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Ana M. Abreu - 2006/07
Slide 2Definições
Acontecimento
Qualquer colecção de resultados de umaexperiência.
Acontecimento elementar
Um resultado que não pode ser simplificado oureduzido.
Espaço de resultados- ΩΩΩΩ
Constituído por todos os acontecimentoselementares.
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Notação das Probabilidades
P - denota a probabilidade.
A, B , e C - denota acontecimentos específicos.
P (A) - denota a probabilidade de ocorrer o acontecimento A.
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Slide 4Regras Básicas para o
Cálculo das ProbabilidadesRegra 1: Frequência Relativa;
Aproximação da ProbabilidadeRealize (ou observe) a experiência um grande nº de vezes, e conte o nº de vezes emque ocorreu o acontecimento A. Baseadonestes resultados, P(A) é estimada como se segue:
P(A) = nº de vezes que A ocorreu
nº de vezes que a experiência se realizou
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Slide 5Regras Básicas para o
Cálculo das ProbabilidadesRegra 2: Abordagem Clássica (RequerAcontecimentos Equiprováveis)
Suponha que uma experiência é composta por nacontecimentos elementares distintos, em que cada um tem a mesma possibilidade de ocorrer. Se o acontecimento A pode ocorrer em k desses nacontecimentos elementares, então
P(A) = nº de vezes que A pode ocorrer
nº de acontecimentos elementares distintos
kn =
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Slide 6Lei dos Grandes Números
Quando uma experiência é repetida um grande nº de vezes, o valor da frequência relativa (regra 1) de um acontecimento tende a se aproximar do valor da verdadeira probabilidade.
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Slide 7Exemplo
Cartas Num baralho de cartas, planeia apostar na saídade uma carta de copas. Qual a probabilidade de perder?
Solução Um baralho tem 52 cartas, 13 das quais sãocopas, e as restantes 52-13= 39 não. Cada carta tem a mesma possibilidade de ser retirada do baralho. Como o espaço de resultados é constituído por acontecimentos equiprováveis, usamos a abordagem clássica (regra2) e obtemos
P(perder) =37383952
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Slide 8Valores daProbabilidade
A probabilidade de um acontecimento certo é 1.
•
A probabilidade de um acontecimento impossível é 0 (zero).
0 ≤≤≤≤ P(A) ≤≤≤≤ 1 para qualquer acontecimento A.
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Slide 10Definição
O complementar do acontecimento A, denotado por Ac, consiste em todos os acontecimentos nos quais o acontecimento A não ocorre.
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Slide 11Arredondamento do Valor das Probabilidades
Quando se apresenta o valor de umaprobabilidade, ou se indica a fracçãoexacta ou se faz um arredondamento com 3 casas decimais.
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Slide 12Resumo
Nesta secção apresentámos:
Regras da Probabilidade.
Lei dos Grandes Números.
Acontecimentos Complementares.
Arredondamento das Probabilidades.
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Slide 13
Reunião de acontecimentos
Definição
Notação
P(A ou B) = P(A ∪∪∪∪ B)=
= P (o acontecimento A ocorre ou o acontecimento B ocorre ou ambos
ocorrem)
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Para determinar a probabilidade de o acontecimento A ou B ocorrer, determine a probabilidade de A ocorrer e aprobabilidade de B ocorrer; em seguida determine o total de tal forma que nenhum acontecimento seja contado mais do que uma vez.
Regra Geral para a Reunião de Acontecimentos
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Slide 15Reunião de Acontecimentos
Regra formal
P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B)
onde P(A e B) denota a probabilidade de A e Bocorrerem simultaneamente. A igualdade anterior também se escreve na forma
P(A ∪∪∪∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩∩∩∩ B)
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Slide 16Definição
Figuras 2-2 e 2-3
Os acontecimentos A e B são disjuntos(ou mutuamente exclusivos) se nãopodem ocorrer em simultâneo.
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Slide 17Aplicando a Regra da Reunião de Acontecimentos
P(A ou B)
A e Bsão
disjuntos?
Não
P(A ∪ ∪ ∪ ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩∩∩∩ B)
SimP(A ∪ ∪ ∪ ∪ B) = P(A) + P(B)P(A ∪ ∪ ∪ ∪ B) = P(A) + P(B)
Figura 2-4
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Determine a probabilidade de seleccionar ao acaso um homem ou um rapaz.
Passageiros do Titanic
Homens Mulheres Rapazes Raparigas Totais
Sobreviventes 332 318 29 27 706Mortos 1360 104 35 18 1517
Totais 1692 422 64 56 2223
Exemplo
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Slide 19
Determine a probabilidade de seleccionar ao acaso um homem ou um rapaz.
P(homem ou rapaz) = 1692 + 64 = 1756 = 0.7902223 2223 2223
Homens Mulheres Rapazes Raparigas TotaisSobreviventes 332 31829 27 706Mortos 1360 10435 18 1517
Totais 1692 422 64 56 2223
* Disjuntos *
Exemplo
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Slide 20
Determine a probabilidade de seleccionar ao acaso um homem ou um sobrevivente.
Homens Mulheres Rapazes Raparigas TotaisSobreviventes 332 31829 27 706Mortos 1360 10435 18 1517
Totais 1692 42264 56 2223
Exemplo
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Slide 21
P(homem ou sobrevivente) =1692 + 706 - 332 = 20662223 2223 2223 2223
Homens Mulheres Rapazes Raparigas TotaisSobreviventes 332 31829 27 706Mortos 1360 10435 18 1517
Totais 1692 42264 56 2223
Determinar a probabilidade de seleccionar ao acaso umhomem ou um sobrevivente.
