportes para revisar todos los puntos correspondientes a las direcciones
ssmicas crticas. Un estudio tan elaborado concebiblemente produce una
diferente direccin crtica para cada esfuerzo evaluado. Sin embargo, el costo
de dicho estudio sera prohibitivo.
Es razonable suponer que los movimientos que tienen lugar durante un sismo
tengan una direccin principal [2]. O, durante un plazo finito de tiempo
cuando ocurre la mxima aceleracin del suelo, existe una direccin principal.
Para la mayora de las estructuras, dicha direccin se desconoce, y para la
mayora de los sitios geogrficos no puede ser estimada. Por tanto, el nico
criterio racional de diseo ssmico es que la estructura debe resisitir un ssmo
de una magnitud dada desde cualquier direccin posible. Adems del
movimiento en la direccin principal, existe una probabilidad de que los
movimientos perpendiculares a dicha direccin ocurran simultneamente.
Adems, debido a la complejidad de la propagacin de una onda tri-
dimensional, es vlido suponer que dichos movimientos normales son
estadsticamente independientes.
En base a estas suposiciones, una declaracin del criterio de diseo es que
una estructura debe resistir un movimiento ssmico fuerte de una magnitud
1S para todos los ngulos que sean posibles, y en el mismo punto en
tiempo deben resisitr movimientos ssmicos de una magnitud 2S en 90o al
ngulo . La Figura 15.1 presenta estos movimientos de manera
esquemtica.
15.8.1 Ecuaciones Bsicas para el Clculo de Fuerzas Espectrales
El criterio de diseo declarado implica el hecho de que un elevado nmero de
anlisis diferentes debe ser realizado para determinar las fuerzas y los esfuerzos
mximos de diseo. Se demostrar en esta seccin que los valores mximos
para todos los elementos pueden ser evaluados de manera exacta en base a un
ejercicio computarizado en el cual se apliquen dos movimientos dinmicos
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globales. Adems, las fuerzas mximas de elemento calculadas no varan con
respecto al sistema de seleccin.
Figura 15.8 Definicin de Entrada del Espectro Ssmico
La Figura 15.8 indica que la entrada bsica de espectro S1 y S2 se aplican a
un ngulo arbitrario . En algn punto tpico dentro de la estructura, esta
entrada produce una fuerza, un esfuerzo o un desplazamiento F . Para
simplificar el anlisis, se asumir que la entrada de espectro menor sea una
fraccin de la entrada del espectro mayor. O:
S = S 12 a (15.11)
donde a es un nmero entre 0 y 1.0.
Recientemente Menun y Der Kiureghian [3] presentaron el mtodo CQC3 para
la combinacin de los efectos del espectro ortogonal.
La ecuacin fundamental CQC3 para el estimado de un valor pico es como
sigue:
2
1
2900
2
2290
20
2290
220
]cossin)1(2
sin)()1([
zFFa
FFaFaFF
(15.12)
donde,
n m
mmnn ffF 002
0 (15.13)
n m
mmnn ffF 90902
90 (15.14)
n m
mmnn ffF 900900 (15.15)
n m
mzmnnzZ ffF2 (15.16)
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donde nf0 y nf90 son los valores modales producidos por el 100 porciento
del espectro lateral aplicado en 0 y 90 grados respectivamente, y nzf es la
respuesta modal del espectro vertical que puede ser diferente del espectro
lateral.
Es importante notar que, para los espectros iguales a = 1 , el valor F no es una
funcin de y la seleccin del sistema de referencia de anlisis es arbitraria.
O:
220 zMAX
FFFF 2
90+ = (15.17)
Esto indica que es posible realizar solamente un anlisis con cualquier sistema
de referencia, y la estructura que resulta tendr todos los elementos que sean
diseados para resistir de manera igual los movimientos ssmicos procedentes
de todas las direcciones posibles. Este mtodo es aceptable segn la mayora
de los cdigos de construccin.
