9

CAPÍTULO 2

Mecánica orbital

Una de las principales modificaciones respecto al trabajo realizado en [1] consiste en

mejorar el cálculo de la posición y la velocidad de los satélites en cada instante, empleando

modelos más precisos que incluyan perturbaciones no consideradas anteriormente.

Se estudiarán, por tanto, en este capítulo el movimiento orbital alrededor de la Tierra,

los parámetros necesarios para definir dicho movimiento y las perturbaciones que implican que

las órbitas reales difieran de las estudiadas en teoría debido a las hipótesis simplificadoras que

se tienen en cuenta en el desarrollo de los modelos de movimiento.

De cara a modelar las perturbaciones, será necesario el uso de un propagador de órbitas,

es decir, un modelo que permita calcular la posición y la velocidad del satélite en un instante

cualquiera a partir de los valores en un instante anterior. El propagador considerado en [1],

denominado J2 medio será sustituido por dos nuevos propagadores más precisos: SGP4 y SGP8.

En la sección 2.2 se desarrollará con más detalle el concepto de propagador de órbitas, así como

cada uno de los modelos comentados. Finalmente, se compararán los resultados obtenidos con

cada uno ellos y se extraerán las conclusiones pertinentes.

Como base para el estudio de la mecánica orbital se han utilizado los apuntes de la

asignatura Astronáutica de 5º de Ingeniería Aeronáutica [4], de donde se han extraído algunas

de las figuras utilizadas.

Como punto de partida, será necesario definir el movimiento que seguirán los satélites

estudiados alrededor de la Tierra. Dicho movimiento vendrá determinado a partir de la Ley de

Gravitación Universal para dos cuerpos de masas , en un sistema de referencia

cualquiera. La fuerza que ejerce uno de los cuerpos sobre el otro (“i”) viene dada por:

Con el vector unitario que va desde el centro de gravedad del cuerpo 1 al del cuerpo 2,

su módulo y G la constante de la gravitación universal ( ).

Como se ha comentado, será necesario introducir ciertas hipótesis, como son:

1- El sistema formado por los dos cuerpos implicados está aislado del resto del

universo, es decir, tan solo se considera la fuerza de atracción mutua entre ambos cuerpos.

2- Las masas pueden considerarse puntuales y localizadas en los centros de

masas de cada uno de los cuerpos.

10

Haciendo uso de las hipótesis anteriores, la integración de las ecuaciones dinámicas

permite obtener el movimiento relativo entre ambos cuerpos. Como resultado, se llega a la

conclusión de que dicho movimiento se corresponde con el de una cónica. Dado que la órbita

debe ser cerrada, la forma de la cónica será la de una elipse o, en su caso, una circunferencia. En

este proyecto se trata el movimiento de los satélites en órbitas elípticas alrededor de la Tierra,

con ésta en uno de los focos.

Durante la resolución anterior se trasladó el origen del sistema de referencia al centro de

masas del conjunto formado por los dos cuerpos, de modo que el movimiento absoluto de cada

cuerpo está referido a dicho centro de masas. Dado que en el movimiento de un satélite ( )

alrededor de la Tierra ( ) se cumple que , puede considerarse que el centro de masas

del sistema coincide con el de la Tierra. En consecuencia, el movimiento relativo entre ambos

cuerpos y el movimiento absoluto del satélite pueden considerarse aproximadamente iguales.

La ecuación que define el movimiento será por tanto la ecuación de una cónica:

Donde es el denominado parámetro de la cónica, con h el módulo del

momento cinético específico y el parámetro gravitacional de la Tierra

( .

En las siguientes secciones se seguirá desarrollando el movimiento de los satélites

alrededor de la Tierra, así como los modelos de propagadores empleados para caracterizar dicho

movimiento.

2.1 ELEMENTOS ORBITALES. CÁLCULO DE POSICIÓN Y VELOCIDAD A PARTIR

DE ELEMENTOS ORBITALES.

Se define época como un instante de tiempo de referencia en el que se conoce la

posición de uno o más cuerpos celestes de interés. Los elementos orbitales forman un conjunto

de seis datos que, junto con la época, permiten determinar la posición de un cuerpo en una

órbita en cualquier instante de tiempo mediante el uso de un propagador de órbitas. Dado que es

necesario conocer la traza de los satélites para el cálculo de las adquisiciones, será

imprescindible el cálculo de dichos elementos.

En primer lugar, se definirán los sistemas de referencia que se emplearán durante todo

el proceso. Seguidamente, se pasará a la definición de los elementos orbitales para finalmente

desarrollar las ecuaciones que permitirán calcular la posición y la velocidad de los satélites a

partir de dichos elementos.

