capitulo 2 - fundamentos de sep 2015 - p1

Curso IEE-443Sistemas Eléctricos de Potencia

Capitulo 2-1: Fundamentos de SEP y Modelado en Per Unidad (PU)

Representación Fasorial

El objetivo del análisis fasorial es simplificar el estudio

de SEP en sistemas AC a frecuencia constante

v(t) = Vmax Cos(wt + θv)

i(t) = Imax Cos(wt + θ i)

Voltaje sinusoidal Root Mean Square (RMS)

2 max

0

1( )

2

TV

v t dtT


Identidad de Euler:

En notación fasorial se puede escribir:

Donde: |V| es el voltaje RMS

j

( )

Euler's Identity: e cos sin

Phasor notation is developed by rewriting

using Euler's identity

( ) 2 cos( )

( ) 2 Re

(Note: is the RMS voltage)

V

V

j t

j

v t V t

v t V e

V

j

( )

Euler's Identity: e cos sin

Phasor notation is developed by rewriting

using Euler's identity

( ) 2 cos( )

( ) 2 Re

(Note: is the RMS voltage)

V

V

j t

j

v t V t

v t V e

V


En términos fasoriales el voltaje RMS se expresa

como:The RMS, cosine-referenced voltage phasor is:

( ) Re 2

cos sin

cos sin

V

V

jV

jj t

V V

I I

V V e V

v t Ve e

V V j V

I I j I

Algunos textos usan mayúsculas en negrilla o con

una barra para representar números complejos.


Dispositivo Dominio del tiempo Fasor

Resistencia

Inductancia

Capacitancia

0

2 2

Resistor ( ) ( )

( )Inductor ( )

1 1Capacitor ( ) (0)

C

Z = Impedance

R = Resistance

X = Reactance

XZ = =arctan( )

t

v t Ri t V RI

di tv t L V j LI

dt

i t dt v V Ij C

R jX Z

R XR

Device Time Analysis Phasor

Impedancia Z =

Notar Z es un numero complejo, no es un fasor

0

2 2

Resistor ( ) ( )

( )Inductor ( )


C

Z = Impedance

R = Resistance

X = Reactance

XZ = =arctan( )

t

v t Ri t V RI

di tv t L V j LI

dt

i t dt v V Ij C

R jX Z

R XR


0

2 2

Resistor ( ) ( )

( )Inductor ( )


C

Z = Impedance

R = Resistance

X = Reactance

XZ = =arctan( )

t

v t Ri t V RI

di tv t L V j LI

dt

i t dt v V Ij C

R jX Z

R XR


Representación Fasorial Régimen Permanente (Steady-State) vs. Transitorio:

0 50 100 150 200 250-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

t (ms)

y

PLOT

Currenta@is@1

Currentb@is@1

Currentc@is@1

150 200 250 300-3

-2

-1

0

1

2

3x 10

5

t (ms)

( V

)

RP Inicial

Fasor

RP Nuevo

Fasor

Transitorio

RP Transitorio

Fasor


Ejemplo 1: circuito RL monofásico:

2 2

( ) 2 100cos( 30 )

60Hz

R 4 3

4 3 5 36.9

100 30

5 36.9

20 6.9 Amps

i(t) 20 2 cos( 6.9 )

V t t

f

X L

Z

VI

Z

t

2 2

( ) 2 100cos( 30 )

60Hz

R 4 3

4 3 5 36.9

100 30

5 36.9

20 6.9 Amps

i(t) 20 2 cos( 6.9 )

V t t

f

X L

Z

VI

Z

t

~

R=4Ω

L=9,549

mHV(t)

i(t) Frec. = 50 Hz

Definición de Potencia Eléctrica

max

max

max max

( ) ( ) ( )

v(t) = cos( )

(t) = cos( )

1cos cos [cos( ) cos( )]

2

1( ) [cos( )

2

cos(2 )]

V

I

V I

V I

p t v t i t

V t

i I t

p t V I

t

Power Calculo de Potencia en el Tiempo


Calculo de Potencia Promedio

max max

0

max max

1( ) [cos( ) cos(2 )]

2

1( )

1cos( )

2

cos( )

= =

V I V I

T

avg

V I

V I

V I

p t V I t

P p t dtT

V I

V I

Power Factor

Average

P

Angle

ower

Donde:


Calculo de Potencia Compleja

P = Potencia Activa o Real (kW, MW)

Q = Potencia Reactiva (kvar, Mvar)

S = Potencia Compleja (kVA, MVA), # Complejo, no es un Fasor

Factor de Potencia (FP)= cos(ø)