15.8.2 El Mtodo General CQC3
Para a = 1 , el mtodo CQC3 se reduce al mtodo SRSS. Sin embargo, esto puede ser excesivamente conservador porque no se han registrado
movimientos reales del suelo de valores iguales en todas las direcciones.
Normalmente el valor de en la Ecuacin (15.12) se desconoce; por lo tanto,
es necesario calcular el ngulo crtico que produzca la mxima respuesta. La
diferenciacin de la Ecuacin (15.12) y fijando los resultados a cero produce lo
siguiente:
]2
[tan2
12
902
0
9001
FF
Fcr
(15.18)
Existen dos races para la Ecuacin (15.17) que deben ser revisadas para que la
siguiente ecuacin sea mxima:
2
1
2900
2
2290
20
2290
220
]cossin)1(2
sin)()1([
zcrcr
crMAX
FFa
FFaFaFF
(15.19)
En la actualidad no se han recomendado ningunas pautas especficas para el
valor de a. La referencia [3] present un ejemplo con valores a entre 0.50 y
0.85.
-
180
15.8.3 Ejemplos de Anlisis de Espectros Tri-Dimensionales
La teora anteriormente presentada indica claramente que la regla de
combinacin CQC3, donde a es equivalente a 1.0, es idntica al mtodo SRSS,
y produce resultados para todos los sistemas estructurales que no sea una
funcin del sistema de referencia que utilice el ingeniero. Se presentar un
ejemplo para demostrar las ventajas del mtodo. La Figura 15.9 ilustra una
estructura muy sencilla de un solo piso que fue seleccionada para comparar los
resultados de las reglas de porcentaje 100/30 y 100/40 con la regla SRSS.
0
Y
X
X = Y = 106.065 ft.
X = Y = 70.717 ft.
X = 100 ft. X = 150 ft.
1 2
3
4
3
2
3
2
3 2
3 2
Sym.
Figura 15.9 Estructura Tri-Dimensional
Note que las masas no estn ubicadas en el centro geomtrico de la estructura.
Dicha estructura tiene dos traslaciones y un grado-de-libertad de rotacin ubicado
en el centro de masa. Las columnas, que quedan sujetas a flexin alrededor de los
ejes locales 2 y 3, estn simplemente apoyadas en el extremo superior donde estn
conectadas a un diafragma rgido en el plano.
La Tabla 15.2 resume los perodos y las fuerzas cortantes en la base normalizadas
asociadas con las formas de modo. Debido a que la estructura tiene un plano de
simetra en 22.5 grados, el segundo modo no tiene torsin, y tiene un cortante de
-
181
base normalizado en 22.5 grados con el eje x. Debido a esta simetra, es evidente
que las columnas 1 y 3 (o las columnas 2 y 4) deben ser diseadas para las mismas
fuerzas.
Tabla 15.2 Perodos y Cortante de Base Normalizado
Modo Perodos (Segundos)
Fuerza X Fuerza Y Direccin del Cortante de
Base (Grados)
1 1.047 0.383 -0.924 -67.5
2 0.777 -0.382 0.924 112.5
3 0.769 0.924 0.383 22.5
La Tabla 15.3 presenta la definicin del espectro de respuesta del
desplazamiento promedio que se usa en el anlisis espectral.
Tabla 15.3 Masas Participantes y Espectro de Respuesta Usado
Modo Perodo
(Segundos) Masa X Masa Y
Valor de
Espectro Usado
para el Anlisis
1 1.047 12.02 70.05 1.00
2 0.777 2.62 15.31 1.00
3 0.769 85.36 14.64 1.00
Los momentos alrededor de los ejes locales 2 y 3 en la base de cada una de las
cuatro columnas para el espectro aplicado por separado en 0.0 y 90 grados se
presentan en las Tablas 15.4 y 15.5, donde se comparan a la regla 100/30.