11

2.1.1 Sistemas de referencia

En primer lugar, se definirán los sistemas de referencia que se emplearán en el cálculo

de la posición y la velocidad de los satélites: el sistema de referencia geocéntrico ecuatorial

(figura 5) y el sistema de referencia perifocal (figura 6), designados con los superíndices R y F,

respectivamente.

Figura 5. Sistema de referencia geocéntrico ecuatorial Figura 6. Sistema de referencia perifocal

En cuanto al sistema de referencia geocéntrico ecuatorial, su origen se sitúa en la Tierra,

el plano contiene al Ecuador con apuntando al primer punto de Aries (γ), es decir, a la

dirección marcada por una línea que parte de la Tierra hacia el Sol en el equinoccio de

primavera, y el eje coincide con el eje de rotación terrestre.

En el caso del sistema de referencia perifocal, su origen también coincide con la Tierra.

El plano contiene a la órbita, con apuntando al perigeo, es decir, al punto de la órbita

más cercano a la Tierra, y el eje apunta hacia arriba.

La relación entre ambos sistemas de referencia se detallará en la subsección 2.1.4.

2.1.2 Elementos orbitales

Los elementos orbitales clásicos son un conjunto de seis datos formado por:

. Dichos elementos, junto con el uso de un propagador de órbitas, permitirán

determinar la posición y la velocidad de los satélites de observación en cualquier instante de

tiempo.

Es necesario definir algunos conceptos antes de introducir cada uno de los elementos

anteriores. En la figura 7, el plano de referencia es aquel que contiene al ecuador terrestre y el

plano orbital aquel en el que se mueve el vehículo. Además, se define la línea de nodos como la

recta intersección entre ambos planos. Los cortes de la órbita con dicha línea definen los nodos

ascendente y descendente, según el paso se produzca de abajo hacia arriba o al contrario. El

vector unitario indica la dirección del nodo ascendente.

12

La figura 7 muestra los conceptos anteriores:

Figura 7. Elementos orbitales, [4]

Los elementos orbitales clásicos o keplerianos del movimiento de un satélite alrededor

de la Tierra son los siguientes:

- Semieje mayor a y excentricidad e: estos valores determinan el tamaño y la forma de

la órbita.

- Anomalía verdadera : ángulo medido en el plano orbital en el sentido del movimiento

entre el perigeo y la posición del satélite.

- Ascensión recta del nodo ascendente : ángulo, medido en sentido antihorario, entre

el primer punto de Aries y .

- Argumento del perigeo : ángulo medido en el plano orbital en el sentido del

movimiento entre el nodo ascendente y el perigeo.

- Inclinación i: ángulo entre el plano de referencia y el plano orbital, medido en el

sentido indicado por , expresado en el intervalo .

Puesto que los modelos de propagadores que se emplearán posteriormente trabajan con

la anomalía excéntrica, E, será necesario definir esta variable y ver su relación con la anomalía

verdadera, así como buscar una ley horaria que permita enlazar tiempo y posición en la órbita.

En primer lugar, dada una órbita elíptica cualquiera, se considera una circunferencia

auxiliar tangente a la elipse en perigeo y apogeo. Para una posición del satélite determinada

(punto A en la figura 8) se tiene una anomalía verdadera

Proyectando la posición anterior sobre la circunferencia se obtiene el punto B. El ángulo

formado por el semieje mayor y la línea que une el centro de la circunferencia con B es la

denominada anomalía excéntrica, E.

13

Figura 8. Anomalía excéntrica E

La expresión que relaciona la anomalía excéntrica con la verdadera se obtendrá tras

trabajar con algunas relaciones trigonométricas:

Haciendo uso de la segunda Ley de Kepler y trabajando con los conceptos anteriores se

llega a la conocida como Ecuación de Kepler:

Si es el tiempo transcurrido desde perigeo hasta la posición actual del satélite, la

anomalía media M es el ángulo que se recorrería en la órbita en si ésta fuese circular. Puede

relacionarse M con el tiempo transcurrido como:

Con n la velocidad orbital media, definida como:

Finalmente, conocida la relación entre , la Ecuación de Kepler y la relación de

, es posible resolver los siguientes problemas:

- Calcular el tiempo transcurrido desde el perigeo para una posición del satélite

determinada.

- Hallar la posición del satélite en la órbita conocido el tiempo transcurrido desde

perigeo.