Si la corriente adelanta el voltaje FP capacitivo o en adelanto

Si la corriente atrasa el voltaje FP inductivo o en atraso

*

cos( ) sin( )

P = Real Power (W, kW, MW)

Q = Reactive Power (var, kvar, Mvar)

S = Complex power (VA, kVA, MVA)

Power Factor (pf) = cos

If current leads voltage then pf is leading

If current

V I V I

V I

S V I j

P jQ

lags voltage then pf is lagging


Relación entre Potencia Activa Reactiva y Compleja

2

1

Relationships between real, reactive and complex power

cos

sin 1

Example: A load draws 100 kW with a leading pf of 0.85.What are (power factor angle), Q and ?

-cos 0.85 31.8

100

0.

P S

Q S S pf

S

kWS

117.6 kVA85

117.6sin( 31.8 ) 62.0 kVarQ

Ejemplo 2: Una carga absorbe 100kW con un FP capacitivo (-) de 0.85.

Determine el ángulo entre voltaje y corriente “ø”, Q y |S|.

2

1

Relationships between real, reactive and complex power

cos

sin 1

Example: A load draws 100 kW with a leading pf of 0.85.What are (power factor angle), Q and ?

-cos 0.85 31.8

100

0.

P S

Q S S pf

S

kWS

117.6 kVA85

117.6sin( 31.8 ) 62.0 kVarQ


Principio de Conservación de Potencia:

Para cada nudo (bus) de la red:

La suma de potencia activa entrando/saliendo al nudo debe ser cero

La suma de potencia reactiva entrando/saliendo al nudo debe ser

cero

Esto es consecuencia directa de la ley de corrientes de Kirchhoff,

la que establece que la corriente total en cada nudo debe ser

igual a cero (ΣIn=0)

De aquí se deduce que la conservación de potencia es

equivalente pues S = VI*


Resistencias solo consumen potencia activa:

Inductancias solo consumen potencia reactiva:

Capacitancias (capacitores) solo generan potencia reactiva:

2Resistor Resistor

2Inductor Inductor L

2

Capacitor Capacitor C

CapaCapacitor

Resistors only consume real power

P

Inductors only consume reactive power

Q

Capacitors only generate reactive power

1Q

Q

C

I R

I X

I X XC

V

2

citorC

C

(Note-some define X negative)X

2Resistor Resistor


2


CapaCapacitor


P


Q


1Q

Q

C

I R

I X

I X XC

V

2

citorC

C


2Resistor Resistor


2


CapaCapacitor


P


Q


1Q

Q

C

I R

I X

I X XC

V

2

citorC

C



Ejemplo 3: Tomando el mismo circuito del ejemplo 1, calcular la

potencias activa, reactiva y compleja:

~

R=4Ω

L=9,549

mHV(t)

i(t)

2 2

( ) 2 100cos( 30 )

60Hz

R 4 3

4 3 5 36.9

100 30

5 36.9

20 6.9 Amps

i(t) 20 2 cos( 6.9 )

V t t

f

X L

Z

VI

Z

t

2 2

( ) 2 100cos( 30 )

60Hz

R 4 3

4 3 5 36.9

100 30

5 36.9

20 6.9 Amps

i(t) 20 2 cos( 6.9 )

V t t

f

X L

Z

VI

Z

t

*

*R

2R R

*L

2L L

100 30 20 6.9 2000 36.9 VA

36.9 pf = 0.8 lagging

S 4 20 6.9 20 6.9

P 1600 (Q 0)

S 3 20 6.9 20 6.9

Q 1200var (P 0)

R

L

S V I

V I

W I R

V I j

I X

inductivoFP


Ejemplo 4: Calcular la potencia compleja para el siguiente

circuito:

~ R=100ΩV(t)

i(t)

5 + j40 Ω

+

Vr=40 /0° kV

-

*

40000 0400 0 Amps

100 0

40000 0 (5 40) 400 0

42000 16000 44.9 20.8 kV

S 44.9k 20.8 400 0

17.98 20.8 MVA 16.8 6.4 MVA

VI

V j

j

V I

j


Ejemplo 5: Agregar un carga inductiva en paralelo y calcular la

potencia compleja:

5 + j40 Ω

~ R=100ΩV(t)

i(t)

Xl=j100Ω

70.7 0.7 lagging

564 45 Amps

59.7 13.6 kV

S 33.7 58.6 MVA 17.6 28.8 MVA

LoadZ pf

I

V

j

FP

Representaron de Sistemas Eléctricos

Los sistemas eléctricos de potencia son generalmente representados

como diagramas unilineales (single- o one-line diagrams)