Tabla 15.4 Momentos Alrededor del Ejes 2 SRSS vs. Regla 100/30
Elemento M0 M90 = MSRSS M100/30 Error(%)
-
182
M + M 902
02
1 0.742 1.750 1.901 1.973 3.8
2 1.113 2.463 2.703 2.797 3.5
3 0.940 1.652 1.901 1.934 1.8
4 1.131 2.455 2.703 2.794 3.4
Tabla 15.5 Momentos Alrededor del Ejes 3 SRSS vs. Regla 100/30
Elemento M0 M90 = MSRSS
M + M 902
02
M100/30 Error(%)
1 2.702 0.137 2.705 2.743 1.4
2 2.702 0.137 2.705 2.743 1.4
3 1.904 1.922 2.705 2.493 -7.8
4 1.904 1.922 2.705 2.493 -7.8
Para este ejemplo, las fuerzas mximas no varan de manera significativa entre
los dos mtodos. Sin embargo, s ilustra el hecho de que el mtodo de
combinacin 100/30 produce momentos que no son simtricos, mientras que el
mtodo de combinacin SRSS produce momentos lgicos y simtricos. Por
ejemplo, el elemento 4 sera sobre-diseado en un 3.4 porciento alrededor del
eje local 2, y sera sub-diseado en un 7.8 porciento alrededor del eje local 3, si
se utilizara la regla de combinacin 100/30.
Las Tablas 15.6 y 15.7 resumen los momentos de diseo SRSS y 100/40
alrededor de los ejes locales 2 y 3 en la base de cada una de las cuatro
columnas.
Tabla 15.6 Momentos alrededor del Ejes 2 SRSS vs. Regla 100/40
-
183
Elemento M0 M90 = MSRSS
M + M 902
02
M100/40 Error(%)
1 0.742 1.750 1.901 2.047 7.7
2 1.113 2.463 2.703 2.908 7.6
3 0.940 1.652 1.901 2.028 1.2
4 1.131 2.455 2.703 2.907 7.5
Tabla 15.7 Momentos Alrededor del Ejes 3 SRS vs. Regla 100/40
Elemento M0 M90 = MSRSS
M + M 902
02
M100/40 Error(%)
1 2.702 0.137 2.705 2.757 1.9
2 2.702 0.137 2.705 2.757 1.9
3 1.904 1.922 2.705 2.684 -0.8
4 1.904 1.922 2.705 2.684 -0.8
Los resultados que se presentan en las Tablas 15.6 y 15.7 tambin ilustran que
el mtodo de combinacin 100/40 produce resultados que no son razonables.
Debido a la simetra, los elementos 1 y 3, y los elementos 2 y 4 deben ser
diseados para los mismos momentos. Ni la regla 100/30 ni la regla 100/40
logra pasar esta prueba sencilla.
Si un ingeniero estructural desea ser conservador, los resultados de la regla de
combinacin direccional SRSS o la entrada de espectros pueden ser
multiplicados por un factor adicional mayor de uno. No se debe intentar
justificar el uso de la regla de porcentaje 100/40 porque es conservadora en la
mayora de los casos. Para estructuras complejas tri-dimensionales, el uso de
la regla de porcentaje 100/40 o 100/30 produce diseos de elementos que no
son igualmente resistentes a movimientos ssmicos procedentes de todas las
direcciones posibles.
-
184
15.8.4 Recomendaciones Sobre Efectos Ortogonales
Para el anlisis de espectros de respuesta tri-dimensionales, se ha demostrado
que el diseo de elementos para el 100 porciento de las fuerzas ssmicas
prescritas en una direccin ms el 30 o el 40 porciento de las fuerzas prescritas
aplicadas en direccin perpendicular depende de la seleccin del sistema de
referencia por parte del usuario. Estas reglas de combinacin porcentual de
uso comn son empricas, y pueden subestimar las fuerzas de diseo en ciertos
elementos, y pueden producir un diseo de un elemento que sea relativamente
dbil en una direccin. Se ha demostrado que el mtodo alternativo aprobado
del cdigo de construccin, donde una combinacin SRSS de dos anlisis de
espectro del 100 con respecto a cualquier eje ortogonal definido por el usuario,
produce fuerzas de diseo que no sean una funcin del sistema de referencia.