14

2.1.3 Elementos orbitales en formato “TLE”

El formato denominado TLE (Two-Line Element set) de NORAD (North American

Aerospace Defence Command) será el empleado para obtener los elementos orbitales medios

que servirán como punto de partida para los propagadores de órbitas SGP4 y SGP8, así como

para el J2 medio utilizado en [1]. Mediante el uso de estos propagadores será posible el cálculo

de los elementos orbitales instantáneos que caracterizarán el movimiento de los satélites

sometidos a perturbaciones en cada instante de tiempo.

Además de dichos elementos, serán de utilidad otros parámetros que también podrán

encontrarse en el conjunto de datos proporcionado.

En este formato, los valores se presentan como muestran las tablas 2, 3 y 4:

1 2 3-7 8 9 10-17 18 19-32 33 34-43 44 45-52 53 54-61 62 63 64 65-68 69

Línea 1

1 Número de línea, es decir, 1

2 Espacio en blanco

3-7 Número de satélite

8 Clasificación (U=No clasificado)

9 Espacio en blanco

10-17 Designador

internacional

10-11: Dos últimas cifras del año de lanzamiento

12-14: Número de lanzamiento del año

15-17: Identificación del componente del lanzamiento

18 Espacio en blanco

19-32 Época 19-20: Dos últimas cifras del año

21-32: Día del año y fracción del día

33 Espacio en blanco

34-43 Primera derivada de la velocidad orbital media: (revoluciones/ )

44 Espacio en blanco

45-52 Segunda derivada de la velocidad orbital media: (revoluciones/ )

53 Espacio en blanco

54-61 Término de resistencia, B* (en , donde es el radio de la Tierra)

62 Espacio en blanco

63 Número 0

64 Espacio en blanco

65-68 Número de elemento

69 Suma de verificación (suma de todas las cifras numéricas individualmente,

añadiendo un 1 por cada signo negativo, y pasado a formato 0-9)

Tabla 3. Línea 1 del formato TLE

1 2 3-7 8 9-16 17 18-25 26 27-33 34 35-42 43 44-51 52 53-63 64-68 69

Tabla 2. Formato TLE de NORAD

15

2.1.4 Cálculo de la posición y la velocidad a partir de los elementos orbitales

Una vez definidos tanto elementos orbitales como sistemas de referencia, puede

desarrollarse el proceso a seguir para obtener la posición y la velocidad del cuerpo en el sistema

de referencia geocéntrico ecuatorial a partir de .

Usando el sistema de referencia perifocal, se tiene que y

Faltaría calcular .

Se define , con lo que . Además,

Finalmente,

.

Volviendo a las ecuaciones de la posición y la velocidad, se tiene que:

Para terminar, tan solo quedaría expresar lo anterior en el sistema de referencia

geocéntrico ecuatorial. Para realizar este cambio de sistemas de referencia, serán necesarias tres

rotaciones de ejes con sus tres matrices de rotación asociadas.

Línea 2

1 Número de línea, es decir, 2

2 Espacio en blanco

3-7 Número de satélite

8 Espacio en blanco

9-16 Inclinación (grados)

17 Espacio en blanco

18-25 Ascensión recta del nodo ascendente (grados)

26 Espacio en blanco

27-33 Excentricidad

34 Espacio en blanco

35-42 Argumento del perigeo (grados)

43 Espacio en blanco

44-51 Anomalía media (grados)

52 Espacio en blanco

53-63 Velocidad orbital media (revoluciones/día)

64-68 Número de revoluciones en la época

69 Suma de verificación (suma de todas las cifras numéricas individualmente,

añadiendo un 1 por cada signo negativo, y pasado a formato 0-9)

Tabla 4. Línea 2 del formato TLE

16

En la figura 9 se muestra la relación entre los dos sistemas de ejes:

Figura 9. Sistemas de referencia

- En primer lugar, se produce una rotación de ángulo en torno al eje , que da lugar

al sistema de ejes N representado en la figura 10. La matriz que define este cambio es:

- La segunda rotación se da en torno al eje con la inclinación como ángulo. Como

resultado, se obtiene el sistema de ejes O mostrado en la figura 11. La matriz asociada a esta

rotación sería:

- En último lugar, se produce una rotación de ángulo en torno al eje , que tiene

como resultado el sistema de referencia perifocal, ilustrado en la figura 12. La matriz que define

este cambio es:

17

Figura 10. Rotación R-N, [4]

Figura 11. Rotación N-O, [4]

Figura 12. Rotación O-F, [4]

18

A partir de las tres matrices de rotación, puede hallarse la matriz de transformación de

ejes R a ejes F, como :

Donde

Sin embargo, la transformación necesaria es la contraria, por lo que la matriz de

transformación será , debido a las propiedades de las matrices de

rotación.

