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CAPÍTULO 2 MÉTODOS DE INFERENCIA LÓGICA, falacias y errores en el razonamiento. (Parte 1) Es natural que los acontecimientos que ocurren a diario en el mundo den lugar a las dudas, respecto a la calidad de la información que nos llega, o bien cuando se tiene información incompleta, o cuando está sesgada por personas que quieren manipular lo que sucede a su antojo. En otras palabras, siempre en la información que se presenta sobre la ocurrencia de acontecimientos tendrá algo de subjetividad, así que necesitamos estudiar métodos de inferencia Lógica que permitan dar conclusiones válidas, o encontrar los errores que se presentan en los argumentos que escuchamos y decimos (en ocasiones). No es tarea fácil, por supuesto, pero podemos aprender a explicar, a argumentar, a demostrar y justificar, manejando el lenguaje proposicional adecuadamente, con el objetivo de sacarle el máximo provecho, evitando así, ambigüedades y un manejo inadecuado de las investigaciones y de nuestro proceder científico, cuando se nos demande inferencias respecto a lo que sucede en el entorno. Los argumentos basados en tautologías, representan métodos de razonamiento que son universalmente correctos. Su validez depende solamente de la forma de las proposiciones que intervienen y no de los valores de verdad de las variables que contienen. A esos argumentos se les llama reglas de inferencia. Las reglas de inferencia permiten relacionar dos o más Tautologías e hipótesis en una demostración Matemática y son de gran aplicación en las ciencias, la política, la publicidad, la banca, y en general, en todos los ámbitos en donde se razone y se investigue. Los invito a entrar en un mundo fascinante, que nos acercará un poco más al objetivo primordial de hacer investigación científica, desde un enfoque crítico y propositivo, deductivo e inductivo, teniendo en cuenta además, las ideas de Descartes: la evidencia, el análisis, la síntesis y la comprobación, como pasos fundamentales en este gran reto de explicar nuestro devenir y hacer ciencia, porque aún las generaciones futuras lo agradecerán. Carlos Andrés Medina Gaviria Profesor e Investigador Universidad La Gran Colombia

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2.1 Definición: (Argumentos lógicos) Son conjuntos de proposiciones de cualquier tipo (Atómica, Molecular, universal, Existencial), que constan de unas proposiciones, llamadas premisas iniciales; de las cuales se obtiene otra proposición, llamada conclusión, mediante un proceso de implicación. Lo podemos simbolizar así: P1 P2 P3 . Premisas . . Pn _______ C Conclusión 2.2. MÉTODOS INFORMALES Estos son aquellos que nos permiten visualizar conclusiones, dar inferencias (no formales) a partir de proposiciones, con ayuda de diagramas y tablas de verdad.

2.2.1 Diagramas de Euler

Se conoce con el nombre de diagrama de Euler la representación gráfica de Proposiciones Universales y existenciales, donde: Todos los miembros de una clase A, son miembros de otra clase B.

Ningún miembro de una clase A, es miembros de otra clase B.

Algunos miembros de una clase A, son miembros de otra clase B.

Algunos miembros de una clase A, no son miembros de otra clase B.

(Ver tabla 2.1)

Se dice que el argumento anterior es válido cuando: P1∧ P2∧ P3∧…∧Pn → C: es una tautología

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Tabla 2.1: Formas de representar cuantificadores gráficamente

2.2.1.1 Ejemplo :

¿Es válido el siguiente argumento ?

Todas las cosas caras son deseables

Todas las cosas deseables hacen que te sientas bien

Todas las cosas que hacen que te sientas bien hacen que vivas más

Conclusión: Todas las cosas caras hacen que vivas más.

2.2.2 Método de las Tablas de Certeza

Es un método usado, en este caso, para verificar que, dados unos argumentos, éstos son válidos y verifican lógicamente la conclusión presentada, y esto se hace, cuando se presenta una tautología en la tabla de la proposición que representa la conclusión.

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En el caso de que no se presente una Tautología, diremos entonces que los argumentos no son válidos, o simplemente, la conclusión no es una consecuencia lógica de las premisas iniciales.

2.2.2.1Ejemplo:

Considere el siguiente argumento 1:

Si me contratan para hacer un plano arquitectónico y lo hago bien, entonces me pagan los honorarios.

Me contratan para hacer un plano arquitectónico y lo hago bien

Conclusión: Me pagan los honorarios

Así, para realizar la tabla de verdad, le doy nombre a las proposiciones atómicas, a saber,

Sean P: me contratan para hacer un plano arquitectónico

Q: Hago bien el plano arquitectónico

R: Me pagan los honorarios por el trabajo

El argumento anterior se convierte en:

Premisa 1: P∧ Q→ R

Premisa 2: P∧ Q

Conclusión: R

Por último, se realiza la Tabla de Verdad para verificar que se presente una tautología al evaluar: [(P∧ Q→ R) ∧( P∧ Q)] → R, veamos,

P Q R P∧ ∧ ∧ ∧ Q P∧ ∧ ∧ ∧ Q→ → → → R (P∧ ∧ ∧ ∧ Q→ → → → R) ∧( ∧( ∧( ∧( P∧ ∧ ∧ ∧ Q) [(P∧ ∧ ∧ ∧ Q→ → → → R) ∧( ∧( ∧( ∧( P∧ ∧ ∧ ∧ Q)] → → → → R

V V V V V V V

V V F V F F V

V F V F V F V

V F F F V F V

F V V F V F V

F V F F V F V

F F V F V F V

F F F F V F V

Tabla 2.2: Demostración informal de un argumento del ejemplo 2.2.1 como válid

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Como se verificó una Tautología, entonces se dice que el argumento 1 es válido.