Por lo tanto, el diseo estructural que resulta posee igual resistencia a
movimientos ssmicos procedentes de todas las direcciones.
Se debe usar el mtodo CQC3 si se puede justificar un valor a de menos de 1.0.
Esto Producir resultados realistas que no son una funcin del sistema de
referencia selecionado por el usuario.
15.9 LIMITACIONES DEL MTODO DE ESPECTRO DE
RESPUESTA
Es evidente que el uso del mtodo de espectro de respuesta tiene limitaciones,
algunas de las cuales pueden ser eliminadas si se desarrolla ms. Sin embargo,
nunca ser preciso para el anlisis no-lineal de estructuras de mltiples grados
de libertad. El autor cree que en el futuro se llevarn a cabo ms anlisis de la
respuesta dinmica de historia de tiempo, y que se evitarn las mltiples
aproximaciones asociadas al uso del mtodo de espectro de respuesta. Algunas
de estas limitaciones adicionales sern abordadas en esta seccin.
15.9.1 Clculos de la Deriva de Pisos
Todo desplazamiento producido por el mtodo de espectro de respuesta son
nmeros positivos. Por tanto, una grfica de una forma dinmica desplazada
tiene poco significado porque cada desplazamiento constituye un estimado del
valor mximo. Se usan desplazamientos entre-pisos para estimar los daos de
elementos no-estructurales y no pueden ser calculados directamente en base a
los probables valores pico de desplazamiento. Un mtodo sencillo para
-
185
obtener un probable valor pico de deformacin cortante es colocar un elemento
de panel muy fino, con un mdulo de cortante unitario , en el rea donde se
debe calcular la deformacin. El valor pico del esfuerzo cortante sera un buen
estimado del ndice de dao. El cdigo actual sugiere un valor mximo de
0.0005 de la relacin de deriva , que es igual que la deformacin cortante de
panel si se descuidan los desplazamientos verticales.
15.9.2 Estimacin de Esfuerzos Espectrales en Vigas
La ecuacin fundamental para el clculo de los esfuerzos dentro de la seccin
transversal de una viga es la siguiente:
x
x
y
y
I
yM
I
xM
A
P (15.20)
Esta ecuacin puede ser evaluada para un punto especfico x , y en la seccin
transversal, y para el clculo de las fuerzas axiales mximas de espectro y para
los momentos mximos, que son todos valores positivos. Es evidente que el
esfuerzo que resulta podra ser conservador porque es probable que no todas las
fuerzas obtengan sus valores pico al mismo tiempo.
Para el anlisis de espectro de respuesta, el enfoque correcto y preciso para la
evaluacin de la ecuacin (15.20) es evaluar la ecuacin para cada modo de
vibracin. Esto tomar en consideracin los signos relativos de fuerzas axiales
y momentos en cada modo. Luego se puede calcular un valor preciso del
esfuerzo mximo en base a los esfuerzos modales utilizando el mtodo de
doble suma CQC. La experiencia del autor con estructuras grandes tri-
dimensionales indica que los esfuerzos calculados en base a los esfuerzos
modales pueden ser menos del 50 porciento del valor calculado utilizando
valores pico mximos de momentos y de fuerza axial.
15.9.3 Revisiones de Diseo para Vigas de Acero y Concreto
Desafortunadamente la mayora de las ecuaciones para revisin de diseo de
estructuras de acero estn redactadas en trminos de relaciones de fuerza de
diseo que son una funcin no-lineal de la fuerza axial en el elemento; por lo
tanto, no se pueden calcular las relaciones en cada modo. El autor propone un
nuevo mtodo de aproximacin para sustituir el enfoque vanguardista de
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186
calcular las relaciones de fuerza en base a los valores mximos pico de las
fuerzas del elemento. Esto implica en primer lugar el clculo de la fuerza
mxima axial. Luego se evaluaran las relaciones de diseo modo por modo,
asumiendo que el factor de reduccin mxima de fuerza axial permanezca
constante para todos los modos. Luego se estimara la relacin de diseo para
el elemento utilizando un mtodo de combinacin modal de doble suma, como
por ejemplo el mtodo CQC3. Este enfoque mejora la precisin a la vez de que
sigue siendo conservador.