La posición y la velocidad en el nuevo sistema de referencia serán:

2.2 PERTURBACIONES Y PROPAGADORES DE ÓRBITAS

Como se comentó al principio de este capítulo, son varias las hipótesis tenidas en cuenta

a la hora de hallar la ecuación del movimiento orbital. Esto hace que los resultados obtenidos

difieran de los reales dado que no se están teniendo en cuenta ciertas perturbaciones a las que se

está sometido en todo momento.

Como consecuencia de lo anterior, será necesario hallar las variaciones en el

movimiento provocadas por estas perturbaciones respecto del caso general. Los algoritmos

empleados para calcular efemérides futuras, es decir, datos que caractericen las coordenadas del

satélite en el espacio, a partir de los elementos orbitales de una época dada se denominan

propagadores de órbitas. Existen distintos modelos de propagadores según qué perturbaciones

incluyen y cuales dejan sin modelar.

2.2.1 Perturbaciones

Como se ha comentado, se explicarán a continuación las consecuencias de tomar ciertas

hipótesis a la hora de hallar el movimiento.

Una de las suposiciones empleadas considera que el sistema está aislado del resto del

universo. Sin embargo, existen otras fuerzas a parte de la gravitatoria entre los cuerpos:

- La fuerza gravitatoria ejercida por otros cuerpos (Sol, Luna, etc.).

- La resistencia atmosférica en órbitas bajas.

- La presión de radiación solar.

19

La segunda de las hipótesis consideraba masas puntuales localizadas en el centro de

masas de cada uno de los cuerpos. Sin embargo, esta suposición tan solo sería válida en el caso

de trabajar con cuerpos esféricos macizos con su masa repartida de forma homogénea. En la

realidad, ni los planetas ni los vehículos espaciales son esferas perfectas, con lo que existirán

perturbaciones asociadas a ello.

Se estudiarán con más detalle las perturbaciones debidas al campo gravitatorio creado

por un cuerpo no esférico y a la resistencia atmosférica. Previamente, se van a clasificar los

efectos causados por las perturbaciones en:

- Seculares: crecen o decrecen de forma monótona con el tiempo

- Periódicos de largo período: se repiten con un período superior al orbital

- Periódicos de corto período: se repiten con un período del orden del orbital

La primera de las perturbaciones que se van a estudiar es la debida a la forma no

esférica de la Tierra. La manera de modelar este efecto es haciendo uso del potencial

gravitatorio U, que siempre debe cumplir la Ecuación de Laplace:

Por tanto, para un cuerpo con forma arbitraria el potencial U vendrá dado por la

solución de dicha ecuación, sujeta a las condiciones de contorno dadas por la distribución de

masa del cuerpo.

Suponiendo un cuerpo cuya masa está distribuida homogéneamente con simetría de

revolución, variando solo con , la Ecuación de Laplace para quedaría:

Figura 13. Cuerpo con simetría de revolución, [4]

La solución general de la ecuación anterior tendría la forma:

20

Donde el primer término representa el potencial de una esfera, mientras que el resto

representan la desviación respecto al modelo esférico. Los coeficientes se denominan

armónicos zonales del potencial y se ajustan a partir de datos experimentales. Los primeros

armónicos serán los más importantes. Finalmente, se corresponde con el n-ésimo Polinomio

de Legendre.

La segunda de las perturbaciones que se va a tratar es la debida a la resistencia

atmosférica, perturbación de gran importancia en órbitas bajas. Esta resistencia tiene la

dirección del movimiento pero sentido opuesto y su valor dependerá de variables como la masa

del satélite, la superficie frontal de éste o el coeficiente de resistencia aerodinámico:

En la definición de este tipo de resistencia, aparece el concepto de coeficiente balístico,

B, que reúne la influencia de las variables anteriores. En los propagadores que se emplearán en

este proyecto, el coeficiente obtenido del formato TLE de NORAD, será el encargado de

incluir el efecto de la resistencia atmosférica en el modelo. Como se indica en la bibliografía

[2], el coeficiente balístico expresado en términos de sigue la expresión , donde

es un valor de referencia de la densidad atmosférica.

Como se comprobará posteriormente, la resistencia atmosférica tiende a circularizar las

órbitas, disminuyendo el radio de apogeo hasta igualarlo al de perigeo.

Debido a la enorme dificultad para modelar la densidad atmosférica, los propagadores

empleados para órbitas cercanas a la Tierra no son más que una mera aproximación de lo que

ocurre en la realidad, que nunca podrá ser modelada de forma exacta.

2.2.2 Propagadores de órbitas

Un propagador de órbitas es un algoritmo encargado de calcular los elementos orbitales

en un instante futuro t a partir de los elementos en una época anterior dada .