2.3 MÉTODOS FORMALES Son las llamadas reglas o leyes de inferencia lógica, que se utilizan en verificación de argumentos, la transformación de fórmulas proposicionales y los métodos tradicionales de demostración Matemática.

2.3.1 Las Reglas Básicas de Inferencia Son formas clásicas de demostrar la validez o no de Argumentos lógicos. Estas reglas se clasifican en dos tipos: de introducción y de eliminación, según lo que aparezca en la conclusión.

2.3.1.12.3.1.12.3.1.12.3.1.1 RESPECTO AL CONDICIONAL:

2.3.1.1.1 De Eliminación

2.3.1.1.1.1 Modo Ponendo Ponens ( M.P.P: afirm ar afirmando): Si se

tienen dos premisas, una de ellas una fórmula condicional, y la otra premisa

es el antecedente de dicha condicional, se puede concluir como nueva

fórmula: el consecuente.

Esquema del razonamiento

Tabla 2.3: Esquema del modo Poniendo Ponens

Nota : P1 y P2 significa: premisa 1 y premisa 2 respectivamente, y la “c” significa:

conclusión.

P1P1P1P1 A A A A → → → → BBBB

P2 A

CCCC BBBB

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2.3.1.1.1.2 Modo Tollendo Tollens (M.T.T: negar neg ando): Si se tienen dos

premisas, una de ellas una fórmula condicional, y la otra premisa es la negación

del consecuente de dicha condicional, se puede concluir como nueva fórmula: la

negación del antecedente.

Esquema del razonamiento:

P1 A→→→→ B

P2 ¬ ¬ ¬ ¬ B

C ¬ ¬ ¬ ¬ A

Tabla 2.4: Esquema del modo Tollendo Tollens

2.3.1.2 RESPECTO A LA CONJUNCIÓN.

De introducción

2.3.1.2.1 Ley de unión de fórmulas: Si se tienen dos premisas, la premisa P y

la premisa Q, entonces se puede concluir la proposición conjunción de ambas:

P∧∧∧∧Q.

Esquema del razonamiento:

P1P1P1P1 A A A A

P2 B

CCCC A A A A ∧∧∧∧ B B B B

Tabla 2.5: Esquema del modo Ley de unión

De eliminación:

2.3.1.2.2 Ley de simplificación: Si se tiene una premisa que es una conjunción

de formulas, se puede concluir cada una de ellas por separado.

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Esquema del razonamiento:

P1P1P1P1 A A A A ∧∧∧∧ B B B B

C1C1C1C1 A A A A

C2C2C2C2 BBBB

Tabla 2.6: Esquema del modo Ley de Simplificación

Nota: En el anterior caso hay sólo una premisa (conjunción) y puede haber varias

conclusiones.

2.3.1.3 RESPECTO A LA DISYUNCIÓN.

De introducción:

2.3.1.3.1 La Regla de adición: De una fórmula se puede concluir la disyunción de

esa fórmula con cualquier otra.

Esquema del razonamiento:

P1 A

CCCC A A A A ∨ M M M M

Tabla 2.7: Esquema del modo Regla de Adición.

De eliminación:

2.3.1.3.2 El Tollendo Ponens (M.T.P: afirmar negand o): Si se tienen dos

premisas, una de ellas una disyunción, y la otra premisa es la negación de uno de

los términos de la disyunción, se puede concluir como nueva fórmula: el otro

término de la disyunción.

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Esquemas del razonamiento:

P1P1P1P1 A A A A ∨ BBBB

P2 ¬¬¬¬B B B B

CCCC AAAA

Tabla 2.8 : Esquemas del modo Tollendo Ponens

2.3.1.4 RESPECTO A LA NEGACIÓN

De eliminación e introducción:

2.3.1.4.1 involución: la negación de una fórmula negada, permite concluir la

fórmula afirmada: ¬¬¬¬ ( ( ( (¬¬¬¬ A) A) A) A) →→→→ A A A A (eliminación)

Y viceversa: de una fórmula se puede concluir su doble negación:

A A A A →→→→ ¬¬¬¬ ( ( ( (¬¬¬¬A) A) A) A) (introducción)

Es decir, ¬¬¬¬ ( ( ( (¬¬¬¬ A) A) A) A) ↔ A A A A

2.3.1.4.2 introducción del negador: Si de una premisa se obtiene una

contradicción, se debe concluir la negación de la premisa.

( ver contradicciones y tautologías)

2.3.1.2 REGLAS DERIVADAS: SILOGISMOS

2.31.2.1 El silogismo hipotético o regla de la cade na:

Permite encadenar dos proposiciones condicionales, siempre que verifiquen

que el consecuente de la primera coincide con el antecedente de la segunda,

obteniéndose como conclusión una nueva condicional.

P1P1P1P1 A A A A ∨ BBBB

P2 ¬¬¬¬ A A A A

CCCC BBBB

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Esquema del razonamiento:

P1P1P1P1 A A A A →→→→ B B B B

P2 B →→→→ C C C C

CCCC A A A A →→→→ C C C C

Tabla 2.9: Esquemas del Silogismo Hipotético