5 + j40 Ω

~ R=100ΩV(t)

i(t)

Xl=j100Ω

59.7 kV

17.6 MW

28.8 MVR

40.0 kV

16.0 MW

16.0 MVR

17.6 MW 16.0 MW

-16.0 MVR 28.8 MVR

Powerworld

Simulator

Compensación de Potencia Reactiva

La compensación de reactivos reduce el flujo de

corriente de línea (reducir de 564A a 400A en Ej. 5)

Las ventajas son:

Las perdidas de línea (igual a I2 R) se reducen

Una menor corriente permite usa conductores mas pequeños

o abastecer la mas carga con el mismo conductor

Reduce la caída de voltaje en las líneas

La compensación reactiva es muy utilizada por las

empresas eclécticas

Bancos de condensadores son usados para corregir

el factor de potencia a valores permitidos en la norma

técnica


Ejemplo 6: Agregar un carga capacitiva en paralelo y calcular la

potencia compleja:

5 + j40 Ω

~ R=100ΩV(t)

i(t)

Xl=j100Ω Xc=-j100Ω

Z’ = Xl * Xc / (Xl+Xc) = inf. Circuito abierto, corriente nula


Ejemplo 7: Asumir una carga de 100kVA con un FP=0.8

inductivo. Corregir el FP a 0.95 inductivo mediante un banco de

condensadores:

1

1desired

new cap

cap

Assume we have 100 kVA load with pf=0.8 lagging,

and would like to correct the pf to 0.95 lagging

80 60 kVA cos 0.8 36.9

PF of 0.95 requires cos 0.95 18.2

S 80 (60 Q )

60 - Qta

80

S j

j

cap

cap

n18.2 60 Q 26.3 kvar

Q 33.7 kvar

FP de 0.95 requiere un ángulo Φ = cos-1(0.95) = 18.2°

1

1desired

new cap

cap

Assume we have 100 kVA load with pf=0.8 lagging,

and would like to correct the pf to 0.95 lagging

80 60 kVA cos 0.8 36.9

PF of 0.95 requires cos 0.95 18.2

S 80 (60 Q )

60 - Qta

80

S j

j

cap

cap

n18.2 60 Q 26.3 kvar

Q 33.7 kvar

corr

Sistemas Trifásicos (3Φ) Balanceados

Un sistema 3Φ balanceado contiene:

Tres fuentes de voltaje de igual magnitud pero desfasados en 120°

Cargas iguales en cada fase

Impedancias de línea entre generadores y cargas idénticas para

cada fase

Los sistemas de transmisión son exclusivamente trifásicos

Cargas monofásicas son usadas principalmente en redes de

distribución de baja tensión y potencia: consumos residenciales

y comerciales

Ventajas de los sistemas 3Φ

Puede trasmitir mas potencia con la misma cantidad de cables (dos

veces mas de sistemas monofásicos)

Máquinas 3Φ usan menos material para la misma capacidad


Corriente de neutro In en sistemas trifásicos

balanceados es nula

* * * *

(1 0 1 1

3

n a b c

n

an an bn bn cn cn an an

I I I I

VI

Z

S V I V I V I V I

Van

Vcn

Vbn


Conexiones en sistemas 3Φ:

Estrella (Wye)

Delta (Δ)

Conexión estrella (wye):

an

bn

cn

Wye Connection Voltages

V

V

V

V

V

V

Van

Vcn

Vbn


Voltaje/corriente a través de un dispositivo se define

como voltaje/corriente de fase (a neutro)

Voltaje/corriente entre fases se define como

voltaje/corriente de línea

6

*3

3 1 30 3

3

j

Line Phase Phase

Line Phase

Phase Phase

V V V e

I I

S V I

Línea

Línea

Fase

Fase

Fase

Fase Fase


Conexión estrella (wye), α=0 en este caso:

Van

Vcn

Vbn

VabVca

Vbc

-Vbn

Voltajes de línea

también son balanceados

(1 1 120

3 30

3 90

3 150

ab an bn

bc

ca

V V V V

V

V V

V V

¯


Conexión delta (Δ):

En conexiones delta los voltajes de Fase y Línea son

iguales

IcaIc

IabIbc

Ia

Ib

a

b

*3

For the Delta

phase voltages equal

line voltages

For currents

I

3

I

I

3

ab ca

ab

bc ab

c ca bc

Phase Phase

I I

I

I I

I I

S V I

Fase Fase

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