En el caso en que no existiesen perturbaciones, el propagador básico seguiría las

siguientes ecuaciones:

Donde, en lugar de la anomalía verdadera, se ha usado la anomalía media ya que esta

última varía de forma constante a la velocidad orbital media.

Sin embargo, tanto en [1] como en el presente proyecto se va a estudiar la influencia de

algunas perturbaciones en el movimiento de los satélites alrededor de la Tierra.

El propagador empleado en [1], tan solo tiene en cuenta el efecto del campo gravitatorio

por la forma no esférica de la Tierra. De los armónicos implicados en esta perturbación, el

propagador J2 medio solo considera el asociado al achatamiento terrestre ( ), con lo que se

considera la Tierra como un elipsoide de revolución.

21

Considerando tan solo el armónico y tomando únicamente las variaciones seculares

con el tiempo, eliminando las periódicas, las ecuaciones que definen el propagador J2 medio

son:

Para los tres primeros elementos orbitales, se considera que su valor es constante con el

tiempo.

Son importantes los cambios experimentados por la ascensión recta del nodo ascendente

y el argumento del perigeo denominados, respectivamente, regresión de los nodos y avance del

perigeo. En el primer caso, se tiene como consecuencia el cambio continuo del plano orbital. En

el segundo, se modifica la localización geográfica de la línea de ápsides, cambiando así la

localización de perigeo y apogeo.

El propagador anterior destaca por su simplicidad y resulta útil en casos de órbita baja,

donde la influencia del es significativa. Sin embargo, se buscarán nuevos propagadores que

proporcionen resultados más precisos en el cálculo de los elementos orbitales.

Para este nuevo proyecto, se han estudiado dos nuevos propagadores que, además de

incluir las perturbaciones debidas al campo gravitatorio de la Tierra por su forma no esférica,

tienen en cuenta el efecto de la resistencia atmosférica en el movimiento. Los propagadores

empleados se denominan SGP4 y SGP8 (Simplified General Perturbations 4 y 8). En este caso,

en el estudio de las perturbaciones debidas al campo gravitatorio se considerarán, además del ,

los armónicos , teniendo en cuenta efectos tanto seculares como periódicos.

Debido a que estos dos modelos incluyen nuevas perturbaciones respecto al J2 medio,

las soluciones se acercarán más al caso real.

Realmente, tanto el SGP4 como el SGP8 estudian las mismas perturbaciones; sin

embargo, la manera en que se modelan y se integran las ecuaciones en uno y otro difiere

bastante. El último de los propagadores se desarrolló además de cara a eliminar ciertos fallos

que el anterior modelo sufría en casos de reentrada, casos que no se van a estudiar en este

proyecto.

Dado que las ecuaciones de estos propagadores son numerosas, se han detallado en el

Anexo A por si fuese necesario consultarlas. Se ha evitado hacer correcciones en los modelos

referentes a casos especiales como serían órbitas totalmente circulares o ecuatoriales, ya que no

son motivo de estudio en este caso.

Como resumen, se muestra a continuación el esquema seguido para el cálculo de la

posición y la velocidad mediante los propagadores SGP4 y SGP8.

22

Para el SGP4:

1- Lectura de elementos orbitales a partir del formato TLE

2- Introducción de los efectos seculares debidos a la resistencia atmosférica y

al campo gravitatorio de la Tierra.

3- Introducción de efectos periódicos de largo período debidos al campo

gravitatorio de la Tierra.

4- Resolución de la Ecuación de Kepler.

5- Introducción de los efectos de corto período debidos al campo gravitatorio

de la Tierra.

6- Cálculo de la posición y la velocidad a partir de los elementos orbitales.

Para el SGP8:

1- Lectura de elementos orbitales a partir del formato TLE

2- Introducción de los efectos seculares debidos a la resistencia atmosférica y

al campo gravitatorio de la Tierra.

3- Resolución de la Ecuación de Kepler.

4- Introducción de los efectos de corto período debidos al campo gravitatorio

de la Tierra.

5- Cálculo de la posición y la velocidad a partir de los elementos orbitales.

2.2.3 Comparación entre los propagadores de órbitas J2 medio, SGP4 y SGP8

A continuación, se van a analizar y representar los resultados obtenidos tras aplicar

tanto los nuevos propagadores como el J2 medio, de cara a analizar sus diferencias. Además, se

estudiará la precisión de estos modelos comparando los resultados con los nuevos elementos

orbitales en formato TLE proporcionados por [5] una vez pasado un tiempo determinado. Todos

estos estudios se harán sobre la Estación Espacial Internacional.