Para estructuras de concreto, se requiere desarrollo de trabajo adicional para
desarrollar de un mtodo completamente racional para el uso de fuerzas de
espectro mximas en una ecuacin de revisin de diseo debido al
comportamiento no-lineal de los elementos de concreto. Un anlisis de historia
de tiempo podra ser el nico enfoque que produzca fuerzas racionales de
diseo.
15.9.4 Clculo de Fuerza Cortante en Pernos
Con respecto al problema interesante de calcular la fuerza mxima cortante en
un perno, no es correcto estimar la fuerza mxima cortante en base a una suma
de vector porque los cortantes x y y no obtienen sus valores pico al mismo
tiempo. Un mtodo correcto de estimar el cortante mximo en un perno esto
para revisar el cortante mximo del perno en varios ngulos diferentes
alrededor del eje del perno. Esto constituira un enfoque tedioso utilizando
clculos manuales; sin embargo, si el enfoque se integra en un programa de
computadora pos-procesadora, el tiempo de computacin para calcular la
fuerza mxima del perno sera trivial.
El mismo problema existe si se deben calcular los esfuerzos principales en base
a un anlisis de espectro de respuesta. Hay que chequear en diferentes ngulos
para estimar el valor mximo y mnimo del esfuerzo en cada punto de la
estructura.
15.10 RESUMEN
En este captulo se ha ilustrado que el mtodo de espectro de respuesta para el
anlisis dinmico debe ser utilizado cuidadosamente. Se debe usar el mtodo
CQC para la combinacin modal mxima para minimizar la introduccin de
errores evitables. El aumento del esfuerzo de computacin, en comparacin
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187
con el mtodo SRSS, es pequeo en comparacin con el tiempo total de
computadora para un anlisis ssmico. El mtodo CQC posee una base terica
sana, y ha sido aceptado por la mayora de los expertos en la ingeniera
ssmica. No se puede justificar el uso de la suma absoluta o el mtodo SRSS
para la combinacin modal.
En otro orden para que una estructura tenga igual resistencia a movimientos
ssmicos procedentes de todas las direcciones, se debe usar el mtodo CQC3
para combinar los efectos de los espectros ssmicos aplicados en tres
dimensiones. Los mtodos de la regla del porcentaje carecen de base terica, y
no son invariables en cuanto al sistema de referencia.
Sin embargo, los ingenieros deben comprender claramente que el mtodo de
espectro de respuesta constituye un mtodo aproximado que se usa para
estimar los valores pico mximos de desplazamientos y fuerzas, y que posee
limitaciones significativas. Este se limita al anlisis elstico lineal donde las
propiedades del amortiguamiento solamente pueden ser estimados con un bajo
grado de confianza. El uso de espectros no-lineales, una prctica comn, tiene
muy pocos antecedentes tericos, y este enfoque no debe ser aplicado en el
anlisis de estructuras complejas tri-dimensionales. Para dichas estructuras, se
debe usar la respuesta de historia de tiempo no-lineal verdaderas, segn lo
indicado en el Captulo 19.
15.11 REFERENCIAS
1. Wilson, E. L., A. Der Kiureghian and E. R. Bayo. 1981. "A
Replacement for the SRSS Method in Seismic Analysis," Earthquake
Engineering and Structural Dynamics. Vol. 9. pp. l87-l92.
2. Penzien, J., and M. Watabe. 1975. "Characteristics of 3-D Earthquake
Ground Motions," Earthquake Engineering and Structural Dynamics.
Vol. 3. pp. 365-373.
3. Menun, C., and A. Der Kiureghian. 1998. A Replacement for the 30
% Rule for Multicomponent Excitation, Earthquake Spectra. Vol. 13,
Number 1. February.