* NÃO Disjuntos *
= 0.929
Exemplo
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Slide 22Acontecimentos Complementares
P(A) e P(Ac)são
mutuamente exclusivos
Todos os acontecimentos elementares ou estão em A ou em Ac.
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Slide 23
P(A) + P(Ac) = 1, logo
P(Ac) = 1 – P(A),
P(A) = 1 – P(Ac)
Regras dos Acontecimentos Complementares
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Slide 24Diagrama de Venn para oAcontecimento Complementar
de A
P(A)P(A)
P(Ac)=1-P(A)
Area Total =1ΩΩΩΩ
Figura 2-5
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Resumo
Nesta secção estudámos:
Cálculo da reunião de acontecimentos.
Acontecimentos complementares.
Acontecimentos disjuntos.
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Slide 26Notação
P(A e B) = P(A ∩∩∩∩ B)
P(o acontecimento A ocorre na 1ª experiência e o acontecimento Bocorre na 2ª experiência )
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Slide 27Princípio Importante
É importante notar que a probabilidadedo 2º acontecimento deve ser calculadatendo em conta que o 1º acontecimentojá ocorreu.
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Slide 28Notação para a
Probabilidade Condicional
P(B|A) representa a probabilidade de o
acontecimento B ocorrer após o
acontecimento A ter ocorrido (lê-se B|A
como “ B dado A.”)
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Slide 29Definições
Acontecimentos Independentes
• Dois acontecimentos A e B são independentesse a ocorrência de um não afecta a probabilidade de ocorrência do outro. Se A e Bnão são independentes, dizem-se dependentes.
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Algumas Regras Formais
P(A e B) = P(A ∩∩∩∩ B) = P(A)• P(B|A)
Temos também P(A ∩∩∩∩ B) = P(B) • P(A|B)
Note que se A e B são acontecimentos independentes, P(B|A) é igual a P(B) e P(A|B) é igual a P(A).
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Slide 31Aplicando as regras de acordo com a independência
P(A e B)
A e Bsão
independentes?
Não
P(A ∩∩∩∩ B) = P(A) . P(B|A)
= P(B) . P(A|B)
SimP(A ∪ ∪ ∪ ∪ B) = P(A) + P(B)P(A ∩∩∩∩ B) = P(A) . P(B)
P(A e B)
Figura 2-6
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Slide 32Em suma
Na regra da probabilidade da reunião de acontecimentos, a palavra “ou” em P(A ou B) sugere adição. Adicione P(A) e P(B), mas de tal forma a que cadaacontecimento seja considerado apenas uma vez.
Na regra da probabilidade condicionada, a palavra “e ” em P(A e B) sugere multiplicação. Multiplique P(A) e P(B), mas certifique-se de que a probabilidade do acontecimento B tem em conta o facto de que o acontecimento A já ocorreu.
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Slide 33Definição
P(B A ) = P(A e B)
P(A)
A probabilidade condicionada de um acontecimento é a probabilidade obtida com a informação adicional de que um outro acontecimento já ocorreu. P(B | A) denota a probabilidade condicionada de o acontecimento B ocorrer, dado que o acontecimento A já ocorreu, e pode ser
calculado dividindo a probabilidade de os acontecimentos A e B ocorrerem pela probabilidade de ocorrer o acontecimento A :
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Slide 34Verificando a Independência
Já sabemos que os acontecimentos A e B são independentes se a ocorrência de um não afecta a probabilidade de ocorrência do outro. Formalmente, temos:
Dois acontecimentos Ae B são independentes se
Dois acontecimentos Ae B são dependentes se
P(B | A) = P(B)
ou
P(A | B) = P(A)
ou
P(A e B) = P(A) . P(B)
P(B | A) ≠ P(B)
ou
P(A | B) ≠ P(A)
ou
P(A e B) ≠ P(A) . P(B)
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Slide 35
“Pelo menos um” é equivalente a “um ou mais.”
O complementar de obter pelo menos um item é o mesmo do que não obter qualquer item.
Complementos: a Probabilidade de “Pelo Menos Um”
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Slide 36Exemplo
Sexo de uma criança. Determine a probabilidade de um casal com 3 filhos ter pelo menos uma menina. Considere que a probabilidade de nascer menina é a mesma do que a probabilidade de nascer rapaz e queo sexo de uma criança é independente do sexo dos irmãos.
Solução
Passo 1: Use um símbolo (letra) para representar o acontecimento em causa. Neste caso, seja A =“o casal ter pelo menos uma menina, de entre os 3 filhos”.
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Solução (cont.)
Passo 2: Identifique o acontecimento complementar de A.
Ac = “o casal não ter pelo menos uma menina, de entre os 3 filhos”
= “os 3 filhos são rapazes”
= rapaz e rapaz e rapaz
Exemplo
Passo 3: Determine a probabilidade do complementar :
P(A) = P(rapaz e rapaz e rapaz)
= 1. 1. 1 = 0.125
2 2 2
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Slide 38Exemplo
Solução (cont)
Passo 4: Determine P(A) através do cálculo de
P(A) = 1-0.125 = 0.875
Interpretação Um casal com 3 filhos, tem uma
probabilidade 0.875 de ter, pelo menos, uma
menina.
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Slide 39Princípio Chave
Para determinar a probabilidade de pelo menos um , calcule a probabilidade de nenhum , e depois subtraia o resultado a 1. Ou seja,
P(pelo menos um) = 1 – P(nenhum)