A pesar de trabajar con propagadores de órbitas que modelan de una forma más o

menos adecuada el movimiento de los satélites, debe quedar claro que ningún modelo

representará de forma exacta la realidad, ya que modelar los efectos de las perturbaciones no es

una tarea fácil. Además, habitualmente los satélites efectuarán maniobras correctivas que harán

que los resultados obtenidos teóricamente disten de forma más significativa de los reflejados por

los TLE.

En primer lugar, se compararán los nuevos modelos de propagadores con el J2 medio.

Se ha elegido un período de tiempo de un día para visualizar las diferencias entre ellos, ya que

para períodos de tiempo mucho mayores o menores las diferencias no se aprecian con el mismo

detalle. Además, se compararán los nuevos propagadores entre sí.

Se representan en verde los elementos orbitales calculados con el J2 medio y en azul los

correspondientes al SGP4. El eje de abscisas indica los minutos transcurridos desde la época

inicial hasta pasado un día. Los elementos orbitales en formato TLE que se han escogido para

iniciar los modelos pertenecen al día 10 de marzo de 2014.

23

Figura 14. SGP4 frente a J2 medio a lo largo de un día

Se observa en la figura 14 cómo los elementos que permanecían constantes en el

primero de los propagadores pasan a tener nuevas variaciones, tanto seculares como periódicas

según el caso. Como ya se comentó anteriormente, la órbita tiende a circularizarse,

disminuyendo así los valores de a y e. Con respecto a , la figura muestra una oscilación

alrededor del valor de estos elementos hallado a partir del modelo de J2 medio.

En la figura 14 no se aprecia con demasiado detalle el movimiento periódico de algunos

de los elementos alrededor del valor medio. Para ello, se representa en la figura 15 la diferencia

entre los valores de ambos propagadores.

Se representan en las figuras 16 y 17 los resultados de la comparación entre el SGP8 y

el J2 medio.

0 500 1000 15006791.2

6791.4

6791.6

t (min)

a SGP4 (km)

a J2 (km)

0 500 1000 15002.91

2.915

2.92

2.925x 10

-4

t (min)

e SGP4 (-)

e J2 (-)

0 500 1000 150051.62

51.64

51.66

t (min)

i SGP4 (º)

i J2 (º)

0 500 1000 1500228

230

232

234

t (min)

SGP4 (º)

J2 (º)

0 500 1000 1500220

225

230

t (min)

SGP4 (º)

J2 (º)

0 500 1000 15000

200

400

t (min)

SGP4 (º)

J2 (º)

24

0 500 1000 15006791.2

6791.4

6791.6

t (min)

a SGP8 (km)

a J2 (km)

0 500 1000 15002.7

2.8

2.9

3x 10

-4

t (min)

e SGP8 (-)

e J2 (-)

0 500 1000 150051.62

51.64

51.66

t (min)

i SGP8 (º)

i J2 (º)

0 500 1000 1500228

230

232

234

t (min)

SGP8 (º)

J2 (º)

0 500 1000 1500220

225

230

t (min)

SGP8 (º)

J2 (º)

0 500 1000 15000

200

400

t (min)

SGP8 (º)

J2 (º)

Figura 15. Diferencia SGP4-J2 medio

Figura 16. SGP8 frente a J2 medio a lo largo de un día

0 500 1000 1500-0.2

-0.1

0

t (min)

a (km)

0 500 1000 1500-10

-5

0

5x 10

-7

t (min)

e (-)

0 500 1000 1500

-0.02

0

0.02

t (min)

i (º)

0 500 1000 1500-0.05

0

0.05

0.1

t (min)

(º)

0 500 1000 1500-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

t (min)

(º)

0 500 1000 1500-0.1

-0.05

0

0.05

t (min)

(º)

25

Figura 17. Diferencia SGP8-J2 medio

En esta ocasión, la figura 16 muestra cómo la mayoría de las perturbaciones son

seculares, a excepción del caso de la inclinación en el que se observa perfectamente la variación

periódica de corto período. Las ecuaciones de los modelos añadidos en el Anexo A, dan pie a un

tipo u otro de efecto de perturbación.

Se comparan, por último, los dos nuevos propagadores entre sí en las figuras 18 y 19.

La figura 18 muestra la similitud entre los elementos orbitales obtenidos por los dos

propagadores. Como excepción, puede observarse una mayor diferencia en el caso de la

excentricidad, aunque teniendo presente que se trata de órdenes de magnitud muy reducidos.

Posteriormente, se compararán estos resultados con los elementos reales obtenidos directamente

en formato TLE en varios instantes de cara a descubrir cuál de los dos propagadores da mejores

resultados.

0 500 1000 1500-0.2

-0.1

0

t (min)

a (km)

0 500 1000 1500-2

-1

0x 10

-5

t (min)

e (-)

0 500 1000 1500-0.04

-0.02

0

0.02

t (min)

i (º)

0 500 1000 1500-6

-4

-2

0x 10

-3

t (min)

(º)

0 500 1000 1500-4

-2

0x 10

-3

t (min)

(º)

0 500 1000 1500-0.05

0

0.05

0.1

t (min)

(º)

26

Figura 19. Diferencia SGP4-SGP8

Figura 18. SGP4 frente a SGP8 a lo largo de un día

0 500 1000 15006791.2

6791.4

6791.6

t (min)

a SGP4 (km)

a SGP8 (km)

0 500 1000 15002.7

2.8

2.9

3x 10

-4

t (min)

e SGP4 (-)

e SGP8 (-)

0 500 1000 150051.62

51.64

51.66

t (min)

i SGP4 (º)

i SGP8 (º)

0 500 1000 1500228

230

232

234

t (min)

SGP4 (º)

SGP8 (º)

0 500 1000 1500224

226

228

230

t (min)

SGP4 (º)

SGP8 (º)

0 500 1000 15000

200

400

t (min)

SGP4 (º)

SGP8 (º)

0 500 1000 1500-2

-1

0

1x 10

-4

t (min)

a (km)

0 500 1000 15000

1

2x 10

-5

t (min)

e (-)

0 500 1000 1500-1.5

-1

-0.5

0x 10

-4

t (min)

i (º)

0 500 1000 1500-0.05

0

0.05

0.1

t (min)

(º)

0 500 1000 1500-0.05

0

0.05

t (min)

(º)

0 500 1000 1500

-0.1

-0.05

0

0.05

t (min)

(º)

27

Finalmente, se van a presentar los resultados obtenidos por cada uno de los tres

propagadores anteriores junto con los TLE registrados tanto un día, como una semana después

de la época inicial. Dado que en formato TLE encontramos M en lugar de , se hará la

comparación con M. Además, será más útil comparar la suma en lugar de estos

elementos por separado de cara a ver la similitud entre el caso teórico y el real.

+ 1 día + 1 semana

TLE J2

MEDIO SGP4 SGP8 TLE

J2

MEDIO SGP4 SGP8

i (°) 51.6427 51.6478 51.6350 51.6351 51.6472 51.6478 51.6425 51.6425

(°) 224.0290 224.0099 224.0457 224.0261 194.2598 194.1095 194.1948 194.2193

e(-) 0.0003455 0.0002920 0.0002917 0.0002731 0.0003107 0.0002920 0.0002894 0.0001563

(°) 66.6932 65.4462 64.8216 64.8922 116.9987 127.7908 123.3053 127.2629

n

(rev/día) 15.5136 15.5132 15.5119 15.5119 15.5060 15.5132 15.5147 15.5147

Tabla 5. Comparación de propagadores con datos reales

Como puede comprobarse en la tabla 5, la mayor parte de los elementos orbitales son

modelados con una precisión razonable. A pesar de esto, se encuentran diferencias más

significativas ya que, al fin y al cabo, los propagadores no pueden modelar las perturbaciones

con total exactitud ni tener en cuenta variaciones puntuales debidas a maniobras, por ejemplo.

Dado que se está estudiando la Estación Espacial Internacional, es probable que dentro del

período de tiempo analizado se hayan realizado maniobras con el fin de corregir su trayectoria

ya que, debido a su gran superficie, el efecto de la resistencia atmosférica sobre ella es

considerable.

Se muestra, por tanto, en la figura 20 cómo los elementos no siguen una tendencia que

pueda ser modelada con facilidad por ningún propagador, ya que sufren cambios puntuales en

varias ocasiones. Se han representado los elementos reales obtenidos directamente en formato

TLE en varios instantes a lo largo de una semana, aproximadamente (el eje de abscisas muestra

los minutos transcurridos desde principio del año correspondiente).

Por ello, se va a realizar la comparación anterior para un satélite sometido, en principio,

a menos fuerzas puntuales. En este caso, se ha elegido el satélite de observación terrestre SPOT

6, cuyo movimiento a lo largo de una semana se corresponde con los valores mostrados en la

figura 21. En este caso, a diferencia de la Estación Espacial Internacional, se observa cómo los

valores toman una tendencia más definida, con menos variaciones puntuales. Los resultados

obtenidos para esta comparación son los mostrados en la tabla 6.

28

Figura 20. Elementos orbitales reales a lo largo de una semana, ISS

Figura 21. Elementos orbitales reales a lo largo de una semana, SPOT 6

1 1.05 1.1

x 105

6778

6779

6780

6781

t (min)

a TLE (km)

1 1.05 1.1

x 105

2

3

4

5

6x 10

-4

t (min)

e TLE (-)

1 1.05 1.1

x 105

51.642

51.644

51.646

51.648

51.65

51.652

t (min)

i TLE (º)

1 1.05 1.1

x 105

220

240

260

280

300

320

t (min)

TLE (º)

1 1.05 1.1

x 105

190

200

210

220

230

t (min)

TLE (º)

1 1.05 1.1

x 105

50

100

150

200

250

300

t (min)

M TLE (º)

1 1.05 1.1

x 105

7062.96

7062.97

7062.98

7062.99

7063

t (min)

a TLE (km)

1 1.05 1.1

x 105

1.15

1.2

1.25

1.3x 10

-4

t (min)

e TLE (-)

1 1.05 1.1

x 105

98.2075

98.208

98.2085

98.209

t (min)

i TLE (º)

1 1.05 1.1

x 105

65

70

75

80

t (min)

TLE (º)

1 1.05 1.1

x 105

136

138

140

142

144

146

t (min)

TLE (º)

1 1.05 1.1

x 105

280

285

290

295

t (min)

M TLE (º)

29

+ 1 día + 1 semana

TLE J2

MEDIO SGP4 SGP8 TLE

J2

MEDIO SGP4 SGP8

i (°) 98.2084 98.2084 98.2031 98.2034 98.2076 98.2084 98.2031 98.2033

(°) 138.7953 138.7996 138.7948 138.7943 144.6925 144.7252 144.6890 144.6889

e(-) 0.0001235 0.0001274 0.0001274 0.0001266 0.0001161 0.0001274 0.0001275 0.0001219

(°) 0.1336 353.8482 357.2178 357.2211 0.1333 336.3307 359.2558 359.4059

n

(rev/día) 14.5855 14.5855 14.5946 14.5946 14.5856 14.5855 14.5947 14.5947

Tabla 6. Comparación de propagadores con datos reales

Dado que los elementos reales se obtienen solamente para determinados instantes de

tiempo, su representación frente a los obtenidos por los propagadores no muestra fielmente la

comparación entre ellos a lo largo de todo el período estudiado, por ello se han analizado los

resultados a lo largo de un día y una semana. De cara a concluir cuál de estos propagadores se

ajusta más a la realidad, se presentan en la tabla 7 los errores relativos de éstos respecto a los

reales ( ):

+ 1 día + 1 semana

J2

MEDIO SGP4 SGP8

J2

MEDIO SGP4 SGP8

(%) 0.0000 0.0054 0.0051 0.0008 0.0046 0.0044

(%) 0.0031 0.0004 0.0007 0.0226 0.0024 0.0025

(%) 3.1579 3.1579 2.5101 9.7330 9.8191 4.9957

(%) 1.7453 0.8096 0.8087 6.6094 0.2437 0.2020

(%) 0.0000 0.0624 0.0624 0.0007 0.0624 0.0624

Tabla 7. Errores relativos de los propagadores de órbitas

En líneas generales, a pesar de encontrar mejores valores por parte del propagador J2

medio en algunos casos, como en la inclinación, es evidente que los nuevos modelos

proporcionan resultados más precisos. Además, el error cometido por el SGP8 es inferior al

correspondiente al SGP4 en la mayoría de los casos. Sin embargo, el propagador más empleado

actualmente, el SGP4, da resultados muy precisos teniendo como ventaja la simplicidad de

cálculo respecto a su sucesor, el SGP8.

2.2.4 Conclusiones del estudio comparativo entre propagadores de órbitas

Una vez analizados los resultados obtenidos por los tres propagadores de órbitas

estudiados, es necesario resumir las conclusiones extraídas de su comparación, así como de la

comparación con los elementos orbitales reales obtenidos del formato TLE.

30

Queda demostrado que el propagador J2 medio es el menos preciso de los tres

propagadores. Dado que en el modelado de las perturbaciones tan solo tiene en cuenta los

efectos seculares provocados por el campo gravitatorio terrestre asociados al armónico , su

precisión queda lejos de la de los nuevos propagadores, que incluyen nuevas perturbaciones y

añaden los efectos periódicos descartados por el anterior. A pesar de esto, su simplicidad hace

que sea útil como primera aproximación en casos de órbita baja en los que la influencia del es

muy significativa.

En cuanto a los dos nuevos propagadores, queda demostrado que ambos aumentan la

precisión del J2 medio. En cuanto a las diferencias existentes entre ellos, pueden apreciarse

resultados algo mejores en el SGP8, aunque el SGP4 sigue siendo el más usado por su

simplicidad respecto a su sucesor.